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专题 06 数列（4 种经典基础练+4 种优选提升练）
数列的概念（共13题）
一、单选题
1．（23-24高二上·天津·期末）已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高二上·天津和平·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述过如图所
示的“三角垛”，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层的球数构成一个
数列 ，即 ， ， ，…，且满足 ，则第六层球的个数 为
（ ）
A．28 B．21 C．15 D．10
3．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知数列 ，根据该数列的规律，8是该数列的
（ ）
A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项
4．（23-24高二上·云南昆明·期末）在数列 中，若 ， ， ，则
（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
5．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）设数列 的前 项和 ，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
6．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）数列 的递推公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
7．（22-23高二上·北京·期末）如果数列 满足 （k为常数），那么数列 叫做
等比差数列，k叫做公比差．下列四个结论中所有正确结论的序号是（ ）
①若数列 满足 ，则该数列是等比差数列；
②数列 是等比差数列；
③所有的等比数列都是等比差数列；
④存在等差数列是等比差数列．
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
8．（23-24高二上·河南开封·期末）某汽车集团从2023年开始大力发展新能源汽车，2023年全年
生产新能源汽车2000辆，每辆车的利润为1万元.如果在后续的几年中，经过技术不断创新，后一
年新能源汽车的产量都是前一年的 ，每辆车的利润都比前一年增加1000元，则生产新能源
汽车6年的时间内，该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为（假设每年生产的新能源汽车都能销
售出去，参考数据： ）（ ）
A．2.291亿 B．2.59亿 C．22.91亿 D．25.9亿
二、多选题
9．（23-24高二上·内蒙古·期末）数列 的通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（22-23高二下·辽宁·期中）如果数列 为递增数列，则 的通项公式可以为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
11．（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知无穷数列 ， ．性质 ，
，；性质 ， ， ，下列说法中正确的有（ ）
A．若 ，则 具有性质s
B．若 ，则 具有性质t
C．若 具有性质s，则
D．若等比数列 既满足性质s又满足性质t，则其公比的取值范围为
三、填空题
12．（22-23高二上·上海奉贤·期末）数列 满足 ，若 ，则 ．
13．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知数列 的通项公式为 ，则 的最小项
的值为 ．
等差数列（共17题）
一、单选题
1．（23-24高二上·天津·期末）若等差数列 的前 项和为 ，则当 取得最小值
时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·安徽·期末）已知等差数列 满足 ，则 （ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
3．（23-24高二上·广东·期末）已知数列 的通项公式 ，其前 项和为 ，则 取
最小值时 的值为（ ）
A．1012 B．1013 C．1014 D．1015
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列 满足 ， 的前 项和为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二下·海南·期末）记 为等差数列 的前 项和，若 ，则
（ ）
A．144 B．120 C．108 D．96
6．（23-24高二上·云南迪庆·期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由， ， 和
求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百
又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，
他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每
个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（ ）
A．27 B．31 C．35 D．39
二、多选题
7．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）已知数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．数列 是递增数列 B．
C．数列 的最小项为 D．数列 是等差数列
8．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，且
，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
学科网（北京）股份有限公司9．（23-24高二上·山东青岛·期末）毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯组建的学派，他们
长把沙滩上的沙粒或者小石子用数表示，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究，如图，图形
中的圆点数分别是1、5、12、22…，以此类推，第五个图形对应的圆点数为 ．
10．（23-24高二上·安徽·期末）已知等差数列满足 ，则 的值为
．
11．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知等差数列 的前 项和分别为 ，且
，则 .
12．（24-25高二上·江苏苏州·期中）数列 与 的所有公共项由小到大构成一个新的数列
，则 .
四、解答题
13．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知等差数列 的前 项和为 ，再从条件：①
，② ，③ 中选择两个作为已知，并完成解答.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前10项的和．
学科网（北京）股份有限公司14．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知数列 满足： ， .
(1)若 ，求证： 为等差数列.
(2)求数列 的前 项和 .
