苏教版数学必修第二册高清教材_4-教培资料-26年最新资料-同步更新_初中高中教资_03科三专项（进去保存报考的学科即可）_02科三专项（笔记真题思维导图教学设计版本二）

ISBN 978-7-5499-8666-8 9 787549 986668> 定价： 元 16.63                                                                                                                                                                    书书书                    主 编 单 墫 李善良       副 主 编 葛 军 徐稼红 石志群       本册主编 徐稼红            编写人员 陈光立 樊亚东 李善良 徐稼红 石志群 葛 军      孙旭东 张松年 仇炳生 于 明 单 墫       责任编辑 田 鹏                                                                                                                                 大自然这本书是用数学语言写成的．    ———伽利略         一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到完     善的地步．     ———马克思                   致 同 学        亲爱的同学，高中阶段的数学学习生活有趣吗？     我们知道，数学是高中阶段的重要学科，不仅是学习物理、化学     等学科的基础，而且可以帮助我们认识世界，改造世界，创造新的生     活，对我们的终身发展有较大的影响．     怎样学习数学？      第一，要学会发现问题、提出问题．面对各种情境（生活的、数学    的、科学的），我们需要学会观察、实验、归纳，学会从特殊到一般、从      具体到抽象、从模糊到清晰，大胆地提出数学问题．     第二，要尝试分析并解决所提出的问题．通过抽象、推理、建模、     运算等多种活动，建立数学理论，并运用这些数学理论去解决     问题．     第三，要学会回顾反思．在解决完问题之后，要思考：我们是如何     解决这个问题的，从中可以得到哪些启发，还能提出哪些问题．     在数学学习过程中，我们要主动地学习数学基础知识、基本技     能，自觉地感悟基本数学思想，不断积累数学活动经验，提升数学抽     象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等核心素养，     并逐步学会用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言     表达世界．     通过数学学习，我们会发现数学非常奇妙，非常有趣．数学将给     我们以新奇和动力，我们的思维水平会不断提高，我们的创造能力会     得到发展．我们将快乐地成长．          １                           考虑广大同学的不同需要，本书提供了较大的选择空间．    书中的引言、正文、练习、习题中的“感受·理解”部分、阅读、本      章回顾、本章测试等内容构成一个完整的体系．它体现了教科书的基    本要求，是所有学生应当掌握的内容，相信你一定能学好这部分      内容．     本书还设计了一些具有挑战性的内容，包括思考、探究、链接、问     题与探究、应用与建模，以及习题中的“思考·运用”“探究·拓展”     等．在掌握基本内容之后，选择其中一些内容作思考与探究，相信你     会更加喜欢数学．                                                                                                          ２                                    目 录                      第９章 平面向量       ９．１ 向量概念 ……………………………………………………… ５     ９．２ 向量运算 ……………………………………………………… ９     ９．３ 向量基本定理及坐标表示 …………………………………… ２４     ９．４ 向量应用 ……………………………………………………… ３８     问题与探究 由平面向量到空间向量的推广 …………………… ４１     阅读 向量源自力学 ……………………………………………… ４１       第１０章 三角恒等变换       １０．１ 两角和与差的三角函数 …………………………………… ４９     １０．２ 二倍角的三角函数 ………………………………………… ６３     １０．３ 几个三角恒等式 …………………………………………… ６８     问题与探究 正弦函数与余弦函数的叠加 ……………………… ７５     阅读 弦表与托勒密定理 ………………………………………… ７６       第１１章 解三角形       １１．１ 余弦定理 …………………………………………………… ８５     １１．２ 正弦定理 …………………………………………………… ９０     １１．３ 余弦定理、正弦定理的应用 ………………………………… ９６     问题与探究 海伦 秦九韶公式 ………………………………… １０１     阅读 流星不是地球蒸发物 ……………………………………… １０２       第１２章 复数       １２．１ 复数的概念 ………………………………………………… １１１     １２．２ 复数的运算 ………………………………………………… １１５     １２．３ 复数的几何意义 …………………………………………… １２１      １            书书书                １２．４ 复数的三角形式 …………………………………………… １２５     问题与探究 复数的开方 ………………………………………… １３１     阅读 复数系是怎样建立的？ …………………………………… １３４      第１３章 立体几何初步      １３．１ 基本立体图形 ……………………………………………… １４１     １３．２ 基本图形位置关系 ………………………………………… １５２      １３．３ 空间图形的表面积和体积 ………………………………… １８５     应用与建模 拟柱体体积公式 …………………………………… １９６     阅读 几何学的发展 ……………………………………………… １９７      第１４章 统计       １４．１ 获取数据的基本途径及相关概念 ………………………… ２０９     １４．２ 抽样 ………………………………………………………… ２１４     １４．３ 统计图表 …………………………………………………… ２２１     １４．４ 用样本估计总体 …………………………………………… ２２９     应用与建模 阶梯电价的设计 …………………………………… ２４７     阅读 恩格尔系数 ………………………………………………… ２４７       第１５章 概率       １５．１ 随机事件和样本空间 ……………………………………… ２５９     １５．２ 随机事件的概率 …………………………………………… ２６２     １５．３ 互斥事件和独立事件 ……………………………………… ２７１     问题与探究 确定公平的规则 …………………………………… ２８０     阅读 制作杨辉三角形 …………………………………………… ２８０      专题 数学建模与数学探究       案例分析 …………………………………………………………… ２８６     课题研究 …………………………………………………………… ２８９      附录 随机数表（部分） ……………………………………………… ２９２                        ２                                    本书部分常用符号          犪 向量犪  → →  犃犅 向量犃犅     ｜犪｜ 向量犪的模（或长度）   → →  ｜犃犅｜ 向量犃犅的模（或长度）    ０ 零向量     犪∥犫 向量犪与向量犫平行（共线）    犪⊥犫 向量犪与向量犫垂直    犪＋犫 向量犪与犫的和     犪－犫 向量犪与犫的差   λ犪 实数λ与向量犪的积     犪·犫 向量犪与犫的数量积     ｉ 虚数单位，ｉ２＝－１   犆 复数集     狕－ 复数狕的共轭复数    狘狕狘，狘犪＋犫ｉ狘 复数狕的模，犪＋犫ｉ的模    犃∈犪 点犃在直线犪上     犃犪 点犃不在直线犪上   犃∈α 点犃在平面α内     犃α 点犃在平面α外     α∩β＝犪 平面α和平面 β 的交线是犪   犪α 直线犪在平面α内     犪α 直线犪不在平面α内    犪∩犫＝犃 直线犪和直线犫相交于点犃    犪∩α＝犃 直线犪和平面α相交于点犃     犪∥α 直线犪平行于平面α   α∥β 平面α和平面 β 互相平行     犪⊥α 直线犪垂直于平面α     α犃犅β（或α犾β） 棱 为犃犅，面为α，β 的二面角（或棱为犾，面为   α，β 的二面角）     α⊥β 平面α和平面 β 互相垂直    狓－ 样 本 平均数      ∑狀 犪 狀个实数犪，犪，…，犪的和  犻 １ ２ 狀  犻＝１   犘（犃） 事件犃的概率     犃－ 事件犃的对立事件                     书书书                第９章 平 面 向 量                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              深入地探索和研究自然界，乃是数学发展的最为丰富     的源泉，也是数学发现的最有成效的一种方法．    ———傅里叶                                                             冬天到了，大雪过后，白雪皑皑．如果你穿上滑雪板，站在被雪覆     盖的、平滑的斜坡上，你会感到有一个力拉着你向下滑行，而且斜坡    越陡，这个力就越大，下滑的加速度也越大．                            同样地，把木块放置在光滑的斜面上，木块将向下滑动．斜面的     坡度越大，木块下滑的加速度也越大．     ● 这些运动中含有哪些物理量？     ● 用怎样的数学模型刻画这些物理量？     ● 怎样运用这样的数学模型去解决问题？              ４           ９．１ 向量概念 把木块放置在光滑的斜面上，根据物理学知识知道，斜面上的木 块受到两个力的影响：重力犌与斜面的支持力犖．重力的方向竖直向 下，支持力的方向与斜面垂直（图９ １ １）． 木块在重力与支持力的合力作用下，会沿斜面向下运动，其运动 的加速度为正，下滑的速度越来越快． 木块滑动后就会产生位置的变化，物理上用“位移”来刻画这种 变化． 图９ １ １ ● 力、速度、加速度、位移这些量有什么共同特征？ 在现实生活中，有些量（如距离、身高、质量等）只有大小，而另外 一些量（如力、速度、加速度、位移等）既有大小又有方向． 我们把既有大小又有方向的量叫作向量（ｖｅｃｔｏｒ）． 向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大 小，箭头所指的方向表示向量的方向．以犃为起点、犅为终点的向量 → 用小写字母犪表 记为犃犅．向量也可用小写字母犪，犫，犮来表示（图９ １ ２）． 示向量时，印刷用粗 体犪，书写用犪→． 图９ １ ２ → → 向量犃犅的大小称为向量的长度（或称为模），记作｜犃犅｜． 我们规定，长度为０的向量称为零向量（ｎｕｌｌｖｅｃｔｏｒ），记作０，零 向量的方向是任意的． 长度等于１个单位长度的向量，叫作单位向量（ｕｎｉｔｖｅｃｔｏｒ）． 思 考 平面上起点在定点犗的单位向量，其终点的集合是什么图形？ 方向相同或相反的非零向量叫作平行向量（ｐａｒａｌｌｅｌｖｅｃｔｏｒｓ）．在 图９ １ ３中，向量犪，犫，犮是一组平行向量．向量犪与向量犫平行， 记作犪∥犫．我们规定零向量与任一向量平行． 所有长度相等且方向相同的向量都看作相同的向量，而不管它 们的起点位置如何．向量犪与犫是相同的向量，也称犪与犫相等，记作 → → 犪＝犫．如图９ １ ４，在 犃犅犆犇中，向量犃犅和犇犆长度相等且方向 ５ 书书书             必修第二册 数学  → →   相同，所以犃犅＝犇犆．                图９ １ ３ 图９ １ ４     由此可知，将一个向量平移后所得的向量与原向量是相同的向  本章学习的向量   量．图９ １ ５中，向量犪，犫，犮两两平行，可以通过平移使得犪，犫，犮  都是平面内的自由向    量．它们仅由方向和 落在同一直线上，所以，任意一组平行向量都可以平移到同一条直线    大小确定，而与起点 上．因此平行向量又称为共线向量（ｃｏｌｌｉｎｅａｒｖｅｃｔｏｒｓ）．    位置无关．                  图９ １ ５ 图９ １ ６    →  对于两个非零向量犪和犫，在平面内任取一点犗，作犗犃＝犪，    →  犗犅＝犫，∠犃犗犅＝θ（０°≤θ≤１８０°）叫作向量犪与犫的夹角    （图９ １ ６）．     当θ＝０°时，犪与犫同向；     当θ＝１８０°时，犪与犫反向；    当θ＝９０°时，则称向量犪与犫垂直，记作犪⊥犫．      例１ 已知犗为正六边形犃犅犆犇犈犉的中心，在图９ １ ７所标    出的向量中：    →   （１）试找出与犉犈共线的向量；   →   （２）确定与犉犈相等的向量；   → →   （３）犗犃与犅犆相等吗？   → → →   解 （１）与犉犈共线的向量有犅犆和犗犃．   → → → →   （２）犅犆与犉犈长度相等且方向相同，则犅犆＝犉犈．  图９ １ ７  → → → →  （３）虽然犗犃∥犅犆，且狘犗犃狘＝狘犅犆狘，但它们方向相反，所以这    两个向量并不相等．      我们把与向量犪长度相等，方向相反的向量叫作犪的相反向量，    记作－犪，犪与－犪互为相反向量．并且规定零向量的相反向量仍是零     向量．于是，对任意一个向量犪，总有      －（－犪）＝犪．    →   例２ 在图９ １ ８（１）中的４×５方格纸中有一个向量犃犅，分    →  别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与犃犅相等的向量有多少      ６                       ９  平面向量 第 章   → →  个？与犃犅长度相等的共线向量有多少个（犃犅除外）？                           图９ １ ８    →  分析 与犃犅相等的向量应当满足“等长且同向”，首先要确定这     些向量的起点．在方格纸的格点中，除去点犃外，符合题意的起点还    → →  有７个（图９ １ ８（２））．与犃犅长度相等的共线向量除了与犃犅方向相    →  同的向量外，还有与犃犅方向相反的向量．    →  解 当向量犆犇的起点犆是图９ １ ８（２）中所圈的格点时，可以    →  作出与犃犅相等的向量．这样的格点共有８个，除去点犃外，还有７    →  个，所以共有７个向量与犃犅相等．    → →  与犃犅长度相等的共线向量（除犃犅外）共有７×２＋１＝１５（个）．       练 习 １．在下列命题中，哪些是正确的？   （１）若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；     （２）模相等的两个平行向量是相同的向量；   （３）若犪和犫都是单位向量，则犪＝犫；     （４）两个相同的向量的模相等；    （５）若犪∥犫，则犪与犫的夹角是０°．   → → →  ２．设点犗是正三角形犃犅犆的中心，则向量犃犗，犅犗，犆犗是（ ）．     Ａ．相同的向量 Ｂ．模相等的向量   Ｃ．共线向量 Ｄ．共起点的向量     ３．写出图中所示各向量的长度（小正方形的边长为１）．                       （第３题） （第４题） （第５题）    →  ４．如图，在直线犾上，找出与犃犅平行的向量．   →  ５．如图，四边形犃犅犆犇是正方形，找出与犃犅垂直的向量．                 ７                        必修第二册 数学      习题９．１        感受·理解 １．已知点犗是正方形犃犅犆犇的两条对角线的交点，在以点犗，犃，犅，犆，犇这５    点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：   →  （１）与犅犆相等的向量；   →  （２）与犗犅长度相等的向量；   →   （３）与犇犃共线的向量．    ２．长度相等的向量是相同的向量吗？相同的向量是共线向量吗？平行于同一    个非零向量的两个向量是共线向量吗？请举例说明．    ３．如图，点犗为正方形犃犅犆犇的两条对角线的交点，四边形犗犃犈犇，犗犆犉犅都    是正方形．在图中所示的向量中：   → →   （１）分别写出与犃犗，犅犗相等的向量；   →  （２）写出与犃犗共线的向量；   →  （３）写出与犃犗的模相等的向量；   （第３题） （４）判断向量犃 → 犗与犆  犗 → 是否相等；    →  （５）写出与犃犗垂直的向量．     ４．如图，四边形犃犅犆犇与四边形犃犅犇犈都是平行四边形．    试回答下列问题：   →  （１）与犃犅相等的向量是 ；   → →  （２）若狘犃犅狘＝３，则狘犈犆狘＝ ．    （第４题） ５．下列命题中，正确的是 ．（填序号）     ① 若狘犪狘＝狘犫狘，则犪＝犫； ② 若狘犪狘＞狘犫狘，则犪＞犫；    ③ 若犪＝犫，则犪∥犫； ④ 若狘犪狘＝０，则犪＝０．    ６．判断下列说法是否正确：     （１）若犪∥犫，犫∥犮，则犪∥犮；   （２）单位向量均相等；     （３）任一向量与它的相反向量不相等．     思考·运用 ７．在如图所示的向量犪，犫，犮，犱，犲中（小正方形的边长为１），是否存在：    （１）共线向量？    （２）相反向量？     （３）相同的向量？    （４）模相等的向量？    若存在，分别写出这些向量．   （第７题） → →   ８．在四边形犃犅犆犇中，已知犃犅＝犇犆，求证：四边形犃犅犆犇为平行四边形．     探究·拓展 ９．如图，以１×３方格纸中的格点为起点和终点的所有非零向量中，有多少种   大小不同的模？有多少种不同的方向？                （第９题）       ８                              ９．２      向量运算          把木块放置在光滑的斜面上，重力犌与斜面的支持力犖的合力    是一个沿斜面向下的力，因而，木块向下滑动（图９ ２ １（１））．如果     斜面并不光滑，斜面就对木块产生摩擦力犳．这时，木块的运动状态就    取决于犌，犖，犳的合力（图９ ２ １（２））．                        图９ ２ １     从运算角度看，求几个力的合力就可以看作是对几个向量实施     某种运算的结果．换句话说，向量与实数一样也能进行运算．那么，     ● 向量如何进行运算呢？        ９．２．１ 向量的加减法        类比实数的加法，我们联想到，物理中位移的合成，以及速度的     合成和力的合成，都可以看成向量的加法．       已知向量犪和犫（图９ ２ ２），在平面内任取一点犗，作    → → →  犗犃＝犪，犃犅＝犫，则向量犗犅叫作犪与犫的和，记作犪＋犫．即     → → →  犪＋犫＝犗犃＋犃犅＝犗犅．    求两个向量和的运算叫作向量的加法．                        图９ ２ ２      如果犪∥犫，怎样 根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的    作出犪＋犫呢？ 三角形法则．    任一向量与其相反向量的和是零向量，即      ９                        必修第二册 数学    犪＋（－犪）＝ （－犪）＋犪＝０．     对于零向量和任一向量犪，我们规定     犪＋０＝０＋犪＝犪．    向量的加法满足交换律、结合律，即      犪＋犫＝犫＋犪，     （犪＋犫）＋犮＝犪＋（犫＋犮）．     下面我们通过作图方式加以验证．   → → → →   如图９ ２ ３，作犗犃犅犆，使犗犃＝犪，犗犆＝犫，则犆犅＝犗犃＝犪，   → →  犃犅＝犗犆＝犫．    → → →  因为 犗犅＝犗犃＋犃犅＝犪＋犫，    → → →  犗犅＝犗犆＋犆犅＝犫＋犪，    所以 犪＋犫＝犫＋犪．                         图９ ２ ３ 图９ ２ ４      图９ ２ ３还表明，对于任意两个不共线的非零向量犪，犫，我们还可    以通过作平行四边形来求这两个向量的和．分别作犗  犃 → ＝犪，犗  犆 → ＝犫，以     犗犃，犗犆为邻边作犗犃犅犆，则以犗为起点的对角线表示的向量犗  犅 → 就是     向量犪与犫的和．我们把这种方法叫作向量加法的平行四边形法则．     同样，根据图９ ２ ４可以验证，向量的加法也满足结合律．     如果平面内有狀个向量依次首尾连接组成一条封闭折线，这狀个  思 考    向量的和是什么？     例１ 如图９ ２ ５，犗为正六边形犃犅犆犇犈犉的中心，作出下     列向量：   → → → → → →   （１）犗犃＋犗犆； （２）犅犆＋犉犈； （３）犗犃＋犉犈．     解 （１）因为四边形犗犃犅犆是以犗犃，犗犆为邻边的平行四边形，   → → →   犗犅为其对角线，所以 犗犃＋犗犆＝犗犅．   图９ ２ ５   （２）因为犅  犆 → 与犉  犈 → 方向相同且长度相等，所以犅  犆 → 与犉  犈 → 是相同的     向量，从而犅  犆 → ＋犉  犈 → 与犅  犆 → 方向相同，长度为犅  犆 → 长度的２倍，因此，     犅  犆 → ＋犉  犈 → 可用犃  犇 → 表示，即 犅  犆 → ＋犉  犈 → ＝犃  犇 → ．      → → → →  （３）因为犗犃与犉犈是一对相反向量，所以 犗犃＋犉犈＝０．      １０                       ９  平面向量 第 章    例２ 在长江南岸某渡口处，江水以１２．５ｋｍ／ｈ的速度向东流，     渡船在静水中的速度为２５ｋｍ／ｈ．渡船要垂直地渡过长江，其航向应     如何确定？    → →  分析 如图９ ２ ６，渡船的实际速度犃犆、船的静水速度犃犇与水    → → → →  速犃犅应满足犃犅＋犃犇＝犃犆．    → →  解 如图９ ２ ６，设犃犅表示水流的速度，犃犇表示渡船在静水中    →  的速度，犃犆表示渡船实际垂直过江的速度．    → → →  因为犃犅＋犃犇＝犃犆，所以四边形犃犅犆犇为平行四边形．     图９ ２ ６ 在Ｒｔ△犃犆犇中，因为     ∠犃犆犇＝９０°，     → →  狘犇犆狘＝狘犃犅狘＝１２．５，     →  狘犃犇狘＝２５，      所以 ∠犆犃犇＝３０°．    答 渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西３０°．       练 习 １．如图，已知向量犪，犫，求作向量犪＋犫．                （第１题）     ２．如图，已知向量犪，犫，求作向量犪＋犫．                 （第２题）     ３．已知点犗是犃犅犆犇的两条对角线的交点，则下面结论中正确的是（ ）．    → → → → → →  Ａ ． 犃犅 ＋犆 犅 ＝ 犃 犆 Ｂ ． 犃犅 ＋犃 犇 ＝ 犃 犆   → → → → → → →  Ｃ．犃犇＋犆犇≠犅犇 Ｄ．犃犗＋犆犗＋犗犅＋犗犇≠０     ４．化简下列各式：    → → → →  （１）犃犅＋犅犆＋犆犇＋犇犃；    → → → → →  （２）犃犅＋犇犉＋犆犇＋犅犆＋犉犃；   → → → → →   （３）（犃犅＋犕犅）＋（犅犗＋犅犆）＋犗犕．   → → →   ５．在△犃犅犆中，求证：犃犅＋犅犆＋犃犆≠０．    ６．判断下列说法是否正确：   → → → →  （１）设点犗为四边形犃犅犆犇所在平面内一点，若犃犗＋犗犇＝犅犗＋犗犆，则      １１                        必修第二册 数学    四边形犃犅犆犇为平行四边形； （ ）   → → → →  （２）在矩形犃犅犆犇中，犃犅＋犅犆＝犃犇＋犅犃． （ ）        与实数的减法类似，我们定义，向量的减法是向量加法的逆运算．       若犫＋狓＝犪，则向量狓叫作犪与犫的差，记为犪－犫．求两个     向量差的运算，叫作向量的减法．       根据向量减法的定义和向量加法的三角形法则，我们可以得到     向量犪－犫的作图方法．     例３ 如图９ ２ ７（１），已知向量犪，犫不共线，求作向量犪－犫．         如果犪∥犫，怎样    作出犪－犫呢？           图９ ２ ７    →  作法 如图９ ２ ７（２），在平面内任取一点犗，作犗犃＝犪，    →  犗犅＝犫．     → → → →  因为犗犅＋犅犃＝犗犃，即犫＋犅犃＝犪，     →   所以 犅犃＝犪－犫．     这就是说，当向量犪，犫起点相同时，从犫的终点指向犪的终点的     向量就是犪－犫．     由向量加法的结合律可知，      ［犪＋（－犫）］＋犫＝犪＋［（－犫）＋犫］＝犪，    所以 犪－犫＝犪＋（－犫）．   这里，我们用到    了向量减法的定义． 这表明：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．      思 考 你能画图说明犪－犫＝犪＋（－犫）吗？     例４ 如图９ ２ ８，点犗是犃犅犆犇的两条对角线的交点，    → → → →  犃犅＝犪，犇犃＝犫，犗犆＝犮，求证：犫＋犮－犪＝犗犃．    → →  分析 要证犫＋犮－犪＝犗犃，只要证犫＋犮＝犗犃＋犪．     证明 因为四边形犃犅犆犇是平行四边形，   → →   所以 犇犃＝犆犅．    → → → → →  因为 犫＋犮＝犇犃＋犗犆＝犗犆＋犆犅＝犗犅，    → → → →  犗犃＋犪＝犗犃＋犃犅＝犗犅，  图９ ２ ８     １２                       ９  平面向量 第 章   →  所以 犫＋犮＝犗犃＋犪，     →  即犫＋犮－犪＝犗犃．    本题还可以通过     → → → → → →   犗犃＝犗犆＋犆犃＝犗犆＋犆犅＋犆犇     来证明，或者从     → → → → → → →   犮－犪＝犗犆－犃犅＝犗犆－犇犆＝犗犇＝犗犃＋犃犇     来证明．    