文档内容
2023~2024 学年度第一学期高三年级期末调研测试
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．A 2．B 3．C 4．C 5．A 6．B 7．D 8．C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9．BD 10．BC 11．ACD 12．BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
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( x − 4 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 1 0 （或x2 + y2 −8x+4y+10=0） 14． −
2
2
4
5
15． 1 16．
1
3
6
a 3
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解：（1）设等比数列 a
n
的公比为 q ．
S
3
= a
1
+ a
2
+ a
3
=
4
q
+ 4 + 4 q = 1 4 ，得 q = 2 或 q =
1
2
，……………………………………………2分
当 q = 2 时， a
1
= 2 ；当 q =
1
2
时， a
1
= 8 .由 a
n
为递增数列，则 a
1
= 2 ，q=2，
所以 a
n
= 2 2 n − 1 = 2 n ．………………………………………………………………………………4分
（2）设 T
n
= 1 2 n + 3 2 n − 1 + 5 2 n − 2 + + ( 2 n − 1 ) 2 ，
T
n =12n−1+32n−2 +52n−3 + +(2n−1)1
2
相减得：
T
n2 = 2 n + 2 ( 2 n − 1 + 2 n − 2 + 2 n − 3 + + 2 1 ) − ( 2 n − 1 ) …………………………………………7分
2(1−2n−1)
=2n +2 −(2n−1)
1−2
= 2 n + ( 2 n + 1 − 4 ) − ( 2 n − 1 ) = 3 2 n − ( 2 n + 3 ) …………………………9分
所以T =32n+1−(4n+6)．…………………………………………………………………………10分
n
18．（1）连接 A C1
1
，交 B
1
D
1
于点H ，
在梯形ABCD 中，AB =1，BC =2，CD =4，所以
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A
B
B
1C1 1
1
=
B
C
C1
D
1
1
1
=
1
2
，
又 A
1
B C1
1
= B C1
1
D
1
= 9 0 ，所以△ABC∽△BCD ，
1 1 1 1 1 1
则B AC =CBD ，因为BAC +ACB =90 ，所以CBD +ACB =90 ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
则CHB =90 ，即BD ⊥ AC ．…………………………………………………………………3分
1 1 1 1 1 1
直四棱柱ABCD−ABCD 中，AA ⊥平面ABCD ，因为BD 平面ABCD ，所以BD ⊥ AA ．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
{#{QQABLQIEogAgQABAAAgCEwGqCAIQkBGACCoOgAAIIAAAyRFABAA=}#}因为
数学答案 第 2 页，共 6 页
A A
1
、 A C1
1
平面AAC ，
1 1
A A
1
A C1
1
= A
1
，所以 B
1
D
1
⊥ 平面 A A C1
1
．……………………5分
因为AC 平面AAC ，所以AC ⊥BD ．………………6分
1 1 1 1 1 1
法二：以 { C D , C B , C C
1
} 为正交基底，建立如图所示的空间直
角坐标系 C − x y z ，则 C ( 0 , 0 , 0 ) ， D ( 4 , 0 , 0 ) ， B ( 0 , 2 , 0 ) ， A (1 , 2 , 0 ) ，
C (0,0,2)，
1
D
1
( 4 , 0 , 2 ) ， B
