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数学试卷
第Ⅰ卷（选择题，共48分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四
个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．）
1. -2的绝对值是（ ）
A. 2 B. -2 C. ±2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】在数的前面添上或者去掉负号既可以求出绝对值．
【详解】解：﹣2的绝对值是2；
故选：A．
【点睛】本题考查绝对值的定义，数轴上一个点到原点的距离即为这个数的绝对值．
2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称和中心对称的定义逐项判断即可．轴对称图形是把一个图形沿一条直
线折叠，直线两旁的部分能够互相重合；中心对称图形是把一个图形绕某一点旋转180°，
旋转后的图形能够与原来的图形重合．
【详解】A、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查中心对称图形和轴对称图形，解决本题的关键是熟练地掌握中心对称图
形和轴对称图形的判断方法．
学科网（北京）股份有限公司3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据完全平方公式、二次根式的化简、同底数幂的乘除法则、积的乘法法则逐项
判断即可．
【详解】A. ，故本选项错误；
B. ，故本选项符合题意；
C. ，故本选项错误；
D. ，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式 化的简、同底数幂的乘除法则、积的乘法法
则，熟练掌握同底数幂的乘除法则、积的乘法法则是解答本题的关键．
4. 如图，直线 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设∠1的同位角为为∠4，∠2的对顶角为∠5，根据平行的性质得到∠1=∠4=100°，
再根据三角形的外角和定理 即可求解．
【详解】设∠1的同位角为为∠4，∠2的对顶角为∠5，如图，
学科网（北京）股份有限公司∵ ，∠1=100°，
∴∠1=∠4=100°，
∵∠2=30°，∠2与∠5互为对顶角，
∴∠5=∠2=30°，
∴∠3=∠4+∠5=100°+30°=130°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角和定理等知识，掌握平行线的性质是解
答本题的关键．
5. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 抛掷硬币时，正面朝上
B. 明天太阳从东方升起
C. 经过红绿灯路口，遇到红灯
D. 玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀”
【答案】B
【解析】
【分析】根据随机事件、必然事件的概念即可作答．
【详解】A．抛硬币时，正面有可能朝上也有可能朝下，故正面朝上是随机事件；
B．太阳从东方升起是固定的自然规律，是不变的，故此事件是必然事件；
C．经过路口，有可能出现红灯，也有可能出现绿灯、黄灯，故遇到红灯是随机事件；
D．对方有可能出“剪刀”，也有可能出“石头”、“布”，出现对方出“剪刀”随机事
假．
故选：B．
【点睛】本题考查了随机事件、必然事件的概念，充分理解随机事件的概念是解答本题的
关键．
6. 在学校开展的劳动实践活动中，生物兴趣小组7个同学采摘到西红柿的质量（单位：
）分别是：5，9，5，6，4，5，7，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 6，6 B. 4，6 C. 5，6 D. 5，5
【答案】D
【解析】
学科网（北京）股份有限公司【分析】将这7个数从小到大排列，第4个数就是这组数的中位数．出现次数最多的数即
是众数．
【详解】将这7个数从小到大排列：4、5、5、5、6、7、9，
第4个数 为5，
则这组数的中位数为：5，
出现次数最多的数是5，
故这组数的众数是5，
故选：D．
【点睛】本题考查了中位数、众数的定义，充分理解中位数、众数的定义是解答本题的基
础．
7. 八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是 和 ．那
么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用构成三角形的条件即可进行解答．
【详解】以杨冲家、李锐家以及学校这三点来构造三角形，设杨冲家与李锐家的直线距离
为a，
则根据题意有： ，即 ，
当杨冲家、李锐家以及学校这三点共线时， 或者 ，
综上a的取值范围为： ，
据此可知杨冲家、李锐家的距离不可能是1km，
故选：A．
【点睛】本题考查了构成三角形的条件的知识，构成三角的条件：三角形中任意的两边之
和大于第三边，任意的两边之差小于第三边．
8. 一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求得圆锥的底面周长，即侧面的扇形弧长，然后根据扇形的面积公式即可求
解．
【详解】解：根据题意得：圆锥侧面展开图的弧长为 ，
∴圆锥侧面展开图的面积是 ．
故选：C
【点睛】本题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图是扇形是解决本题的关
学科网（北京）股份有限公司键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
9. 一次函数 与反比例函数 在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】A选项可以根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图象判断a的符号，看
一次函数和反比例函数判断出a的符号是否一致；
【详解】一次函数与y轴交点为（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误；
