安徽省合肥一六八中学2025届高三最后一卷数学答案_2025年6月_250601安徽省合肥一六八中学2025届高三最后一卷（全科）

合肥一六八中学!"!#届高三最后一卷!数学
参考答案#提示及评分细则
题号 ! # $ % & ’ " ( ) !* !!
答案 + , - - , . , , .+ -,+ -.+
一#单选题!本大题共$小题$每小题#分$共%"分"
!!!答案"+
!
!解析"抛物线"#/0#的焦点落在#轴上#开口向下#所以准线方程为#/ !
%
故选+!
#!!答案",
!解析"$/%$&#$123!$槡’/*!*&4%!(#4123"54槡*!*%"*!*&4#$!*%4*!!#4*!#"*!*#(%6&!
故选,!
$!!答案"-
!解析"由已知#(%"&定义域为%0###&#且(%0"&/(%"&#所以函数(%"&为偶函数#故(%"&图
象关于#轴对称#(%*&/*#排除.#+’当"##时#(%"&$*#排除,#故-正确!
故选-!
%!!答案"-
!解析"设向量!与向量"的夹角为!#设%"%/#%!%/##%#!0"%/槡%#!0"&#/槡(%!%#0%!$"/
#! #! %#!0"&$" ! %781!0%
槡(0(781!#且#!0"与"的夹角为 #所以781 / #0 / #解得
$ $ %#!0"%4%"% # 槡(0(781!4#
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781!/!%舍&或781!/ #!/ !
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故选-!
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!解析"因为123(%"9#&9$ )/ #即123%"9#&781$9781%"9#&123$/ #设123%"0$9#&/"#
$ $
即123(%"9#&0$ )/"#123%"9#&781$0781%"9#&123$/"#则 1
1
2
2
3
3
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#因为:;3%"9#&/$:;3$ #得到"/ !
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故选,!
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!解析"(%"&关于"/!对称#(%"9#&0!为奇函数#则(%0"9#&0!/0(%"9#&9!#
即(%0"9#&9(%"9#&/##则关于点%##!&对称#则由其关于"/!对称有(%"&/(%0"9#&#
则(%"&9(%"9#&/##则(%"9#&9(%"9%&/##作差有(%"&/(%"9%&#
<(%"&为周期函数#且周期为%#因为(%!&9(%$&/##(%!&/*#则(%$&/##
因为(%*&/(%#&#(%*&9(%#&/##则(%*&/(%#&/!#(%%&/(%*&/!#
#*#&
则(%!&9(%#&9(%$&9(%%&/%#&(%%&/%4&*’9*/#*#%!故选.!
%)!
数学答案!第!!!!!页!共"页"
书书书"!!答案",
!解析"因为*"#"#"#"#"#"+/*!###$#%#&#’+#所以共有-’/"#*个排列#
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若%"9"&%"9"&%"9"&为奇数#
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则"9"#"9"#"9" 全部为奇数#有’4$4%4#4#4!/#((个#
! # $ % & ’
故%"9"&%"9"&%"9"&为偶数的排列共有"#*0#((/%$#个!
! # $ % & ’
故选,!
(!!答案",
!解析"设*%"##&#+%"##&#则"9"/###9#/’#=*#+两点均在双曲线,上#
! ! # # ! # ! #
("#
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-# .# "#0"# ##0##
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#由"0#得 !
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"#0"# -# %"9"&%"0"& -# # -#
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(#/"9#
设直线*+的方程为#0$/!$%"0!&#即#/"9##联立得’"# ## #
0 /!
)-# $-#
$
消去#并整理得#"#0%"0%%9$-#&/*#$/%(9#%-#$*#则"9"/##""/0#0 -#!
! # ! # #
++# ++#
=/*$/+/%"0-##&$%"0-##&/%"0-&%"0-&9##/0#-#0#-9%#
! ! # # ! # ! #
令0#-#0#-9%,*#解得-,0#或-$!#因为-$*故-$!!
故选,!
