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高二数学试卷
一、单选题
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，将集合 化简，然后结合交集的运算即可得到结果.
详解】 ，
【
而 ，故 ，
故选：B．
2. 已知两个非零向量 与 的夹角为 ，我们把数量 叫作向量 与 的叉乘 的模，记作
，即 .若向量 ， ，则 （ ）
A. B. 10 C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据向量的坐标求 以及 ，再代入叉乘公式，即可求解.
【详解】若向量 ， ，则 ，
，则 ，
.
故选：B3. 已知函数 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】求导，代入求值即可.
【详解】 ，故 .
故选：B
4. 下图为抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区，是抗战胜利的精神象征，
是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．如图：在解放碑的水平地面上的点 A处测得其顶点
P的仰角为45°、点B处测得其顶点P的仰角为30°，若 米，且 ，则解放碑的高度
为（ ）
A. 米 B. 55米 C. 米 D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】设 ，由直角三角形中三角函数定义可得 ，再在 中利用余弦定
理可解.
【详解】设 ，由已知 ， ， ， ，
则 ，又 ，在 中： ，则
解得 或 （舍去），所以解放碑的高度为 米.
故选：A.
5. 已知函数 是定义在 上的减函数，且 为奇函数，对任意的 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，把 转化成 ，再结合函
数 的奇偶性，把不等式转化成 ，再结合 的单调性，得到 ，
分离参数，根据二次函数的性质，可求实数 的取值范围.
【详解】令 ，则 ，
由 ，可得 ，
即 ， .
因为 是定义在 上的减函数，所以 也是定义在 上的减函数，
故 ，即 .
因为 ，所以 ，即实数 的取值范围是 .故选：B
6. 若对任意正实数 都有 ，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用分离参数求最值，即将原不等式化为 ，再构造函数 （
），求其最大值，进而求得结果.
【详解】化简不等式可得 ，即： ，
令 （ ），则对任意的 ， ，
所以 ，设 ， ，
则 ，令 ，
所以 ，所以 在 上单调递减，
又因为 ，
所以 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
所以 ，解得： ，即： 的取值范围为 .
故选：A.
7. 如图，在扇形 中，半径 ，圆心角 ， 是 上的动点（点 不与 、
及 的中点重合），矩形 内接于扇形 ，且 ． ，设矩形 的面
积 与 的关系为 ，则 最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出 ，并求出函数 ，再利用三角恒等变换，正弦函数
性质求出最大值.
【详解】依题意，在 中， ，
由正弦定理得 ，即 ，，
而 ，因此当 ，即 时， .
故选：A
【点睛】思路点睛：几何图形中的面积最值问题，解题关键是借助正余弦定理及三角形面积公式求出角的
函数，结合三角恒等变换和三角函数性质求出最值.
8. 已知函数 ，直线 是曲线 的一条切线，则 的取值范围是（
）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设切点为 ，由导数的几何意义求出切线方程，可把 、 用 表示，从而 可表
示为关于 的函数，再引入新函数，由导数求得函数的值域即得．
【详解】设切点为 ， ，
曲线 在切点 处的切线方程为 ，
整理得 ，所以 ．
令 ，则 ．
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．故 ，
则 的取值范围是 ．
故选：C.
二、多选题
9. 在复平面内，复数 对应点 满足 .点 与 关于 轴对称.则复数 为（
）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据复数的模运算公式可求出 ，进而求出点 的坐标，根据 与 关于 轴对称，可求
出点 的坐标，再根据复数的几何意义，即可求出结果.
【详解】由于复数 对应点 满足
所以 ，所以 ， 或
又点 与 关于 轴对称，所以点 或
所以复数 为 或 .
故选：CD.
10. 在棱长为 正方体 中，点 是线段 上的动点，则下列判断正确的是（ ）
A. 无论点 在线段 的什么位置，三棱锥 的体积为定值
B. 无论点 在线段 的什么位置，都有
C. 当 时， 与 异面D. 若直线 与平面 所成的角为 ，则 的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，设点
，其中 .利用锥体的体积公式可判断A选项；利用空间向量法可判断B选项；利用共
线向量的坐标表示可判断C选项；利用线面角的定义结合同角三角函数的基本关系可判断D选项.
