江苏无锡江阴三校联考2026届高三上学期12月月考数学答案_2025年12月_251215江苏省无锡市江阴市三校联考2025-2026学年高三上学期12月月考（全科）

江阴市三校 2025-2026 学年度第一学期 12 月联合考试 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C D A A B C D 二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BCD BCD ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。    3  12. 2e +4e 13． y＝x（或y＝ex﹣1） 14. 0，  1 2  2e2  四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．解：（1）已知椭圆 ： ＞＞ 的左、右焦点分别为F ，F ，P为椭圆C上一点， 1 2 2 2 𝑥𝑥 𝑦𝑦 已知 ，则𝐶𝐶 𝑎𝑎 2+ 𝑏𝑏 2，=即1(𝑎𝑎 𝑏𝑏 0，) ...........................................................1分 |𝐹𝐹1𝐹𝐹2|=4√2 2𝑐𝑐 =4√2 𝑐𝑐 =2√2 由于点P（﹣3，1）在椭圆上，将其代入椭圆方程 ＞＞ ， 2 2 𝑥𝑥 𝑦𝑦 2 + 2 = 1(𝑎𝑎 𝑏𝑏 0) 𝑎𝑎 𝑏𝑏 可得： ，即 ，...........................................................2分 2 2 (−3) 1 9 1 又因为c 2 𝑎𝑎 ＝2 a 2+﹣ 𝑏𝑏b 22，=即1 a 2﹣b𝑎𝑎 22＝+ 8， 𝑏𝑏 2 = 1 联立 ，整理得：b 4﹣2b 2﹣8＝0，...........................................................4分 2 2 𝑎𝑎 −𝑏𝑏 =8 �9 1 解得： 𝑎𝑎 2 b 2+＝ 𝑏𝑏 4 2或=1 b 2＝﹣2（舍），...........................................................5分 所以a 2＝b 2 +c 2＝4+8＝12， 故椭圆C的标准方程为 ；...........................................................6分 2 2 𝑥𝑥 𝑦𝑦 （2）因为 ， 1 2 + 4 = 1 𝜋𝜋 ∠𝐹𝐹1𝑃𝑃𝐹𝐹2 = 3 学科网（北京）股份有限公司所以△F PF 的面积 ，...........................................................8分 1 2 � 1 𝜋𝜋 3 则|PF |•|PF |＝2，根𝑆𝑆据=椭圆|𝑃𝑃定𝐹𝐹1义||𝑃𝑃可𝐹𝐹2得|⋅：𝑠𝑠𝑠𝑠|P𝑠𝑠F |=+|PF |＝2a，...........................................................9分 1 2 2 31 2 2 根据余弦定理可得： ， 2 2 2 𝜋𝜋 整理得： |𝐹𝐹1𝐹𝐹2| =|𝑃𝑃𝐹𝐹1| +|𝑃𝑃𝐹𝐹2| −2|𝑃𝑃𝐹𝐹1||𝑃𝑃𝐹𝐹2|𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 3 ，...................................11分 2 2 𝜋𝜋 代入得：| 4 𝐹𝐹 c 12𝐹𝐹＝ 2| 4a =2﹣(| 6 𝑃𝑃，𝐹𝐹1 即|+|𝑃𝑃𝐹𝐹2|) −2|𝑃𝑃𝐹𝐹1 ，||𝑃𝑃 𝐹𝐹2|−2|𝑃𝑃𝐹𝐹1||𝑃𝑃𝐹𝐹2|𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 3 2 2 2 3 𝑎𝑎 −𝑐𝑐 =𝑏𝑏 = 即得： ．...................................13分 2 � 6 𝑏𝑏 = 2 16.