文档内容
2022 年呼和浩特市中考试卷数学
注意事项：
1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置．
2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，本试卷和答题卡一并
交回．
3．考试时间120分钟．
一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 计算 的结果是（ ）
A. B. 1 C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】先把减法转化为加法，再按照有理数的加法法则运算即可．
【详解】解： ．
故选：C．
【点睛】此题考查的是有理数的减法，掌握有理数的减法法则进行运算是解题的关键．
2. 据2022年5月26日央视新闻报道，今年我国农发行安排夏粮收购准备金1100亿元．数据“1100亿”用
科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整
数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：1100亿＝110000000000＝ ，
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 不透明袋中装有除颜色外完全相同的 个白球、 个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据概率公式直接求解即可．
【详解】 共有 个球，其中红球b个
从中任意摸出一球，摸出红球的概率是 ．
故选A ．
【点睛】本题考查了简单概率公式的计算，熟悉概率公式是解题的关键．
4. 图中几何体的三视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图示确定几何体的三视图即可得到答案．
【详解】由几何体可知，该几何体的三视图为
故选C
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的视图方位及画法是解题的关键，注意实际存在又
没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示．
5. 学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位： ），分别
为：4，5，5，6，10．这组数据的平均数、方差是（ ）
A. 6，4.4 B. 5，6 C. 6，4.2 D. 6，5【答案】A
【解析】
【分析】分别利用求平均数和方差的公式计算，即可求解．
【详解】解：平均数 为 ；
方差为 ．
故选：A
【点睛】本题主要考查了求平均数和方差，熟练掌握求平均数和方差的方法是解题的关键．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据二次根式乘法法则，完全平方公式，异分母分式加减法法则以及分式除法法则计算出各
项结果后，再进行判断即可．
【详解】解：A. ，故此计算错误，不符合题意；
B. ，故此计算错误，不符合题意；
C. ，故此计算错误，不符合题意；
D. ，计算正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式乘法，完全平方公式，异分母分式加减法以及分式除法，熟练掌握相关
运算法则是解答本题的关键．7. 如图， 中， ，将 绕点 顺时针旋转得到 ，使点 的对应点 恰好
落在 边上， 、 交于点 ．若 ，则 的度数是（用含 的代数式表示）（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得，BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，则∠B=∠BDC，利用三角形内角和可求得
∠B，进而可求得∠E，则可求得答案．
【详解】解：∵将 绕点 顺时针旋转得到 ，且
∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，
∴∠B=∠BDC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转变换、三角形内角和、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．8. 已知 ， 是方程 的两个实数根，则代数式 的值是（ ）
A. 4045 B. 4044 C. 2022 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：解：∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
故选A
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数
的关系是解题的关键．
9. 如图，四边形 是菱形， ，点 是 中点， 是对角线 上一点，且
，则 的值是（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取AC的中点M，连接EM设 由中位线性质可得 再根
据 ， 可得出 从而得到FC的长，即可得到 的结果．
【详解】解：如图所示：取AC的中点M，连接EM，DM ，设∵点 是 中点，
∴EM是 的中位线，
四边形 是菱形，
，∠AMD=90°，
，
∴DM= ，
∴AM=故选：D．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和中位线的性质，熟练掌握这些性质是解此题的关键．
