文档内容
高三数学考试参考答案
题序 ! # $ % & ’ ( ) " !* !! !# !$ !%
!
答案 + , - , . - . . -, -.+ -,+ ) #! $槡!(
%
!评分细则"
"!#第!")题$凡与答案不符的均不得分!
"##第"题$全部选对的得’分$有选错的不得分$每选对一个得$分!第!*$!!题$全部选对的
得’分$有选错的不得分$每选对一个得#分!
"$#第!$题第一空写对得#分$第二空写对得$分!
"%#第!#$!%题$其他结果均不得分!
!!+!!解析"本题考查全称量词命题的否定#考查逻辑推理的核心素养!
全称量词命题的否定是存在量词命题!
#!,!!解析"本题考查平面向量的坐标运算#考查数学运算的核心素养!
依题意可得"#/0#!
$!-!!解析"本题考查正切的二倍角公式#考查数学运算的核心素养!
!
#123
!# %! & 槡$
因为 /123 4# / $
! !# $
!0123#
!#
!
123
!# 槡$
所以 /0 !
! ’
123# 0!
!#
%!,!!解析"本题考查指数$对数的大小比较#考查数学运算的核心素养!
!
$/$!!!"$$%/$563!#$$&/’789$/’4 /$$所以%#&#$!
" #
&!.!!解析"本题考查等比数列的基本量#考查数学运算的核心素养!
由$0&$/’$$得$%’#0&’0’&/*$因为$$*$所以’/0!或’!
& % $ $ $
’!-!!解析"本题考查分段函数的单调性#考查直观想象与数学运算的核心素养!
’$"!$
根据题意可得&%0$"*$ 解得#%$#%!
($:$%$*:#$$
(!.!!解析"本题考查圆锥的内切球#考查直观想象与数
学运算的核心素养!
画出该圆锥的轴截面$如图所示$设该圆锥的内切球的
球心为($半径为)$则(*/(+/)$,(/"0)$,-
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$% !!"&’#%("
!"#!$$!%
书书书) "0)
/槡!%%:)!/!&$根据相似的性质得 / $解得)/%!故所求内切球的表面积为%!)#/
!# !&
’%!!
)!.!!解析"本题考查导数的应用与不等式#考查数学抽象与逻辑推理的核心素养!
令函数.%/&/0%/&0$/#:!$则.1%/&/01%/&0’/#*$.%/&是减函数!因为0%!&/#$所
以.%!&/0%!&0$:!/*$所以.%/&%*的解集为’!$:;&$又0%#/&%!#/#0!等价于
!
.%#/&%*$所以#/)!$得/) !
#
"!-,!!解析"本题考查复数的概念与运算#考查数学运算的核心素养!
’0$6 %’0$6&6 ’60$6#
因为2/ / / /0$0’6$所以2/0$:’6$*2*/槡":$’/$槡&$2的虚
6 6# 0!
部为0’$2在复平面内所对应的点为%0$$0’&$在第三象限!
!*!-.+!!解析"本题考查三角函数的图象与性质#考查直观想象$逻辑推理与数学运算的核
心素养!
3 ! % !& ! ! #! %! &
由图可知 / 0 0 / $则3/ $!/ /%$由图可知4/%$将点 $% 的坐标
% #% !# ) # 3 #%
%!& %! & ! !
代入0%/&/%563%%/:" &$得0 /%563 :" /%$则 :"/ :#5!%5+!&$解得
#% ’ ’ #
! ! ! % !&
"/ :#5!%5+!&!因为*"*# $所以 "/ $所以0%/&/%563%/: $-正确!
$ # $ $
’% !& !( % !& % !&
.%/&/%563%/0 : /%563%/0 $,错误!由题意得6%/&/%563#/: $当
’ $ $ $
’ ! !( ! ’ ! !( ’ ! !( ’ ! !( ’ !
/+ 0 $ 时$#/: + 0 $ $因为 0 $ , 0 $ $所以6%/&在 0 $
$ !# $ $ # $ # # # $
!( ’ ! !( ! ’! #!( % !&
上单调递增$.正确!由/+ 0 $ $得)/: + $ $则%563)/: +’#$
!# %)#% $ ’ $ $
% !& %!&
%($因为")#$所以%563)/: :")%/0 $+正确!
