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江阴市三校 2025-2026 学年度第一学期 12 月联合考试
数学试卷
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确
的．请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置．
1．已知集合A={−4,0,1,2,8},B= { x∣x3 = x } ,则AB = ( )
A. {0,1,2} B. {1,2,8} C. {2,8} D. {0,1}
1−i
2．在复平面内，点Z(1，﹣2)对应的复数为z，则 = ( )
z
2 2 10 5
A． B． C． D．
5 5 5 5
3．直线l ,l 互相平行的一个充分条件是 ( )
1 2
A．l ,l 都平行于同一个平面 B．l ,l 与同一个平面所成的角相等
1 2 1 2
C．l ,l 都垂直于同一条直线 D．l ,l 都垂直于同一个平面
1 2 1 2
4.设A(x ，y )，B(x ，y )为平面上两点，定义d(A，B)＝|x ﹣x |+|y ﹣y |为A，B的“直角距离”．若d(A，
1 1 2 2 1 2 1 2
B)＝2，则线段AB长度的最小值为 ( )
A． 2 B． 3 C．2 D． 5
5.已知{
a
}是首项和公差均为m的等差数列，{
b
}是首项和公比均为m的等比数列，m∈N∗，若{
a
}的前
n n n
5项和与{ b }的前4项和都等于S，则S= （ ）
n
A. 30 B. 32 C. 42 D. 46
6.某化工厂对产生的废气进行过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 P(单位：mg/L)与时间(单位：h)
间的关系为：P=Pe−kt，其中P ，k是正的常数．如果在前5h消除了10%的污染物，则污染物减少50%
0 0
需要花费的时间为( )(精确到1h，参考数据log 0.5≈6.579)
0.9
A．30 B．31 C．32 D．33
7．古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262～公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成
果．其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数 ( ≠1)的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗
尼斯圆．已知点O(0，0)，A(3，0)，动点P(x，y)满足 PO λ=λ 1 ，则点P的轨迹与圆C：(x﹣2) 2 +y 2＝1的公
PA 2
切线的条数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知 f ( x ) 的导函数为 f′( x ) ，当x>0时， f′( x )⋅xlnx+ f ( x )>0，则下列结论一定正确的是( )
A. f ( 1 )=0 B. f′( 2 )<0
C. f ( x ) 在( 0,1 )上单调递减 D. 当x>0时， f ( x )>0
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 在长方体ABCD﹣A B C D 中，AD＝AA ＝1，AB＝2，动点E在棱AB上，则 ( )
1 1 1 1 1
A．D E∥C C B．D E⊥A D
1 1 1 1
C．三棱锥D ﹣ECC 的体积是定值 D．若D E⊥EC，则AE长为1
1 1 1
学科网（北京）股份有限公司10.已知圆C:(x−2)2+y2 =1，点P是直线x+y=0上一动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别是A
和B，下列说法正确的为 ( )
1
A．圆C上恰有一个点到直线l的距离为 B．四边形ACBP面积的最小值为1
2
3 1
C．存在唯一P点，使得∠APB=90 A D．直线AB恒过定点( ,− )
2 2
11.设函数f(x)＝|sinx|＋|cosx|，则 ( )
π
A．f(x)的图象关于直线x= 对称
4
π
B．f(x)的一个正周期为
2
3π 7π
C．f(x)的一个单调减区间是 ，
2 4
D．函数g ( x )= f ( x )− 6 在区间[m，n](m＜n)上有2026个零点，则n﹣m的最小值为 3037 π.
2 6
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 如图，平面向量e ，e ，向量a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，
1 2
请用基底e ，e 表示a = ．
1 2
13．若直线l为曲线f(x)＝ex﹣1与g(x)＝lnx+1的公切线，
则直线l的方程可以为 ．(写出符合条件的一个方程即可)
14. 函数 f ( x )=x ( lnx−ax )−
e2
有两个零点，则实数a的取值范围为 .
2
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知椭圆 的左、右焦点分别为F ，F ，P为椭圆C上一点．
1 2
(1)若焦距为4 2 ，点P的坐标为(﹣3，1)，求椭圆C的标准方程；
3
(2)若 ，且△F PF 的面积为 ，求b的值．
1 2
2
学科网（北京）股份有限公司16.(15分)已知函数 f ( x )=x3 +( a+2 ) x2 +bx−a2在x=−1处有极值为－2. (1)求a,b；
(2)已知数列{ a }的前n项和S ，满足S = 1 f′( n )+2，记T = 1 + 1 +3+ 1 ,求T
n n n n n
3 a a a a a a
1 2 2 3 n n+1
17. (15分)如图，在四边形ABCD中，AB//CD,∠DAB=90°，F为CD的中点，点E在AB上，EF//AD，
AB=3AD,CD=2AD，将四边形EFDA沿EF 翻折至四边形EFD′A′，使得面EFD′A′与面EFCB所成
的二面角为60°．
(1)证明:A′B//平面CD′F；
(2)求面BCD′与面EFD′A′所成的二面角的正弦值．
学科网（北京）股份有限公司1+sin2A 1+sin2B
18. (17分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 = ．
cos2A cos2B
(1)判断△ABC的形状；
(2)设AB＝1，且D是边BC的中点，当∠CAD最大时，求△ABC的面积．
19. (17分)若有穷数列{a
n
}(n∈N*且n≥3)满足|a
i
−a
i+1
||a
i+1
−a
i+2
|(i=1，2，3，n−2)，
则称数列{a }为M 数列．
n
(1)判断下列数列是否为M 数列，并说明理由；
①1，2，4，3． ②4，2，8，1．
(2)已知M 数列{a }中各项互不相同．令b =|a −a |(m=1，2，3，n−1)，
n m m m+1
求证：数列{a }是等差数列的充分必要条件是数列{b }是常数列；
n m
(3)已知一个M 数列{a }是m(m∈N*且m3)个连续正整数1，2，3，m的一个排列．
n
m−1
若∑|a −a |=m+2，求m的所有取值．
k k+1
k=1
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