文档内容
2023—2024 学年度第一学期阶段性质量监测（二）
高三年级 数学学科
2024.01
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第I
卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页.
祝各位考生考试顺利!
第I卷
注意事项：
1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考试科目涂在答题卡上；
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其它答案标号；
3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.
参考公式：
●锥体的体积公式 ，其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高.
●对于事件 ，那么 .
一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由集合补集及交集的性质即可求得.
【详解】 ，
又
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学科网（北京）股份有限公司故选：C
2. 函数 的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过判断 不是奇函数，排除A，B，又因为 ，排除C，即可得出答案.
【详解】因为 的定义域为 ，又因为
，所以 不是奇函数，排除A，B.
，所以排除C.
故选：D.
3. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】将存在量词命题转化为有解问题，再利用一元二次不等式有解及充分条件和必要条件的定义即可
求解.
【详解】因为 ，
所以 ，解得 .
所以 ，
故 “ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时
间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示，则 的值为（ ）
A. 0.02 B. 0.2 C. 0.04 D. 0.4
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意结合频率和为1列式求解.
【详解】由频率分布直方图可知：每组频率依次为 ，
则 ，解得 .
故选：A.
5. 设 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】利用对数的运算性质、对数函数的性质和指数函数的性质即可求解.
【详解】 ，
由 在 上单调递增， ，得 ，
所以 ，即 ，于是有 ，
由 ，得 ，
所以 .
故选：D.
6. 数列 满足 ， ，其前 项积为 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依次代入 可得 是以 为周期的周期数列，由 可推导得到结果.
【详解】当 时， ；当 时， ；当 时， ；
当 时， ；…， 数列 是以 为周期的周期数列，
，
.
故选：D.
7. 已知圆柱 的底面半径为1，高为2，AB，CD分别为上、下底面圆的直径， ，则四面体
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学科网（北京）股份有限公司ABCD的体积为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】易证 平面 ，然后由 求解.
【详解】解：如图所示：
连接 ，
因为 ， ，且 ，
所以 平面 ，
所以 ，
，
故选：D
8. 设函数 .若 ，且 的最小正周期
大于 ，则（ ）
.
A . B.
C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】
【分析】由题意求得 ，再由周期公式求得 ，再由 可得 ，结合 ，求得
值，即可得解．
【详解】由 的最小正周期大于 ，可得 ，
因为 ，可得 ，
则 ，且 ，所以 ，
即 ，
由 ，即 ，
可得 ， ，则 ， ，
且 ，可得 ， ，
所以 ， .
故选：C．
9. 已知 ， 分别是双曲线 的左､右焦点，点P是双曲线上一点，
若 ，且 的最小内角为 ，则双曲线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】设点 为双曲线右支上一点，结合双曲线的定义与条件可得 ， ，在
中，根据大边对大角可知 为最小角，进而根据余弦定理求得 ，再得到 ，即可得到答
案.
【详解】设点 为双曲线右支上一点，则 ，
因为 ，且 ，
所以 ， ，
由题，因 ，则 ，所以 为最小角，故 ，
为
所以在 中，由余弦定理可得， ，解得 ，
所以 ，
所以双曲线的标准方程为 .
故选：B
第Ⅱ卷
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题：
2.本卷共11小题，共105分.
二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.
10. 已知复数 ，若 是实数，则实数 的值为__________.
【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算可得 ，进而结合题意可得 ，运算求解
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学科网（北京）股份有限公司即可.
【详解】由题意可得： ，
若 是实数，则 ，解得 .
故答案为： .
11. 展开式中， 的系数等于________．
【答案】15
【解析】
【详解】 6的通项为
T ＝C r 6－r r＝C r(－1)rx6－ ry r－3，
r＋1 6 6
令6－ r＝3，得r＝2， r－3＝0，
故x3的系数为C 2(－1)2＝15.
6
12. 直线 与圆C： 相交于M，N两点，则 ______．
【答案】4
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理求解.
【详解】解：圆C： ，其圆心坐标为 ，半径为3．
圆心 到直线2x－y＋1＝0的距离 ，
则 ．
故答案为:4.
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学科网（北京）股份有限公司的
13. 设甲乘汽车､动车前往某目 地的概率分别为 ，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为
，则甲正点到达目的地的概率为__________.
【答案】0.82##
【解析】
【分析】利用全概率公式求解即可.
【详解】设事件 “甲乘汽车前往某目的地”， 事件 “甲乘动车前往某目的地”， 事件 “甲正点
到达目的地”.
.
故答案为：0.82
14. 在 中， ，则 __________；若 为 所在平面内
的动点，且 ，则 的取值范围是__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】建立，利用向量的坐标运算求 ；设 ，利用向量的坐标运算结合
辅助角公式可得 ，再结合正弦函数的有界性分析求解.
【详解】如图，以C为坐标原点， 分别为 轴所在直线，建立平面直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
可得 ，则 ，
所以 ；
因为 ，设 ，
可得 ，
则 ，
，
其中 ，
因为 ，所以 .
故答案为： ； .
15. 已知函数 若方程 有三个不等的实根，则实数 的取值范围是
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学科网（北京）股份有限公司__________；函数 的零点个数是__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】作出 大致图象，结合图象可得实数 的取值范围；令 ，将问题转化为
，根据图象分析得 有两个零点为 ， ，从而考虑 与
根的个数即可求解.