10. 以下命题：①面包店某种面包售价 元/个，因原材料涨价，面包价格上涨10%，会员优惠从打八五折
调整为打九折，则会员购买一个面包比涨价前多花了 元；②等边三角形 中， 是 边上一
点， 是 边上一点，若 ，则 ；③两边及第三边上的中线对应相等的两个
三角形全等；④一列自然数0，1，2，3，55，依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数，
则原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大．其中真命题的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识逐项判断即可，
【详解】解：①项，会员原来购买一个面包需要0.85a元，现在需要a×(1+10%)×0.9=0.99a，则会员购买一
个面包比涨价前多花了0.99a-0.85a=0.14a元，故①项正确；
②项，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，∠C+∠EDC=∠AED，
又∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC=∠C+∠EDC+∠EDC，∴∠BAD=∠EDC+∠EDC=2∠EDC，故②项错误；
③项，如图，△ABC和△DEF，AB=DE，AC=DF，AM是△ABC的BC边上的中线，DN是△DEF的边EF
上的中线，AM=DN，即有△ABC≌△DEF，理由如下：
延长AM至G点，使得AM=GM，连接GC，延长DN至H点，使得DN=NH，连接HF，
∵AM是中线，
∴BM=MC，
∵AM=MG，∠AMB=∠GMC，
∴△AMB≌△GMC，
∴AB=GC，
同理可证DE=HF，
∵AM=DN，
∴AG=2AM=2DN=DH，
∵AB=DE，
∴GC=HF，
∴结合AC=DF可得△ACG≌△DFH，
∴∠GAC=∠HDF，
同理可证∠GAB=∠HDE，
∴∠BAC=∠GAB+∠GAC=∠HDF+∠HDE=∠EDF，
∵AB=DE，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF，故③正确；
④设原数为x，则新数为 ，设原数与新数之差为y，
即 ，变形为： ，
将x等于0、1、2、3、55分别代入可知，y随着x的增大而增大，故④正确；
即正确的有三个，
故选：C，
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识，掌握全等三
角形的判定与性质是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答
过程）
11. 因式分解： ______．
【答案】
【解析】
【分析】利用提公因式法和公式法即可求解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．
12. 点 、 在反比例函数 的图象上，若 ，则 的取值范围是
______．
【答案】
【解析】
【分析】反比例函数中k＞0，则同一象限内y随x的增大而减小，由于 ，得到 ，
从而得到 的取值范围．
【详解】解：∵在反比例函数y= 中，k＞0，
∴在同一象限内y随x的增大而减小，
∵ ，
∴这两个点在同一象限，∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当k＞0，在每一象限内
y随x的增大而减小；当k＜0，在每一象限内y随x的增大而增大．
13. 如图，从一个边长是 的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为_______（用含 的代数式
表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先求出扇形的半径与圆心角，再利用扇形弧长与所围成的圆锥的底面周长的关系求出圆锥的底面
半径 ，则可得出答案．
【详解】解：∵五边形 为正五边形，
，
∵ ，这个扇形的面积为： ，
设圆锥的底面圆半径为 ，则直径为： ，则: ，
解得 ，
∴ ．故答案为： ， ．
【点睛】此题考查了正多边形内角和定理，扇形、圆锥的相关计算，掌握扇形所围的圆锥与扇形之间的等
量关系是解决本题的关键．
14. 某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，
超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了_______千克糯米；设某人的付款金额
为 元，购买量为 千克，则购买量 关于付款金额 的函数解析式为______．
【答案】 ①. 3 ②. ##
【解析】
【分析】根据题意列出一元一次方程，函数解析式即可求解．
【详解】解： ，
超过2千克，
设购买了 千克，则 ，
解得 ，
设某人的付款金额为 元，购买量为 千克，则购买量 关于付款金额 的函数解析式为：
，
故答案为：3， ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列函数解析式，根据题意列出方程或函数关系式是解题的关键．
15. 已知 为⊙ 的直径且 ，点 是⊙ 上一点（不与 、 重合），点 在半径 上，且
， 与过点 的⊙ 的切线垂直，垂足为 ．若 ，则 _____，
_______．
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】根据题意作出图形，连接 ，根据切线的性质，等边对等角，平行线的性质可得 ，根据 ，可得 ,可得 ,进而证明 ，根据相
