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龙东十校联盟高三学年度月考
数学试题参考答案
一、单项选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C A B C B D A
1．【解析】因为 ，所以 ．故选A．
2．【解析】 ．故选C．
3．【解析】令 （ ），解得 （ ）．故选A．
4．【解析】因为 和 平行，由两条平行线间距离
公式得 ．故选B．
5．【解析】 因为 ，所以将 图象上所有点，保持纵坐标不变，横
坐标变成原来的 倍，即可得到 的图象．故选C．
6．【解析】 因为函数 是 上的偶函数，所以 图象关于直线
对称．当 时， ，所以 在 上单调递减．
所以不等式 等价于 ，解得 ．故选B．
7．【解析】以 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，则， 设 ， 由 已 知 得 ， 整 理 得
，所以点 到直线 距离的最大值为2，所以△ 面积的最大
值为3．故选D．
8．【解析】 ， ．
设 ，则 ．
因为四点 共面，所以 共面．
设存在实数 ，
使得 ．
所以 ， ， ，解得 ， ．
所以 ．故选A．
二、多项选择题:
题号 9 10 11
答案 ACD ABD AC
9．【解析】因为平面 平面 ，且 平面 ，所以 平面
故A正确．
因为 平面 ， 平面 ，所以 与 是异面直线．故B错误．
取 中点 ，则平面 平面 ，所以 平面 ．故C正确．
因为 ， ，所以 ，所以 ，即 ．故D正确．
故选ACD．
10．【解析】设点 ，则两切点连线的直线方程为 ，因为
，所以 ，所以直线 的方程为 ，即
，所以当 ，即 时，直线 恒过定点
，故A正确；
由垂径定理可知 ，因为直线 经过定点 ，所以 ，所
以 中点 在以 为直径的圆上运动，故B正确；
因为 ，而 ，所以 的取
值范围是 ，故C错误；
因为四边形 的面积等于 ，因为
，所以 ，即四边形 面积的最小
值等于 ，故D正确，故选ABD.
11．【解析】由已知得
整理得 ，
所以 ．故A正确．
由二倍角公式， ，
整理可得， ，
若 ，则 可知等式成立；
若 ，即 ，由诱导公式和正弦函数的单调性可知， ，
同理 ，
又 ，于是 ，
与条件不符，则 不成立；
若 ，类似可推导出 ，则
不成立．
综上讨论可知， ，即 ．
所以 ，所以 ．故B错误．
由面积得
由周长得 ，当且仅当 时取等号，所以 ．故C正确，D错误．
故选AC．
三、填空题:
题号 12 13 14
答案
12．【解析】因为 ，所以 ，解得 ．
13．【解析】由已知得 ， ，所以 ， ，所以
的前 项和等于 ．
14．【解析】设 ，则
．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ．
所以 恒成立，当且仅当 时，曲线 上的点到直线 距离最小．
所以点 到直线 的距离为所求最小值，等于 ．
四、解答题：
15．（本小题满分13分）
【答案】（1） ；（2） ， .
【解析】（1）因为 ， ， ……2分因为 ，
所以 ，所以 ． ………………………………4分
（2）设 到 的距离为 ，
因为 ， ， ………………………………6分
因为 ，
所以 ． ………………………………8分
因为 ，平方得 ，
因为 ，平方得 ，……………………10分
整理得 ． ………………………………12分
又因为 ，
所以 ． ………………………………13分
16．（本小题满分15分）
【答案】（1）见解析；（2） 或 或 ．
【解析】（1）证明：因为 ，
当 时， ．
两式相减得 ， ………………………………2分
所以 ，
所以 ，两式相减得 ．
所以 ， ………………………………4分
即 对任意 且 都成立．
所以数列 为等差数列． ………………………………6分
（2）①由已知可得 ， ………………………………8分
解得 ，所以 ． ………………………………10分
②因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
所以 ． ………………………………12分
整理得 ． ………………………………14分
因为 ，所以 或 或 ．……………………………15分
17．（本小题满分15分）
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】（1）证明：连接 ,在△ 中，因为 为 中点，所以 ．
又因为 ，所以 平面 ， ………………………………2分
因为 平面 ，所以 ． ………………………………3分
（2）解：因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，
所以 平面 ， ………………………………5分所以 ． ………………………………6分
以 为原点， ， ， 的方向为 轴的正方向，建立空间直角坐标系
设 ，则 ， ， ， ．…………7分
， ，
设平面 的法向量 ，则 ，
z
P
取 ．……………………………10分 P
， ，
D
E C
x A B y
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ． ………………………………13分
所以 ，
所以平面 和平面 夹角的余弦值为0． ………………………………15分
18．（本小题满分17分）
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）方法1：因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，将点 代入方程 ，得 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ， ………………………………2分
所以椭圆 的离心率为 . ………………………………3分
方法2：因为 ，所以 ，所以焦点坐标 和 ，
因为点 在 上，由椭圆定义可得
，即 . …………………2分
所以椭圆 的离心率为 . ………………………………3分
（2）因为 ，所以椭圆 的方程为 . ………………4分
设点 ， ， 的中点为 ,
因为 是△ 的重心，所以 ，
所以点 的坐标为 . ………………………………6分
又因为 ， ，两式相减，可得
设直线 的斜率为 ，所以 ，得 . ………………………8分
所以直线 的方程为 ，即
将 代入 ，
得 ， ， ， ………………………………10分
将其代入 ，可解得 两点坐标，不妨设 ，
方法1：因为 轴，且 , …………12分
所以 ， .………………………………14分
设△ 外接圆的半径为 ，
由正弦定理可得 ，所以 .………………………16分
所以△ 外接圆的面积为 . ………………………………17分方法2：设 的中点为 .
又因为直线 的斜率等于 ,
所以线段 的垂直平分线方程为 ，
即 . ………………………………12分
又因为线段 的垂直平分线方程为 ，
由 可解得 ，
所以△ 外接圆圆心坐标为 . ………………………………14分
设△ 外接圆的半径为 ，
则 , ………………………………16分
所以△ 外接圆的面积为 . ………………………………17分
方法3：设△ 外接圆的方程为 .则 ， ………………………………12分
解得 . ………………………………14分
所以△ 外接圆的方程为 ，
即 . ………………………………16分
所以△ 外接圆的面积为 . ………………………………17分
19．（本小题满分17分）
【答案】（1）当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递
减；当 时， 在区间 上单调递减，无单调递增区间；当
时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；（2）见解析．
【解析】（1）因为 ， ， ，
所以当 时，函数 的定义域为 ；当 时，函数 的定义域为 ． ………………………………2分
． ………………………………4分
① 当 时，因为 ，所以 ， ， ，
单 调 递 增 ； ， ， ， 单 调 递 减 ．
……………5分
② 当 时 ， 因 为 ， 所 以 ， ，
， 单 调 递 减 ， 无 单 调 递 增 区 间 ．
………………………………6分
③ 当 时 ， 因 为 ， 所 以 ， ，
， 单调递增； ， ， ， 单调递
减． …………7分
综上所述，当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；
当 时， 在区间 上单调递减，无单调递增区间；当 时，
在 区 间 上 单 调 递 增 ， 在 区 间 上 单 调 递 减 .
………………………8分
（2）当 时，． …………………………9分
则 ， ………………………………10分
设函数 （ ）,
则 ． ……………………12分
因为 ，
所以 在区间 上单调递增． ………………………………13分
因为 ，所以 ，即 ,
所以 ，即 ，
所以 在区间 上单调递增． ………………………………15
分
因为 ，所以 ， ………16分
所以当 时， ，
因为 ,由此可得 . …………………………17
分
