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龙东十校联盟高二学年度下学期期末考试
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
U={1, 2, 3, 4} M={1, 2} N={2, 3} M∪(C N)=
1.若全集 ， ， ，则 U （ ）
{1} {2} {1,2,3} {1, 2, 4}
B. C. D.
A.
∀x>0,x2 −x≥0
2.命题“ ”的否定是（ ）
∀x≤0,x2 −x<0 ∀x>0,x2 −x<0
A. B.
∃x>0,x2 −x<0 ∃x≤0,x2 −x<0
C. D.
2
−
3.已知幂函数
f(x)=x 3
，则
f(x)
是（ ）
(0,) (0,)
A. 偶函数且在 上单调递增 B. 偶函数且在 上单调递减
(0,) (0,)
C. 奇函数且在 上单调递增 D. 奇函数且在 上单调递减
4.函数 的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数 满足 ，则f (2)=（ ）
A. −4 B. 4 C. −3 D. 3
6.已知定义在 上的函数 满足 ，且函数 为偶函数，当
时， ，则 （ ）
A． B．2 C． D．0
7.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 （单位：mg/L）与时间 （单位：
）间的关系为 ，其中 ， 是正的常数，如果在前 消除了 的污染物，那么要消除一半
lg2≈0.301
的污染物需要花的时间大约是（ ） （参考数据： ）
A．22 B．24 C．26 D．288.已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列条件中能使 成立的有（ ）
． B． C． D．
A
10．若函数 的图象经过平移后可以与 的图象完全重合，则称 、 是“同形
函数”。下列各组函数中， 与 是“同形函数”的是（ ）
2 x+1
A.f (x)= 与g(x)= B. 与
x x−1 f (x)=ln|x| g(x)=ln(|x|−1)
C. 与 D. 与
11.已知
m=log
6
7+log
7
6
，且
2m +3m +6m =7n
，
p=log
2
3+log
3
2
，则（ ）
A. m>2 B. n>2 C.n>m D.m>p
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数 ，则 ________
f(f(3))
13.某兴趣班共30人，其中15人喜爱乒乓球运动，10人喜爱羽毛球运动，12人喜爱乒乓球但不喜爱羽毛
球运动，则对这两项运动都不喜爱的人数为________
14.已知函数 （ ）的定义域与值域都为 ，则实数 的值为______
四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
y=√|x−a|−1
设集合 ，函数 的定义域为集合B
（1）求集合A、B.
（2）若“ x∈A ”是“ x∈B ”的充分不必要条件，求实数a的取值范围。16.（本小题满分15分）
a+1
a<
已知关于f(x)=ax2+|x−a|(a∈R)的不等式 x+1 的解集为A
（1）若1∈A且2∉A，求实数a的取值范围.
（2）解已知不等式.
17.（本小题满分15分）
已知函数 为 上的奇函数
（1）求实数 的值.
（2）判断 的单调性（不需要证明）.
（3）若正实数 满足 ，求 的最小值.
18.（本小题满分17分）
已知函数（1）求函数 的奇偶性.
（2）求函数 的最小值.
（3）设函数 ，若关于 的方程 有4个不同的实数根，求 的取值范围。
19.（本小题满分17分）
已知函数
（1）设函数 ，不等式 对任意的 恒成立，求 的取值范围．
（2）若 有两个极值点 .
（i）求 的取值范围；
（ii）求证： .龙东十校联盟高二学年度下学期期末考试
数学试题参考答案
一、单项选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B A A C D B
M={1, 2} ,C N={1,4}⇒M∪(C N)={1, 2, 4}
1.【解析】 U U ，所以选D
2.【解析】根据全称命题否定的定义，选C.