似三角形的性质列出方程，解方程即可求解．
【详解】如图，连接 ，
是⊙ 的切线， ， ，
,
，
,
,
,
,
,
,
,
,
,设 ，则
解得 （舍去）
即
故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知
识结合图形求解是解题的关键．
16. 在平面直角坐标系中，点 和点 的坐标分别为 和 ，抛物线
与线段 只有一个公共点，则 的取值范围是______．
【答案】 或
【解析】
【分析】根据抛物线求出对称轴 ， 轴的交点坐标为 ，顶点坐标为 ，直线CD的表达
式 ，分两种情况讨论：当 时，当 时，利用抛物线的性质可知，当 越大，则抛物线的
开口越小，即可求解．
【详解】解：抛物线的对称轴为： ，当 时， ，故抛物线与 轴的交点坐标为
，顶点坐标为 ，直线CD的表达式 ，当 时，且抛物线过点 时，
，解得 （舍去），
当 ，抛物线 与线段 只有一个公共点时，
即顶点在直线CD上，则 ，解得 ，
当 时，且抛物线过点 时，
，解得 ，
由抛物线的性质可知，当 越大，则抛物线的开口越小，且抛物线与线段 只有一个公共点，
∴ ，且 ，
解得 ，
综上所述， 的取值范围为 或 ，
故答案为 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解对称轴的含义，熟练掌握二次函数的性质，巧妙运用分类讨论
思想解决问题是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 计算求解：
（1）计算
（2）解方程组
【答案】（1） 5（2）
【解析】
【
分析】（1）先去绝对值，算负整数指数幂，将特殊角三角函数值代入，再计算即可；
（2）直接解二元一次方程组即可．
【小问1详解】
原式＝2 + 3
5；
【小问2详解】
整理方程组得： ，
由①得：y＝5-4x③，
将③代入②得：-5x＝5，
解得：x＝-1，
将x＝-1代入③得：y＝9，
则方程组得解为： ．
【点睛】本题考查实数运算和解二元一次方程组，解答本题的关键是掌握各知识点的运算法则．
18. “一去紫台连朔漠，独留青冢向黄昏”，美丽的昭君博物院作为著名景区现已成为外地游客到呼和浩
特市旅游的打卡地．如图，为测量景区中一座雕像 的高度，某数学兴趣小组在 处用测角仪测得雕像
顶部 的仰角为 ，测得底部 的俯角为 ．已知测角仪 与水平地面垂直且高度为1米，求雕像
的高．（用非特殊角的三角函数及根式表示即可）【答案】 米
【解析】
【分析】过点 作 于 ，则四边形 是矩形，则 ，在 与
中，分别表示出 ，根据 即可求解．
【详解】如图，过点 作 于 ，则四边形 是矩形，
，
中， ，
，中， ，
，
米
答：雕像 的高为 米
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
19. 某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当
的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），
数据如下：17 18 16 13 24 15 27 26 18 19 22 17 16 19 32 30 16 15 16 28 15
32 23 17 14 15 27 27 16 19，对这30个数据按组距3进行分组，并整理和分析如下：
频数分布表：
组
一 二 三 四 五 六 七
别
销
售
额
/
万
元
频
6 10 3 3 2
数
数据分析表：
平均数 众数 中位数
20.3
请根据以上信息解答下列问题：
（1）上表中 ， ， ， ；
（2）若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由；
（3）若从第六组和第七组内随机选取两名营业员在表彰会上作为代表发言，请你直接写出这两名营业员
在同一组内的概率．【答案】（1）4,2,16,18
（2）18，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知数据找出在 ， 的频数即可求解，根据众数与中位数的定义
即可求得 的值；
（2）根据中位数的意义求解．
（3）根据列表法求概率求解．
【小问1详解】
解：将30个数据，从小到大排列如下，
13，14，15，15，15，15，16，16，16，16，16，17，17，17，18，18，19，19，19，22，23，24，26，
27，27，27，28，30，32，32，
在 的数据为26，27，27，27，4个，故 ，
在 的数据为28，30，共2个，故 ，
其中 出现了5次，次数最多，故 ，
第15和第16个数据为18，故 ，
故答案为：4，2，16，18．
【小问2详解】
18万元
理由：根据中位数为18万元，想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为18万元合
适，
【小问3详解】
设第六组两名营业员为 和第七组的两名营业员 ，列表如下，
A B C D
A AB AC ADB BA BC BD
C CA CB CD
D DA DB DC
共有12种等可能结果，两名营业员在同一组内的情形有4种可能，
故两名营业员在同一组内 的概率为 ．
【点睛】本题考查了频数分布表，中位数，众数，列表法求概率，掌握数据统计的方法以及求概率的方法
是解题的关键．
20. 如图，在 中， ，以 为直径的⊙ 交 于点 ，交线段 的延长线于点 ，
连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 ．
