文档内容
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新时代数学编写组 编著
上海科学技术出版社
书书书主 编 吴之季 苏 淳
副 主 编 杜先能 徐子华
本册主编 徐子华
策划编辑 苏德敏
责任编辑 吴 敏
美术编辑 陈 蕾
义务教育教科书
数 学
九年级 上册
新时代数学编写组 编著
上海世纪出版（集团）有限公司
出版
上 海 科 学 技 术 出 版 社
（上海市钦州南路 号 邮政编码 ）
７１ ２００２３５
新华书店发行
安徽新华印刷股份有限公司印刷
开本 印张 字数
７８７×１０９２ １／１６ ９．２５ １５１０００
年 月第 版 年 月第 次印刷
２０１４ ６ １ ２０２１ ６ １１
·
ＩＳＢＮ ９７８ ７ ５４７８ ２１７０ １／Ｇ ５０４
定价： 元
９．４７
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电话： ，邮箱：
０２１ ６４８４８０２５ ｊｃ＠ｓｓｔｐ．ｃｎ
审批编号：皖费核（ 年秋季）第 号 举报电话：
２０２１ ０１０１ １２３１５
书书书目 录
第 章 二次函数与反比例函数
…… １
２１ １ 二次函数……………………………………… ２
２１ ２ 二次函数的图象和性质……………………… ５
信息技术应用 用《几何画板》研究
二次函数的图象
………… ２４
２１ ３ 二次函数与一元二次方程 ………………… ３０
阅读与思考 由二次函数的图象认识一元
二次不等式的解集
………… ３３
２１ ４ 二次函数的应用 …………………………… ３６
２１ ５ 反比例函数 ………………………………… ４３
阅读与思考 商品市场的均衡问题
……… ５０
２１ ６ 综合与实践 获取最大利润 ……………… ５２
小结·评价 …………………………………………… ５４
复习题
……………………………………… ５６
第 章 相似形
……………………… ６２
２２ １ 比例线段 …………………………………… ６３
阅读与欣赏 奇妙的黄金数
……………… ７３
２２ ２ 相似三角形的判定 ………………………… ７６
２２ ３ 相似三角形的性质 ………………………… ８７
１
目 录数学活动 矩形对角线穿过的小正方
形数
…………………………… ９２
２２ ４ 图形的位似变换 …………………………… ９５
阅读与思考 平面直角坐标系中图形的
位似变换
…………………… ９７
数学史话 出入相补原理
………………… １００
２２ ５ 综合与实践 测量与误差………………… １０２
小结·评价 ………………………………………… １０４
复习题
……………………………………… １０５
第 章 解直角三角形
…………… １１１
２３ １ 锐角的三角函数…………………………… １１２
２３ ２ 解直角三角形及其应用…………………… １２４
数学活动 问题出在哪里
………………… １３３
小结·评价 ………………………………………… １３４
复习题
……………………………………… １３５
附录 部分中英文词汇索引……………………… １４０
后记………………………………………………… １４１
２
目 录二次函数与反比例函数
二次函数
２１．１
二次函数的图象
２１．２
和性质
二次函数与一元
２１．３
二次方程
二次函数的应用
２１．４
反比例函数
２１．５
综合与实践 获
２１．６
取最大利润
，
!"#$%&’( ４０ ｍ )*+ ,"-.*/01
， ，
2)"3 4567． 8*9)12"3)/:(; ｘ ｍ
， ， ？
２
3<;Ｓ ｍ => Ｓ ? ｘ @ABCD)EFGH IJ*
， ？
9)"33?@．
书书书２１ ．
二次函数
１
问题 某水产养殖户用长 的围网，在水库中围
? ４０ ｍ
一块矩形的水面，投放鱼苗（图 ）要使围成的水面面
２１ １ ．
积最大，则它的边长应是多少米？
这个问题首先要找出围成的矩形水面面积与其边长之
图 ２１ １
间的关系
．
设围成的矩形水面的一边长为 ，那么，矩形水面的
ｘ ｍ
另一边长应为 （ ） 若它的面积是 ，则有
这里 的取 ２０ －ｘ ｍ． Ｓ ｍ２
ｘ
（ ）
值有什么限制？
Ｓ ＝ ｘ ２０ －ｘ ．
问题 有一玩具厂，如果安排装配工 人，那么每人
? １５
每天可装配玩具 个；如果增加人数，那么每增加 人，可
１９０ １
使每人每天少装配玩具 个 问增加多少人才能使每天装
１０ ．
配玩具总数最多？玩具总数最多是多少？
设增加 人，这时，则共有（ ）个装配工，每人每天
ｘ １５ ＋ｘ
可少装配 个玩具，因此，每人每天只装配（ ）个
１０ｘ １９０ －１０ｘ
玩具 所以，增加人数后，每天装配玩具总数 可表示为
． ｙ
（ ）（ ）
ｙ ＝ １９０ －１０ｘ １５ ＋ｘ ．
在问题 中，函数的表达式为
?
（ ）
Ｓ ＝ ｘ ２０ －ｘ
＝－ｘ２ ＋２０ｘ．
在问题 中，函数的表达式为
?
（ ）（ ）
ｙ ＝ １９０ －１０ｘ １５ ＋ｘ
＝－１０ｘ２ ＋４０ｘ ＋２８５０．
２
第 章 二次函数与反比例函数
２１这两个问题中，函数的表达式是自变量的二次式
．
一般地，表达式形如 （， ， 是常数，
ｙ ＝ ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ ａ ｂ ｃ
且 ）的函数叫做 的二次函数（ ），其
ａ ≠０ ｘ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎ
中 是自变量
ｘ ．
二次函数自变量的取值范围一般都是全体实数，但是在
实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义 如问题
．
中， ，因为矩形的两边之和是
? ０ ＜ ｘ ＜ ２０ ２０ ｍ．
设圆的半径为 ，请填空：
１ ｒ
（）这个圆的周长 ，它是 的 函数；
１ Ｃ ＝ ｒ
（）这个圆的面积 ，它是 的 函数
２ Ｓ ＝ ｒ ．
在下列表达式中，哪些是二次函数？
２
（）正常情况下，一个人在运动时每分所能承受的最高心跳次数 与这个人的年龄
１ ｂ ａ
之间的关系可表示为
（ ）；
ｂ ＝ ０８ ２２０ －ａ
（）圆锥的高为 ，它的体积 与底面半径 之间的关系可表示为
２ ｈ Ｖ ｒ
１ （ 为定值）；
Ｖ ＝ πｒ２ｈ ｈ
３
（）物体自由下落时，下落高度 与下落时间 之间的关系可表示为
３ ｈ ｔ
１ （ 为定值）；
ｈ ＝ ｇｔ２ ｇ
２
（）导线的电阻为 ，当导线中有电流通过时，电功率 与电流 之间的关系可表
４ Ｒ Ｐ Ｉ
示为
（ 为定值）
Ｐ ＝ ＲＩ２ Ｒ ．
３
二次函数
２１．１习题
２１． １
在下列表达式中，为自变量，问哪些是二次函数？
１ ｘ
， ， ，
ｙ ＝ ３ｘ２ －１ ｙ ＝ ５ｘ２ －２ｘ ｙ ＝－２ｘ２ ＋ｘ －１
， １ ， １ ， （ ）（ ）
ｙ ＝４ －ｘ３ ｙ ＝ ｙ ＝２ｘ２ ＋ ｙ ＝ ｘ －２ ２ｘ ＋１ ．
ｘ２ ｘ
正方形的边长为 ，如果边长增加 ，那么面积增加 ，求 与 之间的函数表
２ ５ ｘ ｙ ｙ ｘ
达式
．
长方体的长与宽均为 ，高为 ，求长方体表面积 与 之间的函数表达式
３ ｘ ８ Ｓ ｘ ．
从已知半径为 的圆板上挖掉一个半径为 （ ）的同心圆板，求所剩圆环面
４ Ｒ ｒ ｒ ＜ Ｒ
积 与 之间的函数表达式
Ｓ ｒ ．
在一块一边长为 、另一边长为 的矩形空地上修建花坛，如果在四周留出
５ ３５ ｍ ２０ ｍ
宽度为 的小路，中间花坛面积为 ，求 与 之间的函数表达式
ｘ ｍ ｙ ｍ２ ｙ ｘ ．
某商场今年一月份销售额为 万元，二、三月份平均每月销售增长率为 ，求三月
６ ５０ ｘ
份销售额 与 之间的函数表达式
ｙ ｘ ．
４
第 章 二次函数与反比例函数
２１２１．
二次函数的图象和性质
２
二次函数 的图象和性质
１． ｙ ＝ ａｘ２
一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形
状呢？它又有什么性质？
下面我们先来研究最简单的二次函数
ｙ ＝ ｘ２．
例 画出二次函数 的图象
１ ｙ ＝ ｘ２ ．
解 列表：由于自变量 可以取任意实数，因此以 为
ｘ ０
中心选 的一些值列表
ｘ ．
… …
ｘ －３ －２ －１ ０ １ ２ ３
… …
ｙ＝ｘ２ ９ ４ １ ０ １ ４ ９
描点：根据上表中各列 ， 的数值在平面直角坐标系
ｘ ｙ
描点后，相
中描点（， ）
ｘ ｙ ． 邻两点间能用
连线：用平滑曲线顺次连接各点，得二次函 数 的
ｙ ＝ ｘ２ 线段连接吗？
图 ２１ ２
５
二次函数的图象和性质
２１．２图象，如图
２１ ２．
观察二次函数 的图象（图 ），回答下
ｙ ＝ｘ２ ２１ ２
列问题
．
（）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴
１
是什么？
（）图象有最低点吗？如果有，最低点的坐标是
２
什么？
（）当 时，随着 的增大，函数 如何变
３ ｘ ＜ ０ ｘ ｙ
化？当 时呢？
ｘ ＞ ０
从上述观察中，我们可以看到，函数 的图象是一
ｙ ＝ ｘ２
条关于 轴对称的曲线，我们把这条曲线叫做抛物线
ｙ
（ ）函数 的图象可以简称为抛物线
ｐａｒａｂｏｌａ ． ｙ ＝ ｘ２ ｙ ＝ ｘ２．
由图 可知：抛物线 的开口向上； 轴（直
２１ ２ ｙ ＝ ｘ２ ｙ
线 ）是它的对称轴；对称轴与抛物线的交点是抛物线
ｘ ＝ ０
的顶点，顶点的坐标为（， ）
０ ０ ．
从图上看，抛物线 的顶点也是图象的最低点，也
ｙ ＝ ｘ２
就是说，当 时，对应的 均大于 ；当 时，对应的
ｘ≠０ ｙ ０ ｘ ＝ ０
是该函数的最小函数值（这时可记作 ）
ｙ ＝ ０ ｙ最小值 ＝ ０ ．
还可以看到，在 轴左侧，抛物线是下降的，即当
ｙ ｘ ＜ ０
时，随着 的增大，函数 减小；在 轴右侧，抛物线是上升
ｘ ｙ ｙ
的，即当 时，随着 的增大，函数 也增大
ｘ ＞ ０ ｘ ｙ ．
例 在同一平面直角坐标系中，画出函数 １ 、
２ ｙ ＝ ｘ２
２
的图象
ｙ ＝ ２ｘ２ ．
解 列表：
６
第 章 二次函数与反比例函数
２１… …
ｘ －４ －３ －２ －１ ０ １ ２ ３ ４
１ … …
ｙ＝ ｘ２ ８ ４５ ２ ０５ ０ ０５ ２ ４５ ８
２
… …
ｘ －２ －１５ －１ －０５ ０ ０５ １ １５ ２
… …
ｙ＝２ｘ２ ８ ４５ ２ ０５ ０ ０５ ２ ４５ ８
描点、连线，即得这两个函数的图象，如图
２１ ３．
图 ２１ ３
观察二次函数 １ 和 的图象，分