B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过一、三象限，则-
a>0，即a<0，两者一致，故B选项正确；
C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断a>0，反比例函数过一、三象限，则-
a>0，即a<0，两者矛盾，故C选项错误；
D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过二、四象限，则-
a<0，即a>0，两者矛盾，故D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次
函数、反比例函数图象与系数的关系．
10. 如图，在四边形 中，点 ， ， ， 分别是 ， ， ， 边上
的中点，则下列结论一定正确的是（ ）
A. 四边形 是矩形
学科网（北京）股份有限公司B. 四边形 的内角和小于四边形 的内角和
C. 四边形 的周长等于四边形 的对角线长度之和
D. 四边形 的面积等于四边形 面积的
【答案】C
【解析】
【分析】连接 ，根据三角形中位线的性质 ，
， ，继而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：连接 ，设交于点 ，
点 ， ， ， 分别是 ， ， ， 边上的中点，
， ，
A. 四边形 是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；
B. 四边形 的内角和等于于四边形 的内角和，都为360°，故该选项不正确，
不符合题意；
C. 四边形 的周长等于四边形 的对角线长度之和，故该选项正确，符合题意；
D. 四边形 的面积等于四边形 面积的 ，故该选项不正确，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了中点四边形的性质，三角形中位线的性质，掌握三角形中位线的性质
是解题的关键．
11. 关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是（ ）
A. a＞－1 B. a＞－1且a≠0
C. a＜－1 D. a＜－1且a≠－2
【答案】D
【解析】
【分析】将分式方程变为整式方程求出解，再根据解为正数且不能为增根，得出答案.
【详解】方程左右两端同乘以最小公分母x-1，得2x+a=x-1.解得：x=-a-1且x为正数．所
学科网（北京）股份有限公司以-a-1＞0，解得a＜-1，且a≠-2.（因为当a=-2时，方程不成立.）
【点睛】本题难度中等，易错点：容易漏掉了a≠-2这个信息．
12. 如图，点 是 的内心， 的延长线和 的外接圆相交于点 ，与 相
交于点 ，则下列结论：① ；②若 ，则 ；③
若点 为 的中点，则 ；④ ．其中一定正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据点 是 的内心，可得 ，故①正确；连接BE，CE，
可得∠ABC+∠ACB =2（∠CBE+∠BCE），从而得到∠CBE+∠BCE=60°，进而得到
∠BEC=120°，故②正确；若点 为 的中点，无法证明△ABG≌△ACG，则
不一定成立，故③错误；根据点 是 的内心和三角形的外角的性质，
可得 ，再由圆周角定理可得 ，
从而得到∠DBE=∠BED，故④正确；即可求解．
【详解】解：∵点 是 的内心，
∴ ，故①正确；
如图，连接BE，CE，
∵点 是 的内心，
∴∠ABC=2∠CBE，∠ACB=2∠BCE，
∴∠ABC+∠ACB =2（∠CBE+∠BCE），
∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠CBE+∠BCE=60°，
学科网（北京）股份有限公司∴∠BEC=120°，故②正确；
∵点 是 的内心，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴BG=CG，
∵AG=AG，无法证明△ABG≌△ACG，
∴∠AGB不一定等于∠AGC，
即 不一定成立，故③错误；
∵点 是 的内心，
∴ ，
∵∠BED=∠BAD+∠ABE，
∴ ，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠CBE+∠CAD，
∴ ，
∴∠DBE =∠BED，
∴ ，故④正确；
∴正确的有3个．
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角形 内的心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识，熟练
掌握三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题，共102分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对
应的题号后的横线上）
13. 分解因式： ______．
【答案】a(x+1)(x-1)
【解析】
【分析】先提公因式a，再运用平方差公式分解即可．
【详解】解：ax2-a
=a(x2-1)
=a(x+1)(x-1)
故答案为：a(x+1)(x-1)．
【点睛】本题考查提公因式法与公式法综合运用，熟练掌握分解因式的提公因式法与公式
学科网（北京）股份有限公司法两种方法是解题的关键．
14. 学校举行物理科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，然后按照理论知识占20%，创
新设计占50%，现场展示占30%计算选手的综合成绩（百分制），某同学本次比赛的各项
成绩分别是：理论知识85分，创新设计88分，现场展示90分，那么该同学的综合成绩是
______分．
【答案】88
【解析】
【分析】利用加权平均数的求解方法即可求解．
【详解】综合成绩为：85×20%+88×50%+90×30%=88（分），
故答案为：88．
【点睛】此题主要考查了加权平均数的求法，解题的关键是理解各项成绩所占百分比的含
义．
15. 已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，则xy=___．
【答案】4
【解析】
【分析】根据完全平方公式的运算即可.
