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高三数学参考答案
题序 ! # $ % & ’ ( " ) !* !! !# !$ !%
"!
!! #
# #!/#1%
答案 + , + - , . - . -+. ,- ,+. %槡# %#!
$ $
/0
!评分细则"
%!&第!""题#凡与答案不符的均不得分"
%#&第)#!!题#全部选对的得’分#有选错的不得分#每选对一个得#分!第!*题#全部选对的
得’分#有选错的不得分#每选对一个得$分"
!
%$&第!#题第一空#分#第二空$分#第二空的答案也可以写为 !" "
#
%%&第!$题#其他结果均不得分"
%
%&&第!%题第一空#分#第二空$分#第二空的答案也可以写为 "#!1!$"
$
!"+!!解析"本题考查复数的运算与复数的概念#考查数学运算的核心素养"
#2$/%31"21&/%3#其实部为1&"
#",!!解析"本题考查等差数列#考查数学运算的核心素养"
!#4"%/% $
$ 2 ! !# 2’"%/% $2’"
!# # # !!
$"+!!解析"本题考查集合的并集与交集#考查逻辑推理的核心素养"
由题意得%#&#!#’#"#’#则&可能为’!#’#((#不可能为’!#%#’(#’不可能为’*#%#"(
和’!#%#(("
%"-!!解析"本题考查函数的奇偶性与函数的图象#考查直观想象与逻辑推理的核心素养"
因为("1)$2"1)$#"#1)1#)$21(")$")$!$#所以(")$为奇函数#其图象关于原点对
$
称#排除,与+"因为("!$2 "*"!$#所以排除.5故选-"
#
&",!!解析"本题考查椭圆的定义与离心率#考查逻辑推理与直观想象的核心素养"
由槡)#/"+/!$#/槡)#/"+1!$#2!*#得点,到"*#1!$#"*#!$这两个点的距离之和为
!*"由椭圆的定义可知#点,的轨迹是以"*#1!$#"*#!$为焦点#!*为长轴长的椭圆#则-2
- !
!##%2!*#所以点,的轨迹的离心率为 2 "
% &
’".!!解析"本题考查简单几何体的棱数与面数#考查直观想象与数学运算的核心素养"
因为正四棱锥的棱数与面数分别为"#&#正三棱台的棱数与面数分别为)#&#所以""# $2"
%
/&2!$#""$$2)/&2!%#所以""# $%""$$#,#+均错误"同理可得""$$2###""$$
$ % $ & ’
2#’#""# $2#!/!/!2$!/!#因为$4(/!2###$!/!2#’无正整数解#所以不存在
!
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$%
!"#$$%&
书书书# #使得""# $2""$$#存在# #使得""# $2""$$#-错误#.正确"
! ! ’ ! ! &
("-!!解析"本题考查二项式定理#考查逻辑推理与数学运算的核心素养及分类讨论的数学
思想"
" !$& "!$/
由题意可知"%1!$4#&2’%#得%2$#)/ 的展开式的通项. 2+/)&1/ 2
) //! & )
+/)&1#/"/2*#!###$#%#&$"令&1#/2!#得/2##令&1#/21!#得/2$#故该展开式的常
&
$
数项为 )+#)1))+$)1!2#*"
) & &
"".!!解析"本题考查圆与平面向量的交汇#考查直观想象与数学运算的核心素养"
’’& ’’& ’’& ’’& ’’& ’’& ’’& $’’& !’’&
设&")#+$"由0&2#&1#得2&1202#"2112&$#即212 2&1 20#所以点1
# #
"$ $ $ "$ $# "$ $# " #$#
的坐标为 )1!#+ "因为点1在圆2上#所以 )1! / + 2%#即 )1 /
# # # # $
!’ "# $ %
+#2 #则点&的轨迹是以, #* 为圆心# 为半径的圆"因为点’在圆,的外部#所以
) $ $
"# %$
(&’(的最小值为$1 / 2!"
$ $
)"-+.!!解析"本题考查双曲线的几何性质#考查数学运算与逻辑推理的核心素养"
因为%#2%#3#2’#-#2%/’2!*#所以%2##32槡’#-2槡!*#所以%的虚轴长为#槡’#实轴
3 槡’
长为%#焦距为#槡!*#渐近线方程为+26 )26 )#,错误#-#+#.均正确"
% #
!*",-!!解析"本题考查立体几何初步的综合#考查直观想象与数学运算
的核心素养及空间想象能力"
在正三棱柱0145014 中#00 )底面014#则00 )46"因为6
! ! ! ! !
