浙教版7年级数学上册高清教材_4-教培资料-26年最新资料-同步更新_初中高中教资_03科三专项（进去保存报考的学科即可）_02科三专项（笔记真题思维导图教学设计版本二）

定价批准文号：浙发改价格〔2019〕319号、〔2020〕331号 举报电话：12345、12315 定价：12.57元前 言 亲爱的同学： 欢迎你进入初中阶段学习。当这册数学教科书放在面前时，你又开始 了一段新的数学学习之旅。 翻开新书，你会感受到数学世界新的精彩 有理数，实数，代数式，一元一 : 次方程，图形的初步知识……引入有理数和实数，既是实际的需要，也为你 以后的学习奠定基础；引入代数式，能为你提供新的数学工具，来表达和处 理一般的数量表示及其关系，也为一元一次方程的学习作必要的准备；图形 的初步知识将引导你进一步观察现实世界中图形的关系，认知其中的奥秘。 翻开新书，你会领略到数学学习的乐趣“合作学习”让你与同伴一起探 : 索新的数学知识、新的数学方法；“探究活动”使你亲身经历知识的发生过 程，体验“发现”的快乐；“阅读材料”帮助你了解许多有趣的数学史实，开阔 你的数学视野；而“设计题”和“综合实践活动”，则为你发展提出问题、分析 问题和解决问题的能力，并运用数学知识和方法进行探索、表达和创新提供 了机会。 数学是自然科学的重要基础，是学习物理、化学、地理、生物、经济等学 科的必备知识；数学也能培养我们的思考能力，能使人思维缜密、思路清晰， 增强逻辑性和精确性；数学更是认识世界、把握事物本质的学科，具有简洁 之美、朴素之真，具有无穷的魅力。数学眼光可以帮助我们观察世界，数学 语言可以帮助我们表达世界，而数学思维更可以帮助我们思考世界。 数学是抽象的，学好它需要有足够的勤奋和毅力；但数学并不神秘，只 要有浓厚的兴趣和正确的学习方法，每个人都可以学好数学。 这套新版教科书按照教育部制定的《义务教育数学课程标准（ 年版）》 2022 编写，七至九年级共六册。我们殷切希望它能成为你学习数学路上的好朋 友，帮助你掌握数学知识，提高数学能力，欣赏数学魅力，享受学习数学的乐 趣。祝你学习快乐，学业进步 !目 录 第1章 有理数 1.1 从自然数到有理数 …………………………………… 6 阅读材料 中国古代在数的发展方面的成就 …………… 16 1.2 数轴 ························································ 17 1.3 绝对值 ····················································· 20 1.4 有理数的大小比较 ······································· 23 小结与反思 ······················································ 26 目标与评定 ······················································ 27 第2章 有理数的运算 2.1 有理数的加法 ············································ 32 2.2 有理数的减法 ············································ 40 2.3 有理数的乘法 ············································ 46 阅读材料 数的运算与扩充 ……………………………… 53 2.4 有理数的除法 ············································ 54 2.5 有理数的乘方 ············································ 57 2.6 有理数的混合运算 ······································ 64 2.7 近似数 ····················································· 67 小结与反思 ······················································ 72 目标与评定 ······················································ 73第3章 实数 3.1 平方根 ····················································· 78 3.2 从有理数到实数··········································· 82 阅读材料 神奇的π············································ 86 3.3 立方根 ····················································· 88 3.4 实数的运算 ··············································· 91 综合实践活动 寻找数和计算工具的发展足迹 ………… 95 小结与反思 ······················································ 96 目标与评定 ······················································ 97 第4章 代数式 4.1 列代数式 ················································· 102 4.2 代数式的值 ·············································· 105 阅读材料 数学中的符号 ···································· 108 4.3 整式 ······················································ 110 4.4 合并同类项 ·············································· 113 4.5 整式的加减 ·············································· 116 小结与反思 ····················································· 122 目标与评定 ····················································· 123 第5章 一元一次方程 5.1 认识方程 ················································· 128 5.2 等式的基本性质 …………………………………… 131 5.3 一元一次方程和它的解 …………………………… 134 5.4 一元一次方程的解法 ……………………………… 137阅读材料 中外方程趣题 ··································· 143 5.5 一元一次方程的应用 ·································· 144 阅读材料 问题解决的基本步骤 ··························· 154 小结与反思 ····················································· 157 目标与评定 ····················································· 158 第6章 图形的初步知识 6.1 几何图形 ················································· 162 6.2 线段、射线和直线 ······································· 165 6.3 线段的长短比较 ········································ 169 6.4 线段的和差 ·············································· 173 6.5 角与角的度量 ··········································· 177 6.6 角的大小比较 ··········································· 181 6.7 角的和差 ················································· 184 6.8 余角和补角 ·············································· 187 综合实践活动 设计小小阅读角 ··························· 191 小结与反思 ····················································· 192 目标与评定 ····················································· 193第1章 有理数 人类很早就有了数的概念。在漫长 的生活和生产实践中，由于记事、测量和 分配等方面的需要，人们发明了自然数和 分数。为了表示具有相反意义的量，我们 的祖先又发明了正数和负数，把数扩展到 了有理数。通过本章的学习，我们将了解 从自然数到有理数的发展过程，学习有理 数和数轴的有关知识，学会比较有理数的 珠穆朗玛峰 大小。 最高点海拔：8 848.86米， 历史最低气温：－60℃ 。吐鲁番盆地 最低点海拔：－154米， 历史最高气温：52.2℃ 。 第 章 有理数 111..11 从从自自然然数数到到有有理理数数 我国的长城始建于公元前7世纪，前后修造了 2 000余年。明长城东起辽宁虎山，西至甘肃嘉峪 关，总长度为8852千米。人们称其为万里长城。 1 在小学，我们已经学过自然数0，1，2，3，4，5，…。 自然数在计数和测量中应用广泛，如节前语中，我国长 城“修造了2 000余年”“总长度为8 852千米”等。 人们还常常用自然数来给事物标号或排序，如城 市的公共汽车路线、门牌号码、邮政编码、身份证号码， 节前语中的“我国的长城始建于公元前7世纪”等。 我们还学习过分数和小数，它们是由于测量和分配等实际需要而产 生的。 做一做 ZUOYIZUO 1. 小华和她的7名朋友一起过生日，平均分享一块生日蛋糕，每人可 得多少蛋糕？ 2. 小明的身高是168厘米，如果改用米作单位，应怎样表示？ 3 1 · 分数可以看作两个整数相除，例如， 5 ＝3÷5＝0.6， 3 ＝0 . 3，因此分数都 可以化为小数。分数化成小数的结果可能是有限小数，也可能是无限循 环小数。反过来，有限小数、无限循环小数也都可以化为分数，例如，1 . 31 31 62 31 ＝1 100 ，0 . 0062＝ 10000 ＝ 5000 。 伴随着数的概念而来的是数的运算，数的运算是人们分析、判断和解决 实际问题的重要手段。 6 数学 七年级上册合合合合作作作作学学学学习习习习 HHHHEEEEZZZZUUUUOOOOXXXXUUUUEEEEXXXXIIII 1 . 小慧要去北京参加夏令营，行程信息如图1-1，她该如何合理安排 行程？ 我打算先乘汽车从宁波到 杭州与同学会合，然后乘坐 13:00出发的火车去北京。 大家好，我是小慧， 路程160千米， 我要去北京参加夏 车速90千米/时 令营。 与同学会合后，市内 交通和检票进站要 花40～50分钟。 最迟什么时候从 宁波出发，才能 赶上火车？ 图1-1 你能帮小慧列出算式吗？ 2 . 夏令营结束后，小慧要买一张从北京直达宁波的回程票，原打算买火 车票，这样她还剩160元钱，后来想改买飞机票，票价如下表。若不考虑其他 费用，小慧的钱够吗？ 表1-1 交通工具 出发—到达 发时—到时 运行时间 参考票价 676元 火车 北京南—宁波 8:12—14:54 6时42分 （二等座） 北京首都国际机场— 飞机 15:55—18:25 2时30分 900元 宁波栎社国际机场 根据我们已经学过的知识，上述问题2可以列下面的算式求解： 676＋160－900＝836－900＝？ 算式中，被减数小于减数，在这种情况下，能否进行运算？运算的结果 是什么？这需要我们进一步学习探索。 第1章 有理数 7课内练习 KENEILIANXI 1. 鸟蛋中最大的是鸵鸟蛋，一个鸵鸟蛋的质量大约是1 400克。如果 改用千克作单位，应怎样表示这个鸵鸟蛋的质量？ 2. 一张课桌桌面的长与宽大约是多少米？先估计，然后量一量，与你的 同伴比一比，看谁的估计更准确。请算一算，宽是长的百分之几。 3. 请举一个实际例子，说明只有自然数、分数还不能满足人们生活和 生产实际的需要。 作业题 ZUOYETI A组 1. 杭州湾跨海大桥是一座6车道公路桥，设计日通车量为8万辆，时速 100千米，全长36千米，使用年限为100年。大桥于2008年建成通车， 是当时世界上最长、工程量最大的跨海大桥。 在这段介绍中，你看到了哪些数？其中哪些属于计数？哪些属 于测量？哪些属于标号或排序？ （第1题） 2. 一种饮料有两种不同规格的包装，其容积和价格如图所示。请问哪 一种包装的饮料每毫升的价格比较低？ 250mL 500mL 3. 如图所示的正方形的边长为2，用分数表示下列各图形的面积。 （第2题） 2 （第3题） （1） （2） （3） 4. 因燃油涨价，从城市A到城市B的货运价格上调了15%，三个月后 又因燃油价格的回落而重新下调15%。问：下调后的货运价格与上 涨前相比，有变化吗？是贵了，还是便宜了？ B组 5. 商店里有单价分别为1元5角，2元8角，5元三种贺卡。小明先每种 买了5张，为了凑成整元，又买了1张贺卡。 （1）用元作单位，各种贺卡的单价应怎样表示？ （2）小明一共支付了多少钱？ 8 数学 七年级上册2 数是由生产和生活的需要而产生、发展起来的。在日常生活和生产实 践中，我们经常会遇到具有相反意义的量。例如，某地有一天最高温度是零 上5 ℃，最低温度是零下2 ℃，零上5 ℃和零下2 ℃的意义是相反的。为了区 别这种具有相反意义的量，通常把一种意义的量——零上温度用以前学过 的数或者带有“＋”（正号）的数表示，如零上5 ℃记作5 ℃或者＋5 ℃； 把另一种与它意义相反的量——零下温度用带有“－”（负号）的数表 示，如零下2 ℃记作－2 ℃。水位升高多少米和降低多少米，某商店收入多 少元和支出多少元，经营中盈利多少元和亏损多少元，这些都是具有相反意 义的量。想一想，你能说出日常生活中其他具有相反意义的量吗？ 一般地，为了表示具有相反意义的量，我们把一种意义的量规定为正，用 3 大于零的数表示，如8 848 . 86，36， 5 ，1 . 31等，这样的数叫作正数（ positive number ）。正数前面可以放上正号“＋”来表示（常省略不写）。把另一种与 之意义相反的量规定为负，在大于零的数前面放上负号“－”来表示， 2 如－500，－60，－ 3 ，－0 . 5等，这样的数就叫作负数（ negative number ）。 0既不是正数，也不是负数。 做一做 ZUOYIZUO 1.（口答）读出下列各数，它们分别是正数还是负数？ 50 2 7，－7 . 46，0，＋ 7 ，－ 3 。 2. 填空： （1）规定盈利为正。某公司前年亏损了2 . 5万元，记作 万 元；去年盈利了3 . 2万元，记作 万元；今年没盈利也不亏 损，记作 万元。 （2）规定海平面以上的海拔为正。新疆乌鲁木齐市高于海平面 918米，记作海拔 米；吐鲁番盆地最低点低于海平面 154米，记作海拔 米。 第1章 有理数 9例1 暑假第一周，小慧零花钱的收支情况如下： ▶ 星期一妈妈给零花钱10元； 星期二买练习本用去3元； 星期三买卡通笔用去2 . 8元； 星期四无收入也无支出； 星期五买矿泉水用去2元； 星期六获得校报投稿稿酬5元； 星期日买发夹用去6 . 9元。 观察她的收支记录，回答下列问题： （1）请用正数、负数或0填写下表。 表1-2 小慧暑假第一周收支情况统计表 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 收支/元 （记收入为正） （2）小慧暑假第一周零花钱结余多少元？ 解：（1）如表1-3。 表1-3 小慧暑假第一周收支情况统计表 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 收支/元 ＋10 －3 －28 0 －2 ＋5 －69 （记收入为正） . . （2）10－3－2 . 8＋0－2＋5－6 . 9＝0 . 3（元）。 答：小慧暑假第一周零花钱结余0 . 3元。 课内练习 KENEILIANXI 1. 生活中你见过负数吗？尝试举出两个含负数的例子。 2. 填空： （1）汽车在一条南北走向的高速公路上行驶，规定向北行驶为正。 汽车向北行驶45 km，记作 km （或 km ）；汽车向 南行驶60 km，记作 km。 （2）如果银行账户余额增加50元记为50元，那么－30 元表示 。 （3）规定增长的百分比为正，增长25%记作 ，－12% 表示 。 10 数学 七年级上册（4）月球表面昼夜的温差很大，规定温度零上为正，白天温度高 达零上127 ℃，记为 ，夜晚温度低至零下183 ℃，记 为 。 作业题 ZUOYETI A组 1. 填空： （1）某校举行“生活中的科学”知识竞赛，若将加200分记为＋200 分，则扣200分记为 分。 （2）记运入仓库的大米吨数为正，则－ 3. 5吨表示 ， 2 . 5吨表示 。 （3）如果＋3表示转盘沿逆时针方向转3圈，那么－6表示 。 （4）规定海面以上的高度为正，则海鸥在海面以上2 . 5米处，可记 为 ；鱼在海面以下3米处，可记为 ；海面的 高度可记为 。 2. 把下列各数填在相应的横线上： 5 12 4 －2 . 7，15， 6 ，0 . 11，0，－ 13 ，－21，＋9 . 87，＋69，＋ 7 ，0 . 99。 正数： ；负数： ； 既不是正数也不是负数： 。 3. 任意写出两个自然数、两个正数、两个负数。 B组 4. 甲、乙两家小店分别记录了一周内每天的累计收支情况，如下表（记 收入为正，单位：元）。 星期 小店 结余 一 二 三 四 五 六 日 甲 512 630 551 －4200 805 1200 －200 －702 乙 801 －3050 620 882 －150 1560 800 1463 根据上表回答下列问题： （ 1 ）说出“甲”这一行中512，－ 4200，1200各数的实际意义。 （ 2 ）说出“星期五”这一列中805，－150的实际意义。 （3）说出“结余”这一列中－702，1463的实际意义。 第1章 有理数 115. 根据国务院第七次全国人口普查领导小组办公室公布的数据，北 京、天津、河北、山西、内蒙古五地的人口增长情况如下表所示。 人口数/万人 2010～2020年人口增长情况 地区 2020年 2010年 增加人口数/万人 增长率/% 北京 2189 1961 228 1163 . 天津 1387 1294 93 719 . 河北 7461 7185 276 384 . 山西 3492 3571 －79 －221 . 内蒙古 2405 2471 －66 －267 . 阅读表中数据，回答下列问题： （1）北京、天津、河北、山西、内蒙古五地2020年的人口数与2010年 相比，分别是增加还是减少了？增加或减少了多少万人？ （2）“增长率”一列中有几个正数、几个负数？各数的实际意义 是什么？ 3 1 我们把1，2，3，4，…，称为正整数；－1，－2，－3，－4，…，称为负整数；， 2 2 3 1 2 3 3 ，1 4 ，4 . 5，…，称为正分数；－ 2 ，－ 3 ，－1 4 ，－4 . 5，…，称为负分数。 做一做 ZUOYIZUO 判断表中各数分别属于哪一类数，在相应的空格内画“ ”。 􀳫 数 整数 正整数 自然数 负整数 分数 正分数 负分数 25 0 20012 􀳫 􀳫 􀳫 －7 21 13 · 06 . 5 － 9 －613 . 12 数学 七年级上册正整数、零和负整数统称整数（ integer ），正分数、负分数统称分数 （ fraction ）。 整数和分数统称有理数（ rational number ）。 合作学习 HEZUOXUEXI 我们已经学习了哪些类型的数？尝试将学过的数分类，制作一张数的 分类结构图。 （1）写出学过的各类数的名称，每一类举出三个具体的数。 （2）分析各类数之间的关系，制作一张数的分类结构图。 （3）将自己制作的结构图与同学交流，并进一步完善。 从小学开始，我们依次学习了正整数、零、自然数、正分数（小学里学过 的有限小数和无限循环小数都可以化为分数）、负整数、负分数、有理数，它 们之间的关系如下： 正整数 自然数 整数 零 负整数 有理数 正分数 分数 负分数 图1-2 例2 下列给出的各数，哪些是正整数？哪些是负整数？哪些是正分 ▶ 数？哪些是负分数？哪些是整数？哪些是分数？哪些是有理数？ 17 3 －8 4，22，＋ ，0 33，0，－ ，－9。 . 6 . 5 17 3 解：22是正整数；－9是负整数；＋ 6 ，0 . 33是正分数；－8 . 4，－ 5 是负分 17 3 数；22，0，－9是整数；－8 . 4，＋ 6 ，0 . 33，－ 5 是分数；所给各数均为有 理数。 第1章 有理数 13课内练习 KENEILIANXI 1. 判断表中各数分别是什么数，在相应的空格内画“ ”。 􀳫 数 正数 正整数 正分数 负数 负整数 负分数 有理数 66 􀳫 􀳫 􀳫 4 3 －49 . 0 －12 2. 下面有理数中，哪些是正数？哪些是负数？哪些是整数？哪些是分 数？把它们分别写入相应的圈里。 3 2 －5，＋16，－8，1 . 5，1，－ 4 ，0，＋0 . 45，－6 . 72，1 3 。 正数 负数 整数 分数 （第2题） 作业题 ZUOYETI A组 1. 把下列各数填在相应的横线上： 3 10 85，－6，－1 . 2，－ 7 ，0，0 . 3，25， 11 ，－36，－3 . 45。 正整数： ； 负整数： ； 正分数： ； 负分数： ； 正有理数： ； 负有理数： 。 14 数学 七年级上册2. 写出5个有理数，要求其中有两个负整数、一个正分数和两个负 分数。 3. 用有理数表示下面各量。 （1）为表示某水库水位的变化，记水位上升为正、下降为负，那么水 位上升0 . 82 m、水位下降0 . 5 m和水位不升不降，这三个量用 有理数分别怎样表示？ （2）某地受寒潮侵袭，气温从原来的9 ℃骤降12 ℃。骤降后的气温 是多少？用有理数怎样表示？ B组 4. 下列各数中，哪些数是负数而不是整数？哪些数是整数而不是负 数？哪些数既是负数，又是整数？ 6 －3，－ 7 ，5，－5 . 1，0，－1。 5. 如图，请选择适当的有理数填写在圈内，使得每个圈内有6个有理 数，并且左边两圈的重叠部分（蓝色区域）有2个数，右边两圈的重 叠部分（绿色区域）有3个数。想一想，蓝色区域填的数有什么特 点？绿色区域填的数呢？ 正数 整数 负数 （第5题） 第1章 有理数 15阅读材料 YUEDUCAILIAO 中国古代在数的发展方面的成就 我国在数的发展史上取得了辉煌 的成就。图1-3给出的是商周时期刻 在甲骨上的13个数字，用这13个数字 就可以表示相当大的数。中国古代的 算筹计数法可追溯到公元前5世纪。 算筹是竹制的小棍，也有骨制的、铅 商周时期刻在甲骨上的13个数字 制的（图1-4），摆法有纵式和横式两种 图1-3 （图1-5）。用算筹计数的方法是摆个 位为纵，十位为横，百位为纵，千位为 横……这样纵横依次交替，零以空格表 示。如3257就表示成 。 我国是最早使用负数的国家，早在 西汉初年，人们就用红色算筹来记收入 汉代铅制算筹 金额，用黑色算筹来记支出金额。我国 图1-4 著名的数学著作《九章算术》明确提出 “正负术”。后来，魏晋时期的数学家刘 徽（约225～约295）对此作了这样的注 释：“正算赤，负算黑，否则以邪正为 古代算筹计数摆法 异。”可译为：用红色表示正，用黑色表 图1-5 示负；也可以用直放与斜放来表示正数与负数的区别。宋代以后出现了笔 算，用红、黑数码分别表示正、负数，或在个位数画上斜线以表示负数。 如 表示－1 824， 表示 －346。后来由于黑色成为主要的书 写色，才演变成用黑色数字表示收入。今天，人们常用“赤字”一词来表示财 政上的亏空。 16 数学 七年级上册11..22 数数轴轴 某一天，北京、悉尼、莫斯科三个 城 市 的 最 低 气 温 分 别 是 0 ℃ ， 20 ℃，－5 ℃ 。它们在温度计上怎样 表示？ 北京0 ℃ 悉尼20 ℃ 莫斯科－5 ℃ 观察图1-6的温度计，回答下列问题： （1）点A表示多少摄氏度？点B和点C呢？ ℃ （2）A，B，C三点所表示的温度哪个高？哪个低？ 70 60 50 40 B 30 温度计上的刻度，使我们能方便地读出温度的度 20 10 A 数，直观地判断温度的高低。类似地，我们可以用直线 0 －10 上的点来表示数。 －20 －30 C 画一条直线（一般画成水平的），在直线上任取一点 O作为原点，表示数0；规定直线的一个方向（一般取从 左到右的方向）为正方向，用箭头表示，相反的方向为负 图1-6 方向；再取适当的长度为单位长度。从原点开始向右， 每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3，…；从原点开始向左，每隔一 个单位长度取一点，依次表示－1，－2，－3，…（图1-7）。 O 单位长度： －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 图1-7 像这样规定了原点（ origin ）、单位长度（ unit length ）和正方向（ positive direction ）的直线叫作数轴（ number line ）。 任何一个有理数都可以用数轴上的点表示。 第1章 有理数 17▶例1 如图1-8，数轴上点A，B，C，D分别表示什么数？ A B C D －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 图1-8 解：点A表示－5，点B表示－1，点C表示0，点D表示3 . 5。 ▶例2 在数轴上表示下列各数： 5 5 （1）0 . 5，－ ，0，－4，，－0 . 5，1，4； 2 2 （2）200，－150，－50，100，－100。 解：（1）如图1-9。 －4与4有什么 相同与不同之处？ －4 5 －0 50 0 51 5 4 它们在数轴上的位 － . . 2 2 5 置有什么关系？－ 2 图1-9 5 与 ，－05与05呢？ 2 . . （2）如图1-10。 －150 －100 －50 0 100 200 图1-10 如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反 5 5 数（ opposite number ），也称这两个数互为相反数。比如，－ 的相反数是 ， 2 2 4和－4互为相反数。注意，0的相反数是0。 在数轴上，表示互为相反数（0除外）的两个点，位于原点的两侧，并 且到原点的距离相等。 例如，表示－100和100的点分别位于原点的左侧和右侧，到原点的距 离都是100个单位长度。 课内练习 KENEILIANXI 1. 如图，数轴上点A，B，C，D，E分别表示什么数？其中哪些数互为相 反数？ A B C D E －7 －6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 （第1题） 18 数学 七年级上册2. 在下表中填入适当的数，并把这些数表示在数轴上。 13 a － 0 3 a的相反数 ＋3.3 －6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 7 （第2题） 作业题 ZUOYETI A组 1. 在数轴上表示下列各数： 13 （1）－2 2，－4，0 3，－ ； . . 4 （2）－600，300，0，1200。 2. 如图，数轴上点A，B，C，D分别表示什么数？点A距原点几个单位 长度？点B呢？ A B C D －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 （第2题） 3. 填空： 4 （1）－ 的相反数是 ；数a的相反数是 。 3 （2）一个数的相反数是34，那么这个数是 。 9 4. 求5，0，－ 的相反数，并把这些数及其相反数表示在数轴上。 2 B组 5. 如图，舟岱跨海大桥上三座索塔与桥面的交点为A，B，C，A与B， B与C之间的距离均为550米。 A B C （第5题） 舟岱跨海大桥建成于2021年， 全长26千米，桥梁主跨跨径 创外海桥梁世界之最。 第1章 有理数 19（1）如果以B为原点，向右为正方向，取适当的单位长度画数轴，那 么A，C两点在数轴上所表示的数分别是多少？它们互为相反 数吗？ （2）如果以A为原点，向右为正方向，那么点B和点C所表示的数 分别是多少？ 6. 在数轴上，点A表示2 . 5，点P从点A出发向右移动4个单位长度， 此时点P所表示的是什么数？如果点P向左移动4个单位长度呢？ 11..33 绝绝对对值值 城市里出租车一般按实际载客 行驶的里程收费，与行驶的路线、方 向无关。 合作学习 HEZUOXUEXI 1. 甲、乙两辆出租车在一条东西走向的街道上行驶，记向东行驶为正。 两车都从O地出发，甲车向东行驶6 km到达A处，记作 km，乙车 向西行驶6 km到达B处，记作 km 。 以O为原点，取适当的单位长度画数轴，并在数轴上标出A，B的位置， 则A，B两点与原点的距离分别是多少？它们的实际意义是什么？ 3 3 2. 数轴上表示－5和5的点到原点的距离分别是多少？表示－ 和 4 4 的点呢？ （请与你的同伴交流） 我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值 （ absolute value ）。例如，数轴上表示－5的点到原点的距离是5，所以－5的 绝对值是5，记作|－5|＝5。同理，5的绝对值也是5，记作|5|＝5。一个数a 的绝对值表示为|a|。 20 数学 七年级上册▶例1 求下列各数的绝对值： 8 5 ，＋10，3，0，－1 . 6，－10，－4。 求得的绝对值 解： || || | 8 || || | ＝ 8 ；|＋10|＝10；|3|＝3；|0|＝0； 与原数之间有什么 | 5 | 5 关系？ |－1 . 6|＝1 . 6；|－10|＝10；|－4|＝4。 一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零 的绝对值是零。互为相反数的两个数的绝对值相等。 做一做 ZUOYIZUO 注意 （口答）说出下列各数的绝对值： 任何数的绝对 值都大于或等于0。 7 －7，－2 . 05，0，1000，。 9 ▶例2 求绝对值等于4的数。 解：因为数轴上到原点的距离等于 4 个单位长度的点有两个（图 1-11），即表示＋4的点P 和表示－4的点M，所以绝对值等于4的数是＋4 和－4。 4个单位长度 4个单位长度 M P －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 图1-11 课内练习 KENEILIANXI 1. 填表： 数 相反数 绝对值 21 0 3 － 4 第1章 有理数 212. 