【详解】∵ ，
∵ + =4 =16，
∴ =4.
【点睛】此题主要考查完全平方公式的灵活运用，解题的关键是熟知完全平方公式的应用.
16. 如图，直角三角形 纸片中， ，点 是 边上的中点，连接 ，
将 沿 折叠，点 落在点 处，此时恰好有 ．若 ，那么
______．
【答案】
【解析】
【分析】根据D为AB中点，得到AD=CD=BD，即有∠A=∠DCA，根据翻折的性质有
∠DCA=∠DCE，CE=AC，再根据CE⊥AB，求得∠A=∠BCE，即有
∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°，则有∠A=30°，在Rt△ACB中，即可求出AC，则问题得解．
【详解】∵∠ACB=90°，
学科网（北京）股份有限公司∴∠A+∠B=90°，
∵D为AB中点，
∴在直角三角形中有AD=CD=BD，
∴∠A=∠DCA，
根据翻折的性质有∠DCA=∠DCE，CE=AC，
∵CE⊥AB，
∴∠B+∠BCE=90°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠BCE，
∴∠BCE=∠ECD=∠DCA，
∵∠BCE+∠ECD+∠DCA=∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°
∴∠A=30°，
∴在Rt△ACB中，BC=1，
则有 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了翻折的性质、直角三角形斜边中线的性质、等边对等角以及解直角三
角形的知识，求出∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°是解答本题的关键．
17. 古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边
形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：其中：图①的点数
叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是 ，第三个三角
形数是 ，……图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二
个正方形数是 ，第三个正方形数是 ，……由此类推，图④中第五个正
六边形数是______．
【答案】45
【解析】
【分析】根据题意找到图形规律，即可求解．
【详解】根据图形，规律如下表：
学科网（北京）股份有限公司三角形 正方形 五边形 六边形 M边形
3 4 5 6 m
1 1 1 1 1 1
1+2
1+2
1+2
1+2 1
2 1+2 1
1 1
1
1
1+2+3
1+2+3 1+2+3
1+2+3
1+2 1+2
3 1+2+3 1+2
1+2
1+2
1+2
1+2+3+4
1+2+3+4
1+2+3+4
1+2+3+4 1+2+3
4 1+2+3+4 1+2+3
1+2+3 1+2+3
1+2+3
1+2+3
n
由上表可知第n个M边形数为： ，
整理得： ，
则有第5个正六边形中，n=5，m=6，代入可得：
，
故答案为：45．
【点睛】本题考查了整式--图形类规律探索，理解题意是解答本题的关键．
18. 如图，已知点 ， ，直线 经过点 ．试探究：直线
与线段 有交点时 的变化情况，猜想 的取值范围是______．
学科网（北京）股份有限公司【答案】 或 ## 或
【解析】
【分析】根据题意，画出图象，可得当x=2时，y≥1，当x=-2时，y≥3，即可求解．
【详解】解：如图，
观察图象得：当x=2时，y≥1，
即 ，解得： ，
当x=-2时，y≥3，
即 ，解得： ，
∴ 的取值范围是 或 ．
故答案为： 或
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或推
演步骤）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以
及负整数指数幂的运算法则分别化简后再进行实数的加减法运算．
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：
．
【点睛】此题考查实数的运算法则，正确掌握二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角
的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
20. 据《德阳县志》记载，德阳钟鼓楼始建于明朝成化年间，明末因兵灾焚毁，清乾隆五
十二年重建．在没有高层建筑的时代，德阳钟鼓楼一直流传着“半截还在云里头”的故事．
1971年，因破四旧再次遭废．现在的钟鼓楼是老钟鼓楼的仿制品，于2005年12月27日破
土动工，2007年元旦落成，坐落东山之巅，百尺高楼金碧辉煌，流光溢彩；万丈青壁之间，
