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2 0 2 5 年 教 师 资 格 证
理 论 精 讲-大学电磁学
主讲老师 楠风
粉笔教师教育 粉笔教师2．电势
（1）公式
𝑊 ∞
𝑎
𝑉 = = න 𝑬 ⋅ d𝒍
𝑎
𝑞
0 𝑎
该公式表明，电场中任意点𝑎的电势𝑉 在数值上等于单位正电荷在该点的电势能，也等于单
𝑎
位正电荷从该点沿任意路径移至无穷远处的过程中电场力所做的功。（2）电势的计算
①点电荷电场的电势
在点电荷𝑞的电场中，若选取无穷远处作为电势零点，在𝑎点产生的电势为
∞ ∞ 𝑞 𝑞
𝑉 = න 𝑬 ⋅ d𝒓 = න d𝑟𝑐𝑜𝑠0° =
𝑎 4𝜋𝜀 𝑟2 4𝜋𝜀 𝑟
𝑎 𝑟 0 0
式中，𝑟是电荷𝑞到𝑎点的距离。②点电荷系电场的电势
若真空中有𝑛个点电荷，其电量分别为𝑞 、𝑞 ，…，𝑞 ，这𝑛个点电荷在𝑎点产生的电势为
1 2 𝑛
𝑛
𝑞
𝑖
𝑉 =
𝑎
4𝜋𝜀 𝑟
0 𝑖
𝑖=1
式中，𝑟 、𝑟 ，…，𝑟 分别为各点电荷到𝑎点的距离。
1 2 𝑛
该公式表明，在点电荷系的电场中，某一点的电势等于各点电荷单独存在时在该点产生的电势的代
数和。这一结论称为电势叠加原理
③电荷连续分布带电体系电场的电势
∞ d𝑞
对一个电荷连续分布的带点体系，在𝑎点产生的电势为：𝑉 =
𝑎
𝑎 4𝜋𝜀 𝑟
0
式中，𝑟是电荷元d𝑞到𝑎点的距离。（四）导体的静电平衡
导体中没有电荷作任何宏观定向运动的状态称为静电平衡状态。
导体静电平衡的必要条件是导体内任一点的电场强度都等于零。
推论：1.导体是等势体，其表面是等势面
2.导体表面的电场强度垂直于导体表面【例1】一半径为𝑅的带电细圆环，所带电量为𝑞，求在圆环轴线上任一点𝑃的电势。【例2】计算均匀带电球面电场中的电势分布【例3】两个同心球面，半径分别为10cm和30cm。小球面均匀带有10−8𝐶正电荷，大球
面均匀带有1.5 × 10−8𝐶正电荷。求离球心分别为20cm、50cm处的电势。（3）场强与电势的关系
电场中某一点的场强𝐸沿着某一方向的分量𝐸 等于电势沿该方向上变化率的负值。表
𝑙
d𝑉 𝑉 𝑉
达式为𝐸 = − 𝑎 𝑏
𝑙
d𝑙
𝑎 𝑏
Ԧ
场强的矢量表达式可写成： 𝐸 d𝑙
𝑙
注：因为d𝑙很小，可认为𝐸 是匀强
𝑙
𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑉 电场的电场强度；𝑉 − 𝑉 = −d𝑉
𝑬 = − 𝒊 + 𝒋 + 𝒌 。 𝑎 𝑏
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑉
矢量 𝒊 + 𝒋 + 𝒌称为电势的梯度，用grad𝑉或𝛁𝑉（读nabla ）表示。上式又可写
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
成
𝑬 = −grad𝑉 = −𝛁𝑉
该公式表明：电场中任意一点的场强等于该点电势梯度的负值。3．电势差
静电场中任意两点𝑎、𝑏的电势之差称为电势差，用𝑈 表示。
𝑎𝑏
𝑊 − 𝑊 𝑏
𝑎 𝑏
𝑈 = 𝑉 − 𝑉 = = න 𝑬 ⋅ d𝒍
𝑎𝑏 𝑎 𝑏
𝑞
0 𝑎【例1】半径为𝑅 的金属球𝐴外罩一同心球壳𝐵，球壳极薄，内、外半径均可看作𝑅 。𝐴、𝐵的电
𝐴 𝐵
荷量分别为𝑄 和𝑄 。（1）求𝐴的表面𝑆 及𝐵的内、外表面𝑆 、𝑆 的电荷量𝑞 、𝑞 和𝑞 ；
𝐴 𝐵 1 2 3 1 2 3
（2）求𝐴和𝐵的电势𝑉 和𝑉 。
𝐴 𝐵（真题2016年上高中）如图所示，半径为𝑏的圆环状导线均匀带电，在垂直于环平面
的轴线上有两点𝑃 、𝑃 ，𝑃 、𝑃 到环心距离为𝑏和2𝑏；设无限远处电势为零，𝑃 、𝑃 的电
1 2 1 2 1 2
𝜑
势分别为𝜑 和𝜑 ，则 1 为（ ）。
1 2
𝜑
2
5 5
A.3 B. C.2 D.
