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高 三 年 级 考 试
数学试题参考答案及评分标准
2025.11
一、单项选择题：
题 号
1 2 3 4 5 6 7 8
答 案
B D B C D A B A
二、多项选择题：
题 号
9 10 11
答 案
AC ACD ABD
三、填空题：
12. -2 13. [8 - 4 2,8 + 4 2 ] 14. 506
四、解答题：
（ 分）
15. 13
解：（1）函数f x 的定义域为
( ) (0,+∞)
a x a
2
f' x x - ……………………………………………………… 分
( ) = - x = x 1
当a 时，f' x f x 在 上单调递增………………………… 分
≤ 0 ( ) > 0 , ( ) (0,+∞) 3
当a 时，令f' x ，解得x a ……………………………………… 分
> 0 ( ) = 0 = 4
当x a 时 f' x f x 单调递减
∈ (0, ) , ( ) < 0, ( )
当x a 时 f' x f x 单调递增 ……………………………… 分
∈ ( ,+∞) , ( ) > 0, ( ) 6
（ 2）由（1）知，当a 时, f' x 在 上单调递增，无极值 …………………… 分
≤ 0 ( ) (0,1] 8
当 a 即a 时，f x 在 上单调递减，无极值 ………………… 分
≥ 1 ≥ 1 ( ) (0,1] 10
当 a 即 a 时，f x 在 a 单调递减，在 a 单调递增
0 < < 1 0 < < 1 ( ) (0, ) ( ,1]
…………………………………………………………………………… 11分
所以f x 有极小值f a 1 a a a a a 7 a ，无极大值
( ) ( ) = - ln + 3 = ( - ln )
2 2
……………………………………………………………………………… 分
13
16.（ 15分）
解：（1） f x 为奇函数
∵ ( )
定义域关于原点对称
∴
而f x 定义域为 x|x a
( ) { ≠- }
a 即a …………………………………………………………… 3分
∴- = 0 = 0
x bx c c
则f x 2 + 2 + x b
( ) = x = + x + 2
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1 6f x f x
∵ (- ) =- ( )
b ……………………………………………………………………… 6分
∴ = 0
（2） f x 图象过 且点 ab 在直线y x 上
∵ ( ) (1,4) ( , ) = 2 + 1
ì b c
ïï 1 + 2 +
í4 = a 解得c ………………………………………… 8分
∴ïïïï 1 + , = 1
îb a
= 2 + 1
x a x
2
f x + (4 + 2) + 1
∴ ( ) = x a
+
又 f x 在 上有两个不同零点等价于g x x 2 a x 在
∵ ( ) (-4,0) ( ) = +(4 + 2) + 1 (-4,0)
有两个不同零点且零点不为 a
-
ì a
ïïïï -4 <-(2 + 1) < 0
í a 2
∴ïï △ = (4 + 2) - 4 > 0
î ïïg 2 a
(-4) = (-4) - 4(4 + 2) + 1 > 0
解得 a 9 ……………………………………………………………… 分
0 < < 12
16
又x a
≠-
a a a
2
∴(- ) +(4 + 2)(- ) + 1 ≠ 0
a 1 ……………………………………………………………………… 分
∴ ≠ 14
3
综上，a的取值范围为 1 1 9 …………………………………… 分
(0, ) ⋃ ( , ) 15
3 3 16
17.（ 15分）
解：（1） a C B b c A
∵ (cos - cos ) = ( + )cos
A C A C B A B A ……………………… 2分
∴ sin cos - cos sin = sin cos + cos sin
A C A B C ………………………………………… 分
∴ sin( - ) = sin( + ) = sin 3
A C C或A C C（舍去）……………………………………… 分
∴ - = - = π - 4
A C……………………………………………………………………… 分
∴ = 2 6
（2） S S S ，AD是 BAC的平分线，且AD ………………… 分
∵ △ ABC = △ ABD + △ ACD ∠ = 2 8