画一条数轴，在数轴上分别标出绝对值是6，1 . 2，0的数。 3. 举一个生活中的例子，说明解决某些问题只需考虑数的绝对值。 4. 计算： （1）|－9|＋|＋1|； （2）|－10|－|－8|。 作业题 ZUOYETI A组 1. 在数轴上表示下列各数，并求出它们的绝对值。 3 －1，0，7 4 ，－12，1 . 8。 2. 计算： （1）|－19|＋|11|； （2） || || | 2 || || | － ||||| － 1 ||||| 。 | 3 | | 2 | 3. 下面的说法对吗？如果不对，那么应如何改正？ （1）一个数的绝对值一定是正数； （2）一个数的绝对值不可能是负数； （3）绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数。 4.（1）一个数的绝对值是它本身，这是什么数？ （2）一个数的绝对值等于它的相反数，这是什么数？ B组 5. 一辆出租车从A站出发，先向东行驶12 km，接着向西行驶8 km，然 后又向东行驶4 km 。 （1）记向东行驶为正，用有理数表示各次行驶的情况，求出这些有 理数绝对值的和，说明它的实际意义。 （2）画一条数轴，以A站为原点，向东为正方向，在数轴上表示出租 车每次行驶的终点位置。 C组 6. 写出数轴上到－3的距离等于2的数。 22 数学 七年级上册11..44 有有理理数数的的大大小小比比较较 各地的气象站可以测出该地每天的气温。如 图是位于珠穆朗玛峰的自动气象站照片。你知道 珠穆朗玛峰历史最低气温是多少摄氏度吗？哈尔 滨历史最低气温是－39 ℃，哪个气温更低？ 图1-12表示某一天我国五个城市的最低气温。 哈尔滨－20 ℃ 北京－10 ℃ 广州10 ℃ 武汉5 ℃ 上海0 ℃ 图1-12 比较这一天下列城市间最低气温的高低（填“高于”或“低于”）： 广州 上海； 上海 北京； 北京 哈尔滨； 哈尔滨 武汉； 武汉 广州。 把表示上述五个城市这一天最低气温的数表示在数轴上。观察这五个 数在数轴上的位置，你发现了什么？气温的高低与相应的数在数轴上的位 置有什么关系？ 一般地，我们有： 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 例1 在数轴上表示数5，0，－4，－1，并比较它们的大小，将它们按从 ▶ 小到大的顺序用“＜”连接。 解：5，0，－4，－1在数轴上表示如图1-13。 －4 －1 0 5 图1-13 将它们按从小到大的顺序排列为－4＜－1＜0＜5。 第1章 有理数 23做一做 ZUOYIZUO （1）在数轴上表示下列各对数，并比较它们的大小。 ① 2和7； ② －6和－1； 1 ③ －6和－36； ④ － 2 和－1 . 5。 （2）求上述各对数的绝对值，并比较它们的大小。上述各对数的大小 与它们的绝对值的大小有什么关系？ 我们有以下结论： 两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大 的数反而小。 例2 比较下列各对数的大小，并说明理由。 ▶ （1）1与－10； （2）－0 . 001与0； 3 2 （3）－ 与－ 。 4 3 解：（1）因为正数大于负数，所以1＞－10。 （2）因为负数都小于零，所以－0 . 001＜0。 ||| 3 ||| 3 9 ||| 2 ||| 2 8 9 8 （3）因为 ||－ ||＝ ＝ ， ||－ ||＝ ＝ ，而 ＞ ， | 4 | 4 12 | 3 | 3 12 12 12 ||| 3 ||| ||| 2 ||| 所以 ||－ ||＞||－ || 。 | 4 | | 3 | 3 2 因为两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，所以－ ＜－ 。 4 3 课内练习 KENEILIANXI 1. 把下面各组数表示在数轴上，并按从小到大的顺序用“＜”连接。 （1）－7，－3，－1； 1 （2）5，0，－4 ，－2。 2 24 数学 七年级上册2. 比较下面各对数的大小，并说明理由。 5 1 （1） 与 ； （2）－3与＋1； 6 6 1 1 （3）－1与0； （4）－ 与－ 。 2 4 3. 绝对值最小的有理数是 ；绝对值最小的自然数是 ； 绝对值最小的负整数是 。 4. 利用数轴求大于－9并且小于3 . 2的整数。 作业题 ZUOYETI 7 A组 1. 在数轴上表示数＋7，－1，0，0 . 5，－ 2 。 （1）比较这些数的大小，用“＜”连接； （2）求这些数的相反数，并将这些相反数用“＜”连接； （3）求这些数的绝对值，并将这些绝对值用“＞”连接。 2. 用“＞”或“＜”填空： （1）－6 －4； （2）|－3 . 5| |－3|； （3）0 －9； （4）|－1| 0； 2 5 （5）－ － 。 3 7 3. 下表是我国六个地区2010～2020年的人口年均增长率，请将这六 个地区按人口年均增长率从低到高的顺序排列。 地区 北京 山西 吉林 上海 浙江 新疆 人口年均增长率/% 111 －0 . 23 －1 . 31 078 172 171 . . . . B组 4. 下列说法正确吗？为什么？ （1）任何有理数小于或等于它的绝对值； （2）任何有理数必定大于它的相反数。 7 5. 利用数轴求大于－ 并且不大于7的整数。 2 6. 你能写出绝对值小于π的所有整数吗？请试一试。 第1章 有理数 25小结与反思 一、知识梳理 本章在小学学过的自然数、分数（小数）的基础上，学习了负数，使数的范围从 自然数、分数扩充到了有理数。数轴不仅能直观表示数，还能帮助我们认识相反数 和绝对值，进行数的大小比较。借助绝对值，能将负数的大小比较转化为正数的大 小比较。分类、数形结合、转化是本章学习中常用的思想方法。 本章学习流程和知识结构如下： 自然数 正数 数轴 相反数 分数 有理数 负数 绝对值 比较大小 二、回顾与反思 1. 分类是一种重要的数学思想。有理数可以分成哪几类？有几种分类方法？ 本章还有哪些体现分类思想的例子？ 2. 数轴是怎样的一条直线？怎样用数轴解释一个数的相反数和绝对值？ 数轴能把抽象的数用直线上的点直观地表示出来。利用数轴的直观性，能更 好地理解相反数和绝对值。数轴还能帮助我们解决什么问题？ 3. 比较两个有理数的大小，有哪些方法？ 4. 在本章学习中，你还获得哪些解决问题的方法和经验？有哪些需要提醒自 己和同学注意的问题？ 26 数学 七年级上册目标与评定 ❶ A 目标 节 节 节 1.1 1.2 1.3 ★了解从自然数到有理数的发展过程。 ★理解负数的意义。理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数。 ★借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数和绝对值的 方法。 1. 你能举两个不同的例子说明自然数的应用吗？ 2. 计算3 . 69÷6 . 15，结果用分数表示是多少？用小数表示是多少？ 3. 先估计你家一个房间的长和宽大约是多少米，然后量一量。你的估计准确性如 何？算一算，宽是长的百分之几。 4. 仔细思考下面各对量： ①胜二局与负三局； ②气温升高3 ℃与气温为－3 ℃； ③盈利3万元与支出3万元； ④甲、乙两支篮球队举行了两场篮球比赛，甲、乙两队的比分分别为65∶60与 60∶65。 其中具有相反意义的量有 。 5. 下表是王阿姨某天手机支付的部分账单，“金额”一列中有几个正数、几个负数？ 它们的实际意义分别是什么？ 创建时间 名称｜对方｜交易号 金额/元 2023-9-10 收钱码收款 －4195 09：38 干货超市｜流水号2023 … 582 . 2023-9-10 收钱码收款 －1880 07：58 日用百货｜流水号2023 … 224 . 2023-9-10 铁路行程票款扣费 －10350 07：47 火车票｜流水号2023 … 460 . 2023-9-10 转账 20000 07：32 转账红包｜流水号2023 … 536 . “目标与评定”是对本章内容目标的学习达成情况的自我评定。通过自测，了解自己在学习过程 ❶ 中，哪些方面还需进一步提高，在学习方法上还需作哪些改进。 第1章 有理数 277 6. 在数轴上表示数－ 3 ，0 . 5，6和它们的相反数，并求出这些数的绝对值。 7. 填空： （1）0的相反数是 ，绝对值是 ； （2）5 . 1的相反数是 ，绝对值是 ； （3）|－5|＋|－4|＝ ，|5|－|－4|＝ 。 8. 哪些数的相反数与绝对值相等？ BB 目目标标 节 1.4 ★能比较有理数的大小。 9. 利用数轴比较下列各组有理数的大小，并用“＜”连接。 7 （1）－ 4 ，2，－1 . 4，3； 7 （2）－ 4 ，2，－1 . 4，3这四个数的绝对值； 7 （3）－ 4 ，2，－1 . 4，3这四个数的相反数。 10. 比较下列各对数的大小： （1）－100与0 . 1； 7 5 （2）－ 与－ 。 13 12 11. 绝对值小于4 . 1的整数有几个？请写出这些整数。 12. 如图，数轴的单位长度为1。 Q P R S T （第12题） （1）如果点P，T表示的数互为相反数，那么点S表示的数是多少？ （2）如果点R，T表示的数互为相反数，那么点S表示的数是正数，还是负数？ 图中表示的五个点中，哪一点表示的数的绝对值最大？为什么？ 28 数学 七年级上册C 目标 ★能综合运用有理数的知识，解决一些简单的实际问题。 13. 某天10时，12时，14时，16时的气温如图所示。记12时的时间为0，12时以后 的时间为正，请用有理数表示这四个时间及其气温，并填入下表。你能简要描 述这段时间内的气温变化吗？ 10时 12时 14时 16时 时间/时 0 气温/ ℃ 14 （第13题） 14. 如图，在生产图纸上通常用Φ300＋0.2来表示轴的加工要求，这里Φ300表示直径 －0.5 是300 mm，＋0 . 2和－0 . 5是指直径在（300－0 . 5） mm到（300＋0 . 2） mm之间的 产品都属于合格产品。现加工一批轴，尺寸要求是Φ45＋0.03，请判断直径为 －0.04 44 . 97 mm和45 . 04 mm的两根轴是不是合格产品。 单位：mm Φ300＋02 －0.5 . （第14题） 第1章 有理数 29第2章 有理数的运算 把数扩展到有理数后，给许多实际问 题的数量表示和计算带来了方便。例如， 某水库泄洪时，水位以每小时3厘米的速 度下降，如何计算2小时后水位下降的高 度？我们还可以利用有理数的运算来确 定往返在各条交通线上的车辆的位置，了 解企业经营中的盈亏状况，等等。 本章我们将学习有理数的加、减、乘、 除和乘方的运算，科学记数法，准确数和 近似数，以及应用计算器进行计算。22..11 有有理理数数的的加加法法 仓库 怎样计算仓库内进出货物的累计数量和库 存变化？ 1 在小学，我们已经学过正数及0的加法运算，引入负数后，在有理数范围 内，加法有哪几种情况？分别该怎样计算呢？ 合作学习 HEZUOXUEXI 某粮油配送中心记录星期一和星期二大米的进货和出货数量，如下表。 其中进货为正，出货为负；库存增加为正，库存减少为负（单位：吨）。 表2-1 日期 进出货数量 库存变化 星期一 ＋5 －2 星期二 ＋3 －4 合计 根据你的生活经验，填写表2-1中的空格，然后思考并讨论以下问题： （1）怎样用算式表示这两天共运进多少吨大米，共运出多少吨大米？ （2）怎样用算式表示这两天每天库存的改变量？ （请与你的同伴交流） 从上面的探索过程中，我们发现： （＋5）＋（＋3）＝＋8，在数轴上表示如图2-1； （－2）＋（－4）＝－6，在数轴上表示如图2-2。 ＋5 ＋3 －4 －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 －6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 图2-1 图2-2 32 数学 七年级上册做一做 ZUOYIZUO 在数轴上表示以下同号两数相加，并写出结果。 （1）（＋2）＋（＋4）＝ ； （2）（－3）＋（－3）＝ 。 观察上面算式中相加两数及所得结果的符号和绝对值，你有什么发现？ 一般地，同号两数相加有下面的法则： 同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。 现在让我们来考虑符号不同的两个数相加的情形。 在星期一进出货记录中，＋5表示进货5吨大米，即仓库里增加了5吨大 米，－2表示运出2吨大米，因此库存增加了3吨大米，用算式表示就是（＋5）＋ （－2）＝＋3。上述计算也可以在数轴上表示，如图2-3。 ＋5 －2 －3 －2－1 0 1 2 3 4 5 图2-3 同理，图2-4在数轴上表示了星期二的库存变化结果，用算式表示就是 （＋3）＋（－4）＝－1，即库存减少了1吨大米。 －4 ＋3 －3 －2－1 0 1 2 3 4 5 图2-4 做一做 ZUOYIZUO 在数轴上表示以下异号两数相加，并写出结果。 （1）（＋6）＋（－3）＝ ； （2）（－5）＋（＋4）＝ 。 观察上面算式中相加两数及所得结果的符号和绝对值，你有什么发现？ 第2章 有理数的运算 33一般地，异号两数相加有下面的法则： 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减 去较小的绝对值。 另外，有理数相加还有以下法则： 互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。 你能举例说明吗？ 例1 计算下列各式： ▶ （1）（－11）＋（－9）； （2）（－3 . 5）＋（＋7）； ( 2) ( 2) （3）（－1 . 08）＋0； （4） ＋ 3 ＋ － 3 。 解：（1）（－11）＋（－9）＝－（11＋9）＝－20； （2）（－3 . 5）＋（＋7）＝＋（7－3 . 5）＝＋3 . 5； （3）（－1 . 08）＋0＝－1 . 08； ( 2) ( 2) （4） ＋ ＋ － ＝0。 3 3 例2 某市今天的最高气温为7 ℃，最低气温为0 ℃。据天气预报，两 ▶ 天后有一股强冷空气将影响该市，届时将降温约5 ℃。问：预计两天后该市的 最高气温、最低气温约为多少摄氏度？ 分析：若记零上温度为正，零下温度为负；温度升高为正，温度下降为 负，则可通过有理数的加法运算求得答案。 解：气温下降5 ℃，记为－5 ℃。 7＋（－5）＝2（ ℃ ）； 0＋（－5）＝－5（ ℃ ）。 答：预计两天后该市的最高气温约为2 ℃，最低气温约为－5 ℃。 课内练习 KENEILIANXI 1.（口答）计算： （1）（＋5）＋（＋3），（－5）＋（－3），（－11）＋（－6）； （2）（＋5）＋（－3），（－5）＋（＋3），（－11）＋（＋6）。 34 数学 七年级上册2. 在括号内填上适当的符号，使下列式子成立。 （1）（ 5）＋（ 5）＝0； （2）（ 7）＋（－5）＝－12； （3）（－10）＋（ 11）＝＋1； （4）（ 2 . 5）＋（ 2 . 5）＝－5。 3. 计算： （1）（－42）＋（＋17）； （2）0＋（－39 . 98）； ( 1) （3）（＋7 . 3）＋（＋3 . 7）； （4） － 3 ＋0 . 4。 4. 画数轴，在数轴上表示下列有理数的运算，并求出计算结果。 （1）（－3）＋（－4）； （2）4＋（－5）。 作业题 ZUOYETI A组 1. 小明测得某一天气温变化情况是：上午5 : 00，气温为－4 ℃；中午 12:00，气温比5:00上升了12 ℃；晚上22:00，气温比12:00下降了14 ℃。 （1）用有理数的加法求中午12:00的气温： （ ）＋（ ）＝ （ ℃ ）。 答：中午12:00的气温为 。 （2）用有理数的加法求晚上22:00的气温： （ ）＋（ ）＝ （ ℃ ）。 答：晚上22:00的气温为 。 2. 在数轴上表示下列运算，并求出计算结果。 （1）2＋3； （2）（－5）＋（－2）； （3）（－8）＋（＋5）； （4）（－6）＋6。 3. 计算： ( 7) ( 1) （1） － 5 ＋1 . 4； （2）0＋ － 7 ； （3）（－3 . 2）＋（－2 . 7）； （4）（＋7 . 3）＋（－3 . 7）； 1 ( 1) （5） 6 ＋ － 3 ； （6）（－1 . 4）＋35 . 4。 4. 根据某小店的账本记录，至上月底结余为－150 0元，本月盈利20600 元。至本月底该小店结余多少元？ 第2章 有理数的运算 35B组 5. 飞机在12000 m高空飞行时，机舱外的温度为－56 ℃，机舱内的温度 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相 比机舱外高80 ℃。机舱内的温度为多少摄氏度？ 加，和不变。 （（a＋＋b））＋＋c＝＝a＋＋（（b＋＋c））。 更一般地，任意若干个数相加，无论各数相加的先后次序如何，其和都 不变。 （第5题） 例3 计算： ▶ （1）15＋（－13）＋18； 6. 设计一个可用有理数加法计算的实际问题，要求用一个正数和一个 （2）（－2 . 48）＋4 . 33＋（－7 . 52）＋（－4 . 33）； 负数的加法来解决。写出算式，并说明结果的实际意义。 5 ( 1) ( 1) ( 6) （3） ＋ － ＋ － ＋ － 。 6 7 6 7 解：（1）15＋（－13）＋18 2 ＝15＋18＋（－13）（加法交换律） 合作学习 HEZUOXUEXI ＝（15＋18）＋（－13）（加法结合律） 如图2-5，在下列各图案内任意填入一个有理数，要求相同的图案内填 ＝33＋（－13） 相同的数。 ＝20； （2）（－2 48）＋4 33＋（－7 52）＋（－4 33） . . . . ＝（－2 48）＋（－7 52）＋4 33＋（－4 33） . . . . ＝［（－2 48）＋（－7 52）］＋［4 33＋（－4 33）］ . . . . ＝（－10）＋0 ＝－10； 5 ( 1) ( 1) ( 6) （3） ＋ － ＋ － ＋ － 6 7 6 7 图2-5 （1）算出各算式的结果，比较左、右两边算式的结果是否相同。 ＝ éê êê ê 5 ＋ ( － 1) ùúúúú ＋ éê êê ê ( － 1) ＋ ( － 6) ùúúúú ë6 6 û ë 7 7 û 你知道每一步 （2）其他同学的结果如何？你们发现了什么？换几个不同的有理数试 运算的依据吗？ 2 ＝ ＋（－1） 一试，结果如何？ 3 1 ＝－ 。 3 在有理数运算中，加法的交换律和结合律仍成立。 例4 小明遥控一辆玩具赛车，让它从点A出发，先向东行驶15 m，再 ▶ 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 向西行驶25 m，然后又向东行驶20 m，最后向西行驶35 m。问：玩具赛车最 a＋＋b＝＝b＋＋a。。 后停在何处？一共行驶了多少米？ 36 数学 七年级上册B组 5. 飞机在12000 m高空飞行时，机舱外的温度为－56 ℃，机舱内的温度 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相 比机舱外高80 ℃。机舱内的温度为多少摄氏度？ 加，和不变。 （（a＋＋b））＋＋c＝＝a＋＋（（b＋＋c））。 更一般地，任意若干个数相加，无论各数相加的先后次序如何，其和都 不变。 （第5题） 例3 计算： ▶ （1）15＋（－13）＋18； 6. 设计一个可用有理数加法计算的实际问题，要求用一个正数和一个 （2）（－2 . 48）＋4 . 33＋（－7 . 52）＋（－4 . 33）； 负数的加法来解决。写出算式，并说明结果的实际意义。 5 ( 1) ( 1) ( 6) （3） ＋ － ＋ － ＋ － 。 6 7 6 7 解：（1）15＋（－13）＋18 2 ＝15＋18＋（－13）（加法交换律） 合作学习 HEZUOXUEXI ＝（15＋18）＋（－13）（加法结合律） 如图2-5，在下列各图案内任意填入一个有理数，要求相同的图案内填 ＝33＋（－13） 相同的数。 ＝20； （2）（－2 48）＋4 33＋（－7 52）＋（－4 33） . . . . ＝（－2 48）＋（－7 52）＋4 33＋（－4 33） . . . . ＝［（－2 48）＋（－7 52）］＋［4 33＋（－4 33）］ . . . . ＝（－10）＋0 ＝－10； 5 ( 1) ( 1) ( 6) （3） ＋ － ＋ － ＋ － 6 7 6 7 图2-5 （1）算出各算式的结果，比较左、右两边算式的结果是否相同。 ＝ éê êê ê 5 ＋ ( － 1) ùúúúú ＋ éê êê ê ( － 1) ＋ ( － 6) ùúúúú ë6 6 û ë 7 7 û 你知道每一步 （2）其他同学的结果如何？你们发现了什么？换几个不同的有理数试 运算的依据吗？ 2 ＝ ＋（－1） 一试，结果如何？ 3 1 ＝－ 。 3 在有理数运算中，加法的交换律和结合律仍成立。 例4 小明遥控一辆玩具赛车，让它从点A出发，先向东行驶15 m，再 ▶ 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 向西行驶25 m，然后又向东行驶20 m，最后向西行驶35 m。问：玩具赛车最 a＋＋b＝＝b＋＋a。。 后停在何处？一共行驶了多少米？ 第2章 有理数的运算 37解：我们规定，向东行驶为正。 （＋15）＋（－25）＋（＋20）＋（－35） ＝（15＋20）＋［（－25）＋（－35）］ ＝35＋（－60）＝－25（ m ）。 |＋15|＋|－25|＋|＋20|＋|－35| ＝15＋25＋20＋35 ＝95（ m ）。 答：玩具赛车最后停在点A西面25 m处，一共行驶了95 m。 在解题过程中，可以画示意图（图2-6）帮助思考。 －35 20 －25 15 西 东 －25－20－15－10 －5 0 5 10 15 图2-6 课内练习 KENEILIANXI 1. 计算： （1）5＋（－7）＋8； ( 1) 1 ( 2) （2） － ＋ ＋ － ； 3 2 3 （3）（－3 . 5）＋［3＋（－1 . 5）］。 2. 用简便方法计算，并说明理由。 （1）（＋14）＋（－4）＋（－1）＋（＋16）＋（－5）； （2）（－18 . 65）＋（－7 . 25）＋（＋18 . 15）＋（＋7 . 25）； ( 5) ( 3) （3）（－2 . 25）＋ － 8 ＋ － 4 ＋（＋0 . 125）。 3. 小明记录了一星期每天的最低温度，如下表。 星期 一 二 三 四 五 六 日 温度/ －2 －1 ＋2 ＋6 ＋4 ＋1 －3 ℃ 这个星期的平均最低温度是多少摄氏度？ 38 数学 七年级上册探究活动 TANJIUHUODONG 数扩展到有理数之后，下面这些结论还成立吗？请说明理由（如果认为结论不 成立，请举例说明）。 （1）若两个数的和是0，则这两个数都是0； （2）任何两数相加，和不小于任何一个加数。 作业题 ZUOYETI A组 1. 计算： （1）（－1）＋0＋3； （2）（－10）＋21＋（－13）； （3）3＋（－2 . 5）＋（－4）； （4）（－15）＋［8＋（－7）］。 2. 用简便方法计算，并说明理由。 ( 3 ) （1）2 . 15＋（－4 . 25）＋（－0 . 75）＋ － 20 ； ( 3) ( 1) ( 1) ( 5) （2） － ＋ － ＋ ＋ ＋ － 。 4 6 4 6 3. 某星期婷婷零花钱的收支情况如下（记收入为正，单位：元）： ＋120，－27 . 6，－5，－74，＋16 . 8，－31 . 9，＋25。 用有理数加法计算婷婷这个星期零花钱结余多少元。 B组 4. 有6筐蔬菜，每筐以50千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的 千克数记为负数，记录如图。你能用简便方法求出这6筐蔬菜的总 质量吗？ 单位：千克 －2 ＋2 －3.5 －0.5 ＋3 ＋4 （第4题） C组 5. 列出两个由三个数相加的算式，使它们分别符合下列条件。 （1）三个数同号，和为－11； （2）三个数不全同号，和为0。 第2章 有理数的运算 3922..22 有有理理数数的的减减法法 死海是世界著名的内陆咸水湖，湖水含 盐量很高，人躺在水面上也不会下沉。死海 海拔很低，其湖面低于海平面415米。我国 吐鲁番盆地最低点的海拔为－154米，怎样 计算两地海拔的差？ 1 一天，厦门的最高气温是9 ℃，哈尔滨的最高气温是－7 ℃。这天厦门的 最高气温比哈尔滨的最高气温高多少摄氏度？可以怎样计算？ 厦门与哈尔滨两地的气温差可以用算式 厦门 哈尔滨 9－（－7）表示。观察图2-7，可以直观得到两 9 9 9 9 地的气温差是16 ℃，由此得9－（－7）＝16。 根据减法是加法的逆运算，求9－（－7） 0 0 0 0 ＝ 就是求（－7）＋ ＝9，而（－7）＋16＝9， 所以9－（－7）＝16。因为16＝9＋7，所以 －7 －7 －7 －7 图2-7 减变加 9－（－7）＝9＋7。 相反数 做一做 ZUOYIZUO 填空： （1）因为12＋ ＝2， 所以2－12＝ ＝2＋ 。 （2）因为 ＋（－9）＝－8， 所以（－8）－（－9）＝ ＝（－8）＋ 。 通过对上面两个算式的转化，你有什么发现？ 40 数学 七年级上册一般地，有理数的减法有如下法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 上述法则也可以表示成a－b＝a＋（－b）。 例1 计算： ▶ （1）5－（－5）； （2）0－7－5； 1 1 （3）（－1 . 3）－（－2 . 1）； （4）1 3 －2 2 。 解：（1）5－（－5）＝5＋5＝10； （2）0－7－5＝0＋（－7）＋（－5）＝－7＋（－5）＝－12； （3）（－1 . 3）－（－2 . 1）＝（－1 . 3）＋2 . 1＝2 . 1－1 . 3＝0 . 8； 1 1 1 ( 1) 1 （4）1 －2 ＝1 ＋ －2 ＝－1 。 3 2 3 2 6 例2 我国吐鲁番盆地最低点的海拔是－154米，死海湖面的海拔 ▶ 是－415米。哪里的海拔更低？低多少米？ 解：－415－（－154）＝－415＋154＝－261（米）。 答：死海湖面的海拔更低，比吐鲁番盆地最低点低261米。 课内练习 KENEILIANXI 1.（口答）填空： （1）0－（－3）＝0＋（ ）＝（ ）； （2）（－5）－3＝（－5） （－3）＝（ ）； （3）13－（－13）＝13＋（ ）＝（ ）。 2. 计算： 1 ( 1) （1）（－2 . 5）－1 . 5； （2） 4 － － 2 ； 3 1 （3）（－1）－（－4）－3； （4）1 －2 。 8 4 3. 已知一个数与3的和是－10，求这个数。 第2章 有理数的运算 41作业题 ZUOYETI A组 1. 计算： （1）（＋8）－（＋5）； （2）（＋8）－（－5）； （3）（－8）－（－5）； （4）（－8）－（＋5）； （5）10－6； （6）6－10。 2. 计算： 3 （1）0－（－8）； （2） 2 －（－1 . 5）； ( 3) ( 1) （3） － 2 － ＋ 3 ； （4）4 . 8－（－1 . 2）＋（－6）。 3. 把图中的每一个输入数减去＋9，将所得的输出数填在括号内。 －（＋9） 输入 输出 ＋9 （ 0 ） ＋7 （ ） ＋4 （ ） 0 （ ） －3 （ ） －8 （ ） （第3题） 4. 以警戒线水位为基准，记高出警戒线的水位为正。有一天长江某段 水位高出警戒线1 . 8 m，两天后水位下降了2 m。问：两天后水位高 于或低于警戒线多少米？ B组 5.（1）已知一个数与5的和为－2，求这个数。 （2）已知－11与一个数的差为11，求这个数。 6. 计算： 3 （1）［8＋（－5）］－13； （2） 2 －［（－1 . 5）＋0 . 5］。 42 数学 七年级上册2 运用有理数的减法法则，可以将有理数的加减混合运算统一为加法运 1 ( 3) ( 2) 算。比如，要计算 ＋ － － － ，我们可按下面的步骤进行计算： 3 4 3 1 ( 3) ( 2) 1 ( 3) ( 2) (1 2) ( 3) 3 1 ＋ － － － ＝ ＋ － ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ － ＝1－ ＝ 。 3 4 3 3 4 3 3 3 4 4 4 有理数加减混合运算的一般步骤是先运用减法法则，将减法转化成加法， 再运用加法交换律和结合律，使计算简便。你能说出上述运算中哪一步运 用了减法法则，哪一步运用了加法的运算律吗？ 1 ( 3) ( 2) 我们可以把算式 ＋ － ＋ ＋ 中各个加数的括号和括号前面的加 3 4 3 1 3 2 1 3 2 号省略，写成 － ＋ ，这个算式仍可看作和式，读作“正 、负 与正 的 3 4 3 3 4 3 1 3 2 和”，或者读作“ 减 加 ”。这样将给算法的选择和书写带来方便。 3 4 3 例3 计算：（－3）＋（－8）－（－6）＋（－7）。 ▶ 解：（－3）＋（－8）－（－6）＋（－7） ＝（－3）＋（－8）＋（＋6）＋（－7） ＝－3－8＋6－7 ＝（－3－7）＋（－8＋6） ＝－12。 做一做 ZUOYIZUO 1. 把下列各式写成省略加号的和的形式。 （1）（－3）＋（－7）－（－5）； （2）9－（＋11）＋（－2）－（－6）。 2. 计算： 1 7 3 1 （1）－12＋18＋（－7）－15； （2）－ － ＋ － 。 2 4 2 4 第2章 有理数的运算 43例4 小明哥哥的手机银行账户某时段内发生了8次交易：收入637 ▶ 元，支出1 500元，支出2 000元，收入3 000元，收入1 200元，收入1 120元， 支出3 000元，收入1 002元。小明哥哥的手机银行账户余额在这一时段内 增加或减少了多少元？ 解：记收入为正，由题意可得 637－1 500－2 000＋3 000＋1 200＋1 120－3 000＋1 002 ＝（637＋1 200＋1 120＋1 002）＋（3 000－3 000）＋（－1 500－2 000） ＝3 959＋0＋（－3 500） ＝459（元）。 答：小明哥哥的手机银行账户余额在这一时段内增加了459元。 课内练习 KENEILIANXI 1. 计算： （1）7 . 8＋（－1 . 2）－（－0 . 2）； （2）－5 . 3－（－6 . 1）－（－3 . 4）＋7； 2 1 1 1 （3）－ ＋ － － 。 3 4 6 2 2. 一电脑公司仓库8月1日电脑的库存量为20台，8月2日到6日电脑 进出记录如下表。问：到8月6日止，该仓库有电脑多少台？ 记运进为正，单位：台 日期 8月2日 8月3日 8月4日 8月5日 8月6日 进出数量 30 －21 －16 0 －9 作业题 ZUOYETI A组 1. 计算： ( 3) （1）（－1）－（－7）＋（－8）； （2）（－5）－ － ＋（－2）。 4 2. 计算： （1）－9－3＋5； （2）16－（－21 . 5）－（－14 . 9）＋（－2 . 4）； 3 5 1 4 （3）0－（－28）＋55；（4）－ ＋ － － 。 4 6 2 3 44 数学 七年级上册3. 在一个峡谷中，测得A地的海拔为－11 m，B地比A地高15 m，C 地比B地低7 m。求C地的海拔。 ( 3) ( 1) ( 3) 4. 计算：－ 4 － － 2 ＋ ＋ 4 ＋（＋8 . 5）。 B组 5. 