1
( 0 , 2 , 2 ) ， A
1
(1 , 2 , 2 ) ．…………3分
（1）因为 A C
1
= ( − 1 , − 2 , 2 ) ， B
1
D
1
= ( 4 , − 2 , 0 ) ，
所以AC BD =(−1,−2,2)(4,−2,0)=−4+4+0=0，
1 1 1
所以 A C
1
⊥ B
1
D
1
，即 A C
1
⊥ B
1
D
1
．…………………………6分
（2）设平面 B C1 D 与平面BCD 的一个法向量分别为
1 1
m = ( x
1
, y
1
, z
1
) 与 n = ( x
2
, y
2
, z
2
) ，
因为CB =(0,2,2)，CD =(4,0,2)，CD=(4,0,0)，所以
1 1
m⊥CB
由 1 得
m⊥CD
m
m
C
C
B
D
1
=
=
2
4
y
1
x
1
+
=
2
0
z
1
= 0
，则 x
1
= 0 ，令 y
1
= 1 得 z
1
= − 1 ，所以 m = ( 0 ,1 , − 1 ) ．…8分
由
n
n
⊥
⊥
C
C
B
D
1
1
得
n
n
C
C
B
D
1
1
=
=
2
4
y
x
2
1
+
+
2
2
z
z
2
2
=
=
0
0
，令x =1，则
2
z
1
= − 2 ， y
2
= 2 ，所以 n = (1 , 2 , − 2 ) ．…10分
所以 c o s m , n =
|
m
m
||
n
n |
=
0 2
0
+
2 1
1
+
+ 1
( −
1
2
2 )
+
( −
1
1
2
)
+
2
( −
2
2
+
)
( − 2 ) 2
=
2
3
2
，
所以二面角 D − B C1 − D
1
的平面角的余弦值为
2
3
2
．……………………………………………12分
19．解：（1）在△ABC中， b = 2 ， c = 3 ，
由余弦定理得 c o s C =
a 2 +
2
b
a
2
b
− c 2
=
1
1
1
6
，即 4 a 2 − 1 1 a − 2 0 = 0 ，所以 a = 4 ．……………………2分
s in C = 1 − c o s 2 C = 1 − (
1
1
1
6
) 2 =
3
1
1
6
5
，……………………………………………………………4分
a c
由正弦定理 = ，得
sinA sinC s
4
in A
=
3
1
3
1
6
5
15
，所以sinA= ． ………………………………5分
4
（2）因为AD=2DB，AB=c=3，所以AD=2，DB=1．
在 △ A B C 中，由余弦定理得 b 2 = a 2 + 3 2 − 2 a 3 c o s B ，即 a 2 − b 2 + 9 = 6 a
z
D 1 C
1
H
B
1
A
1
C
x D
A B
y
，
2 21 25
在△BCD中，由余弦定理得( )2 =a2 +12 −2a1cosB，即a2 − =2a，
3 3
所以a2 −b2 +9=3a2 −25，即2a2 +b2 =34 ①………………………………………………8分
{#{QQABLQIEogAgQABAAAgCEwGqCAIQkBGACCoOgAAIIAAAyRFABAA=}#}因为
数学答案 第 3 页，共 6 页
ta n C = 2 ta n B ，所以
s
c
in
o s
C
C
=
2
c
s
o
in
s
B
B
．又 c = 3 ，由正弦定理得
c o
3
s C
=
c
2
o
b
s B
，
2bcosC =3cosB，即 2 b
a 2 +
2
b
a
2
b
− c 2
= 3
a 2 +
2
2 c
a c
− b 2
，则 a 2 + 3 b 2 = 2 7 ②………………11分
联立①②可得 a 2 = 1 5 ，所以 a = 1 5 ．……………………………………………………………12分
20．（1）记活动参与者“第1次操作时取到白球”为事件 A ，“第2次操作时取到白球”为事件B，
则 P ( A ) =
1
3
， P ( A ) =
2
3
， P ( B | A ) =
1
3
+
+
1
1
=
2
4
， P ( B | A ) =
3
1
+ 1
=
1
4
．……………………………2分
所以 P ( B ) = P ( A B + A B ) = P ( A B ) + P ( A B ) = P ( A ) P ( B | A ) + P ( A ) P ( B | A ) =