1bc C 1 c AD C 1 b AD C
∴ sin2 = × × sin + × × × sin
2 2 2
bc C C b c
∴ sin2 = 2sin ( + )
bc C b c
∴ cos = +
又 C 3
cos =
5
3bc b c ……………………………………………… 11分
∴ = +
5
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2 63 1 1 b c
∴ = c + b ( > 0, > 0)
5
b c 5 b c 1 1 …………………………………………… 13分
∴ 2 + = (2 + )( b + c )
3
b c
5 2
= (3 + c + b )
3
b c
b c 2
∵ > 0, > 0, c + b ≥ 2 ………………………………………………… 14分
当且仅c b时等号成立
= 2
…………………………………………………… 15分
b c 10 2
∴(2 + )min = 5 +
3
18.（ 17分）
n n
2
解：（1） S + 3
∵ n =
2
n n n n
2 2
当n 时，a S S + 3 ( - 1) + 3( - 1) n
∴ ≥ 2 n = n - n -1 = - = + 1
2 2
当n 时，a S 适合上式
= 1 1 = 1 = 2
a n n N ………………………………………………………… 2分
∴ n = + 1, ∈
b b b b
∵ 2 2n - ( n +1 - 2) n - n +1 = 0
b b b
∴( n + 1)(2 n - n +1) = 0
b
∵ n > 0
b b
∴ n +1 = 2 n
又b
1 = 2
b n n N …………………………………………………………… 4分
∴ n = 2 , ∈
（2）当n为奇数时，c a b n n
n = n n = ( + 1)2
记A c c c c ，则
n = 1 + 3 + 5 + …… + 2 n -1
A n n
n = 2 × 2 1 + 4 × 2 3 + 6 × 2 5 + …… + 2 × 2 2 -1
A n n
4 n = 2 × 2 3 + 4 × 2 5 + 6 × 2 7 + …… + 2 × 2 2 +1
A n n n
∴-3 n = 2 ×(2 1 + 2 3 + 2 5 + …… + 2 2 -1 ) - 2 × 2 2 +1
n
2 1 - 2 2 +1 n 2 n +1
= 2 × - 2 × 2
1 - 4
1 n 2 n +2 4
= ( - ) × 2 -
3 3
n
∴ A n = ( - 1 ) × 2 2 n +2 + 4………………………………………………… 7 分
3 9 9
n n n n
+2
当n为偶数时，c (2 - 3 )2 2 2
n = n n = n - n
( + 2) + 2
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6
*
*
3记B c c c ，则
n = 2 + 4 + …… + 2 n
n n
2 4 4 6 2 2 +2
B 2 2 2 2 2 2
n = ( - ) + ( - ) + …… + ( n - n )
2 4 4 6 2 2 + 2
n n
2 +2 2 +1
2 2 ……………………………………………… 分
= 2 - n = 2 - n 11
2 + 2 + 1
n n
∴ T 2 n = A n + B n = ( - 1 ) × 2 2 n +2 - n 2 2 +1 + 22 ……………………… 12 分
3 9 + 1 9
（）由na λ a n 恒成立
3 n - ( n - 1)( + 2) - 6 < 0
可得n n λn n 恒成立
( + 1) - ( + 2) - 6 < 0
n n
2
即λ + - 6恒成立 ………………………………………………… 分
> n n 14
2
+ 2
n n n
2
设f n + - 6 + 6
( ) = n n = 1 - n n
2
+ 2 ( + 2)
n n n n
2
f n f n + 7 + 6 + 13 + 18
( + 1) - ( ) =- n n + n n = n n n n > 0
( + 1)( + 3) ( + 2) ( + 1)( + 2)( + 3)
f n 单调递增 …………………………………………………………… 分
∴ ( ) 16
n
又 + 6
n n > 0
( + 2)
f n
∴ ( ) < 1
λ …………………………………………………………………… 17分
