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中学生标准学术能力诊断性测试 2024 年 1 月测试 数学试卷 本试卷共 150分，考试时间 120分钟。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1． 已知mR，集合 第1页 共4页 第2页 共4页 A =  m , − 1 , 2  , B =  a 2 a  A  ，若 C = A B ，且C 的所有元素和为12， 则 m = A． − 3 B．0 C．1 D．2 2． 已知数列  a n  满足 a 1 = 1 , a n − a n + 1 = 2 n a n a n + 1 ，则 a n = A． 2 n − 2 1 + 1 1 2 1 B． C． D． 2n−1 2n +1 2n −1 3． 复数 z 满足 ( z + 2 ) i = 1 − i （ i 为虚数单位），则 z 的共轭复数的虚部是 A．−3 B． 1 C． i D． − i 4． 在直三棱柱ABC−ABC 中，所有棱长均为1，则点A到平面ABC的距离为 1 1 1 1 1 A． 2 7 1 B． 1 5 0 C． 2 6 1 D． 1 4 0 5． 设 ( 1 + 2 x ) n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n ，若 a 5 = a 6 ，则 n = A．6 B．7 C．8 D．9 6． 若不等式 x 2 − 4 x + 5 + x 2 − 8 x + 1 7  4 的解集为  a , b  ，则a+b的值是 A．5 B． 4 2 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求．全部选对得5分，部分选对但不全得2分，有错选的得0分. 9． 设 C．6 D．7 e3 7． 已知a=e2,b= ln2,c=15−5ln5，则 2 A．abc B．bca C．acb D．bac 1 1 8． 已知x,y 0,x3+ y3− x− y =3，则13x+ y的最大值是 4 4 A．15 B．18 C．20 D．24 , , 为互不重合的平面， m , n 为互不重合的直线，则下列命题为真命题的是 A．若 ,   ，则  C．若 m , n , m n B．若   ，则  m , m    = ⊥ ，则 ,    ⊥ ⊥ D．若 ,    ⊥ ⊥ ，则  10．已知点P为双曲线 C : x 4 2 − y 2 = 1 上的任意一点，过点P 作渐近线的垂线，垂足分别为 E , F ， 则 A． P E + P F = 4 5 5 C． P E  P F = − 1 2 2 5 B． P E  P F = 4 5 D． S  P E F 的最大值为 8 2 5 11．直线 l1 : a x + b y + c = 0 和 l 2 : b x + c y + a = 0 将圆 C : ( x − 1 ) 2 + ( y − 1 ) 2 = 1 分成长度相等的四段 弧，则 ( a − 1 ) 2 + ( b − 1 ) 2 + ( c − 1 ) 2 的取值可以是 4 8 A． B．2 C． D．3 3 3 12．已知 sin2+sin2=2sin(2+2) ，且 k k   +     Z ，则 t a n 2 t a n ( )    3 t a n + + + 的值可能为 A． − 6 B． − 5 C． 5 2 D．8 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．设函数 f (x) 的定义域为 R ，f (x) 为偶函数， f ( x + 2 ) − 1 为奇函数，当 x   2 , 4  时，f (x)= alog x+b，若 2 f ( 0 ) + f ( 6 ) = 4 ，则a+2b= ． x2 y2 14．已知F,F 是椭圆C: + =1(ab0)的左、右焦点，P是C上一点，线段PF 的中垂 1 2 a2 b2 2 线 l 过点F ，与椭圆C相交于 1 A , B 9 两点，且 AB = a，则椭圆C的离心率为 ． 5 15．已知函数g(x) 的图象与函数 f ( x ) = e x − x 的图象关于原点对称，动直线 x = a ( a  0 ) 与函数 f ( x ) , g ( x ) 的图象分别交于点 A , B ，函数 f ( x ) 的图象在A处的切线 l1 与函数g(x) 的图象 在B处的切线l 相交于点C，则ABC面积的最小值是 ． 2 16．对任意的xR，不等式 ( x2 −7x+14 )2 m ( x2 −6x+13 )( x2 −8x+17 ) 恒成立，则实数m 的取值范围为 ． {#{QQABDYKAogiAABAAABgCAQFKCEOQkAGCCAoOxAAEsAAAgRNABCA=}#}四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）数列 第3页 共4页 第4页 共4页  a n  的前 n 项和为 S n , a 1 = 1 ，当 n  2  1 时，S2 =a  S − ． n n  n 2 （1）求证：数列  1 S n  是等差数列，并求S 的表达式； n （2）设 b n = n 2 2 n S + n 1 ，数列  b n  的前n项和为 T n ，不等式T m2 −3m+n对所有的 n n  N * 恒成 立，求正整数m的最小值． 18．（12分）如图所示，在ABC中，AB=1,D是 B C 上的点，  B A D = 1 2  D A C ．  2 1 （1）若BAC = ，求证： − = 3； 2 AD AC （2）若 B D = 1 4 D C ，求  A B C 面积的最大值． 19．（12分）如图所示，一只蚂蚁从正方体 A B C D − A 1 B 1 C 1 D 1 的顶点 A 1 出发沿棱爬行，记蚂蚁从一 个顶点到另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬 1 行的概率为 ，沿正方体的侧棱爬行的概率为 6 2 3 20．（12分）如图所示，已知ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，点M是边AB的中点，点 N在边BC上，且BN =3NC．以MN为折痕将BMN 折起，使点B到达点D的位置，且平面 DMC ⊥平面ABC，连接 ． （1）若蚂蚁爬行n次，求蚂蚁在下底面顶点的概率； （2）若蚂蚁爬行5次，记它在顶点C出现的次数为X，求X的分布列与数学期望． D A , D C ． （1）若E是线段DM的中点，求证： N E 平面DAC； （2）求二面角 D − A C − B 的余弦值． 21．（12分）如图所示，已知抛物线 y = x 2 − 1 , M ( 0 , 1 ) ，A，B是抛物线与x轴的交点，过点M作 斜率不为零的直线l与抛物线交于C，D两点，与x轴交于点Q，直线AC与直线BD交于点P． （1）求 C M C  D D M 的取值范围； （2）问在平面内是否存在一定点T，使得 T P  T Q 为定值？若存在，求出点T的坐标；若不存 在，请说明理由． 22．（12分）已知函数 f ( x ) = x 2 + 1 − l x n x − a （第20题图） （第18题图） （第21题图） 有两个零点x ,x (x  x ) ． 1 2 1 2 （1）求实数a的取值范围； （第19题图） （2）求证：xx 1； 1 2 （3）求证：x −x  a2 −4  x2 −x2． 2 1 2 1 {#{QQABDYKAogiAABAAABgCAQFKCEOQkAGCCAoOxAAEsAAAgRNABCA=}#}