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东北育才高中高三年级第三次模拟考试
数学科试卷
答题时间：120 分钟 满分：150 命题人:姜平 校对人:王成栋
一、选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．若复数 ，则| |＝（ ）
2+𝑖𝑖
𝑧𝑧 = 𝑧𝑧
A．5 1−2𝑖𝑖 B． C． D．1
1
2．如果ab＞0，那么直线ax+ √ b 5 y+1＝0一定经过（ 5 ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．坐标原点
3．已知集合M＝{x Z|x2﹣4x≤0}，N＝{1，3，5，7}，P＝M∩N，则P的真子集共有（ ）
A．3个 ∈ B．4个 C．5个 D．6个
4．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“重差术”，即通过立表测量影长来
计算远处目标的高度和距离的方法．测量时使用的标杆高度为 h（称为“表高”），太
阳天顶距为 （太阳光线与垂直于底面方向的夹角，且 0°＜ ＜90°）．根据三角学
知识，标杆在θ地面上的影长l与表高h满足关系：l＝htan ．假θ设对同一表高进行两次
测量，第一次测量时太阳天顶距为 ，影长为表高的 2 倍θ，第二次测量时太阳天顶距
α
为 ，且满足 ，则第二次测量时影长是表高的（ ）
1
β 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝛼𝛼−𝛽𝛽)=
A．1倍 B． 倍3 C． 倍 D． 倍
3 5 7
5．已知函数 2 ＞ ，M，N分别2为f（x）的图象两条2相邻对称轴上
𝜋𝜋
𝑓𝑓(𝑥𝑥)=2𝑠𝑠𝑖𝑖𝑡𝑡(𝜔𝜔𝑥𝑥+ )(𝜔𝜔 0)
3
的动点，向量 ， ， ，为得到函数 的图
→ → →
𝜋𝜋
𝑡𝑡 =(2 0) |𝑀𝑀𝑀𝑀⋅𝑡𝑡|=3𝜋𝜋 𝑔𝑔(𝑥𝑥)=2𝑠𝑠𝑖𝑖𝑡𝑡(𝜔𝜔𝑥𝑥− )+3
3
数学学科试卷第1页（共7页）象，需要将f（x）的图象（ ）
A．先向右平移 个单位长度，再向上平移3个单位长度
2𝜋𝜋
B．先向右平移23 个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．先向右平移 π个单位长度，再向上平移3个单位长度
π
D．先向右平移 个单位长度，再向上平移3个单位长度
4𝜋𝜋
6．公元前300年，几
9
何之父欧几里得在《几何原本》里证明了世界上只存在正四面体．正
六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体这5种正多面体，公元前200年，阿基
米德把这5种正多面体进行截角操作（即切掉每个顶点），发现了5种对称的多面体，
这些多面体的面仍然是正多边形，但各个面却不完全相同．如图所示，现代足球就是
基于截角正二十面体的设计，则图2所示的足球截面体的棱数为（ ）
A．60 B．90 C．120 D．180
7．如图，某机器狗位于点P处，它可以向上、下、左、右四个方向自由移动，每次移动
一个单位．现机器狗从点P出发移动4次，则在机器狗仍回到点P的条件下，它向右
移动了2次的概率为（ ）
数学学科试卷第2页（共7页）A． B． C． D．
2 1 1 1
8．若对3任意的x1 ，x2 （m，2+∞），且当x1 ＜x2 时，3都有 ＞ 6 ，则m的最
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥1−𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥2 3
小值是（ ） ∈ 𝑥𝑥1−𝑥𝑥2 𝑥𝑥1𝑥𝑥2
A．e B． C．3 D．
1 1
2
3 𝑒𝑒
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，∠ ，∠ ，∠ ，
𝜋𝜋 2𝜋𝜋 𝜋𝜋
AB＝AC＝1，AA1 ＝2，点O是B1C与BC1 的交点𝐵𝐵𝐵𝐵．𝐵𝐵下=列2选项𝐵𝐵中𝐵𝐵𝐵𝐵正 1 确=的3有（𝐵𝐵 𝐵𝐵 𝐵𝐵1 ）= 3
A． （ ）
→ → → →
1
𝐵𝐵𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵+𝐵𝐵𝐵𝐵+𝐵𝐵𝐵𝐵1
B．| | 2
→
3
𝐵𝐵𝐴𝐴=
2
C．直线AO与BC所成的角的余弦值是
√3
D．平面ABC与平面B1BCC1 不垂直
3
（多选）10．在数列{an}中，若对 n N *，都有 （q 为常数），则称数列
𝑎𝑎𝑛𝑛+2−𝑎𝑎𝑛𝑛+1
∀ ∈ = 𝑞𝑞
𝑎𝑎𝑛𝑛+1−𝑎𝑎𝑛𝑛
数学学科试卷第3页（共7页）{an}为“等差比数列”，q为公差比，设数列{an}的前n项和是Sn ，则下列说法一定正
确的是（ ）
A．等差数列{an}是等差比数列
B．若等比数列{an}是等差比数列，则该数列的公比与公差比相同
C．若数列{Sn}是等差比数列，则数列{an+1}是等比数列
