中考总复习：二次函数--知识讲解（基础）_中考全科复习资料_北京四中绝密资料02中考数学总复习_17总复习：二次函数（基础）

让更多的孩子得到更好的教育 中考总复习：二次函数—知识讲解（基础） 撰稿：张晓新 审稿：杜少波 【考纲要求】 1．二次函数的概念常为中档题．主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等； 2．二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点； 3．抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过，覆盖面较广，而且这些内容的综合题一般 较难，在解答题中出现． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、二次函数的定义 一般地，如果 （a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数． 要点诠释： 二次函数 (a≠0)的结构特征是：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式， x的最高次数是2．(2)二次项系数a≠0． 考点二、二次函数的图象及性质 1.二次函数 (a≠0)的图象是一条抛物线，顶点为 ． 2.当a＞0时，抛物线的开口向上；当a＜0时，抛物线的开口向下． 3.①|a|的大小决定抛物线的开口大小．|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大． ②c的大小决定抛物线与y轴的交点位置．c＝0时，抛物线过原点；c＞0时，抛物线与y轴交于正半轴； c＜0时，抛物线与y轴交于负半轴． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第1页 共13页让更多的孩子得到更好的教育 ③ab的符号决定抛物线的对称轴的位置．当ab＝0时，对称轴为y轴；当ab＞0时，对称轴在y轴左 侧；当ab＜0时，对称轴在y轴的右侧． 4.抛物线 的图象，可以由 的图象移动而得到． 将 向上移动k个单位得： ． 将 向左移动h个单位得： ． 将 先向上移动k(k＞0)个单位，再向右移动h(h＞0)个单位，即得函数 的 图象． 要点诠释： 求抛物线 （a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这 y ax2 bxc 三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 考点三、二次函数的解析式 1.一般式： (a≠0)． 若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为 ，将已知条件代入，求出a、b、c 的值． 2.交点式（双根式）： ． 若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标为(x ，0)，(x ，0)，设所求二次函数为 1 2 ，将第三点(m，n)的坐标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数， 最后将解析式化为一般形式． 3.顶点式： ． 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为 ，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式． 4.对称点式： ． 若已知二次函数图象上两对称点(x，m)，(x，m)，则可设所求二次函数为 1 2 ，将已知条件代入，求得待定系数，最后将解析式化为一般形式． 要点诠释： 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第2页 共13页让更多的孩子得到更好的教育 已知图象上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (可以看成 的图象平移后所对应的函数).已知图象与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： （a≠0）.(由此得根与系数的关系： ). 考点四、二次函数 (a≠0) 的图象的位置与系数a、b、c的关系 1.开口方向：a＞0时，开口向上，否则开口向下． 2.对称轴： 时，对称轴在y轴的右侧；当 时，对称轴在y轴的左侧． 3.与x轴交点： 时，有两个交点； 时，有一个交点； 时，没有交点． 要点诠释： 当x＝1时，函数y＝a+b+c； 当x＝-1时，函数y＝a-b+c； 当a+b+c＞0时，x＝1与函数图象的交点在x轴上方，否则在下方； 当a-b+c＞0时，x＝-1与函数图象的交点在x轴的上方，否则在下方． 考点五、二次函数的最值 1.当a＞0时，抛物线 有最低点，函数有最小值，当 时， ． 2.当a＜0时，抛物线 有最高点，函数有最大值，当 时， ． 要点诠释： 在求应用问题的最值时，除求二次函数 的最值，还应考虑实际问题的自变量的取值 范围． 【典型例题】 类型一、应用二次函数的定义求值 1．二次函数y=x2-2（k+1）x+k+3有最小值-4，且图象的对称轴在 y轴的右侧，则k的值是 ． 【思路点拨】 因为图象的对称轴在y轴的右侧，所以对称轴x=k+1＞0，即k＞-1；又因为二次函数y=x2-2（k+1）x+k+3有 最小值-4，所以y = =-4，可以求出k的值． 