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2022 年湖南省岳阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24分）
1. 8的相反数是（ ）
A. B. C. 8 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
【详解】解：8的相反数是-8．
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟记概念是解题的关键．
2. 某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是（ ）
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 四棱柱
【答案】C
【解析】
【分析】根据常见立体图形的底面和侧面即可得出答案．
【详解】解：A选项，圆柱的底面是圆，故该选项不符合题意；
B选项，圆锥的底面是圆，故该选项不符合题意；
C选项，三棱柱的底面是三角形，侧面是三个长方形，故该选项符合题意；
D选项，四棱柱的底面是四边形，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，掌握 棱柱的底面是 边形是解题的关键．
3. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的除法判断B选项；根据同底数幂的乘法判断C选项；淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
根据幂的乘方判断D选项．
【详解】解：A选项，原式 ，故该选项符合题意；
B选项，原式 ，故该选项不符合题意；
C选项，原式 ，故该选项不符合题意；
D选项，原式 ，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握 是解题的
关键．
4. 某村通过直播带货对产出的稻虾米进行线上销售，连续7天的销量（单位：袋）分别为：105，103，
105，110，108，105，108，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 105，108 B. 105，105 C. 108，105 D. 108，108
【答案】B
【解析】
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
【详解】解：将这组数据重新排列为103，105，105，105，108，108，110，
这组数据出现次数最多的是105，
所以众数为105，
最中间的数据是105，
所以中位数 是105，
故选：B．
【点睛】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到
大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如
果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5. 如图，已知 ， 于点 ，若 ，则 的度数是（ ）淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质求出 ，再根据平行线的性质解答即可．
【详解】解：在 中， ， ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
6. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 对顶角相等
B. 平行四边形的对角线互相垂直
C. 三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点
D. 三角分别相等的两个三角形是全等三角形
【答案】A
【解析】
【分析】根据对顶角性质判断A，根据平行四边形的性质判断B，根据三角形的内心定义判断C，根据全
等三角形的判定定理判断D．
【详解】A.对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故A符合题意；
的
B.菱形 对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一
个假命题，故B不符合题意；
C.三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的
三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故C不符合题意；淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
D.三角分别相等的两个三角形不一定全等，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了真命题与假命题的判断，对顶角的性质，平行四边形的性质，三角形的内心定义，全
等三角形的判定，熟练掌握这些性质、定义、定理是解决问题的关键．
7. 我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家
共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3
家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为（ ）
A. 25 B. 75 C. 81 D. 90
【答案】B
【解析】
【分析】设城中有 户人家，利用鹿的数量 城中人均户数 城中人均户数，即可得出关于 的一元一
次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设城中有 户人家，
依题意得： ，
解得： ，
∴城中有75户人家．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8. 已知二次函数 （ 为常数， ），点 是该函数图象上一点，当
时， ，则 的取值范围是（ ）
A. 或 B.
C. 或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与 轴的交点坐标，再分两种情况： 或 ，根据二次
函数的性质求得 的不同取值范围便可．淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
【详解】解：∵二次函数 ，
∴对称轴为 ，抛物线与 轴的交点为 ，
∵点 是该函数图象上一点，当 时， ，
∴①当 时，对称轴 ，
此时，当 时， ，即 ，
解得 ；
②当 时，对称轴 ，
当 时， 随 增大而减小，
则当 时， 恒成立；
综上， 的取值范围是： 或 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数 的性质，关键是分情况讨论．
二、填空题（本大题共8小题，共32分）
9. 使 有意义的 的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式 ，解不等式即可求得 的取值范围．
【详解】解：根据题意得 ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是利用被开方数是非负数得出不等式．
10. 2022年5月14日，编号为B-001J的 大飞机首飞成功．数据显示， 大飞机的单价约为
65300000元，数据653000000用科学记数法表示为______．淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
【答案】
【解析】
【分析】利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．
