文档内容
2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
[来源:Z#xx#k.Com]
1．已知集合M =1,2,3，N =2,3,4，则
A．M Í N B．N Í M C．M N =2,3 D．M N =1,4
I U
2．下列命题中的假命题是
A．"xÎR ，2x-1＞0 B．"xÎN*，x-12＞0
[来源:Z&xx&k.Com]
C．$xÎR，lgx＜1 D． $xÎR，tanx=2
ìx=-1-t,
3．极坐标方程r=cosq和参数方程í （t为参数）所表示的图形分别是
îy =2+3t
A．圆、直线 B．直线、圆 C．圆、圆 D．直线、直线
[来源:学+科+网]
uuur uuur
4．在RtDABC中，ÐC =90o，AC =4，则AB AC 等于
g
A．-16 B．-8 C．8 D．16
41
5．ò dx等于 A．-2ln2 B．2ln2 C．-ln2 D．ln2
2 x
6．在DABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若ÐC =120o，c= 2a，则
[来源:学_
A．a＞b B．a＜b C．a=b D．a与b的大小关系不能确定
7．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同
排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相
同的信息个数为
A.10 B.11 C.12 D.15
8．用mina,b表示a,b两数中的最小值.若函数 f(x)=min x , x+t 的图像关于直线
1
x=- 对称，则t的值为 A．-2 B．2 C．-1 D．1
2
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡中对
应题号后的横线上．
9．已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间．若用0.618法安排实验，则
第1页 | 共4页第一次试点的加入量可以是 g．
10．如图1所示，过 O外一点P作一条直线与 O交于A,B两点．已知PA=2，点P到 O的
e e e
切线长PT=4，则弦AB的长为 ．
11．在区间-1,2上随机取一个数x，则 x £1的概率为 ．
12．图2是求12 +22 +32 +… +1002的值的程序框图，则正整数n= ．
13．图3中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h= cm．
14．过抛物线x2 =2py(p＞0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B两点，A,B
在x轴上的正射影分别为D,C．若梯形ABCD 的面积为12 2 ，则 p= ．
15．若数列a 满足：对任意的nÎN*，只有有限个正整数m使得a ＜n成立，记这样
n m
的m的个数为(a )*，则得到一个新数列 (a )* ．例如，若数列a 是1,2,3… ，n,… ，
n n n
则数列 (a )* 是0,1,2,… ，n-1,… ．已知对任意的nÎN*，a =n2，则(a )* =
n n 5
，
((a )*)* = ．
n
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
第2页 | 共4页已知函数 f(x)= 3sin2x-2sin2 x．
（Ⅰ）求函数 f(x)的最大值；（Ⅱ）求函数 f(x)
的零点的集合.
17．（本小题满分12分）
图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的
频率分布直方图.
[来源:学.科.网]
（Ⅰ）求直方图中x的值.
（Ⅱ）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放
回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望.
18．（本小题满分12分）
如图5所示，在正方体ABCD-A BC D 中，E是棱DD 的中点.
1 1 1 1 1
（Ⅰ）求直线BE的平面ABBA 所成的角的正弦值；
1 1
（Ⅱ）在棱C D 上是否存在一点F，使BF∥平面A BE？证明你的结论.
1 1 1 1
19．（本小题满分13分）
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．
视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角
6 5
坐标系（图6）．在直线x=2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过 km的区域；在
5
直线x=2的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超
过4 5km的区域．
（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图6所示，设线段PP ，PP 是冰川的部分边界线
1 2 2 3
（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的
方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移
动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所
需的最短时间．
20.（本小题满分13分）
已知函数 f(x)= x2 +bx+c(b,cÎR),对任意的xÎR，恒有 f '(x) £ f(x).
第3页 | 共4页（Ⅰ）证明：当x³0时， f(x)£(x+c)2；
（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式 f(c)- f(b)£M(c2 -b2)恒成立，求M
的最小值.
21．（本小题满分13分）
1 1
数列a (nÎN*)中，a =a,a 是函数 f (x)= x3 - (3a +n2)x2 +3n2a x的
n 1 n+1 n 3 2 n n
极小值点.
（Ⅰ）当a=0时，求通项a ；
n
（Ⅱ）是否存在a，使数列a 是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，
n
请说明理由.
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