二#多选题!本大题共&小题$每小题’分$共($分"
)!!答案".+
!解析"记白,红,黄,蓝,绿颜色的粉笔分别为-/#0#-#.#1!
对于--./#0都入选/与./#0至少!支入选/可以同时发生#故-错误’
对于.-对于/#0是否入选所有事件类型有-/#0都入选,/入选0不入选,/不入选0入选和
/#0都不入选#故.正确’
对于,-设从&支中随机选$支#有-%/#0#-&#%/#0#.&#%/#0#1&#%/#-#.&#%/#-#1&#%/#.#1&#
%0#-#.&#%0#-#1&#%0#.#1&#%-#.#1&#共!*种选法’其中#/#0都入选的选法有$种#故所求概
$
率2/ #故,错误’
!*
)
对于+-/#0至少!支入选的选法有)种#故所求概率2/ #故+正确!
!*
故选.+!
!*!!答案"-,+
!
!解析"(%"&/ "$0-"#0$-#"#(3%"&/"#0#-"0$-#/%"0$-&%"9-&#当-,*时#"-%0>#
$
$-&#(%"&递增#"-%$-#0-&#(%"&递减#"-%0-#9>&#(%"&递增#故(%"&有两个极值点#当
-$*时#"-%0>#0-&#(%"&递增#"-%0-#$-&#(%"&递减#"-%$-#9>&#(%"&递增#(%"&
有两个极值点#故-正确’
数学答案!第!!!!#页!共"页"% !!-$&
因为(3%"&/"#0#-"0$-##所以(%"&的图象的对称中心为 -#0 #当-**时#不在函数4%"&
$
!!
/ "$的图象上#故.错误’
$
当-/*时#(%"&单调递增#故-**#由 -可知#当-,*时#"-%$-#0-&#(%"&递减#所以
*$-.* *0-.*
#得到-.0$#当-$*时#"-%0-#$-&#(%"&递减#所以 #得到-/!#所以
$.0- $.$-
(%"&在区间%*#$&单调递减#则--%0>#0$)0(!#9>&#故,正确’
! !
因为(%#-0!&,(%0-&#代入(%"&可得 %#-0!&$0-%#-0!&#0$-#%#-0!&, %0-&$
$ $
! % !&#% !& !
0-%0-&#0$-#%0-&化简可得-)-$0$-#0-9 $*#即 -0 -9 $*#解得-$0 且-
$ $ $ $
!
* #故+正确!
$
故选-,+!
!!!!答案"-.+
!解析"设2%"##&在曲线,-
%"&#
$ 9
%#&#
$ /!%5$*#6$*&上#则%"#0#&,%0"##&亦在曲
# 5 6
线
%"&#
$ 9
%#&#
$ /!%5$*#6$*&上#故曲线,-
%"&#
$ 9
%#&#
$ /!%5$*#6$*&关于"轴,
5 6 # 5 6
#轴对称#故-正确’
当-/./5/6时#易知有四个交点为%?-#*&#%*#?-&#下面证明没有其他交点!
故只需研究第一象限内部分#设 %"&! $ /781!# %#&! $ /123!#!- ( *# !) #则 *"/-781$! !
- - # #/-123$!
<"#9##/-#781’!9-#123’!/-#%781#!9123#!&%781%!9123%!0781#!123#!&/-#(%781#!9
% $ & !
123#!&#0$781#!123#!)/-#%!0$781#!123#!&/-# !0 123##! .-##等号当且仅当!/*或 时
% #
取到#故.正确’
% $ & ! !
由.选项知"#9##/-# !0 123##! / -##<曲线, 的内切圆半径为 -#此时曲线, 为
% % # # !
!
!-#
% !
半径为-的圆#所以面积比为 / #故,错误’
!-# %
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联立方程组’ )
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#由#得
*"/5781$!
#代入"式整理得781’!9123’!/ % #
#/6123$! )
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)5 6
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即!0$781#!123#!/
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#所以781!123!/?槡
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#所以’ /
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%5781$!6123$!%/
!
