2010年高考数学试卷（理）（浙江）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2010·高考数学真题

2010 年高考浙江卷理科数学试题及答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。 （1）B （2）A （3）D （4）B （5）D （6）B （7）C （8）C （9）A （10） B （1）设P=｛x︱x<4｝,Q=｛x︱x2<4｝，则 （A） pÍQ （B）QÍ P （C） pÍC Q （D）QÍC P R R   解析：Q  x2＜x＜2 ，可知B正确，本题主要考察了集合的基 本运算，属容易题 （2）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内位 （A） k＞4? （B）k＞5? （C） k＞6? （D）k＞7? 解析：选A，本题主要考察了程序框图的结构，以及与数列有关的简 单运算，属容易题 S （3）设S 为等比数列a 的前n项和，8a +a 0，则 5  n n 2 5 S 2 （A）11 （B）5 （C）8 （D）11 解析：解析：通过8a +a 0，设公比为q，将该式转化为8a +a q3 0，解得q=-2， 2 5 2 2 带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和 公式，属中档题 p （4）设0＜x＜ ，则“xsin2 x＜1”是“xsinx＜1”的 2 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 π 解析：因为0＜x＜ ，所以sinx＜1，故xsin2x＜xsinx，结合xsin2x与xsinx的取值范围相 2 同，可知答案选B，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想 第1页 | 共17页和处理不等关系的能力，属中档题 （5）对任意复数z  x+ yix,yÎR，i为虚数单位，则下列结论正确的是 （A） zz 2y （B）z2  x2 + y2 （C） zz ³2x （D） z £ x + y 解析：可对选项逐个检查，A项， zz ³ 2y，故A错，B项，z2  x2  y2 +2xyi，故 B错，C项， zz ³ 2y，故C错，D项正确。本题主要考察了复数的四则运算、共轭复 数及其几何意义，属中档题 （6）设l，m是两条不同的直线，a是一个平面，则下列命题正确的是 （A）若l ^m，mÌa，则l ^a （B）若l ^a，l//m，则m^a （C）若l//a，mÌa，则l//m （D）若l//a，m//a，则l//m 解析：选B，可对选项进行逐个检查。本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其 中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题 ìx+3y3³0, ï （7）若实数x，y满足不等式组í2x y3£0,且x+ y的最大值为9，则实数m ï xmy+1³0, î （A）2 （B）1 （C）1 （D）2 解析：将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C， 本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属 中档题 x2 y2 （8）设F 、F 分别为双曲线  1(a＞0,b＞0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存 1 2 a2 b2 在点P，满足 PF  FF ，且F 到直线PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的 2 1 2 2 1 渐近线方程为 （A）3x±4y 0 （B）3x±5y 0 （C）4x±3y 0 （D）5x±4y 0 解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系， 可知答案选C，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知 识能力的考察，属中档题 （9）设函数 f(x)4sin(2x+1)x，则在下列区间中函数 f(x)不存在零点的是 第2页 | 共17页（A）4,2 （B）2,0 （C）0,2 （D）2,4 解析：将 f  x  的零点转化为函数g  x   4sin  2x+1 与h  x   x的交点，数形结合可知答 案选A，本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点，突出了对转化思 想和数形结合思想的考察，对能力要求较高，属较难题 