D．若数列{an}是等比数列，则数列{Sn}是等差比数列
（多选）11．如图所示，△ABC中，AB＝1，AC＝4，BC ，D在BC边上，E在AC
边上，且AD为∠BAC的角平分线，∠ABE＝90°，则=（√ 13 ）
A．BE＝2
B．△ABC的面积为
√3
C．
�
4 3
D．𝐵𝐵若𝐴𝐴点= P在
5
△ABE的外接圆上，则PB+2PE的最大值为
2√7
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知两点 A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），如果在直线 3x+4y+25＝0 上存在点 P，
使得∠APB＝90°，则m的取值范围是 ．
13．已知0＜x1 ＜x2 ＜ ， ，则co（s x2 ﹣x1 ）＝ ．
1
π 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑡𝑡𝑥𝑥1 =𝑠𝑠𝑖𝑖𝑡𝑡𝑥𝑥2 =
14．已知函数 f（x）＝xlnx+x（x﹣a）2（3 a R），当 ， 时，f（x）＜xf'（x）恒成
1
立，则实数a的取值范围是 ∈ 𝑥𝑥 ∈ [ 2 ． 2]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知直线l1 ：x﹣2y+3＝0，l2 ：2x+3y﹣8＝0．
数学学科试卷第4页（共7页）（1）求经过点A（1，4）且与直线l2 垂直的直线方程；
（2）求经过直线l1 与l2 的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程．
（3）若直线l：kx﹣y+2+4k＝0（k R）交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点
B，O为坐标原点，设△AOB的面积∈为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
16．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，∠AOB＝ ．
（1）求证：AD2+BC2﹣AB2﹣CD2＝2AC•BDcos ； θ
（2）已知AB＝2，BC＝CD＝2 ，AD＝2 ，θ＝60°．
①求四边形ABCD的面积； √3 √7 θ
②若△ABD与△BCD面积相等，求证：AC⊥CD．
17．如图所示，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面PBC为直角
三角形，O是PC的中点，Q是直线AD上的动点，过直线BC的平面与侧棱PA，PD
分别交于N，M且MN＝2，其中BC＝PB＝4，AC＝AB＝AP＝6．
（1）求证：MN∥AD；
（2）求异面直线MN与PC所成的角；
（3）求直线OQ与平面BCMN所成角的正弦值的最大值．
数学学科试卷第5页（共7页）18．对于任意两个正数a，b（a＜b），记区间[a，b]上曲线y＝f（x）下的曲边梯形面积为
S（a，b），并规定S（a，a）＝0，S（a，b）＝﹣S（b，a），记S（a，x）＝F（x）﹣
F（a），其中f（x）＝F′（x）．
（1）若f（x） 时，求证：S（1，2）＝S（5，10）；
1
=
（2）若f（x） 𝑥𝑥时，求证： ＜ ；
，
1 𝑏𝑏−𝑎𝑎 𝑎𝑎+𝑏𝑏
=
（3）若f（x）＝l𝑥𝑥nx+1，直线y𝑆𝑆 ＝ (𝑎𝑎c与
𝑏𝑏
曲
)
线S2（1，x）交于M（x1 ，y1 ），N（x2 ，y2 ）两
点．求证：0＜x1x2 ＜ （其中e为自然常数）．
1
2
𝑒𝑒
19．定义一类集合：对于集合 （n≥2，n N），若 xi 都满足|xi|＜1，
则称 为“单位有界集”；在𝛺𝛺集=合{𝑥𝑥1,𝑥𝑥中2,…定,义𝑥𝑥𝑙𝑙一} 种运算：若∈ xi ，∀xj ∈Ω，定义
Ω .现对单位有界集 进行如下Ω操作：第一步，从 中任Ω∈取两个Ω∈元素xi 、x 𝑥𝑥（
j
𝑖𝑖⊗ i≠𝑥𝑥 j） 𝑗𝑗 ，=
𝑥𝑥𝑖𝑖+𝑥𝑥𝑗𝑗
Ω Ω
1+𝑥𝑥𝑖𝑖𝑥𝑥𝑗𝑗
数学学科试卷第6页（共7页）将 中除了xi 、xj 以外的元素构成的集合记为
1
，令H1 ＝
1
∪{xi xj}；第二步，若
集合Ω H1 还是单位有界集，则继续任取两个元素Ω （m≠Ωl），将H⊗ 1 中除了 以外
的元素构成的集合记为
2
，令H2 ＝
2
∪{xm 𝑥𝑥𝑚𝑚}；,𝑥𝑥依𝑙𝑙 次类推…… 𝑥𝑥𝑚𝑚,𝑥𝑥𝑙𝑙
（1）对于任意的单位Ω有界集 ，判Ω断 H1 是否⊗仍𝑥𝑥𝑙𝑙然为单位有界集．若是，请证明；若
不是，请举出反例； Ω
（2）证明：若xi ，xj ，xm ，则（xi xj ） xm ＝xi （xj xm ）；
（3）当 Ω∈＜ ， ⊗ 时，⊗对集合⊗ 进行⊗ k步上述操作，当Hk 只有
𝑡𝑡𝜋𝜋
𝛺𝛺 ={𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 |1≤𝑡𝑡 10 𝑡𝑡∈𝐍𝐍} Ω
一个元素时停止，1求0 所有满足条件的Hk ．
数学学科试卷第7页（共7页）