１． ｙ ＝ ｘ２ ｙ ＝２ｘ２
２
别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；再指出
图象有最高点还是有最低点？图象何时上升、下降？
你能根据函数 、 １ 和 的
２． ｙ ＝ ｘ２ ｙ ＝ ｘ２ ｙ ＝２ｘ２
２
图象的共同特点，总结出二次函数 （ ）的
ｙ ＝ａｘ２ ａ ＞０
性质吗？
７
二次函数的图象和性质
２１．２二次函数 （ ）
ｙ ＝ ａｘ２ ａ ＞０
图象的形状 图象的特点 函数的性质
向 轴左右方向无限 自变量 的取值范围是全
ｘ ｘ
１ 延伸 体实数
是轴对称图形，对称轴 对于 和 可得到相同
ｘ －ｘ
（ ） ２ 是 轴 的函数
ｙ ＝ ａｘ２ ａ ＞０ ｙ ｙ
当 时，函数 随 的
ｘ ＜０ ｙ ｘ
在 轴左侧是下降的， 增大而减小；
ｙ
３ 在 轴右侧是上升的 当 时，函数 随 的
ｙ ｘ ＞０ ｙ ｘ
增大而增大
顶点就是原点（， ），
０ ０ 当 时，函数取得最小
顶点是图象的最低点 开 ｘ ＝０
． 值， ，且 没有最大
４ 口向上，图象向上无限 ｙ最小值 ＝０ ｙ
值，即
延伸 ｙ≥０
仿例 、例 在同一平面直角坐标系中，画出函
３ １ ２
数 、 １ 和 的图象，分别指出
ｙ ＝ － ｘ２ ｙ ＝ － ｘ２ ｙ ＝ － ２ｘ２
２
它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；再指出图象有最
高点还是最低点？图象何时上升、下降？
列表：
… …
ｘ －３ －２ －１ ０ １ ２ ３
… …
ｙ ＝－ｘ２ －９ －４ －１ ０ －１ －４ －９
… …
ｘ －４ －３ －２ －１ ０ １ ２ ３ ４
１ … …
ｙ ＝－ ｘ２
２
… …
ｘ －２ －１．５ －１ －０．５ ０ ０．５ １ １．５ ２
… …
ｙ ＝－２ｘ２
描点、连线，得这三个函数的图象（图 ）
２１ ４ ．
８
第 章 二次函数与反比例函数
２１图 ２１ ４
根据函数 、 １ 和 的图象
４ ｙ ＝－ｘ２ ｙ ＝－ ｘ２ ｙ ＝－２ｘ２
２
特点，仿照上面的表格，总结出二次函数 （ ）
ｙ ＝ ａｘ２ ａ ＜ ０
的性质
．
二次函数 （ ）
ｙ ＝ ａｘ２ ａ ＜ ０
图象的形状 图象的特点 函数的性质
（ ）
ｙ ＝ ａｘ２ ａ ＜０ １
２
３
４
分别比较函数 与 、 １ 与
５ ｙ ＝ ｘ２ ｙ ＝－ｘ２ ｙ ＝ ｘ２ ｙ ＝
２
１ 、 与 的图象，指出它们之间相同与
－ ｘ２ ｙ ＝ ２ｘ２ ｙ ＝－２ｘ２
２
不同之处
．
９
二次函数的图象和性质
２１．２当 时，函数 的图象与 时
１． ａ ＞ ０ ｙ ＝ ａｘ２ ａ ＜ ０
有什么不同？
的大小对函数 的图象的开口大
２． ｜ ａ ｜ ｙ ＝ ａｘ２
小有什么影响？
一般地，二次函数 的图象都是抛物线，因此，二
ｙ ＝ ａｘ２
次函数 的图象可以简称为抛物线
ｙ ＝ ａｘ２ ｙ ＝ ａｘ２．
（）在同一平面直角坐标系中，画出函数 １ 、 １ 、 、
１． １ ｙ ＝ ｘ２ ｙ ＝－ ｘ２ ｙ ＝ ３ｘ２ ｙ ＝－３ｘ２
３ ３
的图象；
（）观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴；
２
（）说出各图象中的最高点或最低点的坐标；
３
（）说明各函数图象在对称轴两侧部分，函数 随 增大而变化的情况
４ ｙ ｘ ．
在下列抛物线中，开口最大、最小的各是哪一个？
２．
１ 、 １ 、 ５ 、 （ 槡）
ｙ ＝－ ｘ２ ｙ ＝ － ｘ２ ｙ ＝ ｘ２ ｙ ＝ ２ ＋ ２ ｘ２．
３ ２ ３
在同一平面直角坐标系中，下列各组中两个函数的图象有怎样的位置关系？
３．
（） 与 ；
１ ｙ ＝－２ｘ２ ｙ ＝ ２ｘ２
（） 与 ；
２ ｙ ＝ ３ｘ２ ｙ ＝－３ｘ２
（） 与
３ ｙ ＝ ａｘ２ ｙ ＝－ａｘ２．
画出函数 的图象，并根据图象求：
４ ｙ ＝ ｘ２
（）当 ， 时的 值（精确到 ）；
１ ｘ ＝ ２ －１７ ｙ ０．１
（）当 ， 时的 值（精确到 ）；
２ ｙ ＝ ２ ５８ ｘ ０．１
（）图象上最低点的坐标
３ ．
１０
第 章 二次函数与反比例函数
２１二次函数 的图象经过点（， ）
５． ｙ ＝ ａｘ２ ２ －２ ．
（）求这个函数的表达式；
１
（）当 为何值时，函数 随 的增大而增大？
２ ｘ ｙ ｘ
二次函数 的图象和性质
２． ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ
问题 在同一平面直角坐标系中，怎样画出函数
?
、 和 的图象？
ｙ ＝ ２ｘ２ ｙ ＝ ２ｘ２ ＋１ ｙ ＝ ２ｘ２ －１
列表：
… ３ １ １ ３ …
ｘ －２ － －１ － ０ １ ２
２ ２ ２ ２
… …
ｙ ＝２ｘ２
… …
ｙ ＝２ｘ２ ＋１
… …
ｙ ＝２ｘ２ －１
描点、连线，即得各函数的图象（请补全上述表格和图
）
２１ ５ ．
图 ２１ ５
１１
二次函数的图象和性质
２１．２观察 、 和 三个
ｙ ＝ ２ｘ２ ｙ ＝ ２ｘ２ ＋１ ｙ ＝ ２ｘ２ －１
函数的图象（图 ），回答下列问题
２１ ５ ．
（）这三个函数图象的开口方向如何？顶点坐
１
标、对称轴分别是什么？
（）对于同一个 ，这三个函数对应的 之间
２ ｘ ｙ
有什么关系？这三个函数的图象在位置上有什么
关系？
（）当 分别取何值时，这三个函数取得最小
３ ｘ
值？最小值分别是多少？
由图象可知，抛物线 与 的形状、开口
ｙ ＝ ａｘ２ ＋ｋ ｙ ＝ ａｘ２
大小和开口方向相同，只是位置不同 抛物线 可
． ｙ ＝ ａｘ２ ＋ｋ
由抛物线 沿 轴方向平移 个单位得到，当
ｙ ＝ ａｘ２ ｙ ｜ ｋ ｜ ｋ ＞ ０
时，向上平移；当 时，向下平移
ｋ ＜ ０ ．
在同一平面直角坐标系中，画出函数 １ 、 １ 和 １ 的
１ ｙ ＝－ ｘ２ ｙ ＝－ ｘ２ －１ ｙ ＝－ ｘ２ ＋１
２ ２ ２
图象
．
（）填表：
１
… …
ｘ
１ … …
ｙ ＝－ ｘ２
２
１ … …
ｙ ＝－ ｘ２ －１
２
１ … …
ｙ ＝－ ｘ２ ＋１
２
１２
第 章 二次函数与反比例函数
２１（）描点、连线：
２
（第１ 题）
观察第 题所画的图象，并填空：
２ １
（）抛物线 １ 的开口方向是 ，顶点坐标是（ ， ），对称轴
１ ｙ ＝－ ｘ２ －１
２
是 ，抛物线 １ 可由抛物线 １ 向 平移
ｙ ＝－ ｘ２ －１ ｙ ＝－ ｘ２
２ ２
个单位得到；
（）对于函数 １ ，当 时，函数 随 的增大而 ；当 时，函
２ ｙ ＝－ ｘ２ ＋１ ｘ ＞０ ｙ ｘ ｘ ＜０
２
数 随 的增大而 ；
ｙ ｘ
（）对于函数 １ ，当 时，函数取得最 值，
３ ｙ ＝－ ｘ２ ｘ ＝ ｙ最 ＝
２
；
对于函数 １ ，当 时，函数取得最 值，
ｙ ＝－ ｘ２ －１ ｘ ＝ ｙ最 ＝
２
；
对于函数 １ ，当 时，函数取得最 值，
ｙ ＝－ ｘ２ ＋１ ｘ ＝ ｙ最 ＝
２
．
将抛物线 向上平移 个单位后得到新抛物线，其对应的函数表达式是什么？
３． ｙ ＝ ３ｘ２ ２
１３
二次函数的图象和性质
２１．２问题 在同一平面直角坐标系中，怎样画出函数
?
、 （ ） 和 （ ） 的图象？
ｙ ＝ ｘ２ ｙ ＝ ｘ －１ ２ ｙ ＝ ｘ ＋１ ２
填表：
… …
ｘ －３ －２ －１ ０ １ ２ ３
… …
ｙ ＝ ｘ２
（ ） … …
ｙ ＝ ｘ －１ ２
（ ） … …
ｙ ＝ ｘ ＋１ ２
描点、连线，即得各函数的图象（请补全上述表格和图
）
２１ ６ ．
图 ２１ ６
观察 、 （ ） 和 （ ） 三
ｙ ＝ ｘ２ ｙ ＝ ｘ －１ ２ ｙ ＝ ｘ ＋１ ２
个函数的图象（图 ），回答下列问题
２１ ６ ．
（）这三个函数图象的开口方向如何？顶点坐
１
标、对称轴分别是什么？
（）对于同一个 值，这三个函数对应的 值
２ ｙ ｘ
之间有什么关系？这三个函数的图象在位置上有什
么关系？
１４
第 章 二次函数与反比例函数
２１（）当 分别取何值时，这三个函数取得最小
３ ｘ
值？最小值分别是多少？
由图象可知，抛物线 （ ）与 的形状、
ｙ ＝ ａ ｘ ＋ｈ ２ ｙ ＝ ａｘ２
开口 大 小 和 开 口 方 向 相 同，只 是 位 置 不 同 抛 物 线
．
（ ）可由抛物线 沿 轴方向平移 个单
ｙ ＝ ａ ｘ ＋ｈ ２ ｙ ＝ａｘ２ ｘ ｜ ｈ ｜
位得到，当 时，向左平移；当 时，向右平移
ｈ ＞ ０ ｈ ＜ ０ ．
在同一平面直角坐标系中，画出函数 １ 、 １ （ ）和 １ （ ）
１ ｙ＝－ ｘ２ ｙ ＝－ ｘ ＋２ ２ ｙ ＝－ ｘ －２ ２
３ ３ ３
的图象
．
（）填表：
１
… …
ｘ
１ … …
ｙ ＝－ ｘ２
３
１ （ ） … …
ｙ ＝－ ｘ ＋２ ２
３
１ （ ） … …
ｙ ＝－ ｘ －２ ２
３
（）描点、连线：
２
（第１ 题）
１５
二次函数的图象和性质
２１．２观察第 题所画的图象，并填空：
２ １
抛物线 １ （ ）的开口方向是 ，顶点坐标是（ ， ），对称轴是
ｙ ＝－ ｘ ＋２ ２
３
当 时，函数 随 的增大而增大；当 时，函数 随 的
． ｘ ｙ ｘ ｘ ｙ ｘ
增大而减小 抛物线 １ （ ） 可由抛物线 １ 向 平移
． ｙ ＝－ ｘ ＋２ ２ ｙ ＝－ ｘ２
３ ３
个单位得到
．
当 时，抛物线 （ ）的开口方向是 ，顶点坐标是（ ， ），
３ ａ ＞０ ｙ ＝ａ ｘ ＋ｈ ２
对称轴是 当 时，函数 （ ）取得最 值，
． ｘ ＝ ｙ ＝ａ ｘ ＋ｈ ２ ｙ最 ＝
．
当 时，抛物线 （ ）的开口方向是 ，顶点坐标是（ ， ），
ａ ＜０ ｙ ＝ ａ ｘ ＋ｈ ２
对称轴是 当 时，函数 （ ） 取得最 值，
． ｘ ＝ ｙ ＝ ａ ｘ ＋ｈ ２ ｙ最 ＝
．
抛物线 （ ） 可由抛物线 怎样平移后得到？
４． ｙ ＝ ４ ｘ －１ ２ ｙ ＝ ４ｘ２
抛物线 （ ） 的顶点为（ ，），形状与抛物线 相同，但开口方向
５． ｙ ＝ ａ ｘ ＋ｂ ２ －２ ０ ｙ ＝ ５ｘ２
相反
．
（）求抛物线对应的函数表达式；
１
（）求抛物线与 轴交点坐标
２ ｙ ．
问题 怎样画出函数 １ （ ） 的图象？
? ｙ ＝ ｘ －２ ２ ＋１
２
我们已经知道二次函数 、 （ ）的图
ｙ ＝ ａｘ２ ＋ｋ ｙ ＝ ａ ｘ ＋ｈ ２
象与 的图象之间的关系，因此本题在描点画图前，不
ｙ ＝ ａｘ２
妨先将函数 １ （ ） 与 １ （ ）作一比较
ｙ ＝ ｘ －２ ２ ＋１ ｙ ＝ ｘ －２ ２ ．
２ ２
对于每一个给定的 值，函数 １ （ ） 的值都
ｘ ｙ ＝ ｘ －２ ２ ＋１