1
3
2
4
+
2
3
1
4
=
1
3
，
所以活动参与者第2次操作时取到白球的概率为
1
3
．……………………………………………5分
（2） X = 2 , 3 , 4 , 5 ， …………………………………………………………………………………6分
1 2 3 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1
P(X =2)= = ，P(X =3)= + + = ，
3 4 5 10 3 4 5 3 4 5 3 4 5 5
P ( X = 4 ) =
2
3
3
4
1
5
+
2
3
1
4
3
5
+
1
3
2
4
3
5
=
1
3
0
， P ( X = 5 ) =
2
3
3
4
4
5
=
2
5
，…………………10分
则随机变量X 的概率分布为
X 2 3 4 5
P
1
1
0
1
5 1
3
0
2
5
所以，随机变量 X 的数学期望 E ( X ) = 2
1
1
0
+ 3
1
5
+ 4
1
3
0
+ 5
2
5
= 4 ．………………………12分
21．（1）因为 e =
c
a
=
2
2
，所以
b
a
2
2
=
a 2 −
a 2
c 2
= 1 − e 2 = 1 −
1
2
=
1
2
，
结合
4
a 2
+
1
b 2
= 1 可得 a 2 = 6 ，b2 =3，所以椭圆 E 的方程为
x
6
2
+
y
3
2
= 1 ．………………………2分
直线 l
1 1 3
：y+2=− (x−1)，即y=− x− ，代入
2 2 2
x
6
2
+
y
3
2
= 1 得x2 +2x−1=0，
设 M ( x
1
, y
1
) ， N ( x
2
, y
2
) ，则x +x =−2，
1 2
x
1
x
2
= − 1 ，
1
所以|MN|= 1+k2 |x −x |= 1+k2 (x +x )2 −4xx = 1+(− )2 (−2)2 −4(−1) = 10，
1 2 1 2 1 2 2
|2+2+3| 7
又点A(2,1)到直线l：x+2y+3=0的距离d = = 5，
5 5
{#{QQABLQIEogAgQABAAAgCEwGqCAIQkBGACCoOgAAIIAAAyRFABAA=}#}所以
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△ A M N
1 1 7 7
的面积S = |MN|d = 10 5= 2．……………………………………5分
2 2 5 2
（2）当直线 l 斜率不存在，即l： x = 1 时， y 2 =
5
2
，不妨取 M (1 ,
1
2
0
) ， N (1 , −
1
2
0
) ，
因为 A ( 2 ,1 ) ， B ( − 2 , − 1 )
10 10
−1 − +1
2 10 2 1 10
，则k = =1− ，k = = (1− )，
1 1−2 2 2 1+2 3 2
所以 k
1
k
2
− 2 k
2
= ( k
1
− 2 ) k
2
= ( − 1 −
1
2
0
)
1
3
(1 −
1
2
0
) =
1
3
3
2
=
1
2
．…………………………………7分
当直线 l 斜率存在时，设 l ： y + 2 = k ( x − 1 ) ，代入 E ：
x
6
2
+
y
3
2
= 1 得
( 2 k 2 + 1 ) x 2 − 4 k ( k + 2 ) x + 2 ( k + 2 ) 2 − 6 = 0 ，
设 M ( x
1
, y
1
) ， N ( x
2
, y
2
)
4k2 +8k
，则x +x = ，
1 2 2k2 +1
x
1
x
2
=
2 k 2
2
+
k
8
2
k
+
+
1
2
，…………………………8分
y −1 y +1 kx −k−3 kx −k−1
则kk −2k =(k −2)k =( 1 −2) 2 =( 1 −2) 2
1 2 2 1 2 x −2 x +2 x −2 x +2
1 2 1 2
[(k−2)x −k+1](kx −k−1) (k2 −2k)xx −(k2 −k−2)x −(k2 −k)x +k2 −1
= 1 2 = 1 2 1 2
(x −2)(x +2) xx +2x −2x −4
1 2 1 2 1 2
=
( k 2 − 2 k ) x
1x
x
1
2x
−
2
−
( k
2
2
(
−
x
1
k
+