【详解】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角
坐标系，
则 、 、 、 、 、 、 、 、
，其中 .
对于A选项，因为平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，
，故点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，即为 ，
，因此， ，A错；对于B选项， ， ，则 ，故 ，B对；
对于C选项， ， ，
若 ，则 ，无解，故 与 不可能平行，
若 ，设点 ，
， ，因为 ，则 ，则 ，
， ，
因为 ，则 ，解得 .
所以，当 时，即当 时， 与 异面，C对；
对于D选项，设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
，点 到平面 的距离为 ，
由已知可得 ，当 取最小值时， 取最大值，此时 取最大值，
且 ，当且仅当 时，等号成立，
故 的最大值为 ，故 的最大值为 ，D对.故选：BCD.
【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即
可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度 ，从而不必作出线面角，则线面
角 满足 （ 为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设 为直线 的方向向量， 为平面的法向量，则线面角
的正弦值为 .
11. 通过等式 （ ， ）我们可以得到很多函数模型，例如将a视为自变量x，b视为常数，
那么c就是a（即x）的函数，记为y，则 ，也就是我们熟悉的幂函数．事实上，由这个等式还可以
得到更多的函数模型．若令 ，（e是自然对数的底数），将a视为自变量x（ ， ），则b
为x的函数，记为 ，下列关于函数 的叙述中正确的有（ ）
A.
B. ，
C. 若 ，且m，n均不等于1， ，则
D. 若对任意 ，不等式 恒成立，则实数m的值为0
【答案】ACD
【解析】
【分析】先根据题意得出 的解析式，根据计算易于判断A，B两项，对于C项，可根据已知推出，结合基本不等式判断；对于D项，则需要等价转化，运用参变分离法，分区间讨论得出的范围进
行判断.
【详解】由题意知 ，则 ，
对于A， ，A正确；
对于B， ， ，不妨取 ，则 ，B错误；
对于C， ，且m，n均不等于1，
由 得 ，即 ，结合 可知 ，
则 ，故 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，C正确；
对于D，当 时， ，则由 恒成立，
得 恒成立，即 恒成立，
令 ，则 ，
设 ，由于 在 上单调递减，故 ，
则 ，故 ；当 时， ，结合题意可知得 恒成立，
即 恒成立，
此时令 ，同理可得 ，
由于 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，则 ，故 ，
的
综合上述可知m 值为0，D正确，
故选：ACD
三、填空题
12. 2024年10月21日，第52个梅森素数 被发现，这也是迄今为止发现的最大素数.集
合 以这52个梅森素数为元素，其非空真子集有________个.
【答案】
【解析】
【分析】根据集合中元素的个数为 ，则该集合的非空真子集个数为 求解即可.
【详解】因为集合 中有52个元素，所以集合 的非空真子集的个数为 .
故答案为： .
13. 如图，四边形 的顶点都在圆 上，且 经过圆 的圆心，若圆 的半径为 ， ，四
边形 的面积为 ，则 ______．【答案】
【解析】
【分析】连接 、 ，即可得到 ，再由 、面积公式及三
角恒等变换公式得到 ，从而求出 ，即可得解.
【详解】连接 、 ，因为圆 的半径为 ， ，则 是等边三角形，
所以 ，
四边形 的面积
，解得 .
因为 ，所以 ，则 ，
所以 是等边三角形，所以 .
故答案为：
14. 设函数 ，若 恰有 个零点，.
则下述结论中:
①若 恒成立，则 的值有且仅有 个；
② 在 上单调递增；
③存在 和 ，使得 对任意 恒成立；
④“ ”是“方程 在 恰有五个解”的必要条件.
所有正确结论的编号是______________；
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据条件画出 的图像，结合图像和逐一判断即可.
【详解】 恰有 个零点， ， ，函数的图像如图：
①如图，即 有两个交点，正确；
②结合右图，且当 时， 在 递增，错误；
③ ， ，
， 存在 为最小值， 为最大值，正确；
④结合右图，若方程 在 内恰有五个解，需满足 ，即 ，同时结合左图，
当 ， 不一定有五个解，正确.