２
要比函数 １ （ ） 的值大 由此可见，函数
ｙ ＝ ｘ － ２ ２ １．
２
１ （ ） 的图象可由抛物线 １ （ ）向上
ｙ ＝ ｘ －２ ２ ＋１ ｙ ＝ ｘ －２ ２
２ ２
１６
第 章 二次函数与反比例函数
２１平移 个单位得到
１ ．
再由前面的研究可知，抛物线 １ （ ）可由抛物
ｙ ＝ ｘ －２ ２
２
线 １ 向右平移 个单位得到
ｙ ＝ ｘ２ ２ ．
２
因此，函数 １ （ ） 的图象可由抛物线
ｙ ＝ ｘ －２ ２ ＋１
２
１ 向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到，如图
ｙ ＝ ｘ２ ２ １
２
２１ ７．
图 ２１ ７
抛物线 １ （ ） 的开口方向是 ，顶点坐标是（ ， ），对称轴
１ ｙ ＝ ｘ －１ ２ －１
２
是 当 时，函数 随 的增大而增大；当 时，函数
． ｘ ｙ ｘ ｘ
随 的 增大而减小；当 时，函数取得最 值，
ｙ ｘ ｘ ＝ ｙ最 ＝ ．
仿照上题内容，讨论二次函数 （ ） 的图象特点
２ ｙ ＝ ａ ｘ ＋ｈ ２ ＋ｋ ．
１７
二次函数的图象和性质
２１．２通过前面几个问题的探究，我们已经熟悉了二
次函数 （ ） 的图象特点，你认为怎样画
ｙ ＝ ａ ｘ ＋ｈ ２ ＋ｋ
函数 的图象较简便？
ｙ ＝－２ｘ２ －８ｘ －７
我们可以先将这个函数的表达式配方，得
ｙ ＝－２ｘ２ －８ｘ －７
（ ）
＝－２ ｘ２ ＋４ｘ －７
（ ）
＝－２ ｘ２ ＋４ｘ ＋４ －７ ＋８
（ ）
＝－２ ｘ ＋２ ２ ＋１．
可见，函数 的图象是一条开口向下的
ｙ ＝－２ｘ２ －８ｘ －７
抛物线，顶点坐标是（ ， ），对称轴是直线
－２ １ ｘ ＝－２．
列表时，自
变量 为什么只
ｘ 根据图象的对称性列表：
取大 于 或 等 于
的值？
－２
… ３ １ …
ｘ －２ － －１ － ０
２ ２
（ ） … １ ７ …
ｙ ＝－２ ｘ ＋２ ２ ＋１ １ －１ － －７
２ ２
描点、连线：根据上表描点，并由函数图象的对称性画出
它们关于直线 的对称点，用平滑曲线顺次连接各点，即
ｘ ＝－２
得函数 的图象，如图
ｙ ＝－２ｘ２ －８ｘ －７ ２１ ８．
１８
第 章 二次函数与反比例函数
２１图 ２１ ８
一般的二次函数 的图象特点是
ｙ ＝ ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ
怎样的？从中可看出函数有哪些性质？
如果将这个函数的表达式配方，则有
ｙ ＝ ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ
（ ）
＝ ａ ＋
（ ）
＝ａ ２ ＋ ．
因而，可得二次函数 的图象和性质如下：
ｙ ＝ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ
函数
ｙ＝ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ ａ ＞０ ａ ＜０
函数图象
１９
二次函数的图象和性质
２１．２（续表）
函数
ｙ＝ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ ａ ＞０ ａ ＜０
抛物线开口方向 抛物线的开口向 抛物线的开口向
抛物线顶点坐标 顶点坐标是（ ， ） 顶点坐标是（ ， ）
抛物线对称轴 对称轴是直线 对称轴是直线
ｘ ＝ ｘ＝
当 ｂ 时，函数 随 的 当 ｂ 时，函数 随 的
ｘ ＞－ ｙ ｘ ｘ ＞－ ｙ ｘ
２ａ ２ａ
增大而 ； 增大而 ；
函数增减情况
当 ｂ 时，函数 随 的 当 ｂ 时，函数 随 的
ｘ ＜－ ｙ ｘ ｘ ＜－ ｙ ｘ
２ａ ２ａ
增大而 增大而
当 ｂ 时，函数取得最小 当 ｂ 时，函数取得最大
函数最大值或最小值 ｘ＝ － ｘ＝ －
２ａ ２ａ
值， 值，
ｙ最小值 ＝ ｙ最大值 ＝
用配方法把下列函数的表达式化成 （ ） 的形式，并指出抛物线的开口方
１ ｙ ＝ａ ｘ ＋ｈ ２ ＋ｋ
向、顶点坐标和对称轴，然后再用描点法画出函数图象
．
（） ； （） ；
１ ｙ ＝ ２ｘ２ ＋８ｘ ＋５ ２ ｙ ＝－３ｘ２ ＋６ｘ
（） １ ； （） （ ）（ ）
３ ｙ ＝ ｘ２ ＋２ｘ －１ ４ ｙ ＝ ２ －ｘ ２ｘ ＋１ ．
３
将函数 １ ５ 化成 （ ） 的形式是 ，
２ ｙ ＝－ ｘ２ ＋３ｘ － ｙ ＝ ａ ｘ ＋ｈ ２ ＋ｋ
２ ２
其对应的抛物线的开口方向是 ，顶点坐标是（ ， ），对称轴是
当 时，函数取得最 值，
． ｘ ＝ ｙ最 ＝ ．
抛物线 １ ５ 可由抛物线 １ 向 平移 个单位，再向
ｙ ＝ － ｘ２ ＋３ｘ － ｙ ＝－ ｘ２
２ ２ ２
平移 个单位得到
．
２０
第 章 二次函数与反比例函数
２１抛物线 的最低点坐标是（ ， ），可由抛物线 向 平移
３． ｙ ＝３ｘ２ －５ｘ ｙ ＝３ｘ２
个单位，再向 平移 个单位得到 当 时，函数 随 的增大而
． ｘ ｙ ｘ
减小；当 时，函数 随 的增大而增大；当 时，函数取得
ｘ ｙ ｘ ｘ ＝
最 值，
ｙ最 ＝ ．
函数 的图象可由下列哪个函数的图象向右平移 个单位，向下平移 个单
４． ｙ ＝ ｘ２ －１ １ ２
位得到（ ）
．
（ ） （ ） （ ） （ ）
Ａ ｙ ＝ ｘ －１ ２ ＋１ Ｂ ｙ ＝ ｘ ＋１ ２ ＋１
（ ） （ ） （ ） （ ）
Ｃ ｙ ＝ ｘ －１ ２ －３ Ｄ ｙ ＝ ｘ ＋１ ２ ＋３
已知抛物线 的顶点在直线 上，求抛物线的顶点坐标
５． ｙ ＝ ｘ２ －４ｘ ＋ａ ｙ ＝ －４ｘ －１ ．
二次函数表达式的确定
３．
我们知道，当给出一次函数图象上两点的坐标时，就可
以求出这个一次函数的表达式 那么，对于二次函数，需要什
．
么条件，才可以求出它的表达式呢？
例 已知一个二次函数的图象经过（ ， ），
３ －１ １０
（， ），（， ）三点，求这个二次函数的表达式
１ ４ ２ ７ ．
解 设所求二次函数的表达式为 ，由已
ｙ ＝ ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ
知函数图象经过（ ， ），（， ），（， ）三点，得
－１ １０ １ ４ ２ ７
，
ａ －ｂ ＋ｃ ＝ １０
，
ａ ＋ｂ ＋ｃ ＝ ４
４ａ ＋２ｂ ＋ｃ ＝ ７．
解方程组，得
，
ａ ＝ ２
，
ｂ ＝－３
ｃ ＝ ５．
答：所求二次函数的表达式为
ｙ ＝ ２ｘ２ －３ｘ ＋５．
２１
二次函数的图象和性质
２１．２例 有一个二次函数，当 时， ；当
４ ｘ ＝ ０ ｙ ＝ －１
时， ；当 １ 时， ，求这个二次函数的表
ｘ ＝－２ ｙ ＝ ０ ｘ ＝ ｙ ＝ ０
２
达式
．
解 设所求二次函数的表达式为 ，根据
ｙ ＝ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ
题意，得
，
ｃ ＝－１
，
４ａ －２ｂ ＋ｃ ＝ ０
１ １
ａ ＋ ｂ ＋ｃ ＝ ０．
４ ２
解方程组，得
，
ａ ＝ １
３ ，
ｂ ＝
２
ｃ ＝－１．
答：所求二次函数的表达式为 ３
ｙ ＝ ｘ２ ＋ ｘ －１．
２
例 抛物线 １ 与直线 １ 交于
５ ｙ ＝ ｘ２ －４ｘ ＋８ ｙ ＝ ｘ ＋１
２ ２
， 两点
Ｂ Ｃ ．
（）在同一平面直角坐标系中画出直线与抛物线；
１
（）记抛物线的顶点为 ，求 的面积
２ Ａ ＡＢＣ ．
解 （）如图 ，画出直线 １ 与抛物线
１ ２１ ９ ｙ ＝ ｘ ＋１
２
１
ｙ ＝ ｘ２ －４ｘ ＋８．
２
图 ２１ ９
２２
第 章 二次函数与反比例函数
２１（）由 １ １ （ ），得点 的坐标
２ ｙ ＝ ｘ２ －４ｘ ＋８ ＝ ｘ －４ ２ Ａ
２ ２
为（， ）
４ ０ ．
解方程组
１ ，
ｙ ＝ ｘ ＋１
２
１ ，
ｙ ＝ ｘ２ －４ｘ ＋８
２
得 ， 两点的坐标为
Ｂ Ｃ
（， ）， （， ）
Ｂ ２ ２ Ｃ ７ ４．５ ．
过 ， 两点分别作 轴垂线，垂足为 ， ，则
Ｂ Ｃ ｘ Ｂ Ｃ
１ １
Ｓ ＝ Ｓ梯形 －Ｓ －Ｓ
ＡＢＣ ＢＢ Ｃ Ｃ ＡＢＢ ＡＣＣ
１ １ １ １
１ （ ） １ ·
＝ ＢＢ ＋ＣＣ Ｂ Ｃ － ＡＢ ＢＢ
２ １ １ １ １ ２ １ １
１ ·
－ ＡＣ ＣＣ
２ １ １
１ （ ） １ １
＝ ２ ＋４．５ ×５ － ×２ ×２ － ×３ ×４．５
２ ２ ２
＝ ７．５．
已知一个二次函数的图象经过（， ），（ ， ），（， ）三点，求这个二次函数的表
１ ０ ０ －１ －１１ １ ９
达式
．
函数 与 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
２． ｙ ＝ ａｘ２ ＋ｂｘ ｙ ＝ ａｘ ＋ｂ ．
直线 与抛物线 的交点为 ， 两点，求 的面积
３． ｙ ＝ ２ｘ ＋３ ｙ ＝ ｘ２ Ａ Ｂ ＯＡＢ ．
２３
二次函数的图象和性质
２１．２用《几何画板》研究二次函数的图象
《几何画板》可以方便地作出二次函数的图象，下面，我们
就用它来研究二次函数的图象变化
．
作函数 （ ） （ ）的图象，研究 ，，的
ｙ ＝ ａ ｘ ＋ｈ ２ ＋ｋ ａ≠０ ａ ｈ ｋ
变化对函数图象的影响 操作步骤如下：
．
（）打开《几何画板》，选择“数据”菜单中的“新建参数”命
１
令（图 ），在弹出的“新建参数”对话框中，将“名称”框改
２１ １０
为“”（图 ），点击“确定”按钮，得到参数 同理，可得参
ａ ２１ １１ ａ．
数 ，
ｈ ｋ．
图 ２１ １０ 图 ２１ １１
图 ２１ １２ 图 ２１ １３
２４
第 章 二次函数与反比例函数
２１（）同时选中参数 ，，，选择“绘图”菜单中的“绘制新函数”
２ ａ ｈ ｋ
命令（图 ），在弹出的“新建函数”对话框中，根据说明新建表
２１ １２
达式“ （ ） ”（图 ），点击“确定”按钮，就可以
ａ ｘ ＋ｈ ∧２ ＋ｋ ２１ １３
得到二次函数 （） （ ） 及其图象（图 ）
ｆ ｘ ＝ ａ ｘ ＋ｈ ２ ＋ｋ ２１ １４ ．
图 ２１ １４
（）选中参数 ，选择“编辑”菜单的“操作类按钮”子菜单
３ ａ
中的“动画”命令（图 ），在弹出的“操作类按钮动画参
２１ １５
数”对话框中，选择“动画”选项卡，将“范围”框改为“ 到 ”
－３ ３
（图 ），选择“标签”选项卡，将“标签”框改为“参数 变
２１ １６ ａ
化”（图 ），点击“确定”按钮，得到参数 从 到 变化
２１ １７ ａ －３ ３
的动画按钮 同理，可得参数 和 分别从 到 变化的动画
． ｈ ｋ －３ ３
按钮（图 ）
