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2012 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数 学
（理工类）
【试题总评】历年的四川高考试题都始终遵从源于教材、注重基础、全面考查、突出主干、
注重思想、考查本质、多考点想，少考点算、能力立意、突出思维、稳中有进， 2012年高
考数学四川卷也不例外，作为四川省最后一届的大纲版学习考试，在此次的高考中，试卷在
题型、题量、难度分布上保持了相对的稳定，同时也有适当的创新，在2010年四川高考中
把17、18、19题考点内容进行调整后，此次高考试卷也对试题的顺序做了适当的顺序调整，
打破了以前的传统式的考题顺序。2012年四川高考数学卷很大一部分试题直接源于教材或
由教材上的例题、习题、复习题改变而成，这些试题注重基础知识的理解和运用。例如第
(1)、(5)、(8)等15个题目。从而也充分说明了高考对基础知识的重视，立足于教材、回归到
教材、重视课本、减轻学业负担，实施素质教育的导向作用。2012年四川高考数学解答题
目注重学生对基础知识的理解和运用，在题型上面略有创新，题目的灵活性加强，不再像
以往试题固定化模式解题。解答题部分注重考察学生的思维能力，运算能力，分析问题和
解决问题的能力，创新意识，考察函数，方程的转化、划归，特殊和一般等思想方法。总的
来说，2012年四川高考数学试题相对稳定，注重基础，保持了四川卷的命题风格，同时又
立足于现行高中数学教材和教学实际试题。
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
P(A+ B)= P(A)+ P(B) S= 4pR2
如果事件相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A×B)= P(A) P(B) 球的体积公式
g
4
如果事件A在一次试验中发生的概率是 p，那么 V = pR3
3
在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
P(k)= Ckpk(1- p)n-k(k= 0,1,2,… ,n)
n n
第一部分 （选择题 共 60 分）
注意事项：
1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。
2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(1+x)7的展开式中x2的系数是（ ）
A、21 B、28 C、35 D、42
第1页 | 共17页(1-i)2
2、复数 =（ ）
2i
A、1 B、-1 C、i D、-i
ìx2 -9
ï ,x<3
3、函数 f(x)=í x-3 在x=3处的极限是（ ）
ï
îln(x-2),x³3
A、不存在 B、等于6 C、等于3 D、等于0
4、如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE =1，连接EC、ED则
sinÐCED=（ ）
D C
3 10 10 5 5
A、 B、 C、 D、
10 10 10 15
答案：B
E A B
1
5、函数y =ax - (a>0,a¹1)的图象可能是（ ）
a
第2页 | 共17页6、下列命题正确的是（ ）
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
r r
r r a b
7、设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使
r
=
r
成立的充分条件是（ ）
|a| |b|
r r r r r r r r r r
A、a=-b B、a//b C、a=2b D、a//b且|a|=|b|
[来源:
力和对充分必要条件的理解能力.