2
− 1
f(x)=x 3 =( ) 2
3.【解析】 √ 3 x 为定义域上的偶函数且在 (0,) 上单调递减，选B
4.【解析】函数 的定义域为 ，因为 在
上单调递增，所以选A
5.【解析】令
x=3
，则 ；再令
x=−1
，则
联立两式解出f (2)=−4，所以选A
6.【解析】 图象关于点 对称；函数 为偶函数
图象关于直线 对称，这样 是周期函数，周期为6，
所以 ，故选C．
{0.8P
0
=P
0
e−9k
⇒
{−9k=ln0.8
⇒
t
=
ln0.5
7.【解析】由题意得 0.5P =e−kt −kt=ln0.5 9 ln0.8
0
9lg0.5 9lg2 2.709
t= = = ≈27.9
∴ lg0.8 1−3lg2 0.097 ，所以选D.
8.【解析】取 ，满足 ，但 ，
所以“ ”推不出“ ”。
又
故选B．
二、多项选择题：
题号 9 10 11答案 BCD ACD AB
9.【解析】
A. 当 时不能得到 ，错误；
B. ，正确；
C. ，正确；
D. 因为 为 上的增函数，所以 ，正确。
故选BCD.
10.【解析】
x+1 2 2
g(x)= =1+ f (x)=
A. x−1 x−1的图象可以由 x 的图象平移得到，正确；
f (x)=ln|x| (−∞,0)∪(0,+∞) g(x)=ln(|x|−1) (−∞,−1)∪(1,+∞)
B. 的定义域为 ，而 的定义域为 ，
显然两函数图象不能通过平移而重合，错误；
C. ， 的图象向上平移 个单位与 的图象重合，正确；
D. ， 的图象向左平移 个单位与 的图象重合，正确。
故选ACD.
11.【解析】
m=log 7+log 6>2√log 7⋅log 6=2∴m>2
A. 6 7 6 7 ，正确；
g(x)=2x +3x +6x m>2 ∴g(m)>g(2)
B. 由于 为 上的增函数，因为 ，
即
2m +3m +6m >22 +32 +62 =72
，所以
7n >72
， 即
n>2
，正确；
2 3 6
f(x)=( ) x +( ) x +( ) x −1
C. 设 7 7 7 ，显然f (x)为 上的减函数，又f (2)=0
2 3 6
( ) m +( ) m +( ) m −1<0
由于
m>2
，
∴f (m)2√lgk⋅lg(k+2)， ∴[
2
] 2 >lgk⋅lg(k+2)
，
lgk(k+2)
(k+1) 2 >k(k+2)⇒2lg(k+1)>lgk(k+2)⇒[lg(k+1)] 2 >[ ] 2 >lgk⋅lg(k+2)
2
这样
h(k)>h(k+1) h(2)>h(6) log 3>log 7
所以 ，故 ，即 2 6
1
ϕ(x)=x+ ,(x>1)
x ϕ(x) (1,+∞) log 3>log 7>1
设 ，因为 在 上递增， 2 6
p=ϕ（log 3）>ϕ（log 7）=m
所以 2 6 ，错误
故选AB.
三、填空题：
题号 12 13 14
答案 - 3 8
f(−3)=9⇒f [f(−3)]=f(9)=−3
12.【解析】
13.【解析】令 ， ，
，所以对这两项运动都不喜爱的人数为
30−22=8
.
14.【解析】由于f (x)的值域为 ，所以 ，
f (x)的定义域为 ，则方程 的两根为 、 ，所以
抛物线 的对称轴为 ，解得 .
