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专题 02 直线与圆的方程（5 种经典基础练+5 种优选提升练）
直线的倾斜角与斜率（共15题）
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋•丰城市校级期末）直线 的倾斜角为
A． B． C． D．
2．（2023秋•信宜市期末）直线 的斜率为
A． B． C． D．
3．（2023秋•锦州期末）经过两点 ， 的直线 的倾斜角为 ，则 的值为
A． B．1 C．3 D．4
4．（2023秋•广州期末）下列直线中，倾斜角最大的是
A． B． C． D．
5．（2023秋•临渭区校级期末）已知直线 ，下列说法正确的是
A．倾斜角为 B．倾斜角为
C．方向向量可以是 D．方向向量可以是
学科网（北京）股份有限公司6．（2023秋•响水县校级期末）已知 ， ，过点 的直线 与线段 不相交，
则直线 斜率 的取值范围是
A． 或 B． C． D． 或
7．（2023秋•洪山区校级期末）已知直线 的方程为 ，则直线 的倾斜角
的取值范围是
A． ， B．
C． D．
8．（2023秋•福州期末）已知 ， ，若直线 经过点 ，且与线段 有交点，
则 的斜率的取值范围为
A． ， ， B． ，
C． ， ， D． ，
二．多选题（共3小题）
9．（2023秋•新华区校级期末）已知直线 ，直线 ，则
A．当 时， 与 的交点是
B．直线 与 都恒过
C．若 ，则
D． ，使得 平行于
10．（2023秋•电白区期末）如果 ， ，那么直线 经过
学科网（北京）股份有限公司A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．（2023秋•九江期末）已知两条平行直线 ．若直线 被 ，
截得的线段长为 ，则直线 的倾斜角可能是
A． B． C． D．
三．填空题（共3小题）
12．（2023秋•泸县校级期末）已知直线 的一个方向向量为 ，则直线 的倾斜角 ．
13．（2023秋•长宁区校级期末）直线 的斜率的取值范围为 ， ，则其倾斜角的取值范围是
．
14．（2023秋•沙市区校级期末）直线 经过点 ，且倾斜角为直线 的倾斜角的一
半，则 的方程为 ．
四．解答题（共1小题）
15．（2023秋•汉台区期末）已知两点 ， ．
（Ⅰ）求直线 的斜率 和倾斜角 ；
（Ⅱ）求直线 在 轴上的截距．
直线的方程（共15题）
一．选择题（共9小题）
1．（2023秋•道里区校级期末）过点 ， 的直线方程是
A． B． C． D．
2．（2023秋•南阳期末）已知直线 过点 ，且在 轴上的截距为在 轴上的截距的2倍，则直
学科网（北京）股份有限公司线 的方程为
A． B．
C． 或 D． 或
3．（2023秋•丰台区期末）已知点 在由直线 ， 和 所围成的区域内（含边
界）运动，点 在 轴上运动．设点 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
4．（2023秋•武强县校级期末）若直线 与直线 平行，则实数 的
取值为
A．1或 B． C．1 D．0
5．（2023秋•南关区校级期末）已知直线 ， ，则“ ”
是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2023秋•金华期末）过点 且与直线 垂直的直线方程是
A． B． C． D．
7．（2023秋•江汉区校级期末）张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直
角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点 与点 重合，点 与
点 重合，则
A．4046 B．4047 C．4048 D．4049
学科网（北京）股份有限公司8．（2023秋•海淀区校级期末）已知直线 恒过定点 ，直线 恒过定
点 ，且直线 与 交于点 ，则点 到点 的距离的最大值为
A．4 B． C．3 D．2
9．（2023秋•重庆期末）如图，已知两点 ， ，从点 射出的光线经直线 上
的点 反射后再射到直线 上，最后经直线 上的点 反射后又回到点 ，则直线 的方程