解：(1) f′( x )=3x2 +2 ( a+2 ) x+b 由题意得： f′(−1 )=3−2 ( a+2 ) x+b=0化简得：b=2a+1.........................................................2分 f (−1 )=(−1 )3 +( a+2 )(−1 )2 +b (−1 )−a2 =−2化简得：−a2 +a−b+3=0......................................3分 a=1 a=−2 联立方程代入求解得： 或 .........................................................................................5分 b=3 b=−3 当a=1，b=3此时 f′( x )=3 ( x+1 )2，导数在x=−1处不变号，不是极值点，舍去；................6分 当a=−2，b=−3此时 f′( x )=3 ( x−1 )( x+1 )，导数在x=−1处左右符号变号，是极值点。 ∴a=−2,b=−3........................................................................................7分 （列表格同样给分） （2）解：由（1）得 f′( x )=3x2 −3，故 f′( n )=3n2 −3，S = 1( 3n2 −3 ) +2=n2 +1.................................8分 n 3 当n=1时，a =S =2； 1 1 ( ) [ ] 当n≥2时，a =S −S = n2 +1 − ( n−1 )2 +1 =2n−1 n n n−1  2, n=1 而a =2不满足上式∴a = ................................................................................10分 1 n 2n−1, n≥2 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1  ∴n≥2时，T = + + +3+ = +  − + − +3+ −  n 2×3 3×5 5×7 ( 2n−1 )( 2n+1 ) 6 23 5 5 7 2n−1 2n+1 1 1 1 1 1 = + − = − .................................................................13分 6 6 4n+2 3 4n+2 1 1 1 且T = 也满足上式，∴T = − 1 6 n 3 4n+2 1 1 ∴T = − .................................................15分 n 3 4n+2 17.解：（1）证明：因为在四边形ABCD中，AB∥CD，且EF∥AD，所以 AEFD， 又∠DAB＝90°，所以四边形AEFD为矩形， ▱ 折叠后，显然EB∥FC，EB 平面CD′F，FC 平面CD′F， ⊄ ⊂ 学科网（北京）股份有限公司所以EB∥平面CD′F，........................................................2分 又EA′∥FD′，且FD′ 平面CD′F，EA′ 平面CD′F， 所以EA′∥平面CD′F，....⊂..........................4分 ⊄ 又EA′∩EB＝E，所以平面EA′B∥平面CD′F，又A′B 平面EA′B， 所以A′B∥平面CD′F；................................6分 ⊂ （2）由∠DAB＝90°，EF∥AD，所以EF⊥CD，所以EF⊥FC，EF⊥FD′， 所以面EFD′A′与面EFCB所成二面角的平面角为∠CFD′＝60°， 结合CF∩FD′＝F，所以EF⊥平面CFD′，可得平面CFD′⊥平面EBCF， 又F为CD的中点，所以△CFD′为等边△，...............................8分 如图以F为原点建立空间直角坐标系，................................9分 设AB＝3AD＝6，则CD＝2AD＝4， 所以F（0，0，0），E（2，0，0），C（0，2，0），B（2，4，0），D′（0，1， ）， 所以 ，， ， （0，1， ）， ，， ， ， ，√3 ， → → → → 设平面𝐹𝐹𝐹𝐹E=FD(2′A0′的0)法向𝐹𝐹𝐹𝐹量′为= ，√3， 𝐶𝐶，𝐶𝐶 =(2 2 0) 𝐶𝐶𝐹𝐹′=(0 −1 √3) → 𝑚𝑚=(𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧) 则 → → ，可得 ， ， ，.....................11分 → � 𝑚𝑚 → ⋅𝐹𝐹→𝐹𝐹 =2𝑥𝑥 =0 𝑚𝑚=(0 −√3 1) 再𝑚𝑚设⋅𝐹𝐹平𝐹𝐹′面=B𝑦𝑦C+D′ √3的𝑧𝑧法=向0 量 ，， ， → 𝑠𝑠 =(𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧) 则 → → ，解得 ， ， ，.....................13分 → 𝑠𝑠⋅𝐶𝐶𝐶𝐶 =2𝑥𝑥+2𝑦𝑦 =0 �→ → 𝑠𝑠 =(−√3 √3 1) 𝑠𝑠⋅𝐶𝐶𝐹𝐹′=−𝑦𝑦+√3𝑧𝑧=0 设面BCD′与面EFD′A′所成二面角为 ， θ 则|cos | ，.....................14分 → → � � � |𝑚𝑚⋅𝑠𝑠| |0×(− 3)− 3× 3+1×1| 1 θ= |𝑚𝑚 → || → 𝑠𝑠| = � (− � 3) 2 +1 2� (− � 3) 2 +( � 3) 2 +1 2 =� 7 所以sin ．.....................15分 � 2 42 θ=√1−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝜃𝜃 = 7 学科网（北京）股份有限公司18. 解：（1）根据题意可知， ， 1+𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝐴𝐴 1+𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝐵𝐵 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝐴𝐴 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝐵𝐵 所以 ，.....................2分 2 2 (𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝐴𝐴+𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝐴𝐴) (𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝐵𝐵+𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝐵𝐵) 2 2 = 2 2 即 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝐴𝐴−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐴𝐴 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝐵𝐵，−𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐵𝐵 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝐴𝐴+𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝐴𝐴 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝐵𝐵+𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝐵𝐵 整 𝑐𝑐 理 𝑐𝑐 得 𝑠𝑠𝐴𝐴−si𝑠𝑠n𝑠𝑠A𝑠𝑠c𝐴𝐴os = B﹣ 𝑐𝑐𝑐𝑐c𝑠𝑠o𝐵𝐵sA−s𝑠𝑠in𝑠𝑠𝑠𝑠B𝐵𝐵 ＝0，所以sin（A﹣B）＝0，.....................5分 因为A，B （0， ），则A﹣B （﹣ ， ），所以A﹣B＝0， 即A＝B， ∈ 则△ABπC为等腰三角 ∈ 形；.π.......