２１ １８ ．
图 ２１ １５ 图 ２１ １６
２５
二次函数的图象和性质
２１．２图 ２１ １７ 图 ２１ １８
分别点击“参数 变化”“参数 变化”和“参数 变化”，观
ａ ｈ ｋ
察随着 ，，的变化，图象分别怎样变化？你能得到什么结论？
ａ ｈ ｋ
习题
２１． ２
选择：
１
（）如果直线 经过第一、二、三象限，那么
１ ｙ ＝ ａｘ ＋３
抛物线 的开口方向是（ ）；
ｙ ＝ ａｘ２
（ ）向上 （ ）向左
Ａ Ｂ
（ ）向下 （ ）向右
Ｃ Ｄ
（）如图，根据图象提供的信息，下列结论正确的
２
是（ ）；
（ ） （ ）
Ａ ａ ＞ａ ＞ａ ＞ａ Ｂ ａ ＜ａ ＜ａ ＜ａ
１ ２ ３ ４ １ ２ ３ ４
（ ） （ ）
Ｃ ａ ＞ａ ＞ａ ＞ａ Ｄ ａ ＞ａ ＞ａ ＞ａ ［第１（２）题］
４ １ ２ ３ ２ ３ １ ４
（）如果点（， ）在抛物线 上，那么下列各
３ ａ ｂ ｙ ＝－ｘ２
点中一定在该抛物线上的是（ ）
．
（ ）（ ， ） （ ）（ ， ）
Ａ －ａ －ｂ Ｂ －ａ ｂ
（ ）（， ） （ ）（， ）
Ｃ ａ －ｂ Ｄ ｂ ａ
２６
第 章 二次函数与反比例函数
２１已知： ３ ， ５
２ ｙ ＝ ｘ２ ｙ ＝ ｘ２．
１ ２ １ ２ ２ ２
（）当 时， 比 大（或小）多少？
１ ｘ ＝ ｘ ＝ ２ ｙ ｙ
１ ２ １ ２
（）当 时， 比 大（或小）多少？
２ ｙ ＝ ｙ ＝ ２ ｜ ｘ ｜ ｜ ｘ ｜
１ ２ １ ２
如图，一边长为 的正三角形 的三个顶点均在一
３． ２ ＡＢＯ
抛物线上， 为坐标原点，求此抛物线对应的函数表
Ｏ
达式
．
在同一平面直角坐标系中，分别画出下列各组二次函数的
４
图象，并写出它们的对称轴和顶点坐标：
（） １ 与 １ ；
１ ｙ ＝ ｘ２ ＋３ ｙ ＝ ｘ２ －３
２ ２
（） １ （ ） 与 １ （ ）； （第３ 题）
２ ｙ ＝－ ｘ ＋２ ２ ｙ ＝－ ｘ －２ ２
３ ３
（） １ （ ） 与 １ （ ）
３ ｙ ＝ ｘ ＋２ ２ －３ ｙ ＝ ｘ －２ ２ ＋３．
３ ３
通过配方，写出下列抛物线的对称轴和顶点坐标：
５
（） ；
１ ｙ ＝ ｘ２ ＋３ｘ －２
（） ；
２ ｙ ＝ １ －６ｘ －ｘ２
（） ；
３ ｙ ＝ ３ｘ２ －２ｘ ＋４
（） １
４ ｙ ＝－ ｘ２ －２ｘ ＋７．
２
先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再画图，并指出当 为何值
６ ｘ
时，二次函数取得最大值或最小值，最大值或最小值分别是多少？
（） ；
１ ｙ ＝ ２ｘ２ －３ｘ ＋１
（）
２ ｙ ＝－２ｘ２ －８ｘ ＋３．
填空：
７
（）函数 （ ） ，当 时，函数 随 的增大而增大；
１ ｙ ＝ ２ｘ ＋１ ２ ＋１ ｘ ＞ ｙ ｘ
（）函数 ，当 时，函数 随 的增大而减小
２ ｙ ＝－２ｘ２ ＋ ｘ －４ ｘ ＞ ｙ ｘ ．
已知点 （ ， ），（ ， ），（， ）在抛物线 上，试比较
８ Ａ －４ ｙ Ｂ －３ ｙ Ｃ ２ ｙ ｙ ＝ －ｘ２ －４ｘ ＋５
１ ２ ３
， ， 的大小
ｙ ｙ ｙ ．
１ ２ ３
有一个二次函数，当 时，函数的最小值为 ，它的图象经过点（， ），求
９ ｘ ＝－１ －３ １ ５
这个二次函数的表达式
．
２７
二次函数的图象和性质
２１．２平移二次函数 的图象，使它满足下列条件，并分别求对应的函数表
１０ ｙ ＝ ａｘ２
达式：
（）顶点为 （ ， ），且经过点 （， ）；
１ Ａ －１ －２ Ｂ １ １０
（）对称轴为直线 ，最大值为 ，且经过点 （， ）
２ ｘ ＝ ３ －１ Ｃ ４ －３ ．
如图，二次函数 的图象经过坐标原点
１１ ｙ ＝ａｘ２ －４ｘ ＋ｃ
，并与 轴交于点 （ ， ）
Ｏ ｘ Ａ －４ ０ ．
（）求此二次函数的表达式；
１
（）已知在抛物线上存在点 ，且 ，请直接
２ Ｐ Ｓ ＝ ８
ＡＯＰ
写出点 的坐标
Ｐ ．
将抛物线 先向上平移 个单位，再向
１２． ｙ ＝ ｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ ２
左平移 个单位，得到抛物线 ，求 ，的值 （第１１ 题）
４ ｙ ＝ｘ２ ｂ ｃ ．
已知抛物线
１３． ｙ ＝ －ｘ２ －４ｘ ＋５．
（）求与已知抛物线关于 轴对称的图象所对应的函数表达式；
１ ｘ
（）求与已知抛物线关于 轴对称的图象所对应的函数表达式
２ ｙ ．
抛物线 经过点 （， ）， （， ）
１４ ｙ ＝ ｘ２ ＋ｂｘ －ｃ Ａ ３ ０ Ｂ ０ －３ ．
（）求这个抛物线对应的函数表达式；
１
（）记抛物线的顶点为 ，抛物线与 轴的另一个交点为 ，设 为抛物线上一
２ Ｄ ｘ Ｃ Ｐ
动点，求使 时点 的坐标
Ｓ ＝ ３Ｓ Ｐ ．
ＰＡＣ ＤＡＣ
如图，在平面直角坐标系中， 是坐标原点，点 的坐标是（ ，），过点 作
１５ Ｏ Ａ －２ ４ Ａ ＡＢ
垂直于 轴，垂足为 ，连接 若抛物线 经过点 ，则完成下
ｙ Ｂ ＯＡ． ｙ ＝－ｘ２ －２ｘ ＋ｃ Ａ
列要求：
（）求 的值；
１ ｃ
（）将抛物线向下平移 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在 的
２ ｍ ＯＡＢ
内部（不包括 的边界），求 的取值范围（可直接写出答案）
ＡＯＢ ｍ ．
（第１５ 题） （第１６ 题）
２８
第 章 二次函数与反比例函数
２１已知抛物线 （ ）的对称轴为直线 ，且抛物线经过点
１６ ｙ ＝ ａｘ２ ＋ｂｘ －３ ａ ≠０ ｘ ＝ １
（ ， ），它与 轴的另一交点为 ，与 轴的交点为
Ａ －１ ０ ｘ Ｂ ｙ Ｃ．
（）求这条抛物线所对应的函数表达式；
１
（）在直线 上求点 ，使 的周长最小，并求出 的周长
２ ｘ ＝ １ Ｍ ＡＭＣ ＡＭＣ ．
２９
二次函数的图象和性质
２１．２２１．
二次函数与一元二次方程
３
在第 章中，我们通过观察一次函数的图象，研究了一
１２
次函数与一次方程、一次不等式之间的关系 例如，对于图
．
中的一次函数 的图象，它与 轴的交点坐
２１ １９ ｙ ＝ ２ｘ －３ ｘ
标是 ( ３ ， ) ，即当 ３ 时， ，也就是交点的横坐标
０ ｘ ＝ ｙ ＝ ０
２ ２
３ 为一元一次方程 的根；当 ３ 时，图象
ｘ ＝ ２ｘ －３ ＝ ０ ｘ ＞
２ ２
在 轴上方，即 ，所以 ３ 为一元一次不等式
ｘ ｙ ＞ ０ ｘ ＞ ２ｘ －
２
的解集；当 ３ 时，图象在 轴下方，即 ，所以
３ ＞ ０ ｘ ＜ ｘ ｙ ＜ ０
２
３ 为一元一次不等式 的解集
ｘ ＜ ２ｘ －３ ＜ ０ ．
２
图 ２１ １９ 图 ２１ ２０
类似地，通过观察二次函数的图象，也可以帮助我们认
识二次函数与一元二次方程之间的关系
．
３０
第 章 二次函数与反比例函数
２１观察图 ，说一说二次函数
２１ ２０ ｙ ＝ｘ２ ＋３ｘ ＋２
的图象与 轴有几个交点？交点的横坐标与一元二
ｘ
次方程 的根有什么关系？
ｘ２ ＋３ｘ ＋２ ＝ ０
通过 上 面 的 观 察 可 以 看 出，对 于 一 元 二 次 方 程
，当 时有实数根，这个实
ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ ＝ ０ Δ ＝ ｂ２ －４ａｃ ≥０
数根就是对应二次函数 的值等于 时自变
ｙ ＝ ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ ０
量 的一个值，即二次函数的图象与 轴一个交点的横坐标
ｘ ｘ ．
由此可知，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方
程的根 由于作图或观察有误差，由图象求得的根一般是近
．
似解
．
例 用图象法求一元二次方程 的近似解
ｘ２ ＋２ｘ －１ ＝０
（精确到 ）
０１ ．
解 画出函数 的图象，如图
ｙ ＝ ｘ２ ＋２ｘ －１ ２１ ２１．
图 ２１ ２１
由图象可知，方程有两个实数根，一个在 和 之
－３ －２
间，另一个在 和 之间
０ １ ．
３１
二次函数与一元二次方程
２１．３先求位于 和 之间的根 由图象可估计这个根是
－３ －２ ．
观察 取何 或 ，利用计算器进行探索，见下表：
ｘ －２５ －２４
值时， 值最接
ｙ
… …
近 ？ ｘ －２５ －２４
０
… …
ｙ ０２５ －００４
观察上表可以发现，当 分别取 和 时，对应
ｘ －２５ －２４
的 由正变负，可见在 与 之间肯定有一个 使
ｙ －２５ －２４ ｘ
，即有方程 的一个根 题目只要求精确
ｙ ＝ ０ ｘ２ ＋２ｘ －１ ＝０ ．
用一元二次 到 ，这时取 或 作为根都符合要求 但
０１ ｘ ＝－２５ ｘ ＝－２４ ．
方程的求根公式 当 时， 比 （ ）更接近 ，
ｘ ＝－２４ ｙ ＝－００４ ｙ ＝ ０２５ ｘ ＝－２５ ０
验证一下 故选
．
ｘ ＝－２４．
因而，方程 在 和 之间精确到
ｘ２ ＋２ｘ －１ ＝０ －３ －２ ０１
的根为
ｘ ＝－２４．
请同学们仿照上面的方法，求出上述方程精确到 的
０１
另一个根
．
方程 的近似解还可以这样求：分别画出
ｘ２ ＋２ｘ －１ ＝０
函数 和 的图象，如图 ，它们交点 ，
ｙ ＝ ｘ２ ｙ ＝－２ｘ ＋１ ２１ ２２ Ａ
的横坐标就是方程 的根
Ｂ ｘ２ ＋２ｘ －１ ＝ ０ ．
图 ２１ ２２
如有条件，还可以在计算机上用《几何画板》处理
．
３２
第 章 二次函数与反比例函数
２１对于抛物线 ，当 时，相应的方程 的实
１ ｙ ＝ ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ ｂ２ －４ａｃ ＞０ ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ ＝０
数根个数的情况是 ，抛物线与 轴的交点个数的情况是 ；当
ｘ
时，方程 的实数根个数的情况是 ，抛物线与
ｂ２ －４ａｃ ＝ ０ ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ ＝０ ｘ
轴的交点个数的情况是 ；当 时，方程 的实数根
ｂ２ －４ａｃ ＜ ０ ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ ＝０
个数的情况是 ，抛物线与 轴的交点个数的情况是 ；若顶点在 轴
ｘ ｘ
上，则满足条件 ，若顶点在 轴上，则满足条件
ｙ ．
画出下列函数的图象，并求当 为何值时，
２ ｘ ｙ ＝０．
（） ；
１ ｙ ＝ ４ｘ２ ＋４ｘ ＋１