为
A． B． C． D．
二．多选题（共1小题）
10．（2023秋•宝安区期末）下面说法中错误的是
A．经过定点 ， 的直线都可以用方程 表示
B．经过定点 ， 的直线都可以用方程 表示
C．经过定点 的直线都可以用方程 表示
D．经过任意两个不同的点 ， ， ， 的直线都可以用方程
表示
三．填空题（共3小题）
11．（2023秋•新化县期末）经过 ， 两点的直线的方程为 ．
学科网（北京）股份有限公司12．（2023秋•临川区校级期末）过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 ．
13．（2023秋•南关区校级期末）唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火，
黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之
后从山脚下某处出发，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为 ，
若将军从 处出发，河岸线所在直线方程为 ．则“将军饮马”的最短总路程为 ．
四．解答题（共2小题）
14．（2023秋•盐田区校级期末）已知菱形 中， ， ， 边所在直线过点
．求：
（1） 边所在直线的方程；
（2）对角线 所在直线的方程．
15．（2023秋•亭湖区校级期末）已知直线 的倾斜角为 ，且这条直线经过点 ．
（1）求直线 的方程；
（2）若直线 恒过定点 ，求点 到直线 的距离．
直线的交点坐标与距离公式（共11题）
一．选择题（共4小题）
1．（2023秋•龙岩期末）已知直线 的法向量为 ，且经过点 ，则原点 到 的距离
学科网（北京）股份有限公司为
A． B． C． D．
2．（2023秋•西固区校级期末）已知直线 与 平行，则 与 的距离
为
A． B． C． D．
3．（2023秋•贵阳期末）点 ， ，点 在 轴上，则 的最小值为
A． B．5 C．4 D．
4．（2023秋•南阳期末）点 为两条直线 和 的交点，则点 到直线
的距离最大为
A． B． C． D．5
二．填空题（共5小题）
5．（2023秋•巴楚县校级期末）已知点 与点 之间的距离为5，则实数 的值为
．
6．（2023秋•湖北期末）点 到直线 的距离最大值是 ．
7．（2023秋•房山区期末）已知直线 ， ， ，则 与
的交点坐标为 ；若直线 ， ， 不能围成三角形，写出一个符合要求的实数 的值 ．
8．（2023秋•麒麟区校级期末）已知两个定点 ， ， 是坐标系原点， 轴于点
学科网（北京）股份有限公司， 是线段 上任意一点， 轴于点 ， 于点 ， 与 相交于点 ，
则点 与点 之间的距离的最大值和最小值的和等于 ．
9．（2023秋•宿迁期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平
面内到两个定点 ， 的距离之比为定值 且 的点所形成的图形是圆，后来，人们把
这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点 到两个定点 ，
的距离之比为2，则 的取值范围为 ．
三．解答题（共2小题）
10．（2023秋•郑州期末）已知等腰 的一个顶点 在直线 上，底边 的两
端点坐标分别为 ， ．
（Ⅰ）求边 上的高 所在直线方程；
（Ⅱ）求点 到直线 的距离．
11．（2023秋•宝山区校级期末）已知 ，直线 ，直线 ．
（1）若 ，求 与 之间的距离；
（2）若 与 的夹角大小为 ，求直线 的方程．
学科网（北京）股份有限公司圆的方程（共14题）
一．选择题（共4小题）
1．（2023秋•咸阳期末）已知半径为3的圆 的圆心与点 关于直线 对称，则圆
的标准方程为
A． B．
C． D．
2．（2023秋•青岛期末）过三点 ， ， 的圆交 轴于 ， 两点，则
A． B． C． D．
3．（2023秋•石家庄期末）若圆心坐标为 的圆被直线 截得的弦长为 ，则该圆的
一般方程为
A． B．
C． D．
4．（2023秋•三水区期末）已知方程 表示一个圆，则实数 取值范围
是
A． ， ， B． ，