11. 如图，在 中， ， 于点 ，若 ，则 ______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质可知 是 的中点，即可求出 的长．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．
12. 分式方程 的解为 ______．
【答案】2
【解析】
【分析】去分母，移项、合并同类项，再对所求的根进行检验即可求解．淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
【详解】解： ，
，
，
经检验 是方程的解．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，注意对所求的根进行检验是解题的关键．
13. 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据判别式的意义得到 ，然后解不等式求出 的取值即可．
【详解】解：根据题意得 ，
解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：
当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实
数根．
14. 聚焦“双减”政策落地，凸显寒假作业特色．某学校评选出的寒假优质特色作业共分为四类：A（节日文
化篇）， （安全防疫篇）， （劳动实践篇）， （冬奥运动篇）下面是根据统计结果绘制的两幅不完
整的统计图，则 类作业有______份．淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
【答案】20
【解析】
【分析】由条形统计图可得A， ， 类作业分别有25份，30份，25份，由扇形统计图可得 类作业份
数占总份数的 ，可得总份数为 份，减去A， ， 类作业的份数即可求解．
【详解】解：∵ 类作业有30份，且 类作业份数占总份数的 ，
∴总份数为： （份），
∵A， 类作业分别有25份，25份，
∴ 类作业的份数为： （份）．
故答案为：20．
【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，解题的关键是能够根据统计图提取所需信息．
15. 喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汩罗江国际龙舟竞渡中心广场点 处观看200米直道竞速
赛．如图所示，赛道 为东西方向，赛道起点 位于点 的北偏西 方向上，终点 位于点 的北偏
东 方向上， 米，则点 到赛道 的距离约为______米（结果保留整数，参考数据：
）．淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
【答案】87
【解析】
【分析】过点 作 ，垂足为 ，设 米，然后分别在 和 中，利用锐角
三角函数的定义求出 ， 的长，再根据 米，列出关于 的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：过点 作 ，垂足为 ，
设 米，
在 中， ，
∴ （米），
在 中， ，
∴ （米），
∵ 米，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 米，
∴点 到赛道 的距离约为87米，
故答案为：87．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助
线是解题的关键．淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
16. 如图，在 中， 为直径， ， 为弦，过点 的切线与 的延长线交于点 ， 为
线段 上一点（不与点 重合），且 ．
（1）若 ，则 的长为______（结果保留 ）；
（2）若 ，则 ______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理求出∠AOD=70°，再利用弧长公式求解；
（2）解直角三角形求出BC，AD，BD，再利用相似三角形的性质求出DE，BE，可得结论．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ 的长 ；
故答案为： ；
（2）连接 ，
∵ 是切线， 是直径，淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
∴ ，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查圆的相关知识，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握各性质
及判定定理，正确寻找相似三角形解决问题是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共64分）
17. 计算： ．
【答案】1
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，绝对值等计算法则求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，绝对值，准确熟练地
化简各式是解题的关键．
18. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】-2
【解析】
【分析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ，淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
∴原式 ．
【点睛】本题考查代数式的运算，熟练掌握单项式乘多项式，平方差公式是解题的关键．
19. 如图，点 ， 分别在 的边 ， 上， ，连接 ， ．请从以下三个条
件：① ；② ；③ 中，选择一个合适的作为已知条件，使 为菱形．
（1）你添加的条件是______（填序号）；
（2）添加了条件后，请证明 为菱形．
【答案】（1）① （2）见解析
【解析】
【分析】（1）添加合适的条件即可；
（2）证 ，得 ，再由菱形的判定即可得出结论．
【小问1详解】
解：添加的条件是 ．
故答案为：①．
【小问2详解】
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
∴ ，
∴ 为菱形．
【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的
判定，证明三角形全等是解题的关键．
的
20. 守护好一江碧水，打造长江最美岸线．江豚，麋鹿，天鹅已成为岳阳“吉祥三宝” 新名片．某校生
物兴趣小组设计了3张环保宣传卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．
（1）将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为
______；
（2）将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，
请用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）将江豚，麋鹿，天鹅三张卡片分别记作①、②、③，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件
的结果数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，
则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为 ，
故答案为： ；
【小问2详解】淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
将江豚，麋鹿，天鹅三张卡片分别记作①、②、③，
列表如下：
① ② ③
①
②
③