某市2022年第四季度汽油价格的六次调整情况如下表（记上调为 正，下调为负，单位：元/吨）： 日期 10月9日10月22日11月19日12月3日12月17日12月31日 累计 价格 ＋345 －95 －430 －130 ＋140 ＋130 变化 表中遗漏了10月22日的价格变化情况，问：10月22日上调或下调 多少元/吨？ 设计题 SHEJITI 制作账册 先来看看小强与他的妈妈的对话（图2-8）。 我买了一本笔记本， 花了1 . 2元；还买了两支铅 上星期我给 笔，花了1 . 5元；乘公共汽 你50元零用钱， 车一共是4 . 5元……哎呀！ 你是怎么花的？ 我记不清了。 图2-8 如果小强有一本账册，那么他就能判断各项支出是否合理，进而更好地规划开 支。看来，为自己建立账册是很有意义的。请运用正数和负数的知识，为自己制作 一本账册。具体要求： 1. 反映每月的收入和支出。 2. 计算每月结余（收支总和），把上个月的结余转入下个月。 3. 每个季度或每半年对自己的收支情况作一次评估。你的开支合理吗？对 自己今后的开支计划作适当调整。 第2章 有理数的运算 4522..33 有有理理数数的的乘乘法法 图中显示的是位于三峡白鹤梁用作水位测 量标志的线刻石鱼。假设水位按每小时3厘米 的速度下降，经2小时后水位下降多少厘米？ 1 由小学学过的乘法的意义，有3×2＝3＋3＝6。用数轴表示如图2-9。 3×2 3 3 －6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 图2-9 相应地，（－3）×2＝（－3）＋（－3）＝－6。用数轴 表示如图2-10。 如节前图中的 （－3）×2 问题，若以某一时 －3 －3 刻的水位为基准， 规 定 水 位 上 升 为 －6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 正，下降为负，你会 列出怎样的算式？ 图2-10 结果是多少？ 做一做 ZUOYIZUO （1）完成下列填空： 4×2＝ ； （－4）×2＝ ＋ ＝ （用数轴表示）； 5×2＝ ； （－5）×2＝ ＋ ＝ ； 6×2＝ ； （－6）×2＝ ＋ ＝ 。 （2）观察上面左右两列算式中相乘两数及计算结果的符号，你有什么 发现？ 46 数学 七年级上册我们发现，当我们改变相乘两数中一个数的符号时，其积就变为原来积 的相反数。例如，（－3）×2＝－（3×2）。 同样，3×（－2）的积也应是3×2的积的相反数，即3×（－2）＝－（3× 2）＝－6，用数轴表示如图2-11。 3×（－2） 3×2 －6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 图2-11 同样，（－3）×（－2）的积是3×（－2）的积的相反数，即（－3）×（－2）＝ 3×2＝6，用数轴表示如图2-12。 3×（－2） （－3）×（－2） －6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 图2-12 根据生活经验，我们也可以获得相同的结论，比如水库的水位每天下降 3厘米，那么2天前的水位比现在的水位高6厘米。如果把水位下降3厘米记为 （－3）厘米，2天前记为（－2）天，那么根据实际意义，可知（－3）×（－2）＝＋6。 做一做 ZUOYIZUO 写出下列各算式的结果： 3×7＝ ； （－3）×7＝ ； 3×（－7）＝ ；（－3）×（－7）＝ ； 0×7＝ ； 0×（－7）＝ 。 由此你认为两个数相乘，积的符号与这两个数的符号有什么关系？积 的绝对值呢？ 一般地，我们有以下有理数的乘法法则❶： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与零相乘，积为零。 1299年，朱世杰（1249～1314）撰写的《算学启蒙》中给出了“同名相乘为正，异名相乘为负”的乘法 ❶ 法则，这是世界上关于正负数乘法法则的最早记载。 第2章 有理数的运算 47例1 计算： ▶ 3 4 （1） × ； （2）（－2 . 5）×4； 4 3 3 ( 1) （3）（－5）×0× ； （4） － ×（－3）； 2 3 ( 5) （5）（－6）× － ×（－4）。 4 3 4 解：（1） × ＝1； 4 3 （2）（－2 . 5）×4＝－（2 . 5×4）＝－10； 3 几个有理数相 （3）（－5）×0× ＝0； 2 乘，怎样确定积的 符号？ ( 1) (1 ) （4） － ×（－3）＝＋ ×3 ＝1； 3 3 ( 5) ( 5 ) （5）（－6）× － ×（－4）＝－ 6× ×4 ＝－30。 4 4 有多个不为0的有理数相乘时，可以先确定积的符号，再将绝对值相乘。 若其中一个乘数为0，则积为0。 3 4 若两个有理数的乘积为1，就称这两个有理数互为倒数。例如， 是 的 4 3 4 3 1 倒数， 也是 的倒数；－ 与－3互为倒数。0没有倒数（为什么？）。 3 4 3 课内练习 KENEILIANXI 1.（口答）先说出积的符号，再说出积。 ( 4) ( 1) （1）（＋12）×（－5）； （2） － × － ； 3 2 ( 3) ( 1) （3）（－25）×（－4）； （4）（－2）× － × － 。 2 3 2.（口答）说出下列各数的倒数。 （1）－1； （2）－2； 4 1 （3） ； （4）－1 。 5 2 48 数学 七年级上册3. 计算： ( 5 ) ( 8 ) （1）（－25）×（＋4 . 8）； （2） － 12 × － 15 ； ( 2) （3）0×（－9 . 5）； （4）（－2 . 5）× － 5 。 作业题 ZUOYETI A组 1. 用“＜“”＞”或“＝”填空： ( 1) （1）（－7）× ＋3 0； 9 （2）（－13）×（－7 . 9） 0； ( 11) （3）0× － 0； 13 ( 1) （4）（－1）× － 2 ×（－1 . 5） 0。 1 2. 1的倒数是 ，－ 7 的倒数是 ，－8的倒数是 ， 3 4 的倒数是 ，1 的倒数是 。 8 5 3. 计算： 9 ( 4) （1）（－1）× 7 ； （2）（－1 . 5）× － 5 ； 10 ( 2) （3） 7 × － 5 ； （4）（－2）×3×（－0 . 5）； ( 1) ( 1) （5） － 2 × － 6 ×（－2）； （6）|－1 . 25|×（－8）×4。 B组 4. 甲、乙两辆出租车在一条南北走向的街道上行驶，车速分别为每小 时40千米和45千米。它们同时从A地出发，甲车向北，乙车向南。 经过半小时，它们分别位于何处（要求用有理数的乘法来解决，记向 北行驶的速度为正）？ 5. 把－6表示成两个整数的积，有多少种可能性？把它们全部写出来。 第2章 有理数的运算 492 正数范围内适用的乘法运算律在有理数范围内还成立吗？ 合作学习 HEZUOXUEXI 计算下列各题，并比较它们的结果。 （1）（－5）×2＝－（5×2）＝ ； 2×（－5）＝－（2×5）＝ 。 （2）［2×（－3）］×（－4）＝（－6）×（－4）＝ ； 2×［（－3）×（－4）］＝2×12＝ 。 ( 1) 7 （3）（－3）× 2＋ ＝（－3）× ＝ ； 3 3 1 （－3）×2＋（－3）× ＝－6－1＝ 。 3 你发现了什么？再换一些数试一试，把你的发现与同伴交流。 在有理数运算中，乘法的交换律、结合律和分配律同样成立。 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 a××b＝＝b××a。 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数 相乘，积不变。 （a××b）××c＝＝a××（b××c）。 分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数 相乘，再把积相加。 a××（b＋＋c）＝＝a××b＋＋a××c。 合理地应用有理数乘法的运算律，可以帮助我们简化有关的运算。 例2 计算： ▶ 5 （1）（－12）×（－37）× ； 6 (1 2 4) （2）－30× － ＋ ； 2 3 5 （3）4 . 99×（－12）。 50 数学 七年级上册5 解：（1）（－12）×（－37）× 6 5 ＝37×12× （乘法交换律） 6 ( 5) ＝37× 12× （乘法结合律） 6 ＝37×10＝370； (1 2 4) （2）－30× － ＋ 2 3 5 1 ( 2) 4 ＝－30× ＋（－30）× － ＋（－30）× （分配律） 2 3 5 ＝－15＋20－24＝－19； （3）4 99×（－12） . ＝（5－0 01）×（－12） . ＝5×（－12）－0 01×（－12）（分配律） . ＝－60＋0 . 12＝－59 . 88。 例3 某校体育器材室共有60个篮球。一天课外活动，有三个班级分 ▶ 1 1 1 别计划借篮球总数的 ， 和 。请你算一算，这60个篮球够借吗？如果够 2 3 4 了，还多几个篮球？如果不够，缺几个篮球？ ( 1 1 1) 解：60× 1－ － － 2 3 4 1 1 1 ＝60×1－60× －60× －60× （根据什么？） 2 3 4 ＝60－30－20－15 ＝－5。 答：不够借，还缺5个篮球。 课内练习 KENEILIANXI 1. 计算下列各式，并说明理由。 （1）（－125）×7×（－8）； ( 2) ( 7) ( 9 ) 3 （2） － × － × － × ； 3 5 14 2 第2章 有理数的运算 518 ( 2) （3） 7 × － 3 ×（－3 . 4）×0； ( 1) （4）2×3－2× 3－ 。 2 2. 利用分配律计算： (1 1) （1）－6× － ； 3 2 (1 5 2) （2） － － ×105。 3 7 5 探究活动 TANJIUHUODONG 如果两个数的乘积为负数，那么这两个数中有几个负数？如果3个数的乘积为 负数，那么这3个数中有几个负数？4个数呢？5个数呢？6个数呢？你发现了什么 规律？请简要叙述你所发现的规律。 作业题 ZUOYETI A组 1. 计算下列各式，并说明哪些步骤运用了乘法运算律。 （1）（－0 . 25）×3 . 14×40； 17 ( 7) ( 4 ) （2） × － × － ×（－3）； 12 5 17 ( 4) 5 （3）（－8）× － 3 ×（－1 . 25）× 4 。 2. 用简便方法计算： (1 1 1) （1）12× － － ； 4 3 2 (4 3 1) （2） － ＋ ×（－20）； 5 4 2 13 （3）7 ×30； 15 （4）－300 . 75×（－4）。 1 2 3. 有1155页稿件需要打字，第一天完成 ，第二天完成 。问：还剩多 3 7 少页稿件需打字？ 52 数学 七年级上册4. 计算： 1 1 ( 1) （1） × ×（－15）＋7× － ； 5 2 2 (1 5) （2）－3×4＋12× － 。 3 2 B组 5. 用简便方法计算： 7 7 7 （1） ×（－9）＋ ×（－18）＋ ； 13 13 13 1 ( 1) （2）－147×（－0 . 125）＋253× 8 ＋72× － 4 。 C组 6. 提供一个能用算式（1－43%－37%）×2 500解决的实际问题情境， 算出结果，并说明计算结果的实际意义。 阅读材料 YUEDUCAILIAO 数的运算与扩充 数的运算与数的发展相伴而行，数系扩充后，规定运算法则一般遵循两 个原则：一是符合现实意义。比如，我们把水位下降的量用负数表示，规 定（－3）×2＝－6，表示水位每小时下降3厘米，经过2小时后就下降了6厘 米。二是要满足原有的运算律。比如，计算（－3）×（－2），我们可以这样 考虑。 根据原有的分配律， （－3）×2＋（－3）×（－2）＝（－3）×[2＋（－2）]＝（－3）×0＝0， 所以（－3）×（－2）应等于（－3）×2的相反数＋6，也就是说，如果希望 有理数范围内的乘法运算也满足交换律、结合律、分配律等运算律，那么规 定（－3）×（－2）＝＋6是合理的。 第2章 有理数的运算 5322..44 有有理理数数的的除除法法 为促进中小企业发展，我国针对增值税 和企业所得税出台了一系列优惠政策。根 据优惠政策，某企业2023年全年减少税款 20万元，则平均每月减少税款多少万元？ 若规定缴税增加为正，减少为负，则可以如 何列式计算？ 我们知道，对正有理数而言，除法是乘法的逆运算。例如，从3×2＝6可 得6÷3＝2或6÷2＝3。 引入负数后，对一般的有理数，除法也是乘法的逆运算。所以，由6× （－0 . 4）＝－2 . 4可得（－2 . 4）÷6＝－0 . 4。 做一做 ZUOYIZUO 填空： （1）由9×（－2）＝－18，得 （－18）÷（－2）＝（ ），（－18）÷9＝（ ）； （2）由（－9）×2＝－18，得 （－18）÷2＝（ ），（－18）÷（－9）＝（ ）； （3）由（－9）×（－2）＝18，得 18÷（－2）＝（ ），18÷（－9）＝（ ）； （4）由0×a＝0（a表示不等于0的有理数），得0÷a＝（ ）。 观察上面的结果，两个有理数相除，商的符号有什么规律？商的绝对 值呢？ 一般地，我们有以下有理数的除法法则： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个 不等于零的数都得零。 54 数学 七年级上册例1 计算： ▶ （1）（－8）÷（－4）； （2）（－3 . 2）÷0 . 08； ( 1) 2 （3） － ÷ 。 下列等式成立吗？ 6 3 （－8）÷（－4） ( 1) 解：（1）（－8）÷（－4）＝＋（8÷4）＝2； ＝（－8）×－ ； 4 （2）（－3 . 2）÷0 . 08＝－（3 . 2÷0 . 08）＝－40； ( － 1) ÷ 2 6 3 ( 1) 2 ( 1) 3 （3） － ÷ ＝－ × 。 6 3 6 2 由此你能得出 (1 2) (1 3) 1 ＝－ ÷ ＝－ × ＝－ 。 什么规律？ 6 3 6 2 4 一般地，有理数的乘法与除法之间有以下关系： 除以一个数（不等于零），等于乘以这个数的倒数。 例2 计算： ▶ 3 7 7 ( 3) （1）－ 2 ÷（－7）× 5 ； （2）3 . 5÷ 8 ÷ － 2 。 3 7 (3 7) 3 1 7 3 解：（1）－ ÷（－7）× ＝＋ ÷7× ＝ × × ＝ ； 2 5 2 5 2 7 5 10 7 ( 3) (7 8 2) 8 （2）3 . 5÷ 8 ÷ － 2 ＝－ 2 × 7 × 3 ＝－ 3 。 课内练习 KENEILIANXI 1.（口答）先说出商的符号，再说出商。 （1）12÷4； （2）（－57）÷3； （3）（－36）÷（－9）； （4）96÷（－16）。 2. 计算： （1）84÷（－14）； （2）（－1 . 6）÷0 . 4； ( 7 ) ( 3) ( 3 ) （3）0÷ － ； （4） － ÷ － 。 83 5 25 第2章 有理数的运算 553. 计算： （1）（－12）÷4×（－16）； 1 ( 5) （2） 12 ÷ － 3 ÷（－0 . 25）。 4. 下面计算正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请改正。 15÷6÷2＝15÷（6÷2）＝15÷3＝5。 作业题 ZUOYETI A组 1. 填空： ( 1) （1）7÷ － ＝7× ； （2）（－21）÷（－9）＝－21× ； 7 ( 1) （3） － ÷8＝－（ ）； （4）（－13）÷（－5）＝＋（ ）。 2 2. 计算： （1）35÷（－21）； （2）（－1 . 2）÷（－0 . 8）； ( 3 ) ( 3) 6 （3） － 10 ÷ － 5 ； （4）（－2 . 4）÷ 5 。 4 2 3.（1）一个数与－ 的积为 ，求这个数。 3 3 （2）一个数除以3的商为－9，求这个数。 4. 计算： （1）（－8）÷4×（－3）； （2）（－1 . 6）×0 . 4÷（－0 . 5）； 1 ( 4) ( 3) ( 3) ( 9) （3） 6 ÷ － 3 ÷（－0 . 25）； （4） － 4 × － 2 ÷ － 8 。 B组 5. 提供一个能用（－22 . 5）÷15%解决的实际问题情境，用负数表示结 果，并说明结果的实际意义。 ( 3) ( 4) 6 6. 计算：－ × － －2÷ 。 4 3 5 56 数学 七年级上册22..55 有有理理数数的的乘乘方方 假设一张厚度为0 . 09 mm的纸能够无限次对折， 那么对折多少次后，其厚度将超过你的身高？ 1 如图2-13，正方形的面积是5×5平方单位。为简便起见，我们把5×5 记作52，读作5的平方，即5×5＝52＝25。 5 图2-13 如图2-14，立方体的体积是5×5×5立方单位。类似地，我们可以把 5×5×5记作53，读作5的立方，即5×5×5＝53＝125。 一般地，在数学上我们把n个相同的因数a 相乘的积记作an，即 n个a a×a× ×a＝an。 … 这种求几个相同因数的积的运算叫作乘方 （ involution ），乘方的结果叫作幂❶（ power ）。在 an中，a叫作底数（ base ），n叫作指数（ exponent ）， 幂 an 指数 如图2-15。an读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 一个数可以看作这个数本身的一次方。例 底数 如，5就是51，指数1通常省略不写。二次方也 图2-15 叫作平方，三次方也叫作立方。 刘徽为《九章算术》作注时提到“此积谓田幂”“勾股幂合以成弦幂”，这是数学文献中第一次出现 ❶ “幂”字。后来徐光启（1562～1633）在《原本》译本中，提出“自乘之数曰幂”，这是第一次给幂下定义。 第2章 有理数的运算 5 5 图2-14 5 5 57做一做 ZUOYIZUO 1.（口答）把下列相同因数的乘积写成幂的形式，并说出底数和指数。 （1）（－6）×（－6）×（－6）； 2 2 2 2 注意 （2） × × × 。 3 3 3 3 幂的底数是 分数或负数时，底 ( 1) 5 数应该添上括号， 2. 把 － 写成几个相同因数相乘的形式。 ( ) 2 2 4 如（－5）3， 。 3 10个（－2） 3. 把（－2）×（－2）×（－2）× … ×（－2）写成幂的形式。 例1 计算： ▶ ( ) 4 4 （1）（－3）2； （2）1 . 53； （3） - ； （4）（－1）11。 3 解：（1）（－3）2＝（－3）×（－3）＝9； （2）1 . 53＝1 . 5×1 . 5×1 . 5＝3 . 375； ( 4) 4 ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) 256 （3） － ＝ － × － × － × － ＝ ； 3 3 3 3 3 81 （4）（－1）11＝－1（为什么？）。 幂的符号与指数有怎样的关系？由于幂就是相同的因数相乘，根据有 理数乘法法则可知：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数 的偶次幂是正数；0的正整数次幂还是0。 做一做 ZUOYIZUO 计算： （1）102，103，104，105； （2）0 . 12，0 . 13，0 . 14，0 . 15。 观察上述计算结果，你发现了什么规律？ 58 数学 七年级上册对于乘除和乘方的混合运算，应先算乘方，后算乘除；如果遇到括号，就 先进行括号里的运算。 例2 计算： ▶ （1）－32； （2）3×23； （3）（3×2）3； （4）8÷（－2）3。 解：（1）－32＝－（3×3）＝－9； －32与（－3）2有 什么区别？ （2）3×23＝3×8＝24； （3）（3×2）3＝63＝216； （4）8÷（－2）3＝8÷（－8）＝－1。 课内练习 KENEILIANXI 1. 填空： ( ) 2 7 2 2 2 （1） 表示 个 相乘，叫作 的 次方，也叫作 的 9 9 9 9 2 次幂。其中 叫作 ，7叫作 。 9 （2）（－3）10的底数是 ，指数是 ，（－3）10表示10个 相 乘，叫作 的10次方，也叫作－3的 次幂。 2. 计算： ( 3) 4 （1）（－5）3； （2） － ； 4 （3）5×23； （4）（5×2）3； （5）（－2）2×（－3）2； （6）（－2）3÷22。 作业题 ZUOYETI A组 1. 把下列乘方先写成相同因数相乘的形式，再求出幂。 ( ) 2 3 （1）（－7）2； （2） - ； （3）1 . 14。 3 第2章 有理数的运算 592. 把下列各式改写成乘方的形式： 3 3 3 3 （1） × × × ＝ ； 5 5 5 5 （2）（－2）×（－2）×（－2）＝ 。 3. 计算： ( 3) 5 （1）（－12）2； （2） － ； 2 （3）（－0 . 2）3； （4）－132； （5）－3×（－1 . 1）2； （6）（－7）3÷（－7）2。 4. 某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个。经过5小时，这种细胞 由1个分裂成了多少个？ B组 5. 计算： （1）23－32； （2）（－2）3×3＋2×（－3）2； （3）105×（－0 . 2）3； （4）5600×（1＋20%）2。 6. 某种放射性物质会不断衰变为其他物质，平均每经过1天残留的放 射性物质约为原来的91 . 7%。问：3天后残留的放射性物质约为原 来的百分之几（精确到0 . 1%）？ 2 思考下面两个问题： （1）2021年5月15日，我国首个火 星探测器天问一号在太空运行295天 后，成功着陆火星，距离地球约3 . 2亿千 米。已知地球赤道周长约40 000千米， 那么天问一号着陆时与地球的距离相 当于多少个赤道周长？ （2）已知某市约有1 220万人口， 如果该市每人每天节约用水0 . 5千克，那么该市每天节约用水多少千克？ 60 数学 七年级上册我们经常遇到一些较大的数，为读写方便，我们常用带一位整数的数与 10的乘方的乘积来表示较大的数。例如： 600 000＝6×105； 20 000 000＝2×10 000 000＝2×107； 6 500 000＝6 . 5×1 000 000＝6 . 5×106。 这种把一个数表示成 a（1 ≤a＜10）与 10 的幂相乘的积的形式，叫 作科学记数法（ scientific notation ）。负数也可以类似表示，例如, －360 ＝－3 . 60×102。 例3 （1）用科学记数法表示数： ▶ 230 000，15800 … 0。 31个0 （2）下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ 4 . 315×103，1 . 02×106，－7 . 3×107。 解：（1）230 000＝2 . 3×105；15800 … 0＝1 . 58×1033。 31个0 （2）4 . 315×103＝4 315；1 . 02×106＝1 020 000； －7 . 3×107＝－73 000 000。 例4 计算下列各式，并把结果用科学记数法表示。 ▶ （1）5 . 6×105＋6 . 8×105； （2）1 . 3×105－3 . 5×104。 解：（1）5 . 6×105＋6 . 8×105＝（5 . 6＋6 . 8）×105＝12 . 4×105＝1 . 24×106； （2）1 . 3×105－3 . 5×104＝（13－3 . 5）×104 ＝9 . 5×104。 例5 如果平均每人每天需要粮食0 . 5 kg，那么全国每天大约需要粮 ▶ 食多少千克？1年呢？（全国人口约1 . 41×109人，结果用科学记数法表示） 解：0 . 5×1 . 41×109＝0 . 705×1 000 000 000 ＝705 000 000＝7 . 05×10（8 kg ）。 1年按365天计算， 第2章 有理数的运算 617 05×108×365 . ＝7 05×365×100 000 000 . ＝257 325 000 000 ＝2 . 57 325×101（1 kg ）。 答：全国每天大约需要粮食 7 . 05×108 kg，全国 1 年大约需要粮食 2 . 57 325×1011 kg。 课内练习 KENEILIANXI 1. 用科学记数法表示下列叙述中较大的数。 （1）地球上陆地的面积大约是149000000 km 2； （2）太阳中心的温度可达16000000 ℃； （3）小明一年心跳的次数约为3679 . 2万次（用次作单位）。 2. 计算下列各式，结果用科学记数法表示。 （1）4 . 6×104＋8 . 8×104； （2）8 . 56×102－2 . 1×103。 3. 比较1 . 23×105与5 . 12×104的大小。 探究活动 TANJIUHUODONG 1. 一张纸的厚度为0 . 09 mm，那么你的身高是这张纸的厚度的多少倍？ 2. 将这张纸按图2-16的方法连续对折6次，这时它的厚度是多少？ 图2-16 3. 假设连续对折始终是可能的，那么对折多少次后，所得的厚度可以超过你 的身高？先猜一猜，然后计算出答案。你的猜想符合计算结果吗？ 62 数学 七年级上册作业题 ZUOYETI A组 1. 下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ （1）1 . 7×103； （2）5 . 08×109； （3）7 . 2×105。 2. 用科学记数法表示下列叙述中的数。 （1）银河系中大约有恒星200000000000颗； （2）太阳与地球的平均距离大约是150000000千米； （3）地球的质量大约是5980000000000000000000吨。 3. 计算（结果用科学记数法表示）： （1）7 . 8×103＋1 . 2×103； （2）5 . 6×105－5 . 2×105。 B组 4. 截至2022年，我国约有3 . 19×108 辆民用汽车，按平均每辆车的车身 长为5 m计算，让这些汽车头尾相 接排列，大约能排多长？相当于几 座长城的长度（长城的长度按 8 . 85×103 km计算）？ （第4题） 5. 计算（结果用科学记数法表示）： （1）8 . 4×103－4 . 8×104； （2）（2×104）×（5×103）； （3）（8 . 1×108）÷（9×105）。 6. 估计你的语文教科书每页大约有多少字。一套《辞海》大约有2 . 3× 107个字，如果每页字数与语文教科书的字数相等，大约有多少页 （结果用科学记数法表示）？ 第2章 有理数的运算 6322..66 有有理理数数的的混混合合运运算算 若已知圆形花坛的半径和中央雕塑正 方形底座的边长，怎样计算花坛的种花 面积？ 一座圆形花坛的半径为3 m，中央雕塑的底面是边长 单位：m 为1 . 2 m的正方形（图2-17）。请用算式表示该花坛的种 3 花面积。这个算式有哪几种运算？应怎样计算？计算结 1 2 果是多少？ . 图2-17 一般地，有理数混合运算的法则是： 先算乘方，再算乘除，最后算加减。如有括号，先进行括号里的 运算。 例1 计算： ▶ (2 1) 5 2 1 （1）（－6）2× － －23； （2） ÷ － ×（－9）2＋32。 3 2 6 3 3 (2 1) 5 2 1 解：（1）（－6）2× － －23 （2） ÷ － ×（－9）2＋32 3 2 6 3 3 1 5 3 1 ＝36× －8 ＝ × － ×81＋9 6 6 2 3 5 ＝6－8 ＝ －27＋9 4 67 ＝－2； ＝－ 。 4 例2 底面半径为10 cm，高为 30 cm的圆柱形水桶中装满了水。小 ▶ 明先将桶中的水倒满2个底面半径为3 cm，高为5 cm的圆柱形杯子，再把剩 下的水倒入长、宽、高分别为50 cm，20 cm和20 cm的长方体容器内。长方 体容器内水的高度大约是多少厘米（ π取3，容器的厚度不计）？ 64 数学 七年级上册解：水桶内水的体积为π ×102×30 cm 3，倒满2个杯子后，剩下的水的 体积为（ π ×102×30－2× π ×32×5） cm 3（图2-18）。 （ ×102×30－2× ×32×5）÷（50×20） π π ＝（9 000－270）÷1 000 ＝8 730÷1 000 ＝8 . 73（ cm ）。 答：长方体容器内水的高度约为8 . 73 cm。 2× ×32×5 π 50×20×？ ×102×30 π －2× ×32×5 π ×102×30 π 图2-18 课内练习 KENEILIANXI 1. 计算： （1）1 . 5－2×（－3）； 1 2 （2）－ ×（－2）2÷ ； 2 3 (3) 2 （3）8－8× ； 2 3 ( 3) ( 2) 2 （4） ÷ － ＋ － ×21。 2 4 7 2. 下列计算错在哪里？应如何改正？ （1）74－22÷70＝70÷70＝1； ( 1) 2 1 3 （2） －1 －23＝1 －6＝－4 ； 2 4 4 1 （3）23－6÷3× ＝6－6÷1＝0。 3 第2章 有理数的运算 65作业题 ZUOYETI A组 1. 计算： （1）4－3×22； （2）1－（5－7）÷（－3）3； 1 ( 6) (1 ) （3） × － ÷ －2 ； （4）17－8÷（－2）＋4×（－5）。 4 7 2 2. 下列计算错在哪里？应如何改正？ 1 1 （1） － ×3＝0×3＝0； 2 2 （2）－32－（－2）3＝9－8＝1； (3 2) （3）15÷5×（－3）－6÷ － ＝15÷（－15）－（4－9）＝－1＋5＝4。 2 3 ( 5) 3. 计算：－ 8 ×（－42）－0 . 25×（－5）×（－4）3。 4. 某空调室外机的形状可看作一个长方体，其长、宽、高尺寸分别为 高 850 mm，320 mm，580 mm。在朝外一面上有一个圆形的出风口，出风 宽 口的直径为440 mm，除这个出风口外外壳均用铁皮包裹。计算外壳 长 （第4题） 铁皮的面积（ π取3）。 ( 2) ( 1) 2 Ｂ组 5. 计算：（－1 . 25）× － 5 ×（＋8）－9÷ －1 2 。 6. 有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，各张牌上的 数用加、减、乘、除四则运算（可用括号）列一个算式，先得计算结果 为“24”者获胜（ J，Q，K分别表示11，12，13，A表示1）。小明、小聪两 人抽到的四张牌如图所示，这两组牌都能算出“24点”吗？为什么？ 如果算式中允许包含乘方运算，你能列出符合要求的不同算式吗？ 小明抽 到的牌： 小聪抽 到的牌： （第6题） 66 数学 七年级上册22..77 近近似似数数 现藏于湖北省博物馆的曾侯乙 编钟由65件青铜编钟组成，分3层 排列，共8组，最大的高153 . 4厘米， 最小的高20 . 4厘米。其造型壮观， 音列充实，音频准确，堪称中国古代 编钟之最。经考古推断，该编钟是 约2400年前战国早期的文物。 节前语中，65这个数与曾侯乙编钟的实际个数完全符合。像这样与实 际完全符合的数称为准确数（ accuratenumber ）。在节前语中，3，8这两个数也 是准确数。153 . 4，20 . 4，2 400这三个数是通过测量或估计得到的，它们与最 大编钟和最小编钟的实际高度，以及制造编钟的实际年代比较接近，但不完 全符合。像这样与实际接近的数称为近似数（ approximate number ）。 做一做 ZUOYIZUO 下列叙述中的各数，哪些是准确数，哪些是近似数？说明你的理由。 （1）教室里有24张课桌； （2）小明的身高为1 . 57 m； （3）某本书的定价是4 . 50元； （4）月球与地球之间的平均距离大约是38万千米； （5）大熊猫已经在地球上生活了800万年，是动物界的“活化石”。 