（）
２ ｙ ＝ ｘ２ －４ｘ ＋５．
证明：抛物线 （ ） 与 轴必有两个不同的交点
３ ｙ ＝ ｘ２ － ２ｐ －１ ｘ ＋ｐ２ －ｐ ｘ ．
用图象法求方程 的近似解（精确到 ）
４ ｘ２ －４ｘ ＋１ ＝ ０ ０１ ．
由二次函数的图象认识一元二次不等式的解集
观察图 ，可以清楚看到二次函数 的图
２１ ２０ ｙ ＝ ｘ２ ＋３ｘ ＋２
象被 轴分成三部分：一部分与 轴相交，一部分在 轴上方，一
ｘ ｘ ｘ
部分在 轴下方
ｘ ．
图象与 轴相交部分，即 ，也就是 这时，
ｘ ｙ ＝０ ｘ２ ＋３ｘ ＋２ ＝０．
由图象得，自变量 的值是 和
ｘ －２ －１．
所以 ， 是一元二次方程 的解
ｘ ＝－２ ｘ ＝－１ ｘ２ ＋３ｘ ＋２ ＝０ ．
图象在 轴上方部分，即 ，也就是 这时，
ｘ ｙ ＞０ ｘ２ ＋３ｘ ＋２ ＞０．
由图象得，自变量 取值范围是 或
ｘ ｘ ＜－２ ｘ ＞－１．
所以 或 是一元二次不等式 的解集
ｘ ＜－２ ｘ ＞－１ ｘ２ ＋３ｘ ＋２ ＞０ ．
图象在 轴下方部分，即 ，也就是 这时，
ｘ ｙ ＜０ ｘ２ ＋３ｘ ＋２ ＜０．
由图象得，自变量 取值范围是
ｘ －２ ＜ ｘ ＜－１．
所以 是一元二次不等式 的解集
－２ ＜ｘ ＜－１ ｘ２ ＋３ｘ ＋２ ＜０ ．
３３
二次函数与一元二次方程
２１．３先求出一元二次方程 的根，再结合二次函数 的图
１ ｘ２ ＋２ｘ －１ ＝ ０ ｙ ＝ ｘ２ ＋２ｘ －１
象（图 ），求出当 和 时， 的取值
２１ ２１ ｙ ＝ ｘ２ ＋２ｘ －１ ＞０ ｙ ＝ ｘ２ ＋２ｘ －１ ＜ ０ ｘ
范围
．
结合函数 的图象，求：
２ ｙ ＝－２ｘ２ ＋３ｘ －５
（） 的解集；
１ －２ｘ２ ＋３ｘ －５ ＞ ０
（） 的解集
２ －２ｘ２ ＋３ｘ －５ ＜ ０ ．
习题
２１． ３
当 为何值时，函数 的值等于 ？
１ ｘ ｙ ＝ ｘ２ －４ｘ ＋３ ０
判断下列二次函数的图象与 轴有无交点，如有，求出交点的坐标；如没有，请说
２ ｘ
明理由
．
（） ；
１ ｙ ＝ ｘ２ －２ｘ －３
（） ；
２ ｙ ＝ ｘ２ ＋ｘ ＋１
（） ；
３ ｙ ＝ ４ｘ２ －４ｘ ＋１
（） １
４ ｙ ＝－ ｘ２ ＋ｘ －４．
２
求抛物线 与 轴和 轴的交点坐标
３ ｙ ＝－６ｘ２ －ｘ ＋２ ｘ ｙ ．
用图象法求下列方程的近似解：（精确到 ）
４ ０１
（） ；
１ ｘ２ －ｘ －１ ＝ ０
（）
２ ｘ２ ＝ ３ｘ －１．
已知二次函数 （ ） 的图象与 轴只有一个交点，求该交点的
５ ｙ ＝ ｋ －８ ｘ２ －６ｘ ＋ｋ ｘ
坐标
．
设有函数 ，根据下列条件分别确定 ，的值
６ ｙ ＝ ｘ２ ＋ｐｘ ＋ｑ ｐ ｑ ．
（）当 时，函数有最小值为 ；
１ ｘ ＝ ５ －２
（）函数图象与 轴的交点坐标是（ ， ）和（ ， ）
２ ｘ －４ ０ －１ ０ ．
３４
第 章 二次函数与反比例函数
２１如图，给出了二次函数 的图象，对于这
７ ｙ ＝ ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ
个函数有下列五个结论：
； ； ；
① ｂ２ －４ａｃ ＜ ０ ② ａｂ ＞ ０ ③ ａ －ｂ ＋ｃ ＝ ０
； 当 时，只能等于
④ ４ａ ＋ｂ ＝ ０ ⑤ ｙ ＝ ２ ｘ ０．
其中结论正确的是（ ）
．
（ ） （ ）
Ａ ①④ Ｂ ③④
（ ） （ ）
Ｃ ②⑤ Ｄ ③⑤
（第７ 题）
结合函数 （ ） 的图象，确定当 取何值时，有
８ ｙ ＝ ｘ －２ ２ －１ ｘ
（） ？ （） ？ （） ？
１ ｙ ＝ ０ ２ ｙ ＞ ０ ３ ｙ ＜ ０
画出函数 的图象，并根据图象回答：
９ ｙ ＝ ｘ２ －２ｘ －３
（）当 取何值时， ？
１ ｘ ｘ２ －２ｘ －３ ＝ ０
（）当 取何值时， ？
２ ｘ ｘ２ －２ｘ －３ ＞ ０
（）当 取何值时， ？
３ ｘ ｘ２ －２ｘ －３ ＜ ０
３５
二次函数与一元二次方程
２１．３２１．
二次函数的应用
４
函数的最大值或最小值是二次函数的一个重要性质 现
．
在，我们就来利用这个性质解决实际问题
．
例 在第 节的问题 中，要使围成的水面面积最
１ ２１．１ ?
大，则它的边长应是多少米？它的最大面积是多少平方米？
解 在第 节中，得
２１．１
（ ）
Ｓ ＝ ｘ ２０ －ｘ ．
将这个函数的表达式配方，得
（ ） （ ）
图 ２１ ２３ Ｓ ＝－ ｘ －１０ ２ ＋１００ ０ ＜ ｘ ＜ ２０ ．
这个函数的图象是一条开口向下抛物线中的一段，如图
，它的顶点坐标是（ ， ）所以，当 时，函数
２１ ２３ １０ １００ ． ｘ ＝ １０
取得最大值，即
图
２１ ２３
（ ）
中为何有两个空 Ｓ最大值 ＝ １００ ｍ２ ．
心点？ 此时，另一边长 （ ）
＝ ２０ －１０ ＝ １０ ｍ ．
答：当围成的矩形水面边长都为 时，它的面积最
１０ ｍ
大为
１００ ｍ２．
解答第 节的问题
１． ２１１ ?．
在直角三角形中，两直角边之和为 问当两直角边的边长各是多少时，这个三角形
２． １０．
的面积最大？最大面积是多少？
３６
第 章 二次函数与反比例函数
２１例 如图 （），悬索桥两端主塔塔顶之间的主
２ ２１ ２４ １
悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索
之间用垂直钢索连接 已知两端主塔之间水平距离为 ，
． ９００ ｍ
两主塔塔顶距桥面的高度为 ，主悬钢索最低点离桥
８１５ ｍ
面的高度为
０５ ｍ．
（）若以桥面所在直线为 轴，抛物线的对称轴为
１ ｘ ｙ
轴，建立平面直角坐标系，如图 （），求这条抛物线对
２１ ２４ ２
应的函数表达式；
（）计算距离桥两端主塔分别为 ， 处垂直钢
２ １００ ｍ ５０ ｍ
索的长
．
（） （）
１ ２
图 ２１ ２４
解 （）根据题意，得抛物线的顶点坐标为（， ），
１ ０ ０５
对称轴为 轴，设抛物线对应的函数表达式为
ｙ
ｙ ＝ ａｘ２ ＋０５．
抛物线经过点（ ， ），代入上式，得
４５０ ８１５
·
８１５ ＝ ａ ４５０２ ＋０５．
解方程，得
８１ １
ａ ＝ ＝ ．
４５０２ ２５００
答：所求抛物线对应的函数表达式为
１ （ ）
ｙ ＝ ｘ２ ＋０５ －４５０ ≤ ｘ ≤４５０ ．
２５００
（）当 （ ）时，得
２ ｘ ＝ ４５０ －１００ ＝ ３５０ ｍ
１ （ ）
ｙ ＝ ×３５０２ ＋０５ ＝ ４９５ ｍ ．
２５００
当 （ ）时，得
ｘ ＝ ４５０ －５０ ＝ ４００ ｍ
３７
二次函数的应用
２１．４１ （ ）
ｙ ＝ ×４００２ ＋０５ ＝ ６４５ ｍ ．
２５００
答：距离桥两端主塔分别为 ， 处垂直钢索的
１００ ｍ ５０ ｍ
长分别为 ，
４９５ ｍ ６４５ ｍ．
如图，隧道的截面由抛物线 和矩形 构成，矩形的一边 为 ，另一边
１ ＡＥＤ ＡＢＣＤ ＢＣ ８ ｍ
为 ，以 所在的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐
ＡＢ ２ ｍ ＢＣ ｘ ＢＣ ｙ
标系，轴是抛物线的对称轴，顶点 到坐标原点 的距离为
ｙ Ｅ Ｏ ６ ｍ．
（）求此抛物线对应的函数表达式；
１
（）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运车的高为 ，宽为 ，问这辆货运
２ ４３ ｍ ２４ ｍ
车能否在一侧行道内通过该隧道？
（第１ 题） （第２ 题）
如图，某校的围墙上部由一段段相同的拱形栅栏连接而成，其中一段拱形栅栏（图中
２
）为抛物线的一部分，拱形栅栏的跨径 之间按相同的间距（ ）用 根立柱
ＡＯＢ ＡＢ ０２ ｍ ５
加固，拱高 为
ＯＣ ０６ ｍ．
（）以 为原点， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，根据以上数据，求出抛
１ Ｏ ＯＣ ｙ
物线 对应的函数表达式；
ｙ ＝ ａｘ２
（）计算一段拱形栅栏所需 根立柱的总长度
２ ５ ．
例 上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下的表
３
达式
１ ，
ｈ ＝ ｖ ｔ － ｇｔ２
０ ２
３８
第 章 二次函数与反比例函数
２１其中 是物体上升的高度， 是物体被上抛时竖直向上的初
ｈ ｖ
０
始速度，是重力加速度（取 ），是物体抛出后经
ｇ ｇ ＝１０ｍ／ｓ２ ｔ
过的时间
．
在一次排球比赛中，排球从靠近地面处被垫起时竖直向
上的初始速度为
１０ ｍ／ｓ．
（）问排球上升的最大高度是多少？
１
（）已知某运动员在 高度时扣球效果最佳，如果
２ ２５ ｍ
她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最
佳？（精确到 ）
０１ ｓ
解 （）根据题意，得
１
１
ｈ ＝ １０ｔ － ×１０ｔ２
２
（ ） （ ）
＝－５ ｔ －１ ２ ＋５ ｔ ≥０ ．
因为抛物线开口向下，顶点坐标为（， ）
１ ５ ．
答：排球上升的最大高度是
５ ｍ．
图 ２１ ２５
（）当 时，得
２ ｈ ＝ ２５ ｍ
１０ｔ －５ｔ２ ＝ ２５．
解方程，得 如果这位
（）， （） 运动员来不及
ｔ ≈０３ ｓ ｔ ≈１７ ｓ ．
排球在上升和 １ 下落中，各有 ２ 一次经过 高度，但第 在 时扣球，
０．３ ｓ
２５ ｍ
她还可在何时
一次经过时离排球被垫起仅有 ，要打快攻，选择此时扣
０３ ｓ 扣球？
球，可令对方措手不及，易获成功
．
答：该运动员应在排球被垫起后 时扣球最佳
０３ ｓ ．
例 行驶中的汽车，在制动后由于惯性，还要继续向
４
前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“制动距离”为了
．
了解某型号汽车的制动性能，对其进行了测试，测得数据如
下表：
制动时车速 ·
／ｋｍ ｈ－１ ０ １０ ２０ ３０ ４０ ５０
制动距离
／ｍ ０ ０３ １０ ２１ ３６ ５５
有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制
３９
二次函数的应用
２１．４动距离为 ，试问交通事故发生时车速是多少？是否因超
４６５ ｍ
速（该段公路限速为 ）行驶导致了交通事故？
１１０ｋｍ／ｈ
分析：要解答这个问题，就是要解决在知道了制动距离
时，如何求得相应的制动时车速 题中给出了几组制动距离
．
与制动时车速之间的关联数据，为此，求出制动距离与制动
时车速的函数表达式是解答本题的关键
．