ì 1 1 ü （10）设函数的集合Píf(x)log (x+a)+b a ,0, ,1;b1,0,1ý，平面上点的 î 2 2 2 þ ì 1 1 ü 集合Qí(x,y) x ,0, ,1;y 1,0,1ý，则在同一直角坐标系中，P中函数 f(x)的 î 2 2 þ 图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是 （A）4 （B）6 （C）8 （D）10 1 1 解析：当a=0,b=0;a=0,b=1;a= ,b=0; a= ,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1时满足题意，故答案选B， 2 2 本题主要考察了函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点，对数学素养有 较高要求，体现了对能力的考察，属中档题 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。 3 （11）p （12）144 （13） 2 4 ì0, 当n为偶数时 ï （14）í1 1 （15）d £2 2或d ³2 2 , 当n为奇数时 ï î2 3 2 3 （16）(0, ] （17）264 3 p （11）函数 f(x)sin(2x )2 2sin2 x的最小正周期是__________________ . 4 2  p   解析： f x  sin2x+  2 故最小正周期为π，本题主要考察了三角恒等变换及 2  4 相关公式，属中档题 （12）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 ___________cm3 . 第3页 | 共17页解析：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中所给公式计算得体积为144， 本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题 （13）设抛物线y2 2px(p>0)的焦点为F ，点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上， 则B到该抛物线准线的距离为_____________。 2 解析：利用抛物线的定义结合题设条件可得出p的值为 2 ，B点坐标为（ ，1）所 4 3 以点B到抛物线准线的距离为 2，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易 4 题 1 1 （14）设n³2,nÎN,(2x+ )n (3x+ )n a +a x+a x2 +×××+a xn，将 2 3 0 1 2 n 1 1 1 1 a (0£k £n)的最小值记为T ，则T 0,T   ,T 0,T   ,×××,T ,××× k n 2 3 23 33 4 5 25 35 n 其中T =_____. n 解析：本题主要考察了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题 ì0 n为偶数 ï 14．í 1 1 解析：本题考查了二项式定理、函数的单调性  n为奇数 ï î2n 3n n a ＝Ck 2n2k 3n2k ，当n为偶数时，取k＝ ，此时T ＝0；当n为奇数时，取k＝n， k n 2 n 1 1 此时T ＝ － n 2n 3n 1 1 观察条件，在n³2的情况下，当n为偶数时， T ＝0；当n为奇数时， T ＝ － ．故 n n 2n 3n ì0 n=2k, ï 填í 1 1 (kÎN*).  n=2k+1, ï î2n 3n （15）设a ,d 为实数，首项为a ，公差为d 的等差数列a 的前n项和为S ，满足 1 1 n n S S +150，则d 的取值范围是__________________ . 5 6 解析： 2a 2＋9a d＋10d2＋1＝0，此方程有解，所以△＝81d2－8(10d2＋1)＞0，得d＞2 2 1 1 第4页 | 共17页或d＜－2 2 r r r r r r r r r r r （16）已知平面向量a,b(a¹0,a¹b)满足 b1，且a与ba的夹角为120°，则a 的取值范围是__________________ .  2 3ù 【答案】0, ú  3  û uuur ur 【解析】利用题设条件及其几何意义表示在三角形中，即可迎刃而解，设OAa， uuur ur OBb，如图，由题意得：∠OAB＝60°，∴0°<∠OBA<120°，∴0  r ur |n|×|m| 3 3 所以二面角的余弦值为 . 3 （Ⅱ）解：设FM  x£¬则M(4+ x,0,0) 因为翻折后，C与A重合，所以CM=A¢M 21 故(6x)2 +82 +02 (2x)2 +22 +(2 2)2，得x  4 21 经检验，此时点N在线段BG上,所以FM  . 