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绵阳南山中学实验学校高 2024 届一月月考试题
理科数学
注意事项:
1.答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上.
2.做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再填涂其它答案标号.
3.所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
.
1 设 ，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 复数 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 某居民小区户主人数和户主对住房户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型
结构的满意程度，用比例分配的分层随机抽样方法抽取 的户主作为样本进行调查，则样本容量和抽
取的户主对四居室满意的人数分别为（ ）
A. 400，32 B. 400，36 C. 480，32 D. 480，36
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学科网（北京）股份有限公司4. 如图，在 中， ，则 （ ）
A. 9 B. 18 C. 6 D. 12
5. 展开式中 的系数为 ，则实数 （ ）
的
A. 2 B. 1 C. D.
6. 已知圆 和圆 ，其中 ，则使得两圆相交的一个充
分不必要条件可以是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知椭圆M： ，点 在其上，直线l交椭圆于A，B两点， 的重
心是坐标原点，则直线l的斜率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数 的部分图象如图所示，将 的图象向右平移
个单位长度，得到函数 ，若 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司9. 定义在 上的偶函数 ，记 ， ， ，则（
）
A. B. C. D.
10. 第33届夏季奥运会预计在2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增电子竞技
和冲浪两个竞赛项目以及滑板等5个表演项目．现有三个场地 ， ， 分别承担竞赛项目与表演项目比
赛，其中电子竞技和冲浪两个项目仅能 ， 两地承办，且各自承办其中一项.5个表演项目分别由 ， ，
三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（ ）
A. 150种 B. 300种 C. 720种 D. 1008种
11. 已知定义在 上的函数 是奇函数，且满足 ， ，数列 满足 ，且
， 为 的前 项和， ，则 （ ）
A. B. C. 3 D. 4
12. 已知双曲线 的右顶点、右焦点分别为A， ，过点A的直线 与 的一
条渐近线交于点 ，直线 与 的一个交点为B，若 ，且 ，则 的离心
率为( )
A. 2 B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若实数 满足约束条件 则 的最大值为________．
14. 已知角 均 在第一象限， 终边上有一点 ，且 ，则
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学科网（北京）股份有限公司________.
15. 下列四个命题中为真命题的是_________.（写出所有真命题的序号）
①若随机变量 服从二项分布 ，则其方差 ；
②若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 ；
③已知一组数据 的方差是3，则 的方差也是3；
④对具有线性相关关系的变量 ，其线性回归方程为 ，若样本点的中心为 ，则实
数 的值是4；
16. 已知曲线C，直线 ,点 ， ，以曲线C上任意一点M为圆心、MF为半径的圆
与直线l相切，过点 的直线与曲线C交于A，B两点，则 的最大值为______．
三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每
个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 已知数列 的前n项和为 ， ，且 ．
（1）求证：数列 为等差数列；
（2）已知等差数列 满足 ，其前9项和为63．令 ，设数列 的前n项和为 ，求证：
．
18. 杭州第19届亚运会后，多所高校掀起了体育运动的热潮．为了深入了解学生在“艺术体操”活动中的参
与情况，随机选取了10所高校进行研究，得到数据绘制成如下的折线图：
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学科网（北京）股份有限公司（1）若“艺术体操”参与人数超过35人的学校可以作为“基地校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记
可作为“基地校”的学校个数为 ，求 的分布列和数学期望；
（2）现有一个“艺术体操”集训班，对“支撑、手倒立、手翻”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了
多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在
集训测试中，某同学3个动作中每个动作达到“优秀” 的概率均为 ，每个动作及每轮测试互不影响．如果
该同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到8次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
19. 在锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 为其外接圆的圆心， ，
．
（1）求 的大小；
（2）若 ，求边长 的最值．
20. 已知函数 ， .
（1）若 的最大值是0，求 的值；
（2）若对于定义域内任意 ， 恒成立，求 的取值范围.
21. 已知抛物线 ，其焦点为 ，定点 ，过 的直线 与抛物线 相交于 ，
两点，当 的斜率为1时， 的面积为2.
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学科网（北京）股份有限公司（1）求抛物线的标准方程；
（2）若抛物线在 ， 点处的切线分别为 ， ，且 ， 相交于点 ，求 距离的最小值.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题
计分.
22. 在直角坐标系 中，点 的坐标是 ，曲线 的参数坐标方程 （ 为参数，
）．以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中曲线 的极坐标方程为
， 与 交于 ， 两点．
的
（1）将曲线 极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它是什么曲线？
（2）过点 作垂直于 的直线 交 于 ， 两点，求 的值．
23. 已知函数
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）对于任意的正实数 ，且 ，若 恒成立，求实数 的取值范围.
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