$ #%
!!!-,+!!解析"本题考查集合的新定义#考查数学抽象$直观想象与逻辑推理的核心素养!
,4,/)#!$!"$#!$#"$#!$$"$##$!"$##$#"$##$$"$#$$!"$#$$#"$#$$
$"*共有"个元素$则,4,共有#"/&!#个子集$,正确!
7/)#!$!"$#!$#"$##$!"$##$#"$##$$"$#$$$"$#$$!"*$
!
7/)#!$!"$##$!"$##$#"$#$$#"$#!$$"*$
#
7/)#!$#"$##$!"$##$$"$#$$#"*$
$
7/)#!$!"$#!$#"*$
%
7/)#!$!"$##$#"$#$$$"*$
&
则7 7/)#!$!"$#!$$"$##$#"$#$$!"$#$$$"*$%7 7 &7 /)#!$!"$
$ $ $ $ %
#!$$"$#!$#"*$.错误!
!高三数学"参考答案!第!!!!#页#共"页$% !!"&’#%("
!"#!$$!%7 7/)#!$!"$#!$#"$##$!"$##$#"$##$$"$#$$$"$#$$!"*$所以7 7
! & ! &
/7$-正确!
!
7 7/)#!$!"$#!$#"$##$!"$##$$"$##$#"$#$$!"$#$$#"*$+正确!
# $
!#!)!!解析"本题考查导数的概念#考查数学运算的核心素养!
) 0%!:#/&00%!&
因为01%/&/ $所以76< /01%!&/)!
/# #/-* #/
!
!$!#! !!解析"本题考查三角恒等变换$三角函数与零点#考查逻辑推理与数学运算的核心素养!
%
% !&
0%/&/=85%/0槡$563%//0#563%/0 $则0%/& /#!根据题意可得#*$0%*的最
’ <2>
#! ! !
小值为0%/&的最小正周期 / $则*$0%* / !
% # <63 %
!%!$槡!(!!解析"本题考查空间几何的距离问题#考查直观想象与逻辑推理的核心素养!
如图$连接48$49$9: $:8$98!易得侧面4884
! ! ! ! ! ! !
为正方形$所以48.48!由正六棱柱的性质可得44 .
! ! !
底面4-9:;8$且底面4-9:;8为正六边形$所以44
!
.49$49.48$44 /48/4$所以 49. 侧面
!
4884 $则49.48$49/48 /4$所以48.平面
! ! ! ! !
498!因为:8049$所以4$9$: $8 四点共面$因为
! ! ! ! !
11- 11-
,8+48/*$所以点,在平面49:8 内!取99 的中点($连接(8$98$(3$设
! ! ! ! !
(3与9: 交于点<$易得(3.平面49:8$且(/!$$
!
解,%!&设等差数列)$*的公差为>$则 --------------#分
#
$#/$:&>$
! !
’ !$
$/0 $
)$/&$ ! #
!
解得 或& -------------------------%分
>/%$ $"
>/ $
( %
依题意得$"*$则$/&$>/%$----------------------&分
# !
所以$/$:%#0!&>/%#:!!----------------------(分
# !
%&:%#:!&+#
%#&3 / /###:$#!--------------------!!分
# #
%$&因为%0!&##0!$ :%0!&##$ /%4##:!0%4%##0!&0!/%$------!$分
##0! ##
所以= /%#!------------------------------!&分
##
!评分细则"
$" $"
第%!&问中$通过%$0#>&#/$:$>$求出>/%或>/ $当>/ 时$$/$0#>#*$则
$ $ % % ! $
$"
>$ $当>/%时$$/$0#>/&"*$符合题意$最终得到$/$:%#0$&>/%#:!$不
% ! $ # $
扣分!
!(!!解析"本题考查空间中平行$垂直的判定及平面与平面的夹角#考查直观想象$逻辑推理与
数学运算的核心素养!
%!&证明,%方法一&连接,?!