银光闪烁，蔚为壮观，已经成为人们休闲的打卡胜地．
学校数学兴趣小组在开展“数学与传承”探究活动中，进行了“钟鼓楼知识知多少”专题
调查活动，将调查问题设置为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了
解”四类．他们随机抽取部分市民进行问卷调查，并将结果绘制成了如下两幅统计图：
（1）设本次问卷调查共抽取了 名市民，图2中“不太了解”所对应扇形的圆心角是 度，
分别写出 ， 的值．
（2）根据以上调查结果，在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有多少？
（3）为进一步跟踪调查市民对钟鼓楼知识掌握的具体情况，兴趣组准备从附近的3名男士
和2名女士中随机抽取2人进行调查，请用列举法（树状图或列表）求恰好抽到一男一女
的概率．
【答案】（1）200，7.2
（2）3360 （3）
【解析】
【分析】（1）先用“基本了解”的人数除以其所对应的百分比，可得调查的总人数，再求
出“非常了解”的人数，进而得到“不太了解”的人数，最后用“不太了解”的人数所占
的百分比乘以360°，即可求解；
学科网（北京）股份有限公司（2）用12000乘以“非常了解”的人数所占的百分比，即可求解；
（3）根据题意，列出表格，可得一共有20种等可能结果，其中恰好抽到一男一女的有12
种，再根据概率公式，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意得： 人，
∴“非常了解”的人数为 人，
∴“不太了解”的人数为 人，
∴“不太了解”所对应扇形的圆心角 ，即 ；
【小问2详解】
解：“非常了解”的人数有 人；
【小问3详解】
解：根据题意，列出表格，如下：
男1 男2 男3 女1 女2
男1 男2、男1 男3、男1 女1、男1 女2、男1
男2 男1、男2 男3、男2 女1、男2 女2、男2
男3 男1、男3 男2、男3 女1、男3 女2、男3
女1 男1、女1 男2、女1 男3、女1 女2、女1
女2 男1、女2 男2、女2 男3、女2 女1、女2
一共有20种等可能结果，其中恰好抽到一男一女的有12种，
∴恰好抽到一男一女的概率为 ．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，用样本估计总体，利用树状图和列表
法求概率，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．
21. 如图，一次函数 与反比例函数 的图象在第二象限交于点 ，且点
的横坐标为－2．
学科网（北京）股份有限公司（1）求反比例函数的解析式；
（2）点 的坐标是 ，若点 在 轴上，且 的面积与 的面积相等，求
点 的坐标．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）将点 的横坐标代入一次函数解析式，求得点 的纵坐标，进而将 的坐
标代入反比例函数解析式即可求解．
（2）根据三角形面积公式列出方程即可求解．
【小问1详解】
一次函数 与反比例函数 的图象在第二象限交于点 ，且点 的横坐
标为－2，
当 时， ，则 ，
将 代入 ，可得 ，
反比例函数的解析式为 ，
【小问2详解】
点 的坐标是 ， ，
,
，
学科网（北京）股份有限公司的面积与 的面积相等，
设 ，
，
解得 或 ，
或 ．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例数综合，坐标与图形，求点点 的坐标是解题的关
键．
22. 如图，在菱形 中， ， ，过点 作 的垂线，交
的延长线于点 ．点 从点 出发沿 方向以 向点 匀速运动，同时，点
从点 出发沿 方向以 向点 匀速运动．设点 ， 的运动时间为 （单位：
），且 ，过 作 于点 ，连结 ．
（1）求证：四边形 是矩形．
（2）连结 ， ，点 ， 在运动过程中， 与 是否能够全等？若能，
求出此时 的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2） 与 能够全等，此时
【解析】
【分析】（1）根据题意可得 ，再根据菱形的性质和直角三角形的性质可
得 ，从而得到FG=EH，再由FG∥EH，可得四边形EFGH是平行四边形，
即可求证；
（2）根据菱形的性质和直角三角形的性质可得∠CBF=∠CDE，
，然后分两种情况讨论，即可求解．
【小问1详解】
证明：根据题意得： ，
在菱形ABCD中，AB=BC，AC⊥BD，OB=OD，
∵∠ABC=60°， ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，∠CBO=30°，
∴ ，
∴FG=EH，
∵ ，DH⊥BH，
∴FG∥EH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵∠H=90°，