) (
x
x
2
1)
+
−
x
4
2+
) +
4
k
x
1
2 − 1 + 2 x
1
=
( k 2 − 2 k ) ( 2 k
2
2
k
+
2
8
+
k
8
+
k
2
+
)
2
−
−
( k
2
2
( 4
−
k
k
2
) (
+
4
8
k
k
2
)
+
−
8
4
k
(
)
2
+
k 2
( k
+
2
1
−
)
1
+
) (
4
2
x
k
1
2 + 1 ) + 2 x
1 =
−
−
1
7
4
k
k
2
2
−
−
4
8
k
k
−
−
1
2
+
+
2
4
x
1x
2
=
1
2
．
综上可知， k
1
k
2
− 2 k
2
=
1
2
．…………………………………………………………………………12分
法二：设 l ： x − 1 = m ( y + 2 ) ，代入 E
x2 y2
： + =1得(m2 +2)y2 +(4m2 +2m)y+4m2 +4m−5=0，
6 3
−4m2 −2m 4m2 +4m−5
设M(x,y )，N(x ,y )，则y + y = ，y y = ，………………………6分
1 1 2 2 1 2 m2 +2 1 2 m2 +2
设直线 A N 的斜率为k ，则
3
y −1 y −1 y −1 y −1
k +k = 1 + 2 = 1 + 2
1 3 x −2 x −2 my +2m−1 my +2m−1
1 2 1 2
(y −1)(my +2m−1)+(y −1)(my +2m−1) 2my y +(m−1)(y + y )−4m+2
= 1 2 2 1 = 1 2 1 2
(my +2m−1)(my +2m−1) m2y y +(2m2 −m)(y + y )+(2m−1)2
1 2 1 2 1 2
2m(4m2 +4m−5)+(m−1)(−4m2 −2m)−(4m−2)(m2 +2) 12m2 −16m+4
= = =2，…10分
m2(4m2 +4m−5)+(2m2 −m)(−4m2 −2m)+(4m2 −4m+1)(m2 +2) 6m2 −8m+2
{#{QQABLQIEogAgQABAAAgCEwGqCAIQkBGACCoOgAAIIAAAyRFABAA=}#}又
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k
2
k
3
=
y
x
2
2
+
+
1
2
y
x
2
2
−
−
1
2
=
y
x
2222 −
−
1
4
=
6 −
2 y
22
−
2 y
2
1
− 4
= −
1
2
，即 k
3
= −
2
1
k
2
，……………………………11分
1
所以k +k =k − =2，则
1 3 1 2k
2
2 k
1
k
2
− 1 = 4 k
2
，所以 k
1
k
2
− 2 k
2
=
1
2
．……………………………12分
法三：设直线 l ： x − 1 = m ( y + 2 ) ，即 x − 2 + 1 = m ( y − 1 + 3 ) ，所以 x − 2 − m ( y − 1 ) = 3 m − 1 ．
椭圆 E ：
x
6
2
+
y
3
2
= 1 ，即 x 2 + 2 y 2 = 6 ，所以 ( x − 2 + 2 ) 2 + 2 ( y − 1 + 1 ) 2 = 6 ，
即 ( x − 2 ) 2 + 2 ( y − 1 ) 2 + 4 ( x − 2 ) + 4 ( y − 1 ) = 0 ，
1
则(x−2)2 +2(y−1)2 +4[(x−2)+(y−1)] [x−2−m(y−1)]=0，
3m−1
整理得 ( 2 m − 2 ) (
y
x
−
−
1
2
) 2 − ( 4 m − 4 )
y
x
−
−
1
2
+ 3 m + 3 = 0 ，
设直线 A N 的斜率为 k
3
，则 k
1
+ k
3
=
y
1
x
1
−
−
1
2
+
y
x
2
2
−
−
1
2
=
4
2
m
m
−
−
4
2
= 2 …………………………………10分
又 k
2
k
3
=
y
x
2
2
+
+
1
2
y
x
2
2
−
−
1
2
=
y
x
2222 −
−
1
4
=
6 −
2 y
22
−
2 y
2
1
− 4
= −
1
2
，即 k
3
= −
2
1
k
2
，……………………………11分
所以 k
1
+ k
3
= k
1
−
2
1
k
2
= 2 ，则 2 k
1
k
2
