2010年高考数学试卷（理）（四川）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按省份分类）2008-2025_2008-2025·（四川）数学高考真题

2010 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理工农医类）
第Ⅰ卷
一、选择题：
（1）i是虚数单位，计算i+i2 +i3 =
（A）－1 （B）1 （C）-i （D）i
（2）下列四个图像所表示的函数，在点x=0处连续的是
（A） （B） （C） （D）
（3）2log 10+log 0.25=
5 5
（A）0 （B）1 （C） 2 （D）4
（4）函数 f(x)= x2 +mx+1的图像关于直线x=1对称的充要条件是
（A）m=-2 （B）m=2 （C）m=-1 （D）m=1
uuur2 uuur uuur uuur uuur
（5）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC =16,½AB+ AC½=½AB-AC½,
uuuur
则½AM½=
（A）8 （B）4 （C） 2 （D）1
p
（6）将函数 y =sinx的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度，再把所得各点的横
10
坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是
第1页 | 共13页p p
（A）y =sin(2x- ) （B）y =sin(2x- )
10 5
1 p 1 p
（C）y =sin( x- ) （D）y =sin( x- )
2 10 2 20
（7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱
原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加
工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、
乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超
过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为
（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
a
（8）已知数列a 的首项a ¹0，其前n项的和为S ，且S =2S +a ，则lim n =
n 1 n n+1 n 1 n®¥S
n
1
（A）0 （B） （C） 1 （D）2
2
x2 y2
（9）椭圆 + =1(a>b>0)的右焦点F ，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在
a2 b2
点P满足线段AP的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是
（A） æ ç ç è 0, 2 2ù û ú （B） æ ç è 0, 1 2 ù û ú （C） é ë 2-1,1  （D） é ê ë 1 2 ,1÷ ö ø
（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是
（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144
（11）半径为R的球O的直径AB垂直于平面a，垂足为B，VBCD是平面a内边长为R
的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离
是
17 A
（A）Rarccos
25
18
（B）Rarccos O
25
N
（C） 1 pR M D
3 B
a C
4
（D） pR
15
第2页 | 共13页1 1
（12）设a>b>c>0，则2a2 + + -10ac+25c2的最小值是
ab a(a-b)
（A）2 （B）4 （C） 2 5 （D）5
2010 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理工农医类）
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
1
（13）(2- )6的展开式中的第四项是__________．
3 x
（14）直线x-2y+5=0与圆x2 + y2 =8相交于A、B两点，则½AB½=________．
（15）如图，二面角a-l-b的大小是60°，线段ABÌa．
a ·A
BÎl，AB与l所成的角为30°．则AB与平面b所成
b
·
B
的角的正弦值是_________．
（16）设S为复数集C的非空子集．若对任意x,yÎS ，都有x+ y,x- y,xyÎS，则称S
为封闭集。下列命题：
①集合S =½a+bi½ （a,b为整数，i为虚数单位）为封闭集；
②若S为封闭集，则一定有0ÎS；
③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则满足S ÍT ÍC的任意集合T 也是封闭集．
其中真命题是_________________ （写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶
1
盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 ．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶
6
该饮料。
第3页 | 共13页（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ．
（18）（本小题满分12分）
已知正方体ABCD-A¢B¢C¢D¢的棱长为1，点M 是棱AA¢的中点，点O是对角线BD¢
的中点． D¢ C¢
A¢