对近似数，人们常需知道它的精确度。一个近似数的精确度可用四舍 五入法表述。一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一 位。如上面第（2）题，身高1 . 57 m是千分位上的数四舍五入到百分位的结 果，它精确到百分位（或精确到0 . 01），表示实际身高大于或等于1 . 565 m，而 小于1 . 575 m （图2-19）。同样，近似数38万是千位上的数四舍五入到万位 的结果，所以说它精确到万位（图2-20）。 第2章 有理数的运算 67单位：m 1575 1.58 . 近似数 1.57 单位：万千米 157 1 . 57所 . 表示的 37 375 38 385 39 1.56 . . 范围 1565 . 近似数38万表示的范围 图2-19 图2-20 做一做 ZUOYIZUO 1. 下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？ （1）36 . 8； （2）1 . 2万； （3）1 . 20万； （4）1 . 2×105。 2. 用四舍五入法，按括号内的要求对下列各数取近似值。 （1）0 . 33448（精确到千分位）； （2）64 . 8（精确到个位）； （3）1 . 5952（精确到0 . 01）； （4）84960（精确到百位，并用科学记数法表示）。 ❷ 计算近似数时，我们一般可 将计算器作为辅助计算工具。 显示屏 第二功能 常用的计算器有简易计算器、科 启动键 学计算器（如图2-21）和图形计 开机键 清除键 算器等。用科学计算器进行混 分数键 合运算的按键顺序与书写顺序 删除键 基本相同❶。按精确度要求，将 用计算器算得的结果取近似值， 即可得到近似数。 图2-21 不同型号计算器的按键顺序不一定相同，请参照你的计算器的说明书。 ❶ ICT是英文InformationandCommunicationTechnology的缩写，直译为信息和通信技术（包括计算器、 ❷ 计算机和互联网技术等）。本套教科书加注ICT标志的地方均可应用计算器、计算机或互联网等工具。 68 数学 七年级上册例1 用计算器计算： ▶ 2 （1）0 . 6＋2 . 4÷ 3 ； （2）29×112－（91－52×80%）÷7（精确到个位）。 解：（1）按键顺序为： 0 · 6 ＋ 2 · 4 2 06＋24÷ 21 . . 3 5 ÷ 3 2 ＝ ▲ 2 21 所以0 . 6＋2 . 4÷ 3 ＝ 5 。 （2）按键顺序为： 2 9 × 1 1 x2 － 29×112－（91－52×80% （ 9 1 － 5 2 × 3501942857 . 8 0 2ndF % ） ÷ 7 ＝ 所以29×112－（91－52×80%）÷7 ＝3 501 . 942 857 ≈ 3 502。 例2 浙江省全血采集量从2020年的108 . 1万单位增加到2021年 ▶ 的114 . 8万单位，增长百分比是多少（精确到0 . 01%）？ 114 8－108 1 . . 解：2021年比2020年增长的百分比为 。 108 1 . 用计算器计算，按键顺序为： 1148－1081 1 1 4 · 8 － 1 0 8 · 1 . . ▲ 1081 . 1 0 8 · 1 ＝ 0 . 06197964847 ▼ 114 8－108 1 . . 所以 ＝0 . 06197964847 ≈ 6 . 20%。 108 1 . 答：浙江省全血采集量2021年比2020年增长6 . 20%。 第2章 有理数的运算 69课内练习 KENEILIANXI 1.（口答）圆周率π ＝3 . 141 592 65…取近似值3 . 14，是精确到哪一位？ 取近似值3 􀆰 1416呢？ 2. 用四舍五入法，按括号内的要求对下列各数取近似值。 （1）46 . 249（精确到0 . 1）； （2）0 . 665（精确到百分位）； （3）5041（精确到百位，结果用科学记数法表示）。 3. 用计算器计算： 2 （1） 3 ×19 . 2－3 . 7×52； （2）9 . 1÷（43－2 . 1）（精确到0 . 001）。 探究活动 TANJIUHUODONG 使用计算器，按图2-22的流程图操作。 开始 任意输入一个三位数，如175 将各数位上的数字反向排列，如571 把这两个数相加，如175＋571＝746 否 你认为这是一个 有规律的数吗 是 猜想规律 结束 图2-22 多举几个三位数试一试，你得到怎样的猜想？与你的同伴得到的结果比较，你 们的猜想相同吗？ 70 数学 七年级上册作业题 ZUOYETI A组 1. 下列表述中，哪些数是准确数？ （1）小敏的钢笔长14 . 5 cm； （2）一个苹果的质量是200 g； （3）七年级一班有学生48人。 2. 由四舍五入得到的近似数83 . 50，精确到 位，它表示大于或等 于 ，而小于 的数。 3. 用计算器计算： 8 1 24 . （1）5 . 7 ÷3 －4×2； （2） 2 1－1 8 ； . . （2 5－4）2 （3） . －3 . 13（精确到0 . 01）。 13 4. 我国研制的E级计算机，其计算速度达到每秒百亿亿次。如果该计 算机按每秒1百亿亿次的速度稳定运行，那么每小时可运算多少次？ B组 5. 围绕“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，杭州第19届亚运会所有 场馆实现100%绿色电能供应，这在亚运史上是首次。在杭州亚运会 期间，亚运场馆和亚运村“绿电❶”供能达6 . 21亿千瓦时，相当于减少 燃烧标准煤7 . 6万吨，减排二氧化碳52 . 76万吨。据统计，2022年度 杭州全年累计用电量为950亿千瓦时，如果这些用电量全部使用绿 色电能，那么全年可节约标准煤多少吨？减排多少吨二氧化碳（结 果用科学记数法表示）？ 6. 用计算器计算，并把结果写在等号右边。你得到怎样的规律？你能 说明你的猜想正确吗？ 1×9＋2＝ ； 12×9＋3＝ ； 123×9＋4＝ ； 1234×9＋5＝ 。 绿电：即绿色电力，是指在生产电力的过程中，二氧化碳排放量为零或趋近于零。绿电的主要来源 ❶ 有水力发电、风力发电、太阳能发电等。 第2章 有理数的运算 71小结与反思 一、知识梳理 本章在有理数概念的基础上，学习了有理数的运算，解决了小数减大数等问 题。有理数的运算涉及确定符号和绝对值两个方面。符号确定后，与负数有关的 运算就转化成正数之间或正数和零之间的运算，小学学过的数的运算律在有理数 范围内依然成立。有理数的运算法则与运算律都是通过归纳得到的，数轴能帮助 我们直观理解运算。归纳、数形结合、转化是本章学习与问题解决中常用的思想 方法。 本章学习流程和知识结构如下： 加法 减法 交换律 有理数的运算 运算律 结合律 分配律 乘法 除法 乘方 科学记数法 二、回顾与反思 1. 有理数的加、减、乘、除有哪些运算法则？与小学学过的运算法则有什么联 系与区别？ 2. 有理数有哪些运算律？举出两个用运算律简化运算的例子。 3. 加、减、乘、除、乘方这些运算之间有怎样的关系？ 4. 什么是准确数和近似数？分别举一个例子加以说明。 5. 进行有理数运算时，如何减少错误？你有什么经验可以与同学分享？ 72 数学 七年级上册目标与评定 A 目标 节 节 2.1 2.2 ★掌握有理数的加法、减法及简单的混合运算。 ★理解有理数加法的交换律和结合律，能运用加法运算律简化运算。 1. 计算： （1）5＋（－6）； （2）－1 . 3＋（－1 . 7）； （3）（－11）－7； （4）（－7）－（－8）。 2. 计算： 1 ( 6) （1） 7 ＋（－2 . 5）－ － 7 ； （2）（－73）＋9 . 1－（－7）＋（－9）； （3）5 . 6－7＋3 . 4； （4）21－（4 . 5－10）。 3. 一个粮库8月31日有存粮112吨，从9月1日至9月10日，该粮库粮食进出情况 如下表（记进库为正，单位：吨）。 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日 10日 数量 50 －11 －21 41 89 －72 86 0 －54 －12 （1）至9月10日运粮结束时，粮库内存粮为多少吨？ （2）9月1日至9月10日共进出粮食多少吨？ B 目标 23节 24节 . . ★掌握有理数的乘法、除法及简单的混合运算。 ★理解有理数乘法的交换律、结合律和分配律，能运用乘法运算律简化运算。 4. 计算： 5 （1）（－15）×（－4）； （2） 9 ×（－2 . 7）； ( 7) 1 （3） － 5 × 5 ； （4）（－8）÷（－1 . 25）。 5. 计算： ( 5) ( 6) （1）3×（－1 . 7）×2； （2）8× － 3 ×（－0 . 25）× － 5 ； 1 ( 4 ) 4 ( 2) 3 （3）11÷ 7 × － 11 ； （4）（－1 . 5）× 5 ÷ － 5 × 4 。 第2章 有理数的运算 73C 目标 25节 . ★理解乘方的意义，掌握有理数的乘方运算。 ★会用科学记数法表示较大的数（包括在计算器上表示）。 6. 计算： (3) 2 （1）（－9）2； （2）（－0 . 3）3； （3） 7 ； ( 1) 2 (2 5) 2 （4）（－10）5； （5）－4× － ； （6） × 。 2 5 3 7. 用科学记数法表示下列叙述中的数。 （1）世界上最深的海沟是太平洋的马里亚纳海沟，海拔为－11034米； （2）据科学家估计，地球的年龄大约是4600000000年。 8. 一次自然灾害导致大约20万人受困，急需一批帐篷和粮食进行援助。估计每顶 帐篷可以住10人，平均每人每天需要粮食0 . 4千克，共维持15天，那么有关部门 需要筹集多少顶帐篷、多少吨粮食（结果用科学记数法表示）？ D 目标 26节 27节 . . ★掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算。 ★了解近似数的概念，会根据预定精确度取近似值。 ★能用计算器进行加、减、乘、除和乘方的运算，以及一些简单的混合运算。 9. 计算： (1 1 5 ) （1）（－66）× － × ； （2）4－（－3）2×2； 2 3 11 2 ( 1) 2 ( 1) 3 ( 1) （3）－22÷ × 1－ ； （4）32÷ － －24÷ － 。 3 3 3 2 10. 用四舍五入法将下列各数取近似值。 （1）0 . 03395（精确到0 . 0001）； （2）106 . 49（精确到个位）； （3）8 . 0504（精确到0 . 01）； （4）5109500（精确到万位，并用科学记数法表示）。 11. 用计算器计算： ( 3) 1.64 （1）1 . 85－ 2－1 4 ×7； （2） 2.5－1.7 ； （3）91×133÷21%（精确到0 . 01）。 74 数学 七年级上册12. 计算高为7 . 6 cm，底面半径为2 . 7 cm的圆锥的体积（精确到1 cm 3，圆锥的体积 1 ＝ ×底面积×高）。 3 13. 用计算器计算： 99999×11，99999×12，99999×13，99999×14。 你发现了什么规律？用你所发现的规律口算99999×19。 E 目标 ★能运用有理数的运算解决简单问题。 14. 有一个水库某天8:00的水位为－0 . 1 m （以警戒线为基准，记高于警戒线的水 位为正），在之后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：m ）： 0 . 5，－0 . 8，0，－0 . 2，－0 . 3，0 . 1。 经这6次水位变化后，水库的水位超过警戒线了吗？ 15. 小江家的住房户型结构如图所示。请算出小江家的住房面积。 （第15题） 第2章 有理数的运算 0002 0042 0025 0051 1900 2100 4600 0073 0022 0073 单位：mm 4000 1500 3100 75第3章 实数 跳伞运动员跳离飞机，在打开降落伞 前，下降的高度d（米）和下降的时间（t 秒） 之间满足关系式d＝5t（2 不计空气阻力）。 你能算出跳伞运动员在打开降落伞前下 降875米需要的时间吗？ 当你站在h千米的高处时，你能看到 的最远距离d可表示为d＝112 h千米。 “上海之巅”观光厅位于上海中心大厦第 118层，垂直高度546米，人站在观光厅里 能看多远？ 本章将学习平方根、立方根、实数及 其运算。实数的引入，会带我们进入一个 更广阔的数的世界。33..11 平平方方根根 S＝1 . 44 m 2 一张正方形桌面的面积为 1 . 44 m 2，它的边 长为多少米？ 一个正方形的面积为1 . 44 m 2（如图3-1），这个正方 形的边长为多少米？你是怎么想的？什么数的平方等 于1 . 44？ 1 . 44 m 2 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作 ？m a的平方根（ square root ），也叫作a的二次方根。例如， 图3-1 因为 1 . 22＝1 . 44，所以 1 . 2 是 1 . 44 的平方根。又因为 （－1 . 2）2＝1 . 44，所以－1 . 2也是1 . 44的平方根。 1 请分别说出49， ，0的平方根。 25 关于数的平方根，我们有以下事实： 一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零； 负数没有平方根。 一个正数a 的正平方根用“ a”表示（读作“根号a”）；a的负平方根用 “－ a”表示（读作“负根号a”），因此，一个正数 a的平方根就用“± a”表 示（读作“正、负根号a”），其中a叫作被开方数。 求一个数的平方根的运算叫作开平方。开平方是平方运算的逆运算，因 此，可以运用平方运算求一个数的平方根。 例1 求下列各数的平方根： ▶ 1 16 （1）9； （2） 4 ； （3）0 . 36； （4） 9 。 78 数学 七年级上册解：（1）因为32＝9，（－3）2＝9， 所以9的平方根是±3，即± 9＝±3。 ( 1) 2 1 （2）因为 ± ＝ ， 2 4 1 1 1 1 所以 的平方根是± ，即± ＝± 。 4 2 4 2 （3）因为（±0 . 6）2＝0 . 36， 所以0 . 36的平方根是±0 . 6，即± 0 36＝±0 . 6。 . ( 4) 2 16 （4）因为 ± ＝ ， 3 9 16 4 16 4 所以 的平方根是± ，即± ＝± 。 9 3 9 3 正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0。一个数a（a≥ 0） 1 的算术平方根记作“ a”。例如，9的算术平方根是3，即 9＝3， 的算术平 4 1 1 1 方根是 ，即 ＝ 。 2 4 2 例2 先说出下列各式的意义，再计算。 ▶ 49 9 （1）± ； （2） 225； （3）－ 。 100 4 49 49 解：（1）± 表示 的平方根。 100 100 49 7 ± ＝± 。 100 10 （2） 225表示225的算术平方根。 225＝15。 9 9 （3）－ 表示 的负平方根。 4 4 9 3 － ＝－ 。 4 2 第3章 实数 79课内练习 KENEILIANXI 1. 填空： （1）因为（ ）2＝1， 所以1的平方根是 ，即± 1＝ 。 （2）因为（ ）2＝64， 所以64的平方根是 ，即 ＝ 。 （3）因为（ ）2＝0 . 04， 所以0 . 04的平方根是 ，即 ＝ 。 36 （4）因为（ ）2＝ ， 25 36 所以± ＝ 。 25 16 4 2. 求下列各数的平方根：64， 25 ， 81 ，0 . 01。 3. 下列各数有没有平方根？如果有，求出它的算术平方根；如果没有， 请说明理由。 1 100， 16 ，0 . 09，－0 . 36，0。 作业题 ZUOYETI A组 1. 填空： （1） 数的平方根有两个，它们互为 ； （2） 数没有平方根； （3）0 . 25的算术平方根是 。 2. 填空： 9 （1）因为（ ）2＝ ， 4 9 9 所以 的平方根是 ，即± ＝ 。 4 4 （2）因为（ ）2＝0 . 16， 所以0 . 16的平方根是 ，即 ＝ 。 80 数学 七年级上册3. 下列各数有没有平方根？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说 明理由。 4 0 . 0001，（－7）2，－9， 49 。 4. 先说出下列各式的意义，再计算。 （1） 169； （2）± 4； （3）－ 7 32。 . B组 5. 计算： （1） 196； （2）± 324； （3） 0 81； . 9 （4）－ 。 25 6. 已知一个长方形的长是宽的2倍，面积为72 cm 2，求这个长方形的 周长。 C组 7. 用计算器计算，比较下列各数的大小：12，22，2 . 52，5 . 72，112，172， 1012，你发现了什么规律？算术平方根的大小与被开方数的大小 有什么关系？ 第3章 实数 8133..22 从从有有理理数数到到实实数数 用一张A 4纸折出一个最大的正方形，将对 角线与另一张A 4纸的长边叠合，你发现了什 么？由此你能得出A 4纸长与宽的比是多少吗？ 合作学习 HEZUOXUEXI 如图3-2，依次连结2×2方格四条边的中点A，B， C C，D，得到一个阴影正方形。设每一方格的边长为1个 单位长度，讨论下面的问题： D B （1）阴影正方形的面积是多少？ 1 （2）阴影正方形的边长是多少？应怎样表示？ 1 （3）阴影正方形的边长介于哪两个相邻整数之间？ A 图3-2 （请与你的同伴交流） 观察图3-2，我们可得图中阴影正方形的边长为 2。因为1＜ 2＜2， 所以它不是整数。下面让我们一起探究 2 的十分位、百分位、千分位等 数位上的值。 我们可以通过计算，得到下表。 表3-1 142＜2＜152 14＜ 2＜15 . . . . 1412＜2＜1422 141＜ 2＜142 . . . . 14142＜2＜14152 1414＜ 2＜1415 . . . . 141422＜2＜141432 14142＜ 2＜14143 . . . . 1414212＜2＜1414222 141421＜ 2＜141422 . . . . … … 如此进行下去，可以得到一系列越来越接近 2的近似值。事实上， 82 数学 七年级上册2＝1 . 414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 …， 它既不是有限小数，也不是无限循环小数（不能化为分数）。 像 2 这种无限不循环小数叫作无理数（ irrational number ）。无理数广 泛存在着，例如： π ＝3 . 141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 3…， 3＝1 . 732 050 807 568 877 293 527 446 341 505 872 366 9…。 任意写一个无限不循环小数，如1 . 010 010 001…（两个“1”之间依次多 一个“0”），它也是无理数。 如果我们把整数看作小数部分为零的有限小数，那么有理数便是有限 小数与无限循环小数的统称。 和有理数一样，无理数也可分为正无理数和负无理数。例如，π， 2， 3， 5都是正无理数，－ π，－ 2，－ 3，－ 5都是负无理数。 有理数和无理数统称实数（ real number ）。 正有理数 有限小数和 有理数 零 无限循环小数 负有理数 实数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 我们已经知道，每一个有理数都可以用数轴上的点表示出来。例如，可 1 把－2，－0 . 5， 4 和2表示在数轴上（图3-3）。 1 －0 . 5 4 －3 －2 －1 0 1 2 图3-3 那么，数轴上的每一个点都表示一个有理数吗？答案是否定的。 如图3-4，通过画图3-2中正方形ABCD的边长，就能准确地把 2 和－ 2表示在数轴上。把数从有理数扩充到实数以后，有理数中的相反数和 绝对值的概念同样适用。例如， 2与－ 2互为相反数，| 2|＝|－ 2|＝ 2。 第3章 实数 83－ 2 2 －2 －1 0 1 2 图3-4 在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴 上的每一个点都表示一个实数。我们说实数和数轴上的点一一对应。 有理数的大小比较法则也适用于实数。 在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。 例 把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“＜”连接）。 ▶ 8 ，－ π，1 . 5，－ 3。 3 分析：对于－ π，－ 3 等无理数，我们可以取其适当的近似值，把它们 近似地表示在数轴上，如取－ π≈ －3 . 1，－ 3≈ －1 . 7。 8 解：把 3 ，－ π，1 . 5，－ 3表示在数轴上，如图3-5。 8 －π － 3 15 3 . －3 －2 －1 0 1 2 3 图3-5 8 所以－ π ＜－ 3 ＜1 . 5＜ 。 3 课内练习 KENEILIANXI 1. 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 1 1 . 7321，－ 8 ，0 .36，－ 2，2 π，0，－ 49。 2. 填空： （1）－ 3的相反数是 。 （2）|－ 5|＝ 。 （3）一个数的绝对值是 2，这个数是 。 84 数学 七年级上册3. 用“＜”“＞”或数字填空： （1）因为1 . 732 3 1 . 742， 所以1 . 73 3 1 . 74， 所以 3≈ （精确到0 . 1）。 （2）因为2 . 4492 6 2 . 4502， 所以2 . 449 6 2 . 450， 所以 6≈ （精确到0 . 01）。 作业题 ZUOYETI A组 1. 指出下列各数是有理数还是无理数： 25 1 1，－ 4， ，3 . 14159，，－ 3，3 . 131， 9 6 3 . 131331333133331…（两个“1”之间依次多一个“3”）。 2. 请写出四个无理数。 3. 分别求下列各数的绝对值和相反数： （1）－ 2； （2） 5； （3）－ π。 4. 请将下列实数与它们在数轴上的对应点连起来，并把它们按从小到 大的顺序排列，用“＜”连接。 5 0 . 6，－ 6，－ 2， 2 ，0。 A B C D E －3 －2 －1 0 1 2 3 （第4题） B组 5. 用第82页考察 2的近似值的方法，求 5的近似值。写出精确到 十分位的近似值。你能将 5的近似值精确到哪一位？ 第3章 实数 85阅读材料 YUEDUCAILIAO 神奇的 π 我们已经知道， π 是一个无理数，即无限不循环小数。在日常应用中，一 般只需要知道 的前4位小数值就足够了，然而数学家对 的值的研究却经 π π 历了许多个世纪。 256 公元前1700年，埃及人使用 3 160 49作为圆周率，并由此认为圆 81 ≈ . ( ) d 2 的面积公式为S＝ d－ （d为圆的直径）。后来，阿基米德（ Archimedes ， 9 223 22 约前287～前212）证明了 71 ＜ π ＜ 7 。 在中国古代，张衡（78～139）给出圆周率的值为 10＝3 . 162…，后来，中国两位杰出的数学家刘徽 和祖冲之（429～500）又对 的研究作出了重要的贡 π 献。263年，刘徽撰《九章算术注》，首创一种称为 “割圆术”的数学方法，算出 π 的近似值为3 . 141 6。 460 年，祖冲之仍采用刘徽的“割圆术”，推算出 刘徽 3 141 592 6＜ ＜3 141 592 7，还得到 的两个近似 ▲ . π . π 22 355 值： （约率）和 （密率）。这个纪录在世界上保 7 113 持了一千多年，直至1593年，欧洲才有人算得比它 更精确的 π 值。 1609年，德国数学家范·科伊伦（ ， van Ceulen 1540～1610）把 π 的近似值算到了小数点后35位。 为了纪念他的这项成就，人们给他立了一块奇特的 祖冲之 ▲ 墓碑，上面刻着他算得的 值： π 3 141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88… . 86 数学 七年级上册1655年，英国数学家沃利斯（ ，1616～1703）将 表示为无穷乘积 Wallis π 的形式： ( ) 2×4×4×6×6×8×8×10×10×12×12× π ＝4 3×3×5×5×7×7×9×9×11×11×13× … ， … 此后，德国数学家莱布尼茨（ ，1646～1716）证明了 Leibniz ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) π ＝4 1－ 3 ＋ 5 － 7 ＋ 9 － 11 ＋ 13 － 15 ＋ 17 － 19 ＋ … 。 1874年，英国数学家詹克斯（ ，1812～1882）出版了一本关于 估 Shanks π 值的书，他把 π 的值求到小数点后707位。由于当时没有现代计算机，他是 用手工算的，足足算了15年。然而到1946年，有数学家提出詹克斯给出的 π 值的第528位以后是错的。 为什么 的近似值计算有如此大的魅力，吸引了众多数学家执着追求 π 呢？这是因为 除了它本身的意义之外，还在以下这些方面有着重要 π 作用： ● 它与概率论等其他数学领域的研究有着密切的联系。 ● 它可以检验超级计算机的硬件和软件的性能。 ● 计算 π 的方法和思路可以引发新的数学概念和思想。 据已公布的结果，截至2021年，计算机求得的 值已精确到小数点后 π 62 . 8万亿位。人们对 π 的研究还将继续下去。 第3章 实数 8733..33 立立方方根根 如图是由8个同样大小的单位立方体组成的魔 方。这8个单位立方体可以重新排列，组成魔方表 面的各种不同图案。 要做一个体积为8 cm 3的立方体模型（如图3-6），它 的棱要取多长？从运算的角度看，就是已知一个数的立 方等于8，求这个数。 思考：什么数的立方等于－8？ 图3-6 一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫作a的立 方根（ cube root ），也叫作a的三次方根，记作 3 a。其中a 注意 是被开方数，3是根指数，符号“ 3 ”读作“三次根号”。例 3 8 中的根 如，23＝8，其中2是8的立方根，即 3 8＝2；（－2）3＝－8， 指数 3 不能省 略，要写在根号 其中－2是－8的立方根，即 3 －8＝－2。 的左上角。 求一个数的立方根的运算，叫作开立方。开立方是 立方运算的逆运算，可以运用立方运算求一个数的立方根。 例1 求下列各数的立方根： ▶ 1 （1）27； （2）－27； （3） ； 27 （4）－0 . 064； （5）0。 解：（1）因为33＝27， 所以27的立方根是3，即 3 27＝3。 （2）因为（－3）3＝－27， 所以－27的立方根是－3，即 3 －27＝－3。 88 数学 七年级上册(1) 3 1 （3）因为 ＝ ， 3 27 1 1 3 1 1 所以 的立方根是 ，即 ＝ 。 27 3 27 3 （4）因为（－0 . 4）3＝－0 . 064， 所以－0 . 064的立方根是－0 . 4，即 3 －0 064＝－0 . 4。 . （5）因为03＝0， 所以0的立方根是0，即 3 0＝0。 一般地，我们有以下事实： 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立 方根是零。 例2 计算： ▶ 3 27 （1） ； （2）3 －64＋ 16。 8 3 27 3 解：（1） ＝ ； 8 2 （2）3 －64＋ 16＝－4＋4＝0。 课内练习 KENEILIANXI 1. 判断下列说法是否正确，并说明理由。 8 2 （1） 的立方根是± ； 27 3 （2）负数不能开立方。 1 2. 求1，－1，－ 的立方根。 27 3. 求下列各数的值： 3 1 （1）3 216； （2）3 －0008； （3） 。 64 . 第3章 实数 89探究活动 TANJIUHUODONG 由二次方根和三次方根的概念，会自然联想到还有四次方根、五次方根……你 能给出它们的定义，并说说它们的一些特点吗？ 作业题 ZUOYETI A组 1. 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）4的平方根是2； （2）－8没有立方根； （3）8的立方根是±2； （4）－8的立方根是－2。 2. 填空： （1）因为（ ）3＝－125，所以3 －125＝ ； 64 3 64 （2）因为（ ）3＝ ，所以 ＝ 27 27 。 3. 求下列各数的立方根： 343 （1）0； （2）－0 . 027； （3）－ 8 。 4. 计算： （1）3 －8－ 25； （2）3 0001＋ 001。 . . B组 5. 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）互为相反数的数的立方根也互为相反数； （2）立方根是它本身的数只有0； （3）平方根是它本身的数只有0。 6. 如果要制作一个立方体，使它的体积是已知立方体体积的27倍，那 么它的棱长应是已知立方体的棱长的几倍？ C组 7. 计算： 121×3 1331。 . . 90 数学 七年级上册33..44 实实数数的的运运算算 一个物体自由下落时，它所经过的距离 h h（米）和时间（t 秒）之间的关系可以用t＝ 5 来估计。 合作学习 HEZUOXUEXI 我们学过哪些有理数的运算法则和运算律？请和同学交流讨论，把它 们总结出来。 实数运算的顺序是：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。若遇 到括号，则先进行括号里的运算。 数从有理数扩展到实数后，有理数的运算法则和运算律在实数范围内 同样适用。 例1 计算：2×（3＋ 5）＋4－2× 5。 ▶ 解：2×（3＋ 5）＋4－2× 5 ＝2×3＋2× 5＋4－2× 5 ＝6＋4＋2× 5－2× 5 ＝10。 我们同样可以用计算器进行实数的运算。近似计算时按题目的要求将 用计算器算得的结果取近似值。 例2 用计算器计算： ▶ （1） 8－3 7（精确到0 . 001）； （2）3 π －2×（4＋ 3）（精确到0 . 01）。 第3章 实数 91解：（1）按键顺序为： 8－3 7 2ndF 8 ▶ － 2ndF 3 7 ＝ 0 . 915495942 8－3 7＝0 . 915 495 942 ≈ 0 . 915。 （2）按键顺序为： 3 2ndF π － 2 × 3 π －2×（4＋ 3） －2 039323654 . （ 4 ＋ 2ndF 3 ） ＝ ▶ 3 π －2×（4＋ 3）＝－2 . 039 323 654 ≈ －2 . 04。 做一做 ZUOYIZUO 用计算器计算： （1） 121； . （2）3 2（精确到0 . 001）； （3） 32＋3 125（精确到0 . 01）； （4）3× 5－1 . 32× π （精确到0 . 1）。 例3 俗话说，登高望远。从理论上说，当人站在 ▶ 距地面h千米的高处时，能看到的最远距离约为d＝ 112× h 千米。位于上海中心大厦第118层的“上海 之巅”观光厅高546米，人在观光厅里最多能看多远 （精确到0 . 