因为8$,$?分别为;-$;4$:9的中点$且;:049$所以8,0-4$,?049! -!分
8,3平面4-9$4-4平面4-9$所以8,0平面4-9!------------#分
,?3平面4-9$494平面4-9$所以,?0平面4-9!------------$分
又8,/,?/,$8,4平面8,?$,?4平面8,?$所以平面8,?0平面4-9! --
-----------------------------------%分
因为8?4平面8,?$所以8?0平面4-9!-----------------&分
%方法二&过8作8@.4-$交4-于@$过:作:A.49$交49于A$过?作?B.49$
交49于B$连接@B!易得?B0:A$8@0;4$;40:A! -----------#分
因为;:049$;40:A$所以四边形4A:;是平行四边形$所以:A/;4$----$分
! !
所以?B08@$?B/ :A/ ;4/8@$所以四边形8?B@是平行四边形$所以8?0
# #
!高三数学"参考答案!第!!!!%页#共"页$% !!"&’#%("
!"#!$$!%@B$ ----------------------------------%分
因为8?3平面4-9$@B4平面4-9$所以8?0平面4-9!----------&分
%#&证明,因为;4.平面4-9$所以;4.4-!----------------’分
又因为4-.49$49/4;/4$所以4-.平面49:;!------------(分
因为:?4平面49:;$所以4-.:?!-------------------)分
因为4-08,$所以8,.:?!-----------------------"分
%$&解,%方法一&以4为坐标原点$分别以4-$49$4;所
在直线为/$C$2轴$建立空间直角坐标系$如图所示$则
4%*$*$*&$-%#槡#$*$*&$8%槡#$*$槡#&$:%*$#$#槡#&$?%*$
$$槡#&$
11- 11- 11-
所以4-/%#槡#$*$*&$8:/%0槡#$#$槡#&$:?/%*$!$
0槡#&! -------------------!*分
设平面:?8的法向量为!/%/$C$2&$
11-
’!+8:/0槡#/:#C:槡#2/*$
则& --------------------!!分
11-
(!+:?/C0槡#2/*$
令C/槡#$则!/%$$槡#$!&!------------------------!#分
11-
因为4-.平面49:;$所以4-/%#槡#$*$*&是平面49:;的一个法向量$---!$分
’ !(
设平面:?8与平面49:;的夹角为#$且#+ *$ $
#
11-
11- *4-+!* ’槡# 槡$
则=85#/*=85.4-$!/*/ 11- / / $---------!%分
*4-**!* 槡":#:!4#槡# #
!
即平面:?8与平面49:;的夹角为 !------------------!&分
’
!
%方法二&连接,:$易得,?/ %;::49&/$$,:/槡,;#:;:#/槡#:%/槡’$
#
! !
:?/ :9/ 槡):%/槡$$所以:?#:,:#/,?#$所以:?.,:!-----!*分
# #
!
因为,:/槡’$8,/ 4-/槡#$8,.,:$
#
所以8:/槡8,#:,:#/槡#:’/#槡#$------------------!!分
所以8?/槡8,#:,?#/槡#:"/槡!!$则8?#/8:#::?#$所以8:.:?$---
----------------------------------!#分
则58:,%或58:,的补角&即为平面:?8与平面49:;的夹角$------!$分
,: 槡’ 槡$ !
又=8558:,/ / / $所以平面:?8与平面49:;的夹角为 !---!&分
8: #槡# # ’
!高三数学"参考答案!第!!!!&页#共"页$% !!"&’#%("
!"#!$$!%!评分细则"
"!#第%!&问中$方法一未写8,3平面4-9$,?3平面4-9$合计扣!分!未写8,/,?
/,$扣!分!未写8?4平面8,?$不扣分!
"##第%#&问中$未写49/4;/4$扣!分!
"$#第%$&问中$方法一里平面:?8的法向量不唯一$只要是与!/%$$槡#$!&共线的非零向
11-
量即可$平面49:;的法向量不唯一$只要是与4-/%#槡#$*$*&共线的非零向量即可!
"%#第%$&问中$方法二未说明平面:?8与平面49:;的夹角也可能是58:,的补角$不
扣分!
!)!!解析"本题考查函数的性质与不等式的综合#考查逻辑推理与数学运算的核心素养!