（Ⅰ）求证：OM 为异面直线AA¢和BD¢的公垂线； B¢
·O
（Ⅱ）求二面角M -BC¢-B¢的大小；
M· D
C
（Ⅲ）求三棱锥M -OBC的体积．
A B
（19）（本小题满分12分）
（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式C :cos(a+b)=cosacosb-sinasinb；
a+b
②由C 推导两角和的正弦公式S :sin(a+b) =sinacosb+cosasinb.．
a+b a+b
1uuur uuur 3
（Ⅱ）已知△ABC的面积S = AB·AC =3，且cosB= ，求cosC．
2 5
（20）（本小题满分12分）
1
已知定点A(-1,0),F(2,0)，定直线l:x= ，不在x轴上的动点P与点F 的距离是
2
它到直线l的距离的 2 倍．设点P的轨迹为E，过点F 的直线交E于B、C两点，直线
AB、AC分别交l于点M、N
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由．
（21）（本小题满分12分）
已知数列a 满足a =0,a =2，且对任意m,nÎN*都有
n 1 2
a +a = 2 +2(m-n)2
2m-1 2n-1 m+n-1
（Ⅰ）求a ,a ；
3 5
（Ⅱ）设b =a -a (nÎN*)证明：b 是等差数列；
n 2n+1 2n-1 n
（Ⅲ）设c =(a -a )qn-1(q ¹ 0,nÎN*)，求数列c 的前n项和S ．
n 2n+1 n n n
（22）（本小题满分14分）
1+ax
设 f(x)= （a>0且a¹1），g(x)是 f(x)的反函数．
1-ax
第4页 | 共13页t
（Ⅰ）设关于x的方程log = g(x)在区间2,6上有实数解，求t的取
a (x2 -1)(7-x)
值范围；
n 2-n-n2
（Ⅱ）当a=e（e为自然对数的底数）时，证明：åg(k)> ；
2n(n+1)
k=2
n
（Ⅲ）当0<a£ 1 时，试比较½å f(k)-n½与4的大小，并说明理由．
2
k=1
参考答案
一、选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分。
1—6：ADCACC
1—12：BBDCAB
二、填空题：本题考查基础知识和和基本运算。每小题4分，满分16分。
160 3
（13）- （14）2 3 （15） （16）①②
x 4
三、解答题
（17）本小题主要考查相互独立事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考
查运用所学知识与方法解决实际问题的能力。
解：（Ⅰ）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么
1
P(A) = P(B) = P(C) = ,
6
1 5 25
P(ABC) = P(A)P(B)P(C) = ( )2 = .
6 6 216
25
答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是 …………（6分）
216
（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3。
1 5
P(= k) =C4( )k( )3-k,k =0,1,2,3.
3 6 6
所以中奖人数的分布列为
第5页 | 共13页 0 1 2 3
125 25 5 1
P
216 72 72 216
125 25 5 1 1
E=0 +1 +2 +3 = …………（12分）
216 72 72 216 2.
（18）本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知
识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。
（Ⅰ）连结AC，取AC的中点K，则K为BD的中点，连结OK。
因为点M是棱AA¢的中点，点O是BD¢的中点，
∥
= 1
所以AM DD¢ ∥ OK
=
2
∥
所以MO = AK
AA¢ AK,得MO  AA¢,
因为AK  BD,AK  BB¢,所以AK 平面BDD¢B¢,
所以AK  BD¢.
所以BO  BD¢.
又因为OM与z异面直线AA¢和BD¢都相交,
故OM为异面直线AA¢和BD¢的公垂线。……（4分）
（Ⅱ）取BB¢的中点N,连结MN,则MN 平面BCC¢B¢,
过点N作NH  BC¢于H,连结MH,
则由三垂线定理得，BC¢ MH.
从而，MHN为二面角M -BC¢-B¢的平面角.
1 2 2
MN =1,NH = BNsin45 =  = .
2 2 4
MN 1
在RtMNH中,tanMHN = = = 2 2.
NH 2
4
故二面角M -BC¢-B¢的大小为atctan2 2.……………………（9分）
（Ⅲ）易知，
S = S ,且OBC和OA¢D¢都在平面BCD¢A¢内,点O到平面MA¢D¢
DBC OCB
第6页 | 共13页1
的距离h= .
2
1 1
V =V =V = SΔΔA¢D¢h = .…………（12分）
M-OBC M-OA¢D¢ O-MA¢D¢ 3 24
解法二
以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,
（Ⅰ）因为点M是棱AA¢的中点,点O是BD¢的中点,
1 1 1 1
所以M(1,0, ),O( , , ,),
2 2 2 2
1 1
OM =( ,- ,0),AA¢=(0,0,1),BD¢=(-1,-1,1)
2 2
1 1
OM AA¢=0,OM BD¢= - + +0=0,
2 2
所以OM  AA¢,OM  BD¢,
又因为OM与异面直线AA¢和BD¢都相交,
故OM为异面直线AA¢和BD¢的公垂线.
………………（4分）
（Ⅱ）设平面BMC¢的一个法向量为n =(x,y,z).
1
1
BM =(0,-1, ),BC¢=(-1,0,1),
2
æ 1
 n BM¢=0, ç- y+ z =0,
 1 即 ç 2
n BC¢=0, ç

