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2024-2025 学年高二上数学开学考试模拟卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．（23-24高一下·湖南·期末）已知 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．5
2．（23-24高一下·山东枣庄·月考）在 中，已知 ， ， ，则 等于（ ）
A．2 B． C． D．1
3．（23-24高一下·湖南怀化·期末）连续投掷一枚质地均匀骰子两次，这枚骰子两次出现的点数之积为奇
数的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·湖北十堰·期末）某公司在职员工有1200人，其中销售人员有400人，研发人员有600
人，现采用分层随机加样的方法抽取120人进行调研，则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多（
）
A．20 B．30 C．40 D．50
5．（23-24高一下·江西赣州·期末）如图， 是水平放置 的直观图，其中 ，
轴， 轴，则 的周长为（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知数据 的平均数 ，方差 ，则
的平均数 和方差 分别为（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24高一下·安徽蚌埠·月考）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了
已知三角形三边长求其面积的公式，求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂
乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积”翻译成公式，即，其中 ， ， 分别为 中角 ， ， 的对边， 为
的面积．现有面积为 的 满足 ，则其内切圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图，圆台 的轴截面是等腰梯形 ， ，
为下底面 上的一点，且 ，则直线 与平面 所成角的正切值为（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高一下·山西大同·期末）已知事件 ，且 ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 ，则 B．若 与 互斥，则
C．若 与 相互独立，则 D．若 与 相互独立，则
10．（23-24高一下·河南郑州·期末）人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，
常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平．下图为2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可
支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则（ ）
A．2018～2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增B．2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增
C．2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差小
D．2018～2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为21180元
11．（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的
正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面
也恰好过点P（图2），则（ ）
A．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满
B．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
C．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P
D．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知复数 在复平面内对应的点位于第二象限，
则 的取值范围是 ．
13．（23-24高一下·河北保定·期末）在山脚A测得山顶P的仰角 ，沿倾斜角 的公路向上走
600m到达B处，在B处测得山顶P的仰角 ，如图，若在山高的 处的点S位置建造下山索道，则此
索道离地面的高度为 m.
14．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知向量 ， ，若 ，则
．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（23-24高一下·河南周口·期末）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作，若某市经过初次选拔后有小明､小王､小红三名同学成功进入决赛，在决赛环节中三名同学同时解答
一道试题.已知小明正确解出这道题的概率是 ，小明､小红两名同学都解答错误的概率是 ，小王､小红
两名同学都正确解出的概率是 .设小明､小王､小红正确解出该道题分别为事件 ， 三个事件
两两独立，且 .
(1)求三名同学都正确解出这道题的概率；
(2)求小王正确解出这道题的概率.
16．（23-24高一下·安徽阜阳·期中）已知 ， ， 分别为 三个内角 ， ， 的对边，且
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ，求 的面积．
17．（23-24高一下·河南商丘·期末）如图，在正三棱柱 中， ，E，P分别为棱AC，BC
的中点，且 .
(1)证明： 平面 ；
(2)求三棱柱 被平面 截得的两部分的体积.18．（21-22高一下·山东临沂·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，
既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办
了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成
绩均为不低于40分的整数）分成六段： ， ，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在 的平均成绩是54，方差是7，落在 的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的
总平均数和总方差.
19．（23-24高一下·重庆·期末）对于数集 ，其中 ， ，定义向
量集 .
(1)设 ，请写出向量集 ；
(2)对任意 ，存在 ，使得 ， ，则称 具有性质 .若 ，集合
是否具有性质 ，若具有，求 的值，若不具有，请说明理由；
(3)对任意 ，存在 ，使得 ，则称 具有性质 .若 具有性质 ，且 ，
为常数且 ，当 为整数集时，求证： .