四、解答题:
15.（本小题满分13分）
A=(−∞,−1]∪[2,+∞) B=(−∞,a−1]∪[a+1,+∞) 0≤a≤1
【答案】（1） ， ；（2）
x≤−1
【解析】（1） 或
A=(−∞,−1]∪[2,+∞)
所以 ……………………3分要使函数 y=√|x−a|−1 有意义，则|x−a|−1≥0⇒x≥a+1或x≤a−1
所以B=(−∞,a−1]∪[a+1,+∞) ……………………6分
（2）由题意知：集合A是集合B的真子集， ……………………7分
所以
a+1≤2且a−1≥−1⇒0≤a≤1
……………………12分
当
a=0时， B=(−∞,−1]∪[1,+∞)，满足A是集合B的真子集，符合题意；
当
a=1时， B=(−∞,0]∪[2,+∞)，满足A是集合B的真子集，符合题意。……13分
16.（本小题满分15分）
1
≤a<1
【答案】（1）2 ；（2）见解析
a+1
1∈A⇒a< ⇒a<1
2
【解析】（1） ； ………………2分
a+1 1
2∉A⇒a≥ ⇒a≥
3 2
， ………………4分
1
≤a<1
2
所以 ………………6分
a+1 ax−1
a< ⇔ <0⇔(ax−1)(x+1)<0
（2）
x+1 x+1
………………7分
∴ 当 a=0 时， −(x+1)<0⇒x>−1 ，此时A= {x|x>−1} …………8分
1 1
∵−1<
当 a>0 时，方程 (ax−1)(x+1)=0 的两根为−1、a ， a
{ 1}
x|−1−1
∴ −1−1⇒ x|x<−1或x>
a<−1 时，a A= a …………14分
a=0 A= {x|x>−1}
综上： 时，
{ 1}
x|−10 时，A= a
1 { 1 }
<−1⇒ x|x< 或x>−1
−1−1⇒ x|x<−1或x>
a<−1 时，a A= a …………15分
17.（本小题满分15分）
【答案】（1） ；（2）是 上的增函数；（3）6
【解析】（1） 为 上的奇函数 ………2分
⇒
当 时， ，
∴ 时，符合题意，故 …………4分
（2） 都为 上的增函数，
为 上的增函数 …………8分
（3） 为 上的奇函数且为增函数
f(2a−1)+f(b−1)=0⇒f(2a−1)=−f(b−1)=f(1−b)⇒2a−1=1−b
所以 ………11分即： ，又 为正实数，所以
当且仅当 取最小值6.
故当 时， 的最小值为6 ………15分
18.（本小题满分17分）
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）显然 的定义域为 ，
， 为偶函数 …………4分
（2） ，当且仅当 时，取等号，
，所以 的最小值为 …………8分
（3） ，当 时， ，则 在 上单调递增，
又因为 是偶函数，所以 在 上单调递减，
若 仅一个实数根 ，则 ，
方程 仅有两个不同的实数根，不合题意。 …………12分
所以 应有两个不同的实数根 ，
即：方程 和 共有四个不同的实数根， …………13分
每个方程各有2个不同的实数根，所以 ， ，
则 ，且 ，所以 。
故 的取值范围为 …………17分
19.（本小题满分17分）
【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析
【解析】（1）由 ，得 ， ，
当 时， ， ， 在 上单调递增，所以 ，不等式恒成立； …………2分
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减， ，与已知不等式矛盾。
故 …………4分
（2）（i）法一：由 （ ），求导得 ，
由题意得方程 有两个不同的变号根 ，即： 有两个不同的根
设 ，则 ，当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增，所以 …………7分
又 时， ； 时， ，所以 . …………8分
法二：由 ，求导可得 ，令 ，
由题意得函数 存在两个不同的变号零点 ，则 ，
令 ，解得 ，当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增，所以 ，
由 ，令 ，求导可得 ，令 ，解得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减；当 时， ，
则 在 上单调递增，所以 ，则 ，
由 ，则当 时，函数 存在两个不同的变号零点，
可得 ，解得 . …………8分
（ii）证明：由（i）知： 为方程 的两个不等的实根，不妨设 ，
令 ，
求导可得 ，由 ，当且仅当 时取等号，则 ，
所以函数 在 上单调递增，由 ，则当 时 ，可得 ，
由 ，且 在 上单调递减，
则 ，可得 ； …………12分
由当 时， ，则函数 在 上单调递减，由 ，则 ，所以 ，
要证 ，只需证 ，由 ，
则令 ，求导可得 ，令 ，
则 ，所以函数 在 上单调递增，
则当 时， ，即 ，
所以函数 在 上单调递增，则当 时， ，
所以不等式 在 上恒成立，可得 。
综上所述， . …………17分
