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2024 年 1 月济南市高三期末学习质量检测
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 若 ，则其共轭复数 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知曲线 与曲线 在交点 处有相同的切线，则 （ ）
A. 1 B. C. D.
4. 已知直线l经过点 ，则“直线l的斜率为 ”是“直线l与圆C： 相切”的（
）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
.
5 平行四边形ABCD中， ， ， ，若 ， ，则
（ ）
A. 4 B. 6 C. 18 D. 22
6. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司7. 已知抛物线 的焦点为 ，坐标原点为 ，过点 的直线与 交于 两点，且点 到直
线 的距离为 ，则 的面积为（ ）
.
A B. C. D.
8. 数列 的前n项和为 ，若 ， ，且 ，则 （
）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知实数 、 满足 ，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数 的定义域为R，且 ， ，则（ ）
A. B. 有最小值
C. D. 是奇函数
11. 在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组
各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若该组每位选手失分都不超过 7分，则该组为
“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（ ）
A. 甲组中位数为3，极差为4 B. 乙组平均数为2，众数为2
C. 丙组平均数为3，方差为2 D. 丁组平均数为3，第65百分位数为6
12. 如图， 中， ， ， 是 中点， 是 边上靠近 的四等分点，
将 沿着 翻折，使点 到点 处，得到四棱锥 ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 记平面 与平面 的交线为 ，则 平面
B. 记直线 和 与平面 所成的角分别为 ， ，则
C. 存在某个点 ，满足平面 平面
D. 四棱锥 外接球表面积的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 在正四棱锥 中， ，则该棱锥的体积为____________．
14. 已知函数 （ ）的最小正周期不小于 ，且 恒成立，则 的
值为____________．
的
15. 2023年杭州亚运会 吉祥物包括三种机器人造型，分别名叫“莲莲”，“琮琮”“宸宸”，小辉同学将三
种吉祥物各购买了两个（同名的两个吉祥物完全相同），送给三位好朋友，每人两个，则每个好朋友都收
到不同名的吉祥物的分配方案共有____________种．（用数字作答）
16. 已知双曲线C： （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线与C的右
支交于A，B两点，且 ， 的内切圆半径 ，则C的离心率为____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 记 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 ， ．
（1）求B，
（2） 的平分线交边 于点D，且 ，求b．
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学科网（北京）股份有限公司18. 如图，四棱锥P-ABCD中， ， ， ，平面 平
面PAC．
（1）证明： ；
（2）若 ， 是 的中点，求平面 与平面 夹角的余弦值．
19. 将数列 中的所有项按照每一行项数是上一行项数的两倍的规则排成如下数表：
……
记表中的第一列数 ， ， ， ，…构成的数列为 ， 为数列 的前n项和，且满足
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成公差为2的等差数列，求上表中第k（ ）
行所有项的和 ．
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学科网（北京）股份有限公司的
20. 以“智联世界，生成未来”主题 2023世界人工智能大会在中国上海举行，人工智能的发展为许多领
域带来了巨大的便利，但同时也伴随着一些潜在的安全隐患．为了调查不同年龄阶段的人对人工智能所持
的态度，某机构从所在地区随机调查100人，所得结果统计如下：
年龄（岁）
频数 24 16 15 25 20
持支持态度 20 13 12 15 10
（1）完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为所持态度与年龄有关；
年龄在50岁以上（含50岁） 年龄在50岁以下 总计
持支持态度
不持支持态度
总计
（2）以频率估计概率，若在该地区所有年龄在50岁以上（含50岁）的人中随机抽取3人，记为3人中持
支持态度的人数，求的分布列以及数学期望．
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
21. 在平面直角坐标系xOy中，动点M到点 的距离与到直线 的距离之比为 ．
（1）求动点M轨迹W的方程；
（2）过点F的两条直线分别交W于A，B两点和C，D两点，线段AB，CD的中点分别为P，Q．设直线
AB，CD的斜率分别为 ， ，且 ，试判断直线PQ是否过定点．若是，求出定点的坐标；若
不是，请说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司22. 已知函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若 时， ，求a的取值范围；
（3）对于任意 ，证明： ．
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