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2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
理科数学
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1
1．若log a<0，( )b >1，则【 】
2 2
A．a>1,b>0 B．a>1,b<0
C. 0<a<1, b>0 D. 0<a<1, b<0
r r r r r r r
2．对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a//b”的【 】
A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
p
3．将函数y =sinx的图象向左平移j(0£j<2p)个单位后，得到函数y =sin(x- )的图象
6
，则j等于【 】
p 5p 7p 11p
A． B． C. D.
6 6 6 6
x
4．如图1，当参数l=l,l时，连续函数y = (x³0)
1 2 y
1+lx
c
2
的图像分别对应曲线C 和C , 则【 】
1 2
c
1
A ．0<l<l B ．0<l <l
1 2 2 1
o x
C ．l<l <0 D ．l <l<0
1 2 2 1 图1
5．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少
有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为【 】
A． 85 B． 56 C ．49 D ．28
ìx-2y³0,
6．已知D是由不等式组í 所确定的平面区域，则圆x2 + y2 =4在区域D内的弧长为【
îx+3y³0
】
p p 3p 3p
A． B． C． D．
4 2 4 2
第1页 | 共4页7．正方体ABCD-ABC D 的棱上到异面直线AB，CC 的距离相等的点的个数为【 】
1 1 1 1 1
A．2 B．3 C． 4 D．5
D C
1 1
8．设函数y = f(x)在(-¥,+¥)内有定义.对于给定的正数K，定义函
A 1 B 1
D
C
ìf(x), f(x)£ K,
数 f (x)=í 取函数 f(x)= 2-x-e-x。若对任意的
K îK, f(x)> K.
A B
xÎ(-¥,+¥)，恒有 f (x)= f(x)，则【 】
K
A．K的最大值为2 B．K的最小值为2
C．K的最大值为1 D．K的最小值为1
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上
9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，
则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ _ _.
10．在(1+x)3+(1+ x)3+(1+ 3 x)3的展开式中，x的系数为___(用数字作答).
p p
11．若xÎ(0, )，则2tanx+tan( -x)的最小值为 .
2 2
12．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为60o，则双曲
线C的离心率为
13．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为1
1
0的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为 ，则总体中的个体数为 。
28
14．在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则
（1）球心到平面ABC的距离为 ；
（2）过Ａ，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为 .
15．将正DABC分割成n2(n³2,nÎN*)个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的
情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线上的
数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A ,B
,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为 f(n)，则有 f(2)=2， f(3)=
，… ， f(n)= .
第2页 | 共4页A A
图2 图3
B B
C C
三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）
uuur uuur uuur uuur uuur2
在DABC中，已知2AB×AC = 3 AB × AC =3BC ，求角A，B，C的大小
17．（本小题满分12分）
为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建
1 1 1
设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的 ， ， .现在3名工人独立地从中任
2 3 6
选一个项目参与建设。
（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（II）记x为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求x的分布列及
数学期望。
18．（本小题满分12分） E
A 1 C 1
如图4，在正三棱柱ABC-ABC 中，AB= 2AA ，
1 1 1 1 D
B
1
点D是AB 的中点，点E在AC 上，且DE ^ AE
1 1 1 1
（I）证明：平面ADE ^平面ACC A ；
1 1 A C
（II）求直线AD和平面ABC所成角的正弦值。
B
19．（本小题满分13分）
某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥
面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费
用为(2+ x)x万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素.记余下工
程的费用为y万元。
第3页 | 共4页（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；
（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
20．（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和
记为d. 当点P运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和
（Ⅰ）求点P的轨迹C；
（Ⅱ）设过点F的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。
21．（本小题满分13分）
对于数列{u },若存在常数M＞0,对任意的nÎN*，恒有
n
u -u + u -u + + u -u £M ,
n+1 n n n-1 L 2 1
则称数列{u }为B-数列.
n
（Ⅰ）首项为1，公比为q(q <1)的等比数列是否为B-数列？请说明理由;
请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题
判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（Ⅱ）设S 是数列x 的前n项和，给出下列两组论断；
n n
A组：①数列x 是B-数列, ②数列x 不是B-数列;
n n
B组：③数列S 是B-数列, ④数列S 不是B-数列.
n n
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论
组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论；
(Ⅲ)若数列a ,b 都是B-数列，证明：数列a b 也是B-数列。
n n n n
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