故答案为：①③④.
【点睛】本题考查了三角函数的图像和性质，考查了数形结合思想和分类讨论思想，属于难题.
四、解答题
15. 已知函数 ．
（1）求 的最小正周期和单调增区间；
（2）若函数 在 存在零点，求实数a的取值范围．【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）化简函数 ，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（2）根据题意转化为方程 在 上有解，以 为整体，结合正弦函数图
象运算求解.
【
小问1详解】
对于函数
，
所以函数 的最小正周期为 ，
令 ，则 ，
∴函数 的单调递增区间为 .
【小问2详解】
令 ，即 ，则 ，
∵ 在 存在零点，则方程 在 上有解，
若 时，则 ，可得 ，∴ ，得
故实数 的取值范围是 ．
16. 已知复数 ，其中 ， 为虚数单位.
（1）若 为纯虚数，求 的值；
（2）定义 ，是否存在 ，使得 ? 若存在，求出 ；若不存在，说明理由.
【答案】（1） ；（2）不存在
【解析】
的
【分析】（1）根据 为纯虚数列式，由此求得 值.
（2）根据复数能比较大小列不等式组，由此求得 的值.
【详解】（1）由于 为纯虚数，
所以 .
（2）依题意 ，
即 ， ，
，
，
所以 ，解得 .
17. 某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为 4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使
用．如图所示， 为长方形薄板，沿 折叠后， 交 于点 ，当凹多边形
的面积最大时制冷效果最好．（1）设 米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
（2）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽?
【答案】（1）
（2）长为 米，宽为 米时，制冷效果最好
【解析】
【分析】（1）根据 可得 ，由勾股定理可得 的关系，再根据
可得x的取值范围；
（2）设 的面积为 ，计算可得 ，利用导函数判断单调性可得何时
取最大值.
【小问1详解】
由题意， ， ．
因 ，故 ．
设 ，则 ．因△ADP≌△CB'P，故 ．
由 ，得 ．
【小问2详解】
记凹多边形的面积为S，则求导得 ，
当 时， ；当 时， ．
故函数S在 上递增，在 上递减．
所以当 时，S取得最大值．
故当薄板长为 米，宽为 米时，制冷效果最好．
18. 已知数列 为等差数列， ，且数列 是公比为2的等比数列， .
（1）求 ， 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，将 中的项按原有顺序依次插入到数列 中，使 与
之间插入2项，形成新数列，求此新数列前面20项的和 .
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件先求解出 的公差 ，则 的通项公式可求；将 的通项公式求出，则
的通项公式可知；
（2）先分析前 项的组成情况，然后采用分组求和求得结果.
【小问1详解】
设 的公差为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，又因为 ，所以 .
【小问2详解】
将 及其后 中的两项看成一组，故需要 组再加上第 组的前两项，
所以
.
19. 布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联
系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价
值的点．其定义如下：设P是 内一点，若 ，则称点P为△ABC的布
洛卡点，角θ为△ABC的布洛卡角．如图，在△ABC中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为
a，b，c，△ABC的面积为S，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ，请完成以下各题：
（1）若 ，且 ，求A和 ；
（2）若 求 的值．
【答案】（1） ，
（2）3
【解析】
【分析】（1）根据题意可得 ，则 ，即 ，又 ，可得 ，，再在 中，利用正弦定理求解 ；
（2）先根据 ，得 ，结合余弦定理可得
，由正弦定理可得
，在 中，由余弦定理以及三角形的面积
公式可得， ，进一步化简即可.
【小问1详解】
∵ ，∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，即 ，又 ，
由勾股定理得 ，则 ．
在 中，设 ，则 ，
由正弦定理可得 ，
所以 ，化简可得 ．
综上， ， ．
【小问2详解】，所以 ．
在 ， ， 中，分别由余弦定理得：
， ， ，
三式相加整理得： ，
由上面可得 ，
所以 ，
先求 ，
在 中，由正弦定理可得 ，
所以 ，
同理可得 ， ，
所以
再求 ．
在 中，由余弦定理以及三角形的面积公式可得，
， ，三式相加可得： ，
由（2）可知 ，所以 ；
所以
．