56
&#
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) #" 1,78 # # #"
&槡!&
56#故+正确!
%(’
故选-.+!
数学答案!第!!!!$页!共"页"三#填空题!本大题共&小题$每小题#分$共(#分"
!#!!答案"槡!*
!解析"因为9/502%5-)&#则9/592#
所以9$%!9$2&/%592&$%!9$2&/%50$&9%$59!&2#又9$%!9$2&为纯虚数#
*50$/*
所以 #解得5/$#%9%/槡!*!
$59!**
故答案为槡!*!
( # !)
!$!!答案"0 #0
& $
!解析"因为数列*-+是公差为:的等差数列#设-/:69(#因为- /#-0#得到(/##
6 6 #6 6
所以-/:69##又因为’.’ 对任意的6-*2恒成立#
6 6 &
(
-
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# ! # !
所以’-
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/*#解得-0
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.:.0
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#所以公差:的取值范围为0
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.:.0
$
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)-.*
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( # !)
故答案为 0 #0 !
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#
!%!!答案"
$
!解析"若使%*+%9%*2%达到最小#则*23平面/0,7#易知2在/,上#
如图!#连接/,#设+ 是/,中点#连接*+ #显然*+ /*+#
! ! !
如图##将平面/,, 沿/, 翻折至平面/,,#连接*+ #
! ! # ! #
<*+ /*+ %+ 是+ 翻折后的点&#<*+ /*+#
! # # ! #
<%*+%9%*2%/%*+%9%*2%/%+2%#
# #
作+23/,#<%+2%/%+2%#
# * # # *
<%*+%9%*2%/%+2%#设4,/,/!#则4,/,/#!#
# * ! #
! 槡# #:;3! #槡#
:;3!/ / #:;3#!/ /#槡##<123#!/ /1234,/,#
槡# # !0:;3#! $ #
槡# #槡# #
则%+2%//+ $123#!/ 4 / #
# * # # $ $
#
<%*+%9%*2%/ #当且仅当*#+ #2三点共线时取等号!
$ #
#
故答案为 !
$
数学答案!第!!!!%页!共"页"四#解答题!本大题共#小题$共++分%解答应写出必要的文字说明#证明过程或演算步骤"
!
!&!!解析"%!&若-/*#则(%"&/"9@3"#(3%"&/!9 #设切点2%"#"9@3"&# ……… !分
" * * *
! % !&
此切线的斜率%/(3%"&/!9 #所以切线方程为#0"0@3"/ !9 %"0"&# …… $分
* " * * " *
* *
因为切线过点%*#*&#可得@3"0!/*#"/A#切线方程为%A9!&"0A#/*’ …………… &分
* *
! 0#-"#9"9!
%#&(3%"&/!9 0#-"/ #
" "
"当-.*时#0#-"#9"9!$*#"-%*#9>&#(3%"&$*#(%"&在%*#9>&上单调递增#函数
(%"&至多!个零点#不合题意’ ……………………………………………………………… "分
!0槡!9(- !9槡!9(-
#当-$*时#令(3%"&/*#解得"/ %舍&#"/ #"-%*#"&#(3%"&$*#
! %- # %- #
(%"&在%*#"&上单调递增#"-%"#9>&#(3%"&,*#(%"&在%"#9>&上单调递减#
# # #
当"/" 时#(%"& /(%"&#"#*#(%"&#0>#"#9>#(%"&#0>#所以要使函数(%"&有两
# 6;B #
! !
个零点#则(%"& /(%"&$*#(%"& /(%"&/"9@3"0-"#/@3"9 "0 #…… !*分
6;B # 6;B # # # # # # # #
! ! ! ! ! !
令(%"&$*#@3"9 "0 $*#令;%"&/@3"9 "0 #;3%"&/ 9 $*#所以;%"&在%*#9>&上
# # # # # # # " #
!9槡!9(-
单调递增#又因为;%!&/*#得到"/ $!#解得*,-,!!综上---%*#!&!…………… !$分
# %-
7810 #10.