15．（23-24高二上·福建南平·期末）已知数列 为等差数列， 且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
16．（23-24高二上·宁夏吴忠·期末）（1）已知等差数列 中， ， ，求 ．
（2）已知数列 的前 项和为 ，且 ，求 和 ．
17．（23-24高二上·江苏镇江·期末）记数列 的前n项和为 ，对任意 满足：
学科网（北京）股份有限公司，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， ，求 的值．
等比数列（共15题）
一、单选题
1．（23-24高二上·广东·期末）等比数列 中 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·天津·期末）已知数列 是等比数列，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
3．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列 为等比数列，公比为q，前n项和为 ，则“
”是“数列 是单调递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（23-24高二上·湖北荆门·期末）在流行病学中，基本传染数 是指在没有外力介入，同时所有
人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数. 一般由疾病的感染周期、感染者与其他
人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数 ，平均感染
学科网（北京）股份有限公司周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到3333大约需要的天数为（ ）（初始感染
者传染 个人为第一轮传染，这 个人每人再传染 个人为第二轮传染……参考数据：
）
A．42 B．43 C．35 D．49
5．（22-23高二上·浙江绍兴·期末）已知等比数列 的前 项和为 ，则点列 在同
一坐标平面内不可能的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（22-23高二上·广东深圳·期末）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项之积为
，且满足 ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． 是数列 中的最大值 D．
7．（22-23高二上·安徽滁州·期末）已知等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，且 ，
， 成等差数列，若对任意的 ，均有 恒成立，则 的最小值为
（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．2 B． C． D．
二、多选题
8．（23-24高二上·河北保定·期末）已知等比数列 的首项为 ，公比为 ，则下列能判断
为递增数列的有（ ）
A． B．
C． D．
9．（23-24高二上·山东临沂·期末）设数列 的前 项和为 的前 项和为 ，满足
，且 且 ，则（ ）
A． 是等差数列 B． 时， 的最大值为26
C．若 ，则数列 是递增数列 D．若 ，则
10．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列 的前 项和为 ，下列命题正确的有（ ）.
A．若 为等差数列，则 一定是等差数列
B．若 为等比数列，则 一定是等比数列
C．若 ，则 一定是等比数列
D．若 ，则 一定是等比数列
三、填空题
11．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知等比数列 满足 ， ，则 ．
12．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）在数列 中， ，则 与 的等比中项
为 ．
学科网（北京）股份有限公司13．（23-24高二上·天津·期末）若数列 的首项 ，且满足 ，则数列 的通项
公式为 .
四、解答题
14．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知数列 中， ， （ ， ），
且 是 和 的等差中项．
(1)求实数 的值；
(2)求证：数列 是等比数列，并求出 的通项公式．
15．（24-25高二上·广东江门·期末）已知等差数列 和等比数列 满足 ， ，
， ，设数列 的公比为 .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若 ， 为数列 的前 项和，求 .
学科网（北京）股份有限公司数学归纳法（共4题）
一、单选题
1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明： （
）的过程中，从 到 时， 比 共增加了（ ）
A．1项 B． 项 C． 项 D． 项
二、多选题
2．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）已知数列 中， ， ，则下列
结论正确的是（ ）
A．当 时，数列 为常数列
B．当 时，数列 单调递减
C．当 时，数列 单调递增
D．当 时，数列 为摆动数列
3．（23-24高二上·江苏无锡·期末）斐波那契数列由意大利数学家斐波那契发现，因以兔子繁殖为
例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列在很多方面都与大自然神奇地契合，小到向日
葵、松果、海螺的生长过程，大到海浪、飓风、宇宙系演变，皆有斐波那契数列的身影，充分展示
了“数学之美”．斐波那契数列用递推的方式可定义如下：数列 满足： ，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
学科网（北京）股份有限公司D． 是奇数
三、解答题
4．（22-23高二上·浙江杭州·期末）已知数列 满足 ， .
(1)求 ， ， ；
(2)试猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法证明.
数列求和的常用方法（共10题）
一、填空题
1．（22-23高二上·江苏常州·期末）已知函数 满足 ，若数列 满足
，则数列 的前16项的和为 .