1
è-x+ z =0.
取z = 2,则z = 2,y =1,从而n =(2,1,2).
1
取平面BC¢B¢的一个法向量为n =(0,1,0),
2
n n 1 1
cos( n n = 1 2 = = .
1 2 n  n 91 3
1 2
由图可知,二面角M -BC¢-B¢的平面角为锐角.
1
故二面角M -BC¢-B¢的大小为arccos .………………（9分）
3
1 1 2
（Ⅲ）易知，S = S == 1 2 = .
OBC 4 ΔCDA 4 4
设平面OBC的一个法向量为n =(x ,y ,z ),
1 1 1 1
BD¢=(-1,-1,1),BC¢=(-1,0,0)
第7页 | 共13页 n BD¢=0, -x - y + z =0,
 1 即 1 1 1
n BC =0. 
-x =0.
 1
3
取z =1,则y =1,从而n =(0,1,1).
1 1 3
点M到平面OBC的距离
1
BM n
1 2 1
d = = = .
n 2 2 2
3
1 1 2 1 1
V = S d =   = .………………（12分）
M-ABC 3 ΔOBC 3 4 2 2 24
（19）本小题考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及
运算能力。
解 ：（ Ⅰ ） ① 如 图 ， 在 直 角 坐 标 系 xOy内 作 单 位 圆 O ， 并 作 出 角
a,b与-b,使角a的始边
为Ox,交⊙O于点P ，终边交⊙O于点P ；角b的始边为OP ，终边交⊙O于点P ，
1 2 2 3
角-b的始边为OP ，终边交⊙O于点P。
2 4
则P(1,0),P (cosa,sina),
1 2
P (cos(a+b),sin(a+b),
3
P (cos(-b),sin(-b).
4
由PP = P P及两点间的距离公式,得
1 3 2 4
[cos(a+b)-1]2 +sin2(a+b)
=[cos(-b)-cosa]2 +[sin(-b)-sina]2
展开并整理，得2-2cos(a+b) = 2-2(cosacosb-sinasinb).
cos(a+b) =cosacosb-sinasinb.…………（4分）
p p
②由①易得，cos( -a) =sina,sin( -a) =cosa.
2 2
p p
sin(a+b) =cos[ -(a+b)]=cos[( -a)+(-b)]
2 2
p p
=cos( -a)cos(-b)-sin( -a)sin(-b)
2 2
=sinacosb+cosasinb.
第8页 | 共13页sin(a+b) =sinacosb+cosasinb.…………（6分）
1 1
（Ⅱ）由题意，设ABC的角B、C的对边分别为b、c，则S = bcsin A= .
2 2
ABAC =bccosA=3>0,
p
AÎ(0, ),cosA=3sin A.
2
10 3 10
又sin2 A+cos2 A=1,sin A= ,cosA= .
10 10
3 4
由题意cosB = ,得sinB = .
5 5
10
cos9(A+B) =cosAcosB =sin AsinB = .
10
10
故cosC =cos[p-(A+B)]=-cos(A+B)=- .…………（12分）
10
（20）本小题主要考查直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考查平面解析几何的思想方法
及推理运算能力。
解：（Ⅰ）设P(x,y),则
1
(x-2)2 + y2 = 2x- ,
2
y2
化简得x2 - =1(y ¹ 0).………………（4分）
3
（Ⅱ）①当直线BC与x轴不生直时，设BC的方程为y = k(x-2)(k ¹ 0).
y2
与双曲线方程x2 - =1联立消去y得
3
(3-k2)x2 +4k2x-(4k2 +3) =0,
由题意知,3-k2 ¹ 0且 >0.
4k2 4k2 +3
设B(x ,y ),C(x ,y ),则x + x = x x = ,
1 1 2 2 1 2 k2 -3* 1 2 k2 -3
y y = k2(x -2)(x -2) = k2[x x -2(x + x )+4]
1 2 1 2 1 2 1 2
4k2 +3 8k2
= k2( - +4)
k2 -3 k2 -3
-9k2
= .
k2 -3
第9页 | 共13页因为x ,x ¹ -1.
1 2
y 1 3y
所以直线AB的方程为y = 1 (x+1),因此M点的坐标为( , 2 ,
x =1 2 2(x +1)
1 1
3 3y
FM =(-  2 .
2 2(x +1)
2
3 3y
同理可得FN =(- , 2 ),
2 2(x +1)
2
3 3 9y y
因此FM = FN =(- )(- )+ 1 2
2 2 4(x +1)(x +1)
1 2
-81k2
9 k2 -3
= +
4 4k2 +3 4k2
4( + =1)
k2 -3 k2 -3
=0
②当直线BC与x轴垂直时，其方程为x = 2,则B(2,3),C(2,-3),
1 3 3 3
AB的方程为y = x+1,因此M点的坐标为( , ),FM =(- , ).
2 2 2 2
3 3 3 3
同理可得FM FN =(- )( )+(- ) =0,
2 2 2 2
综上，FM FN =0,即FM  FN.
故以线段MN为直径的圆过点F。………………（12分）
（21）本小题主要考查数列的基础知识和化归，分类整合等数学思想，以及推理论证、分析
与解决问题的能力。
解：（Ⅰ）由题意，令m = 2,n =1可得a = 2a -a +2=6.
3 2 1
再令m =3,n =1可得a = 2a -a +8= 20.………………（2分）
5 3 1
当nÎN*时,由已知(以n+2代替m)可得
（Ⅱ）a +a = 2a =8
2n+1 2n-1 2n+1
于是[a -a ]-(a -a ) =8即
2(n=1)+1 2(n+1)-1 2n+1 2n-1
b -b =8.
n+1 n
所以，数列

