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数学参考答案
一．选填题答案
DDBBA BDC CD ACD ABD
二．解答题
15．（1）设等比数列 的公比为q
由题意得 ，..........................................................................................................2分
解得 ....................................................................................................................................3分
因为 单调递增，所以 .......................................................................................................4分
所以 的通项公式为 ，即 .................................................6分
（2）因为 ，所以 ，.......................................................................................7分
记 ，则 ，...............................................................9分
所以
即 ..............................................................................12分
........................................................................................................13分
综上所述
16【解】由 可知， ，
，又 ，故 ，如图所示，
所以 ，得
，化简整理得
；........................................................................................7分
【2】因为 ，故 ，所以 ，又 ，
化简得 ，解得 ，又 ，
故 ，所以 的周长为 ......................................15分
第 1 页 共 5 页17．（1）因为两次抽奖相互独立，记“第2次抽到一等奖”为事件B，则 ............5分
（2）由题意知Y的取值可能为0，1，2，3，4，
.............................................................................................................6分
............................................................................................................8分
.................................................................................................................10分
.................................................................................................................12分
.......................................................................................................................14分
所以Y的分布列为
Y 4 3 2 1 0
P
所以Y的数学期望为 ................................15分
18.【小问1详解】
时， ，∴ ，
，则 ，即切线的斜率为 .
∴ 图象在 处的切线方程为 .
【小问2详解】
，即 ，
∴
由题意，得 对 恒成立.
令 ，则 .
.
由 ，得 ，∴ 在 上单调递增；
由 ，得 ，∴ 在 上单调递减.
所以 ，
第 2 页 共 5 页故 .
【小问3详解】
，令 ， ， ，
因 是单调函数，故 有两个零点，等价于 在 上有两个零点.
方法1：
①当 时， ，则 在 上递减， 最多有一个零点，故不满足题意；
②当 时，
令 可得 ，即 在 上单调递增；
令 可得 ，即 在 上单调递减.
且当 时， ，则
当 时，与一次函数相比，指数函数 呈爆炸性增长，故
要使 在 上有两个零点，则 ，解得
方法2： 在 上有两个零点，等价于方程 有两个实根，即 有两个根
也等价于 与 图象有两个公共点
，则可得 在 递增， 递减
且 ，当 时， ，则
当 时，与一次函数相比，指数函数 呈爆炸性增长，故
则 的大致图象为右图
故当 时， 与 图象有两个公共点，即 有两
个零点
19.【小问1详解】
由 ，可得 ，
，
因为 是 上的下凸函数，
所以 在 上恒成立，即 恒成立，
所以 在 上恒成立，
令 ，则 ，当 时， ，
第 3 页 共 5 页所以 在 上单调递增，所以 ，所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
【小问2详解】
令 ， ，
则 ， ，
所以 在 上是下凸函数，
又因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最大值为 .
【小问3详解】
因为正实数 满足 ，所以 .
令 ， ，
则 ， ，
因为 ，所以 ， ， ，
即 ，所以 ，
所以 在 上是下凸函数，
所以 ，
即 ，
即 ，
第 4 页 共 5 页所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
第 5 页 共 5 页