解 以制动时车速的数据为横坐标（ 值）、制动距离的
ｘ
数据为纵坐标（ 值），在平面直角坐标系中，描出各组数据
ｙ
对应的点，如图
２１ ２６．
图 ２１ ２６
观察图中描出的这些点的整体分布，它们基本上是在
一条抛物线附近，因此，（制动距离）与 （制动时车速）之
ｙ ｘ
间的关系可以近似地以二次函数来模拟，即设
ｙ ＝ ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ．
在已知数据中任选三组，如取（， ），（ ， ），
０ ０ １０ ０３
（ ， ），分别代入所设函数的表达式，得
２０ １０
，
{ｃ ＝ ０
，
１００ａ ＋１０ｂ ＋ｃ ＝ ０．３
４００ａ ＋２０ｂ ＋ｃ ＝ １．０．
解方程组，得
，
{ａ ＝ ０００２
，
ｂ ＝ ００１
ｃ ＝ ０．
４０
第 章 二次函数与反比例函数
２１即所求函数的表达式为 （ ）
ｙ ＝０００２ｘ２ ＋００１ｘ ｘ≥０ ．
把 代入上式，得
ｙ ＝ ４６５ ｍ
４６５ ＝ ０００２ｘ２ ＋００１ｘ．
解方程，得
（ ）， （ ）（舍去）
ｘ ＝ １５０ ｋｍ／ｈ ｘ ＝－１５５ ｋｍ／ｈ ．
１ ２
答：制动时车速为 （ ），即在事故发
１５０ｋｍ／ｈ ＞１１０ｋｍ／ｈ
生时，该汽车属超速行驶
．
炮弹以一定的初速度和发射角射出后，上升的高度 与对应的水平距离 之间
１ ｙ ｍ ｘ ｍ
的函数关系可表示为
１ １
ｙ ＝－ ｘ２ ＋槡ｘ．
５４０００ ３
试求：
（）炮弹能达到的最大高度；
１
（）炮弹最远射程
２ ．
心理学家研究发现，通常情况下，学生对知识的接受能力 与学习知识所用的连续时
２ ｙ
间 （单位： ）之间满足下列经验关系式
ｘ ｍｉｎ
（ ），
ｙ ＝－０１ｘ２ ＋２６ｘ ＋４３ ０ ≤ ｘ ≤３０
的值越大，表示接受能力越强
ｙ ．
（）当 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当 又在什么范围内，学生的接
１ ｘ ｘ
受能力逐步降低？
（）在第 时，学生的接受能力是多少？
２ １０ ｍｉｎ
（）在第几分时，学生的接受能力最强？
３
某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，西红柿的
３
种植成本 元 与上市时间 天的关系用如图的抛物
Ｑ ／ｋｇ ｔ
线表示
．
（）写出图中表示的种植成本 元 与时间 天之间
１ Ｑ ／ｋｇ ｔ
（第３ 题）
的函数表达式；
（）西红柿上市多少天其种植成本最低？最低成本是多少？
２
４１
二次函数的应用
２１．４习题
２１． ４
求下列各函数的最大值或最小值，并求出相应的 值
１ ｘ ．
（） 槡 槡 ； （） （ ）（ ）
１ ｙ ＝ ３ｘ２ － ３ｘ ＋２ ２ ｙ ＝ ｘ ＋１ ２ －ｘ ．
某商场今年一月份营业额为 万元，二月份营业额下降 ，后加强经营管理，
２ ６０ １０％
月营业额大幅回升 设四月份营业额为 ，三、四月份平均月增长率都是
． ｙ ｘ．
（）写出 与 之间的函数表达式；
１ ｙ ｘ
（）如果 万元，那么三、四月份平均月增长率应是多少？（精确到 ）
２ ｙ ＝ ８１ ０．１％
一种商品售价为每件 元，一周可卖出 件 市场调查表明：这种商品如果每件
３． １０ ５０ ．
涨价 元，每周要少卖 件；每件降价 元，每周可多卖 件 已知该商品进价每件
１ ５ １ ５ ．
为 元，问每件商品涨价多少，才能使每周得到的利润最多？
８
如图，某学生推铅球，铅球出手（点 处）的高度是 ５ ，出手后的铅球沿一段抛
４ Ａ ｍ
３
物线运行，当运行到最高点时，运行高度 ，水平距离
ｙ ＝３ ｍ ｘ ＝４ ｍ．
（）试求铅球运行高度 与水平距离 之间的函数表达式；
１ ｙ ｘ
（）设铅球落地点为 ，求铅球被推出的距离
２ Ｃ ＯＣ．
（第４ 题） （第５ 题）
如图，在平面直角坐标系中画出一抛物线形的公路桥拱示意图，它的跨度为 ，
５ ４０ ｍ
最大高度为 如果在距离跨度中心点 的 处竖立铁柱支撑拱顶，那么该
１６ ｍ． Ｍ ５ ｍ
铁柱的长度应是多少？
４２
第 章 二次函数与反比例函数
２１２１．
反比例函数
５
问题 某村有耕地 ，人口数量 逐年发生变
? ２００ ｈｍ２ ｘ
化，该村人均耕地面积 与人口数量 之间有怎样的函
ｙ ｈｍ２ ｘ
数关系？
全村耕地面积应是人均耕地面积与人口数量的乘积，即
，所以变量 与 之间的函数关系可以表示为
ｙｘ ＝ ２００ ｙ ｈｍ２ ｘ
２００
ｙ ＝ ．
ｘ
问题 某市距省城 ，汽车行驶全程所需的时
? ２４８ ｋｍ
间 与平均速度 之间有怎样的函数关系？
ｔ ｈ ｖ ｋｍ／ｈ
由路程 ，变量 与 之间的函数关系可以
ｓ ＝ ｖｔ ｔ ｈ ｖ ｋｍ／ｈ
表示为
２４８
ｔ ＝ ．
ｖ
问题 在一个电路中，当电压 一定时，通过电路的
? Ｕ
电流 的大小与该电路的电阻 的大小之间有怎样的函数
Ｉ Ｒ
关系？
由电学可知，变量 与 之间的函数关系可以表示为
Ｉ Ｒ
Ｕ
Ｉ ＝ ．
Ｒ
上面的函数表达式都具有 ｋ 的形式，两个变量之间
ｙ ＝
ｘ
４３
反比例函数
２１．５的关系，就是小学学过的反比例关系 一般地，表达式形如
．
ｋ （ 为 常数，且 ）的函数叫做反比例（
ｙ ＝ ｋ ｋ ≠ ０ ｉｎｖｅｒｓｅ
ｘ
）函数
ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎ ．
例 在压力不变的情况下，某物体承受的压强
１
是它的受力面积 的反比例函数，如图
ｐ Ｐａ Ｓ ｍ２ ２１ ２７．
（）求 与 之间的函数表达式；
１ ｐ Ｓ
（）当 时，求物体承受的压强 的值
２ Ｓ ＝ ０５ ｐ ．
解 （）根据题意，设
１
ｋ
ｐ ＝ ．
Ｓ
函数图象经过点（ ， ），代入上式，得
０１ １０００
图 ２１ ２７ ｋ
１０００ ＝ ．
０１
解方程，得
ｋ ＝ １００．
答： 与 之间的函数表达式为
ｐ Ｓ
１００ （ ， ）
ｐ ＝ ｐ ＞ ０ Ｓ ＞ ０ ．
Ｓ
（）当 时， １００
２ Ｓ ＝ ０５ ｐ ＝ ＝ ２００．
０５
答：当 时，物体承受的压强 的值为
Ｓ ＝ ０５ ｐ ２００．
判断下列各题中的两个变量是否成反比例关系，如果是，请写出这个函数的表达式
１ ．
（）正三角形的面积 与边长 ；
１ Ｓ ａ
（）当圆锥的体积是 时，它的高 与底面积 ；
２ ５０ ｈ Ｓ
（）当矩形的面积为 时，它的一边 与另一边
３ ９０ ｙ ｘ．
一定质量的氧气，它的密度 与它的体积 成反比例关系 当 时，
２ ρ Ｖ ． Ｖ ＝ １０ ｍ３ ρ ＝
１４３ ｋｇ／ｍ３．
（）求 与 之间的函数表达式；
１ ρ Ｖ
（）当 时，求氧气的密度 的值
２ Ｖ ＝ ２ ｍ３ ρ ．
４４
第 章 二次函数与反比例函数
２１下面来研究反比例函数的图象
．
例 画出函数 ６ 的图象
２ ｙ ＝ ．
ｘ
解 函数 ６ 的自变量 取值范围为
ｙ ＝ ｘ ｘ ≠０．
ｘ
列表：
… …
ｘ －６ －５ －４ －３ －２ －１ １ ２ ３ ４ ５ ６
６ … ６ ３ ３ ６ …
ｙ ＝ －１ － － －２ －３ －６ ６ ３ ２ １
ｘ ５ ２ ２ ５
描点，并用平滑曲线分别顺次连接第一、三象限内的各
个点，即得反比例函数 ６ 的图象，如图
ｙ ＝ ２１ ２８．
ｘ
图 ２１ ２８
观察图 可知：
２１ ２８
（）因为自变量 ，所以 轴把函数 ６ 的图象分
１ ｘ≠０ ｙ ｙ ＝
ｘ
隔成两个分支，它们分别在第一和第三象限内；
（）在每个象限内，图象自左向右下降，函数 随 的增
２ ｙ ｘ
大而减小，图象的两个分支都可以无限延伸，并无限接近 轴
ｘ
和 轴，但永远不与它们相交；
ｙ
（）如果点 （ ， ）在函数 ６ 的图象上，那么点
３ Ｐ ｘ ｙ ｙ ＝
０ ０ ｘ
４５
反比例函数
２１．５（ ， ）也应在它的图象上
Ｐ′ －ｘ －ｙ ．
０ ０
因为
ｙ ＝
０
６ ，所以
－ｙ ＝
ｘ ０
０
６ ，即可知点
－ｘ
０
（ ， ）
Ｐ′ －ｘ －ｙ
０ ０
也在它的图象上 在图 中，画出函数 ６ 的图象
．
２１ ２９ ｙ ＝－ ．
ｘ
图 ２１ ２９
观察并比较函数 ６ 与 ６ 的图象，你能
ｙ ＝ ｙ ＝－
ｘ ｘ
就 和 两种情况，分别总结反比例函数
ｋ ＞０ ｋ ＜０ ｙ ＝
ｋ （ 为常数，且 ）的性质吗？
ｋ ｋ ≠０
ｘ
反比例函数 ｋ （ 为常数，且 ）的图象叫做双
ｙ ＝ ｋ ｋ ≠０
ｘ
曲线（ ）
ｈｙｐｅｒｂｏｌａ ．
４６
第 章 二次函数与反比例函数
２１（）当 时，图象的两个分支分别位于第一、三象
１ ｋ ＞０
限，在每个象限内，图象自左向右下降，函数 随 的增大而
ｙ ｘ
减小；
（）当 时，图象的两个分支分别位于第二、四象
２ ｋ ＜０
限，在每个象限内，图象自左向右上升，函数 随 的增大而
ｙ ｘ
增大
．
例 已知反比例函数 ２ｋ －１
３ ｙ ＝ ．
ｘ
（）如果这个函数图象经过点（ ， ），求 的值；
１ －３ ５ ｋ
（）如果这个函数图象在它所处的象限内，函数 随
２ ｙ ｘ
的增大而减小，求 的范围
ｋ ．
解 （）因为函数图象经过点（ ，），代入函数的表
１ －３ ５
达式，得
２ｋ －１
５ ＝ ．
－３
解方程，得
ｋ ＝－７．
（）根据题意，有
２
２ｋ －１ ＞ ０．
解不等式，得
１
ｋ ＞ ．
２
填空：
１
（）对于函数 ５ ，自变量 的取值范围是 ，当 时， ；
１ ｙ ＝－ ｘ ｘ ＞ ０ ｙ ０
２ｘ
当 时， ；
ｘ ＜ ０ ｙ ０
（）对于函数 １ ，当 时，函数 随 的增大而 ；当 时，函数
２ ｙ ＝－ ｘ ＞ ０ ｙ ｘ ｘ ＜ ０
ｘ
随 的增大而 ；
ｙ ｘ
４７
反比例函数
２１．５（）反比例函数 ２ 的图象与直线 交于两点，这两点的坐标分别是
３ ｙ ＝ ｙ ＝ ２ｘ
ｘ
（ ， ）和（ ， ）
．
为反比例函数 ｋ 图象上的一个点，作 垂直于 轴，垂足为 问 的
２ Ｐ ｙ ＝ ＰＱ ｘ Ｑ． ＯＰＱ
ｘ
面积是否会因点 位置的变化而变化，为什么？
Ｐ
如图， 是反比例函数 ２ （ ）图象上的任意一
３ Ａ ｙ ＝ ｘ ＞０
ｘ
点， 平行于 轴交反比例函数 ３ （ ）的图
ＡＢ ｘ ｙ ＝－ ｘ ＜０
ｘ
象于点 ，作以 为边的平行四边形 ，其顶点 ，
Ｂ ＡＢ ＡＢＣＤ Ｃ
在 轴上，则 为多少？
Ｄ ｘ Ｓ
ＡＢＣＤ
（第３ 题）
习题
２１． ５
某水池的容量一定，当注入水的流量 时，注满全池需时
１． Ｑ ＝１５ｍ３／ｍｉｎ ｔ ＝２０ｍｉｎ．
（）求 与 之间的函数表达式；
１ Ｑ ｔ
（）当 时，求水流量 的值
２ ｔ ＝ ２５ ｍｉｎ Ｑ ．