1千米）？ 解：d＝112× h＝112× 0 546 ≈ 82.8（千米）。 . 答：最多大约能看到82 . 8千米远。 上海中心大厦 92 数学 七年级上册课内练习 KENEILIANXI 1. 计算： （1） 2× π （精确到0 . 1）； （2） 4－ 18（精确到0 . 01）； （3）3 10－ 7（精确到0 . 01）。 ( ) 2. 计算：12× 5－2 6× 5 。 3. 判断下面的说法是否正确，并举例说明理由。 （1）两个无理数的和一定是无理数； （2）两个无理数的积一定是无理数。 探究活动 TANJIUHUODONG 用计算器探究： 将2连续开平方，按键顺序如下： ① 2ndF 2 ＝ 1. 414213562 ② 2ndF 2ndF ANS ＝ 1. 189207115 ③ ＝ 1. 090507733 继续按 ＝ ……你发现了什么？再用5，14，23等大于1的数试一试。 作业题 ZUOYETI A组 1. 计算（结果精确到0 . 01）： （1） 6－ 12； （2）4× π － 112； . π （3） 。 31 . 2. 计算： ( ) （1） 5＋2 ×2－2× 5； ( ) （2） 2－ 2－2 。 第3章 实数 933. 已知一个立方体的体积为100 cm 3，求它的表面积（精确到1 cm 2）。 B组 4. 数轴上两点A，B分别表示实数 2和 2－1，求A，B两点之间的 距离。 5. 计算：［5－2×（ 3－2）］－3×（ 2＋1）（结果精确到0 . 001）。 C组 6. 根据节前语，假设物体从5米的高度自由下落，那么这个物体每经 过1米需要多少时间（精确到0 . 01秒）？请把结果填入下表。 位置 第1米 第2米 第3米 第4米 第5米 时间 （第6题） 94 数学 七年级上册综合实践活动 寻找数和计算工具的发展足迹 人类在漫长的生活实践中，由于记事和分配等需要，逐渐形成了数的概念，发 明了“结绳记数”“刻痕计数”“算筹计数”等方法，进而认识和把握实物的数量。 我们认识了自然数、分数、整数、负数、有理数和实数，你知道这些数是怎么发 展起来的吗？发展过程中有哪些趣事？古代有哪些计算工具？请查找有关数和计 算工具的发展史料，写一篇数学小论文，介绍数或者计算工具的由来与发展。 任务 1. 收集史料：查阅资料或进行访谈，了解数或计算工具的发展史。 2. 选择主题：在已掌握的发展史料中选择一项内容，拟定研究主题。例如， “数在古人生活中的应用与发展”“我国古代数学家对无理数π研究的贡献”“怎样 用算筹计算”“我国算盘的发展与贡献”“不同古文明的记数符号及其发展”“进位计 数制的种类及二进制在计算机中的应用”等。 3. 深入探究：围绕主题，进一步查阅文献，理解数和计算工具发展的意义。 4. 撰写小论文：梳理素材，适当分类，归纳整理成数学小论文。论文内容既 要有概括性描述，又要有具体事例佐证，尽量图文并茂，使内容充实易懂。 5. 展示交流：以小组为单位，将成果做成展示板、演示文稿、小视频等，在班级 分享研究过程和成果，交流研究体会。 评价与反思 评价：对本组和其他各组的研究过程及成果进行评价，提出改进建议。 反思：了解数和计算工具的发展，对我们认识数学、理解数学有怎样的帮助和 启示？有哪些需要进一步探讨的问题？ 数的发展曲折而漫长，但它的应用无处不在，数与艺术的融合也常能碰撞出火 花，如数与音乐、数与绘画……期待你的发现与创造。 第第33章章 实实数数 95小结与反思 一、知识梳理 本章学习了平方根和立方根，认识了无理数，数的范围从有理数扩充到实数。 类比有理数及其运算，引入了实数的相反数和绝对值的概念，将有理数的大小比较 法则、运算法则与运算律推广到实数范围。类比、数形结合是本章学习中常用的思 想方法。 本章学习流程和知识结构如下： 运算 平方根 有理数 实数与数轴上 开方 实数 的点一一对应 立方根 无理数 绝对值 大小比较 相反数 二、回顾与反思 1. 什么是开平方运算？开平方运算与平方运算有怎样的关系？什么是开立 方运算？开立方运算与立方运算有怎样的关系？ 2. 什么是无理数？无理数与有理数的区别是什么？ 3. 实数由哪些数组成？实数与数轴上的点有怎样的关系？ 4. 实数的运算与有理数的运算有什么异同？你有哪些心得体会或困惑之处？ 96 数学 七年级上册目标与评定 A 目标 31节 . ★了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根和算术平方根。 ★了解开平方和平方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平 方根。 1. 下列各数有没有平方根？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由。 1 . 21，－4，（－2）4。 2. 已知某数的一个平方根为 13，求这个数和它的另一个平方根。 3. 求下列各数的算术平方根： 16 ( 4)2 81 ，0 . 01，（－8）2，－ 3 。 4. 求如图4×4方格中阴影正方形的面积和边长（小方格的 边长为1个单位长度）。 （第4题） Ｂ 目标 33节 . ★了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根。 ★了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求千以内完全立方数的立方 根（及对应的负整数）。 5. 一个立方体的体积是125 cm 3，它的棱长是多少？ 6. 求下列各数的立方根： 1 （1） 8 ； （2）－0 . 125； （3）93。 7. 计算： 3 1 3 ( 3)3 （1） － ； （2） － 。 27 4 第3章 实数 97C 目标 34节 . ★会用计算器计算平方根和立方根。 8. 用计算器求下列各数的平方根和立方根： （1）729； （2）4096。 9. 用计算器计算： （1） 961； （2）3 1728； . （3）3 (－3)5（精确到0 . 001）； （4） π （精确到0 . 001）。 D 目标 32节 34节 . . ★了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上 的点一一对应。 ★能用有理数估计一个无理数的大致范围。 ★会进行简单的实数四则运算，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求 进行简单的近似计算。 10. 指出下列各数是有理数还是无理数。 16 0，－3 4， ，3 －1331， 10，3 . 3，2 π， 9 . 2 . 121221222122221…（两个“1”之间依次多一个“2”）。 11. 将下列实数与它们在数轴上的对应点连起来，并把这些数按从小到大的顺序排 列，用“＜”连接。 －1 . 6， 5，3，－ 2，－ 5，－3。 A B CD E F －3 －2 －1 0 1 2 3 （第11题） 12. 计算： （1）2－3 5（精确到0 . 01）； （2） π － 10（精确到0 . 001）； 98 数学 七年级上册单位：cm （第14题） 第3章 实数 02 5 45 （3） ； 5 ( ) ( ) 3 3 （4）3× 2－ 11 ＋2 － 2 × 2＋ 2 （精确到0 . 01）。 E 目标 ★能运用实数的运算解决一些简单的实际问题。 13. 把一个长、宽、高分别为50 cm，8 cm，20 cm的长方体铁块锻造成一个立方体铁 块。锻造成的立方体铁块的棱长是多少厘米？ 14. 如图，一个瓶子的容积为1 L，瓶内装着一些溶液。当瓶子正放时，瓶内溶液的 高度为20 cm；倒放时，空余部分的高度为5 cm。现把瓶内的溶液全部倒在一 个圆柱形的杯子里，杯内的溶液高度为10 cm。 （1）瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ （2）求圆柱形杯子的内底面半径（精确到0 . 1 cm ）。 99第4章 代数式 在生活和生产实践中，经常会遇到用 字母表示的数和数量关系，以及含有字母 的运算。某地山上的气温受海拔、季节等 因素的影响，高度每升高100米，气温大 约下降0.6 ℃。若在该地山脚测得的气温 是15 ℃，在山上某观测点测得的气温是 t℃，怎么表示从山脚到观测点的高度差？ 本章我们将在小学所学用字母表示 数和数量关系的基础上，学习代数式、整 式和整式的加减运算。通过本章的学习， 我们将找到解决此类问题的方法。气温大约下降0 . 6℃ 高 度 每 升 高 100 米3a a 44..11 列列代代数数式式 一条隧道长l米，一列火车长180米。 如果该列火车穿过隧道所花的时间为t分， 则列车的速度怎么表示？ 请解答下面的问题： （1）大米的单价为每千克a元，食用油的单价为每千克b元。买10千克 大米、2千克食用油共需 元。 （2）日平均气温是指一天中2：00，8：00，14：00，20：00四个时刻气温的 平均值。若某天上述四个时刻气温的摄氏度数分别是a，b，c，d，则日平均 气温的摄氏度数是 。 （3）一个五彩花圃的形状如图4-1，花圃的 面积为 。 上面我们所得到的算式与以前学过的算式 a 有什么区别？ 图4-1 a＋b＋c＋d l＋180 像10a＋2b， ，2a2， 这样，由数、表示数的字母和运算 4 t 符号组成的数学表达式称为代数式（ algebraic expression ）。这里的运算是指 加、减、乘、除、乘方和开方。单独一个数或者一个字母也称代数式。 例1 用代数式表示： ▶ （1）x的3倍与3的差； 1 （2）x的2倍与y的 的和； 2 （3）a与b的和的平方； （4）2a的立方根。 1 解：（1）3x－3； （2）2x＋ y； （3）（a＋b）2； （4）3 2a。 2 102 数学 七年级上册代数式可以简明地、具有普遍意义地表示实际问题中的量，给数量关系 的研究带来方便。 例2 一辆汽车以80 km/h的速度行驶，从A城到B城需（t h）。如果 ▶ 该车的行驶速度增加v（ km/ h），那么从A城到B城需多少时间？ 解：由题意得，A，B两城之间的路程为80（t km ）。如果该车的行驶速度 增加v（ km/ h），那么汽车的行驶速度为（80＋v） km/ h，此时从A城到B城需 80t （h）。 80＋v 80t 答：若该车的行驶速度增加v（ km/ h），则从A城到B城需 （h）。 80＋v 课内练习 KENEILIANXI 1. 用代数式表示： 1 （1）a与b的 的和； 2 （2）a与b的平方的差； （3）m与n的差的平方； （4）v，v 的和除以s所得的商； 1 2 （5）x与1的差的平方根。 2. 已知甲数比乙数的2倍少1。设乙数为x，用关于x的代数式表示 甲数。 3. 举一个用代数式3a＋2b表示结果的实际问题的例子。 作业题 ZUOYETI A组 1. 用代数式表示： （1）x的2倍与3的和； （2）a的相反数与a的3倍的差； （3）x的3倍与y的4倍的比； （4）a，b，c的平均数。 第4章 代数式 103单位：m a h 2. 已知甲数是乙数的倒数的2倍。设乙数为x，用关于x的代数式表 示甲数。 3. 若半桶油漆能刷2 m 2的墙，问：a桶油漆能刷多少平方米的墙？ Ｂ组 4. 甲、乙两品牌上衣的单价分别为x元、y元。在换季时，甲品牌上衣 按四折（即原价的40%）销售，乙品牌上衣按六折销售。这时购买两 种品牌上衣各一件，共需多少元？ 5. 2020年3月，一群野生亚洲象 从西双版纳国家级自然保护 区迁徙到昆明。对于大象迁 徙的原因有多种猜测，其中一 种猜测是食物短缺。你知道 吗？12头成年大象1天的食物 大约可供800只成年山羊吃1 天。假定每头成年大象的食量都一样，每只成年山羊的食量也相 等，那么a头成年大象1天的食物可供100只成年山羊吃多少天？ 6. 一座楼梯的示意图如图所示。要在楼梯上铺一条地毯，则地毯至少 需多长？若楼梯的宽为b，则地毯的面积为多少？ （第6题） 104 数学 七年级上册44..22 代代数数式式的的值值 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在我国北 京举行，下一届将于2026年在意大利米兰举行。北京时 间2月20日20:49，在第24届冬奥会闭幕式上举行了会旗交 接仪式。你知道这时的罗马（冬时制）时间是几时吗？ 北京时间与罗马（冬时制）时间的时差为7 小时，如图4-2。 若用x表示北京时间，那么同一时刻的罗 马（冬时制）时间是x－7。北京时间20 : 49即 北京 罗马（冬时制） 49 图4-2 x＝20 ，则此时罗马（冬时制）时间为 60 49 49 x－7＝20 －7＝13 。 60 60 所以北京时间20 : 49时的罗马（冬时制）时间是13 : 49。 一般地，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫作代数式的 值。例如，当x＝20时，代数式x－7的值是13。 做一做 ZUOYIZUO 2022年6月23日，北京时间20：00，金砖国家领导人举行第十四次 会晤，中国、南非、巴西、俄罗斯、印度等国家领导人出席。 设北京时间为x。 （1）如图所示为同一时刻的北京时间 和莫斯科时间。怎样用关于北京 时间x的代数式表示同一时刻的 莫斯科时间？北京时间20：00时 北京 莫斯科 的莫斯科时间是几时？ 第4章 代数式 105（2）填表： 中国北京 南非标准 巴西巴西利 俄罗斯莫斯 印度新德里 时间 时间 亚时间 科时间 时间 x x＝20 n（n－1） 例1 当n分别取下列值时，求代数式 的值。 ▶ 2 （1）n＝－1； （2）n＝4； （3）n＝0 . 6。 n（n－1）（－1）×（－1－1） 解：（1）当n＝－1时， ＝ ＝1； 2 2 n（n－1） 4×（4－1） （2）当n＝4时， ＝ ＝6； 2 2 n（n－1） 0 6×（0 6－1） （3）当n＝0 . 6时， 2 ＝ . 2 . ＝－0 . 12。 例2 圆柱的体积等于底面积乘高。如图 ▶ 4-3，用h表示圆柱的高，r表示底面半径，V表示圆柱 的体积。 （1）用含字母h，r，V的代数式表示圆柱的体 积公式。 （2）求底面半径为50 cm，高为20 cm的圆柱的体积。 解：（1）V＝ πr2h。 （2）因为r＝50，h＝20，所以V＝ π ×502×20＝50 000 π （ cm 3）。 答：所求圆柱的体积为50 000 π cm 3。 课内练习 KENEILIANXI 1. 当x分别取下列值时，求代数式20（1＋x%）的值。 （1）x＝40； （2）x＝25。 2. 当x＝－2，y＝－13时，求下列代数式的值。 3x2－xy （1）3y－x； （2） 。 2 h 2r 图4-3 106 数学 七年级上册3. 设一长方体的底面是边长为a的正方形，高为b，体积为V。用关于 a，b，V的代数式表示该长方体的体积公式，并求当a＝2 cm，b＝3 cm 时该长方体的体积。 作业题 ZUOYETI A组 1. 当x分别取下列值时，求代数式4－3x的值。 4 5 （1）x＝1； （2）x＝ ； （3）x＝－ 。 3 6 2 2. 当a＝3，b＝－ 时，求下列代数式的值。 3 （1）2ab； （2）a2＋2ab＋b2。 1 1 3. 纳米是比微米（1微米＝ 米）更小一级的长度单位，1纳米＝ 106 103 微米。直径在1～100纳米范围内的粒子称为纳米粒子，用纳米粒 子做成的材料称为纳米材料。假如把m个直径为50纳米的粒子一 个紧挨一个地排成一串，长度是多少毫米？由100个这样的纳米粒 子组成的纳米粒子串的长度与一根头发丝的直径相比，哪个更小 （一根头发丝的直径为50～150微米）？ 4. 设圆锥的高为h，底面半径为r，体积为V。 （1）请查阅有关资料，写出圆锥体积的公式。 （2）若圆锥的高为2 dm，底面半径为1 . 2 dm，求圆锥的体积。 B组 5. 一种蓝喉蜂鸟飞行时心跳的频率非常快，每分钟心跳的次数大约是 1 260次。写出这种蜂鸟n分钟心跳的次数。假设这种蜂鸟飞行了 1 小时，求心跳的次数。 2 6. 若将一个棱长为10 cm的立方体的体积减小V（ cm 3），而保持立方 体形状不变，则棱长应减少多少厘米？若V＝875 cm 3，则棱长应减 少多少厘米？ 第4章 代数式 107阅读材料 YUEDUCAILIAO 数学中的符号 人们学习数学，通常是从学习数学符号开始的。比如，用于表示数量的 1， π ，a，x，用于表示计算的＋，－，×，÷，∶（比）， ，3 ，用于表示关系的＝， ≈ ， ≠ （不等），＞，＜， ∥ （平行）， ⊥ （垂直）等。 符号使得数学语言变得更加简洁明了。例如，用文字来叙述“5＋3＝ 8”，就是“五加三等于八”。如果数学书都这样表述，那将是十分烦琐的。又 如，某市住宅价格的计算方法是“房价等于地段基准价（元/平方米）乘以建 筑面积（平方米），再乘以楼层差价率与1的和，再乘以朝向差价率与1的和 所得的积”。如果用符号表示，就可以简明地表示为：W＝aS（1＋b）（1＋c）， 其中W表示一套住宅的价格，a表示某一地段的基准价，S表示一套住宅的 建筑面积，b和c分别表示楼层差价率和朝向差价率。 当然，采用数学符号来描述不仅仅是为了省事，更重要的是，符号作为 准确地表述概念、说明方法和进行推理的有力工具，在数学发展和应用中起 到重要作用。使用较好的符号系统，可帮助人们总结出便于运算的各种运 算法则，简明地揭示数量之间的关系。数学史中有许多体现符号影响数学 发展进程的例子，记数符号的发展就是其中一例。 现代数学符号系统的建立经历了漫长的演变与发展过程。 例如，在“＋”号出现约100年之后，英国数学家奥特雷德（ ， Oughtred 1575～1660）首先使用“×”作为乘法符号。据说乘法符号是加法符号变形 得到的。因为乘法运算可以看作一种特殊的加法运算，所以将加号“＋”稍 作变动，就变成了乘号“×”。 最早的小数点记法是在16世纪德国数学家克拉维乌斯（ ，1538～ Clavius 1612）的著作中出现的。他使用的小数点“ . ”与现在的意义相同，是作为整数 部分与小数部分分界的记号。在我国，刘徽是第一个明确提出小数概念的 人，他在《九章算术注》中，针对开方不尽问题提出了一种微数方法。中国 古代数学著作中，常用分、厘、毫等单位表示小数的位值。在宋、元数学家的 著作中，常在相当于个位数字的筹码下方写一个单位名称，该汉字就起着 108 数学 七年级上册小数点的作用，比如南宋数学家秦九韶（1202～1261）的《数书九章》中就 用如图4-4的形式表示8 067 047418石，其中的“石”既是单位，也起到了小 . 数点的作用。 图4-4 五 三 二七 我国在清朝学堂的课本《代微积拾级》中还用“ ”来表 ㄒ 丁二 丙二 甲二乙二 d2 c2 a2b2 示相当于 － ＋ 的代数式。直到辛亥革命以后，我国的学校才全面 5 3 27 采用现代的数学符号体系。 我们学过的数学符号还有哪些？它们有怎样的发展历史？请通过互联 网或图书馆查找关于数学符号发展的资料，与同学分享。 第4章 代数式 10944..33 整整式式 国家体育场“鸟巢”是世界上首座举 办过夏季奥运会和冬季奥运会开幕式与 闭幕式的“双奥场馆”“。鸟巢”门票的全价 是50元，半价是25元。小王买了x张全价 票和y张半价票，共付多少元？ 合作学习 HEZUOXUEXI 从代数式中字母所涉及的运算类型这个角度出发，思考下面的问题： －3xy2 （1）－3x，2a2，ab， 这些代数式是怎样组成的？ 4 （2）50x＋25y，a2＋3a－2，a2－b2＋3这些代数式是怎样组成的？ 对比两组代数式，说一说它们各有什么特点。 （请与你的同伴交流） 由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫作单项式（ monomial ）。 单独一个数或一个字母也叫单项式，如0，－1，a。 单项式中的数字因数叫作这个单项式的系 数（ coefficient ）。例如，－3x的系数是－3，ab的系 －3xy2 2a2， 的 4 数是1。 系数分别是什么？ 一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这 它们的次数分别 是多少？ 个单项式的次数（ degree ）。例如，－3x的次数是 1，ab的次数是1＋1＝2。 由几个单项式相加组成的代数式叫作多项式（ polynomial ）。在多项式 中，每个单项式叫作多项式的项（ term ），不含字母的项叫作常数项（ constant term ），次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。例如，a2＋3a－2的项 有a2，3a，－2，常数项是－2，次数最高的项a2的次数是2。a2＋3a－2称为二 次多项式。 单项式和多项式统称整式。 110 数学 七年级上册做一做 ZUOYIZUO 1. 下列代数式中，哪些是整式？哪些是单项式？哪些是多项式？ x s 1 2a＋b ，， ，2x＋y，（1－20%）x， ab， 2ab， 。 2 t x＋y 3 2. 下列多项式各由哪些项组成？各是几次多项式？ （1）3x－7； （2）x2－3x＋4； （3）ab－a2－1。 例 一座花坛的形状如图4-5，它的两端是半径相等的半圆。求： ▶ （1）花坛的周长l； a （2）花坛的面积S。 r r 解：这座花坛可以看成是由一个长方形和两 个半圆组成的。 （1）l＝2a＋2 πr； 图4-5 （2）S＝2ar＋ πr2。 想一想，2a＋2 πr，2ar＋ πr2分别是几次多项式？分别由哪些项组成？每 一项的系数是什么？ 课内练习 KENEILIANXI 列出表示下列各题结果的代数式，并指出这些代数式是单项式还是多 项式。 （1）某场排球联赛的门票价格是每张50元，共售出了n张。总收入为 多少元？ （2）某市预计明年固体污染物排放总量的增长率为－11 . 2%。设今年 该市固体污染物排放总量为x万吨，那么预计明年该市固体污染 物的排放总量为多少万吨？ （3）已知一个两位数的个位数字是b，十位数字是a。用关于a和b的 代数式表示这个两位数。 第4章 代数式 111作业题 ZUOYETI A组 1. 填空： （1）单项式－5y的系数是 ，次数是 ； （2）单项式a3b的系数是 ，次数是 ； 3ab （3）单项式 的系数是 ，次数是 ； 2 （4）单项式－ 7xy2的系数是 ，次数是 。 2. 下列代数式中，哪些是整式？哪些是单项式？哪些是多项式？ a 2 1 ，，－2xy2，－2x＋y2，3 a， ， 3a，π。 2 a x+y 3. 下列多项式各由哪些项组成？每一项的系数是什么？各项的次数 分别是多少？ （1）7x＋4y； （2）－2x2＋2x； （3）bc－b＋c。 B组 4. 有长为l的篱笆，利用它和房屋的一面墙围成如图形状的长方形园 子，园子的宽为t。 （1）用关于l，t的代数式表示园子的面积。 （2）当l＝100 m，t＝30 m时，求园子的面积。 （第4题） 5. 列举一个实际应用题，要求用含两个字母的一次多项式表示结果。 6. 设在排成每行7天的月历表中某个数 日 一 二 三 四 五 六 7月 是a，那么它正下方第一个数是几？用 1 十四 代数式表示。这是几次多项式？若a 2 3 4 5 6 7 8 十五 十六 十七 十八 十九 二十 廿一 表示7月16日，那么它正下方第一个 9 10 11 12 13 14 15 廿二 廿三 廿四 廿五 廿六 廿七 廿八 数表示几月几日？ 16 17 18 19 20 21 22 廿九 三十 六月 初二 初三 初四 初五 23 24 25 26 27 28 29 初六 初七 初八 初九 初十 十一 十二 30 31 十三 十四 （第6题） t 112 数学 七年级上册44..44 合合并并同同类类项项 分类是一种重要的数学活动，无论在数学研究， 还是在日常生活中都发挥着重要的作用。比如，某零 食铺需清点一天收到的现金，里面有1元的硬币， 5元、10元、50元、100元的纸币，怎样清点比较方便？ 如图4-6，如果一块砖的外侧面面积为x，怎样计算图中残缺墙面的 面积？你有哪几种方法？ 残缺墙面的面积为 x 1 1 4×4x－3x－ x 2 ( ) 1 ＝ 16－3－ x（根据什么？） 2 图4-6 ＝ 。 如图4-7，有甲、乙两块长方体木块，它们的长、宽、高分别为b，a，a和 2b，2a，a。请完成下面的填空，并说明理由。 两块木块的体积和为 a a a2b＋ b 甲 ＝（ ＋ ）a2b 2a a 2b ＝ a2b。 乙 1 比较16x，－3x与－ x，a2b与4a2b， 2 图4-7 你发现了什么？ 多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类 项（ like terms ）。所有常数项也看作同类项。把多项式中的同类项合并成一 项，叫作合并同类项（ combining like terms ）。 第4章 代数式 113合并同类项的法则是： 把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数 不变。 做一做 ZUOYIZUO 1. 下列各组中的两项是不是同类项？为什么？ 1 （1）2a2b与2ab2； （2）3xy与－ yx； 2 3 （3）－2 . 1与 ； （4）2a与2ab。 4 2. 合并同类项： （1）3b－5b； （2）6xy－10x2－5yx＋7x2。 1 例 已知a＝－ ，b＝4，求多项式2a2b－3a－3a2b＋2a的值。 ▶ 2 解：2a2b－3a－3a2b＋2a ＝（2a2b－3a2b）＋（－3a＋2a） ＝（2－3）a2b＋（－3＋2）a （根据什么？） ＝－a2b－a。 1 把a＝－ ，b＝4代入，得 2 可以把a和b的 2a2b－3a－3a2b＋2a 值直接代入原多项 ＝－a2b－a 式进行计算吗？与 ( ) ( ) 先合并同类项再代 ＝－ － 1 2 ×4－ － 1 入求值相比，哪种方 2 2 法比较简便？ 1 ＝－ 。 2 课内练习 KENEILIANXI 1. 先合并同类项，再求代数式的值。 1 （1）2x－7y－5x＋11y－1，其中x＝－ 6 ，y＝0 . 25； （2）5a2＋2ab－4a2－4ab，其中a＝2，b＝－ 2。 114 数学 七年级上册2. 一投资公司投入某个项目的资金为m元，投资回报率为r。公司决 定将该项目收益的20%捐给环境保护公益基金，那么该公司投资 这个项目捐助多少元？获利多少元？用含字母m和r的代数式表 ( ) 收益金额 示。 投资回报率＝ 投资金额 作业题 ZUOYETI A组 1. 指出下列各项中哪些是同类项： x 2x，－ ，3xy，2ab，－2x2y，2xy2，3y2x，2ac， 3x。 2 2. 合并同类项（填空）： （1）－7x＋3x＝ ； （2）a＋70%a＝ 。 3. 合并同类项： （1）3x－8x－9x； 1 （2）－3x＋4y＋7x－ y； 2 （3）3ab－4a＋2ab－5a－1。 4. 当a＝ 3，b＝－1时，求代数式－2a2b－a2＋3ba2＋a2的值。 B组 5. 植树节，某校植树任务为n棵树苗，九年级共种了任务数的一半，八 年级种了剩下任务数的一半，七年级种完了剩下的所有树苗。 （1）用关于n的代数式分别表示每个年级所种的树苗数。 （2）若七年级种的树苗数为30棵，问：全校的植树任务是多少棵？ 6. 如图，一个大立方体由若干个大小相同的小立 方体组成。若原大立方体的体积为27a3，切去 一部分后，剩下部分的体积为多少？ （第6题） 第4章 代数式 115x 3 3 44..55 整整式式的的加加减减 从大拇指开始，按食指、中指、无名指、小指，再 回到大拇指的顺序，依次数正整数1，2，3，4，5，…。 当第四次数到中指时，这个数是几？当第n次数到 中指时，这个数是多少？当第200次数到中指时， 这个数是多少？ 1 如图4-8，要计算这个图形的面积，你有 几种不同的方法？请计算结果。 用不同方法得到的结果相等，由此你发 现了什么？ 图4-8 从上面的讨论我们得到3（x＋3）＝3x＋9。事实上，由于字母x表示数， 根据数的运算的分配律，我们也能得到3（x＋3）＝3x＋9。由此可见分配律 同样适用于代数式的运算。 根据分配律，有 ＋（a－b＋c） －（a－b＋c） ＝1×（a－b＋c） ＝（－1）×（a－b＋c） ＝a－b＋c； ＝－a＋b－c。 一般地，我们有代数式运算的去括号法则： 括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不 变号；括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改 变符号。 例1 将下列各式去括号： ▶ ( ) 2 1 （1）＋（2a－3b）； （2）－ － x＋ ； （3）－3（2x2－3x）。 3 2 解：（1）＋（2a－3b）＝2a－3b； ( ) 2 1 2 1 （2）－ － x＋ ＝ x－ ； 3 2 3 2 116 数学 七年级上册（3）－3（2x2－3x）＝－3×2x2＋（－3）×（－3x）＝－6x2＋9x。 (2 ) 例2 化简并求值：2（a2－ab）－3 a2－ab ，其中a＝－2，b＝3。 ▶ 3 (2 ) 解：2（a2－ab）－3 a2－ab ＝2a2－2ab－2a2＋3ab＝ab。 3 当a＝－2，b＝3时，原式＝ab＝（－2）×3＝－6。 课内练习 KENEILIANXI 1. 化简： 1 （1）－ x－（x－3）； 2 （2）2n－（2－n）＋（6n－2）； （3）－（x2－2x－2）＋2（x2－1）； 1 1 （4）－（4x－6）＋（6－3x）。 2 3 1 2. 化简并求值：（a2b－ab）－2（ab2－ba），其中a＝－ ，b＝2。 2 作业题 ZUOYETI A组 1. 去括号： （1）3（2x－3y）； （2）－（2x2－x＋1）； (1 ) （3）－2 2 x2－y ； （4）－0 . 5（1－2c）。 2. 化简： ( 1) （1）2 x－ －（x－1）； 2 ( 1 ) （2）2（x＋2）＋3 1－ x ； 3 (1 ) （3）（a2＋2a）－2 a2＋4a 。 2 1 3. 化简并求值：（a－ab）＋（b＋2ab）－（a＋b），其中a＝7，b＝－ 。 7 第4章 代数式 1174. 王叔叔买了甲、乙两个品牌的衬衣共n件，其中甲品牌衬衣比乙品 牌衬衣多5件。已知甲品牌衬衣的单价为120元，乙品牌衬衣的单 价为90元，则买这n件衬衣共需付款多少元？ Ｂ组 5. 近年来，我国光伏电池产业发展迅速。某光伏电池企业的年产值 今年比去年翻了一番（增加1倍），预计明年和后年的年增长率均为 60%。设去年的产值为a万元，估计今年、明年和后年这三年产值 的总和为多少万元。 6. 一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐。现把n张这样的餐桌按如 图方式拼接起来，问：四周可坐多少人用餐？若用餐的人数有18 人，则这样的餐桌需要多少张？ （第6题） C组 7. 请解答本节节前语中的问题。 2 如图4-9，甲、乙两个零件截面的面 积哪一个较大？大多少？把结果填在下 面的横线上。 截面甲的面积是 ， 截面乙的面积是 ， 甲、乙两个截面面积的差是 （ ）－（ ）。 在解决实际问题时，经常需要把若干个整式相加减。整式的加减可以 归结为去括号与合并同类项。 丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁 b a 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁r丁丁丁丁丁丁丁丁丁 r 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 甲 乙 b2 15a . 图4-9 118 数学 七年级上册例3 求整式3x＋4y与2x－2y－1的和。 ▶ 解：（3x＋4y）＋（2x－2y－1） ＝3x＋4y＋2x－2y－1 ＝（3x＋2x）＋（4y－2y）－1 ＝5x＋2y－1。 做一做 ZUOYIZUO 填空： （1）3x与－5x的和是 ，3x与－5x的差是 ； （2）a－b，b－c，c－a三个多项式的和是 。 例4 小红家的收入分农业收入和其他收入两部分。今年农业收入是 ▶ 其他收入的1 . 5倍，预计明年农业收入将减少20%，而其他收入将增加40%， 那么预计小红家明年的总收入是增加还是减少？ 分析：本题涉及多个量，厘清这些量之间的关系，是解决问题的关键。 可以用字母表示其中某个量，其他的量用含该字母的整式来表示。然后根 据数量关系，就能得到所需的算式。 解：设小红家今年其他收入为a（a＞0）元，则今年农业收入为1 . 5a元， 全年总收入为a＋1 . 5a＝2 . 5a（元）。 预计小红家明年的农业收入为1 . 5（1－20%）a元，其他收入为（1＋40%）a 元，总收入为 1 . 5（1－20%）a＋（1＋40%）a ＝1 . 2a＋1 . 4a ＝2 . 6a（元）＞2 . 5a（元）。 答：预计小红家明年的总收入将增加。 课内练习 KENEILIANXI 1. 计算： 3 ( 1 ) （1） x2－ － x2 ＋（－2x2）； 2 2 （2）2（x－3x2＋1）－3（2x2－x－2）。 第4章 代数式 1192.（1）求整式6a＋b与－2a－3b＋1的和； （2）求整式3a2b－ab2的5倍与ab2＋3a2b的差。 3. 已知某三角形第一条边长为（2a－b） cm，第二条边比第一条边长 （a＋b） cm，第三条边比第一条边的2倍少b（ cm ）。求这个三角形的 周长。 探究活动 TANJIUHUODONG 有一个猜数游戏的规则如下：甲的出生月份数乘2，然后加10，把所得的和乘 5，再加上他家的人数（小于10）。甲将结果告诉乙，乙就能猜出甲出生的月份和他 家的人数。 你能用代数式的知识来解释这个游戏的原理吗？ ……把我的出生月份数乘2，加10， 再把和乘5，加上我家的人数，我家 人数不到10人，结果为133。我生 你生于8月，你 于几月？我家有几口人？ 家有3口人。 图4-10 作业题 ZUOYETI A组 1. 填空： （1）x与－30%x的和是 ； （2）（2x－3y－1）与（x－y）的2倍的差是 。 2. 设A＝2a2－a，B＝－a2－a，求： （1）A＋B； （2）A－B。 5 3. 先化简，再求值：（2x2＋x）－［4x2－（3x2－x）］，其中x＝－ 。 3 120 数学 七年级上册4. 某企业有A，B两类经营收入。今年A类年收入是B类年收入的 2倍，预计明年A类年收入将减少10%，B类年收入将增加18%。 问：明年该企业的年总收入是增加还是减少？ ( ) 2 1 B组 5. 当x＝4，y＝－ 时，求代数式2 x2－3xy－y2 －（2x2－7xy－2y2） 3 2 的值。 6. 甲、乙两个油桶中装有体积相等的油。先把甲桶的油倒一半到乙 1 桶，再把乙桶的油倒出 给甲桶。最后哪个桶中的油多？ 3 设计题 SHEJITI 账单中的代数式 向家人了解或查阅你家支付电费、水费或其他费用的收据、账单等。这些费用 是怎样计算的？请用适当的代数式表示，然后把你得到的结果在班里交流。 建议： ①根据收集到的收据或账单，确定你要选择的费用类别。 ②仔细研究相关收据、账单，向家长或有关部门询问，搞清楚每一项内容的含 义，如在电费项目中可能会有“峰电“”谷电“”阶梯式收费”等。 ③确定哪些项目可用字母表示，列出算式。 ④写一份简短的报告，与同学交流，并探讨你的结果是否正确，能否进一步改 进，等等。 第4章 代数式 121小结与反思 一、知识梳理 本章在小学学过的用字母表示数、数量关系及规律的基础上，学习了代数式， 使我们从具体的数进入含有字母的式的学习。字母可以像数一样参与运算和推 理，并且得到的结论具有一般性。从特殊到一般、从一般到特殊、分类，是本章学习 知识和解决问题时常用的思想方法。 本章学习流程和知识结构如下： 单项式 多项式 用代数式表示 数量关系 合并同类项 整式的 代数式 整式 加减运算 求代数式的值 去括号 二、回顾与反思 1. 怎样的数学表达式称为代数式？代数式中可以包含哪些运算？整式是一 种特殊的代数式，它特殊在哪里？ 2. 整式的加减运算应按什么法则进行？与数的加减法则类似吗？ 3. 在本章学习中，你还获得了哪些解决问题的方法和经验？有哪些需要提醒 自己和同学注意的问题？ 122 数学 七年级上册目标与评定 Ａ 目标 41节 . ★借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义。 1. 30%x可以表示什么？请举出三个实例。 2. 圆柱的体积公式为V＝ πr2h，其中r表示底面的半径，h表示什么？ 3. 用字母表示数简化下列叙述。 （1）正数的绝对值等于它本身； （2）负数的立方根仍是负数。 x2＋ 2 y 4. 代数式 中含有哪些运算？ 2x－3y Ｂ 目标 41节 42节 . . ★能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示。 ★能根据特定的问题查阅资料，找到所需的公式。 ★会把具体数代入代数式进行计算。 5. 用代数式表示： 1 1 （1）a的 与 的差； 3 3 （2）a与b的差的立方根； （3）x的2倍与y的3倍的差； （4）a，b两数的平方和与a，b乘积的差。 a 6. 代数式 的意义是（ ）。 b＋1 （ A ）a除以b加1 （ B ）b加1除a （ C ）b与1的和除以a （ D ）a除以b与1的和所得的商 7. 在某地区，高度每升高100米，气温大约下降0 . 6 ℃。若在该地区的山脚测得气 温为15 ℃，在山上某观测点测得气温为t ℃，怎样表示从山脚到该观测点的高 度？如果测得该观测点的温度为－5℃，求从山脚到该观测点的高度。 第4章 代数式 1238. 一串图形按如图所示的规律排列。 （1）第5个图形中有几个小正方形？第6个呢？第n个呢？ （2）你能很快写出第10个图形中有多少个小正方形吗？ … ① ② ③ ④ （第8题） 9. 代数式a（1＋x%）可以表示什么？试举一个实际例子，并说明当a＝3 600，x＝ －10时代数式的值的具体意义。 10. 上网查询银行存款利率计算公式。如果某人存了1万、5万、n万元一年期定期 存款，存期满后分别能获得多少利息？ Ｃ 目标 43节 44节 45节 . . . ★理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则。 ★能进行简单的整数加减运算。 3 a－b 11. 代数式3a， ， ， a，a2－2ab＋1，5，－xy中，哪些是单项式？哪些是多项 a 2 式？哪些是整式？哪些不是整式？ 12. 分别说出下列单项式的系数和次数（填入下表）。 单项式 系数 次数 x －2ab2 7ab 13. 分别写出下列多项式的次数、项和相应项的系数。 （1）2x－3y－1； （2）a2－0 . 5a－2； 3ab （3） ＋bc－2c。 4 124 数学 七年级上册14. 合并同类项： 2 （1）－x＋ x； （2）a2b－ab2－ba2； 5 （3）r2＋ πr2； （4）5xy2＋3x2y－xy2－2x2y－1。 15. 去括号： ( ) 1 2 （1）－（2x2－3x－1）； （2）6 x2－ x＋2 ； 2 3 （3）1000（1－p%）； （4）－2（n＋1）。 16. 先化简，再求值： （1）a－（3a2＋a）－a2，其中a＝－11； 2 （2）－（a2－6ab＋9）＋2（a2＋4ab－4 . 5），其中a＝－ 3 ，b＝6。 D 目标 ★会运用整式的加减解决简单的实际问题。 17. 植树节，小明种树的棵数是小聪的1 . 2倍，小慧种树的棵数比小明少10。设小 明种了x棵树，问：他们三人一共种了多少棵树？ 18. 某公司的年销售额为a元，成本为销售额的60%，税额和其他费用合计为销售 额的p%。 （1）用关于a，p的代数式表示该公司的年利润。 （2）若a＝8000万，p＝7，则该公司的年利润为多少万元？ 第4章 代数式 125第5章 一元一次方程 方程是刻画相等关系的数学模型。 例如，杭州第19届亚运会开设40个大项 目，其中奥运会项目数量比非奥运会项目 的3倍多4个。问：奥运会项目开设了多 少个？ 某日晷基座的底面呈正方形，在其四 周铺上花岗岩，形成一个边宽为3.2米的 正方形框。已知铺这个框恰好用了144 块边长为0.8米的正方形花岗岩，问：该日 晷基座的底面边长是多少米？ 单位：米 32 x 32 . . 上述问题都可用一元一次方程方便 地求解。 本章将学习一元一次方程的概念、解 法及应用。通过本章的学习，我们还将初 步认识解决问题的策略、思想和方法。合作学习 HEZUOXUEXI 请根据问题中的数量关系，列出一个用字母表示未知数的等式。 （1）小明到超市购买m瓶单价为3元的水和n支单价为7元的笔共花费 76元，可列出等式： 。 （2）如图5-1，一个面积为15的长方形分成一个正 方形和一个宽为2的长方形，问：分成的正方形的边长 a 2 是多少？ 设正方形的边长为a，可列出等式： 。 （3）小强、小杰、小明参加投篮比赛，每人投了20次。小强投进10个 球，小杰比小明多投进2个，三人平均每人投进14个球，问：小杰和小明各投 进多少个球？ 设小明投进x个球，可列出等式： 。 观察你所列的等式，这些等式有什么共同点？ （请与你的同伴交流） 2x＋12 等式3m＋7n＝76，a2＋2a＝15， ＝14中都含有未知数，像这样含 3 有未知数的等式叫作方程（ equation ）。 根据图5-1，我们不难得到a＝3。将a＝3代入方程的两边，左边＝32＋ 2×3＝15＝右边。 使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。a＝3就是方程 a2＋2a＝15的一个解。对于含有多个未知数的方程3m＋7n＝76，当m＝2， a 55..11 认认识识方方程程 上海到北京的高铁的速度从250千 米/时提高到350千米/时，运行时间可缩 短49分钟，那么速度提高后，从上海到北 京大约需要多少时间？ 图5-1 128 数学 七年级上册n＝10时，左边＝3×2＋7×10＝76＝右边。我们把 m＝2，n＝10这一对数叫作方程 3m＋7n＝76的一 a＝－5是方程 个解。 a2＋2a＝15的解吗？ a＝4呢？ 做一做 ZUOYIZUO 1. 下列各式中，哪些是方程？如果是方程，说出方程中的未知数。 （1）a＋5＝－8； （2）3x≠ 5； （3）x＋y＝8； （4）7＋2＝2＋7； 2 （5） ＝1－m。 x＋3 2. 判断下列x的值是不是方程3 －x＝2x的解。 （1）x＝3； （2）x＝1。 2x＋12 上页“合作学习”第（3）题所列的方程 ＝14中，未知数x的值是多 3 少？根据方程的解的意义，我们可以尝试用估计检验的方法。 显然，x＜18且x＞12（想一想，为什么？），不妨依次取x的值为13，14， 2x＋12 15，16，17，代入方程左边的代数式 ，求出代数式的值，如下表： 3 表5-1 x 13 14 15 16 17 2x＋12 38 40 44 46 14 3 3 3 3 3 2x＋12 2x＋12 当x＝15时， ＝14，所以x＝15就是方程 ＝14的一个解。 3 3 先确定未知数的一个较小的取值范围，逐一将这些可取的值代入方程 进行尝试检验，能使方程两边相等的未知数的值就是方程的解。这种尝试 检验的方法是解决问题的一种重要的方法。 课内练习 KENEILIANXI 1. 一个数的平方正好比这个数的3倍大4，求这个数。设这个数是x， 可列出方程： 。 第5章 一元一次方程 1292. 判断下列t的值是不是方程2t＋1＝7－t的解。 （1）t＝－2； （2）t＝2。 3. 在节前语的问题中，设高铁的速度提高后，从上海到北京需要t小 时，请列出一个含未知数t的方程。 作业题 ZUOYETI A组 1. 下列各式中，哪些是方程？如果是方程，指出方程中的未知数。 3 （1）3x＝4； （2） ＝4； y （3）1－x； （4）1－a2＝0； （5）5－3m＝m； （6）3x－2y＝1。 2. 判断下列x的值是不是方程x2＝2x＋3的解。 （1）x＝－1； （2）x＝2； （3）x＝3。 3. 如图，天平左边放着3个乒乓球，右边放5 . 7 g 5 . 7g 的砝码和1个乒乓球，天平恰好平衡。如果 设1个乒乓球的质量为x（ g ），请你列出一个 含有未知数x的方程。 （第3题） 4. 请填写下表，然后说出方程4x－5＝x的解。 4 5 7 x －1 0 1 2 … 3 3 3 4x－5 －9 … B组 5. 如果x＝1是方程ax＝x2＋3的解，那么a的值是多少？ 6. 甲、乙两名打字员各自录入同一份含有2000字的文稿，甲比乙少用 2 . 5分钟。已知甲每分钟比乙每分钟多打40个字，那么甲录入这 份文稿用了多少分钟？设甲用了x分钟，请列出一个含有未知数x 的方程。 130 数学 七年级上册55..22 等等式式的的基基本本性性质质 比较左、右两个天平图，你发现了 什么？ 小学里已经学过“等量的等量相等”这个等式的性质，即若a＝b，b＝c， 则a＝c。除此之外，等式还有哪些基本性质？ 观察图5-2，图5-3并填空。图中的字母表示相应物品的质量，两图中 天平均保持平衡。 0 0 c c a b a b ＝ ＝ 图5-2 0 a 0 a b b a a b b ＝ ＝ 图5-3 你从上述过程中发现了等式的哪些性质？怎样用字母表示？ 一般地，等式有以下的基本性质： 等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得 结果仍是等式。用字母可以表示为： 第5章 一元一次方程 131如果a＝＝b，那么a±±c＝＝b±±c。 等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能 为零），所得结果仍是等式。用字母可以表示为： a b 如果a＝＝b，那么ac＝＝bc，或 ＝＝ （（c≠≠0））。。 c c 做一做 ZUOYIZUO 已知m＝n，下列等式成立吗？根据是什么？ （1）m＋5＝n＋5； （2）－2m＝－2n； m n （3） ＝ ； （4）m－n＝0。 3 3 例1 已知2x－5y＝0，且y≠ 0，判断下列等式是否成立，并说明理由。 ▶ x 5 （1）2x＝5y； （2） ＝ 。 y 2 解：（1）成立。理由如下： 已知2x－5y＝0，依据等式的性质1， 等式的两边都加上5y，得2x－5y＋5y＝0＋5y， 得2x＝5y。 （2）成立。理由如下： 由第（1）题知2x＝5y，而y≠ 0，依据等式的性质2， x 5 等式的两边都除以2y，得 ＝ 。 y 2 例2 利用等式的性质求下列方程的解： ▶ （1）4x＝3x－8； （2）－2x＝5。 解：（1）依据等式的性质1，方程两边都减去3x，得 4x－3x＝3x－8－3x，得x＝－8。 （2）依据等式的性质2，方程两边都除以－2，得 －2x 5 －2 ＝ －2 ，得x＝－2 . 5。 132 数学 七年级上册课内练习 KENEILIANXI 1. 根据下列各题的条件，写出仍然成立的等式。 （1）a＝－b，两边都加上b； （2）3a＝2a＋1，两边都减去2a； a b （3） ＝ ，两边都乘6。 3 2 2. 利用等式的性质解下列方程。 （1）5x－3＝7； （2）4x－1＝3x＋3。 3. 已知2x＋4y＝0，且x≠ 0，求y与x的比。 作业题 ZUOYETI A组 1. 根据下列各题的条件，写出仍然成立的等式。 （1）a－b－1＝0，等式的两边都加上1； （2）a＋b＝2b，等式的两边都减去b； a b （3） ＝ ，等式的两边都乘60； 12 5 （4）－8a＝24b，等式的两边都除以－8。 2. 已知x＋3＝1，下列等式成立吗？依据是什么？ （1）3＝1－x； （2）－2（x＋3）＝－2； x＋3 1 （3） ＝ ； （4）x＝1－3。 3 3 3. 利用等式的性质求下列方程的解。 （1）x－5＝6； （2）8－2x＝10。 4. 已知a＝2，b＝－3，你能写出哪些成立的等式？ a b B组 5. 等式 － ＝0能变形成4a＝3b吗？若能，请说出每一步的变形过 3 4 程及其依据。 6. 已知x＋y＝5，x－y＝1，能利用等式的基本性质求出x和y的值吗？ 第5章 一元一次方程 13355..33 一一元元一一次次方方程程和和它它的的解解 2020年11月10日，我国载人潜水器“奋斗 者”号在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达 到10 909米，刷新了我国载人深潜纪录，是世 界上首次同时将3人带到地球最深处。潜水器 在水下时，怎样根据承受的水压计算它所在的 深度？ 合作学习 HEZUOXUEXI 分析下列问题所给条件的数量关系，并根据其中的等量关系列出方程。 （1）一件衣服按八折销售的售价为120元，这件衣服的原价是多少元？ 设这件衣服的原价为x元，可列出方程： 。 （2）王老师和小明相差18岁，6年后王老师的年龄正好是小明的2倍， 问：小明今年多大？ 设小明今年y岁，可列出方程： 。 （3）在水下，水深每增加10米，物体承受的水压大约增加1个大气压。 当“奋斗者”号载人潜水器下潜至7 000米时，它承受的水压约为700个大气 压。问：当它承受水压增加到850个大气压时，它又继续下潜了多少米？ 设它又继续下潜了x米，可列出方程： 。 观察你所列的方程，这些方程有哪些共同的特点？ （请与你的同伴交流） x 方程80%x＝120，y＋18＋6＝2（y＋6），700＋ ＝850，都只含有一个 10 未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式，这样的方程叫作一元一 次方程（ linear equation in one unknown ）。 能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫作一元一次方程的解，也 叫作方程的根❶。求方程的解的过程称为解方程。 含有一个未知数的方程的解也可以称为方程的根。 ❶ 134 数学 七年级上册做一做 ZUOYIZUO 1. 下列方程中，哪些是一元一次方程？ （1）2x－3＝5； （2）m2－4＝3m； （3）x＋y＋z＝7； 2 （4）3a－5＝－6＋a； （5） ＝1。 x－5 2. 判断下列x的值是不是方程2x－3＝5的解。 （1）x＝2； （2）x＝4； （3）x＝－1。 等式的性质是方程变形的依据，利用等式的性质将一元一次方程一步 一步变形，最后变形成“x＝a（a为已知数）”的形式，就求出了一元一次方程 的解。 例 利用等式的性质，解下列一元一次方程： ▶ （1）5x＝50＋4x； （2）8－2x＝9－4x。 解：（1）依据等式的性质1，方程的两边都减去4x，得 5x－4x＝50＋4x－4x， 合并同类项，得x＝50。 检验：把x＝50代入方程， 左边＝5×50＝250，右边＝50＋4×50＝250。 因为左边＝右边，所以x＝50是方程的解。 （2）方程的两边都加上4x，得 8－2x＋4x＝9－4x＋4x。 注意 合并同类项，得8＋2x＝9。 对 一 元 一 次方程，解的检 两边都减去8，得2x＝1。 验过程可以省 1 略不写。 两边都除以2，得x＝ （根据什么？）。 2 课内练习 KENEILIANXI 1. 有长为20米的篱笆，利用它和房屋的一面墙围成如图形状的长方 形园子，使得长比宽长2米。设园子的宽为t米，请列出一个含有未 （第1题） 知数t的方程，并判断所列方程是不是一元一次方程。 第5章 一元一次方程 t 1352. 利用等式的性质求下列一元一次方程的解，并写出检验过程。 （1）11－x＝10x； （2）4x－3＝2x－9。 作业题 ZUOYETI A组 1. 下列方程中，哪些属于一元一次方程？ （1）5x＋7＝0； （2）－3x＝y－4； 2 1 （3） ＝ ； （4）m2－2m－3＝0； t－1 t k k＋1 （5） ＝ ； （6）4x＋1＝ 2。 2 7 2. 有的温度计有华氏、摄氏两种温标，华氏（ °F ）、摄氏（℃）温标的转换 公式是F＝1 . 8C＋32。请填写下表： 华氏（℉） 摄氏（℃） 温度描述 212 水沸腾的温度 37 人体温度 68 舒适室温 0 水结冰的温度 3. 利用等式的性质求下列方程的解，并写出检验过程。 （1）x＋8＝－2； （2）10－3x＝－5。 4. 利用等式的性质求下列方程的解： 1 1 （1）5＋ 4 x＝ 2 x－4； （2）0 . 8x＝0 . 7x－1。 B组 5. 解方程3x－ 2＝2x＋1（精确到0 . 01）。 6. 已知x＝－2是一元一次方程5－ax＝x的解，求a的值。 C组 7. 一个两位数，十位数字为2。如果把十位数字与个位数字交换位置 后，得到的新数比原数大63。设原两位数个位上的数为x，请你列 出一个含有未知数x的方程，并求出这个两位数。 136 数学 七年级上册55..44 一一元元一一次次方方程程的的解解法法 xx x x x x x x x 50 g x x 50 比较如图左、右两个天平，你发现 g 了什么？ 4x＝3x＋50 4x－3x＝50 1 在方程4x＝3x＋50的两边都减去3x，就得到另 4x＝3x＋50 一个方程4x－3x＝50。方程的这种变形过程可以直 观地看作把方程4x＝3x＋50中的项3x改变符号后， 4x－3x＝50 从右边移到左边（图5-4）。 图5-4 一般地，把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变 形叫作移项（ transposition of terms ）。移项时，通常把含有未知数的项移到等 号的左边，把常数项移到等号的右边。 例1 解下列方程： ▶ 5 ＋2x＝1 （1）5＋2x＝1； （2）8－x＝3x＋2。 2x＝1－5 解：（1）移项，得2x＝1－5， 图5-5 即2x＝－4。 两边同除以2，得x＝－2。 8 －x＝3x＋2 （2）移项，得－x－3x＝2－8。 合并同类项，得－4x＝－6。 －x－3x＝2－8 3 图5-6 两边同除以－4，得x＝ 。 2 移项与合并同类项在方程变形中经常用到，移项时应注意改变项的符号。 第5章 一元一次方程 137例2 解下列方程： ▶ （1）3－（4x－5）＝9； （2）2x－ 2＝3（x＋1）（结果精确到0 . 01）。 分析：当方程中的一边或两边有括号时，我们往往先去掉括号，再进行 移项、合并同类项等变形求解。 解：（1）去括号，得3－4x＋5＝9。 移项，得－4x＝9－5－3。 合并同类项，得－4x＝1。 1 两边同除以－4，得x＝－ 。 4 （2）去括号，得2x－ 2＝3x＋3。 移项，得2x－3x＝3＋ 2。 合并同类项，得－x＝3＋ 2，即x＝－（3＋ 2）。 所以x≈ －4 . 41。 课内练习 KENEILIANXI 1. 解下列方程，并口算检验。 （1）2 . 4x－2＝2x； （2）3x＋1＝－2； （3）10x－3＝7x＋3； （4）2－5x＝x＋10。 2. 解下列方程： （1）2－3（x－5）＝2x； （2）4（4－y）＝3（y－3）； （3）2（2x－1）＝1－（3－x）； （4）2（x－1）－（x－3）＝2（1 . 5x－2 . 5）。 3. 下列变形对吗？若不对，请说明理由，并改正。 1 解方程：3－2（0 . 2x＋1）＝ 5 x。 解：去括号，得3－0 . 4x＋2＝0 . 2x。 移项，得－0 . 4x＋0 . 2x＝－3－2。 合并同类项，得－0 . 2x＝－5。 两边同除以－0 . 2，得x＝25。 138 数学 七年级上册作业题 ZUOYETI A组 1. 解下列方程： （1）12x＋7＝10x－5； （2）3x＋17＝3 . 5x； 3 3 （3）1－3x＝ x－ 。 2 4 2. 解下列方程： （1）3x－（4x－5）＝6＋（2－5x）； ( 1 ) （2）5x＋2（1－3x）＝3 2－ x 。 2 3. x与2的差的3倍比x的2倍大5，求x。 B组 4. 解下列方程： (5 1) ( 3) （1）5－6 x－ ＝2 x－ ； 6 2 4 （2）5x－［1－（3＋2x）］＝7。 1 5. 已知x＝－2是关于x的方程 （1－2ax）＝x＋a的解，求a的值。 2 2 例3 解下列方程： ▶ 3y＋ 1 7＋y x 3－2x （1） ＝ ； （2） － ＝x。 3 6 5 2 分析：由于方程中的某些项含有分母，我们可先依据等式的性质，将方 程的两边同乘各分母的最小公倍数，去掉分母，再进行去括号、移项、合并同 类项等变形求解。 3y＋1 7＋y 解：（1）方程的两边同乘6，得6× ＝ ×6（根据什么？）， 6 3 即2（3y＋1）＝7＋y。 去括号，得6y＋2＝7＋y。 移项，得6y－y＝7－2。 第5章 一元一次方程 139合并同类项，得5y＝5。 两边同除以5，得y＝1。 （2）方程的两边同乘10，得2x－5（3－2x）＝10x。 去括号，得2x－15＋10x＝10x。 移项，得2x＋10x－10x＝15。 合并同类项，得2x＝15。 15 两边同除以2，得x＝ 。 2 从前面的例题中我们看到，去分母、去括号、移项、合并同类项等都是方 程变形的常用方法。值得注意的是，移项与去分母的依据是等式的性质，而 去括号与合并同类项的依据是代数式的运算法则。 一般地，解一元一次方程的基本程序是： 合并 两边同除以 去分母 去括号 移项 同类项 未知数的系数 做一做 ZUOYIZUO 解方程： x － x－ 6 ＝2－ 2 x。 3 12 3 1 5x 1 5－x 例4 解方程：. － . ＝0 . 5。 ▶ 0 6 2 . 分析：当分母中含有小数时，可以应用分数的基本性质先把它们化为 1 5x 10×1 5x 15x 5 整数，如 . ＝ . ＝ ＝ x。 0 6 10×0 6 6 2 . . 5x 1 5－x 解：将原方程化为 － . ＝0 . 5。 2 2 去分母，得5x－（1 . 5－x）＝1。 去括号，得5x－1 . 5＋x＝1。 移项，合并同类项，得6x＝2 . 5， 5 解得x＝ 。 12 140 数学 七年级上册课内练习 KENEILIANXI 1. 解下列方程： （1）2x＋（1－x）＝2（4－3x）； 3－4x 2－5x （2） ＝ －1。 7 3 2. 下面方程的解法对吗？若不对，请改正。 3x－1 4x－1 解方程： ＝1－ 。 3 6 解：去分母，得2（3x－1）＝1－4x－1。 去括号，得6x－1＝1－4x－1。 移项，得6x－4x＝1－1＋1。 1 则2x＝1，解得x＝ 。 2 探究活动 TANJIUHUODONG 有三名同学编了下面的数学谜题。 1 2 × □5 3×2 ＋5 ＝□2 3 0 □ □ 12×46 ＝ 64×□21 □ 图5-7 要求在以上各题中的“□”内分别填入同一个数字。请探索下面的问题： （1）每道题中，哪个是未知数？ （2）列出各题的相应方程，并求解。 （3）小结解上述这类数学谜题的经验。 第5章 一元一次方程 141作业题 ZUOYETI A组 1. 解下列方程： （1）6＋2（x－3）＝x； （2）8－2（x－7）＝x－（x－4）； （3）2x－（1 . 5x－1）＝2（1 . 5x－1）。 2. 解下列方程： 5x＋3 1＋7x （1） ＝ ； 2 3 4－3x 5x＋3 （2）1－ ＝ －x。 4 6 2x－1 x 1 3. 解方程： ＝ － 。 07 03 7 . . 12x－1 18x＋1 x B组 4. 用不同的方法解方程 － ＝ 。你认为哪一种方法 4 6 3 更简便？ ( ) 3 3－x 1 5. 解方程：x－ 1－ ＝ 。 2 3 3 C组 6. 解方程：4x－3＋6（3－4x）＝7（4x－3）。 你有几种不同的解法？你认为哪一种方法比较简便？ 142 数学 七年级上册阅读材料 YUEDUCAILIAO 中外方程趣题 古今中外有许多有趣的数学问题，都是通过列方程解决的。比如在我 国，古代数学著作《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四 尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：“用一根绳子去量一根长 木，绳子还剩余4 . 5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺。问木长多少 尺？”（尺寸为10进制长度单位，1米为3尺，1尺等于10寸）你能列方程求 解吗？ 在国外，《希腊诗文选》（500年前后的遗物）中，收录了古希腊数学家丢 番图（ ，活跃于250年前后）的墓志铭，译文如下： Diophantus 坟中安葬着丢番图， 多么令人惊讶，它忠实地记录了他经历的道路。 童年占六分之一， 又过十二分之一，两颊长出胡须， 再过七分之一，点燃结婚的蜡烛。 五年之后天赐爱子， 可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便葬入冰冷的墓。 悲伤只有用数学研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途。 这段奇特的墓志铭，千余年来一直激发着人们极大的兴趣。根据墓志 铭，人们把这位数学家的寿命、人生中发生重要事件的年龄都一一推算出来 了。请你也试着算一算。 第5章 一元一次方程 14355..55 一一元元一一次次方方程程的的应应用用 杭州第19届亚运会的会徽“潮涌”既展现江潮奔 涌，又寓意勇立潮头，潮头形象象征大家团结携手、紧 密相拥、永远向前。 1 运用一元一次方程的知识可以解决现实生活中遇到的许多问题。 合作学习 HEZUOXUEXI 杭州第19届亚运会共开设40个大项目，其中奥运项目的数量比非奥运 项目的3倍多4个。请你算一算，其中奥运项目开设了多少个？ 请与你的同伴讨论和解答下面的问题。 （1）能直接列出算式求杭州第19届亚运会开设的奥运项目个数吗？ （2）如果用列方程的方法来解，设哪个未知数为x？ （3）根据怎样的相等关系来列方程？方程的解是多少？ 例1 每年9月5日为“中华慈善日”，某文艺团体开展募捐义演，全价 ▶ 票为每张30元，学生享受半价优惠。某场演出共售出966张票，收入25 800 元。问：这场演出共售出学生票多少张？ 分析：题中涉及的数量有票数、票价、总票价等，它们之间的相等关 系有： 票数×票价＝总票价； 1 学生的票价＝ ×全价票的票价； 2 全价票张数＋学生票张数＝966； 全价票的总票价＋学生票的总票价＝25 800。 144 数学 七年级上册解：设这场演出售出学生票x张，则售出全价票（966－x）张。根据题 1 意，得（966－x）×30＋ ×30×x＝25 800。 2 解这个方程，得x＝212。 检验：x＝212是方程的解，且符合题意。 答：这场演出共售出学生票212张。 从上面的例子我们可以看到，运用方程解决实际问题的一般过程是： 1. 审题：分析题意，找出题中的数量及其关系。 2. 设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x）。 3. 列方程：根据相等关系列出方程。 