解,%!&根据题意可得0%0/&/0%/&$.%0/&/0.%/&!------------!分
对于0%/&:.%/&/#%/:!$$以0/代替/得$0%0/&:.%0/&/#0%/:!$ ----#分
所以0%/&0.%/&/#0%/:!%$-----------------------$分
由$%得.%/&/#%/0#0%/$------------------------%分
0%/&/#%/:#0%/! ----------------------------&分
%
%#&%&&由题意得
"
%/&/%#%/:#0%/�$%#%/0#0%/&/%#%/0#0%/�$%#%/0#0%/&:%/
!&
) !---------------------------------’分
%
% !& %!& $
设函数6%/&/#%/0#0%//) $易得6%/&为增函数$所以6%/&)6 / $ -(分
% % #
’$ &
令D/#%/0#0%/$则D+ $:; !---------------------)分
#
% $& % $&# ( (
设函数 $ %D&/D#0$D:%D) $因为 $ %D&/D#0$D:%/D0 : ) $所以 " %/&的
# # % %
’( &
值域为 $:; !----------------------------!*分
%
! !
%’&由%&&可得$当*#5##时$5/%:%" $%#05&/#:#" $
% %
%!& $ %!& $
则D/6%5/%:%&"6 / $D/6%%#05&/#:#&"6 / $ ------!!分
! % # # % #
’! & ’$ &
因为6%/&在 $:; 上单调递增$
$
%D&在 $:; 上单调递增$
% #
’! &
由复合函数单调性可得
"
%/&在 $:; 上单调递增$------------!#分
%
所以
"
%5/%:%&)" %%#05&/#:#&等价于5/%:%)%#05&/#:#$
令"//#)*$所以5"#0%#05&":#)*对任意的"+’*$:;&恒成立$----!$分
#05
因为函数3%"&/5"#0%#05&":#图象的开口向上且对称轴为直线"/ "*$所以
#5
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!"#!$$!%%/%#05�)5%*$---------------------------!&分
即5#0!#5:%%*$解得’0%槡#%5%’:%槡#$----------------!’分
因为*#5##$所以’0%槡#%5##$即5的最小值为’0%槡#!---------!(分
!评分细则"
"!#第%!&问中$未写0%0/&/0%/&$.%0/&/0.%/&$直接在运算中使用$不扣分!
’$ & %$& %$&# $
"##第%#&%&&问中$说明 $ %D&在 $:; 上单调递增$所以 $ %D&)$ / 0$4
# # # #
(
:%/ $从而求出值域$不扣分!
%
! !
"$#第%#&%’&问中$未说明5/%:%" $%#05&/#:#" $扣!分!从倒数第四行开始也可
% %
以用下列方法做,
#"0#
5%"#:"&)#"0#对任意的"+’*$:;&恒成立$即5) !-------!%分
"#:"
#"0# #"0#
当*%"%!时$ %*$因为5"*$所以5) 显然成立$当""!时$令&/"0!
"#:" "#:"
#& #
"*$则5) / 对任意的&+%*$:;&恒成立$------!&分
%&:!&#:&:! #
&: :$
&
#
因为&: )#槡#$当且仅当&/槡#时$等号成立$---------------!’分
&
#
所以5) /’0%槡#$又因为*#5##$所以5的最小值为’0%槡#! ----!(分
#槡#:$
!"!!解析"本题考查导数$数列与不等式的综合#考查逻辑推理与数学运算的核心素养!
! D/0!
%!&解,由题意得0%/&的定义域为%*$:;&$01%/&/D0 / !-------!分
/ /
当D%*时$01%/&#*$0%/&在%*$:;&上单调递减!--------------#分
! !
当D"*时$由01%/&#*$得*#/# $由01%/&"*$得/" $---------$分
D D
% !& %! &
所以0%/&在 *$ 上单调递减$在 $:; 上单调递增!
D D
% !&
综上可知$当D%*时$0%/&在%*$:;&上单调递减!当D"*时$0%/&在 *$ 上单调递
D
%! &
减$在 $:; 上单调递增!------------------------%分
D
D
%#&解,依题意可得当D"*时$D/0 073/"*对任意/+%!$:;&恒成立!