已知：平行四边形的面积是 ，它的一边长是 求这边上的高 与边长
２ ２４ ｃｍ２ ｘ ｃｍ． ｙ ｘ
之间的函数表达式
．
某小型开关厂准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益 通
３ ．
过测算，开关的年产量 万只与投入改造经费 万元之间满足：（ ）与（ ）
ｙ ｘ ３ －ｙ ｘ ＋１
成反比例，且当投入改造经费 万元时，年产量是
１
万 只 求年产量 与投入改造经费 之间的函数表
２ ． ｙ ｘ
达式
．
如图，直线 与反比例函数 ｋ ， ３ｋ的图
４ ｘ ＝ ｔ ｙ ＝ ｙ ＝－
ｘ ｘ
象交于点 ，，直线 与反比例函数 ｋ ，
Ａ Ｂ ｙ ＝ ２ｔ ｙ ＝
ｘ
３ｋ 的图象交于点 ，，其中常数 ， 均大于
ｙ ＝－ Ｃ Ｄ ｔ ｋ ０．
ｘ
点 ， 分别是 轴、轴上任意点，设 和
Ｐ Ｑ ｘ ｙ ＰＣＤ ＱＡＢ
（第４ 题）
４８
第 章 二次函数与反比例函数
２１的面积分别为 和 ，则下列结论正确的有
Ｓ Ｓ ．
１ ２
； ； ；
① Ｓ ＝ ２ｔ ② Ｓ ＝ ２ｋ ③ Ｓ ＝ ２Ｓ
１ ２ １ ２
； ； ， 均为定值
④ Ｓ ＝ Ｓ ⑤ Ｓ ＝ ２Ｓ ⑥ Ｓ Ｓ ．
１ ２ ２ １ １ ２
如图，， 是反比例函数 ９ 图象上的两点，分别过点 ， 作 轴、 轴
５ Ａ Ｂ ｙ ＝ Ａ Ｂ ｘ ｙ
ｘ
的垂线，构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形 ， ， 已知 ，求
Ｓ Ｓ Ｓ ． Ｓ ＝３
１ ２ ３ ２
的值
Ｓ ＋ Ｓ ．
１ ３
（第５ 题） （第６ 题）
如图，一次函数 的图象与反比例函数 ｋ 的图象交于 ， 两点
６ ｙ ＝ ａｘ ＋ｂ ｙ ＝ Ｍ Ｎ ．
ｘ
（）求这两个函数的表达式；
１
（）根据图象，写出使反比例函数值大于一次函数值时 的取值范围；
２ ｘ
（）求 的面积
３ ＯＭＮ ．
已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 （ ， ），求这两个函数
７ Ｐ －３ ４
的表达式
．
如图，函数 与 ａ （ ）在同一平面直角坐标系中的图象可能是
８ ｙ ＝ａｘ２ －ａ ｙ ＝ ａ≠０
ｘ
（ ）
．
（第８ 题）
４９
反比例函数
２１．５如图，已知反比例函数 ｋ 的图象与一次函数
１
９． ｙ ＝ ｙ ＝
ｘ
的图象
ｋ ｘ ．
２
（）当 ， 有何关系时，直线与双曲线有两个
１ ｋ ｋ
１ ２
交点？
（）如果直线与双曲线交于 ， 两点，且当点 坐
２ Ａ Ｂ Ａ
标为（，）时，求点 的坐标；
１ ２ Ｂ
（）双曲线的两分支是否成轴对称？如果是，给出
３
对称轴的函数表达式 （第９ 题）
．
商品市场的均衡问题
根据市场调查，某种商品的市场需求量（即消费者的需求
量） 件与单价 百元之间的关系可看作是一次函数
Ｑ Ｐ
ｄ
，
Ｑ ＝－２Ｐ ＋２４ ①
ｄ
该商品的市场供给量（即生产者的供给量） 件与单价 百元之
Ｑ Ｐ
ｓ
间的关系也可看作是一次函数
，
Ｑ ＝ ７Ｐ －３ ②
ｓ
如图
２１ ３０．
由图 可以看出，当商品价格 上涨时，需求量 会随
２１ ３０ Ｐ Ｑ
ｄ
之减少，而供给量 却随之增加 现在的问题是，当商品价格 取
Ｑ ． Ｐ
ｓ
什么值时，商品的需求量 能与供给量 相等，即
Ｑ Ｑ
ｄ ｓ
Ｑ ＝ Ｑ ． ③
ｄ ｓ
当需求等于供给 （ ）时，市场上既不会有商品剩余，
Ｑ ＝ Ｑ
ｄ ｓ
也不会有商品短缺，市场达到均衡 我们把此时的价格称为均衡
．
价格，记作 ，并把价格为 时的需求量或供给量称为均衡数量，记
图 ２１ ３０ Ｐ Ｐ
作 当商品供不应求时，价格就将上涨，当商品供过于求时，价格
Ｑ．
就将下降
．
你能否求出上述问题中的均衡价格 和均衡数量 呢？
Ｐ Ｑ
５０
第 章 二次函数与反比例函数
２１在上述由 构成的市场均衡模型中，有时需求函数不是
①②③
一次函数而是二次函数
，
Ｑ ＝ ４ －Ｐ２
ｄ
而供给函数仍为一次函数，但变为
Ｑ ＝ ４Ｐ －１．
ｓ
如图 ，则有下面的市场均衡模型
２１ ３１
，
Ｑ
ｄ
＝ Ｑ
ｓ
， ④
Ｑ
ｄ
＝ ４ －Ｐ２
Ｑ ＝ ４Ｐ －１．
ｓ
试求出上述市场均衡模型 中的均衡价格 和均衡数量
④ Ｐ
，并利用图 给出几何解释
Ｑ ２１ ３１ ．
上述模型是极为简单的，但是许多更为复杂的市场均衡
模型也可以用上述模型的原理加以建立和分析 一般经济均
．
衡理论是 世纪 年代由法国经济学家瓦尔拉斯（ ）
１９ ７０ Ｗａｌｒａｓ
首先提出的，他研究了供给与需求如何通过价格相互作用，使
市场达到均衡，从而为他的一般经济均衡体系建立了数学模
型，他是对数理经济学影响最大的创始人之一
． 图 ２１ ３１
５１
反比例函数
２１．５２１．
综合与实践
６
获 取 最 大 利 润
一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本
和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、建造厂
房、购置设备、培训工人等费用，如果没有更换产品，我们将
它看作常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产
品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用 例如，生产某
．
种收音机的成本（单位：元）可以近似地表示为
，
Ｃ ＝１２０ｔ ＋１０００ ①
其中 表示生产 台收音机的总成本，当 时，
Ｃ ｔ ｔ ＝０
，
Ｃ ＝１２０ ×０ ＋１０００ ＝１０００
元是固定成本，由此可知 式中 表示可变成本
１０００ ① １２０ｔ ．
制造商出售产品得到的年总收入等于出售产品的年销
售量 和产品的销售单价 的乘积，设 表示年总收入，则
ｔ ｘ Ｒ
Ｒ ＝ｔｘ．
制造商的年利润是出售产品得到的年总收入和生产这
些产品的总成本之间的差额，设 表示年利润，则
Ｐ
Ｐ ＝Ｒ －Ｃ ＝ｔｘ －Ｃ．
问题 当一个工厂在决定是否要生产某种产品时，往
?
往向市场分析专家咨询该产品的销路 一种产品的销售量通
．
常与销售单价有关，当单价上涨时，销售量就下降 假设某市
．
场分析专家提供了下列数据：
销售单价 元
ｘ／ ５０ １００ １５０ ３００
年销售量 件
ｔ／ ５０００ ４０００ ３０００ ０
５２
第 章 二次函数与反比例函数
２１设生产 件该产品的成本为
ｔ
Ｃ ＝ ５０ｔ ＋１０００．
完成下列要求：
（）在图 中，描出上述表格中各组数据对应
１ ２１ ３２
的点；
图 ２１ ３２
（）描出的这些点在一直线上吗？求 和 之间的函
２ ｔ ｘ
数表达式；
（）问当销售单价 和年销售量 各为多少时，年利润
３ ｘ ｔ
最大？
Ｐ
问题 设生产 件某种电子产品的成本（单位：元）
? ｔ
可以近似地表示为
Ｃ ＝ １０００ｔ ＋２００００００．
制造商为了获得最大利润，进行了市场调查，取得了该
种电子产品销售单价 和年销售量 之间的一组数据：
ｘ ｔ
年销售量 件
ｔ／ ７５０ ３０００ ５０９６ ８５００ ９４１７
销售单价 元
ｘ／ ３８５０ ３４００ ３０００ ２３００ ２１００
（）在图 中，描出上述表格中各组数据对应
１ ２１ ３３
的点；
５３
综合与实践 获取最大利润
２１．６图 ２１ ３３
（）请你帮助制造商分析，当年销售量 和销售单价
２ ｔ ｘ
分别是多少时，年利润 最大？并说说你有几种求解方法？
Ｐ
与同学进行交流
．
一、内容整理
５４
第 章 二次函数与反比例函数
２１二、主要知识回顾
二次函数 （ ）的图象和性质
１ ｙ ＝ ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ ａ ＞ ０ ．
抛物线
（ ）
ｙ＝ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ ａ＞０
开口方向：向上；对称轴： ｂ ；
ｘ ＝－
２ａ
顶点坐标：( ｂ ，４ａｃ －ｂ２)
－
２ａ ４ａ
函数 当 ｂ 时，函数 随 的增大而减小；
ｘ ＜－ ｙ ｘ
（ ） ２ａ
ｙ＝ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ ａ＞０
的增减情况 当 ｂ 时，函数 随 的增大而增大
ｘ ＞－ ｙ ｘ
２ａ
函数
（ ） 当 ｂ 时， ４ａｃ －ｂ２
ｙ＝ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ ａ＞０ ｘ ＝－ ｙ最小值 ＝
的最大值或最小值 ２ａ ４ａ
反比例函数 ｋ （ ）的图象和性质
２ ｙ ＝ ｋ ≠０ ．
ｘ
函数
ｋ （ ）
ｙ ＝ ｋ≠０
ｘ
的图象
函数
在 或 的范围内， 在 或 的范围内，函
ｋ （ ） ｘ ＞０ ｘ ＜０ ｘ ＞０ ｘ ＜０
ｙ ＝ ｋ≠０ 函数 随 的增大而减小 数 随 的增大而增大
ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ
的增减情况
５５
小结·评价三、自评与互评
二次函数的图象有哪些特点？这些特点反映出二次函数具有哪些性
１
质？请你通过具体的例子加以说明，并总结出二次函数 （
ｙ ＝ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ ａ ＜
）的图象和性质，与同伴进行交流 类似地，回答关于反比例函数的问题
０ ． ．
用自己的语言描述二次函数 （ ）的图象与方程
２ ｙ ＝ ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ ａ ≠０
（ ）的根之间的关系
ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ ＝ ０ ａ ≠０ ．
函数自变量的取值范围，一方面取决于函数表达式本身的限制，另一
３
方面要考虑实际问题的具体要求，请你举例加以说明
．
“数形结合”是研究数学的一种重要思想方法，在本章的学习中多次用
４
到这种思想方法，你能举例说明吗？
举例说明二次函数与反比例函数在生活中的应用，并与同伴交流
５ ．
设圆柱的高 是常量，写出圆柱的体积 与底面周长 之间的函数表达式
１ ｈ Ｖ Ｃ ．
求下列函数中自变量 的取值范围：
２ ｘ
（） （ ）（ ）；
１ ｙ ＝ １ －ｘ １ －２ｘ
（） ｘ２ ；
２ ｙ ＝
４ｘ２ －４ｘ ＋２
（） 槡 槡
３ ｙ ＝ ｘ －３ ＋ ５ －ｘ．