C． ， ， D．
二．多选题（共1小题）
学科网（北京）股份有限公司5．（2023秋•拉萨期末）已知圆 ，则下列说法正确的是
A．点 在圆 内 B．圆 关于 对称
C．半径为1 D．直线 与圆 相切
三．填空题（共4小题）
6．（2023秋•青羊区校级期末）在平面直角坐标系中，有 ， ， ， 四点，
若它们在同一个圆周上，则 ．
7．（2023秋•湖北期末）已知圆 的圆心在直线 上，且过点 、 ，则
圆 的一般方程为 ．
8．（2023 秋•诸暨市期末）已知 的圆心坐标为 ，半径为 ，则
．
9．（2023秋•吉安期末）若二元二次方程 表示圆，则实数 的取值范
围是 ．
四．解答题（共5小题）
10．（2023秋•汕尾期末）已知点 ， ， ，直线 与 轴交于点 ．
（1）求点 的坐标；
（2）求 的外接圆的标准方程．
11．（2023秋•苏州期末）在平面直角坐标系 中，已知四边形 为平行四边形， ，
， ．
（1）设线段 的中点为 ，直线 过 且垂直于直线 ，求 的方程；
（2）求以点 为圆心、与直线 相切的圆的标准方程．
学科网（北京）股份有限公司12．（2023秋•徐州期末）已知直线 ， ，直线 过点 且与 垂直．
（1）求直线 的方程；
（2）设 分别与 ， 交于点 ， ， 为坐标原点，求过三点 ， ， 的圆的方程．
13．（2023秋•新化县期末）已知圆 ．
（1）求圆 的标准方程，并写出圆 的圆心坐标和半径；
（2）若直线 与圆 交于 ， 两点，且 ，求 的值．
14．（2023秋•衡阳县期末）已知圆 经过 和 两点，且与 轴的正半轴相切．
（1）求圆 的方程；
（2）若圆 与圆 关于直线 对称，求圆 的方程．
学科网（北京）股份有限公司直线与圆、圆与圆的位置关系（共16题）
一．选择题（共9小题）
1．（2023秋•电白区期末）已知点 在圆 内，则直线 与圆 的位
置关系是
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
2．（2023秋•天河区期末）直线 与圆 的位置关系是
A．相离 B．相交
C．相切 D．位置关系与 有关
3．（2023秋•湖北期末）设 为正实数，若圆 与圆 相外切，则 的值为
A．4 B．6 C．24 D．26
4．（2023秋•南通期末）圆 和圆 的位置关系为
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
5．（2023秋•让胡路区校级期末）若直线 与圆 相切，则实数 的值为
A． B．1或 C． 或3 D．
6．（2023秋•越城区校级期末）若直线 与 相离，则点 与圆 的位置
关系为
A．点 在圆 内 B．点 在圆 上 C．点 在圆 外 D．无法确定
7．（2023秋•郴州期末）德国数学家米勒曾提出最大视角问题：已知点 ， 是 的 边
上的两个定点， 是 边上的一个动点，当 在何处时， 最大？结论是：当且仅当
的外接圆与边 相切于点 时， 最大．人们称这一命题为米勒定理．在平面直角
学科网（北京）股份有限公司坐标系内，已知 ， ，点 是直线 上一动点，当 最大时，点 的
坐标为
A． B． C． D．
8．（2023秋•哈尔滨期末）已知 ，直线 与 的交点 在圆
上，则 的最大值是
A． B． C． D．
9．（2023秋•阳江期末）直线 与圆 交于 ， 两点，则 的
取值范围为
A． B． C． D．
二．多选题（共1小题）
10．（2023 秋•青羊区校级期末）设直线 与直线 交于点 ，已知点
，则下列结论正确的是
A．当 时，点 在圆上
B．当 时，
C．当 时，点 在直线上
D．当 时， 的最小值为2
三．填空题（共2小题）
11．（2023秋•大通县期末）已知圆 ，过圆 外一点 作 的两条切线，切点分别为
学科网（北京）股份有限公司， ，若 ，则 ．
12．（2023秋•郑州期末）写出圆 与圆 的一条公切
线方程 ．
四．解答题（共4小题）
13．（2023秋•安宁区校级期末）已知圆 和圆 ．
（1）试判断两圆的位置关系；若相交，求出公共弦所在的直线方程；
（2）若直线 过点 且与圆 相切，求直线 的方程．
14．（2023秋•丰城市校级期末）已知△ 的三个顶点分别为 ， ， ，直线
经过点 ．
（1）求△ 外接圆 的方程；