4 方法二： （Ⅰ）解：取截段EF的中点H，AF的中点G，连结A¢G，NH，GH 因为A¢E  A¢F 及H是EF的中点，所以A¢H//EF。 又因为平面A¢EF^平面BEF，所以A¢H`^平面BEF， 又AF Ì平面BEF， 故A¢H ^ AF， A' 又因为G，H是AF，EF的中点， A E 易知GH//AB， G H B F N 所以GH^ AF ， M D 于是AF ^面A¢GH C 所以ÐA¢GH 为二面角A¢—DF—C的平面角， 在RtDA¢GH 中，A¢H  2 2,GH  2,A¢G  2 3 第11页 | 共17页3 所以cosÐA¢GH  . 3 3 故二面角A¢—DF—C的余弦值为 。 3 （Ⅱ）解：设FM  x， 因为翻折后，G与A¢重合，所以CM ^ A¢M ， 而CM2  DC2 +DM2 82 +(6x)2 21 A¢M2  A¢H2 +MH2  A¢H2 +MG2 +GH2 (2 2)2 +(x+2)2 +22，得x  4 21 经检验，此时点N在线段BC上，所以FM  . 4 m2 x2 (21) （本题满分15分）已知m＞1，直线l:xmy 0，椭圆C: + y2 1，F F 2 m2 1, 2 分别为椭圆C的左、右焦点. y （Ⅰ）当直线l过右焦点F 时，求直线l的方程； 2 （Ⅱ）设直线 l与椭圆 C交于 A,B两点，VAFF ， A 1 2 o x VBFF 的重心分别为G,H .若原点O在以线段GH 为直径 1 2 的圆内，求实数m的取值范围. B （21）本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的 位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分 m2 （Ⅰ）解：因为直线l:xmy 0经过F ( m2 1,0) 2 2 m2 所以 m2 1  ,得m2  2 y 2 又因为m >1.所以m  2. A o x 故直线l的方程为x 2y10. （Ⅱ）解：设A(x ,y ),B(x ,y )， B 1 1 2 2 第12页 | 共17页ì m2 x  my+ , ï ï 2 m2 由í 消去x得2y2 +my+ +10 x2 4 ï + y2 1 ïîm2 m2 则由D  m2 8( 1)  m2 +8>0， 4 m m2 1 知m2 <8且有y + y   ,y y   . 1 2 2 1 2 8 2 由于F(c,0),F (c,0) 1 2 故O为F F 的中点， 1 2 uuur uuur uuur uuur x y x2 y 由AG  2GO,BH  2HO，可知G( 1 , 1),H( , 2) 3 3 3 3 (x x )2 (y  y )2 |GH |2 1 2 + 1 2 . 9 9 x + x y + y 设M是GH的中点，则M( 1 2 , 1 2) 6 6 由题意可知，2|MO|<|GH | x + x y + y (x x )2 (y  y )2 好4[( 1 2)2 +( 1 2)2]< 1 2 + 1 2 6 6 9 9 即x x + y y <0. 1 2 1 2 m2 m2 m2 1 而x x + y y (my + )(my + )+ y y (m2 +1)(  ), 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 8 2 m2 1 所以  <0. 即m2 < 4. 8 2 又因为m >1且D >0.所以1< m< 2. 所以m的取值范围是（1，2）。 第13页 | 共17页(22)(本题满分14分)已知a是给定的实常数，设函数 f(x)(xa)2(x+b)e2，bÎR， xa是 f(x)的一个极大值点． (Ⅰ)求b的取值范围； (Ⅱ)设 x ,x ,x 是 f(x)的 3 个极值点，问是否存在实数b，可找到 x ÎR，使得 1 2 3 4 x ,x ,x ,x 的某种排列x ,x ,x ,x (其中i ,i ,i ,i  = 1,2,3,4 )依次成等差数列?若存 1 2 3 4 i i i i 1 2 3 4 1 2 3 4 在，求所有的b及相应的x ；若不存在，说明理由． 4 （22）本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列基础知识，同时 考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识，满分14分。 （Ⅰ）解： f ¢(x) c2(xa)[x2 +(3a+b)x+2baba] 令g(x)  x2 +(3a+b)x+2baba 则D (3a+b)2 4(2baba) (a+b1)2 +8>0. 