为棱01的中点#所以46)01"又00 *0120#所以46)平面
!
0110 "因为46+平面467#所以平面467)平面0110 #,正
! ! ! !
确"取棱04的中点&#设四面体0467外接球的球心为2#连接2&#
! ! $
6"易知2&)底面014#6&2 142!#2&2 672 #所
# # #
!$
以26#26&#/2 #所以四面体0467外接球的表面积为!$!#
%
-正确"直线47与直线01 异面#+错误"
! !
设67与01 交于点8#07与01 交于点9#47与84 交于点:#连接9:#则四面
! ! ! ! !
体0467与正三棱柱0145014 的公共部分为三棱台9:85046#,046的面积$2
! ! !
! 槡$ 槡$ 98 87 $1# ! "!$# 槡$
4 4##2 "因为 2 2 2 #所以,9:8的面积为 $2 #所以三
# % # 06 67 $ $ $ !"
! "槡$ 槡$ 槡$ 槡$$ !$槡$
棱台9:85046的体积;2 4#4 / /槡 4 2 #.错误"
$ # !" # !" #(
!!",+.!!解析"本题考查新定义$函数的性质与最值#考查数学抽象$逻辑推理及数学运算的
!高三数学"参考答案!第!!!!#页#共"页$%
!"#$$%&核心素养"
#) #) #
易知+2 是!上的奇函数#其图象关于原点对称#当)"*时#*%+2 2
)#/! )#/! !
)/
)
# 1# #)
- 2!#当)%*时#*"+2 .1!#所以+2 的最大值与最小值的差为##
# ! )#/!
1)/
1)
#)
所以+2 是!上的完美函数#,正确"
)#/!
若(")$是6上的完美函数#则(")$在6上的最大值与最小值的差不大于##则+2
#(")$在6上的最大值与最小值的差可能大于##则*")$2#(")1!$不是6上的完美函
数#-错误"
!
易证+278槡槡)#/!1)2 78"槡)#/!1)$是奇函数#因为78"槡)#/!1)$2
#
178"槡)#/!/)$#所 以 +278槡槡)#/!1) 在 **#%)+上 单 调 递 减#所 以 +2
! !
78槡槡)#/!1)在*1%)#%)+上的最小值为1 78"槡%)#/!/%)$#且*"1 78"槡%)#/!
# #
!
/%)$"1 78"&!/%)$21!#所以+278槡槡)#/!1)在*1%)#%)+上的最大值与最小值
#
的差小于##则该函数是*1%)#%)+上的完美函数#+正确"
设9")$2)$1$)#/#"*-)-#$#则9<")$2$)#1’)2$)")1#$-*#则9")$为减函
数#则9")$ 19")$ 29"*$19"#$2%#
9:; 93<
又9"#1)$2"#1)$$1$"#1)$#/#21)$/$)#1#219")$#所以9")$的图象关于点
" !$
"!#*$对称#所以存在%$ *# #使得=")$2%")$1$)#/#$"%/*$是**##+上的完美函
#
数#.正确"
"! $
!#"!! #/0 !!解析"本题考查三角函数的性质#考查数学运算与逻辑推理的核心素养"
#
#! " ! $ !