（2）若直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程．
15．（2023秋•绵阳期末）已知直线 ，圆 ．
（1）试判断直线 与圆 的位置关系，并加以证明；
（2）若直线 与圆 相交于 ， 两点，求 的最小值及此时直线 的方程．
学科网（北京）股份有限公司16．（2023秋•赣州期末）已知圆 ，点 ．
（1）若 ，过 的直线 与 相切，求 的方程；
（2）若 上存在到 的距离为1的点，求 的取值范围．
点到直线的距离及平行直线间的距离（共2题）
1．（2022秋•喀什地区期末）已知直线 与直线 ．
（1）求经过直线 与 的交点，且与直线 垂直的直线 的方程．
（2）求 分别到直线 与 的距离．
2．（2023秋•安宁区校级期末）已知直线 和直线 ．
（1）试判断 ， 能否平行，若平行，请求出两平行线之间的距离；
（2）若原点到 距离最大，求此时的直线 的方程．
学科网（北京）股份有限公司两条直线平行、垂直与方程的关系（共2题）
1．（2022秋•广河县校级期末）已知直线 过点 ， 为坐标原点．
（1）若 与 垂直，求直线 的方程；
（2）若直线与 平行，求直线 的方程．
2．（2023秋•安宁区校级期末）已知直线 和直线 ．
（1）试判断 ， 能否平行，若平行，请求出两平行线之间的距离；
（2）若原点到 距离最大，求此时的直线 的方程．
圆的方程与圆的性质（共10题）
1．（2023秋•吕梁期末）已知圆 ．
（1）求 的取值范围；
（2）当 取最小正整数时，若点 为直线 上的动点，过 作圆 的一条切线，切
点为 ，求线段 的最小值．
学科网（北京）股份有限公司2．（2023秋•郑州期末）已知圆 的圆心为 ，过直线 上一点 作圆的切线，且
切线段长的最小值为2．
（Ⅰ）求圆 的标准方程；
（Ⅱ）若圆 与圆 相交于 ， 两点，求两圆公共弦 的长．
3．（2023秋•湖州期末）已知圆 ，直线 ．
（1）若直线 与圆 交于不同的两点 ， ，当 时，求 的值；
（2）若 时，点 为直线 上的动点，过点 作圆 的两条切线 ， ，切点分别为 ，
，求四边形 的面积的最小值．
4．（2023秋•大连期末）已知圆 的圆心坐标为 ，与直线 交于 ， 两点，且
．
（Ⅰ）求圆 的标准方程；
（Ⅱ）求过点 的圆 的切线方程．
学科网（北京）股份有限公司5．（2023秋•吉林期末）如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个
矩形坐标场地 （包含地界和内部）， 长为12米，在 边上距离 点5米的 处放置
一只机器犬，在距离 点2米的 处放置一个机器人，机器人行走的速度为 ，机器犬行走的速度
为 ，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点 ，则机器犬将被机器人捕
获，点 叫成功点．
（1）求在这个矩形场地内成功点 的轨迹方程；
（2）若 为矩形场地 边上的一点，若机器犬在线段 上都能逃脱，问 点应在何处？
6．（2023秋•天津期末）已知圆 经过点 和 ，且圆心 在直线 上，
（Ⅰ）求圆 的标准方程；
（Ⅱ）过点 作圆 的切线 ，求直线 的方程．
7．（2023秋•通州区期末）已知圆 ，点 ．
（Ⅰ）求圆 的圆心坐标及半径；
（Ⅱ）求过 点的圆 的切线方程．
学科网（北京）股份有限公司8．（2022秋•灌南县期末）已知圆 ，抛物线 的焦点坐标为 ．
（1）过圆 外一点 作直线 与圆 相切于点 ，且 ，求点 的轨迹方程；
（2）过点 与圆 相切的直线交抛物线 于 ， 两点，求 ．
9．（2023 秋•固原期末）已知圆心为 的圆经过 两点，且圆心 在直线
上．
（1）求圆 的方程；
（2）若直线 与圆 交于 ， 两点， 的面积是 ，求 的值．
10．（2022秋•萍乡期末）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，点 在椭圆
上， ， ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知 是直线 上的一点，是否存在这样的直线 ，使得过点 的直线与椭圆 相切
于点 ，且以 为直径的圆过点 ？若存在，求出直线 的方程，若不存在，说明理由．