最小值 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第3页 共13页让更多的孩子得到更好的教育 【答案与解析】 解：∵图象的对称轴在y轴的右侧， ∴对称轴x=k+1＞0， 解得k＞-1， ∵二次函数y=x2-2（k+1）x+k+3有最小值-4， ∴y = =k+3-（k+1）2=-k2-k+2=-4， 最小值 整理得k2+k-6=0， 解得k=2或k=-3， ∵k=-3＜-1，不合题意舍去， ∴k=2． 【总结升华】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法， 第三种是公式法． 举一反三： 【变式】已知 是二次函数，求k的值． 【答案】∵ 是二次函数，则 由 得 ， 即 ，得 ， ．显然，当k＝-3时， 原函数为y＝0，不是二次函数． ∴ k＝2即为所求． 类型二、二次函数的图象及性质的应用 2．把抛物线 向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为( )． A． B． C． D． 【思路点拨】 抛物线的平移问题，实质上是顶点的平移，原抛物线y=-x2顶点坐标为（0，0），向左平移1个单位，然后向 上平移3个单位后，顶点坐标为（-1，3），根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式． 【答案】 D； 【解析】根据抛物线的平移规律可知： 向左平移1个单位可变成 ， 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第4页 共13页让更多的孩子得到更好的教育 再向上平移3个单位后可变成 ． 【总结升华】(1) 图象向左或向右平移|h|个单位，可得 的图象(h＜0时向左，h＞0时 向右)． (2) 的图象向上或向下平移|k|个单位，可得 的图象(k＞0时向上，k＜0时 向下)． 举一反三： 【变式】将二次函数 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象的函 数表达式是( ) A． B． C． D． 【答案】按照平移规律“上加下减，左加右减”得 ．故选A. 类型三、求二次函数的解析式 3．已知二次函数 的图象经过点(1，0)，(-5，0)，顶点纵坐标为 ，求这个二次函数 的解析式． 【思路点拨】 将点（1，0），（-5，0）代入二次函数y=ax2+bx+c，再由 ，从而求得a，b，c的值，即得这个 二次函数的解析式． 【答案与解析】 解法一：由题意得 解得 所以二次函数的解析式为 ． 解法二：由题意得 ． 把 代入，得 ，解得 ． 所以二次函数的解析式为 ， 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第5页 共13页让更多的孩子得到更好的教育 即 ． 解法三：因为二次函数的图象与x轴的两交点为(1，0)，(-5，0)，由其对称性知， 对称轴是直线 ．所以，抛物线的顶点是 ． 可设函数解析式为 ．即 ． 【总结升华】根据题目的条件，有多种方法求二次函数的解析式． 举一反三： 【高清课程名称：二次函数与中考 高清ID号：359069 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1】 【变式】已知：抛物线 经过点 ． y  x2 (b1)xc P(1，2b) （1）求bc的值； （2）若b3，求这条抛物线的顶点坐标； （3）若 ，过点 作直线 轴，交 轴于点 ，交抛物线于另一点 ，且 ，求这条抛 b3 P PA y y A B BP2PA 物线所对应的二次函数关系式．（提示：请画示意图思考） 【答案】 解：（1）依题意得： ， (1)2 (b1)(1)c2b bc2． （2）当b3时，c5， y  x2 2x5(x1)2 6 抛物线的顶点坐标是 ．  (1，6) y x O B P A b1 （3）解法1：当b3时，抛物线对称轴x 1， 2 对称轴在点P的左侧． 因为抛物线是轴对称图形， 且 ． P(1，2b) BP2PA 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第6页 共13页让更多的孩子得到更好的教育 B(3，2b) b1  2． 2 b5． 又bc2，c7． 抛物线所对应的二次函数关系式 ．  y  x2 4x7 b1 解法2：当b3时，x 1， 2 对称轴在点P的左侧．因为抛物线是轴对称图形， ，且 P(1，2b) BP 2PA，B(3，2b)  ． (3)2 3(b2)c2b 又bc2，解得：b5，c7 这条抛物线对应的二次函数关系式是 ．  y  x2 4x7 解法3： bc2，cb2，  y  x2 (b1)xb2 轴， BP∥x x2 (b1)xb22b 即： ． x2 (b1)xb20 解得： ，即 x 1，x (b2) x (b2) 1 2 B 由 ， ． BP2PA 1(b2)21 b5，c7 这条抛物线对应的二次函数关系式 .  y  x2 4x7 类型四、二次函数图象的位置与a、b、c的关系 4．如图所示是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过A点（3，0），对称轴为x=1，给出四个结论： ①b2-4ac＞0；②2a+b=0；③a+b+c=0；④当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0．