(")$的最小正周期.2 2!"由)$ 1 #* #得#)/!$"*# ! $#依题意可得 !" "
# # #
!$"%槡#!!解析"本题考查对数函数与定点问题#考查逻辑推理与数学运算的核心素养"
令)#1#)1#2!#得)21!或)2$#所以这两个定点的坐标为"1!#1!$#"$#$$#故(01(
2槡%#/%#2%槡#"
#!/#1%
!%"%#! !!解析"本题考查导数的几何意义与数列的综合#考查逻辑推理与数学运算的
$
核心素养"
由+2)$#得+<2$)##则曲线+2)$在点"#!#"!$"!$"0$处的切线方程为+1"!2$)"#!$#)
#!/! #!/! *!#"+
")1#!$"令+2*#得)2 #所以%2 #则*%+2 2%##
$ ! $ ’ $
!高三数学"参考答案!第!!!!$页#共"页$%
!"#$$%&! ##1#!/# #!/#1%
$2 4 2 "
! $ !1# $
!&"!解析"本题考查相互独立事件的概率及离散型随机变量的数字特征#考查数学运算与逻辑
推理的核心素养及应用意识"
解,分别用>#?#@表示猜对歌曲,#-#+歌名的事件#则>#?#@相互独立"
"!$用6表示事件-该嘉宾未获得猜歌曲+歌名的资格.#则,"6$2,">$/,">?$2!1
*")/*")4"!1*"($2*"$("////////////////////////&分
"#$A的可能取值为*#"**##"**#’"**#///////////////////’分
,"A2*$2,">$2!1*")2*"!#//////////////////////(分
,"A2"**$2,">?$2*")4"!1*"($2*"#(#////////////////"分
,"A2#"**$2,">?@$2*")4*"(4"!1*"#$2*"&*%# ///////////)分
,"A2’"**$2,">?@$2*")4*"(4*"#2*"!#’# /////////////!*分
则A的分布列为
A * "** #"** ’"**
, *"! *"#( *"&*% *"!#’
////////////////////////////////////!!分
7"A$2*4*"!/"**4*"#(/#"**4*"&*%/’"**4*"!#’2#%"%"//////!$分
!评分细则"
%!&第"!$问还可以用间接法求解,"6$2!1,">?$2!1*")4*"(2*"$("
%#&第"#$问中#未写A的可能取值为*#"**##"**#’"**#但后面,"A2*$#,"A2"**$#
,"A2#"**$#,"A2’"**$的计算都正确#不扣分#计算7"A$时#未体现*4*"!#而是写
为-7"A$2"**4*"#(/#"**4*"&*%/’"**4*"!#’2#%"%.#不扣分"
!’"!解析"本题考查直线与抛物线#考查数学运算与逻辑推理的核心素养"
"B $
"!$解,依题意可得9 #* "////////////////////////!分
#
B
#
因为焦点9到直线+2)的距离C2 2槡##////////////////$分
槡#
所以B26%" //////////////////////////////%分
又B"*#所以B2%#则4的准线方程为)21#" ///////////////’分
"#$证明,由"!$得4的方程为+#2")"依题意得直线D的斜率不可能为*#则可设直线D的
方程为)2E+/""////////////////////////////(分
设0")#+$#1")#+$#将)2E+/"代入+#2")#得+#1"E+1’%2*#////)分
! ! # #
则&2’%E#/’%4%"*恒成立#//////////////////////!*分
++21’%"//////////////////////////////!!分
! #
因为+#+#2"))")#//////////////////////////!#分
! # ! #
"++$#
所以))2 ! # 2’%# ////////////////////////!$分
! # ’%
!高三数学"参考答案!第!!!!%页#共"页$%
!"#$$%&’’& ’’&
所以20)212))/++2*# /////////////////////!%分
! # ! #
所以20)21"/////////////////////////////!&分
!评分细则"
%!&第"!$问中#准线方程还可以写为-)/#2*."
%#&第"#$问中#得到++21’%后#也可以由+/+2"E#))2"E+/"$"E+/"$2
! # ! # ! # ! #
E#++/"E)"+/+$/’%#得到))2’%"
! # ! # ! #
!("!解析"本题考查解三角形与三角恒等变换#考查数学运算与逻辑推理的核心素养"
(槡#
解,"!$因为=:<42(#>3<4"*#所以>3<42 " //////////////!分
!*
(槡#
又>3<"0/1$2>3<"!14$2>3<42 #//////////////////#分
!*
2 槡#
>3<"011$2>3<0?@>11?@>0>3<12 #
!*
所以1 //////////////%分
(槡#
>3<"0/1$2>3<0?@>1/?@>0>3<12 #
3 !*
#槡#
解得>3<0?@>12 "//////////////////////////&分
&
$槡# =:<0 >3<0?@>1 %
"#$由"!$知?@>0>3<12 #则 2 2 #///////////’分
!* =:<1 ?@>0>3<1 $
(
=:<1
% =:<0/=:<1 $
则=:<02 =:<1#=:<421=:<"0/1$21 21 2(# //
$ !1=:<0=:<1 %
!1 =:<#1
$
///////////////////////////////////(分
$
解得=:<12!或=:<121 "///////////////////////"分
%
!