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）连接AD，由AB为直径可得AD⊥BC，再根据等腰三角形的三线合一性质即可证明结论．
（2）由（1）可得CD=4，BC=8，根据 即可求得 ，进而利用勾股定理即可求得AC，由
为⊙ 的直径，得∠BEC=∠ADC=90°，∠C为公共角，可得 ，根据三角形相似的性质即可求得CE，进而可求解．
【小问1详解】
证明：连接AD，如图所示：
∵ 为⊙ 的直径，
∴AD⊥BC，
又∵ ，
∴三角形ABC为等腰三角形，
∴AD为BC的垂直平分线，
∴BD=CD．
【小问2详解】
由（1）可得BD=CD=4，
，BC=2BD=8，
，
在Rt△ACD中，
，
又∵ 为⊙ 的直径，
∴∠BEC=∠ADC=90°，且∠C=∠C，
∴ ，
，即 ，
，．
【点睛】本题考查了三角形与圆的综合问题，考查了等腰三角形的判定及性质、圆周角定理、相似三角形
的判定及性质、锐角三角函数及勾股定理的应用，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质及三角形相似对应
边成比例的性质是解题的关键．
21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 、 两
点，且 点的横坐标为1，过点 作 轴， 于点 ，点 是直线 上一点，且
．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，请直接写出不等式 的解集．
【答案】（1） ，
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据点C的坐标及点 点的横坐标，可求得CD的长和点B的纵坐标，进而可求得AC的长，
利用勾股定理即可求得AD，进而点A的坐标，进而可求得反比例函数的解析式，进而可求得点B的坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数解析式．
（2）变形不等式为 ，即 ，根据数形结合，找出反比例函数图象在一次函数图象上方的
部分即可求解．
【小问1详解】
解：∵ ，且 点的横坐标为1，
∴ ，且 ，
，
在 中，
，
，
点A的坐标为 ，且点A在反比例函数 的图象上，
，解得 ，
反比例函数的解析式为： ，
当 时， ，解得 ，
∴点B的坐标为 ，
将 和 代入一次函数 得，，解得 ，
∴一次函数的解析式为： ．
【小问2详解】
由题意得，
，即 ，即 ，
只需反比例函数图象在一次函数图象上方即可，
由图可得当 或 时， ，
∴不等式的解集为： 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，考查了待定系数法求函数解析式及根据图象及性
质解决问题、求不等式的解集，熟练掌握待定系数法求函数的解析式，巧妙借助数形结合思想解决问题是
解题的关键．
22. 今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购
时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降
了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．
（1）问去年每吨土豆的平均价格是多少元？
（2）该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每
天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元．由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少
于加工成淀粉的土豆数量的 ，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？
【答案】（1）去年每吨土豆的平均价格是2200元
（2）应将175吨土豆加工成薯片，最大利润 为202500元
【解析】
【分析】（1）设去年每吨土豆的平均价格是x元，则第一次采购的平均价格为（x+200）元，第二次采购
的平均价格为（x-200）元，根据第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍，据此列方程求解；
（2）先求出今年所采购的土豆枣数，根据所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工
成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的 ，据此列不等式组求解，然后求出最大利润．
【小问1详解】
设去年每吨土豆的平均价格是x元，
由题意得， ，
解得： ，
经检验： 是原分式方程的解，且符合题意，
答：去年每吨土豆的平均价格是2200元；
【小问2详解】
由（1）得，今年的土豆数为： (吨)，
设应将m吨土豆加工成薯片，则应将（375－m）吨加工成淀粉，
由题意得， ，
解得： ，
总利润为： ，
当 时，利润最大，最大利润为： （元）．答：应将175吨土豆加工成薯片，最大利润为202500元．
【点睛】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出
合适的等量关系，列方程求解．
的
23. 下面图片是八年级教科书中 一道题：如图，四边形 是正方形，点 是边 的中点，
，且 交正方形外角的平分线 于点 ．求证 ．（提示：取 的中点 ，连
接 ．）