2．（23-24高二上·河南信阳·期末）已知数列 满足 ．且 ，若 ，
则 ．
3．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知等差数列 公差 ，由 中的部分项组成的数列
为等比数列，其中 ．则数列 的前10项之和为 ．
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知数列 各项均为 ，在其第 项和第 项之间插入 个
，得到新数列 ，记新数列 的前 项和为 ，则 ， .
5．（23-24高二上·天津·期末）已知数列 的前 项和为 ， ， ，
，则满足 的正整数 的所有取值为 .
6．（23-24高二上·江西宜春·期末）已知正项数列 的前n项和 满足 （n为
正整数），则 ；记 ，若函数 的值域为 ，则实
数k的取值范围是 ．
7．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列 满足： ； ； ，
，其中 ， .数列 的通项公式 ，令 ，则数列
的前n项和 .
二、解答题
8．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知数列 中 ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)若数列 的通项公式为 ，设 为数列 的前 项和，求使 恒成立的最小的
整数 ．
学科网（北京）股份有限公司9．（23-24高二上·安徽合肥·期末）对每个正整数 是抛物线 上的点，过焦点
的直线 交抛物线于另一点 ．
(1)证明： ；
(2)取 ，并记 ，求数列 的前 项和．
10．（23-24高二上·福建福州·期末）已知数列 的前 项和 ，数列 满足：
．
(1)证明： 是等比数列；
(2)设数列 的前 项和为 ，且 ，求 ；
(3)设数列 满足： ．证明： ．
学科网（北京）股份有限公司求数列通项的常用方法（共7题）
一、填空题
1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列 满足 ，若 ，则
．
2．（23-24高二上·福建福州·期末）瑞典数学家科赫在1904年构造能描述雪花形状的图案，就是数
学中一朵美丽的雪花——“科赫雪花”．它的绘制规则是：任意画一个正三角形 （图1），并把
每一条边三等分，再以中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线
（图2），如此继续下去形成雪花曲线 （图3），直到无穷，形成雪花曲线 ．设
雪花曲线 的边数为 ，面积为 ，若正三角形 的边长为 ，则 = ； = .
二、解答题
3．（23-24高二上·河北承德·期末）已知正项数列 满足 ，数列 的前n项和为 ，
且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高三上·安徽·期末）在数列 中， ， ，且数列 是等比数列．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，证明： ．
5．（23-24高二上·山东青岛·期末）如图形状出现在南宋数学家杨浑所著的《详解九章算法 商
功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球
设各层球数构成一个数列 .
(1)写出 与 的递推关系，并求数列 的通项公式；
(2)记等比数列 的前 项和为 ，且 ，在 与 之间插入 个数，若这 个数
恰能组成一个公差为 的等差数列，求数列 的前 项和 .
6．（23-24高二上·江苏常州·期末）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大
于或等于4，则称这个数列为“ 数列”.
(1)已知等差数列 的首项为1，其前 项和 满足对任意的 都有 ，若
学科网（北京）股份有限公司数列 为“ 数列”，求数列 的通项公式；
(2)已知等比数列 的首项 和公比 均为正整数，若数列 为“ 数列”，且 ，
，设 ，若数列 也为“ 数列”，求实数 的取值范围.
7．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，曲线 下有一系列正三角形，设第n个正三角形
（ 为坐标原点）的边长为 ．
(1)求 的值；
(2)求出 的通项公式；
(3)设曲线在点 处的切线斜率为 ，求证： ．
学科网（北京）股份有限公司数列新定义（共7题）
一、多选题
1．（23-24高二上·江苏南京·期末）设等比数列 的公比为 ，前 项积为 ，且满足条件
， 则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C． 的值是 中最大的
D．使 成立的最大自然数 等于4044
二、填空题
2．（23-24高二上·山东菏泽·期末）如果数列 满足以下两个条件，称该数列为“闭数列”.
（1）已知数列 各项均为正数，且单调递增；
（2）数列 的前 项组成的集合记为 ，对于任意 ，如果 、 ，
则 .
已知数列 为“闭数列”，且 ，则 .