因为,014为锐角三角形#所以1为锐角#所以=:<12!#则12 " //////)分
%
#槡# ! %
"$$由>3<0?@>12 及12 #得>3<02 "///////////////!*分
& % &
% -
由正弦定理得 2 2#F#其中F为,014外接圆的半径#
>3<0 >3<4
所以%2#F>3<0#-2#F>3<4#//////////////////////!!分
! % 槡# (槡# #"
,014的面积$2 %->3<12#F#>3<0>3<1>3<42#F#4 4 4 2 F#2(#/
# & # !* #&
//////////////////////////////////!$分
&
解得F2 # //////////////////////////////!%分
#
所以,014外接圆的周长为#!F2&!"///////////////////!&分
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!"#$$%&!评分细则"
"槡# (槡#$ 槡# %
第"$$问中#还可以由>3<02>3<*1/"011$+2 / 4 #求得>3<02 "
!* !* # &
!""!解析"本题考查函数的零点与导数的应用#考查逻辑推理与数学运算的核心素养"
解,"!$当%2!时#(")$2A)1%)#(<")$2A)1%"///////////////!分
当)$"*#7<%$时#(<")$%*#则(")$的单调递减区间为"*#7<%$!////////#分
当)$"7<%#/0$时#(<")$"*#则(")$的单调递增区间为"7<%#/0$"/////$分
"#$当%2#时#(")$2A)1%)##(<")$2A)1")#(G")$2A)1"" ////////%分
当)$"*#7<"$时#(G")$%*#(<")$单调递减!
当)$"7<"#/0$时#(G")$"*#(<")$单调递增"///////////////&分
而(<"*$2!"*#(<"7<"$2"1"7<"%*#(<"%$2A%1$#"*# //////////’分
所以存在唯一的)$"*#7<"$#使得(<")$2*#存在唯一的)$"7<"#%$#使得(<")$2
! ! # #
*#所以(")$在)2) 处取得极大值#在)2) 处取得极小值#故(")$极值点的个数为#"
! #
///////////////////////////////////"分
$ $
"$$当%2 时#9")$2(A)1%)#(1)#显然9"*$2!/*#
#
A)
令9")$2*#由)"*可得 1%槡) 2!"//////////////////)分
)
A) A)")1!$ # !*A)")1!$ +
令*")$2 1%槡)#则*<")$2 1 2 1# "/////!*分
) )# 槡) 槡) ) $ #
& $ !
A))#1 A)")1!$)#
A)")1!$ # A)" $ $$
令=")$2 1##则=<")$2 2 )#1 )/ "*#//
$ )$ & # #
)# )#
//////////////////////////////////!#分
A#
则=")$在"*#/0$上单调递增"又="!$21#%*#="#$2 1#"*#
#槡#
所以=")$存在唯一零点)$"!##$"////////////////////!$分
*
当)$"*#)$时#*<")$%*#*")$单调递减!当)$")#/0$时#*<")$"*#*")$单调递
* *
增" //////////////////////////////////!%分
又因为*"!$2A1%%1!#所以*")$的最小值*")$%1!"//////////!&分
*
"!$ !
因为* 2%A%1#"!#所以方程(*")$(2!在"*#)+上有两个解"
% *
A%
同理#*"%$2 1""!#所以方程(*")$(2!在")#/0$上也有两个解"
% *
综上#9")$零点的个数为%"////////////////////////!(分
!评分细则"
%!&第"!$问中#若写为-当)$"*#7<%$时#(<")$%*#(")$单调递减#当)$"7<%#/0$时#
(<")$"*#(")$单调递增.#扣!分"
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!"#$$%&%#&第"#$问中#得到(<")$的单调区间后#写为-(<"*$"*#(<"7<"$%*#(<"%$"*#所以
(<")$有且仅有#个变号零点#故(")$极值点的个数为#.#不扣分"
%$&第"$$问中#在判断=")$的零点所在区间时#不取="#$"*#也可以取其他值使得=")$
"*#或者写为-当)&/0时#=")$&/0.#不扣分"对于*")$的分析也一样#可以不取
"!$
* 和*"%$这两个值#而取其他使*")$"!的值#但两次取值的自变量必须分别要在)
% *
的左右两边#也可以不取具体的值#写为-当)&*/时#*")$&/0#当)&/0时#*")$&
/0.#不扣分"
!)"!解析"本题考查空间向量与立体几何$计数原理与古典概
型#考查空间想象能力与推理论证能力"
"!$证明,由题意知#平面0110 4平面4664#平面
! ! ! !
,AF$*平面0110 2,A#
! !
平面,AF$*平面46642F$#则,A4F$#//!分
! !
