2009年高考数学试卷（理）（广东）（空白卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2009·高考数学真题

绝密★启用前 试卷类型：B 2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科） 本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题 卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码 粘贴处”。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求 作答的答案无效。 4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的， 答案无效。 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 1 参考公式：锥体的体积公式V  sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高 3 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ． １．巳知全集U  R，集合M {x -2£ x-1£2}和N {x x2k-1,k 1,2, }的关系的韦恩（Ｖenn）图如 L 图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A．３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个 Ｄ．无穷个 ２．设z是复数，a(z)表示满足zn 1的最小正整数n，则对虚数 单位i，a(i) Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．２ ３．若函数y  f(x)是函数y ax(a >0,且a ¹1)的反函数，其图像经过点( a,a)，则 f(x) 1 Ａ．log x Ｂ．log x Ｃ． Ｄ．x2 2 1 2x 2 3。 ４．巳知等比数列{a }满足a >0,n1,2, ，且a ×a 22n(n³3)，则当n³1时， n n L 5 2n-5 log a +log a + +log a  2 1 2 3 L 2 2n-1 Ａ．n(2n-1) Ｂ．(n+1)2 Ｃ．n2 Ｄ．(n-1)2 4 5．给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是 Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．.③和④ Ｄ．②和④ 6．一质点受到平面上的三个力F,F ,F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F,F 成600角，且F,F 1 2 3 1 2 1 2 第1页 | 共4页的大小分别为２和４，则F 的大小为 3 Ａ．６ Ｂ．２ Ｃ．2 5 Ｄ．2 7 A 7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗 F 、小王五名志愿 1 者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同 工作，若其中小 D 张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项 C F 3 O 工作，则不同的 F 选派方案共有 2 B Ａ．36种 Ｂ．12种 Ｃ．18种 Ｄ．48种 8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为 直线）行驶． 甲车、乙车的速度曲线分别为v 和v （如图2所示）．那么对于 图中给定的 甲 乙 t 和t ，下列判断中一定正确的是 0 1 A．在t 时刻，甲车在乙车前面 1 B．t 时刻后，甲车在乙车后面 1 C．在t 时刻，两车的位置相同 0 D．t 时刻后，乙车在甲车前面 0 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（９～１２题） ９．随机抽取某产品n件，测得其长度分别为a ,a , ,a ，则图3所示的程序框图输出的s  1 2 L n ，表示的样本的数字特征是 ．（注： 框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”） １０．若平面向量a,b满足 a+b 1，a+b平行于x轴， b(2,-1)，则a ． 3 11．巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为 ，且 2 G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程 为 _________________ ． 12．已知离散型随机变量X 的分布列如右表．若EX 0，DX 1，则a ，b ． （二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题） 13．（坐标系与参数方程选做题）若直线 x1-2t, xs, l : (t为参数)与直线l : （s为参数 ）垂直，则 1 y 2+kt. 2 y 1-2s. k  ． x+1 14．（不等式选讲选做题）不等式 ³1的实数解为 ． x+2 第2页 | 共4页15．(几何证明选讲选做题）如图4，点A,B,C是圆O上的点， 且AB4,ACB450，则圆O的面积等于 ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程 和演算步骤， 16．(本小题满分12分）  已知向量a (sin,-2)与b(1,cos)互相垂直，其中(0, )． 2 （1）求sin和cos的值； 10  （2）若sin(-) ,0 ，求cos的值． 10 2 17．（本小题满分12分） 根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表: 对某城 市一年（365 天）的空气质 量进行监测， 获得API数据 按照区间 [0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300] 进行分组，得 到频率分布直方图如图5 （1）求直方图中x的值； （2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数 ； （3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微 污染的 概率. (结果用分数表示．已知57 78125,27 128, 3 2 7 3 8 123 + + + +  , 1825 365 1825 1825 9125 9125 365735） 18．（本小题满分１４分） 如图６，已知正方体ABCD-ABC D 的棱长为２， 点Ｅ是 1 1 1 1 正方形BCC B 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱C D,AA 的中点．设点E ,G 分别是点Ｅ、Ｇ在平面DCC D 内的正 1 1 1 1 1 1 1 1 1 投影． （１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE在平面DCC D 内 1 1 的正投影为底面边界的棱锥的体积； （２）证明：直线FG 平面FEE ； 1 1 （３）求异面直线EG与EA所成角的正弦值 1 1 19．（本小题满分１４分） 第3页 | 共4页已知曲线C: y  x2与直线l:x- y+20交于两点A(x ,y )和B(x ,y )，且x  x ．记曲线C在点A A A B B A B 和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点P(s,t)是L上的任一点，且点P与点 A和点B均不重合． （１）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M 的轨迹方程； 51 （２）若曲线G:x2 -2ax+ y2 -4y+a2 + 0与D有公共点，试求a的最小值． 25 20．（本小题满分１４分） 已知二次函数y  g(x)的导函数的图像与直线y 2x平行，且y  g(x)在x-1处取得极小值 g(x) m-1(m¹0)．设 f(x) ． x （１）若曲线y  f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为 2 ，求m的值； （２）k(kR)如何取值时，函数y  f(x)-kx存在零点，并求出零点． 21．（本小题满分１４分） 已知曲线C :x2 -2nx+ y2 0(n1,2, )．从点P(-1,0)向曲线C 引斜率为k (k >0)的切线l ，切点 n  n n n n 为P (x ,y )． n n n （１）求数列{x }与{y }的通项公式； n n 1-x x （２）证明：x ×x ×x × ×x  n  2sin n 1 3 5 L 2n-1 1+x y n n 第4页 | 共4页