4. 解方程：求出未知数的值。 5. 检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并作答。 例2 某工程队承包了全长为2 400米的隧道施工任务，甲、乙两个班 ▶ 组分别从隧道两端同时施工，花30个月完成整个施工任务。已知甲班组比 乙班组平均每月多施工8米，问：甲、乙两个班组平均每月各施工多少米？ 分析：由题意可知，本题有如下数量和数量关系： 甲班组的施工总长度＋乙班组的施工总长度＝隧道全长； 施工总长度＝平均每月施工的长度×施工月数； 甲班组每月施工长度＝乙班组每月施工长度＋8。 解：设乙班组每月施工x米，则甲班组每月施工（x＋8）米，由题意，得 30x＋30（x＋8）＝2 400。 解这个方程，得x＝36。 检验：x＝36是方程的解，且符合题意。 甲班组每月施工长度为36＋8＝44（米）。 答：甲班组平均每月施工44米，乙班组平均每月施工36米。 第5章 一元一次方程 145课内练习 KENEILIANXI 1. 三个连续奇数的和为57，求这三个数。 2. 甲每天生产某种零件80个，甲生产3天后，乙也加入生产同一种零 件，再经过5天，两人共生产这种零件940个。问：乙每天生产这种 零件多少个？ 作业题 ZUOYETI A组 1. 有三个数从小到大排列，后一个数比前一个数大3。已知这三个数 的和为27，求这三个数。 2. 某动车组列车有1 193个座位，其中商务座22个，二等座数量比一 等座数量的7倍少13个。该动车组列车一等座和二等座的座位数 分别有多少个？ 4 1 3. 某场比赛的现场观众中， 是成年男性， 是成年女性，剩余的是儿 7 3 童，儿童的人数是42。 （1）求观众的总人数。 （2）观众中，成年男性比成年女性多多少人？ B组 4. 从某个月的月历表中取一个2×2方框。 （1）已知这个方框所围成的4个日期之和为 44，求这4个日期。 （2）这个方框所围成的4个日期之和可能为 56吗？ 5. 请编写一道实际应用题，要求所列的方程为 15（x＋2）＋45x＝180。 （第4题） 146 数学 七年级上册第5章 一元一次方程 08 Φ200 300 300 x 2 例3 某雕像的底面呈正方形，在其四周铺上花 单位：米 ▶ 32 x 32 岗岩，形成一个边宽为3 . 2米的正方形框（如图5-8中阴 . . 影部分）。已知铺这个框恰好用了144块边长为0 . 8米 的正方形花岗岩（接缝忽略不计），问：该雕像的底面边 长是多少米？ 分析：如图5-8，用x表示中间空白正方形的边 图5-8 长，本题的数量关系是： 阴影部分的面积＝144块边长为0 8米的正方形花岗岩的面积； . 阴影部分可以分割成4个长为（x＋3 2）米，宽为3 2米的长方形。 . . 解：设雕像底面的边长为x米，根据题意，得 4×3 . 2（x＋3 . 2）＝0 . 8×0 . 8×144。 解这个方程，得x＝4。 答：雕像的底面边长为4米。 在运用方程解决有关实际问题时，清楚地分辨量与量之间的关系，尤 其是相等关系，是建立方程的关键。解题中的检验对确保答案的正确和合 理很有帮助，但具体过程可以省略不写。 例 4 如图 5-9，用直径为 ▶ 单位：mm 200 mm的钢柱锻造一块长、宽、高 分别为 300 mm，300 mm 和 80 mm 的长方体毛坯底板。问：应截取钢 柱多少长（不计损耗，结果误差不超 钢柱 长方体毛坯 过1 mm ）？ 图5-9 分析：钢柱在锻造过程中体积不变，即 截取的圆柱体积＝锻造成的长方体体积。 147单位：m 60 （第2题） 03 … … （第2题） 单位：cm 30 A B （第3题） 01 22 解：设截取圆柱的高为x（ mm ），根据题意，得 π ×1002×x＝300×300×80。 720 解这个方程，得x＝ ≈ 229。 π 答：应截取钢柱的长约为229 mm。 课内练习 KENEILIANXI 1. 请指出下列过程中，哪些量发生了变化，哪些量保持不变。 （1）把一小杯水倒入另一只大杯中。 （2）用一根15 cm长的铁丝围成一个三角形，然后把它改围成长方形。 （3）用一块橡皮泥先做成一个立方体，再把它改做成球。 2. 如图，一个书架上下两层的宽度相同，上层放 了厚为6 . 3 cm的书45本，正好放满。下层准 备放厚为2 . 1 cm的书，能放多少本？ 作业题 ZUOYETI A组 1. 一种小麦磨成面粉后，质量将减少15%。要得到5100千克面粉，需 多少千克小麦？ 2. 把一块梯形空地（如图）改成宽为30 m的长方形运动场地，要求面积 不变，则应将原梯形的上、下底边作怎样的调整？ 3. 如图，有A，B两个圆柱形容器，A容器的底面积是B容器底面积的2 倍，B容器的壁高为22 cm。已知A容器内装水的高度为10 cm，若把 这些水倒入B容器，水会溢出吗？ 148 数学 七年级上册B组 4. 如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为 10 cm，容器内水的高度为12 cm。把一根半径为2 cm， 长度超过容器的高的玻璃棒垂直插入水中。问：容 器内的水将升高多少厘米（假设水不会溢出）？ 5. 按图示的方法搭1个三角形需要3根火柴棒，搭2个 （第4题） 三角形需要5根火柴棒。设共搭成n个三角形，怎样 用关于n的代数式表示搭n个三角形需要火柴棒的根数？现有 2025根火柴棒，能搭多少个这样的三角形？2030根呢？ … （第5题） 3 用方程解实际问题时，我们还常常通过画示意图或列表来分析数量关 系，再建立方程求解。 例5 A，B两地相距260千米，甲、乙两车分别从A，B两地出发，相向 ▶ 而行，甲车先出发1小时，乙车出发2小时后与甲车相遇。已知甲车每小时 比乙车少行5千米，问：甲、乙两车的速度分别是多少？ 分析：可以用如下示意图来分析本题中的数量关系。 前1小时甲车 后2小时甲、乙两车共行驶的路程 行驶的路程 甲车行驶的路程 乙车行驶的路程 A地 B地 260千米 图5-10 由图5-10得如下的相等关系： 前1小时甲车行驶的路程＋后2小时甲车行驶的路程＋ 乙车2小时行驶的路程＝全程。 根据这一相等关系，设乙车的速度为x千米/时，就可以列出方程。 解：设乙车的速度为x千米/时，则甲车的速度为（x－5）千米/时，由题 意，得（x－5）＋2（x＋x－5）＝260。 第5章 一元一次方程 149解这个方程，得x＝55。 所以甲车的速度为55－5＝50（千米/时）。 答：甲车的速度为50千米/时，乙车的速度为55千米/时。 例6 学校组织植树活动，已知在甲地植树的有23人，在乙地植树的 ▶ 有17人。现调20人去支援，使在甲地植树的人数是乙地植树人数的2倍， 问：应调往甲、乙两地各多少人？ 分析：设应调往甲地x人，题中所涉及的有关数量及其关系可以用下表 表示： 表5-2 地名 甲地 乙地 原有人数 23 17 增加人数 x 20－x 增加后人数 23＋x 17＋20－x 甲地增加后人数＝2×乙地增加后人数。 解：设应调往甲地x人，根据题意，得 如果设调往乙 地的人数为x，方程 23＋x＝2（17＋20－x）。 应怎么列？ 解这个方程，得x＝17。 所以调往乙地的人数为20－x＝20－17＝3。 答：应调往甲地17人，乙地3人。 课内练习 KENEILIANXI 1. 小明以3千米/时的速度步行45分钟，然后以一定的速度跑步30分 钟，一共前进了6千米。求小明跑步的速度。 2. 火车站南、北两个入口需安排工作人员，一般南入口6人，北入口 10人。春运期间客流量增大，需要增调20人至两个入口，使得南、 北入口工作人员的人数之比为1∶2。问：应调往南、北入口各多 少人？ 150 数学 七年级上册作业题 ZUOYETI A组 1. 甲、乙两人沿运动场中一条400米长的环形跑道跑步，甲的速度是 5 乙速度的 倍。他们从同一起点、朝同一方向同时出发，5分钟后 3 甲第一次追上乙。求甲、乙两人跑步的速度。 2 2. 一收割机队每天收割小麦12公顷，收割完一片麦地的 后，该收割 3 5 机队改进操作，效率提高到原来的 倍，因此比预定时间提早 4 1天完成收割任务。问：这片麦地有多少公顷？ 3. 甲煤场存煤432吨，乙煤场存煤96吨。为了使甲煤场存煤量是乙煤 场的2倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场？ B组 4. 有一批生产桌椅的木料，已知一块木料可以生产桌子2张或椅子 5把，现有39块木料，如何分配可使生产的桌子和椅子恰好配套（一 张桌子配4把椅子）？ 5. 一项任务，甲车间单独做需要12天完成，乙车间单独做需要15天完 成。两车间合作4天后，由乙车间单独完成。问：乙车间单独做了几天？ 4 例7 某商店一款无线耳机按进价提高30%后标价，再优惠15元销 ▶ ( ) 售价－进价 售，能获得20%的毛利率 毛利率＝ 。销售一副该款耳机所得 售价 毛利润为多少元？ 分析：题中的数量有进价、标价、售价、毛利率、毛利润，它们之间有如 下的相等关系： 标价＝进价×（1＋30%）； 售价＝标价－15； 售价×毛利率＝售价－进价； 毛利润＝售价－进价。 第5章 一元一次方程 151如果设进价为x元，那么根据前两个数量关系，就能用含x的代数式表 示售价。然后根据第三个数量关系列方程、求解。 解：设一副该款无线耳机的进价为x元，则售价为［（1＋30%）x－15］元。 根据题意，得（1＋30%）x－15－x＝［（1＋30%）x－15］×20%， 解得x＝300。 所获得的毛利润为300×30%－15＝75（元）。 答：销售一副该款耳机所得的毛利润是75元。 用一元一次方程解决实际问题时，可以先用文字表述数量关系，再将其 中的一个未知量设为未知数，把其他的未知量用含该未知数的代数式表示， 根据相等关系列出方程。 例8 七年级二班有45人报名参加了文学社或书画社。已知参加文 ▶ 学社的人数比参加书画社的人数多5人，两个社都参加的有20人。问：参加 书画社的有多少人？ 分析：我们可通过画示意图来分析数量关系。 在图5-11中，左边圆的面积表示参加书画社的 参加 参加 书画社 文学社 人数，右边圆的面积表示参加文学社的人数，则两 的人数 的人数 圆公共部分的面积表示两个社都参加的人数。根据 图中的面积关系，有下面的相等关系： 图5-11 参加书画 参加文学 两个社都 ＋ － ＝总人数。 社的人数 社的人数 参加的人数 根据上面的分析，可列方程求解。 解：设参加书画社的有x人，那么参加文学社的 有（x＋5）人。根据题意，得x＋（x＋5）－20＝45。 图5-11中，哪一 解这个方程，得x＝30。 部分的面积表示只 参加文学社的人数？ 答：参加书画社的有30人。 152 数学 七年级上册课内练习 KENEILIANXI 1. 一件商品按进价提高30%后标价，又以八折销售，售价为208元。 这件商品的进价是多少元？ 2. 如果把例8的已知条件“两个社都参加的有20人”中的“20人”改为 “23人”，其余都不变，那么结果将怎么样？ 作业题 ZUOYETI A组 1. 小明去年暑假把一笔零用钱按定期一年存入银行，存入时一年期定 期存款的年利率为1 . 75%，今年暑假到期支取，他用这笔取出的钱 买了2套单价为325元的名著，还结余1385元。小明存入银行的这 笔零用钱是多少元？ 2. 一件衣服的进价为390元，标价为600元，按标价打折销售后，获得 5%的毛利率。这件衣服是打几折销售的？ 3. 某班有学生45人，会下象棋的人数是会下围棋人数的3 . 5倍，两种 棋都会或都不会的人数都是5人。求只会下围棋的人数。 B组 4. 列举一个实际情境的应用题，要求能用方程（1－25%）x＝112 . 5 求解。 5. 某商店有两种不同型号的计算器，售价都是64元。已知卖出其中 一种计算器，商店获毛利润为进货价的60%；卖出另一种计算器， 商店亏损毛利润为进货价的20%。若卖出这两种计算器各1台， 这家商店的盈亏情况如何？ 6. 以4～5人为一组，结合图中有关数据，设计一个可用一元一次方程 求解的实际问题。 7 6 88 5 （第6题） 第5章 一元一次方程 153阅读材料 YUEDUCAILIAO 问题解决的基本步骤 我们学习的目的之一是运用知识和方法去解决问题。解决问题通常可 以按理解问题、制订计划、执行计划、回顾反思四个基本步骤进行，数学问题 也可以按这四个步骤求解。 1 弄清问题的意思，以及问题中涉及的术语、词汇 理解问题 的含义；分清问题中的条件和要求的结论等。 2 在理解问题的基础上，运用有关的数学知识和方 制订计划 法拟订解决问题的思路和方案。 3 执行计划 按计划实施，包括建立数学模型、求解等。 对整个解题过程进行检查，包括检验得到的答 4 案是否符合问题的实际，思考对原来的解法进 回顾反思 行改进，或尝试用不同的方法求解，或进行适当 的拓展。 运用一元一次方程解决实际问题的一般过程就体现了上述四个步 骤：通过审题理解问题，分析等量关系制订计划，经历“设元、列方程、解 方程”执行计划，检验过程就是回顾反思。 下面我们就按问题解决的这四个基本步骤来解决如下问题。 为在节能减排的同时考虑惠民利民，某省居民阶梯电价分夏季与非夏 季标准执行：每年的5～10月执行夏季标准，其余月份执行非夏季标准。以 下为非夏季标准的阶梯电价。 第一档：当用电量在200千瓦时（含）以下，电价为0 59元/千瓦时； . 第二档：当用电量介于201～400千瓦时之间，电价比第一档增加0 05元/ . 154 数学 七年级上册千瓦时； 第三档：当用电量在401千瓦时及以上，电价比第一档增加0 3元/千瓦时。 . 夏季标准下，第一档调整为260千瓦时（含）以下，第二档为261～600千 瓦时，第三档为601千瓦时及以上，相应档位的电价与非夏季标准相同。 已知总电费＝第一档用电量×第一档电价＋第二档用电量×第二档电 价＋第三档用电量×第三档电价。 若某用户4月份用电量为600千瓦时，问： （1）执行阶梯电价后，该用户4月份电费比不执行阶梯电价（按第一档 计价）多付多少元？ （2）缴纳相同的电费，该用户在6月份可多用电多少千瓦时（精确到 0 01）？ . 理解问题 这两种阶梯电价可以列成下表： 表5-3 阶梯电价 夏季标准 非夏季标准 第一档用电量 0～260千瓦时 0～200千瓦时 第一档电价 059元/千瓦时 . 第二档用电量 261～600千瓦时 201～400千瓦时 第二档电价 064元/千瓦时 . 第三档用电量 601千瓦时及以上 401千瓦时及以上 第三档电价 089元/千瓦时 . 制订计划 第一问只需按计费标准计算电费。第二问有如下相等关系： 按非夏季标准4月份缴纳电费＝夏季标准6月份缴纳电费。 利用这一相等关系，可列方程求解。具体步骤为： 设所求的用电量 用关于x的代数式 根据上述相等 解方程 检验 增加x千瓦时 表示6月份电费 关系列出方程 图5-12 执行计划 （1）不执行阶梯电价，该用户4月份的电费为600×0 59＝ . 354（元）。 执行阶梯电价，该用户4月份的电费为 200×0 59＋（400－200）×0 64＋（600－400）×0 89＝424（元）。 . . . 第5章 一元一次方程 155424－354＝70（元）。 所以该用户4月份电费执行阶梯电价比不执行阶梯电价多付了70元。 （2）设该用户在6月份可多用电x千瓦时，则该用户6月份缴纳电费为 260×0 59＋（600－260）×0 64＋0 89x。 . . . 由题意，列出方程为 260×0 59＋（600－260）×0 64＋0 89x＝424。 . . . 解得x≈ 59 55。 . 答：与4月份缴纳相同的电费，该用户在6月份可多用电59 55千瓦时。 . 回顾反思 （1）检验：把方程的解代入方程，左边＝右边，说明求解无 误，结果符合实际。 （2）提出拓展问题并进行探究。例如，如果每月用电量为x千瓦时，当 x≤ 200时，按两种计费方法，所需的电费相等吗？如果201 ≤x≤ 400呢？如 果x＞400呢？ 156 数学 七年级上册小结与反思 一、知识梳理 本章在认识方程和等式基本性质的基础上，着重学习了一元一次方程及其解 法。运用等式的基本性质和代数式运算法则，对一元一次方程进行变形，逐步 转化为“x＝a”的形式，就得到了一元一次方程的解。方程是刻画现实世界相等关 系的数学模型。数学建模、转化、尝试检验等是解决问题时常用的思想方法。 本章学习流程和知识结构如下： 概念 实际问题 数学问题 一元一次 （数量关系） （方程） 方程 等式的性质 去分母 去括号 步骤 解方程 移项 合并同类项 系数化为1 实际问题的 联系实际意义 一元一次 解答 检验解的合理性 方程的解 二、回顾与反思 1. 等式与方程有什么关系？一元一次方程有什么特征？ 2. 解一元一次方程的一般步骤是什么？每个步骤的依据是什么？ 3. 用一元一次方程解决实际问题时，分析数量关系、寻找相等量是关键。你 有哪些厘清数量关系的方法？ 4. 在本章学习中，你还获得了哪些解决问题的方法和经验？有哪些需要提醒 自己和同学注意的问题？ 第5章 一元一次方程 157目标与评定 A 目标 51节 . ★能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程。 ★理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。 1. 在某地，从地表向下每下降1 km，温度就上升约10 ℃。假设该地地表温度是 18 ℃，当地某矿井内的温度是25 ℃，问：该矿井在地表以下约多少千米处？若设 该矿井在地表以下x（ km ）处，请列出方程。 2. 在下列各式中，哪些是方程？哪些是一元一次方程？ 1 （1）2x＋1＝5； （2） ＋1＝5； （3）2x2＝8； x 4x＋1 （4） ＋2＝2x； （5）2x＋3y＝2； （6）3y－2。 3 3. 下列方程中，以x＝－1 . 5为解的是（ ）。 （ A ）2x＝3 （ B ）3x＝x＋3 （ C ）x＝3x＋3 （ D ）x＝3x－3 4. 检验下列x的值是不是方程4x－3＝3＋x的解。 1 （1）x＝2； （2）x＝－ 。 2 1 5. 已知x为自然数，用尝试检验的方法求方程的解：x＝4－ x。 3 B 目标 52节 53节 54节 . . . ★掌握等式的基本性质。 ★能解一元一次方程。 6. 根据下列各题的条件，写出仍能成立的等式。 （1）a－b＋c＝0，两边都加上b； （2）7x＝6x－1，两边都减去6x； 2a 3b （3）3x－6＝6x，两边都除以3； （4） ＝ ，两边都乘12； 3 4 （5）4x－1＝3x＋2，两边都加上－3x＋1。 7. 解下列方程： 2 3 （1）7x－3＝6x－5； （2）2－ x＝x－ 。 3 2 158 数学 七年级上册8. 解下列方程： ( 1) （1）3x－（x－1）＝5； （2）10＋2 x－ ＝7（x－2）； 2 38x－2 2－3x 3x－ 1 x （3）1－ ＝ ； （4）3x－ ＝ 。 19 3 4 6 C 目标 55节 . ★会利用一元一次方程解简单的实际问题。能根据具体问题的实际意义，检 验方程解的合理性。 9. 小红按八折的价格买了一件羊毛衫，付款320元。问：这件羊毛衫的原价是多 少元？ 10. 汽车队运送一批货物。若每辆车装4吨，还剩下8吨未装；若每辆车装4 . 5吨，恰 好装完。这个车队有多少辆车？ 11. 某商场甲、乙两个柜组10月份的营业额比9月份分别增长了20%和15%，它们 的合计营业额9月份为85万元，10月份达到100万元。甲、乙两个柜组的营业 额10月份比9月份分别增加了多少万元？ 12. 有一架飞机最多能在空中连续飞行8 . 8小时，它往返的平均速度分别为920千 米/时和840千米/时。这架飞机最远飞行多少千米就应返回？ 13. 如图，将某种规格的长方形纸板按照图①、图②所示的两种方法裁剪，分别可裁 得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板。4块相同的小长方形纸板和1块小 正方形纸板可做成图③所示的无盖长方体纸盒。如果这种规格的长方形纸板 共有21张，那么怎样裁剪这些纸板可做成的无盖纸盒数最多？最多能做多 少个？ ① ② ③ （第13题） 第5章 一元一次方程 159第6章 图形的初步知识 观察周围的世界，你会看到形态各 异、丰富多彩的图形。在这张图片中，你 能找到哪些熟悉的几何图形？它们有什 么特征？ 本章我们将认识更多的几何图形，进 一步学习线段、射线、直线、角等图形的初 步知识，研究这些图形的基本性质和相互 关系。上海66..11 几几何何图图形形 在如图积木中，有你熟悉的图形吗？ 我们生活在充满图形的世界，它们美化了我们生活的空间。观察图6-1 的黑板及平静的湖面，它们都给我们以平面的形象。数学中的平面是可以 无限延展的。再观察图6-2中的篮球的表面、油桶、交通锥的侧面，它们给我 们以曲面的形象。日常生活中见到的一些物体，如果不考虑它们的颜色、材 质等，可以抽象出如图6-3的几何体。你还能例举出其他几何体吗？ 黑板 平静的湖面 篮球 油桶 交通锥 图6-1 图6-2 立方体 长方体 圆柱 圆锥 球 （cube） （cuboid） （cylinder） （cone） （sphere） 图6-3 观察图6-4和图6-5。图6-4中的点是夜空中的星星；图6-5中的点表示 城市，而那些曲线通常表示河流、公路、铁路等。 162 数学 七年级上册图6-4 图6-5 从实物中得到的点、线、面、体称为几何图形（ geometric figure ）。这些基 本图形可帮助人们有效地刻画错综复杂的现实世界。 图6-3中的这些图形所表示的各个部分不在同一个平面内，这样的几何 图形称为立体图形（ solid figure ）。另外，如直线、射线、角、三角形、平行四边 形、梯形和圆也都是几何图形，这些图形所表示的各个部分都在同一个平面 内，称为平面图形（ plane figure ）❶。 课内练习 KENEILIANXI 1. 你从图中观察到哪些熟悉的几何图形？把它们在图中描出来，并注 明几何图形的名称。 （第1题） （第2题） 2. 一个长方体如图所示。 （1）它有多少个面？多少条棱（线段）？多少个顶点？ （2）从它的表面上，你观察到哪些平面图形？ 3. 如图所示的字母可以看作由哪些几何图形组成？你 能叙述由点成图的过程吗？ （第3题） 在没有特别说明的情况下，本套教科书涉及的图形都是指平面图形。 ❶ 第6章 图形的初步知识 163探究活动 TANJIUHUODONG 七巧板（图6-6）是我国传统智力玩具。七巧板虽然只由7块板组成，但用它们 可以拼出人、动物、交通工具等各种图案。 图6-6 （1）从图6-6中，你能观察到哪些你所熟悉的图形？ （2）你能用七巧板拼出图6-7的图案吗？ （3）发挥你的创造力，尽可能多地用七巧板拼出表示 图6-7 人或物的图案。 作业题 ZUOYETI A组 1. 你在图中能找出哪些几何图形？ （第1题） 2. 分别写出两种你所熟悉的、形状是球或圆锥的物体。 3. 下面这些图形中，哪些表示立体图形？哪些表示平面图形？ ① ② ③ ④ （第3题） 164 数学 七年级上册4. 如图，将第一行中的平面图形绕虚线旋转一周，分别得到第二行中 哪个几何体？将它们用线连起来。 （第4题） B组 5. 用一样长的小木棒拼出几何图形，并画出示意图。 （1）如图是用4根小木棒拼出的图 形，请尝试用5根小木棒拼一个 图形。 （2）用6根小木棒可以拼出怎样的几 （第5题） 何图形？请试一试。 66..22 线线段段、、射射线线和和直直线线 用手电筒照射夜空，光束给我们 以哪一种几何图形的印象？ 在小学里，我们已经学习了线段（ segment ）、射线（ ray ）和直线（ straight line ）。请你把左边对图形的描述和右边相应的图形（图6-8）用线连起来。 第6章 图形的初步知识 165以A为端点，经过点B的射线 A a B l 连结A，B两点的线段 A B 经过A，B两点的直线 A B 图6-8 线段可以用表示它的两个端点的大写字母表示，也可以用一个小写字 母表示，如图6-8中的线段可以记作“线段AB”或“线段BA”，也可以记作 “线段a”。 直线可以用它上面任意两个点的大写字母表示，也可以用一个小写字 母表示，如图6-8中的直线可以记作“直线AB”或“直线BA”，也可以记作 “直线l”。 射线用表示它的端点和射线上另外任意一点的两个 A B 字母表示，表示端点的字母要写在前面。如图6-9中的 图6-9 射线记作“射线BA”，而不能记作“射线AB”（为什么？）。 做一做 ZUOYIZUO 1. 用两种方式表示图中的两条直线。 Q m n A O B O P （第1题） （第2题） 2. 已知点O，P，Q（如图），画线段PQ，射线OP和直线OQ。 一个点P在一条直线l上，可以说成直线l经过点P；一个点P不在直线l 上，也可以说成点P在直线l外，或直线l不经过点P。如上面“做一做”第1 题中，点A在直线n上，但在直线m外。 166 数学 七年级上册想一想，再画一画，回答下列问题： （1）经过一个已知点画直线，可以画多少条？ （2）经过两个已知点画直线，可以画多少条？ 图6-10 （3）如果你想将一根细木条固定在墙上，至少需 要几枚钉子（图6-10）？ 直线有下面的基本事实： 经过两点有一条而且只有一条直线。可以简单地说成：两点确定一条 直线。 在日常生活中常常用到这个基本事实。例如，植树时，只要确定两个树 坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上（图6-11）；跑步比赛，标记冲刺终 点线的拉绳，也只需要两个支点（图6-12）。你还能举出类似的应用实例吗？ 图6-11 图6-12 课内练习 KENEILIANXI 1. 图中的几何体有多少条棱？写出表示这些棱的线段。 A A B B O C D C （第1题） （第2题） 2. 写出图中的直线，以A为一个端点的线段，以及以O为端点的各条 射线。 3. 如图，建筑工人在砌墙时，经常在两个墙角分别立一根标志杆，在这 两根标志杆之间拉一根线，这样做的作用和依据分别是什么？ （第3题） 第6章 图形的初步知识 167作业题 ZUOYETI A组 1. 已知点A，B，C（如图），请画出下列图形。 A （1）直线AB； （2）射线CA； B C （3）线段BC。 （第1题） 2. 按下列语句画出图形。 （1）直线EF经过点C； （2）经过点O的三条线段a，b，c； （3）射线OA与射线OB。 3. 已知线段AB（如图），按下列语句画出图形。 （1）延长线段AB至点C； （2）画射线BA。 A B （第3题） B组 4. 用7根火柴棒可以摆出数字“8”（如图）。这种用7条线段构成的数 字称为“7画字”，它通常用在计算器或电梯的楼层显示屏上。你能 去掉其中的若干根火柴棒，摆出0～9十个数字吗？ 5. 下面两图中，有多少条以A，B，C，D这些点为端点的线段？把它们 都写出来。 （1） （2） （第4题） C D A C D B A B （第5题） 6. 已知平面内有A，B，C，D四个点，两两连结这些点，可以画出多少 条线段？如果有五个点呢？ 168 数学 七年级上册66..33 线线段段的的长长短短比比较较 要比较两根绳子的长短，你有几种方法？ 如图6-13，在等腰三角形中，如何比较AB，BC，AC A 这三条线段长度的大小？它们之间有怎样的关系？ B C 图6-13 一般地，如果两条线段长度相等，那么我们就说 这两条线段相等。例如图6-13中，线段AB与AC相等，记为AB＝AC。如 果两条线段的长度不相等，那么我们就说长度较大的线段大于长度较小的 线段。例如图6-13中，线段BC大于线段AB，记为BC＞AB，也可以说成线 段AB小于线段BC，记为AB＜BC。 要比较两条线段的长短，还可以用圆规把它们“叠”在一起进行比较，如 图6-14。你能说出“叠”的方法，以及怎样判断AB与A′B′的大小吗？ A B A B A′ B′（A′）（B′） A′ B′（A′）（B′） A′ B′A（A′）B（B′） AB＞A′B′ AB＜A′B′ AB＝A′B′ 图6-14 做一做 ZUOYIZUO C 1.（1）用刻度尺量出图中三角形三条边的长。 AC＝ cm，BC＝ cm，AB＝ cm。 （2）将“＝”“＜”“＞”填入下面的空格。 A B AC BC，AC AB，AB BC。 （第1题） 第6章 图形的初步知识 1692. 用圆规比较下列各对线段的长短。 （1） （2） a b c d （第2题） A B 3. 用直尺和圆规作一条线段，使它等于线段AB （第3题） 的长。 在数学中，限定用无刻度的直尺和圆规作图，即是尺规作图❶。 例 已知线段a和数轴，如图6-15。 ▶ a O 1 0 1 2 3 4 - 图6-15 （1）在数轴上截取长为a的线段。线段a的长为几个单位长度？ （2）若数轴的1个单位长度等于0 . 8 cm，则线段a的长为多少厘米？ 解：（1）如图6-16，以数轴的原点O为圆心，用圆规在数轴上截取线段 OA，使OA＝a。OA的长为3个单位长度。 O A 1 0 1 2 3 4 - 图6-16 答：线段a的长为3个单位长度。 （2）3×0 . 8＝2 . 4（ cm ）。 答：线段a的长为2 . 4 cm。 现在让我们思考下面的事例： （1）小狗看到远处的食物，总是径直奔向食物（图6-17）。 本套教科书中，尺规作图题只要求作出图形，并说明结果。在没有特别说明的情况下可以不写作 ❶ 法，但要保留作图痕迹。 170 数学 七年级上册（2）从A地到B地有三条路可走（图6-18），为了尽快到达，人们通常选 择其中的直路。 图6-17 图6-18 根据这些事例，你会提出什么问题？你发现了什么？ 线段有以下的基本事实： 在所有连结两点的线中，线段最短。简单地说，两点之间线段最短。 连结两点的线段的长度叫作这两点间的距离（ distance ）。 课内练习 KENEILIANXI 1. 北京—上海，北京—杭州，上海—广州的航线示意图如图，请比较 它们的大小，并说明你采用的方法。 北京 C B 上海 杭州 E A D 广州 （第1题） （第2题） 2. A，B，C，D四个村庄之间的道路如图。从A去D有三条路线：A→B →C→D，A→C→D，A→E→D，它们的长分别记为l，m，n。请把l， m，n按从小到大排列，并用不等号连接。 第6章 图形的初步知识 171作业题 ZUOYETI A组 1. 观察图中的线段AB，CD，你觉得哪一条线段比较长？再量一量，你 原先的判断正确吗？ C C A D B A B （第1题） （第2题） 2. 比较图中三角形三条边的长短，并用“＜”连接。 3. 下面四种说法中，正确的是（ ）。 （ A ）两点间的连线的长度，叫作两点间的距离 （ B ）连结两点的线段，叫作两点间的距离 （ C ）两点间的距离就是两点间的路程 （ D ）两点间的距离是连结两点的线段的长度 4. 如图，从A到C有两条路可走：一条是A→B→C，另外一条是A→D →E→F→C。先凭直觉判断两条路的远近，再用直尺和圆规进行 比较，验证你的判断。 B A D B D F E A B C l A C （第4题） （第5题） （第6题） B组 5. 图中的直线l表示一条小河，点A，B表示两个村庄。在何处架桥才 能使A村到B村的路程最短？ 6. 如图，比较B→A→C与B→D→C这两条路径的长短。你能用“两 点之间线段最短”来说明理由吗？ 172 数学 七年级上册66..44 线线段段的的和和差差 C 从宾馆A出发去景点B，有A→C→B， A B A→D→B两条道路。你有哪些方法判别哪 D 条路更近？如果工具只有直尺和圆规呢？ 如图6-19，已知线段a＝1 . 5 cm，b＝2 . 5 cm， a c＝4 cm。 