同理可得,$4FA#则四边形,AF$为平行四边形#//
/////////////////////#分
则,A2F$#则,A#2F$##所以%#/"%13$#2%#/"C1
-$##所以(%13(2(C1-("/////////////////////////$分
"#$解,由"!$知%132C1-或%132-1C#则%/-23/C或%/C23/-"
同理可得(%1C(2(31-(#%1C231-或%1C2-13#则%/-23/C或%/32-/C"
因为四边形,AF$为平行四边形#所以(%13(2(C1-(且(%1C(2(31-(#
所以%/-23/C" ////////////////////////////%分
以6为坐标原点#60#64#66 所在直线分别为)#+##轴建立如图所示的空间直角坐标
!
系#则,"%#*#%$#F"*#%#-$#$"*#*#C$"///////////////////&分
’’& ’’&
因为%/-2%#所以$,2"%#*#%1C$#$F2"*#%#%1%1C$"
’’&
’!)$,2%)/"%1C$#2*#
设平面"的法向量为!2")#+##$#所以
’’&
!)$F2%+/"%1%1C$#2*#
令#2%#得!2"C1%#C/%1%#%$"/////////////////////’分
又因为"2"*#*#!$为平面0146的一个法向量#
(")!( %
所以?@>’2 2 "/////////////(分
("((!( 槡"C1%$#/"C/%1%$#/!’
设D2"C1%$#/"C/%1%$#2"C1#/#1%$#/"C1#/%1#$#2#*"%1#$#/"C1#$#+#
///////////////////////////////////"分
因为%/-2%#所以%$**#%+#C$**#%+#当%232-2C2#时#D取得最小值*#此时?@>’
槡#
2!#当%2C2*#32-2%时#D取得最大值!’#此时?@>’2 #/////////)分
#
*槡# + * !+
所以?@>’$ #! #故’的取值范围是 *# "///////////////!*分
# %
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!"#$$%&"$$"#$证明,不妨设%-3-C--#过点,作平面 (4平面0146#平面
(
分别与棱11
!
#
44#66 交于点A#F#$#连接A$#A$#
! ! ! ! ! !
则;2; /; /; /; //////////////!!分
01465,A!F!$! A5,A!F!$! A5,$$! A5FF!$!$
!’ ! ! ! !
2!’%/ "31%$/ 4 "C1%$4%4%/ 4 "C1%/-1%$4%4%
$ $ # $ #
"
2 "%/-/#3/#C$2""%/-$#
$
;
所以 2"#为定值"//////////////////////////!$分
%/-
"$$解,设%/-23/C2H#因为%#3#-#C$**#%+#且%#3#-#C均为非负整数#所以H$##
且H$**#"+"
当H$**#%+时#%可取*#!###/#H#共"H/!$种情况#3可取*#!###/#H#共"H/!$种情况#
则"%#3#-#C$共有!#/##/$#/%#/&&组# ///////////////!%分
当H$*&#"+时#%可取H1%#H1$#H1##/#%#共")1H$种情况#3可取H1%#H1$#H1##/#
%#共")1H$种情况#则"%#3#-#C$共有%#/$#/##/!#2$*组"/////////!&分
当%232-2C2*#%232-2C2%时#平面"不能将正方体014650146 分割成两
! ! ! !
部分#所以共有&&/$*1#2"$种分割方式"/////////////////!’分
因为;2""%/-$2#%#所以%/-2$#%可取*#!###$#3可取*#!###$#则"%#3#-#C$共有
!’
!’组#故;2#%的概率,2 "//////////////////////!(分
"$
!评分细则"
%!&第"!$"#$问中#证得四边形,AF$为平行四边形后#可用建立空间直角坐标系的方法求
’’& ’’&
解#由,A2$F#得到31%2-1C#则(%13(2(C1-(#这也能快速得到%/-23/C"
%#&第"#$问共(分#若写成-当%232-2C2##即"与平面0146平行时#’2*!当%2C
! * !+
2*#32-2%时#’2 "故’$ *# .#扣$分#得%分"
% %
%$&第"$$"$$问还可以用下列方法得到"$种分割方式,
当%/-2!时#有#4#2%种!当%/-2#时#有$4$2)种!
当%/-2$时#有%4%2!’种!当%/-2%时#有&4&2#&种!/////////!%分
当%/-2&时#有%4%2!’种!当%/-2’时#有$4$2)种!
当%/-2(时#有#4#2%种"///////////////////////!&分
所以共有%/)/!’/#&/!’/)/%2"$种分割方式"/////////////!’分
!高三数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$%
!"#$$%&