3．（23-24高二上·北京顺义·期末）在数列 中，若 ，（ ， ，p为常数），
则称 为“等方差数列”，给出以下四个结论：① 不是等方差数列；②若 是等方差数
列，则 （ ，k为常数）是等差数列；③若 是等方差数列，则 （ ，
k、l为常数）也是等方差数列；④若 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列也一定是等比
学科网（北京）股份有限公司数列.其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题
4．（23-24高二上·山东青岛·期末）在通信技术中由 和 组成的序列有着重要作用，序列中数的个
数称为这个 序列的长度 如 是一个长度为 的 序列 长为 的 序列中任何
两个 不相邻的序列个数设为 ，长度为 的 序列为： ， ，都满足数列 ， 长度为
且满足数列 的 序列为： ， ， ， ．
(1)求 ，
(2)求数列 中 ， ， 的递推关系
(3)记 是数列 的前 项和，证明： 为定值．
5．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知整数 ，数列 是递增的整数数列，即
且 定义数列 的“相邻数列”为 ，其中
或
(1)已知 ，数列 ，写出 的所有“相邻数列”；
(2)已知 ，数列 是递增的整数数列， ，且 的所有“相邻数列”
均为递增数列，求这样的数列 的个数；
(3)已知 ，数列 是递增的整数数列， ，且存在 的一个“相邻数
列” ，对任意的 ，求 的最小值．
学科网（北京）股份有限公司6．（23-24高二上·北京顺义·期末）设数列 的前n项和为 .若对任意 .总存在 .使
得 .则称 是“M数列”.
(1)判断数列 （ ）是不是“M数列”，并说明理由；
(2)设 是等差数列，其首项 .公差 .且 是“M数列”
①求d的值和数列 的通项公式：
②设 ，直接写出数列 中最小的项.
7．（23-24高二上·广西玉林·期末）定义：若无穷数列 满足 是公比为 的等比数列，
学科网（北京）股份有限公司则称数列 为“ 数列”.设数列 中， .
(1)若 ，且数列 为“ 数列”，求数列 的通项公式；
(2)若数列 是“ 数列”，是否存在正整数 ，使得 ,若存在，请求出所
有满足条件的正整数 ；若不存在，请说明理由.
数列不等式（共7题）
一、填空题
1．（23-24高二上·吉林·期末）已知 为等差数列 的前n项和， 为其公差，且 ，
给出以下命题：
① ；② ；③使得 取得最大值时的n为8；④满足 成立的最大n值为17
其中正确命题的序号为 .
2．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知数列 的通项公式 ，记 为 在区间
内项的个数，则 ；使得不等式 成立的 的最
小值为 ．
3．（23-24高二上·海南·期末）在数列 中， .若对任意的 ，不等式
学科网（北京）股份有限公司恒成立，则实数
二、解答题
4．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知数列 满足 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，且数列 的前n项和为 ，若 恒成立，求实数 的取值范围．
5．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛
顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数 ，若满足
，则称数列 为牛顿数列．已知 ，如图，在横坐标为
的点处作 的切线，切线与x轴交点的横坐标为 ，用 代替 重复上述过程得到 ，一直下
去，得到数列 ．
学科网（北京）股份有限公司(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 的前n项和为 ，且对任意的 ，满足 ，求整数 的最小值．
（参考数据： ， ， ， ）
6．（23-24高二下·贵州黔南·期末）对于 ，若数列 满足 ，则称这个数列为
“K数列”．
(1)已知数列1，2m， 是“K数列”，求实数m的取值范围．
(2)是否存在首项为 的等差数列 为“K数列”，且其前n项和 使得 恒成立?若
存在，求出数列 的通项公式；若不存在，请说明理由．
(3)已知各项均为正整数的等比数列 是“K数列”，数列 不是“K数列”，若 ，
试判断数列 是否为“K数列”，并说明理由．
7．（22-23高二上·北京·期末）设满足以下两个条件的有穷数列 , ,…, 为 阶“Q
学科网（北京）股份有限公司数列”：
① ；② ．
(1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“Q数列”；
(2)若2018阶“Q数列”是递增的等差数列，求该数列的通项公式；
(3)记n阶“Q数列”的前k项和为 ，求证 ．
学科网（北京）股份有限公司