!’!!解析"%!&由题可知 / #-78109.781//#1781/#123/781091230781//#123,781/#
781/ -
! !
123,/#123,781/#*,,,!#123,**#*,/,!#781// #// ’…………………… &分
# $
! - 1 . %槡$
%#&// # / / / #……………………………………………………… ’分
$ 123/ 123, 1230 $
%槡$ %槡$ !’ !’
<./ 1230#1/ 123,#<.#/ 123#0#1#/ 123#,# ……………………………… (分
$ $ $ $
!’ % !& %! 槡$ &#
123#09% !’123# ,9 9!# !’ 123,9 781, 9!#
-#9.# $ $ # #
< / / /
1# !’ !’123#, !’123#,
123#,
$
!’123#,9(槡$123,$781,9#%781#, 槡$ ! $ !
/ /!9 $ 9 $ # ……… !$分
!’123#, # :;3, # :;3#,
! ! ! 槡$ !
=1/0,为锐角三角形#// #< ,,, #<:;3,$ #<*, ,槡$#
$ ’ # $ :;3,
! -#9.# $ 槡$ $% 槡$&# " -#9.#
设</ #则 / <#9 <9!/ <9 9 #<*,<,槡$时# -%!#"&!…… !&分
:;3, 1# # # # ’ ( 1#
!"!!解析"%!&如图!所示-分别取边/8#0=#,=#78的中点>#?#@#A#
题意知;/$#’/*#’/%4%/!’#
! #
#9%
>?/A@/ /$#?@/>A/##则’/$4#/’#
# *
! !
所以B/ ;%’9%’9’&/ 4$4%*9%4’9!’&/#*’……… &分
’ ! * # ’
数学答案!第!!!!&页!共"页"%#&如图##"取0,,/7中点2,C#分别连接2C,=2,8C#
由题可知8=5平面/0,7#
因为8=6平面8/0=#平面/0=87平面/0,7//0#
所以8=52C#又因为8C/=2#所以四边形8C2=为等腰梯形#
因为=230,#2C30,#=272C/2#所以0,3平面8C2=#
因为0,6平面/0,7#所以平面8=2C3平面/0,7#
取8=,2C的中点D ,D#则直线DD32C#则DD3平面/0,7#
! # ! # ! #
又因为点D 到点/,0,,,7的距离相等#所以外接球的球心D在直线DD 上#
# ! #
%槡& &# 槡!!
此五面体的高;/槡%#-&#0 - / -#……………………………………………… (分
# #
%-&# %槡!! &# )
设DD/"#外接球的半径为$#则"#9 / -0" 9%槡#-&#/$##解得-"/ -#
! # # #槡!!
#$
$#/ -##外接球的表面积为%!$#/)#!#解得--/槡!!!………………………………… !*分
!!
#因为D0/D,#所以D230,#又2=30,#所以4D2=为二面角=00,0D的平面角#
槡!! ) 槡!!
因为DD/;0"/ -0 -/ -#D2/-#
# # #槡!! !! #
!# #$ #$ !#
所以D2/槡-#D=/$/槡-#所以在1D=2中#D=/槡-#D2/槡-#=2/槡$-#
!! !! !! !!
槡!! &
由余弦定理可得7814D2=/ #则1234D2=/ !…………………………………… !&分
’ ’
!(!!解析"%!&假设同学甲和同学乙答对的题目个数分别为-#-#
! #
%%&# !
所以所求概率为2/2%-/##-/$&92%-/$#-/#&92%-/$#-/$&/,# 4 4
! # ! # ! # $ & &
%$&$ %%&$ %$&# ! %%&$ %$&$ #)"
9 4,# 4 9 4 / #
% & $ % % & % &**
#)"
所以他们在一轮竞赛中获得!个积分的概率为 ’………………………………………… "分
&**
%#&由%!&可知#2/2%-/##-/$&92%-/$#-/#&92%-/$#-/$&/,#4E#4%!0E&
! # ! # ! # $ ! !
