文档内容
昆明市第一中学 2026 届高三年级第三次联考
数学试卷
【考试时间：10月29日 14： 30—16： 30】
命题人：昆一中数学命题小组
审题人：杨昆华 刘皖明 莫利琴 毛孝宗 凹婷波 王佳文 顾先成 丁茵 张远雄 蔺书琴本试卷
共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 函数 的最小正周期是（ ）
A. 2π B. π C. D.
3. 已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 （ ）
A. B. 5 C. D.
4. 已知向量 满足 ，则 ＝（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 5 B. －5 C. －11 D. 11
5. 已知双曲线 ，则顶点到渐近线的距离为（ ）
A. B. C. D.
的
6. 若一个圆锥与一个圆柱 体积相等，侧面积也相等，且圆锥底面半径是圆柱底面半径的 倍，圆柱
的高为3，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 在 中， ， 的平分线交 于 ，则 （ ）
A. B. C. D.
8. 设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设抛物线 的焦点为 ，过点F的直线与C交于M，N两点，则下列选项中正确的是（
）
A. 抛物线C的准线方程为
B. 若 ，则点M的纵坐标为2
C. 以MN为直径的圆与直线 相切
D. 以MF为直径的圆与直线 相切
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学科网（北京）股份有限公司10. 函数 的图象如图所示， 若 的图象与 的图象在
处有公切线，其中 ，则（ ）
A.
B. 为奇函数
C.
D. 的图象与 的图象在 处的公切线为
11. 在长方体 中， 底面ABCD为正方形. ，E为棱 上的一个点，
平面 与棱 交于点F，则下列结论正确的有（ ）
A. 当点 E为棱 的中点时，
B. 当点 E为棱 的中点时，点 D 到平面 的距离为
C. 存在点E，使得平面 平面
D. 四边形 的周长的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ______________________.
13. 盒子中有5个小球，分别标有数字为1，2，3，4，5，这些小球除数字外完全相同，现从中依次随机抽
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学科网（北京）股份有限公司取2个小球(不放回)，记取出的两个小球数字分别为m和n，使得关于x的一元二次方程
有实数根的概率为__________.
14. 已知实数 满足： 则
的最大值为__________.
四、解答题：本题共5小题， 其中第15题13 分， 第16、17题15 分， 第18、19 题17
分， 共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
的
15. 某工厂 一个生产车间举行了生产技能测试(满分100分)，经统计，全部测试成绩均位于[50，100]内，
按区间[50， 60)， [60， 70)，[70， 80)， [80， 90)， [90， 100]分成5组， 绘制频率分布直方图如
图，其中在[90，100]内的人数为6.
（1）求a的值，并估计参加测试的职工的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；
的
（2）现将[50， 60)和[90， 100]内 所有职工的工号贴在形状、大小和质地均相同的小球上(每个小球贴
一个工号)，并放入盒内，从盒中随机抽取两个小球，若抽出的两人成绩差不小于30，称这两人为“黄金搭
档组”.若抽取4次，每次取出2个球，记下工号后再放回盒内.记取得“黄金搭档组”的次数为X，求X=2的
概率和X的数学期望.
16. 已知数列{ }的首项 且满足
（1）求数列{ }的通项公式；
（2）求数列{ }的前n项和S.
n
17. 已知函数 的图象记为曲线C.
（1）若点A(2，4)在曲线C上，求过点A与曲线C相切的直线方程；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若过点B(2，0)作曲线C的切线恰有三条，且三条切线的切点横坐标构成等差数列，求实数 的值.
18. 已知椭圆E： 的左焦点为 ，过点F且与x轴不重合的直线l交E于
A，B，当直线l的斜率为1时，直线l恰好过椭圆的一个顶点.
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）若在x轴上存在异于F 的定点Q，使得直线 QA 与直线QB的斜率比值为定值，
①求定点 Q 的坐标；
②求△ABQ 面积的最大值.
19. 如图，在三棱锥 中.
（1）若 ， ， 证明： ；
（2）若 ， 平面 ， ，
①求三棱锥 体积 的最大值；
②D为平面 内一点， 且点 D 与点A 位于 两侧， ，求直线 与平面 所成
角的正弦值的最小值.
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