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三明一中 2023-2024 学年高三月考二
数学学科试卷
（总分150分，时间：120分钟）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知两个向量 ，且 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
3. 在 的展开式中，常数项为（ ）
A. 10 B. 20 C. 40 D. 80
4. 已知l，m是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ， ， ，则
B. 若 ， ，则
C. 若 ， ， ，则
D. 若 ，且 与 所成的角和 与 所成的角相等，则
5. 2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不
排在两端，则不同的排法种数有（ ）
A. 1120 B. 7200 C. 8640 D. 14400
6. 一个袋中装有大小相同的3个白球和2个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿
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学科网（北京）股份有限公司出的是白球”为事件 ，“第2次拿出的是白球”为事件 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知 分别为双曲线 的左、右焦点，过 与双曲线的一条渐近线平行的直线
交双曲线于点 ，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A. 3 B. C. D. 2
8. 已知函数 ，若实数 满足 ，则
的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方
图如图所示，则（ ）
A. 频率分布直方图中a的值为0.005 B. 估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为
75
的
C. 估计这40名学生 竞赛成绩的众数为80 D. 估计总体中成绩落在 内的学生人数为225
的
10. 已知斜率为 直线 经过抛物线 的焦点 ，与抛物线 交于点 两点（点
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学科网（北京）股份有限公司在第一象限），与抛物线的准线交于点 ，若 ，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 为 中点
11. 红、黄、蓝被称为三原色，选取其中任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色，已知同一种颜色混合
颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色.
现有红、黄、蓝颜料各两瓶，甲从六瓶颜料中任取两瓶，乙再从余下四瓶颜料中任取两瓶，两人分别进行
等量调配， 表示事件“甲调配出红色”； 表示事件“甲调配出绿色”； 表示事件“乙调配出紫色”，
则下列说法正确的是（ ）
A. 事件 与事件 是独立事件 B. 事件 与事件 是互斥事件
C. D.
12. 在数列 中， .则下列结论中正确的是（ ）
A. B. 是等比数列
.
C D.
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知 是角 终边上的一点，则 ______．
14. 已知圆锥的侧面积为 ，它的侧面展开图为一扇形，扇形顶角的大小为 ，则该圆锥体积为
___________.
15. 设点 是圆： 上的动点，定点 ， ，则 的取值范围为
______．
16. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 为线段 上的一
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学科网（北京）股份有限公司点，且二面角 的正切值为3，则三棱锥 的外接球的体积为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. 记 的角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求 ；
（2）若 ，求 的最小值．
18. 已知函数 ，若函数 的图象上任意一点P关于原点对称的点Q都在函数 的图
象上．
（1）求函数 的解析式；
（2）若存在 ，使 成立，求实数m的取值范围．
19. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是边长为2的等边
三角形， ，M在PC上，且PA∥平面MBD.
（1）求证：M是PC的中点.
（2）在PA上是否存在点F，使二面角F-BD-M为直角？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
20. 中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的瑰宝，中国象棋使用方形格状棋盘，圆形棋子共有32个，红
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学科网（北京）股份有限公司黑各有16个棋子，摆动和活动在交叉点上．双方交替行棋，先把对方的将（帅）将死的一方获胜，为丰富
学生课余生活，现某中学举办象棋比赛，经过3轮的筛选，最后剩下甲乙丙三人进行最终决赛．甲、乙两
选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，丙与甲，乙比赛获胜的概率都
为
（1）如果甲与乙采用5局3胜制比赛（其中一人胜3局即结束比赛），那么甲胜乙的概率是多少；
（2）若第一轮甲与乙比赛，丙轮空；第二轮由丙与第一轮的胜者比赛，败者轮空；第三轮由第二轮比赛
的胜者与第二轮比赛的轮空者比赛，如此继续下去（每轮都只比赛一局），先胜两局者获得冠军，每场比
赛相互独立且每场比赛没有平局，求乙获得冠军的概率．
21. 已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，离心率为 ，点 在
椭圆 上.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，记 的面积为 ，求 的最大值.
22. 设数列 的前 项之积为 ，满足 .
（1）设 ，求数列 的通项公式 ；
（2）设数列 的前 项之和为 ，证明： .
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