2 2
2024FENBI（真题2017年下高中）空间某静电场的电势𝜑随𝑥的变化情况如图所示,根据图中信息，
下列选项中能正确表示𝜑对应的电场强度𝐸随𝑥变化关系的是（ ）。
2024FENBI（真题2022下高中）同轴传输线由长直圆柱形导线和套在它外面的同轴导体圆管构成，已知
长直导线的半径为𝑅 圆管的内半径为𝑅 ，中间空气的介电常量为𝜀 。
1 2 0
（1）若长直导线上的电荷线密度为𝜆，求离轴线中心𝑟处（𝑅 < 𝑟 < 𝑅 ）的电场强度𝐸的大小。
1 2
（2）若测得长直导线的电势为𝑉 ，圆管内壁的电势为𝑉 ，求长直导线上的电荷线密度𝜆。
1 2
2024FENBI五、电容器的电容
电容：表征导体储电能力的物理量，其物理意义是：使导体升高单位电势所需要的电荷量。
𝑞
孤立导体的电容：𝐶 =
𝑉
比例常量𝐶称为孤立导体的电容，只与导体大小、形状和周围
介质有关。
𝑞
电容器的电容： 𝐶 =
𝑉 −𝑉
𝐴 𝐵
其值只取决于两极板的大小、形状、相对位置及极板间的电介质
𝐶
若电容中有电介质，则充有电介质的电容𝐶为两极板间为真空时的电容𝐶 的𝜀 倍： 𝜀 =
0 𝑟 𝑟
𝐶
0
𝜀 为介质的相对电容率或相对介电常量
𝑟最简单的电容器是由靠得很近、相互平行、同样大小的两片金属板组成的，设每块极板的面
积为𝑆，两极板内表面间的距离为𝑑，求平行板电容器的电容。（真题2021年下初中）如图5所示，有一面积为𝑆，板间距为𝑑的平行板电容器，充电后保持
电量𝑄不变，将一块厚度为𝑏，面积为𝑆的金属板平行于两极板插入、边缘对齐，忽略金属板对
电容的影响，金属板插入前后，关于电容器的电容和储能变化。下列说法正确的是（ ）。
2
𝜀 𝑏𝑆 𝑄 𝑏
0
A.电容增大 ，储能增加
𝑑(𝑑−𝑏) 2𝜀 𝑆
0
2
𝜀 𝑏𝑆 𝑄 𝑏
0
B.电容增大 ，储能减小
𝑑(𝑑−𝑏) 2𝜀 𝑆
0
2
𝜀 𝑏𝑆 𝑄 𝑏
0
C.电容减少 ，储能增加
𝑑(𝑑−𝑏) 2𝜀 𝑆
0
2
𝜀 𝑏𝑆 𝑄 𝑏
0
D.电容减少 ，储能减小
𝑑(𝑑−𝑏) 2𝜀 𝑆
0一、毕奥-萨伐尔定律
（一）内容：载流导线上的电流元𝐼d𝒍在真空中某点𝑃的磁感应强度d𝑩的大小与电流元的大小
𝐼d𝑙成正比，与电流元𝐼d𝒍和从电流元到𝑃点的位矢𝒓之间的夹角𝜃的正弦成正比，与位矢𝒓的大
小的平方成反比。
𝐼d𝑙𝑠𝑖𝑛𝜃
（二）公式：d𝐵 = 𝑘
𝑟2
𝜇
式中，在国际单位制中，𝑘 = 0 （𝜇 = 4𝜋 × 10 −7 H/m，称为真空中的磁导率）。d𝑩的方向
0
4𝜋
°
垂直于𝐼d𝒍和𝒓所组成的平面，并沿矢积𝐼d𝒍 × 𝒓的指向，即由𝐼d𝒍经小于180 角转向𝒓的右手螺
𝜇 𝐼d𝒍×𝒓
进方向；若用矢量式表示，毕奥-萨伐尔定律可写成：d𝐵 = 0
4𝜋 𝑟3（三）积分公式
载有稳恒电流的导线在某点的磁感应强度矢量积分式为
𝜇 𝐼d𝒍 × 𝒓
0
𝑩 = d𝑩 =
𝐿 𝐿 4𝜋 𝑟3
（ 表示沿导线积分）如果导线中各电流元在给定点所产生的d𝐵的方向沿同一直线，载
