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2025-2026 学年 12 月七校联合学情调研
高三数学
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1
1．已知集合M＝{－1，1}，N＝{x| ＜2x＜1}，则M∩N＝ ( )
4
A．{1} B．{－1} C．{－1，1} D．(－2，0)
2．已知样本数据5，6，6，7，8，9，10，12，则该组数据的第60百分位数为 ( )
A．6 B．7 C．8 D．9
3．已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－3b，则cos＜a，c＞＝ ( )
1 5 2 5 2 13
A． B． C． D．
3 3 5 13
π
4．在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝ ，∠BAC的角平分线交BC于D，
3
则AD＝ ( )
3 2 3 4 3
A． B． C． 3 D．
3 3 3
6n＋12
5．已知数列{a }是公差不为0的等差数列，a ＝12，若数列{ }也是等差数列，则
n 1
a
n
a ＝ ( )
3
A．24 B．20 C．18 D．15
6．清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食从苏州府运送到全国各地．为了核准粮食
的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，两斛为一石.
已知一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口
为正方形，内边长为2.5dm，下底也为正方形，内边长为5dm，
斛内高3.6dm，那么一石米的体积大约为 ( )
A．52.5dm3 B．55dm3 C． 105dm3 D． 110dm3
x2 y2
7．已知椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)，焦点F (－c，0)，F (c，0)(c＞0)，若过F 的直线和
1 2 1
a2 b2
圆x2＋y2－cx＝0相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF ⊥x轴，则椭圆的离心率是
2
( )
2 3 10－1 5
A． B． C． D．
2 3 3 5
试卷第1页，共4页
{#{QQABaYKUgggoAJAAAAhCQwUSCkMYkBACCKgGhFAQoAAAwQFABAA=}#}a2x－1 1 1 1
8．定义在R上的函数f(x)＝ ，f( )＝ ，则不等式(x＋1)f(x＋1)＞ 的解集为
a2x＋1 2 2 4
( )
3 1 3 1
A．(－ ，－ ) B．(－ ，－1)∪(－1，－ )
2 2 2 2
3 1
C．(－∞，－ )∪(－ ，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－1，＋∞)
2 2
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分．
9．已知复数z，其中i为虚数单位，下列说法正确的是 ( )
A．若复数z满足1＋iz＝2i，则z的实部为2
－
B．若z－ z ＝0，则z为实数
－ －
C．若z2＋ z 2＝0，则z＝ z ＝0
D．若|z－i|＝1，则|z|的最大值为2
10．如图，已知正方体ABCD－A B C D 的棱长为2，点P是侧面BCC B 上的一个动点(含
1 1 1 1 1 1
→ → →
边界)，且BP＝λBB ＋μBC(0≤λ≤1，0≤μ≤1)，E，F分别是棱AA ，C C的中点，则( )
1 1 1
A． 平面D EF截该正方体所得的截面图形是正五边形
1
B． 平面D EF⊥平面BDD B
1 1 1
C． 若μ＝0，则|PE|＋|PD|的最小值为 17
π
D． 若|AP|＝ 5，则点P的轨迹长度为
2
11．已知函数f(x)＝(x＋1)(x－2)2－1的图象与直线y＝t(t∈R)交于不同的三点A(x ，t)，
1
B(x ，t)，C(x ，t)，且x ＜x ＜x ，则 ( )
2 3 1 2 3
A．f(x)的极大值为3 B．t的取值范围为(－1，3)
9
C．x x 的取值范围为[－ ，0) D．(x －x )2的取值范围为(9，12)
1 3 3 1
4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分．
π π 2
12．已知 ＜α＜π，cos(α－ )＝ ，则cosα＝________．
2 4 10
x2
13．已知直线l：3x＋4y－5＝0与双曲线C： －y2＝1相交于A，B两点．若弦AB被直线
4
m：x＋ty＝0平分，则实数t的值为________．
14．有一摸球游戏，规则如下：在盒子里放大小、质地完全相同的4个红球和3个白球，不
放回地依次随机取出，每次取出1个球，直到剩下只有一种颜色的球时游戏结束，记ξ为游
戏结束时取球次数，则ξ的数学期望为 ．
试卷第2页，共4页
{#{QQABaYKUgggoAJAAAAhCQwUSCkMYkBACCKgGhFAQoAAAwQFABAA=}#}四、解答题：本题共 5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
15．某市为了研究学生身体素质与课外体育锻炼时间的关系，在某个区随机调查了1000名
学生，得到如下列联表：
课外体育锻炼
达标 不达标 合计
组别 时间
身体素质强 860 40 900
身体素质弱 40 60 100
合计 900 100 1000
(1)根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析课外体育锻炼时间与身体素质是否有关；
(2)如果用该区学生达标成绩的情况来估计全市学生的达标情况，现从全市学生中随机抽取3
名，求恰有1人课外体育锻炼时间达标的概率．
n(ad－bc)2
附χ2＝
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d) P(χ2≥k) 0.005 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
16．已知数列{a }的首项a ＝1，且满足递推关系a ＝3a ＋4．
n 1 n＋1 n
(1)求证：{a ＋2}是等比数列，并求数列{a }的通项公式；
n n
a ＋2
(2)记b ＝ n ，数列{b }的前n项和为T ，若a ·T ＝39，求m．
n
a ·a
n n m＋1 m
n n＋1
17．如图，三棱柱ABC－A B C 的体积为18，AB＝AA ＝2 3，AC＝6，D，F分别是B C，
1 1 1 1 1
→ →
B C 的中点，E是线段A C 上的动点，且A E＝λA C ，AB⊥平面ACC A ．
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
(1)若λ＝ ，求证：A D//平面EFC；
1
3
15
(2)若平面EFC与平面ABB A 的夹角的余弦值为 ，
1 1
5
求实数λ的值．
试卷第3页，共4页
{#{QQABaYKUgggoAJAAAAhCQwUSCkMYkBACCKgGhFAQoAAAwQFABAA=}#}18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，C上有两个不同动点
A(x ，y )，B(x ，y )．
1 1 2 2
(1)若直线AB过点F，求证：y y ＝－p2；
1 2
p
(2)已知定点M( ，p)，若线段AF，MF，BF的长度依次成等差数列；
2
(i)求证：线段AB的垂直平分线经过一个定点Q；
(ii)若(i)中的定点Q到原点O的距离为6，求ΔQAB面积的最大值．
19．已知函数f(x)＝emx，g(x)＝sinx．
(1)当m＝1时，求过原点且与曲线y＝f(x)相切的直线方程；
π
(2)当m≥1，x∈[0， ]时，求证：f(x)g(x)≥x；
2
n π π n
(3)当m＝1时，若正实数x 1 ，x 2 ，…，x n (n≥3)满足∑x i ＝ ，求证： ＜∑f(x i )g(x i )＜ e2 ．
i＝1 2 2 i＝1
试卷第4页，共4页
{#{QQABaYKUgggoAJAAAAhCQwUSCkMYkBACCKgGhFAQoAAAwQFABAA=}#}