你还可以用其他方法来证明吗？       思 考 任意一个非零向量是否一定可以表示为两个不共线的向量    的和？       练 习 １．如图，已知向量犪，犫，求作向量犪－犫．                  （第１题） （第２题）    → → → →   ２．如图，在犃犅犆犇中，犃犅＝犪，犃犇＝犫，用犪，犫表示向量犃犆，犇犅．   → → →  ３．已知犗犇＋犗犈＝犗犕，试判断下列结论是否正确：    → → → → → →  （１）犗犕－犗犈＝犗犇； （２）犗犕＋犇犗＝犗犈；   → → → → → →  （３）犗犇＋犈犗＝犗犕； （４）犇犗＋犈犗＝犕犗．     ４．化简：   → → → → → → → →  （１）犃犅＋犆犅＋犅犇－犃犇； （２）犗犃＋犗犆＋犅犗＋犆犗．    ５．若非零向量犪和犫互为相反向量，则下列说法中错误的是（ ）．     Ａ．犪∥犫 Ｂ．犪≠犫 Ｃ．狘犪狘≠狘犫狘 Ｄ．犫＝－犪   → → → →   ６．在△犃犅犆中，犇是犅犆的中点．若犃犅＝犮，犃犆＝犫，犅犇＝犪，犃犇＝犱，则    下列结论中成立的是 ．（填序号）     ①犱－犪＝犫；②犱－犪＝－犫；③犱－犪＝犮；④犱－犪＝－犮．          习题９．２（１）       → → →   感受·理解 １．设犃，犅，犆是平面内任意三点，求证：犃犅＋犅犆＋犆犃＝０．   ２．当向量犪，犫满足什么条件时，狘犪＋犫狘＝狘犪狘＋狘犫狘成立？     ３．已知犪，犫是两个不共线的向量．    （１）求作向量犪＋犫和犪－犫；    （２）向量犪，犫满足什么位置关系时，｜犪＋犫｜＝｜犪－犫｜？（不要求证明）      １３                        必修第二册 数学    ４．一质点从点犃出发，先向北偏东３０°方向运动了４ｃｍ到达点犅，再从点犅    向正西方向运动了３ｃｍ到达点犆，又从点犆向西南方向运动了４ｃｍ到达   → → → → → →  点犇，试画出向量犃犅，犅犆，犆犇以及犃犅＋犅犆＋犆犇．     ５．在正三角形犃犅犆中，下列各等式成立的是 ．（填序号）   → → → →  ①狘犃犅狘＋狘犅犆狘＝狘犅犆＋犆犃狘；   → → → →  ②狘犃犅＋犆犅狘＝狘犅犃＋犅犆狘；    → → → →  ③狘犃犅＋犃犆狘＝狘犆犃＋犆犅狘；   → → → → → →  ④狘犃犅＋犅犆＋犃犆狘＝狘犆犅＋犅犃＋犆犃狘．    ６．设向量犪表示“向东走３ｎｍｉｌｅ”，向量犫表示“向北偏东３０°走３ｎｍｉｌｅ”，则     犪＋犫表示什么？     ７．化简下列各式：   → → → →  （ １） － 犗 犃 ＋ 犗犅 － 犗 犆 － 犆 犗 ；   → → → →  （２）（犃犅＋犆犇）＋（犅犆－犃犇）．    → → → →  ８．在△犃犅犆中，若狘犃犅狘＝狘犃犆狘＝狘犃犅－犃犆狘，则∠犅犃犆＝ ．     ９．在△犃犅犆中，∠犆＝９０°，犃犆＝犅犆，则下列哪几个等式是成立的？   → → → →  （１）狘犆犃－犆犅狘＝狘犆犃＋犆犅狘；   → → → →  （２）狘犃犅－犃犆狘＝狘犅犃－犅犆狘；   → → → →   （３）狘犆犃－犅犃狘＝狘犆犅－犃犅狘；   → → → → → →  （４）狘犆犃＋犆犅狘２＝狘犃犅－犃犆狘２＋狘犅犃－犆犃狘２．   → → →  １０．如图，四边形犃犅犆犇的对角线犃犆与犅犇交于点犗，且犃犗＝犗犆，犅犗＝   →   （第１０题） 犗犇．求证：四边形犃犅犆犇是平行四边形．     思考·运用 １１．如图，一艘船从犃点出发，以２槡３ｋｍ／ｈ的速度向垂直于对岸的方向行驶，     同时，河水的流速为２ｋｍ／ｈ，求船实际航行速度的大小与方向（用与水流方     向的夹角表示）．    １２．飞机从甲地按南偏东１０°的方向飞行２０００ｋｍ到达乙地，再从乙地按北偏    西７０°的方向飞行２０００ｋｍ到达丙地，那么丙地在甲地的什么方向？丙地   （第１１题）   离甲地多远？   → → → → → →  １３．在四边形犃犅犆犇中，已知犃犅＝犇犆，狘犃犇－犃犅狘＝狘犅犆－犅犃狘，求证：四    边形犃犅犆犇是矩形．     １４．证明：当向量犪，犫不共线时，     （１）狘犪狘－狘犫狘＜狘犪＋犫狘＜狘犪狘＋狘犫狘；    （２）狘犪狘－狘犫狘＜狘犪－犫狘＜狘犪狘＋狘犫狘．    → → → →   探究·拓展 １５．已知犘为四边形犃犅犆犇所在平面内一点，且向量犘犃，犘犅，犘犆，犘犇满足   → → → →  等式犘犃＋犘犆＝犘犅＋犘犇．试根据题意作图，观察四边形犃犅犆犇的形状．你    发现四边形犃犅犆犇有什么特殊的性质？并说明你的依据．     １６．如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时，它位于点犃，这只“马”    第一步有几种可能的走法？试在图中画出来．它能否从点犃走到与它相邻的    点犅？它能否从任一交叉点出发，走到棋盘上的其他任何一个交叉点？     （第１６题）      １４                       ９  平面向量 第 章      ９．２．２ 向量的数乘         质点从点犗出发做匀速直线运动，如果经过１ｓ的位移对应的向    量用犪表示，那么，      ● 在同方向上经过３ｓ的位移所对应的向量应该怎样表示呢？     → → → → → → →  如图９ ２ ９，犗犃＝犃犅＝犅犆＝犪，则犗犆＝犗犃＋犃犅＋犅犆＝    →  犪＋犪＋犪．与实数的乘法类似，我们把犪＋犪＋犪记作３犪，即犗犆＝３犪．    由向量的几何意义可知，３犪的长度是犪的长度的３倍，即｜３犪｜＝     ３｜犪｜，３犪的方向与犪的方向相同．    → → →  同样，由图９ ２ ９可知，犇犉＝犇犈＋犈犉＝ （－犪）＋（－犪）＝     ２（－犪）．显然２（－犪）的长度是犪的长度的２倍，即｜２（－犪）｜＝２｜犪｜，    ２（－犪）的方向与犪的方向相反，于是２（－犪）＝－２犪．    一般地，实数λ与向量犪的积是一个向量，记作λ犪，它的长度和     方向规定如下：    图９ ２ ９  （１）狘λ犪狘＝狘λ狘狘犪狘．     （２）若犪≠０，则当λ＞０时，λ犪与犪方向相同；当λ＜０时，λ犪与   犪方向相反．     实数λ与向量犪相乘的运算，叫作向量的数乘．     特别地，当λ＝０时，０犪＝０；当犪＝０时，λ０＝０．    向量数乘λ犪的几何意义是：当λ＞０时，把向量犪沿着犪的相同    方向放大或缩小；当λ＜０时，把向量犪沿着犪的相反方向放大或缩     小（图９ ２ １０）．                     图９ ２ １０     设犪，犫为向量，λ， μ 为实数，可以验证向量的数乘满足下面的运     算律：     （１）λ（ μ犪）＝ （λμ ）犪；     （２）（λ＋μ ）犪＝λ犪＋μ犪；    （３）λ（犪＋犫）＝λ犪＋λ犫．    向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算．       例１ 如图９ ２ １１（１），已知向量犪和向量犫，求作向量－２．５犪     和向量２犪－３犫．      １５                        必修第二册 数学    作法 如图９ ２ １１（２）所示．                      图９ ２ １１     向量－２．５犪的长度是犪的长度的２．５倍，方向与犪的方向相反．    → →  以犗为起点，分别作犗犃＝２犪，犗犅＝３犫，连接犅犃，则     → → →  犅犃＝犗犃－犗犅＝２犪－３犫．      例２ 计算：      （１）３（犪－犫）－２（犪＋２犫）；    （２）２（２犪＋６犫－３犮）－３（－３犪＋４犫－２犮）．     解 （１）原式 ＝３犪－３犫－２犪－４犫＝犪－７犫．     （２）原式 ＝４犪＋１２犫－６犮＋９犪－１２犫＋６犮＝１３犪．      思 考 向量的数乘与实数的乘法有哪些相同点和不同点？       练 习 １．如图，已知向量犪，求作向量２犪，－３犪．            （第１题）     ２．计算：    （１）３（－４犪＋５犫）； （２）６（２犪－４犫）－（３犪－２犫）．     ３．如图，已知向量犪，犫，求作向量２犪－３犫．                 （第３题） （第４题）      ４．如图，已知向量犪，犫，求作向量：    （１）－２犪； （２）－犪＋犫； （３）２犪－犫．     ５．已知犲，犲是两个不共线的向量，向量犪＝犲＋２犲，犫＝３犲－５犲，求４犪－   １ ２ １ ２ １ ２  ３犫（用犲，犲表示）．   １ ２    ６．已知非零向量犪，求向量 １ 犪的模．   ｜犪｜   → →  ７．如图，在△犗犃犅中，犆是犃犅的中点．设犗犃＝犪，犗犅＝犫，试用犪，犫表   →  （第７题） 示犗犆．      １６                       ９  平面向量 第 章    例３ 如图９ ２ １２，犇，犈分别为△犃犅犆的边犃犅，犃犆的中点，    → → → →  求证：犅犆与犇犈共线，并用犅犆表示犇犈．     证明 因为犇，犈分别为犃犅，犃犆的中点，     所以 犇犈∥犅犆，     → →  即犅犆与犇犈共线．     １ → →  又犇犈＝ 犅犆，且犇犈与犅犆同向，  ２  图９ ２ １２    → １→  设犪≠０，若犫＝ 所以 犇犈＝ 犅犆．  ２    λ犪（λ∈犚），则称向量  从上面的例３中我们看到，如果两个向量共线，那么其中的一个   犫可以用非零向量犪   向量可以由另一个（非零）向量的数乘来表示，即线性表示．  线性表示．   一般地，对于两个向量犪（犪≠０），犫，有如下的向量共线定理：       设犪为非零向量，如果有一个实数λ，使     犫＝λ犪，     那么犫与犪是共线向量；反之，如果犫与犪是共线向量，那么有且     只有一个实数λ，使     犫＝λ犪．       证明 根据向量数乘的定义可知，对于向量犪（犪≠０）和犫，如果    有一个实数λ，使犫＝λ犪，那么犫与犪是共线向量．    反过来，如果向量犫与犪（犪≠０）是共线向量，那么     狘犫狘  当犫与犪同方向时，令λ＝ ；   狘犪狘    狘犫狘  当犫与犪反方向时，令λ＝－ ；   狘犪狘    当犫＝０时，令λ＝０．     从而有一个实数λ，使犫＝λ犪．     假设有两个实数λ，λ′，使犫＝λ犪，犫＝λ′犪，则     犫－犫＝ （λ－λ′）犪＝０，      狘λ－λ′狘狘犪狘＝０．      因为狘犪狘≠０，所以 λ－λ′＝０，     即 λ＝λ′．      故有且仅有一个实数λ，使犫＝λ犪．      例４ 如图９ ２ １３，已知犗为直线犃犅外一点，点犆在直线犃犅   → →   上，且犃  犆 → ＝λ犆  犅 → （λ≠－１）．求证：犗  犆 → ＝ 犗犃＋λ犗犅 ．   图９ ２ １３ １＋λ      １７                        必修第二册 数学  → → → → →   分析 将已知条件中的犃犆，犆犅用犗犃，犗犅，犗犆来表示，进而得  为了方便起见，  → → →  出犗犆用犗犃与犗犅表示的式子．  １ 犪   有时将 λ 犪写成 λ 证明 因为犃  犆 → ＝犗  犆 → －犗  犃 → ，犆  犅 → ＝犗  犅 → －犗  犆 → ，     （λ≠０）． → → → → → →   又犃犆＝λ犆犅，所以犗犆－犗犃＝λ（犗犅－犗犆），    → → →  即 （１＋λ）犗犆＝犗犃＋λ犗犅．      又因为λ≠－１，即１＋λ≠０，     → →  当λ＝１时，你能 → 犗犃＋λ犗犅   所以 犗犆＝ ．   得到什么结论？ １＋λ     思 考 上例的结论可写成如下形式：犗  犆 → ＝ １ 犗  犃 → ＋ λ 犗  犅 → ，这表   １＋λ １＋λ     → → →  明：起点为犗，终点为直线犃犅上一点犆的向量犗犆可以用犗犃，犗犅表    → →  示．那么两个不共线的向量犗犃，犗犅可以表示平面内任一向量吗？        练 习 １．已知犪，犫都是非零向量，且２犪＋３犫＝０，求证：向量犪，犫共线．    ２．设λ为实数，已知犲是单位向量，向量犪的模为２，犪＝λ犲，求λ的值．    ３．已知犲，犲是两个不共线的向量，犪＝２犲－２犲，犫＝－３（犲－犲），求证：犪与   １ ２ １ ２ ２ １  犫是共线向量．   →  ４．如图，已知点犆是直线犃犅上一点，且犃犅＝２犅犆，试用犃犅分别表示   → →   犃犆，犆犅．   （第４题）  犆犇 犃犈 １ → → →  ５．如图，在 △犃犅犆中， ＝ ＝ ，记犅犆＝犪，犆犃＝犫，求证：犇犈＝  犇犃 犈犅 ２    １  （犫－犪）．  ３                 （第５题） （第６题）    → →  ６．如图，在△犗犃犅中，犆是犃犅上一点，且犆犅＝２犃犆．设犗犃＝犪，犗犅＝犫，   →  试用犪，犫表示犗犆．    ７．已知向量犪，犫满足犪＝λ犫，其中λ是实数，求证：向量犪，犫共线．         习题９．２（２）        感受·理解 １．计算：    （１）３（５犪－３犫）－２（６犪＋犫）；     （２）４（犪－３犫＋５犮）－２（－３犪－６犫＋８犮）．    ２．已知向量犪，犫，且３（狓＋犪）＋２（狓－２犪）－４（狓－犪＋犫）＝０，求向量狓．   → →  ３．已知犇，犈，犉分别为△犃犅犆的边犅犆，犆犃，犃犅的中点，犅犆＝犪，犆犃＝      １８                       ９  平面向量 第 章    → → １ → １  犫．给出下列五个命题：①犃犅＝犪＋犫；②犅犈＝犪＋ 犫；③犆犉＝－ 犪＋  ２ ２     １ 犫；④犃  犉 → ＝－ １ 犪－ １ 犫；⑤犃  犇 → ＋犅  犈 → ＋犆  犉 → ＝０．其中正确的命题是   ２ ２ ２    ．（填序号）   → →  ４．如图，在正方形犃犅犆犇中，若犈是犃犅的中点，犃犅＝犪，犃犇＝犫，试用犪，   →   犫表示犆犈．                       （第４题） （第５题）     → →  ５．如图，点犘，犙是线段犃犅的三等分点，设犗犃＝犪，犗犅＝犫，试用犪，犫分别表   → →  示犗犘，犗犙．   → →  ６．已知犕犘＝４犲＋２犲，犘犙＝２犲＋犲，求证：犕，犘，犙三点共线．   １ ２ １ ２  ７．如图，在任意四边形犃犅犆犇中，犈，犉分别是犃犇，犅犆的中点．   → → →   求证：犃犅＋犇犆＝２犈犉．   ８．设λ为实数，已知点犘在直线犕犖上，且狘犕  犘 → 狘＝２狘犘  犖 → 狘，犕  犘 → ＝λ犘  犖 → ，   （第７题）   求λ的值．    → → →  思考·运用 ９．已知犪，犫是两个不共线的向量，犗犃＝犪＋犫，犗犅＝２犪＋３犫，犗犆＝３犪＋５犫，    你能判断犃，犅，犆三点之间的位置关系吗？为什么？   → → →  １０．在四边形犃犅犆犇中，已知犃犅＝犪＋２犫，犅犆＝－４犪－犫，犆犇＝－５犪－３犫，     其中犪，犫是不共线的向量，试判断四边形犃犅犆犇的形状．  → → → → →  １１．设犪，犫均为实数，已知犗犃，犗犅不共线，点犘满足犗犘＝犪犗犃＋犫犗犅，     犪＋犫＝１，求证：犃，犅，犘三点共线．    １  １２．如图，犇，犈，犉分别是△犃犅犆的边犅犆，犆犃，犃犅上的点，且犃犉＝ 犃犅，  ２    １ １ → → →   犅犇＝ 犅犆，犆犈＝ 犆犃．设犃犅＝犿，犆犃＝狀，试用犿，狀分别表示犇犈，  ３ ４  → →   犈犉，犉犇．                  （第１２题）      探究·拓展 １３．证明：如果存在不全为０的实数狊，狋，使得狊犪＋狋犫＝０，那么犪与犫是共线向    量；如果犪与犫不共线，且狊犪＋狋犫＝０，那么狊＝狋＝０．   → → → →  １４．在第５题中，当点犘，犙三等分线段犃犅时，有犗犘＋犗犙＝犗犃＋犗犅．如果点    犃，犃，…，犃 是犃犅的狀（狀≥３）等分点，你能得到什么结论？请证明你   １ ２ 狀－１  的结论．      １９                        必修第二册 数学      ９．２．３ 向量的数量积         前面我们学习了向量的线性运算：加法、减法和数乘，它们运算    的结果还是一个向量．那么，      ● 向量与向量能否“相乘”呢？     先看一个实际问题：一个物体在力犉的作用下发生了位移狊，那     么该力对此物体所做的功为多少？     我们知道，如果力犉与物体位移狊的夹角为θ（图９ ２ １４），那    么犉所做的功犠应为      犠＝狘犉狘狘狊狘ｃｏｓθ．     图９ ２ １４ 如果把功犠看成两个向量犉与狊的某种运算结果，那么这个结     果是一个数量，它不仅与两个向量的长度有关，而且还与这两个向量    的夹角有关．这是一种新的运算．         已知两个非零向量犪和犫，它们的夹角是θ，我们把数量    狘犪狘狘犫狘ｃｏｓθ叫作向量犪和犫的数量积（ｓｃａｌａｒｐｒｏｄｕｃｔ），记作   数量积亦称为   “内积”或“点积”． 犪·犫，即     犪·０＝０·犪＝０  犪·犫＝狘犪狘狘犫狘ｃｏｓθ．   不是零向量，而０犪＝    ０是零向量． 我们规定：零向量与任一向量的数量积为０．        可见，前面提到的力所做的功犠，就是力犉与在其作用下物体产    生的位移狊的数量积犉·狊．     根据向量数量积的定义，两个非零向量犪和犫的夹角θ，可以由      犪·犫  ｃｏｓθ＝  狘犪狘狘犫狘    求得．     根据定义，还可以得到      犪⊥犫犪·犫＝０（犪，犫是两个非零向量），      犪·犪可以简写为 犪·犪＝狘犪狘２ 或狘犪狘＝槡犪·犪．     犪２，所以犪·犪＝犪２ ＝ 例１ 已知向量犪与犫的夹角为θ，狘犪狘＝２，狘犫狘＝３，分别在     狘犪狘２． 下列条件下求犪·犫：     （１）θ＝１３５°； （２）犪∥犫； （３）犪⊥犫．     解 （１）犪·犫＝狘犪狘狘犫狘ｃｏｓθ＝２×３×ｃｏｓ１３５°＝－３槡２．     （２）当犪∥犫时，θ＝０°或１８０°．      ２０                       ９  平面向量 第 章    若θ＝０°，则犪·犫＝狘犪狘狘犫狘＝６；    若θ＝１８０°，则犪·犫＝－狘犪狘狘犫狘＝－６．    （３）当犪⊥犫时，犪·犫＝０．     → →  设犪，犫是两个非零向量，如图９ ２ １５，犗犃表示向量犪，犗犅表示    →  向量犫，过点犃作犗犅所在直线的垂线，垂足为点犃．我们将上述由向   １  → →  量犪得到向量犗犃 的变换称为向量犪向向量犫投影，向量犗犃 称为向   １ １  量犪在向量犫上的投影向量（ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｖｅｃｔｏｒ）．                       图９ ２ １５     可以看到，通过投影，由向量犪得到了与向量犫共线和垂直的两    → → → →  个向量犗犃 和犃犃，三个向量犪，犗犃 和犃犃构成一个直角三角形．下   １ １ １ １   面我们考察投影向量与向量的数量积之间的关系．    设向量犪，犫的夹角为θ，由图９ ２ １５可知：    → → 犫 犫   犫 为向量犫方 当θ为锐角时，犗犃 ＝狘犗犃狘 ＝ （狘犪狘ｃｏｓθ） ；   ｜犫｜ １ １ 狘犫狘 狘犫狘   向上的单位向量． → → 犫 犫   当θ为钝角时，犗犃 ＝－狘犗犃狘 ＝ （狘犪狘ｃｏｓθ） ．  １ １ 狘犫狘 狘犫狘    π → 犫   可以验证，当θ＝０， ，π时，犗犃 ＝ （狘犪狘ｃｏｓθ） 均成立．  ２ １ 狘犫狘    综上，对于向量犪，犫，向量犪在向量犫上的投影向量为     犫   （狘犪狘ｃｏｓθ） ．  狘犫狘     因为 犗  犃 → ·犫＝ （狘犪狘ｃｏｓθ） 犫 ·犫＝ （狘犪狘ｃｏｓθ） 犫２   １ 狘犫狘 狘犫狘     ＝ （狘犪狘ｃｏｓθ）· 狘犫狘２ ＝狘犪狘狘犫狘ｃｏｓθ，   狘犫狘     所以    →  犪·犫＝犗犃·犫．  １    因此，向量犪和犫的数量积就是向量犪在向量犫上的投影向量与    向量犫的数量积．     设向量犪，犫，犮和实数λ，向量的数量积满足下列运算律：       （１）犪·犫＝犫·犪；   向量的数量积满   （２）（λ犪）·犫＝犪·（λ犫）＝λ（犪·犫）＝λ犪·犫；  足结合律吗？   （３）（犪＋犫）·犮＝犪·犮＋犫·犮．       ２１                        必修第二册 数学    由向量的数量积的定义不难验证运算律（１）（２）的正确性．    对运算律（３），我们用投影向量的概念进行证明．如图９ ２ １６，    任取一点犗，作     → → →   犗犃＝犪，犃犅＝犫，犗犆＝犮，   →   则 犗犅＝犪＋犫．     图９ ２ １６ 设犃犃 １ ⊥犗犆于犃 １ ，犅犅 １ ⊥犗犆于犅 １ ，则向量犪，犫，犪＋犫在向量   → → →   犮上的投影向量分别为犗犃，犃犅和犗犅．当点犗，犃，犅，犆按从左  １ １ １ １ １ １   到右的顺序排列时（图９ ２ １６），有    → → → →  （犪＋犫）·犮＝犗犅·犮＝狘犗犅狘狘犮狘＝ （狘犗犃狘＋狘犃犅狘）狘犮狘   １ １ １ １ １  → → → →   ＝狘犗犃狘狘犮狘＋狘犃犅狘狘犮狘＝犗犃·犮＋犃犅·犮  １ １ １ １ １ １   ＝犪·犮＋犫·犮．      即 （犪＋犫）·犮＝犪·犮＋犫·犮．     对犗，犃，犅，犆的其他排列顺序，上式也成立．  １ １    例２ 已知犲，犲是夹角为６０°的两个单位向量，犪＝犲＋２犲，   １ ２ １ ２   犫＝５犲－４犲．求证：犪⊥犫．   １ ２   分析 要证明两个非零向量垂直，只需证明它们的数量积为０．    １  解 依题意，得犲２＝犲２＝１，犲·犲＝１×１×ｃｏｓ６０°＝ ．   １ ２ １ ２ ２     因为 犪·犫＝ （犲＋２犲）·（５犲－４犲）   １ ２ １ ２  １   ＝５犲２－８犲２＋６犲·犲＝５－８＋６× ＝０，  １ ２ １ ２ ２      所以 犪⊥犫．      练 习 １．设向量犪与犫的夹角为θ，狘犪狘＝１，狘犫狘＝２，分别根据下列所给θ的值，求     犪·犫：    （１）θ＝３０°； （２）θ＝４５°； （３）θ＝９０°．   → →  ２．分别根据下列条件，求犃犅·犃犆．    （１）如图（１），在正三角形犃犅犆中，犃犅＝１；    （２）如图（２），在正方形犃犅犆犇中，犃犅＝１；     （３）如图（３），在菱形犃犅犆犇中，犃犅＝１，∠犅犃犇＝６０°．                    （第２题）     ３．已知狘犪狘＝５，狘犫狘＝槡２，犪·犫＝５，求犪与犫的夹角θ．    ４．已知狘犪狘＝２，犪·犫＝１，且犪与犫的夹角θ为６０°，求｜犫｜．      ２２                       ９  平面向量 第 章    ５．已知狘犪狘＝３，狘犫狘＝５，设犪，犫的夹角为θ，当θ分别等于６０°，１３５°时，求    犪在犫上的投影向量，并图示其意义．    ６．证明：     （１）（犪＋犫）２＝犪２＋２犪·犫＋犫２； （２）（犪＋犫）·（犪－犫）＝犪２－犫２．   ７．已知狘犪狘＝１，狘犫狘＝２，且犪与犫的夹角θ为６０°，求：     （１）（犪＋犫）２； （２）｜犪－犫｜．   ８．已知犪，犫，犮是三个非零向量，试判断下列结论是否正确：     （１）若犪·犫＝狘犪狘狘犫狘，则犪∥犫；    （２）若犪·犮＝犫·犮，则犪＝犫．          习题９．２（３）         感受·理解 １．设犪与犫的夹角为θ，狘犪狘＝２，狘犫狘＝３，分别根据下列所给θ的值求犪·犫：    （１）θ＝６０°； （２）θ＝１３５°； （３）θ＝１５０°．    ２．已知狘犪狘＝２，狘犫狘＝３，且犪与犫的夹角为１２０°，求犪·犫和狘犪＋犫狘．     ３．设向量犪，犫满足狘犪狘＝狘犫狘＝１，狘３犪－２犫狘＝３，求狘３犪＋犫狘．    ４．已知狘犪狘＝槡６，狘犫狘＝槡２，犪·犫＝－３，求犪与犫的夹角θ．     ５．已知狘犪狘＝１，狘犫狘＝槡３，且犪与犫的夹角为３０°，求（犪－２犫）２．    ６．已知狘犪狘＝２，狘犫狘＝３，且犪⊥犫，求（犪＋犫）·（２犪－犫）的值．    ７．已知犲，犲是夹角为６０°的两个单位向量，犪＝３犲－２犲，犫＝２犲－３犲．   １ ２ １ ２ １ ２  （１）求犪·犫；     （２）求证：（犪＋犫）⊥（犪－犫）．    ８．设犪，犫都是非零向量，且狘犪＋犫狘＝狘犪－犫狘，求证：犪⊥犫．    ９证明：狘犪＋犫狘２＋狘犪－犫狘２＝２（狘犪狘２＋狘犫狘２）．如何构造一个图形解释这    个公式的几何意义？  （第１０题）   １０．如图，在犃犅犆犇中，犃犅＝２，犃犇＝１，∠犅犃犇＝６０°．求：   → →   （１）犃犅·犃犆的值； （２）ｃｏｓ∠犅犃犆．     思考·运用 １１．设犪是非零向量，犪·犫＝犪·犮，且犫≠犮，求证：犪⊥（犫－犮）．    １２．设犪，犫是两个非零向量，且（犪＋３犫）⊥（７犪－５犫），（犪－４犫）⊥（７犪－２犫），求犪    与犫的夹角．    １３．设犽为实数，已知向量犪与犫不共线，狘犪狘＝３，狘犫狘＝４，当犽为何值时，向    量犪＋犽犫与犪－犽犫垂直？   → → → →   １４．设犕，犘，犙为平面内三点，求证狘犕犘·犕犙狘≤狘犕犘狘狘犕犙狘，并确定等    号成立的条件．    探究·拓展 １５．在△犃犅犆中，设犃  犅 → ＝犮，犅  犆 → ＝犪，犆  犃 → ＝犫，且犪·犫＝犫·犮＝犮·犪，判断     △犃犅犆的形状．                    ２３                              ９．３      向量基本定理及坐标表示          木块放置在斜面上，设犉是垂直于斜面向下的力，犉是平行于斜  １ ２   面向下的力，则犌＝犉＋犉（图９ ３ １），即重力犌分解为力犉和   １ ２ １   犉，从而犌可以用力犉和犉来表示．这里，犉和犉是不共线的两   ２ １ ２ １ ２   个力．                 图９ ３ １      那么，       ● 平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？         ９．３．１ 平面向量基本定理         我们知道，设犲为非零向量，对于任意实数λ，λ犲是与犲共线的向    量．反过来，对于任一与犲共线的向量犪，存在唯一的实数λ，使犪＝λ犲．     如图９ ３ ２，设犲，犲是平面内两个不共线的向量，对于任意实   １ ２   数λ，λ，根据向量的运算法则，我们很容易作出平面内一个新的向   １ ２   量λ犲＋λ犲．反过来，  １ １ ２ ２     ● 对于平面内的任一向量犪，是否存在实数λ，λ，使犪＝λ犲＋   １ ２ １ １  λ犲成立呢？   ２ ２     → →  如图９ ３ ３，在平面内任取一点犗，作犗犃＝犲，犗犅＝犲，  １ ２   →  犗犆＝犪．过点犆作平行于犗犅的直线，交直线犗犃于点犕；过点犆作    平行于犗犃的直线，交直线犗犅于点犖，则有且只有一对实数λ，λ，   １ ２   → →  使得犗犕＝λ犲，犗犖＝λ犲．   １１ ２２                    图９ ３ ２ 图９ ３ ３    ２４                       ９  平面向量 第 章    因为    → → →  犗犆＝犗犕＋犗犖，      所以     犪＝λ犲＋λ犲．  １１ ２２     于是，我们有下面的定理：       平面向量基本定理 如果犲，犲是同一平面内两个不共线   １ ２   的向量，那么对于这一平面内的任一向量犪，有且只有一对实数     λ，λ，使  １ ２    犪＝λ犲＋λ犲．   １１ ２２     我们把两个不共线的向量犲，犲叫作这个平面的一组基底（ｂａｓｅ）．   １ ２   由平面向量基本定理知，平面内任一向量犪可以用一组基底     犲，犲表示成犪＝λ犲＋λ犲的形式．我们称λ犲＋λ犲为向量犪的分  １ ２ １１ ２２ １１ ２２   解．当犲，犲所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量犪的正交分   １ ２  解（ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ）．       思 考 平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述   形式上有什么区别和联系？       例１ 如图９ ３ ４，犃犅犆犇的对角线犃犆和犅犇交于点犕，   → → → → → →   犃犅＝犪，犃犇＝犫，试用基底犪，犫表示犕犆，犕犃，犕犅和犕犇．                   图９ ３ ４     → → → → １→  分析 利用关系式犃犆＝犃犅＋犃犇和犕犆＝ 犃犆来求解．  ２    → → →  解 犃犆＝犃犅＋犃犇＝犪＋犫．     因为平行四边形的对角线互相平分，所以     → １→ １ １  犕犆＝ 犃犆＝ 犪＋ 犫．  ２ ２ ２     → → １ １  从而 犕犃＝－犕犆＝－ 犪－ 犫，  ２ ２     → １→ １ → → １ １   犕犅＝ 犇犅＝ （犃犅－犃犇）＝ 犪－ 犫，  ２ ２ ２ ２     → → １ １  犕犇＝－犕犅＝ 犫－ 犪．   ２ ２      ２５                        必修第二册 数学    例２ 如图９ ３ ５，质量为犿的物体静止地放在斜面上，斜面     与水平面的夹角为θ，求斜面对物体的摩擦力犳．                      图９ ３ ５      解 物体受到三个力：    重力犌（方向竖直向下，大小为犿犵Ｎ），斜面的支持力犖（方向与斜     面垂直向上，大小记为狆Ｎ），摩擦力犳（方向与斜面平行向上，大小记    为犳Ｎ）．     因为物体静止，所以上述三个力的合力为零，即      犌＋犖＋犳＝０，      则 －犳＝犌＋犖，       所以 （－犳）·（－犳）＝ （犌＋犖）·（－犳）＝犌·（－犳）    （ ）   π  ＝狘犌狘狘－犳狘ｃｏｓ －θ，   ２      即 狘－犳狘２＝狘犌狘狘－犳狘ｓｉｎθ，      从而 狘－犳狘＝狘犌狘ｓｉｎθ＝犿犵ｓｉｎθ（Ｎ）．       答 斜面对于物体的摩擦力犳的大小为犿犵ｓｉｎθＮ，方向与斜面    平行向上．      →  例３ 设犲，犲 是平面内的一组基底，犃犅＝３犲－２犲，   １ ２ １ ２  → →  犅犆＝４犲＋犲，犆犇＝８犲－９犲，求证：犃，犅，犇三点共线．  １ ２ １ ２   →  分析 欲证犃，犅，犇三点共线，只需证明共起点的两个向量犃犅    → → →  与犃犇共线，即证明犃犇＝λ犃犅．    → → → →  证明 因为犃犇＝犃犅＋犅犆＋犆犇     ＝ （３犲－２犲）＋（４犲＋犲）＋（８犲－９犲）   １ ２ １ ２ １ ２   →  ＝１５犲－１０犲＝５（３犲－２犲）＝５犃犅，   １ ２ １ ２   → →   能否选择其他 所以犃犇与犃犅共线．    公共起点来证明？ 又因为犃  犇 → 与犃  犅 → 有公共的起点犃，所以犃，犅，犇三点共线．           ２６                       ９  平面向量 第 章    练 习 １．如 图 ，已 知 向 量 犲 ，犲 ，求 作 下 列 向 量 ：  １ ２   （１）３犲＋２犲； （２）２犲－犲．  １ ２ １ ２   ２．若犲，犲是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的   １ ２  是（ ）．    Ａ．犲＋犲和犲－犲 Ｂ．３犲－２犲和４犲－６犲   １ ２ １ ２ １ ２ ２ １   （第１题） Ｃ．犲＋３犲和犲＋３犲 Ｄ．犲和犲＋犲  １ ２ ２ １ ２ １ ２  ３．设犪，犫是两个不共线的向量，若实数λ，μ 满足３λ犪＋（１０－μ）犫＝２λ犫＋     （２μ＋１）犪，则λ＝ ，μ＝ ．    ４．设犽为实数，若犲，犲是两个不共线的向量，满足犲＋犽犲与犽犲＋犲共线，则  １ ２ １ ２ １ ２   犽＝ ．          习题９．３（１）        感受·理解 １．如图，已知向量犲，犲，求作下列向量：   １ ２   （１）－２犲＋３犲；   １ ２  （２）２．５犲＋１．５犲．   １ ２                   （第１题） （第２题）    → →  ２．如图，犃犅犆犇的对角线犃犆和犅犇交于点犗，设犗犃＝犪，犗犅＝犫，试用基   → →  底犪，犫表示犅犆和犇犆．   → → →   ３．在△犃犅犆中，犇，犈分别是犃犅，犃犆的中点，用向量犃犅，犃犆表示向量犇犈．    → → →  思考·运用 ４．设犲，犲是平面内的一组基底，犃犅＝３犲＋２犲，犃犆＝４犲－犲，犃犇＝   １ ２ １ ２ １ ２   ５犲－４犲，求证：犅，犆，犇三点共线．  １ ２  →  ５．如图，犘，犙分别是四边形犃犅犆犇的对角线犃犆与犅犇的中点，设犅犆＝犪，    → →  犇犃＝犫，且犪，犫不是共线向量，试用基底犪，犫表示向量犘犙．                         （第５题） （第６题）    → → → → → →   探究·拓展 ６．如图，犗犃，犗犅是两个不共线的向量，且犃犘＝狋犃犅（狋∈犚），试用犗犃，犗犅表示   →  向量犗犘．         ２７                        必修第二册 数学      ９３２ 向量坐标表示与运算         在平面直角坐标系内，任意一点犘都可以用有序实数对（狓，狔）    →  来表示，而点犘唯一对应着以原点犗为起点，犘为终点的向量犗犘．自    然地，我们会想到，      ● 平面向量犪也能用一对有序实数来表示吗？     １向量的坐标表示     如图９ ３ ６，在平面直角坐标系中，分别取与狓轴、狔轴正方向     相同的两个单位向量犻，犼作为基底，对于平面内的向量犪，由平面向量    基本定理可知，有且只有一对有序实数（狓，狔），使得犪＝狓犻＋狔犼．  狓犻，狔犼分别为向    量犪在向量犻，犼上的    投影向量．                  图９ ３ ６ 图９ ３ ７      我们把有序实数对（狓，狔）称为向量犪的（直角）坐标，记作      犪＝ （狓，狔）．      → → →  如图９ ３ ７，作犗犃＝犪，即有犗犃＝狓犻＋狔犼，则犗犃的坐标   →  （狓，狔）就是终点犃的坐标；反过来，点犃的坐标（狓，狔）就是向量犗犃     的坐标．       例１ 如图９ ３ ８，已知犗是坐标原点，点犃在第一象限，    → →  ｜犗犃｜＝４槡３，∠狓犗犃＝６０°．求向量犗犃的坐标．     解 设点犃（狓，狔），则       狓＝４槡３ｃｏｓ６０°＝２槡３，     狔＝４槡３ｓｉｎ６０°＝６，     图９ ３ ８  →  即犃（２槡３，６），所以犗犃＝ （２槡３，６）．        ２向量线性运算的坐标表示     当向量用坐标表示时，向量的和、差以及向量数乘也都可以用相    应的坐标来表示．     设犪＝ （狓，狔），犫＝ （狓，狔），那么  １ １ ２ ２     ２８                       ９  平面向量 第 章    犪＋犫＝ （狓，狔）＋（狓，狔）  １ １ ２ ２   ＝ （狓犻＋狔犼）＋（狓犻＋狔犼）  １ １ ２ ２   ＝ （狓＋狓）犻＋（狔＋狔）犼   １ ２ １ ２   ＝ （狓＋狓，狔＋狔）．  １ ２ １ ２    同理得     犪－犫＝ （狓－狓，狔－狔），λ犪＝ （λ狓，λ狔）．   １ ２ １ ２ １ １   于是，我们有         已知向量犪＝ （狓，狔），犫＝ （狓，狔）和实数λ，那么  １ １ ２ ２    犪＋犫＝ （狓＋狓，狔＋狔），   １ ２ １ ２    犪－犫＝ （狓－狓，狔－狔），   １ ２ １ ２    λ犪＝ （λ狓，λ狔）．  １ １      如图９ ３ ９，若犃（狓，狔），犅（狓，狔），则   １ １ ２ ２   → → →   犃犅＝犗犅－犗犃    ＝ （狓，狔）－（狓，狔）   ２ ２ １ １  ＝ （狓－狓，狔－狔）．   ２ １ ２ １    这就是说，一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的    坐标．                             