∴四边形 是矩形．
【小问2详解】
解：能，
∵AB∥CD，∠ABC=60°，
∴∠DCH=60°，
∵∠H=90°，
∴∠CDE=30°，
∴∠CBF=∠CDE， ，
∴ ，
∵BC=DC，
∴当∠BFC=∠CED或∠BFC=∠DCE时， 与 能够全等，
当∠BFC=∠CED时， ，此时BF=DE，
∴ ，解得：t=1；
当∠BFC=∠DCE时，BC与DE是对应边，
而 ，
∴BC≠DE，则此时不成立；
综上所述， 与 能够全等，此时 ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，直角三角形的性质，解直角三角形，
熟练掌握相关知识点是解题的关键．
23. 习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十
九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红
旗村花费4000元集中采购了 种树苗500株， 种树苗400株，已知 种树苗单价是 种
树苗单价的1.25倍．
（1）求 、 两种树苗的单价分别是多少元？
（2）红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中 种树苗不多于25株，在
单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低
费用是多少元？
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） 种树苗的单价是4元，则B种树苗的单价是5元
（2）有6种购买方案，购买 种树苗，25棵，购买B种树苗75棵费用最低，最低费用是
475元．
【解析】
【分析】（1）设 种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是1.25x元，根据“花费4000
元集中采购了 种树苗500株， 种树苗400株，”列出方程，即可求解；
（2）设购买 种树苗a棵，则购买B种树苗（100-a）棵，其中a为正整数，根据题意，
列出不等式组，可得 ，从而得到有6种购买方案，然后设总费用为w元，根据
题意列出函数关系式，即可求解．
【小问1详解】
解：设 种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是1.25x元，根据题意得：
，
解得： ，
∴1.25x=5，
答： 种树苗的单价是4元，则B种树苗的单价是5元；
【小问2详解】
解：设购买 种树苗a棵，则购买B种树苗（100-a）棵，其中a为正整数，根据题意得：
，
解得： ，
∵a为正整数，
∴a取20，21，22，23，24，25，
∴有6种购买方案，
设总费用为w元，
∴ ，
∵-1＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a=25时，w最小，最小值为475，
此时100-a=75，
答：有6种购买方案，购买 种树苗，25棵，购买B种树苗75棵费用最低，最低费用是
475元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应
用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
24. 如图， 是 的直径， 是 的弦， ，垂足是点 ，过点 作直
学科网（北京）股份有限公司线分别与 ， 的延长线交于点 ， ，且 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）如果 ， ，
①求 的长；
②求 的面积．
【答案】（1）证明过程见详解
（2）①
②
【解析】
【分析】（1）连接OC、BC，根据垂径定理得到AB平分弦CD，AB平分 ，即有
∠BAD=∠BAC=∠DCB，再根据∠ECD=2∠BAD，证得∠BCE=∠BCD，即有∠BCE=∠BAC，则
有∠ECB=∠OCA，即可得∠ECB+∠OCB=90°，即有CO⊥FC，则问题得证；
（2）①利用勾股定理求出OH、BC、AC，在Rt△ECH中， ，在
Rt△ECO中， ，即可得到 ，则问题得解；
②过F点作FP⊥AB，交AE的延长线于点P，先证△PAF∽△HAC，再证明
△PEF∽△HEC，即可求出PF，则△PEF的面积可求．
【小问1详解】
连接OC、BC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，AO=OB，
∵AB⊥CD，
学科网（北京）股份有限公司∴AB平分弦CD，AB平分 ，
∴CH=HD， ，∠CHA=90°=∠CHE，
∴∠BAD=∠BAC=∠DCB，
∵∠ECD=2∠BAD，
∴∠ECD=2∠BAD=2∠BCD，
∵∠ECD=∠ECB+∠BCD，
∴∠BCE=∠BCD，