∴ ≥ 1
19.（ 17分）
解：f x a x x x x a x x x ………………………… 分
( ) = sin - cos + sin = ( + 1)sin - cos 1
（1） a
∵ = 0
f x x x x
∴ ( ) = sin - cos
f' x x x x x x x x π …………………… 分
∴ ( ) = cos - cos + sin = sin , ∈[0, ] 2
2
f' x 在 π 上恒成立
∴ ( ) ≥ 0 [0, ]
2
f x 在 π 上单调递增
∴ ( ) [0, ]
2
又f f π
(0) = 0, ( ) = 1
2
f x 值域为 ………………………………………………………… 分
∴ ( ) [0,1] 3
（2）i） f' x a x x x x π
( ) = cos + sin , ∈[0, ]
2
当a 时，f' x 恒成立
≥ 0 ( ) ≥ 0
f x 在 π 上单调递增，不合题意 …………………………………… 分
∴ ( ) [0, ] 5
2
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4 6当a 时，设g x f' x a x x x，则
< 0 ( ) = ( ) = cos + sin
g' x a x x x x ……………………………………………… 分
( ) =- sin + sin + cos 6
x π
∵ ∈[0, ]
2
a x x x x
∴- sin ≥ 0, sin ≥ 0, cos ≥ 0
g x 恒成立
∴ ′( ) ≥ 0
g x 在 π 上单调递增 ………………………………………………… 分
∴ ( ) [0, ] 7
2
又g a g π π
(0) = < 0, ( ) = > 0
2 2
x π ，使得g x
∴ ∃ 0 ∈[0, ] ( 0)= 0
2
当x x 时，f' x ，当x x π 时，f' x
∈[0, 0) ( ) < 0 ∈( 0, ] ( ) > 0
2
f x 存在唯一的极小值
∴ ( )
a的取值范围为 …………………………………………………… 分
∴ (-∞,0) 9
ii） a，使a f x t t R 恒成立，由i）知 x ，使得f x f x
∵ ∃ ≤ 2( ( ) + ) ( ∈ ) ∃ 0 ( ) ≥ ( 0)
a f x t a x x x t
∴ ≤ 2( ( 0) + ) = 2[( + 1)sin 0 - 0cos 0 + ]
t a 1 x x x x ……………………………………… 分
∴ ≥ ( - sin 0) - sin 0 + 0cos 0 10
2
f' x a x x x
∵ ( 0) = cos 0 + 0sin 0 = 0
x x
a 0sin 0 ……………………………………………………………… 分
∴ =- x 11
cos 0
x x
t 0sin 0 1 x x x x
∴ ≥- x ( - sin 0) - sin 0 + 0cos 0
cos 0 2
x 2 x 1 x x
0sin 0 - 0sin 0 x x x
2
= x - sin 0 + 0cos 0
cos 0
x 1 x x
0 - 0sin 0 x …………………………………………………… 分
2
= x - sin 0 13
cos 0
x 1 x x
- sin
设φ x x，则
2
( ) = x - sin
cos
1 x x 1 x x x x 1 x x
(1 - cos - sin )cos + sin ( - sin )
φ' x x
2 2 2
( ) = x - cos
2
cos
x 1 x x x
(sin - )(sin cos + )
………………………………………… 分
2
= x 15
2
cos
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5 6x π
∵ ∈[0, ]
2
当x π 时，φ' x φ x 单调递减
∴ ∈[0, ] ( ) < 0 , ( )
6
当x π π 时，φ' x φ x 单调递增
∈[ , ] ( ) > 0 , ( )
6 2
φ x φ π 3π 1，此时a 3π ………………………… 分
∴ ( )min = ( ) = - =- 16
6 12 2 18
t 3π 1
∴ ≥ -
12 2
t的最小值为 3π 1 …………………………………………………… 分
∴ - 17
12 2
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6 6
