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乌鲁木齐市实验学校 2023-2024 学年高三上学期 1 月考
数学试题
总分150分 考试时间120分钟
一、单项选择题（8小题每题5分共40分）
1. 已知复数z满足 ，则在复平面内，复数 所对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知集合 ， ，若 ，则
A. B. C. 或 D. 或 或
3. 某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为
了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年
职工人数为( )
A. 9 B. 18 C. 27 D. 36
4. 若函数 是周期为 的偶函数，当 时 ，则 =( )
A. B. C. D.
5. 已知椭圆C ： =1（a＞b＞0）与双曲线C ：x2﹣ =1有公共的焦点，C 的一条渐近线与以C
1 2 2 1
的长轴为直径的圆相交于A，B两点.若C 恰好将线段AB三等分，则（ ）
1
A. a2= B. a2=3 C. b2= D. b2=2
6. 若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
.
7 若 ， ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
8. 已知等比数列 的前 项和为 ，则下列判断一定正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
二、多选题（共4小题每题五分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 如图1，在 中， ， ， ，DE是 的中位线，沿DE将
进行翻折，连接AB，AC得到四棱锥 （如图2），点F为AB的中点，在翻折过程中下列结论正
确的是（ ）
A. 当点A与点C重合时，三角形ADE翻折旋转所得的几何体的表面积为
B. 四棱锥 的体积的最大值为
C. 若三角形ACE为正三角形，则点F到平面ACD的距离为
D. 若异面直线AC与BD所成角的余弦值为 ，则A、C两点间的距离为2
10. 设抛物线 的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到 时， ，直线l与抛
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学科网（北京）股份有限公司物线相交于A，B两点，点 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 抛物线的方程为
B. 的最小值为6
C. 若线段AB中点的纵坐标为4，则直线l的斜率为2
D. 当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切
11. 下列四个命题是真命题的是（ ）
A. 若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
B. 函数 的值域为
的
C. 若函数 两个零点都在区间为 内，则实数 的取值范围为
D. 已知 在 上是增函数，则实数 的取值范围是
12. 从甲袋中摸出一个红球的概率是 ，从乙袋中摸出一个红球的概率是 ，从两袋各摸出一个球，下列
结论正确的是（ ）
A. 2个球都是红球的概率为 B. 2个球中恰有一个红球的概率为
C. 至少有1个红球的概率为 D. 2个球不都是红球的概率为
三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13. 已知向量 为单位向量，向量 ，且 ，则向量 、 的夹角为________.
14. 已知正四棱台的上底边长为4，下底边长为8，侧棱长为 ，则其体积为________.
15. 已知圆 内有一点 ，AB为过点P且倾斜角为 的弦，则 ______．
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学科网（北京）股份有限公司16. 集合 的子集的个数是__________．
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请根据答
题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效.）
17. 如图，在△ 中， ， ，点 ， 是线段 （含端点）上的动点，且点
在点 的右下方，在运动的过程中，始终保持 不变，设 ．
（1）写出 的取值范围，并分别求线段 ， 关于 的函数关系式；
（2）求△ 面积 的最小值．
18. 已知数列 的前 项和 ，对于 ，都满足 ，且 ．
（1）求 ；
（2）若 ，求数列 前的项和 ．
19. 某校从参加高一年级期末考试 学的生中抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段 ，
… 后，画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
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学科网（北京）股份有限公司（1）求第四小组的频率，补全频率分布直方图，并估计该校学生的数学成绩的中位数.
（2）从被抽取的数学成绩是 分以上（包括 分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.
（3）假设从全市参加高一年级期末考试的学生中，任意抽取 个学生，设这四个学生中数学成绩为80分
以上（包括 分）的人数为 （以该校学生的成绩的频率估计概率），求 的分布列和数学期望.
20. 如图，在四棱台 中，底面为矩形，平面 ⊥平面 ，且
.
（1）证明: 面
（2）若 与平面 所成角为 ，求锐二面角 的余弦值.
21. 已知椭圆 的上顶点到右顶点的距离为 ，离心率为 ，过椭圆左焦点 作不与x轴
重合的直线与椭圆C相交于M，N两点，直线m的方程为： ，过点M作ME垂直于直线m交直线
m于点E．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点O为坐标原点，求 面积的最大值．
.
22 函数 ， .
（1）求函数 的单调区间及极值；
（2）若 是函数 的两个不同零点，求证：① ；② .
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