（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ；
（2）如图1，若点 是 边上任意一点（不与 、 重合），其他条件不变．求证： ；
（3）在（2）的条件下，连接 ，过点 作 ，垂足为 ．设 ，当 为何值时，四边
形 是平行四边形，并给予证明．
【答案】（1）AG=CE
（2）过程见解析 （3） ，证明过程见解析
【解析】
【分析】对于（1），根据点E是BC的中点，可得答案；
对于（2），取AG=EC，连接EG，说明△BGE是等腰直角三角形，再证明△GAE≌△CEF，可得答案；对于（3），设BC=x，则BE=kx，则 ， ，再利用等腰直角三角形的性质表
示EP的长，利用平行四边形的判定得只要EP=FC，即可解决问题．
【小问1详解】
解：∵E是BC的中点，
∴BE=CE．
∵点G是AB的中点，
∴BG=AG，
∴AG=CE．
故答案为：AG=CE；
【小问2详解】
取AG=EC，连接EG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=90°．
∵AG=CE，
∴BG=BE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴∠AGE=135°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°．
∵CF是正方形ABCD外角的平分线，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=90°+45°=135°．
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC=90°．
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，∴△GAE≌△CEF，
∴AE=EF；
【小问3详解】
当 时，四边形PECF是平行四边形．
如图．
由（2）得，△GAE≌△CEF，
∴CF=EG．
设BC=x，则BE=kx，
∴ ， ．
∵EP⊥AC，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴∠PEC=45°，
∴∠PEC+∠ECF=180°， ．
∴ ，
当PE=CF时，四边形PECF是平行四边形，
∴ ，
解得 ．
【点睛】这是一道关于四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四
边形的判定等知识．
24. 如图，抛物线 经过点 和点 ，与 轴的另一个交点为 ，连接 、．
（1）求抛物线的解析式及点 的坐标；
（2）如图1，若点 是线段 的中点，连接 ，在 轴上是否存在点 ，使得 是以 为斜边
的直角三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点 是第一象限内抛物线上的动点，过点 作 轴，分别交 、 轴于点 、 ，
当 中有某个角的度数等于 度数的2倍时，请求出满足条件的点 的横坐标．
【答案】（1） ；A（-1，0）；
（2）存在E（0，3）或（0，-1），使得 是以 为斜边的直角三角形；
（3）2或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）先根据中点坐标公式可得点 ，设点E（0，m），再根据两点坐标公式可得
， ， ，再由
勾股定理，即可求解；（3）先求出 ，再求出直线BC的解析式，然后设点 ，则
，CF=a，可得 ，再分三种情况讨论：若∠PCM=2∠OBC，过点C作
CF∥x轴交PM于点F；若∠PMC=2∠OBC；若∠CPM=2∠OBC，过点P作PG平分∠CPM，则
∠MPG=∠OBC，即可求解．
【小问1详解】
解：把点 和点 代入，得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ，
令y=0，则 ，
解得： ，
∴点A（-1，0）；
【小问2详解】
解：存在，理由如下：
∵点A（-1，0），点 ，点 是线段 的中点，
∴点 ，
设点E（0，m），
∴ ，
，，
∵ 是以 为斜边的直角三角形，
∴ ，
整理得： ，
解得： 或-1，
∴点E的坐标为（0，3）或（0，-1）；
【小问3详解】
解：∵点B（4，0），C（0，2），
∴OB=4，OC=2，
∴ ，
设直线BC的解析式为 ，
把点B（4，0），C（0，2）代入得：
，解得： ，
∴直线BC的解析式为 ，
设点 ，则 ，CF=a，
∴ ，
若∠PCM=2∠OBC，过点C作CF∥x轴交PM于点F，如图甲所示，
∴∠FCM=∠OBC，即 ，
∴∠PCF=∠FCM，∵ 轴，
∴CF⊥PQ，
∴PM=2FM，
∴ ，
∴ ，解得：解得：a=2或0（舍去），
∴点P的横坐标为2；
若∠PMC=2∠OBC，
∵∠PMC=∠BMN，
∴∠BMN=2∠OBC，
∵∠OBC+∠BMN=90°，
∴∠OBC=30°，与 相矛盾，不合题意，舍去；
若∠CPM=2∠OBC，如图乙所示，过点P作PG平分∠CPM，则∠MPG=∠OBC，
∵∠PMG=∠BMN，
∴△PMG∽△BMN，
∴∠PGM=∠BNM=90°，
∴∠PGC=90°，
∵PG平分∠CPM，即∠MPG=∠CPG，
∴∠PCM=∠PMC，
∴PC=PM，
∴ ，
解得： 或0（舍去），
∴点P的横坐标为 ；综上所述，点P的横坐标为2或 ．
图甲 图乙
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函
数的综合题，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解
题的关键．