由表知，共有6种等可能结果，其中抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的有2种结果，
所以抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的概率为 ．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
21. 如图，反比例函数 与正比例函数 的图象交于点 和点 ，点 是
点 关于 轴的对称点，连接 ， ．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求 的面积；
（3）请结合函数图象，直接写出不等式 的解集．
【答案】（1）
（2）4 （3） 或
【解析】淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
【分析】（1）把点 代入 可得 的值，求得反比例函数的解析式；
（2）根据对称性求得 、 的坐标然后利用三角形面积公式可求解．
（3）根据图象得出不等式 的解集即可．
【小问1详解】
解：把点 代入 得： ，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ；
【小问2详解】
∵反比例函数 与正比例函数 的图象交于点 和点 ，
∴ ，
∵点 是点 关于 轴的对称点，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【小问3详解】
根据图象得：不等式 的解集为 或 ．
【点睛】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，
三角形的面积，数形结合是解题的关键．
22. 为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买A，淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
两种跳绳若干．若购买3根A种跳绳和1根 种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根 种跳绳共需
300元．
（1）求 ， 两种跳绳的单价各是多少元？
（2）若该班准备购买 ， 两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买 种跳绳多少根？
【答案】（1）A种跳绳的单价为30元， 种跳绳的单价为50元
（2）至多可以购买 种跳绳20根
【解析】
【分析】（1）设 种跳绳的单价为 元， 种跳绳的单价为 元．由题意：若购买3根 种跳绳和1根
种跳绳共需 元；若购买5根A种跳绳和3根 种跳绳共需300元．列出二元一次方程组，解方程组即
可；
（2）设购买 种跳绳 根，则购买A种跳绳 根，由题意：总费用不超过1780元，列出一元一次
不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
解：设A种跳绳的单价为 元， 种跳绳的单价为 元．
根据题意得： ，
解得： ，
答：A种跳绳的单价为30元， 种跳绳的单价为50元．
【小问2详解】
设购买 种跳绳 根，则购买A种跳绳 根，
由题意得： ，
解得： ，
答：至多可以购买 种跳绳20根．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准
等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出不等关系，正确列出一元一次不等式．
23. 如图， 和 的顶点 重合， ， ， ，
．淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
（1）特例发现：如图1，当点 ， 分别在 ， 上时，可以得出结论： ______，直线 与
直线 的位置关系是______；
（2）探究证明：如图2，将图1中的 绕点 顺时针旋转，使点 恰好落在线段 上，连接 ，
（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展运用：如图3，将图1中的 绕点 顺时针旋转 ，连接 、 ，它们
的延长线交于点 ，当 时，求 的值．
【答案】（1） ，垂直
（2）成立，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）解直角三角形求出 ， ，可得结论；
（2）结论不变，证明 ，推出 ， ，可得结论；
（3）如图3中，过点 作 于点 ，设 交 于点 ，过点 作 于点 求出淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
， ，可得结论．
【小问1详解】
解：在 中， ， ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，此时 ，
故答案为： ，垂直；
【小问2详解】
结论成立．
理由：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
如图3中，过点 作 于点 ，设 交 于点 ，过点 作 于点 ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ，
当 时，四边形 是矩形，
∴ ， ，
设 ，则 ， ，
∵ ，淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是
学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
24. 如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 ： 经过点 和点 ．
的
（1）求抛物线 解析式；淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
（2）如图2，作抛物线 ，使它与抛物线 关于原点 成中心对称，请直接写出抛物线 的解析式；
（3）如图3，将（2）中抛物线 向上平移2个单位，得到抛物线 ，抛物线 与抛物线 相交于 ，
两点（点 在点 的左侧）．
①求点 和点 的坐标；
②若点 ， 分别为抛物线 和抛物线 上 ， 之间的动点（点 ， 与点 ， 不重合），试求
四边形 面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）① 或 ；②12
【解析】
【分析】（1）将点 和点 代入 ，即可求解；
（2）利用对称性求出函数 顶点 关于原点的对称点为 ，即可求函数 的解析式；
（3）①通过联立方程组 ，求出 点和 点坐标即可；
②求出直线 的解析式，过点 作 轴交 于点 ，过点 作 轴交于点 ，设
， ，则 ， ，可求 ，
，由 ，分别求出 的最大值4， 的最大
值2，即可求解．
【小问1详解】
解：将点 和点 代入 ，淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
∴ ，解得 ，
∴ ．
【小问2详解】
∵ ，
∴抛物线的顶点 ，
∵顶点 关于原点的对称点为 ，
∴抛物线 的解析式为 ，
∴ ．
【小问3详解】
由题意可得，抛物线 的解析式为 ，
①联立方程组 ，
解得 或 ，
∴ 或 ；
②设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
过点 作 轴交 于点 ，过点 作 轴交于点 ，如图所示：淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
设 ， ，
则 ， ，
∴ ，
，
∵ ， ，
∴当 时， 有最大值 ，
当 时， 有最大值 ，
∵ ，
∴当 最大时，四边形 面积的最大值为12．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图象平移和对称的性质是解
题的关键．淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
