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2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
参考公式：
1 n 1 n
s2 = å(x - x)2,其中x = åx
x ,x , ,x n i n i
样本数据 1 2 L n的方差 i=1 i=1
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
z = 4+29i,z =6+9i i (z - z )i
1.若复数 1 2 ，其中 是虚数单位，则复数 1 2 的实部为______
a b 30o |a|= 2,|b|= 3 a b a b =
2.已知向量 和向量 的夹角为 ， ，则向量 和向量 的数量积 g _________
_ .
f (x) = x3 -15x2 -33x+6
3.函数 的单调减区间为_____
y
y = Asin(wx+j)(A,w,j 1
4.函数 为常数，
A>0,w>0) [-p,0]
在闭区间 上的图象如图所示，则 2p p O 1 x
-p - -
w= 3 3
_______ .
5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.
7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰
好相差0.3m的概率为________ .
6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下
表：
学生 1号 2号 3号 4号 5号
甲班 6 7 7 8 7
乙班 6 7 6 7 9
第1页 | 共6页s2 =
则以上两组数据的方差中较小的一个为 ________ .
开始
W =
7.右图是一个算法的流程图，最后输出的 ________ .
S ¬0
8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为
1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们
T ¬1
的体积比为________ .
xoy C: y = x3 -10x+3 S ¬ T2 - S
9.在平面直角坐标系 中，点P在曲线 上， T ¬T +2
且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐
标为________.
S ³10
N
Y
5 -1
a =
f (x) = ax m,n W ¬ S +T
2
10.已知 ，函数 ，若实数 满足
f (m) > f (n) m,n
，则 的大小关系为 _______
W
输出
.
A=x|log x£ 2 B =(-¥,a) AÍ B 结束
11.已知集合 2 ， ，若 则
a (c,+¥) c =
实数 的取值范围是 ，其中 ________ .
a b a b
12.设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条
a b a l a l a a
直线，则 平行于 ；（2）若 外一条直线 与 内的一条直线平行，则 和 平行；（3）设 和
b l a l a b l a
相交于直线 ，若 内有一条直线垂直于 ，则 和 垂直；（4）直线 与 垂直的充分必要条件是
l a
与 内的两条直线垂直.
上面命题中，真命题的序号________（写出所有真命题的序号）.
xoy A,A ,B ,B
y
13．如图，在平面直角坐标系 中， 1 2 1 2为椭圆
T
x2 y2
B2
+ =1(a >b >0) M
a2 b2 F
的四个顶点， 为其右焦点，直线
AB B F OT M
1 2与直线 1 相交于点T，线段 与椭圆的交点 恰为线
A1 O A2 x
OT
段 的中点，则该椭圆的离心率为________.
a
q |q|>1
14．设 n 是公比为 的等比数列， ，令
第2页 | 共6页b = a +1(n =1,2, )
b -53,-23,19,37,82
6q =
n n L 若数列 n 有连续四项在集合 中，则
________
二、解答题：本大题共6小题，共计90分。
15．（本小题满分14分）
a =(4cosa,sina),b =(sinb,4cosb),c =(cosb,-4sinb) a b-2c
设向量 （1）若 与 垂直，
tan(a+b) |b+c| tanatanb=16 a b
求 的值；（2）求 的最大值;（3）若 ，求证： ∥ .
16．（本小题满分14分）
ABC - ABC E,F AB,AC
如图，在直三棱柱 1 1 1中， 分别是 1 1 的中
BC AD ^ BC
D
点，点 在 1 1上， 1 1
EF
平面ABC 平面AFD ^平面BBCC
求证：(1) ∥ （2） 1 1 1
a
S n
17．（本小题满分14分） 设 n 是公差不为零的等差数列， n为其前 项和，满足
a2 +a2 = a2 +a2,S =7 a n S m
2 3 4 5 7 （1）求数列 n 的通项公式及前 项和 n；（2）试求所有的正整数
a a
m m+1
a
a
，使得 m+2 为数列 n 中的项.