于是可设x ,x 是g(x) 0的两实根，且x ,x 1 2 1 2 （1）当x  a或x  a时，则x  a不是 f(x)的极值点，此时不合题意 1 2 （2）当x ¹a且x ¹a时，由于xa是 f(x)的极大值点， 1 2 第14页 | 共17页故x < a < x . 即g(a)<0 1 2 即a2 +(3a+b)a+2baba <0 所以b< a 所以b的取值范围是（-∞，a） （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，假设存了b及x 满足题意，则 b （1）当x a  ax 时，则x  2x a或x  2x a 2 1 4 2 4 1 于是2  x + x2  ab3. 1 即ba3. 此时x  2x a  ab3+ (a+b1)2 +8a  a+2 6 4 2 或x  2x a  ab3 (a+b1)2 +8 a  a2 6. 4 1 （2）当x a ¹ ax 时，则x a  2(ax )或(ax )  2(x a) 2 1 2 1 2 2 a+ x ①若x a  2(ax ),则x  2 2 1 2 2 3(ab3) (a+b1)2 +8 于是3a  2x + x  1 2 2 即 (a+b1)2 +8  3(a+b+3) 9 13 于是a+b1 2 a+ x 2a+(ab3)3(a+b+3) 1+ 13 此时x  2   b3 a+ . 2 2 4 2 a+ x ②若ax  2(x +a),则x  1 1 2 2 2 3(ab3)+ (ab1)2 +8 于是3a  2x + x  2 1 2 即 (ab1)2 +8 3(a+b+3) 第15页 | 共17页9+ 13 于是a+b1 . 2 a+ x 2a+(ab3)3(a+b+3) 1 13 此时x  1   b3 a+ . 2 2 4 2 综上所述，存在b满足题意 当b  a3时,x  a±2 6 4 7+ 13 1+ 13 当b  a 时,x  a+ 2 4 2 7 13 1 13 当b  a 时,a  a+ . 2 4 2 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学理点评 今年的高考数学试题“题目新，难度大，综合程度强，能力要求高”。总体上还是比较稳 定，试题严格遵循浙江省普通高考考试说明，立意新，起步低，情景朴实，选题源于教材而 又高于教材，宽角度、高视点、多层次考查了数学理性思维。 总体稳定：体现了多题把关的命题特点 今年的数学试卷仍然采用前几年的一贯风格，设计为主观试题78分、客观试题72分 的题型和分值结构，保持了题量、题型和分值的相对稳定。 试卷以基础知识、基本方法为命题出发点，全面覆盖了数学的基本内容，重点内容常考 常新。很多题目都从简洁中体现常规，突出考查通性通法，淡化技巧。试题，继续保持多年 来多角度、多层次的考察方式，沿续往年的分布设问，分散难点的方法，体现了多题把关的 命题特点，选择题、填空题、解答题都有把关题。 体现创新：注重强调学生的数学理解能力 今年的数学试卷中还出现了很多新题，注重强调学生的数学理解能力，提高对数学阅读 能力的要求。今年的数学试卷，恰当地考查了学生的应用能力。第19题概率统计题由往年 的摸球，简单的概率模型变化为今年的实际问题，而且情景具有公平性，这类问题考察学生 对所提供的信息资料进行归纳、整理和分析，将实际问题抽象为数学问题，并能用数学语言 正确地表述，建立数学模型，应用相关的数学方法解决问题。 第16页 | 共17页凸显能力：融入了新课程、新大纲理念 今年的数学试卷，很多题目融入了新课程、新大纲的理念，选材寓于教材又高于教材。 每道题都是新题，可谓题型出新，道道经典。解答题入手容易，但要深入则比较难。 挑战心态：考的还是一个战术技巧 今年的数学试卷在题型、题量、结构、内容分布、重点知识略有提高的基础上，在试题 的选材、情景、设问、编排等方面作了很大改进，尤其是在深化能力立意、突出数学内涵方 面更是迈出了新的步伐。试卷对学生面对新题及困难时的心态调整和战胜困难的数学素养， 以及意志品质等非智力因素提出了新的要求，也为今后数学的教与学提出了新的挑战。 考生答题时有两点很重要，一个是策略问题，一个是技巧问题。考试如同打仗一样，在 战略上要藐视敌人，在战术上又要重视敌人。在策略上，学生要树立信心。技巧方面，就是 答题要先易后难。今年的考题，难点比较分散，在选择填空部分，考生可能就遇到了不少难 点，卡壳几次，心态就会比较差，因此对考生的心理素质是个巨大的考验。比如选择题第 4，9，10，填空题第15，16，17，解答题第20，22的第2小题都是难点，答题时，要先 解决相对容易的题目，再集中精力突破难点，考试时间相对紧张，因此合理分配答题时间很 重要。 源头学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126.com 源头学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126.com 第17页 | 共17页