b 议一议，a，b，c三条线段的长度之间有怎样的 c 关系？ 图6-19 一般地，如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段 就叫作另两条线段的和；如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那 么这条线段就叫作另两条线段的差。两条线段的和或差仍是一条线段。例 如，在图6-19中，线段c是线段a与b的和，记作c＝a＋b；线段a是线段c与 b的差，记作a＝c－b。 做一做 ZUOYIZUO 如图，C是线段AB上的一点。请完成下面的填空。 （1）AC＋CB＝ ； （2）AB－CB＝ ； A C B （3）BC＝ －AC。 例1 已知线段a，b（图6-20）。用直尺和圆规作图： ▶ （1）a＋b； a b （2）b－a。 图6-20 作法：（1）如图6-21。 a b ①作射线AD。 A B C D ②在射线AD上截取AB＝a。 图6-21 第6章 图形的初步知识 173③在射线BD上截取BC＝b。 线段AC＝AB＋BC＝a＋b，线段AC就是所求作的线段。 a （2）如图6-22。 A C B ①作线段AB＝b。 图6-22 ②在线段AB上截取AC＝a。 线段BC＝AB－AC＝b－a，线段BC就是所求作的线段。 如图6-23，点C把线段AB分成相等的两条线段 A C B AC与BC，点C叫作线段AB的中点（ midpoint ），这时 图6-23 1 AC＝BC＝ AB，AB＝2AC＝2BC。 2 例2 如图6-24，P是线段AB的中点，点 ▶ A C P D B C，D把线段AB三等分。已知线段CP的长为 图6-24 1 . 5 cm，求线段AB的长。 分析：如果能得到线段AB与线段CP长度的比，就能求出线段AB 的长。 1 解：因为P是线段AB的中点，所以AP＝BP＝ AB。 2 1 因为点C，D把线段AB三等分，所以AC＝CD＝DB＝ AB。 3 1 1 1 因为AP－AC＝CP，所以 AB－ AB＝CP，即CP＝ AB。 2 3 6 所以AB＝6CP＝6×1 . 5＝9（ cm ）。 答：线段AB的长为9 cm。 课内练习 KENEILIANXI a 1. 已知线段a，b（如图），用直尺和圆规作图： b （1）a－b； （2）2b。 （第1题） 2. 已知线段AB（如图），用刻度尺画出它的中点。 A B （第2题） 174 数学 七年级上册1 3. 已知线段AB的长为a，延长线段AB 至点C（如图），使BC＝ AB。 ❶ 2 线段AC的长为多少？ a A B C （第3题） 作业题 ZUOYETI A组 1. 如图，已知C是线段AB的中点，D是线段AC的中点。请完成下列 填空。 （1）AD＋DB＝ ； A D C B （2） －CD＝BC； （第1题） （3）AB＝ BC； （4）AD＝ AC； （5）BD＝ AD。 2. 已知线段a，b（如图），用直尺和圆规作图： （1）2a； （2）2a－b。 a b a （第2题） （第3题） 3. 已知线段a（如图），利用刻度尺把线段a四等分。 1 4. 已知线段AB＝a（如图），延长BA至点C，使AC＝ AB。D为线段 2 BC的中点。 C A D B （1）求CD的长。 （第4题） （2）若AD＝3 cm，求a的值。 B组 5. 已知P为线段AB上一点，AP与PB的长度之比为2∶3。若AP＝ 4 cm，求PB，AB的长。 “延长线段AB”是指将线段沿AB方向延长。若沿BA方向延长线段，则要说成“延长线段BA”。线 ❶ 段的延长线通常画成虚线。 第6章 图形的初步知识 1756. 如图，A，B，C，D表示四个村庄，村民们准备合打一口水井。 D C （1）水井的位置现有P，Q两种选择方案。点P在线段BD上，点Q P 在线段AB上。哪一种方案的水井到各村庄的距离总和较小？ （2）你能给出一种使水井到各村庄的距离之和最小的方案吗？若 Q A B 能，请标出水井的位置，并说明理由。 （第6题） 7. 已知三角形ABC和线段a，试利用尺规作图比较三角形ABC的周 长与线段a的长短。 A a B C （第7题） 设计题 SHEJITI 身体中的“尺子” 用叠合法比较线段的长短是度量线段长度的基本原理。根据这个原理，以及 线段的和差的意义，我们可以得到一些测量线段长的简易方法。 1拇 1肘 1 大拇指第1节长称 前臂长（包括手掌、手指）称为1肘。 张开的大拇指尖和 为1拇。 中指尖之间的最大 距离称为1 。 图6-25 如图6-25，如果我们手头没有合适的测量工具，那么用我们身体中的“尺子”来 测量不失为好方法。然而，每个人“1拇”“1肘”“1拃”的长度不尽相同，所以测量者 应先测量出自己的“1拇“”1肘“”1拃”究竟有多长。 现在我们来进行以下实践活动： 1.与同伴合作，用刻度尺测量每人“1拇“”1肘“”1拃”的长度。 2. 选择我们身体中的“尺子”，测量数学教科书的长与宽，课桌的长、宽、高，教 室中黑板的长与宽等。再用刻度尺量一量，评价上述测量的精确程度。 你的身体中还有哪些“尺子”？把你在户外使用上述测量方法的典型案例记录 下来，在适当的场合与同伴交流。 176 数学 七年级上册66..55 角角与与角角的的度度量量 我国的扇子有着深厚的文化底蕴，不仅 实用，而且还是一种艺术品，是中华民族文 化的一部分。如图是一把打开的纸扇，打开 的角是多少度？你是怎么测量的？ 在小学，我们已初步认识了“角”。你能在图6-26中找到角的实例吗？ 图6-26 角（ angle ）是由两条有公共端点的射线所组成的图形，这个公共端点叫 作这个角的顶点（ vertex ）。 角用符号“∠”表示，读作“角”，通常有以下几种表示角的方法： 1. 用三个大写字母表示。如图6-27中的角可以表示成∠ABC或 ∠CBA，中间的字母B表示顶点，其他两个字母A，C分别表示角的两边上 的点。 A D B α 1 β O B C A C 图6-27 图6-28 2. 用一个数字或希腊字母（如α，β，γ）表示。如图6-28中的角分别可 以表示为∠ 1，∠α，∠β等。 3. 在不引起混淆的情况下，也可以用角的顶点字母来表示这个角。如 图6-27，∠ABC可以表示成∠B。但如图6-28，∠AOC不能用∠O表示（为 什么？）。 第6章 图形的初步知识 177做一做 ZUOYIZUO 将图中的角用不同的方法表示，并填入表中。 B 3 ∠ 1 ∠β β 2 α 1 ∠BCE ∠ACB ∠BAC ∠ABC D A C E 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转 终边 而成的图形（图6-29）。起始位置的射线叫作角的始 边，终止位置的射线叫作角的终边。 顶点 始边 你能举出几个在现实生活中反映角是由一条射 图6-29 线绕其端点旋转而成的例子吗？ 如果图6-29中的终边继续旋转，旋转到和始边成一条直线时，所成的角 叫作平角；旋转到终边和始边再次重合时，所成的角叫作周角，如图6-30 。 ❶ B O A O A（B） 平角 周角 图6-30 在小学里，我们已经学过一个周角等于360 °，一个平角等于180 °。把周 角等分为360份，每一份就是1 °的角。我们可以用量角器测量一个角的大小。 观察图6-31中的量角器，并思考下列问题： （1）量角器上的平角被等分成多少个1 °的角？ （2）先估计图6-32中∠A和∠B的度数，再用量角器量一量。在测量 中，你遇到哪些问题？ A B 图6-31 图6-32 若无特殊说明，本套教科书只讨论大于0°且小于180°的角。 ❶ 178 数学 七年级上册在测量角时，有时以度为单位精度还不够，我们需要用比1 °更小的单 位，称为分和秒。把1 °的角等分成60份，每一份就是1分，记作1′；而把1分 的角再等分成60份，每一份就是1秒，记作1″，即 ( 1 ) ( 1 ) 1 ° ＝60′，1′＝ 60 ° ；1′＝60″，1″＝ 60 ′ 。 度、分、秒是角的基本度量单位。 例1 用度、分、秒表示48 . 32 °。 ▶ 计算器的按键 解：因为0 . 32 ° ＝60′×0 . 32＝19 . 2′， 顺序是： 0 . 2′＝60″×0 . 2＝12″， 4 8 · 3 2 所以48 . 32 ° ＝48 ° 19′12″。 DMS ＝ 例2 用度表示30 ° 9′36″。 ▶ 计算器的按键 ( 1 ) 解：因为36″＝ 60 ′ ×36＝0 . 6′， 顺序是： 3 0 DMS 9 DMS ( 1 ) 3 6 DMS ＝ DMS 9 . 6′＝ 60 °×9 . 6＝0 . 16 °， 所以30 ° 9′36″＝30 . 16 °。 例3 计算180 ° －（45 ° 17′＋52 ° 57′）。 ▶ 解：180 ° －（45 ° 17′＋52 ° 57′）＝180 ° －97 ° 74′＝180 ° －98 ° 14′ ＝179 ° 60′－98 ° 14′＝81 ° 46′。 课内练习 KENEILIANXI 1. 图中有几个角？请用适当的方式把它们表示出来。 B C 2. 把下列角度化成度、分、秒的形式： 1 α ( ) A O （1）121 . 38 °； （2） 10 3 ° 。 4 （第1题） 3. 把下列角度化成度的形式： （1）50 ° 40′30″； （2）118 ° 20′42″。 第6章 图形的初步知识 1794. 计算： （1）37 ° 49′＋44 ° 28′； （2）108 ° 18′－56 . 5 °。 作业题 ZUOYETI A组 1. 钟表的时针从午夜零时转到早上6时，转成一 个什么角？从午夜零时转到中午12时呢？ 2. 把下列角度化成度、分、秒的形式： （1）65 . 5 °； （2）121 . 34 °。 （第1题） 3. 把下列角度化成度的形式： （1）72 ° 12′； （2）100 ° 42′。 4. 计算： （1）89 ° 35′＋20 ° 25（′结果用度、分、秒表示）； （2）123 ° 24′－60 ° 36（′结果用度表示）。 B组 5. 图中有多少个角？请用适当的方式把它们表示出来。 D C 2 1 β α A B （第5题） 180 数学 七年级上册66..66 角角的的大大小小比比较较 8：00 5：00 8：00与5：00这两个时刻，时针与分 针所成的角哪个较大？你是怎样比较的？ 如图6-33，在三角形中，如何比较∠A，∠B，∠C这三个角的度数大小？ 它们之间有怎样的关系？ 一般地，如果两个角的度数相等，那么我们就说这两 A 个角相等。例如，在图6-33中，∠B与∠C相等，记作∠B＝ ∠C。如果两个角的度数不相等，那么我们就说度数较大 的角较大。例如，在图6-33中，∠B大于∠A，记作∠B＞ B C ∠A；也可以说成∠A小于∠B，记作∠A＜ ∠B。 图6-33 做一做 ZUOYIZUO 比较如图两块三角尺中角的大小，并用等号或不等号表示。 Q （1） ∠A与∠B； B （2） ∠P与∠Q； （3） ∠A，∠Q与∠C。 A C P O 例1 已知∠α（图6-34），用量角器作一个角，使它等于∠α。 ▶ B O α A 图6-34 图6-35 第6章 图形的初步知识 181作法：1 . 用量角器量得∠α＝40 °。 2 . 如图6-35，作射线OA。 3 . 用量角器作射线OB，使∠AOB＝40 °。 ∠AOB＝40 ° ＝ ∠α，∠AOB就是所求作的角。 和线段长短比较的方法类似，两个角也可以“叠”在一 Q 起来比较大小。如图6-36，把一块三角尺中的∠BAC与另 B 一块三角尺中的∠QPO叠放在一起，使顶点A与P重合， 角边AC与角边PO重合，并使两个角的另一边都在AC的 同侧。此时，AB边落在∠QPO的内部，表明∠BAC的度数 A（P） O C 小于∠QPO的度数，即∠BAC＜ ∠QPO。如果把两个角叠 图6-36 在一起时，能使它们的两条角边都重合，就表明这两个角度 数相等，即这两个角相等。∠ACB＝ ∠QOP＝90 °，等于90 °的角是直角（ right angle ） ❶ ，小于直角的角是锐角（ acute angle ），大于直角而小于平角的角 是钝角（ obtuse angle ）。 例2 如图6-37，点A，O，E在一条直线上，∠AOC A ▶ B ＝90 °，∠BOD＝90 °。解答下列问题： （1）比较∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE的大小。 O C （2）找出图中的直角、锐角和钝角。 D 解：（1）由图6-37可以看出： E ∠AOB＜ ∠AOC＜ ∠AOD＜ ∠AOE。 图6-37 （2）图中的直角有∠AOC，∠BOD，∠COE；锐角有∠AOB，∠BOC， ∠COD，∠DOE；钝角有∠AOD，∠BOE。 课内练习 KENEILIANXI α 1. 比较∠α与∠β（如图）的大小，并说明理由。 β （第1题） 直角可以用Rt 表示，画图时常在直角的顶点处加上符号“ ”来表示这个角是直角。 ❶ ∠ ┐ 182 数学 七年级上册2. 如图，比较∠BAC，∠CAD，∠BAD，∠ADB的大小，并说出其中的 锐角、直角和钝角。 C D A B （第2题） 作业题 ZUOYETI A组 1. 12 . 30 °与12 ° 30′这两个角相等吗？如果你认为不相等，哪一个角比 较大？为什么？ 2. 比较图中三角形三个角的大小，并说明你采用的方法。 A α B C （第2题） （第3题） 3. 已知∠α（如图），用量角器作一个角，使它等于已知角α。 4. 任意作一个直角、一个大于45 °的锐角和一个小于120 °的钝角。 B组 5. 如图，写出图中的所有角，并比较它们的大小，然后指出哪些是直 角，哪些是锐角，哪些是钝角。 A O B D C （第5题） 6. 比较下列三个时刻的时针与分针所成的角的大小，并说明理由。 9 : 00，3 : 30，6 : 40。 第6章 图形的初步知识 18366..77 角角的的和和差差 给你一张直角三角形纸片，你能通 过折叠的方法再折出一个直角来吗？ 你能把这张纸片折成一个长方形吗？ 如图6-38，已知∠α＝30 °，∠β＝120 °，∠γ＝150 °。 β γ α 图6-38 请议一议，这三个角的度数之间有怎样的关系。拼一拼，有什么发现？ 一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作 另两个角的和；如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫 作另两个角的差。两个角的和或差仍是一个角。例如，在图6-38中，∠γ是 ∠α 与∠β 的和，记作∠γ＝ ∠α＋ ∠β；∠β 是∠γ 与∠α 的差，记作∠β＝ ∠γ－ ∠α。 做一做 ZUOYIZUO 1. 如图，同一端点的三条射线OA，OB，OC。请 C 完成下面的填空： B 80 ∠AOB＋ ∠BOC＝ ∠ ＝ 度； °30 A O ° ∠AOC－ ∠BOC＝ ∠ ＝ 度； （第1题） ∠BOC＝ ∠AOC－ ∠ ＝ 度。 2. 利用图6-38中的角，你能画出90 °的角吗？ 184 数学 七年级上册例1 已知∠ 1与∠ 2（图6-39），用量角器作∠ 1与∠ 2的和。 ▶ 作法：1. 用量角器量得∠ 1＝60 °，∠ 2＝45 °。 2. 计算：∠ 1＋ ∠ 2＝60 ° ＋45 ° ＝105 °。 B 1 2 O A 图6-39 图6-40 3. 用量角器作∠AOB＝105 °。 ∠AOB＝ ∠ 1＋ ∠ 2，∠AOB就是所求作的角（图6-40）。 请进行以下活动： B 在一张透明纸上任意画一个角∠AOB（图6-41），把 C 这张透明纸折叠，使角的两边OA与OB重合，然后把这 张纸展开、铺平，画出折痕OC。 O A 图6-41 ∠AOC与∠BOC之间有怎样的大小关系？ 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射 线叫作这个角的平分线（ angular bisector ）。例如，在图6-41中，OC就是 1 ∠AOB的平分线，∠AOC＝ ∠BOC＝ 2∠AOB，∠AOB＝ ∠AOC＋ ∠BOC ＝2 ∠AOC＝2 ∠BOC。 例 2 如图 6-42，∠ABC＝90 °，∠CBD＝30 °，BP 平分∠ABD。求 ▶ ∠ABP的度数。 C P D 解：因为∠ABD＝ ∠ABC＋ ∠CBD ＝90 ° ＋30 ° ＝120 °， 又因为BP平分∠ABD， B A 1 1 所以∠ABP＝ ∠ABD＝ × 120 ° ＝60 °。 图6-42 2 2 第6章 图形的初步知识 185课内练习 KENEILIANXI 1. 已知∠α，∠β（如图），用量角器作∠α－ ∠β。 B β A C α O （第1题） （第2题） 2. 如图，点O在直线AC上，∠AOB＝55 °。用量角器作出∠BOC的平 分线OD，并计算∠AOD的度数。 作业题 ZUOYETI A组 1. 如图，已知∠AOB。用量角器作∠AOB的平分线。 2. 如图，已知∠α。用量角器作一个角β，使∠β＝2 ∠α。 B A D C A O α O B （第1题） （第2题） （第3题） 3. 根据图形填空： （1） ∠AOB＝ ∠AOC＋ ； （2） ∠AOD＝ ∠AOB－ ＝ － ∠COD； （3） ∠AOC＋ ∠BOD－ ∠AOB＝ 。 4. 如图，∠ABC＝60 °，∠ABD＝145 °，BE平分∠ABC。求∠DBE的 度数。 C G B D E F A C A B E （第4题） （第5题） B组 5. 如图，E是直线AC上一点，EF，EG分别是∠AEB，∠BEC的平分 线。求∠GEF的度数。 6. 用一副三角板，你能画出哪些度数的角？请把它们画出来。 186 数学 七年级上册66..88 余余角角和和补补角角 台球桌面上，A球受击打后的运动 A 轨迹如图。若∠α为30 °，则入射角、反射 反射角 入射角 角、∠β分别为多少度（入射角与反射角 β α 相等）？ 如图6-43，在Rt∠AOB的内部画射线OC，则有∠ 1＋ ∠ 2＝ Rt∠AOB。 ∠ 3＋ ∠ 4与Rt∠AOB相等吗？怎样判断？ A C 1 2 3 O B 4 图6-43 如图6-44，类似地，在平角∠AOB的内部画射线OC，则有∠AOC＋ ∠BOC＝ ∠AOB。∠α＋ ∠β与平角∠AOB相等吗？怎样判断？ C β A O B α 图6-44 如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互 余，也可以说其中一个角是另一个角的余角（ complementary angle ）。例如， 图6-43中，∠ 1与∠ 2互为余角，∠ 1是∠ 2的余角，∠ 2也是∠ 1的余角。∠ 3 与∠ 4呢？ 如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补， 也可以说其中一个角是另一个角的补角（ supplementary angle ）。例如，图 6-44中，∠AOC与∠BOC互为补角，∠AOC是∠BOC的补角，∠BOC也是 ∠AOC的补角。∠α与∠β呢？ 第6章 图形的初步知识 187做一做 ZUOYIZUO 1. 如图，已知∠ 1＝42 °，∠ 2＝138 °，∠ 3＝48 °。图中有没有互余或互补 的角？若有，请把它们写出来，并说明理由。 C 2 D 3 1 A O B （第1题） （第2题） 2. 如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝ Rt∠，OD是∠BOC内的一条 射线。图中有哪些角互补？有哪些角互余？请说明理由。 3. 填空： （1） ∠α的余角＝90 ° － ； （2） ∠β的余角＝ － ∠β。 从上面“做一做”第3题可以看出，当∠α＝ ∠β时，就有∠α的余角与∠β 的余角相等，也就是说， 同角或等角的余角相等。 同样可以得到： 同角或等角的补角相等。 例1 如图6-45，已知∠AOC＝ ∠BOD＝ Rt∠。指出图中还有哪些角 ▶ 相等，并说明理由。 解：在图6-45中，∠AOB＝ ∠COD。理由如下： C 因为∠AOC＝ ∠BOD＝ Rt∠， D 所以∠AOB＋ ∠BOC＝ Rt∠， B ∠COD＋ ∠BOC＝ Rt∠， O A 即∠AOB与∠COD都是∠BOC的余角， 图6-45 所以∠AOB＝ ∠COD（同角的余角相等）。 188 数学 七年级上册例2 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数。 ▶ 解：设这个角为x度，则这个角的余角是（90－x）度，补角是（180－x）度。 由题意，得180－x＝4（90－x）， 解方程，得x＝60。 所以这个角的度数为60 °。 课内练习 KENEILIANXI 1. 已知∠α＝60 ° 32′，∠α的余角是多少度？∠α的补角是多少度？ 2. 如图，吊桥桥面与铅垂方向所成的角∠α＝30 °。 若要把吊桥放平，则吊桥需沿什么方向转动？转 30 动多少度？ ° 3.（1）已知∠α的余角是∠α的2倍，求∠α的度数。 （2）已知∠ 1的补角是∠ 1的3倍，求∠ 1的度数。 （第2题） 探究活动 TANJIUHUODONG 如图6-46，射线OA表示北偏西30（ ° 一般不说成“西偏北60 °”）方向，你能 用类似的方法画图表示下列各方向吗？ （1）北偏东40 °； （2）南偏西50（ ° 一般不说成“西偏南40 °”）； （3）东南方向（即南偏东45 ° ）。 A O 图6-46 在图6-46中画出上述方向后，请用数字或希腊字母标注图中互余或互补 的角，并把它们列举出来（只需分别列举出两对）。 第6章 图形的初步知识 189作业题 ZUOYETI A组 1. 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）一个锐角的补角一定是钝角； （2）如果两个角互补，那么这两个角中，一个是锐角，另一个是钝角； （3）如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角一定比这 个角的补角小。 2. 已知∠α＝25 ° 42′，分别求∠α的余角和补角的度数。 3. 已知一个角的补角是它的余角的2 . 5倍，求这个角的度数。 4. 如图，已知∠α。利用三角尺画出下列各角。 （1） ∠α的补角； α （2） ∠α的余角。 （第4题） B组 5. 一副三角板按图中的四个位置摆放，则其中∠α和∠β具有怎样的 数量关系？分别是互余、互补还是相等？ α β α β ① ② α α β β ③ ④ （第5题） 6. 如图，Rt∠COD的顶点O在直线AB上。图中有没有互余的角？为 什么？ C D A B O （第6题） 190 数学 七年级上册综合实践活动 设计小小阅读角 为了方便同学阅读与交流，学校或班级常常会利用走廊旁边、楼梯拐角、教室 后边等空间，开辟一个或数个有主题的小小阅读角。如图6-47是一些班级的阅读 角照片。 ① ② ③ 图6-47 观察阅读角并思考以下问题：从书架中可以抽象出哪些几何图形？书架的内 部结构与书本形状、大小有什么关系？设计阅读角需要考虑哪些因素？如何选择 合适的位置？等等。请在学校或班级选择一个适合开辟阅读角的空间，确定能体 现本校或本班同学阅读特色的主题，综合运用数学、文学、美术、信息科技等学科知 识，设计一个能体现阅读主题、增加阅读氛围的小小阅读角。 任务 1. 考察场地：观察已有阅读角的整体布局、书架形状，归纳其中涉及哪些数学 元素。考察学校或班级，选择一个可以开辟阅读角的空间。 2. 测量设计：测量所选空间大小以及图书尺寸，设计阅读角整体布局，按适当 比例分别画出阅读角整体布局和书架的设计草图，标注尺寸。 3. 方案论证：走访家具商店或家具厂，了解制作书架、桌椅的选材要求，估算 所需制作费用，修改完善设计方案。 4. 撰写报告：梳理设计方案、成本预算、材料建议等，形成报告。 5. 展示交流：以小组为单位，通过演示文稿、设计图或模型等形式，与全班同 学分享阅读角设计的研究过程与成果。 评价与反思 评价：对本组和其他各组的研究过程及成果进行评价，提出改进建议。 反思：以小组为单位，根据展示过程中的评价与反馈，优化本组研究报告。 第第66章章 图图形形的的初初步步知知识识 191小结与反思 一、知识梳理 本章在小学学过的图形知识的基础上，进一步学习常见的几何图形，它们都是 从具体物体中抽象出来的。图形的形状、大小和位置关系是几何研究的主要内容， 线、角等基本元素及其关系是描述几何图形、研究图形大小及相互关系的基础。联 系、量化、类比是本章学习和解决问题时常用的思想方法。 本章学习流程和知识结构如下： 概念与表示 直线 基本事实：两点确定一条直线 射线 概念与表示 概念与表示 立体图形 基本事实：两点之间线段最短 几何图形 平面图形 线段 线段的长短比较 线段的和差 线段的中点 概念与表示 角的度量 角 角的大小比较 角的和差 角平分线 余角和补角 二、回顾与反思 1. 点、线、面、体是什么图形？举几个可以抽象为平面图形或立体图形的实际例子。 2. 线段、射线和直线有哪些联系与区别？直线和线段有哪些基本事实？这些 基本事实有哪些应用？ 3. 从角的组成要素、形成过程说一说：角是怎样的图形？有哪些基本度量单 位？怎么换算？ 4. 学习角与线段有哪些类似的地方？ 5. 在本章学习中，你还获得了哪些解决问题的方法和经验？有哪些需要提醒 自己和同学注意的问题？ 192 数学 七年级上册目标与评定 A 目标 61节 . ★通过实验和模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念。 1. 从这幅图片中，你观察到哪些几何图形？ （第1题） 2. 圆柱表面有哪些面？说出两个你所熟悉的、形状是圆柱的物体。 B 目标 62节 63节 64节 . . . ★会比较线段的长短，理解线段的和、差以及线段中点的意义。 ★掌握基本事实：两点确定一条直线。 a ★掌握基本事实：两点之间线段最短。 b ★理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离。 3. 记长方形的长为a，宽为b（如图）。 （第3题） （1）用直尺和圆规作长与宽的差。 （2）比较a与2b的大小，并说明你是怎样比较的。 4. 上海东方明珠广播电视塔建成于1994年，是当时亚洲第 一、世界第三高塔。塔下端三根斜柱共同支撑的球状建 筑的直径是50米。你能根据右图估计出上海东方明珠 广播电视塔的大致高度吗？你是怎样估计的？ （第4题） 第6章 图形的初步知识 1935. 如图，C为线段AB的中点，点D分线段AB的长度为3∶2。已知CD＝7 cm，求AB 的长。 A C D B （第5题） 6. 已知数轴上点A，B，C所表示的数分别是＋4，－6，x（x＜0）。 （1）求线段AB的长。 （2）求线段AB的中点D所表示的数。 （3）若AC＝8，求x的值。 （4）求线段OD（O为原点）的长。 C 目标 65节 66节 67节 68节 . . . . ★理解角的概念，能比较角的大小，认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简 单的单位换算，会计算角的和、差。 ★理解角平分线的概念。 ★理解余角和补角的概念，探索并掌握同角（或等角）的余角相等、同角（或 等角）的补角相等的性质。 D 2 C 1 7. 图中有哪些角？请用恰当的方式把它们表示出来，并 α β 按直角、锐角、钝角将它们分类。 A B 8. 如图，先估计登楼梯者大腿与小腿之间所成的角α、楼 （第7题） 梯的倾斜角β分别是多少度，然后用量角器测量出这两 个角的度数，算一算你的估计值与实测值相差多少度。 9. 计算： αα （1）90 ° －40 ° 56′； （2）38 ° 45′＋72 . 5 ° （结果用度表示）。 β 10. 已知一个角的补角是它的余角的3倍，求这个角的 （第8题） 度数。 D 11. 如图，OD是∠AOB的平分线，∠AOC＝2 ∠BOC， A C ∠COD＝21 ° 20′，求∠AOB的度数。 B O （第11题） 194 数学 七年级上册D 目标 ★初步具有综合运用知识解决实际问题的能力。 12. 如图，A地和B地都是海上观察站。在A地观察，船P在北偏东60 °方向；在B 地观察，船P在北偏西50 °方向。 （1）试在图中画出船P的位置。 （2）船P离A，B两个观察站哪个近？ A B （第12题） 13. 一根竹竿插入水池底部的淤泥中（如图），竹竿的入泥部 1 1 分占全长的 ，淤泥以上的入水部分比入泥部分长 米， 5 2 13 露出水面部分为 米。竹竿有多长？水有多深？请画 10 一条线段表示竹竿，并在线段上标出上述各部分。 （第13题） 第6章 图形的初步知识 195后 记 本套教科书吸收了我国基础教育和课程教材研究的经验，继承前两 版教科书的精华，又汲取了近阶段基础教育课程改革和最新研究成果，凝 聚着数学教育专家、教学研究人员和一线教师的集体智慧。 教材编写团队对教科书的结构、体系、内容及文字等做了大量辛勤、 认真的工作，力求使本套教科书能充分落实《义务教育数学课程标准 （ 年版）》的理念，以核心素养为导向，进一步强调学生获得数学基本 2022 知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，发展运用数学知识与方法发 现、提出、分析和解决问题的能力，注重反映社会进步对学校数学的新要 求，并适当体现现代的、新的教学思想和教学方法，为学生提供数学活动 和自主学习的空间。编写者还提供了丰富的课程资源，努力使本套教科 书具有较强的时代感和拓展性。 本套教科书的编写，得到前版副主编岑申、核心作者金才华等老师的 大力支持，他们提供了宝贵的经验。我们还得到全国许多专家、学者和中 学一线教师的帮助和支持，对此，我们深表感谢。 为了编好这套教科书，我们在教科书中引用了不少资料和图片，得到 了原作者的支持，对此我们也诚挚地表示感谢。 欢迎您对本书的内容、栏目、装帧、印刷质量等提出意见或建议，我们 将认真对待并努力改进。我们的联系方式是：信件寄送至浙江省杭州市 环城北路 号浙江数字出版大楼 层，浙江教育出版社沈老师；也可以 177 20 发送电子邮件到 ；或致电 。 82514130@qq.com 0571 88909737 - 浙江教育出版社义务教育教科书 数 学 七年级上册 YIWUJIAOYUJIAOKESHU SHUXUE QINIANJISHANGCE 项目统筹 何黎峰 责任编辑 华 琼 沈子清 责任校对 余晓克 美术编辑 钟吉菲 责任印务 陆 江 出 版 浙江教育出版社 （杭州市环城北路177号 电话：0571 88909737） - 发 行 浙江省新华书店集团有限公司 图文制作 杭州兴邦电子印务有限公司 审 图 号 浙（ ） 号 GS 2024 70 印 刷 浙江新华数码印务有限公司 开 本 787mm 1092mm 1/16 × 印 张 12.75 字 数 255000 版 次 2024年8月第1版 印 次 2024年8月第1次印刷 标准书号 ISBN978-7-5722-8195-2 定 价 12.57元 定价批准文号：浙发改价格〔 〕 号、〔 〕 号、 举报电话： 、 2019 319 2020 331 12345 12315 版权所有·未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本书任何部分·违者必究 如对本书的内容、图片等有所反馈，请拨打电话0571 88909737，88900061 - 或发送邮件至82514130@qq.com。 如发现印、装质量问题，影响阅读，请与承印厂联系调换。电话：0571 85155604 -