【详解】作出 大致图象如下：
若方程 有三个不等的实根，由图象可得实数 的取值范围是 ；
令 ，则 ，可得 ，
且 ，
结合图象可知方程 的一个根 ，另一个根 ，
当 时， 与 的图象有1个交点，所以 有1个实根，
当 时， 与 的图象有3个交点，所以 有3个实根，
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学科网（北京）股份有限公司综上所述： 共有4个零点.
故答案为： ；4.
【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，
见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确
把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．
三､解答题：本大题共5题，共5分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 ， .
（1）求角 的大小；
（2）求角 的大小；
（3）求 的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意利用余弦定理边化角即可得解；
（2）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换分析求解；
（3）可得 ，代入结合降幂公式分析求解.
【小问1详解】
因为 ，
由余弦定理可得 ，则 .
又因为 ，所以 .
【小问2详解】
因为 ，由正弦定理可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，
所以 ，则 .
因为 ，所以 .
【小问3详解】
由（1）（2）可得 ，
则
.
17. 如图，在正方体 中， 为棱 上一点（不含端点）， 为棱 的中点.
（1）若 为棱 的中点，
（i）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（ii）求平面 和平面 的夹角的余弦值；
（2）求直线 与 所成角余弦值的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）（i） ；（ii）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标；
（i）求出直线 的方向向量和平面 的法向量，利用向量的夹角与线面角的关系即可求解；
（ii）分别求出平面 和平面 的法向量，利用向量的夹角与线面角的关系即可求解；
（2）根据（1）的结论，分别求出直线 和直线 的方向向量，利用向量的夹角与线面角的关系，结
合对勾函数的性质即可求解.
【小问1详解】
在正方体 中以 分别为 轴建立空间直角坐标系，如图所示
设正方体 的棱长为2，
若 为棱 的中点，则 ， .
所以 .
（i）设平面 的一个法向量为 ，
则 即 令 ，则 .
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学科网（北京）股份有限公司设 与平面 所成角为 ，则有 .
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（ii）易知平面 的一个法向量为 ，
设平面 和平面 夹角为 ，则有 .
的
故平面 和平面 的夹角的余弦值为 .
【小问2详解】
设直线 与 所成角为 ，则 .
所以
.
因为 ，所以 ，即 ，于是有 ，
所以 ，即 .
故直线 与 所成角余弦值的取值范围为 .
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学科网（北京）股份有限公司18. 设椭圆 经过点 ，且其左焦点坐标为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）对角线互相垂直的四边形 的四个顶点都在 上，且两条对角线均过 的右焦点，求
的最小值.
【答案】（1）
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据焦点坐标和椭圆所过点，利用椭圆的定义可求方程；
（2）设出直线方程，联立，结合韦达定理表示出 ，利用二次函数可得答案.
【小问1详解】
因为椭圆 的左焦点坐标为 ，
所以右焦点坐标为 .
又椭圆 经过点 ，
所以 .
所以椭圆的方程为 .
【小问2详解】
①当直线 中有一条直线的斜率不存在时， .
②当直线 的斜率存在且不为0时，
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学科网（北京）股份有限公司设直线 的方程 ，
由 ，得 ，
则 ，
.
设直线 的方程为 ，同理得 ，
所以 ，
设 ，则 ，
则 ，
所以 时， 有最小值 .
综上， 的最小值是 .
19. 已知正项等比数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，当 时，
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学科网（北京）股份有限公司.
（1）求 的通项公式：
（2）证明 是等差数列，并求 ；
（3）设数列 的前 项和为 ，若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析，
（3） .
【解析】
【分析】（1）利用等比数列基本量的计算求通项公式；
（2）利用 与 的关系以及等差数列的定义求解；
（3）利用错位相减法求和以及基本不等式求解.
【小问1详解】
设正项等比数列 的公比为 ，
由 ，得 ，
解得 ，所以 .
【小问2详解】
当 时， ，
所以 ，
整理得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以数列 是以 为首项，1为公差的等差数列.
所以 ，即 .
【小问3详解】
由（1）､（2）知 ，
所以 ，①
②
①-②得 ,
所以 .
由 得 ，即 ，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 .
20. 已知函数 ，且函数 与 有相同的极值点.
（1）求实数 的值；
（2）若对 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）求证： .
【答案】（1）1 （2）
（3）证明见解析
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）先求得 的极大值点为 ，由 可得 ，经检验可确定 ；
（2）先求得 在 上的最大值和最小值，然后分 和 两种情况可得 的取值范围；
（3）所证不等式即为 ，通过证明 和 即可
证得结果.
【小问1详解】
令 ，解得 ，
当 时， 在 单调递增，
当 时， 在 单调递减，
故函数 的极大值点为 .
令 ，由题意可得 ，解得 ，
经验证符合题意，故实数 的值为1.
【小问2详解】
由（1）知，函数 在 单调递增，在 单调递减，
又 ，且 ，
所以当 时， ，
若不等式 恒成立，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 的取值范围为 .
【小问3详解】
所证不等式即为 .
先证： ，即证 在 上恒成立，
设 ，
设 ，
因为 在 上恒成立，
所以 在 单调递增，则 ，
所以 在 单调递增，则 ，
所以 .
再证： ，即证 .
设 ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
所以 .
设 ，
当 时， 单调递减，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， 单调递增，
所以 .
所以 ，即 .
综上， ，得证.
【点睛】关键点睛：第（3）问的关键点是：将证明 转化为证明
和 .
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学科网（北京）股份有限公司