π....7分 （2）由（1）及题设，有AC＝BC＝2CD， 所以 2 2 ............10分 2 2 2 2 2 𝐶𝐶𝐶𝐶 3𝐶𝐶𝐶𝐶 2 𝐶𝐶𝐶𝐶 +𝐶𝐶𝐹𝐹 −𝐶𝐶𝐹𝐹 𝐶𝐶𝐶𝐶 +𝐶𝐶𝐹𝐹 − 4 4 +𝐶𝐶𝐹𝐹 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐹𝐹 = = = 2𝐶𝐶𝐶𝐶⋅𝐶𝐶𝐹𝐹 ，当2且𝐶𝐶𝐶𝐶仅⋅𝐶𝐶当𝐹𝐹 2𝐶𝐶时𝐶𝐶⋅，𝐶𝐶𝐹𝐹等号成立，............12分 3𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐹𝐹 3𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐹𝐹 � 3 𝐴𝐴𝐴𝐴 √3 = + ≥2� ⋅ = = 又∠8𝐶𝐶 C 𝐹𝐹 AD 2为𝐶𝐶𝐶𝐶三角形内8𝐶𝐶角𝐹𝐹，2所𝐶𝐶𝐶𝐶以 2 ，即∠𝐴𝐴𝐴𝐴CAD的2 最大值为 ，............14分 𝜋𝜋 𝜋𝜋 ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐹𝐹 ≤ 6 6 此时 ，又 ，所以 1， 𝐴𝐴𝐴𝐴 √3 𝐴𝐴𝐴𝐴 1 𝐶𝐶𝐹𝐹 2 𝐶𝐶𝐹𝐹 2 故 𝐴𝐴A𝐴𝐴D =2 +C2D 2＝A𝐴𝐴C𝐴𝐴 2， = 可 2 得三角形 ( 𝐶𝐶𝐶𝐶A ) CD + 为 ( 𝐶𝐶直𝐶𝐶 ) 角三 = 角形且 ， 𝜋𝜋 可得△ABC为正三角形，.......................................................∠...𝐶𝐶..𝐶𝐶...𝐹𝐹....=....16分 3 又AB＝1，所以当∠CAD最大时，△ABC的面积 ．................17分 � � 3 2 3 𝑆𝑆 = ×1 = 4 4 19.解：（I） ①因为|2﹣4|＞|4﹣3|，所以该数列不是M数列；................1分 ②因为|4﹣2|＜|2﹣8|＜8﹣1|，所以该数列是M数列．................2分 证明：（II） 必要性：若数列{a }是等差数列，设公差为d， n 则b ＝|a ﹣a |＝|d|． m m m+1 所以数列{b }是常数列．................4分 m 充分性：若数列{b }是常数列， m 则b ＝b （m＝1，2，⋯，n﹣2），即|a ﹣a |＝|a ﹣a |（m＝1，2，…，n﹣2）． m m+1 m m+1 m+1 m+2 所以a ﹣a ＝a ﹣a 或 a ﹣a ＝﹣（a ﹣a ）．................6分 m m+1 m+1 m+2 m m+1 m+1 m+2 因为数列{a }的各项互不相同， n 所以a ﹣a ＝a ﹣a ． m m+1 m+1 m+2 学科网（北京）股份有限公司所以数列{a }是等差数列．................7分 n （III） 当m＝3时，因为|a﹣a |≤2（i＝1，2），所以|a ﹣a |+|a ﹣a |＜5，不符合题意； i i+1 1 2 2 3 当m＝4时，数列为3，2，4，1．此时|a ﹣a |+|a ﹣a |+|a ﹣a |＝6，符合题意； 1 2 2 3 3 4 当 m＝5 时，数列为 2，3，4，5，1．此时|a ﹣a |+|a ﹣a |+|a ﹣a |+|a ﹣a |＝7，符合题意；.........10 1 2 2 3 3 4 4 5 分 下证当m≥6时，不存在m满足题意． 令b ＝|a ﹣a |（k＝1，2，⋯，m﹣1）， k k k+1 则1≤b 1 ≤b 2 ≤⋯≤ b m﹣1 ，且 ， 𝑚𝑚−1 所以b 有以下三种可能： ∑𝑘𝑘=1 𝑏𝑏𝑘𝑘 =𝑚𝑚+2 k ， ，， ， ， ，， ， ① ； ② ， ； ③ ， 1 (𝑘𝑘 =1 2 ⋯ 𝑚𝑚−3) 1 (𝑘𝑘 =1 2 ⋯ 𝑚𝑚−2) ， 𝑏𝑏𝑘𝑘 =� 𝑏𝑏𝑘𝑘 =� 2 (𝑘𝑘 =𝑚𝑚−2) 4 (𝑘𝑘 =𝑚𝑚−1) ， ，， ， 3 (𝑘𝑘 =𝑚𝑚−1) ． ， ， ， 1 (𝑘𝑘 =1 2 ⋯ 𝑚𝑚−4) 𝑏𝑏𝑘𝑘 =� 2 ，(𝑘𝑘 =𝑚𝑚−，3 ，𝑚𝑚−，2 𝑚𝑚−1) 当 时，因为b 1 ＝b 2 ＝⋯＝b m﹣2 ，.........13分 ， 1 (𝑘𝑘 =1 2 ⋯ 𝑚𝑚−2) 𝑏𝑏𝑘𝑘 =� 由（II）知4 ：(a𝑘𝑘 1 ，=a𝑚𝑚 2 ，−⋯1)，a m﹣1 是公差为1（或﹣1 ）的等差数列． 当公差为1时，由b ＝4得a ＝a +4 或a ＝a ﹣4，所以a ＝a +4＝a +m+2＞m或a ＝a m﹣1 m m﹣1 m m﹣1 m m﹣1 1 m m ﹣4＝a ，与已知矛盾． ﹣1 m﹣s 当公差为﹣1时，同理得出与已知矛盾． ， ，， ， 所以当 时，不存在m满足题意． ， 1 (𝑘𝑘 =1 2 ⋯ 𝑚𝑚−2) 𝑏𝑏𝑘𝑘 =� 其它情况同理 4 ．..(..𝑘𝑘...=..1𝑚𝑚6分 − 1) 综上可知，m的所有取值为4或5．.........17分 学科网（北京）股份有限公司