4E$9E$4,#4E#4%!0E&9E$4E$#
# ! $ # # ! #
整理可得2/E#E#($%E9E&0&EE)/E#E#%%0&EE&#……………………………… !*分
! # ! # ! # ! # ! #
%
因为*.E.!#*.E.!#且E9E/ #
! # ! # $
! %% & (! %) (! %)
所以 .E.!#<EE/E 0E - # #令</EE#则<- # #
$ ! ! # ! $ ! $ ) ! # $ )
(! %)
所以2%<&/0&<$9%<##<- # #则23%<&/0!&<#9(<#
$ )
(! %) (! %)
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$ ) $ )
! "
所以当</ 时#2%<&取得最小值 # ……………………………………………………… !%分
$ #"
设在6轮比赛中#甲,乙两同学获得!个积分的轮数为F#则F服从F%0%6#2&#又=G/F#
数学答案!第!!!!’页!共"页"" !$&
<8%G&/8%F&/62#则由62/&#即6$ /&#解得6/ "!)!$#
#" "
因为6为正整数#所以6的最小值为#*!…………………………………………………… !"分
!)!!解析"%!&解-由"/!得#/%!##&#又(3%"&/$"#9$#得(3%!&/’#…………………… !分
* *
%# &
<在/%!##&处的切线H 的方程为-#/’%"0!&9##令#/*#得到0 #* #
* ! ! $
# %# (& %#& !$
所以"/ #得到/ # #所以(3 / #
! $ ! $ #" $ $
%# (& !$% #& (
<在/ # 处的切线H 的方程为-#/ "0 9 #……………………………… $分
! $ #" # $ $ #"
"* "*
令#/*#得到"/ #故I的#次近似值为 ’…………………………………………… %分
# !!" !!"
"# "
%#&"解-由(%"&/ #得(3%"&/ #="/%#<(3%%&/##/%%#%&#
% # * *
得H-#/#"0%#<"/##……………………………………………………………………… &分
! !
% "#& "
同理-在点/ "#6 处的切线斜率为% /(3%"&/ 6#
6 6 % H69! 6 #
" "# " "#
<H -#/ 6%"0"&9 6#将0 %" #*&代入得*/ 6%" 0"&9 6#
69! # 6 % 69! 69! # 69! 6 %
!
所以"/*或" / "#若"/*#则/#/#0#/ 重合#与题设矛盾#故舍去#……… "分
6 69! # 6 6 ! # 6
! ! %!&60#
<" / "#故数列*"+是首项为"/##公比为 的等比数列#得到"/ #
69! # 6 6 ! # 6 #
"# %!&60! %!&60!
由抛物线的定义-%/=%/!9#/!9 6/!9 #故%/=%/!9 ’……… !*分
6 6 % % 6 %
#证明-由题意得-:/%/ /%/槡%"0" &#9%#0# &##………………………… !!分
J J0! J J J0! J J0!
"# "#
由"知-" /#"##/ J## / J0!#
J0! J J % J0! %
%"# %"#&# )"#
得:/%/ /%/槡%"0#"&#9 J0 J /"槡!9 J#…………………………… !#分
J J0! J J J % % J !’
而-$*#.$*时#槡-#9.#,槡%-9.&#/-9.#
)"# $ % $"& $"#
得槡!9 J,!9 "#故:," !9 J /"9 J#…………………………………… !%分
!’ % J J J % J %
6 $ %!&60#
所以 &:,%"9"909"&9 %"#9"#909"#&#将"/ 代入#
J ! # 6 % ! # 6 6 #
J)!
% %!&6&
6 % ! ! %!&60#& $( ! %!&60#) #!0 #
得 &:, #9!9 9 909 9 %9!9 909 / 9
J # % # % % % !
J)! !0
#
% %!&6&
%!0
$ % % %!&6& % %!&6&
$ /%!0 9%!0 ,(#
% ! # %
!0
%
故命题得证!…………………………………………………………………………………… !"分
数学答案!第!!!!"页!共"页"