𝐿
有稳恒电流的导线在该点的磁感应强度的矢量积分式可转化为一般积分式，可写成
𝜇 𝐼d𝑙𝑠𝑖𝑛𝜃
0
𝐵 = d𝐵 =
𝐿 𝐿 4𝜋 𝑟2
𝐼d𝑙
d𝐵
𝜃 𝑟
𝑅
𝑅
𝜃
𝑥
𝑂
𝑂 d𝐵
𝑥【例1】已知长直载流导线中的电流为𝐼，导线外有一点𝑃，导线两端与𝑃点的连线与导线的夹
角分别为𝜃 和𝜃 ，𝑃点距离载流导线的距离为𝑎，求有限长载流直导线在𝑃点的磁场大小。
1 2
𝐼 𝜃
1
𝑎
𝑃
𝑟
𝑙
𝜃
𝐼d𝑙
𝜃
2【例2】一圆电流半径为𝑅，电流为𝐼，𝑃点为轴线上的某一点，与圆心的距离为𝑥，求𝑃点的磁
感应强度。
𝐼d𝑙
d𝐵
𝑟
𝑅
𝑥 𝜃
𝑂 d𝐵
𝑥【例3】有一电介质圆盘，其表面均匀带电，总电荷量为𝑄，盘半径为𝑎。圆盘绕垂直于盘面
并通过圆心的轴转动，每秒𝑛转，求盘心处的磁场𝐵的大小。
𝑎
𝑂
d𝑟（一）磁通量
1.概念
通过磁场中任一曲面的磁感线总条数，称为通过该曲面的磁通量，用 Φ 表示。磁通量是标量，
但是有正、负之分。
2.公式
如图所示，在磁场中任意给定曲面𝑆上取面积元d𝑺，若d𝑺的法线𝒏的方向与该处磁感应强度𝑩
的夹角为𝜃，通过整个曲面𝑆的磁通量等于通过此面积上所有面积元磁通量的代数和，即
𝛷 = ∬ d𝛷 = ∬ 𝑩 ⋅ d𝑺 = ∬ 𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃d𝑆
𝑆 𝑆 𝑆
2
在国际单位制中，磁通量的单位是韦[伯]，符号为Wb，1Wb = 1T ⋅ m 。【例1】如图中的载流无限长直导线的电流大小为𝐼，求与该导线共面的矩形𝐶𝐷𝐸𝐹的磁
通量。（二）磁场中的高斯定理
磁感应线是闭合曲线，对于磁场中任一闭合曲面，有多少条磁感应线穿过闭合曲面，必有多
少条磁感应线穿出闭合曲面。所以通过任意闭合曲面的磁通量恒等于零，即
∯ 𝑩 ⋅ d𝑺 = 0
𝑆
这个结论叫做磁场中的高斯定理。该公式说明磁场时无源场。
Ԧ Ԧ
d𝑆 d𝑆
𝐵二、安培环路定理
（一）内容
在真空中磁感应强度沿任意闭合路径的环流等于穿过以该闭合路径为周界的任意曲面的各
电流的代数和与真空磁导率𝜇 的乘积，而与未穿过该曲面的电流无关。
0
（二）公式
∮ 𝑩 ⋅ d𝒍 = 𝜇 𝐼
0 𝑖
𝐿
当穿过回路的电流方向与回路𝐿绕行方向构成右手螺旋关系时，𝐼为正，反之为负；如果𝐼
不穿过回路，则对上式右端无贡献。（三）验证
以长直电流的磁场来验证安培环路定理。如图所示，设真空中有一长直载流导线，它所形成的磁
场的磁感应线是一组以导线为轴线的同轴圆，圆所在的平面与导线垂直。在垂直于长直载流导线
的平面内，任取一条以载流导线为圆心、半径为𝑟的圆形环路𝐿作为积分的闭合路径，则在此圆周
𝜇 𝐼
路径上的磁感应强度的大小为𝐵 = 0 ，方向与圆周相切。
2𝜋𝑟如果积分路径的绕行方向与该条磁感应线方向相同，则𝑩与d𝒍间的夹角处处为零，有
𝜇 𝐼 𝜇 𝐼 𝜇 𝐼
0 0 0
°
∮ 𝑩 ⋅ d𝒍 = ∮ 𝑐𝑜𝑠0 d𝑙 = ∮ d𝑙 = 2𝜋𝑟 = 𝜇 𝐼