填表：
３
使得函数 随 的
抛 物 线 开口方向 对称轴 顶点坐标 ｙ ｘ
增大而减小的 的范围
ｘ
１
ｙ＝ ｘ２
２
１ （ ）
ｙ＝ ｘ－１ ２
２
１
ｙ＝ ｘ２ －２
２
５６
第 章 二次函数与反比例函数
２１（续 表）
使得函数 随 的
抛 物 线 开口方向 对称轴 顶点坐标 ｙ ｘ
增大而减小的 的范围
ｘ
１
ｙ＝ ｘ２ ＋２ｘ＋３
２
１ １３
ｙ＝ － ｘ２ ＋３ｘ－
２ ２
已知函数 １ （ ） ，求：
４ ｙ ＝ ｘ －３ ２ －１
２
（）抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
１
（）当 取何值时，函数取得最大值或最小值？求出这个值；
２ ｘ
（） 分别在什么范围内，函数 随 的增大而减小或函数 随 的增大而
３ ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ
增大；
（）当 取何值时，函数 等于 ？
４ ｘ ｙ ０
在同一平面直角坐标系中，以抛物线 （ ）的形状和位置为标准，分别
５ ｙ ＝ ａｘ２ ａ ≠０
与抛物线 、 （ ）和 （ ） （ ）作比较，它
ｙ ＝ ａｘ２ ＋ｋ ｙ ＝ ａ ｘ ＋ｈ ２ ｙ ＝ ａ ｘ ＋ｈ ２ ＋ｋ ａ ≠０
们的形状和位置各有什么关系？
填空：
６
（）已知抛物线 的顶点在 轴上，那么 ；
１ ｙ ＝ ３ｘ２ －ｂｘ ＋４ ｘ ｂ ＝
（）已知抛物线 ，如果抛物线过原点，那么 ；如果抛物线关
２ ｙ ＝ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ ｃ ＝
于 轴对称，那么 ；如果抛物线与 轴只有一个交点，那么 ；
ｙ ｂ ＝ ｘ Δ ＝
（）已知函数 的图象与 轴只有一个交点，则交点坐标为
３ ｙ ＝ｋｘ２ ＋ｘ ＋１ ｘ ．
用图象法求下列方程的近似解：（精确到 ）
７ ０１
（） ； （）
１ ｘ２ －３ｘ ＋２ ＝ ０ ２ ２ｘ２ －３ｘ ＋１ ＝ ０．
如图是窗子的形状，它是由上下连成一体的两个矩形构成 已知窗框的用料是
８ ．
，要使窗子能透过最多的光线，问窗子的边长各是多少？
６ ｍ
（第８ 题） （第９ 题）
５７
小结·评价如图，已知一个正方形 的边长为 ，分别在边 ， ， ， 上截取相等
９ ＡＢＣＤ ａ ＡＢ ＢＣ ＣＤ ＤＡ
的线段 ， ， ， ，连接 ， ， ， ，则得到正方形 问要使正方
ＡＰ ＢＱ ＣＲ ＤＳ ＰＱ ＱＲ ＲＳ ＳＰ ＰＱＲＳ．
形 的面积最小，所截取的四条线段每条应该多长？
ＰＱＲＳ
某旅行社组团旅游，如果一次预定人数为 人，那么每人收费 元 若要增
１０ ３０ ５０００ ．
加人数，则每增 人，可使每人少收 元 问增加多少人可使该旅行社一次收
１ １００ ．
入最多，最多是多少元？
某蔬菜市场为指导某种蔬菜的生产和销售，对往年的市场行情和生产情况进
１１
行了调查，提供的信息如图
．
（）在 月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？（收益 售价 成本）
１ ３ ＝ －
（）哪个月出售这种蔬菜的收益最大？为什么？
２
（第１１ 题）
如图，二次函数 （ ） 的图象与 轴交于点 ，与 轴的负半轴
１２ ｙ ＝－ｘ２ ＋ ｋ －１ ｘ ＋４ ｙ Ａ ｘ
交于点 ，且 的面积为
Ｂ ＡＯＢ ６．
（）求 ， 两点的坐标；
１ Ａ Ｂ
（）求该二次函数的表达式；
２
（）如果点 在坐标轴上，且 是等腰三角形，求点 的坐标
３ Ｐ ＡＢＰ Ｐ ．
（第１２ 题） （第１３ 题）
５８
第 章 二次函数与反比例函数
２１如图，正比例函数 与反比例函数 １ 的图象交于 ， 两点，分别从点 ，
１３ ｙ ＝ｘ ｙ ＝ Ａ Ｃ Ａ
ｘ
作 轴的垂线，垂足为 ， ，求四边形 的面积
Ｃ ｘ Ｂ Ｄ ＡＢＣＤ ．
选择：
１
（）如图，已知函数 的图象，则下列判断
１ ｙ ＝ ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ
正确的是（ ）
．
（ ） ， ，
Ａ ａ ＜ ０ ｂ ＞ ０ ｃ ＞ ０
（ ） ， ，
Ｂ ａ ＜ ０ ｂ ＞ ０ ｃ ＜ ０
（ ） ， ，
Ｃ ａ ＜ ０ ｂ ＜ ０ ｃ ＞ ０
（ ） ， ，
Ｄ ａ ＜ ０ ｂ ＜ ０ ｃ ＜ ０ （第１ 题）
（）对于二次函数 （ ） （ ），当 取不
２ ｙ ＝ ａ ｘ ＋ｋ ２ ＋ｋ ｋ≠０ ｋ
同实数时，函数图象的顶点在（ ）
．
（ ）直线 上 （ ）直线 上
Ａ ｙ ＝ ｘ Ｂ ｙ ＝－ｘ
（ ） 轴上 （ ） 轴上
Ｃ ｘ Ｄ ｙ
（）在函数 ， ２ ， ４ 中，图象开口大小顺序用序号
３ ① ｙ ＝４ｘ２ ② ｙ ＝ ｘ２ ③ ｙ ＝－ ｘ２
３ ３
表示应为（ ）
．
（ ） （ ）
Ａ ① ＞② ＞③ Ｂ ① ＞③ ＞②
（ ） （ ）
Ｃ ② ＞③ ＞① Ｄ ② ＞① ＞③
（）如果将抛物线 向右平移 个单位，再向上平移 个单位，得
４ ｙ ＝ ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ ２ ３
到新的抛物线 ，那么（ ）
ｙ ＝ ｘ２ －２ｘ ＋１ ．
（ ） ， （ ） ，
Ａ ｂ ＝ ６ ｃ ＝ １２ Ｂ ｂ ＝－６ ｃ ＝ ６
（ ） ， （ ） ，
Ｃ ｂ ＝ ２ ｃ ＝－２ Ｄ ｂ ＝ ２ ｃ ＝ ４
平移抛物线 １ ，使顶点坐标为（， ），并且经过点（， ），求平移后抛物线
２ ｙ ＝ ｘ２ ｔ ｔ２ ２ ４
２
对应的函数表达式
．
５９
小结·评价如图，公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子
３
， 恰在水面中心， 为 ，安置在柱子顶端 处的喷头向外喷水，水流
ＯＡ Ｏ ＯＡ １２５ ｍ Ａ
在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下 为使水流形状美观，设计成水流
．
距 水平距离为 处达到最大高度 如果不计其他因素，那么水池的
ＯＡ １ｍ ２２５ｍ．
半径至少要多少米，才能使水不落到池外？
（第３ 题） （第４ 题）
如图，， 是反比例函数 ｋ （ ）图象上的两点，， 两点的横坐标分别为
４． Ａ Ｂ ｙ ＝ ｋ ＞０ Ａ Ｂ
ｘ
，，线段 的延长线交 轴于点 若 的面积为 ，求 的值
１ ２ ＡＢ ｘ Ｃ． ＡＯＣ ６ ｋ ．
（）在函数 ｋ （ ）的图象上有点 （ ， ）， （ ， ），（ ， ），且
５ １ ｙ ＝ ｋ ＞０ Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ Ｃ ｘ ｙ
ｘ １ １ ２ ２ ３ ３
，试比较 ， ， 的大小；
ｘ ＜ ｘ ＜ ０ ＜ ｘ ｙ ｙ ｙ
１ ２ ３ １ ２ ３
（）对于函数 ｋ （ ），当 时，比较 与 的大小
２ ｙ ＝ ｋ ＜ ０ ｘ ＜ ｘ ｙ ｙ ．
１ ２ １ ２
ｘ
当 时，抛物线 取得最小值为 ，且抛物线与 轴交于点 （，）
６． ｘ ＝２ ｙ ＝ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ －３ ｙ Ｃ ０ １ ．
（）求该抛物线对应的函数表达式；
１
（）若点 （ ， ），（ ， ）都在抛物线上，试比较 与 的大小
２ Ｍ ｍ ｙ Ｎ ｍ ＋２ ｙ ｙ ｙ ．
１ ２ １ ２
如图，在平面直角坐标系中，已知四边形 为菱形，
７． ＡＢＣＤ
且 （， ），（ ， ）
Ａ ０ ３ Ｂ －４ ０ ．
（）求过点 的反比例函数表达式；
１ Ｃ
（）设 是（）中所求函数图象上的一点，以 ， ，
２ Ｐ １ Ｐ Ｏ Ａ
为顶点的三角形面积与 的面积相等，求点
ＣＯＤ Ｐ
的坐标
．
（第７ 题）
６０
第 章 二次函数与反比例函数
２１如图，已知反比例函数 １ ， ３ 在第一象限的图
８． ｙ ＝ ｙ ＝
１ ｘ ２ ｘ
象，过 上任意一点 ，作 轴的平行线交 于点 ，交
ｙ Ａ ｘ ｙ Ｂ ｙ
２ １
轴于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，交 轴于点
Ｃ Ａ ｘ ｙ Ｄ ｘ
１
，连接 ， ，则 ＢＤ
Ｅ ＢＤ ＣＥ ＝ ．
ＣＥ
（第８ 题）
结合函数 的图象，确定当 取何值时，有
１ ｙ ＝－２ｘ２ ＋３ｘ ＋５ ｘ
（） ？ （） ？ （） ？
１ ｙ ＝ ０ ２ ｙ ＞ ０ ３ ｙ ＜ ０
下列函数在给定范围内是否能取得最大值或最小值，这个值是多少？
２
（） （ ）；
１ ｙ ＝ ｘ２ －４ｘ ＋５ ０ ≤ ｘ ≤３
（） １ （ ）；
２ ｙ ＝－ ｘ２ ＋４ｘ －４ １ ≤ ｘ ≤５
２
（） （ ）
３ ｙ ＝－ｘ２ ＋２ｘ ＋２ ２ ＜ ｘ ≤４ ．
甲、乙两船航行于海上，甲船在乙船正北方向 处，以 的速度
３． １２５ ｎ ｍｉｌｅ １５ ｎ ｍｉｌｅ／ｈ
向东行驶，乙船以 的速度向北行驶 问多少时间后两船靠得最近？
２０ ｎ ｍｉｌｅ／ｈ ．
（）当 分别为何值时，一次函数 的图象与二次函数
４ １ ｂ ｙ ＝ ２ｘ ＋ｂ ｙ ＝ ｘ２ －２ｘ ＋３
的图象有一个公共点、两个公共点？
（）当 分别为何值时，一次函数 的图象与反比例函数 ２ 的图
２ ｂ ｙ ＝ ２ｘ ＋ｂ ｙ ＝ －
ｘ
象有一个公共点、两个公共点？
在下列函数中，当 为何值时，取得最小值？
５． ｘ ｙ
（） （ ） （ ）；
１ ｙ ＝ ｘ －ａ ２ ＋ ｘ －ａ ２
１ ２
（） （ ） （ ） （ ）；
２ ｙ ＝ ｘ －ａ ２ ＋ ｘ －ａ ２ ＋ ｘ －ａ ２
１ ２ ３
（） （ ） （ ） … （ ）
３ ｙ ＝ ｘ －ａ ２ ＋ ｘ －ａ ２ ＋ ＋ ｘ －ａ ２．
１ ２ ｎ
求在直线 上与原点距离最近的点的坐标
６． ｘ ＋ｙ ＝ ２ ．
６１
小结·评价相 似 形
比例线段
２２．１
相似三角形的判定
２２．２
相似三角形的性质
２２．３
图形的位似变换
２２．４
综合与实践 测量
２２．５
与误差
，
,efghij)kl‘ lm)nop2qPrh
， ，
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，
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？
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，
６２
第 章 相 似 形 !"%&’ABC