b
是公差为8的等差数列.………………（5分）
n
（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）的解答可知  b 是首项b = a -a =6,公差为8的等差数列.
n 1 3 1
第10页 | 共13页则b =8 -2,即
n n
a -a =8n-2.
2n+1 2n-1
另由已知（令m =1)可得，
a = a
a = 2n+1 n -(n-1)3
n 2
a -a
那么，a -a = 2n+1 2n-1 -2n+1
n+1 n 2
8n-2
= -2n+1
2
= 2n
于是，c = 2nqn-1
n
当q =1时,S = 2+4+6+ +2n = n(n+1).
n 
当q ¹1时,S = 2q6 +4q4 +6q2 + +2nqn-1
n 
两边同乘q可得
qS = 2q2 +4q2 +6q2 + +2(n-1)qn+1 +2nqn.
n 
上述两式相减即得
(1-q)S = 2(1+q1 +q2 + +qn-1)-2nqn
n 
1-qn
=2 -2nqn
1-q
1-(n+1)qn +nqn+1
=2
1-q
nqn+1 -(n+1)qn +1
所以S = 2
n (q-1)2
n(n+1)(q =1)

综上所述，S =  nqn+1 -(n+1)qn +1
n 2 ,(q ¹1), (12分)
 

(q-1)2
（22）本小题考查函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分
类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力。
第11页 | 共13页y-1
解：（Ⅰ）由题意，得an = >0,
y+1
x-1
故g(x) =log ,xÎ(-¥,-1)(1,+¥).
a x+1
t x-1
由log =log 得
a (x2 -1)(7-x) a x+1
t =(x-1)2(7-x),xÎ[2,6]
则t¢= -3x2 +18x-15= -3(x-1)(x-5).
列表如下：
x 2 （2，5） 5 （5，6） 6
t¢ ＋ 0 －
t 5 极大值 25
所以t =5,t =32
最小值 最大值
所以t的取值范围为[5，32]………………………………（5分）
n 1 2 3 n-1
（Ⅱ）åg(k) =1n +1n +1n + 1n

3 4 5 n+1
n=2
1 2 3 n-1
=1n(     )

3 4 5 n+1
n(n =1)
= -1n
2
1-z2 1
令u(z) = -1nz2 - = -21nz+ z- ,z >0,
z z
2 1 1
则u¢(z) = - +1= =(1- )2 0.
z z2 z
所以u(z)在(0,+¥)上是增函数.
第12页 | 共13页n(n+1) n(n+1)
又因为 >1>0,所以n( ) > n(1) =0
2 2
n(n+1)
1-
2 2
却1n - >0,
n(n+1) n(n+1)
2
n 2-n-n2
即åg(k) > (9分)

2n(n+1)
n=2
1 1+n 2
设n = ,则p 1,1< f(1) = =1+ £3
1+ p 1-n n
2
当n =1时, f(1)-1 = £ 2< 4.
（Ⅲ） p
当n 2时,
(1+ p)k+1 2
设k  2,kÎN*时,则f(k) = =1+
(1+ p)k-1 (1+ p)k -1
2
=1+
C2P+C2P2 + +C2Pn
4 4  4
2 4 4 4
所以1< f(k)£1+ =1+ =1+ -
C1 +C2 k(k +1) k k +1
4 4
n 4 4 4
从而n-1< å f(k)£ n-1+ - = n+1- < n+1.
2 n+1 n+1
n=2
n
所以n< å f(k)< f(1)+n+1£ n+4
n=1
n
综上，总有 å(k)-n < 4.……………………………………（14分）
n=1
第13页 | 共13页