0
𝐿 𝐿 2𝜋𝑟 𝐿 2𝜋𝑟 2𝜋𝑟
如果保持积分路径的绕行方向不变，而改变上述电流的方向，则𝑩与d𝒍间的夹角处处为𝜋，有
𝜇 𝐼 𝜇 𝐼 𝜇 𝐼
0 0 0
∮ 𝑩 ⋅ d𝒍 = ∮ 𝑐𝑜𝑠𝜋d𝑙 = ∮ − d𝑙 = − 2𝜋𝑟 = −𝜇 𝐼
0
𝐿 𝐿 2𝜋𝑟 𝐿 2𝜋𝑟 2𝜋𝑟
如果电流未穿过以闭合路径为周界的任一曲面时，磁感应强度沿该闭合路径的环流为零，即
∮ 𝑩 ⋅ d𝒍 = 0。
𝐿【例1】求半径为R的长直圆柱形载流导线内外的磁场（2020年下半年高中教资）如图所示，一个薄的半径为𝑅的无限长半圆柱面导体，沿长度方
向的电流I在柱面上均匀分布。求半圆柱面导体在其轴线上的磁感应强度。（2021上半年高中物理教资）一载有电流I的长圆柱形直导线（磁导率为μ ），半径为𝑎，电
0
流I均匀分布。图为导线纵截面的一部分，其中ABCD是一个长方形，AB边与轴线重合，CD边
在导线的外表面上，CD长𝑙。试求通过长方形ABCD的磁通量。三 、 电 磁 感 应
一、电流
电流定义为单位时间内通过导体中某一截面的电量。在d𝑡时间内通过导体某一横截
面的电量为d𝑞，则通过该截面的电流为
d𝑞
𝐼 =
d𝑡
在国际单位制中，电流的单位是安 [培]（A）。电流是标量。法拉 第电磁 感应定律
（一）内容
不论任何原因，当穿过闭合导体回路所包围面积的磁通量𝛷发生变化时，在回路中都会出现感应
d𝛷
电动势，而且感应电动势的大小总是与磁通量对时间𝑡的变化率 成正比。
d𝑡
（二）表达式
d𝛷
1.单匝线圈 𝜀 = −𝑘
d𝑡
式中，𝑘是比例系数，在国际单位制中，𝜀的单位V，𝛷的单位是Wb，𝑡的单位是s，则有𝑘 = 1。
d𝛹
2.多匝线圈 𝜀 = − （ 𝛹 普西）
d𝑡
式中，𝛹 = 𝑁𝛷为磁通链。电磁感应定律中的负号反映了感应电动势的方向与磁通量变化状况的
关系。（三）感应电量
对于纯电阻𝑅的回路，感应电流为
𝜀 1 𝑑Φ
𝐼 = = −
𝑅 𝑅 𝑑𝑡
而从𝑡 到𝑡 时间内通过导线中任一截面的感应电量为
1 2
𝑡 𝛷
2 1 2 1
𝑞 = න 𝐼d𝑡 = − න d𝛷 = 𝛷 − 𝛷
1 2
𝑅 𝑅
𝑡 𝛷
1 1
上式中，𝛷 和𝛷 分别是𝑡 和𝑡 时刻通过回路的磁通量。该公式表明，通过导线中任一
1 2 1 2
截面的感应电量与这段时间内的磁通量的增量成正比，与磁通量变化的快慢无关。【例1】一根无限长的直导线载有交流电𝑖 = 𝐼 sinω𝑡，旁边有一共面线圈。𝑎𝑏与直导线平
0
行且相距为𝑎。求线圈中的感应电动势。
𝑦
𝑏
𝑖
𝑙
𝑂
𝑥 d𝑥 𝑥（真题2018年下高中）如图所示，水平面上固定有一间距为𝑙的平行、光滑长直导轨，其上放
有质量为𝑚的金属杆，导轨的一端连接电阻𝑅，磁感应强度为B的匀强磁场垂直地通过导轨平
面。当金属杆以初速度𝑣 ，且始终保持与导轨垂直地向右运动时，用微积分的方法求：
0
（1）金属杆能够运动的距离𝑥；
（2）该过程中电流通过电阻所做的功。
