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高三数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数 ， ，若 为纯虚数，则实数 的值为（ ）
A. B. 2 C. D. 1
3. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知 是空间两个不同的平面， 是空间两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ， ，且 ，则
B. 若 ， ，且 ，则
C. 若 ， ，且 ，则
D. 若 ， ，且 ，则
5. 已知角 的始边为 轴非负半轴，终边经过点 ，将角 的终边顺时针旋转 后得到角 ，则
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
6. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过 上的一点 作 的垂线，垂足为 ，若
（ 为坐标原点），且 的面积为 ，则 的方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 一个轴截面是边长为 的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为1的小球 后，再放入一个
球 ，则球 的表面积与容器表面积之比的最大值为（ ）
.
A B. C. D.
8. 已知函数 的定义域为 ，且 ，若关于 的方程 有
4个不同实根 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 近年来，乡村游成为中国国民旅游的热点，下面图1，2，3，4分别为2023年中国乡村旅游消费者年龄、
性别、月收入及一次乡村旅游花费金额的有关数据分析，根据该图，下列结论错误的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 2023年中国乡村旅游消费者中年龄在 岁之间的男性占比超过
B. 2023年中国乡村旅游消费者中月收入不高于1万元的占比超过
C. 2023年中国乡村旅游消费者中一次乡村旅游花费4个范围占比的中位数为
D. 2023年中国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费的平均数估计值高于650元（同一花费区间内的数据用
其中间值作代表）
10. 若矩形 的所有顶点都在椭圆 上，且 ， ，点 是
上与 不重合的动点，则（ ）
A. 的长轴长为4 B. 存在点 ，使得
C. 直线 的斜率之积恒为 D. 直线 的斜率之积恒为
11. 已知正数 满足 ，则（ ）
A. B. C. D.
12. 在棱长为1的正方体 中，点 满足 ，其中 ，
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学科网（北京）股份有限公司，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 点轨迹所在直线与平面 平行
B. 若 ，则
C. 若 ，则 的最小值为
D. 若 与平面 所成角的大小为 ，则 的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为______.
14. 的展开式中 的系数为______.（用数字作答）
15. 求作一个立方体，使其体积等于已知立方体体积的2倍，这就是历史上有名的立方倍积问题.1837年法
国数学家闻脱兹尔证明了立方倍积问题不能只用直尺与圆规作图来完成，不过人们发现，跳出直尺与圆规
作图的框框，可以找到不同的作图方法.如图是柏拉图（公元前427—公元前347年）的方法：假设已知立
方体的边长为 ，作两条互相垂直的直线，相交于点 ，在一条直线上截取 ，在另一条直线上截取
，在直线 上分别取点 ，使 （只要移动两个直角尺，使一个
直角尺的边缘通过点 ，另一个直角尺的边缘通过点 ，并使两直角尺的另一边重合，则两直角尺的直角
顶点即为 ），则线段 即为所求立方体的一边.以直线 、 分别为 轴、 轴建立直角坐标系，
若圆 经过点 ，则圆 的方程为______.
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学科网（北京）股份有限公司16. 已知数列 满足 ，集合 ，若 恰有4个子集，则 ______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 记 为数列 的前 项和，若 ， .
（1）求 ；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
的
18. 已知 内角 的对边分别为 ， 为锐角， 的面积为 ，
.
（1）判断 的形状，并说明理由；
（2）如图，若 ， ， 为 内一点，且 ， ，求 的长.
19. 如图，在三棱柱 中， ， ，平面 平面 .
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： ；
（2）若 ，三棱锥 的体积为18，点 在棱 上，且 ，求平面 与
平面 夹角的余弦值.
20. 2023年5月28日我国具有完全自主知识产权的国产大飞机C919开启全球首次商业载客飞行，C919飞
机的研制，聚集了我国数十万科研人员的心血，其中 等高校为C919大飞机做出了
重要贡献，如A高校参与了气动总体、结构强度、航电、飞控和液压等设计，参加人数如下表：
气动总 结构强 航 飞 液
项目
体 度 电 控 压
参与人
5 5 3 4 3
数
B高校有8位教师参加了相关设计论证，具体如下表：
气动总 气动外
结构强 航电设 液压系 起落架
设计论 体 形 度 计 统 的
证 设计论 设计论
论证 论证 论证 论证
证 证
参与教
师
（1）某科普博主准备从 共6所高校中随机选3所高校介绍其为C919大飞机做出的
贡献，连续3天，每天发布一篇博文，每篇博文介绍一所高校（3天将选中的3所高校全部介绍完），求
被选到，且C在第2天被介绍的概率；
（2）若从A高校参与设计的20人中随机选3人，在选到航电设计人员的条件下，求选到气动总体设计人
员的概率；
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学科网（北京）股份有限公司的
（3）若从B高校参与 6个论证项目中随机选取3个，记这3个论证项目中B高校参与教师人数为X，求
X的分布列与期望.
21. 已知双曲线Γ： ， ， 为Γ的左、右顶点， 为Γ上一点，
的斜率与 的斜率之积为 ．过点 且不垂直于x轴的直线l与Γ交于M，N两点．
（1）求Γ的方程；
（2）若点E，F为直线 上关于x轴对称的不重合两点，证明：直线ME，NF的交点在定直线上．
.
22 已知函数 .
（1）若 有唯一极值，求 的取值范围；
（2）当 时，若 ， ，求证： .
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