− 1 = 4 k
2
，所以 k
1
k
2
− 2 k
2
=
1
2
．……………………………12分
1
22．（1）当a=1时， f(x)=|ex −x|+ x2，
2
设 h ( x ) = e x − x ，由 h ( x ) = e x − 1 = 0 得 x = 0 ，则 h ( x ) 在 ( − , 0 ) 上单调递减，在 ( 0 , + ) 上单调递增，
所以 h ( x ) ≥ h ( 0 ) = 1 0 ，则 e x − x 0 ，所以 f ( x ) = e x − x +
1
2
x 2 ．………………………………2分
因为 f ( x ) = e x + x − 1 在(−,+)上单调递增，且 f ( 0 ) = 0 ，则
x ( − , 0 ) 0 ( 0 , + )
f(x) － 0 ＋
f(x) ↘ 极小值 ↗
所以， f ( x ) 的最小值为 f(0)=1．…………………………………………………………………4分
（2）记g(x)=aex −x，xR，则g(x)=aex −1．
① 当 a 0 时，g(x)0，则g(x)在 ( − , + ) 上单调递减，
1
又因为g(0)=a0，所以当x−1时，g(x)=aex −xaex +10，所以xln(− )，
a
1
令t=min{−1,ln(− )}，则g(t)0，因为g(0)0，所以x (t,0)使得g(x )=0，
a 0 0
{#{QQABLQIEogAgQABAAAgCEwGqCAIQkBGACCoOgAAIIAAAyRFABAA=}#}当
数学答案 第 6 页，共 6 页
x x
0
时， g ( x ) 0 ，所以 f ( x ) = x − a e x +
1
2
x 2 + (1 − a ) x ， f ( x ) = 1 − a e x + x + 1 − a ，
若 x = 0 处取得极小值，则 f(0)=2−2a=0，即 a = 1 ，与a0矛盾，不成立．………………6分
② 当a=0时， f ( x ) = | x | +
1
2
x 2 + x =
1
21
2
x
x
2
2
, x
+
2 x
0
, x ≥ 0
所以 f ( x ) 在 ( − , 0 ) 上单调递减，在 ( 0 , + ) 上单调递增，所以 f ( x ) 在 x = 0 取极小值，
所以 a = 0 符合题意．…………………………………………………………………………………7分
③ 当 a ≥
1
e
时，则aex −x≥0，所以 f ( x ) = a e x − x +
1
2
x 2 + (1 − a ) x = a e x +
1
2
x 2 − a x ，
f ( x ) = a e x + x − a ， f ( 0 ) = 0 ，又 f ( x ) = a e x + 1 0 ，所以 f ( x ) 在 ( − , + ) 上单调递增，
所以当 x 0 时， f(x)0；当x0时， f ( x ) 0 ，
所以 f(x)在 ( − , 0 ) 上单调递减，在(0,+)上单调递增，所以 f(x)在x=0处取得极小值．…9分
④ 当 0 a
1
e
时，g(x)=aex −1在 ( − , + ) 上单调递增，且g(1)=ae−10，
所以当 x 1 时，g(x)0，所以 g ( x ) 在 ( − ,1 ) 上单调递减，
又 g ( 0 ) = a 0 ， g (1 ) = a e − 1 0 ，所以 x
0
( 0 ,1 ) 使得 g ( x
0
) = 0 ，所以 x x
0
时， g ( x ) 0
所以 f ( x ) = a e x − x +
1
2
x 2 + (1 − a ) x = a e x +
1
2
x 2 − a x ， f ( x ) = a e x + x − a ，则 f ( 0 ) = 0 ，
又 f ( x ) = a e x + 1 0 ，所以 f(x)在 ( − , x
0
) 上单调递增，
则 x 0 时， f ( x ) 0 ， 0 x x
0
时， f ( x ) 0 ，
所以 f ( x ) 在(−,0)上单调递减， ( 0 , x
0
) 上单调递增
所以 f(x)在 x = 0 处取得极小值．
综上可知，a≥0．…………………………………………………………………………………12分
{#{QQABLQIEogAgQABAAAgCEwGqCAIQkBGACCoOgAAIIAAAyRFABAA=}#}