把正确结论的序号填在 横线上 ． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第7页 共13页让更多的孩子得到更好的教育 【思路点拨】 根据函数图象得出抛物线开口向下得到a小于0，且抛物线与x轴交于两个点，得出根的判别式大于0，即 选项①正确；对称轴为x=1，利用对称轴公式列出关于a与b的关系式，整理后得到2a+b=0，选项②正确； 由图象得出x=1时对应的函数值大于0，将x=1代入抛物线解析式得出a+b+c大于0，故选项③错误；由抛 物线与x轴的一个交点为A（3，0），根据对称轴为x=1，利用对称性得出另一个交点的横坐标为-1，从而得 到x=-1或x=3时，函数值y=0，选项④正确，即可得出正确的选项序号． 【答案与解析】 解：由图象可知：抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，对称轴为x=1， 与y轴交点在正半轴，与x轴有两个交点， ∴a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＞0，选项①正确； 当x=1时，y=a+b+c＞0，选项③错误； ∵图象过A点（3，0），对称轴为x=1， ∴另一个交点的横坐标为-1，即坐标为（-1，0）， 又 ，∴2a+b=0，选项②正确； ∴当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0，选项④正确， 则正确的序号有①②④． 故答案为：①②④. 【总结升华】 此题考查了抛物线图象与系数的关系，其中a由抛物线的开口方向决定，a与b同号对称轴在y轴左 边；a与b异号对称轴在y轴右边，c的符合由抛物线与y轴的交点在正半轴或负半轴有关；抛物线与x轴 的交点个数决定了根的判别式的正负，此外还要在抛物线图象上找出特殊点对应函数值的正负来进行判 断． 举一反三： 【变式】如图所示是二次函数 图象的一部分，图象经过点A(-3，0)，对称轴为 ．给 出四个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论是（ ）． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第8页 共13页让更多的孩子得到更好的教育 A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ 【答案】本例是利用二次函数图象的位置与a、b、c的和、差、积的符号问题，其中利用直线 ， 交抛物线的位置来判断 ， 的符号问题应注意理解和掌握． 由图象开口向下，可知a＜0，图象与x轴有两个交点，所以 ， ， ①正确．对称轴为 ，所以 ，又由a＜0，b＝2a，可得5b＜b，④正确． 故选B. 类型五、求二次函数的最值 5．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每 上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每 个月的销售利润为)y元． (1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围． (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上的结论，请你直接写出售 价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元? 【思路点拨】 （1）每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件，当每件商品的售价上涨x元时，每个月可卖出 （210-10x）件，每件商品的利润为x+50-40=10+x； （2）每个月的利润为卖出的商品数和每件商品的乘积，即（210-10x）（10+x），当每个月的利润恰为2200 元时得到方程（210-10x）（10+x）=2200．求此方程中x的值． 【答案与解析】 (1)y＝(210-l0x)(50+x-40)＝-10x2+110x+2100(00），同时将直线 ： 沿 轴正方向平移 个单位.平移后的直线为 ，移动后 、 的对应点分别为 、 .当 为何值时，在直线 上 存在点 ，使得△ 为以 为直角边的等腰直角三角形? 【答案】 （1）证明：令 ,则 . △= ． ∵ , ∴ ． ∴ △ . 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第11页 共13页让更多的孩子得到更好的教育 ∴ 方程 有两个不相等的实数根. ∴ 抛物线与 轴有两个交点. （2）①令 ,则 ， 解方程，得 . ∵ 在 左侧,且 , ∴ 抛物线与 轴的两个交点为 ， . ∵ 抛物线与 轴的交点为 ，∴ . ∴ . 在Rt△ 中， ， ． 可得 ． ∵ ，∴ ． ∴ 抛物线的解析式为 . ②依题意，可得直线 的解析式为 ， , , . ∵ △ 为以 为直角边的等腰直角三角形， ∴ 当 时，点 的坐标为 或 . ∴ . 解得 或 . 当 时，点 的坐标为 或 . 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第12页 共13页让更多的孩子得到更好的教育 ∴ . 解得 或 （不合题意，舍去）. 综上所述， 或 . 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第13页 共13页