8.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2,y )。若点M 到该
0
第3页 | 共17页抛物线焦点的距离为3，则|OM |=（ ）
A、2 2 B、2 3 C、4 D、2 5
9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千
克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每
桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都
不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得
的最大利润是（ ）
[来源:学科网]
A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元
[来源:学|科|网]
10、如图，半径为 R的半球O的底面圆O在平面a内，过点O作平面a的垂线交半球面
于点A，过圆O的直径CD作平面a成45o角的平面与半球面相交，所得交线上到平面a
A
的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足ÐBOP=60o，则A、
B
P两点间的球面距离为（ ）
D
2 pR 3 P
A、Rarccos B、 C、Rarccos D、 O
4 4 3 α C
pR
3
第4页 | 共17页11、方程ay =b2x2 +c中的a,b,cÎ{-3,-2,0,1,2,3}，且a,b,c互不相同，在所有这些方
程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A、60条 B、62条 C、71条 D、80条
p
12、设函数 f(x)=2x-cosx，{a }是公差为 的等差数列，
n 8
f(a )+ f(a )+×××+ f(a )=5p，
1 2 5
第5页 | 共17页则[f(a )]2 -aa =（ ）
3 1 5
1 1 13
A、0 B、 p2 C、 p2 D、 p2
16 8 16
第二部分 （非选择题 共 90 分）
注意事项：
（1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先
用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。
（2）本部分共10个小题，共90分。
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置
上。）
13、设全集U ={a,b,c,d}，集合A={a,b}，B={b,c,d}，则
(C A) (C B)=
U U U
___________。
第6页 | 共17页14、如图，在正方体ABCD-ABC D 中，M 、N 分别是棱CD、CC D 1 C 1
1 1 1 1 1
B
A 1
1
N
的中点，则异面直线AM 与DN 所成角的大小是____________。
1
D C
M
答案：900 A B
x2 y2
15、椭圆 + =1的左焦点为F ，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当DFAB的周
4 3
长最大时，DFAB的面积是____________。
16、记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1，[-0.3]=-1。设a为正
a
x +[ ]
n x
整数，数列{x }满足x =a，x =[ n ](nÎN*)，现有下列命题：
n 1 n+1 2
①当a=5时，数列{x }的前3项依次为5,3,2；
n
第7页 | 共17页②对数列{x }都存在正整数k，当n³k时总有x = x ；
n n k
③当n³1时，x > a -1；
n
④对某个正整数k，若x ³ x ，则x =[ a]。
k+1 k n [来源:学|科|网Z|X|X|K]
其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）
第8页 | 共17页三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算
步骤。）
17、(本小题满分12分)
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意
1
时刻发生故障的概率分别为 和 p。
10
49
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 ，求 p的值；
50
（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量x，求x的概率分
布列及数学期望Ex。
18、(本小题满分12分)
wx
函数 f(x)=6cos2 + 3sinwx-3(w>0)在一个周期内的图象如图所示，A为图
2
象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且DABC为正三角形。
（Ⅰ）求w的值及函数 f(x)的值域；
8 3 10 2
（Ⅱ）若 f(x )= ，且x Î(- , )，求 f(x +1)的值。
0 5 0 3 3 0
第9页 | 共17页19、(本小题满分12分)
如图，在三棱锥P-ABC 中，ÐAPB=90o，ÐPAB=60o，AB= BC =CA，点P
在平面ABC内的射影O在AB上。
P
（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小；
C
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小。
39
答案：（Ⅰ）arctan （Ⅱ）arctan2
13 A B
第10页 | 共17页第11页 | 共17页20、(本小题满分12分) 已知数列{a }的前n项和为S ，且a a =S +S 对一切正整数n
n n 2 n 2 n
都成立。
（Ⅰ）求a ，a 的值；
1 2
10a
（Ⅱ）设a >0，数列{lg 1}的前n项和为T ，当n为何值时，T 最大？并求出T 的最
1 a n n n
n
大值。
[来源:学,科,网]
第12页 | 共17页21、(本小题满分12分)
如图，动点M 到两定点A(-1,0)、B(2,0)构成
DMAB，且ÐMBA=2ÐMAB，设动点M 的轨迹为C。 y
M
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线y =-2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交
A O B x
|PR|
于点Q、R，且|PQ|<|PR|，求 的取值范围。
|PQ|
第13页 | 共17页而点(2,±3)在曲线3x2 - y2 -3=0上，
综上可知，轨迹C的方程为3x2 - y2 -3=0（x>1）.
第14页 | 共17页22、(本小题满分14分)
an
已知a为正实数，n为自然数，抛物线y =-x2 + 与x轴正半轴相交于点A ，设 f(n)
2
为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。
（Ⅰ）用a和n表示 f(n)；
f(n)-1 n3
（Ⅱ）求对所有n都有 ³ 成立的a的最小值；
f(n)+1 n3+1
n 1 27 f(1)- f(n)
（Ⅲ）当0
