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高三期中考试答案
一、单选题
1-4 BCDC 5-8DABD
二、多选题
9.BC 10.ABD 11.AC
三、填空题
12.7 13.2 14.[4,8]
四、解答题
15.解：（1）由题意得： ，由余弦定理得： ，（1分）
所以 ，（2分）
由于 ，所以 （4分）
因为 （6分）
（2）由（1）知 ， ，（7分）
又 为锐角三角形，所以 ， ，故 ，（8分）
所以 ，得 ，（9分）
（10分）
（11分）
因为 ，故： （14分） （13分）
16.解：（1）依题意，设双曲线 的标准方程为 ，半焦距 ，离心率
，（3分）
则 ，（4分）
所以双曲线 的标准方程为 ，其渐近线方程为 .（6分）
（2）依题意设 ，联立 与 的方程 ，（7分）
消去 整理可得 ，则 ；（8分）
且 ，解得 ；（10分）
所以 ，（11
分）
解得 ，（13分）
满足 ，符合题意；（14分）
所以直线 的方程为 .（15分）
17.解：（1）在图2中，取EF中点O，BD中点M，连接OP，OM，以O为原点，OF、OM、OP所在直
线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，（1分）
设 ， ，则 ， ，（2分）
∴ ， ， ， ，故 ， （3分）
∵ ，∴ ，
∴ ，解得 （舍）或 ，（4分）
∴ ，∴ ，（5分）
∴图中点E在靠近点D的三等分点处，即 （6分）
（2）设二面角 的平面角为 ，则 为钝角．（7分）
易知平面PEF的法向量 ， ， ，（9分）
设平面PBF的法向量 ，则 ，即 ，
取 ，得 ，（11分）
∴ ．（12分）
又 为钝角，∴ ．（13分）
∴无论点E的位置如何，二面角 的余弦值都为定值 ．（14分）
平面EPF与平面BPF的夹角的余弦值为定值 ．（15分）
18.解：(1)设高手A胜两局为事件M，该擂主与甲、乙、丙比赛获胜分别为事件B,C,D，则，（1分）
由题知，事件B,C,D，相互独立，
所以 ，（3分）
所以高手A胜两局的概率为 ．（4分）
(2) A连输两局且第二局与乙比赛的概率 最大（5分）
依题意知，A第二局必输，且比赛顺序为乙甲丙和丙甲乙的概率均为 （6分）
连输两局且第二局与甲比赛的概率为
所以A
所以A连输两局且第二局与乙比赛的概率最大，且最大值为 （9分）
(3) 因为没有平局，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”或者“乙获胜”，则 ，（10分）
由题意得 的所有可能取值为：2,4,5，（11分）
,
，（12分）所以 的分布列为：
2 4 5
所以 的期望为：
，（14分）
由 ，得 ，当且仅当 时取等号，则 ，（15分）
因此 ，（16分）
所以 的最大值为 ．（17分）
19.解：（1）函数 的定义域为R，求导得： ，（1分）
当 时， 恒成立，函数 在R上单调递增；（2分）
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 （3分）
综上所述：当 时，函数 在R上单调递增；
当 时，函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 （4分）（2）①设三点 的横坐标成等差数列，且满足 ，
则 ，
，
令 ，则 ，令 ，求导得 恒成立，
在 内单调递减， ，即 ，（7分）
因为b>0, ，所以 （8分）
综上：当 时， 是其定义域上的“等差偏移”函数（9分）
②
当 时， ，
设 ，求导得 ，（10分）
当 时， ，则 在内单调递增，
， ， 符合题意，（11分）构造函数 ，求导得 ，
在 内单调递增，则 ，（12分）
当 时， ，
，即 ，（13分）
（14分）
，
，即 ，（15分）
．（17分）