学科网（北京）股份有限公司点与圆、直线与圆的关系（共14题）
1．（2023秋•鼓楼区校级期末）已知圆 ，直线 ．
（1）若直线 与圆 相切，求 的值；
（2）当 时，已知 为直线 上的动点，过 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，当切
线长最短时，求弦 所在直线的方程．
2．（2023秋•洛阳期末）已知圆 ．
（1）若直线 过定点 ，且与圆 相切，求 的方程；
（2）若圆 的半径为1，圆心在直线 上，且与圆 外切，求圆 的方程．
3．（2023 秋•玄武区校级期末）在平面直角坐标系 中，已知半径为 4 的圆 与直线
相切，圆心 在 轴的负半轴上．
（1）求圆 的方程；
（2）若直线 与圆 相交于 ， 两点，且 的面积为8，求直线 的方程．
学科网（北京）股份有限公司4．（2023秋•郑州期末）已知圆 的圆心为 ，过直线 上一点 作圆的切线，且
切线段长的最小值为2．
（Ⅰ）求圆 的标准方程；
（Ⅱ）若圆 与圆 相交于 ， 两点，求两圆公共弦 的长．
5．（2023秋•太原期末）已知圆 的方程为 ，点 在圆 内．
（1）求实数 的取值范围；
（2）求过点 且与圆 相切的直线 的方程．
6．（2023秋•宝安区期末）已知 和定点 ，由 外一点 向 引切线
，切点为 ，且满足 ．
（1）求动点 的轨迹方程 ；
学科网（北京）股份有限公司（2）求线段 长的最小值．
7．（2023秋•通州区期末）已知圆 ，点 ．
（Ⅰ）求圆 的圆心坐标及半径；
（Ⅱ）求过 点的圆 的切线方程．
8．（2023秋•济南期末）已知圆 与 轴相切，且与 轴正半轴相交所得弦长为 ，且圆心
在直线 上．
（1）求圆心 的坐标；
（2）若圆 与直线 相切，且与圆 相外切，判断是否存在符合题目
要求的圆．
9．（2023 秋•宁河区期末）已知圆心为 的圆经过 ， 两点，且圆心 在直线
上．
（Ⅰ）求圆 的标准方程；
（Ⅱ）若过点 且平行于 的直线与圆 相交于 ， 两点，求弦 的长．
学科网（北京）股份有限公司10．（2023秋•闵行区校级期末）已知定点 ，圆 ．
（1）求圆心 到点 的距离；
（2）若以 为圆心， 为半径的圆与圆 有两个不同公共点，求 的取值范围．
11．（2023秋•甘肃期末）已知直线 和圆 ．
（1）判断直线 和圆 的位置关系，并求圆 上任意一点 到直线 的最大距离；
（2）过直线 上的点 作圆 的切线 ，切点为 ，求证：经过 ， ， 三点的圆与圆 的
公共弦必过定点，并求出该定点的坐标．
12．（2023秋•成都期末）圆 经过点 和点 ，且圆心 在直线 上．
（1）求圆 的标准方程；
（2）过点 ， 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，求直线 的方程及原点
到直线 距离最大时 的值．
学科网（北京）股份有限公司13．（2023秋•峡江县校级期末）已知圆 的圆心为 ， 且 ， ，圆 与 轴、
轴分别交于 ， 两点（与坐标原点 不重合），且线段 为圆 的一条直径．
（1）求证： 的面积为定值；
（2）若直线 经过圆 的圆心，设 是直线 上的一个动点，过点 作圆
的切线 ， ，切点为 ， ，求线段 长度的最小值．
14．（2023 秋•固原期末）已知圆心为 的圆经过 两点，且圆心 在直线
上．
（1）求圆 的方程；
（2）若直线 与圆 交于 ， 两点， 的面积是 ，求 的值．
圆与圆的关系（共3题）
1．（2023秋•洛阳期末）已知圆 ．
学科网（北京）股份有限公司（1）若直线 过定点 ，且与圆 相切，求 的方程；
（2）若圆 的半径为1，圆心在直线 上，且与圆 外切，求圆 的方程．
2 ． （ 2023 秋 • 拉 萨 期 末 ） 已 知 ，
．
（1）当 时， 与 相交于 ， 两点，求直线 的方程；
（2）若 与 相切，求 的值．
3．（2021秋•江苏期末）已知圆 ，点 ， ．
（1）若 ，半径为1的圆 过点 ，且与圆 相外切，求圆 的方程；
（2）若过点 的两条直线被圆 截得的弦长均为 ，且与 轴分别交于点 ， ， ，
求 ．
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