18．（本小题满分16分）
xoy C :(x+3)2 +(y -1)2 = 4
在平面直角坐标系 中，已知圆 1 和圆
C :(x-4)2 +(y -5)2 = 4 l A(4,0) y
2 （1）若直线 过点 ，且被
.
C 2 3 l
圆 1截得的弦长为 ，求直线 的方程；（2）设P为平面上的
l和l
点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线 1 2，它们分别 .
1
C C l C l
与圆 1和圆 2相交，且直线 1被圆 1截得的弦长与直线 2被圆 O 1 x
C
2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.
第3页 | 共6页19.(本小题满分16分)
a m
按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 元，如果他卖出该产品的单价为 元，则他的
m n
m+a n n+a
满意度为 ；如果他买进该产品的单价为 元，则他的满意度为 .如果一个人对两种交易(卖
h h hh
出或买进)的满意度分别为 1和 2，则他对这两种交易的综合满意度为 1 2 .
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和
m m h
20元，设产品A、B的单价分别为 A元和 B元，甲买进A与卖出B的综合满意度为 甲，乙卖出A与买进
h
B的综合满意度为 乙
3
m = m
h h m m A 5 B h h
求 甲和 乙关于 A、 B的表达式；当 时，求证： 甲= 乙；
3
m = m
A 5 B m m
设 ，当 A、 B分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多
少？
h m m h ³ h h ³ h
记(2)中最大的综合满意度为 0，试问能否适当选取 A、 B的值，使得 甲 0和 乙 0同时成立
，但等号不同时成立？试说明理由。
3
m = m
h h m m A 5 B h h
求 甲和 乙关于 A、 B的表达式；当 时，求证： 甲= 乙；
3
m = m
A 5 B m m
设 ，当 A、 B分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多
少？
h m m h ³ h h ³ h
记(2)中最大的综合满意度为 0，试问能否适当选取 A、 B的值，使得 甲 0和 乙 0同时成立
，但等号不同时成立？试说明理由。
a f (x) = 2x2 +(x-a)| x-a| f (0)³1 a
20．(本小题满分16分)设 为实数，函数 .若 ，求 的取值范
f (x) h(x) = f (x),xÎ(a,+¥)
围；求 的最小值；设函数 ，直接写出(不需给出演算步骤)不等式
h(x)³1
的解集.
第4页 | 共6页数学Ⅱ（附加题）
n(n+1)(2n+1)
参考公式：12 +22 +32 + +n2 = .
L
6
21.[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答
，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A.选修4 - 1：几何证明选讲
如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.
求证：AB∥CD.
B. 选修4 - 2：矩阵与变换
é3 2ù
求矩阵A=
ê ú
的逆矩阵.
ë2 1û
C. 选修4 - 4：坐标系与参数方程
ì 1
x= t -
ï
ï t
已知曲线C的参数方程为í ,（t为参数，t >0）.
1
ï
y =3(t+ )
ïî t
求曲线C的普通方程。
D. 选修4 - 5：不等式选讲
设a≥b＞0,求证：3a3+2b3≥3a2b+2ab2.
第5页 | 共6页[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤。
22.（本题满分10分）
在平面直角坐标系xoy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦 点F
在x轴上。
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；
（3）设过点M(m,0)(m>0)的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D 和E
两点间的距离为 f(m)，求 f(m)关于m的表达式。
23. （本题满分10分）
对于正整数n≥2，用T 表示关于x的一元二次方程x2 +2ax+b=0有实数根的有序数组(a,b)的组数，
n
其中a,bÎ1,2, ,n（a和b可以相等）；对于随机选取的a,bÎ1,2, ,n（a和b可以相等），记
L L
P 为关于x的一元二次方程x2 +2ax+b=0有实数根的概率。
n
（1）求T 和P ；
n2 n2
1
（2）求证：对任意正整数n≥2，有P >1- .
n
n
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