∴∠BCE=∠BAC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠ECB=∠OCA，
∵∠ACB=90°=∠OCA+∠OCB，
∴∠ECB+∠OCB=90°，
∴CO⊥FC，
∴CF是⊙O的切线；
【小问2详解】
①∵AB=10，CD=6，
∴在（1）的结论中有AO=OB=5，CH=HD=3，
∴在Rt△OCH中， ，
同理利用勾股定理，可求得 ， ，
∴BH=OB-OH=5-4=1，HA=OA+OH=4+5=9，即HE=BH+BE，
在Rt△ECH中， ，
∵CF是⊙O的切线，
∴∠OCB=90°，
∴在Rt△ECO中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
②过F点作FP⊥AB，交AE的延长线于点P，如图，
学科网（北京）股份有限公司∵∠BAD=∠CAB，∠CHA=90°=∠P，
∴△PAF∽△HAC，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵∠PEF=∠CEH，∠CHB=90°=∠P，
∴△PEF∽△HEC，
∴ ，即 ，
∵HB=1， ， ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故△AEF的面积为 ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股
定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．利用相似三角形的性质是解题的难点．
25. 抛物线的解析式是 ．直线 与 轴交于点 ，与 轴交于
点 ，点 与直线上的点 关于 轴对称．
学科网（北京）股份有限公司（1）如图①，求射线 的解析式；
（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线 有两个交点时，设两个交点的横坐标是
x，x（ ），求 的值；
1 2
（3）如图②，当抛物线经过点 时，分别与 轴交于 ， 两点，且点 在点 的
左侧．在 轴上方的抛物线上有一动点 ，设射线 与直线 交于点 ．求
的最大值．
【答案】（1） ，
（2）4 （3）
【解析】
【分析】（1）先求出直线 与坐标轴的交点M、E的坐标，根据G(5,-3)、F关于
x轴对称求出F点坐标，再利用待定系数法即可求解；
（2）求出抛物线的对称轴x=2，可确定M点在抛物线对称轴上，可确定抛物线
与折线EMF的两个交点，必然是一个点落在射线ME上，一个点落在射
线MF，即可得到 ，①-②，得到
，则问题得解；
（3）先求出抛物线的解析式，再求出抛物线与x轴的交点A、B坐标，设P点坐标为
，根据A、P的坐标求出直线AP的解析式，即可求出AP与ME的交点N
的坐标，即可用含a的代数式表示出 和 ，即可得到
，则问题得解．
【小问1详解】
学科网（北京）股份有限公司∵直线 与坐标轴交于点M、E，
∴令x=0时，y=2；令y=0时，x=2，
∴M点坐标为(2,0)，E点坐标为(0,2)，
∵G(5,-3)，且点G、F关于x轴对称，
∴F(5,3)，
设射线MF的解析式为 ， ，
∵M点坐标为(2,0)，F(5,3)，
∴ ，解得： ，
∴射线MF的解析式为 ， ，
【小问2详解】
根据题意可知射线ME的解析式为： ， ，
在（1）中已求得射线MF的解析式为 ， ，
∵ 的对称轴为x=2，
又∵M点(2,0)，
∴M点刚好在 的对称轴为x=2上，
∴抛物线 与折线EMF的两个交点，必然是一个点落在射线ME上，一个
点落在射线MF，
∵ ，
∴此时交点的坐标为 、 ，且 、 ，
∵ 、 在抛物线 上，
∴ ，
由①-②，得： ，
整理得：
∵ 、 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ；
【小问3详解】
∵抛物线 过点C(0,5)，
∴代入C点坐标可得a=5，
∴抛物线解析式 为，
令y=0，得 ，
解得： ， ，
∴A点坐标(-1,0)、B点坐标为(5,0)，
∵P点在抛物线 上，
∴设P点坐标为 ，
显然A、P不重合，即a≠-1，
∵P点在x轴上方，
∴ ，
设直线AP的解析式为 ，
∴即有 ，解得 ，
即直线AP的解析式为： ，
联立 ，解得 ，
∴N点坐标为 ，
∵P点坐标为 ，A点坐标(-1,0)，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，且通过图像可知，只有当P点在直线ME上方时， 的值才有可能取得
最大值，
∴ ，即 ，
∴即有 ，
∴ ，
∴当 时， 取的最大值，且最大值为： ，
即 的最大值为 ．
【点睛】本题考查了用待定系数法求解析式、抛物线与一元二次方程的根的知识、勾股定
理、二次函数求最值等知识，本题的计算量较大，仔细化简所表示出 和 的代数
式是解答本题的关键．
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