/
D D ! D%/#:!&0/
令6%/&/D/0 073/$/+%!$:;&$则61%/&/D: 0 / !---&分
/ /# / /#
!高三数学"参考答案!第!!!!(页#共"页$% !!"&’#%("
!"#!$$!%!
$当D) 时$D%/#:!&)#/D)/$ ---------------------’分
#
则D%/#:!&0/)*$所以61%/&)*$
则6%/&在%!$:;&上单调递增$则6%/&"6%!&/*$符合题意!---------(分
! !0槡!0%D# !:槡!0%D#
%当*#D# 时$D%/#:!&0//*有两根// $// $
# ! #D # #D
因为/"*$/"*且///!$所以*#/#!$/"!$所以由D%/#:!&0/"*$即61%/&"
! # ! # ! #
*$得/"/$
#
由61%/&#*$得!#/#/$ ------------------------)分
#
所以6%/&在%/$:;&上单调递增$在%!$/&上单调递减$则6%/%!&/*$则*#D#
# # #
!
不符合题意!------------------------------"分
#
’! &
故D的取值范围是 $:; !-----------------------!*分
#
! D
%$&证明,由%#&可得$当D/ 时$D/0 073/"*对任意/+%!$:;&恒成立$
# /
!
即#73/#/0 对任意/+%!$:;&恒成立!----------------!!分
/
! !
令//#:!$#+"6$则#73%#:!&##:!0 ##:!0 $----!#分
#:! %#:!&%#:#&
! $ & #
当#/!时$#73##!:!0 / $此时满足%$: #!#:$4!: $即不等式成立!-
# # ! $ !:#
----------------------------------!$分
! !
当#)#时$#$/#73%#:!&##:!0 : $--------------!%分
# #:! #:#
! %! ! ! ! & %#:#:!&# !
所以#=##:$:-:%#:!&0 0 0 :-: 0 / 0 0
# # $ % #:! #:# # #
%! ! &
0 $------------------------------!’分
$ #:#
& # & #
则%=###:$#0 : $即%=: ###:$#: !
# $ #:# # $ #:#
& #
综上可知$对所有的#+"6$%=: ###:$#: !------------!(分
# $ #:#
!评分细则"
% !&%!
"!#第%!&问中$当D%*时$将%*$:;&写成’*$:;&$扣!分!当D"*时$将 *$ $ $
D D
& % !(’! &
:; 写成 *$ $ $:; $不扣分!
D D
!0槡!0%D# !:槡!0%D#
"##第%#&问中$未写出D%/#:!&0//*的两根// $// $不扣
! #D # #D
!高三数学"参考答案!第!!!!)页#共"页$% !!"&’#%("
!"#!$$!%分!未写///!$不扣分!未写*#/#!$/"!$扣!分!
! # ! #
"$#第%$&问还可以用下面这种方法证明,
# &
设数列)&*的前#项和为3 $且3 /##:$#: 0 $#+"6!
# # # #:# $
# &
当#/!时$&/3 /!:$: 0 /$!-------------------!!分
! ! $ $
# & # &
当#)#时$3 /%#0!&#:$%#0!&: 0 /##:#0#: 0 !--!#分
#0! #0!:# $ #:! $
# #
所以&/3 03 /##:#: 0 !-----------------!$分
# # #0! #:# #:!
! D !
由%#&可得$当D/ 时$D/0 073/"*对任意/+%!$:;&恒成立$即#73/#/0 对
# / /
!
任意/+%!$:;&恒成立!令//#:!$#+"6$则#73%#:!&##:!0 !---!%分
#:!
! $ &
当#/!时$#73##!:!0 / $所以%73##$$则%=#3 $满足%= : ###:$#:
!:! % ! ! # $
#
!---------------------------------!&分
#:#
# # #
当#)#时$%73%#:!&##%#:!&0 ##%#:!&0 : /&$
#:! #:! #:# #
# &
所以%=#3 $即%=###:$#: 0 ! ----------------!’分
# # # #:# $
& #
综上所述$%=: ###:$#: !--------------------!(分
# $ #:#
!高三数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$% !!"&’#%("
!"#!$$!%
