文档内容
2009年江西高考理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页
，共150分。
第Ⅰ卷
考生注意：
1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答
题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名
是否一致。
2. 第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上
作答。若在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
参考公式
如果事件A,B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)= P(A)+P(B) S =4pR2
如果事件A,B，相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A×B)= P(A)×P(B)
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是 p，那么 4
V = pR3
3
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
P (k) = Ck pk(1- p)n-k
n n
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．若复数z =(x2 -1)+(x-1)i为纯虚数，则实数x的值为
A．-1 B．0 C．1 D．-1或1
ln(x+1)
2．函数y = 的定义域为
-x2 -3x+4
第1页 | 共6页A．(-4,-1) B．(-4,1) C．(-1,1) D．(-1,1]
3．已知全集U = A B中有m个元素，(ð A) (ð B)中有n个元素．若AI B非空，则
U U U U
AI B的元素个数为
A．mn B．m+n C．n-m D．m-n
p
4．若函数 f(x)=(1+ 3tanx)cosx，0£ x< ，则 f(x)的最大值为
2
A．1 B．2 C． 3+1 D． 3+2
5．设函数 f(x)= g(x)+x2，曲线y = g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y =2x+1，则
曲线y = f(x)在点(1, f(1))处切线的斜率为
1 1
A．4 B．- C．2 D．-
4 2
x2 y2
6．过椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点F 作x轴的垂线交椭圆于点P，F 为右焦点
a2 b2 1 2
，若ÐFPF =60o，则椭圆的离心率为
1 2
2 3 1 1
A． B． C． D．
2 3 2 3
7．(1+ax+by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对
值的和为32，则a,b,n的值可能为
A．a=2,b=-1,n=5 B．a=-2,b=-1,n=6
C．a=-1,b=2,n=6 D．a=1,b=2,n=5
np np
8．数列{a }的通项a =n2(cos2 -sin2 )，其前n项和为S ，则S 为
n n 3 3 n 30
A．470 B．490 C．495 D．510
z
9．如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox C
，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为 D
A．O-ABC是正三棱锥
O
B y
B．直线OB∥平面ACD
A
x
第2页 | 共6页C．直线AD与OB所成的角是45o
D．二面角D-OB-A为45o
10．为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张
卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为
31 33 48 50
A． B． C． D．
81 81 81 81
11．一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线
的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到
右依次记为t,t,t,t ，则下列关系中正确的为
1 2 3 4
°
°
A．t >t >t B．t >t >t C．t >t >t D．t >t >t
1 4 3 3 1 2 4 2 3 3 4 1
12．设函数 f(x)= ax2 +bx+c(a<0)的定义域为D，若所有点(s, f(t))(s,tÎD)构成
一个正方形区域，则a的值为
A．-2 B．-4 C．-8 D．不能确定
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。
二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把答案填在答题卡上
r r r r r r
13．已知向量a=(3,1)，b=(1,3)，c=(k,7)，若(a-c)∥b，则k= ．
14．正三棱柱ABC-ABC 内接于半径为2的球，若A,B两点的球面距离为p，则正三
1 1 1
棱柱的体积为 ．
15．若不等式 9-x2 £k(x+2)- 2的解集为区间a,b ,且b-a=2,则
k = ．
16．设直线系M :xcosq+(y-2)sinq=1(0£q£2p),对于下列四个命题：
A．M 中所有直线均经过一个定点
第3页 | 共6页B．存在定点P不在M 中的任一条直线上
C．对于任意整数n(n³3)，存在正n边形,其所有边均在M 中的直线上
D．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
三.解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）
ex
设函数 f(x)=
x
（1） 求函数 f(x)的单调区间；
（2） 若k >0，求不等式 f '(x)+k(1-x)f(x)>0的解集．
18．（本小题满分12分）
某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方
1
案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 .若某人获得两个“支持”，则
2
给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则
不予资助，令x表示该公司的资助总额．
(1) 写出x的分布列； (2) 求数学期望Ex．
19．（本小题满分12分）
sinA+sinB
△ABC中，A, B, C所对的边分别为a,b,c，tanC = ,sin(B-A)=cosC
cosA+cosB
.
（1）求A,C；
（2）若S =3+ 3,求a,c.
DABC
第4页 | 共6页P
20．（本小题满分12分）
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA^平面ABCD N M
，PA= AD=4，AB=2.
以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M ，交PC于点 A D
N
O
（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD； B C
（2）求直线CD与平面ACM 所成的角的大小；
（3）求点N 到平面ACM 的距离
21．（本小题满分12分）
x2 y2
已知点P(x ,y )为双曲线 - =1（b为正常数）上任一 y
1 0 0 8b2 b2
点,F
2
为双曲线的右焦点,过P
1
作右准线的垂线,垂足为A,连接
P
P
2
A
P
1
F A并延长交y轴于P .
2 2
F O F x
1 2
第5页 | 共6页(1) 求线段P P 的中点P的轨迹E的方程;
1 2
(2) 设轨迹E与x轴交于B、D两点,在E上任取一点Q（x ,y）(y ¹0),直线QB，QD分
1 1 1
别交y轴于M，N 两点.求证:以MN 为直径的圆过两定点.
22．（本小题满分14分）
各项均为正数的数列{a }，a =a,a =b，且对满足m+n= p+q的正整数m,n,p,q都
n 1 2
a +a a +a
有 m n = p q .
(1+a )(1+a ) (1+a )(1+a )
m n p q
1 4
（1）当a= , b= 时，求通项a ;
2 5 n
（2）证明：对任意a，存在与a有关的常数l，使得对于每个正整数n，都有
1
£a £l.
l n
第6页 | 共6页