图９ ３ ９ 图９ ３ １０     例２ 如图９ ３ １０，已知犃（－１，３），犅（１，－３），犆（４，１），     → → → →  犇（３，４），求向量犗犃，犗犅，犃犗，犆犇的坐标．  四边形犗犆犇犃是   → →  平行四边形吗？ 解 犗犃＝ （－１，３），犗犅＝ （１，－３），    → →  犃犗＝－犗犃＝ （１，－３），    →  犆犇＝ （３，４）－（４，１）＝ （－１，３）．      例３ 用向量的坐标运算解９．３．１节的例２．     解 如图９ ３ １１，记方向垂直于斜面向下、大小为１Ｎ的力为     犲，方向平行于斜面向下、大小为１Ｎ的力为犲．以犲，犲为基底建立平  １ ２ １ ２     ２９                        必修第二册 数学    面直角坐标系，得犖，犳，犌三个力的坐标分别为                       图９ ３ １１     犖＝ （－狆，０），犳＝ （０，－犳），犌＝ （犿犵ｃｏｓθ，犿犵ｓｉｎθ）．      由犌＋犖＋犳＝０，得      （犿犵ｃｏｓθ，犿犵ｓｉｎθ）＋（－狆，０）＋（０，－犳）＝（０，０），     从而有犿犵ｓｉｎθ－犳＝０，即犳＝犿犵ｓｉｎθ．     答 斜面对于物体的摩擦力犳的大小为犿犵ｓｉｎθＮ，方向与斜面    平行向上．      例４ 已知犘（狓，狔），犘（狓，狔），犘是直线犘犘 上一点，   １ １ １ ２ ２ ２ １ ２  → →  且犘犘＝λ犘犘（λ≠－１），求点犘的坐标．   １ ２   解 设犘（狓，狔），则     →  犘犘＝ （狓－狓，狔－狔），   １ １ １    犘  犘 → ＝ （狓－狓，狔－狔）．   ２ ２ ２   → →  由犘犘＝λ犘犘，得   １ ２    （狓－狓，狔－狔）＝λ（狓－狓，狔－狔），  １ １ ２ ２    于是     烄 狓－狓＝λ（狓－狓），  １ ２  烅   烆狔－狔＝λ（狔－狔）．  １ ２    因为λ≠－１，所以     这个公式叫作线 狓＋λ狓   烄狓＝ １ ２，  １＋λ  段定比分点的坐标公  烅   狔＋λ狔   式．试与９．２．２节的 烆 狔＝ １ １＋λ ２．   例４进行比较． （ ）   狓＋λ狓 狔＋λ狔  因此，点犘的坐标为 １ ２， １ ２．   １＋λ １＋λ    当λ＝１时，就得到线段犘犘 的中点犕（狓，狔）的坐标公式   １ ２   狓＋狓  烄狓＝ １ ２，   ２   烅   狔＋狔   烆 狔＝ １ ２ ２．      ３０                       ９  平面向量 第 章    练 习 １．若犪＝（－１，－２），犫＝（３，０），则    （ １） － 犪 ＝ ； （ ２） － 犫 ＝ ；    （３）犪＋犫＝ ； （４）犪－犫＝ ；     （５）２犪－３犫＝ ； （６）－３犪＋２犫＝ ．   →   ２．在平面直角坐标系中，若犃（－２，３），犅（３，２），则犃犅＝ ．   →  ３．已知点犅（３，４），犃犅＝（５，５），求点犃的坐标．   → →  ４．已知犗是坐标原点，点犃在第二象限，且狘犗犃狘＝２，∠狓犗犃＝１５０°，求犗犃     的坐标．    ５．在平面直角坐标系中，△犃犅犆的三个顶点是犃（３，２），犅（－３，１），    犆（１，－１），犇是犅犆的中点，求犃  犇 → 的坐标．     ６．已知作用在原点的三个力犉＝（１，２），犉＝（－２，３），犉＝（－１，－４），   １ ２ ３   求它们的合力的坐标．    ７．设狓，狔为实数，已知点犃（１，２），犅（３，２），向量犪＝（狓＋３，狓－３狔－４）与   →  犃犅相等，求狓，狔的值．    → → →  ８．如图，已知犗是坐标原点，犃（２，２），犅（－４，８），且犃犅＋３犅犆＝０，求犗犆    （第８题） 的坐标．       习题９．３（２）         感受·理解 １．已知向量犪＝（－３，４），犫＝（５，２），求犪＋犫，犪－犫，２犪－３犫．    ２．已知向量犪及其起点犃的坐标，求终点犅的坐标：     （１）犪＝（４，５），犃（２，３）；    （２）犪＝（－３，－５），犃（３，７）．   → → → →  ３．已知犃犅＝（１，２），犅犆＝（３，５），犆犇＝（－２，－２），求犃犇的坐标．   → → → →   ４．设犿，狀为实数，若犃犅＝（２，３），犅犆＝（犿，狀），犆犇＝（－１，４），犇犃＝   （－５，－３），求犿，狀的值．     ５．已知点犃（－３，－２），犅（５，６），线段犃犅的中点坐标为 ．   → →  ６．已知点犃（７，１），犅（－２，－４），且犃犆＝３犃犅，求点犆的坐标．   → → → →  ７．已知点犗（０，０），犃（１，３），犅（－２，４），且犗犃′＝２犗犃，犗犅′＝３犗犅，   →   求犃′，犅′两点及犃′犅′的坐标．    ８．已知四边形犃犅犆犇的顶点分别为犃（２，１），犅（－１，３），犆（３，４），犇（６，２），    求证：四边形犃犅犆犇是平行四边形．    → → →  思考·运用 ９．已知点犃（２，３），犅（５，４），犆（７，１０），且点犘满足犃犘＝犃犅＋λ犃犆（λ∈犚），     当λ为何值时，点犘    （１）在直线狔＝狓上？    （２）在第四象限？     １０．已知向量犪＝（３，－２），犫＝（－２，１），犮＝（７，－４），试用犪，犫作为基底表    示犮．    → → →   探究·拓展 １１．已知点犃（３，１），犅（－１，３），犗是坐标原点，点犆满足犗犆＝α犗犃＋β犗犅，   其中α，β∈犚，且α＋β＝１，求点犆的坐标狓，狔满足的关系式．      ３１                        必修第二册 数学    ３．向量数量积的坐标表示    若两个向量为犪＝（狓，狔），犫＝（狓，狔），如何用犪，犫的坐标来表   １ １ ２ ２  示它们的数量积犪·犫？      设犻，犼分别是与狓轴、狔轴正方向相同的单位向量，则      犻·犻＝１，犼·犼＝１，犻·犼＝犼·犻＝０．       因为 犪＝狓犻＋狔犼，犫＝狓犻＋狔犼，  １ １ ２ ２    所以 犪·犫＝ （狓犻＋狔犼）·（狓犻＋狔犼）   １ １ ２ ２    ＝狓犻·（狓犻＋狔犼）＋狔犼·（狓犻＋狔犼）   １ ２ ２ １ ２ ２    ＝狓狓犻２＋狓狔犻·犼＋狓狔犼·犻＋狔狔犼２   １ ２ １ ２ ２ １ １ ２    ＝狓狓＋狔狔．  １ ２ １ ２     由此可知，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即         犪·犫＝狓狓＋狔狔．   １ ２ １ ２       特别地，设犪＝ （狓，狔），则犪２＝狓２＋狔２ ，即       ｜犪｜＝槡狓２＋狔２．       思 考 对于平面内两点犃（狓，狔），犅（狓，狔），试用向量方法推导两点  １ １ ２ ２   间的距离公式      犃犅＝槡（狓－狓） ２＋（狔－狔） ２ ．  １ ２ １ ２     设两个非零向量犪＝（狓，狔），犫＝（狓，狔），它们的夹角为θ，由  １ １ ２ ２   向量数量积的定义，可得         犪·犫 狓狓＋狔狔  ｃｏｓθ＝ ＝ １ ２ １ ２ ．  狘犪狘狘犫狘 槡狓２＋狔２ 槡狓２＋狔２   １ １ ２ ２       特别地，         若犪⊥犫，则狓狓＋狔狔＝０；  １ ２ １ ２   若狓狓＋狔狔＝０，则犪⊥犫．   １ ２ １ ２       例１ 已知犪＝（２，－１），犫＝（３，－２），求（３犪－犫）·（犪－２犫）．      解 因为 犪·犫＝２×３＋（－１）×（－２）＝８，      ３２                       ９  平面向量 第 章    犪２＝２２＋（－１） ２＝５，     犫２＝３２＋（－２） ２＝１３，     所以 （３犪－犫）·（犪－２犫）＝３犪２－７犪·犫＋２犫２     ＝３×５－７×８＋２×１３＝－１５．     例２ 已知点犃（２，３），犅（４，－１），犆（－２，１），求：     （１）犆  犃 → ·犆  犅 → 的值；     （２）∠犃犆犅的大小；     （３）点犃到直线犅犆的距离．   →  解 依题意，得犆犃＝ （２，３）－（－２，１）＝ （４，２），    →  犆犅＝ （４，－１）－（－２，１）＝ （６，－２）．    （１）犆  犃 → ·犆  犅 → ＝４×６＋２×（－２）＝２０．     → →  犆犃·犆犅 ２０ 槡２  （２）因为ｃｏｓ∠犃犆犅＝ ＝ ＝ ，  → → ２  狘犆犃狘狘犆犅狘 槡２０×槡４０     π  所以 ∠犃犆犅＝ ．  ４     （３）点犃到直线犅犆的距离为   你还有别的方法     来求点犃到直线犅犆 → 槡２  犱＝狘犆犃狘ｓｉｎ∠犃犆犅＝槡２０× ＝槡１０．  ２  的距离吗？    →  例３ 设犽为实数，已知直角三角形犃犅犆中，犃犅＝ （２，３），    →   犃犆＝ （１，犽），求犽的值．    分析 题中未明确哪个角是直角，需分类讨论．   → →  解 若 ∠犃＝９０°，则犃犅⊥犃犆，于是      → →  犃犅·犃犆＝２×１＋３×犽＝０，      ２  解得 犽＝－ ；   ３    → →  若 ∠犅＝９０°，则犃犅⊥犅犆，又     → → →   犅犆＝犃犆－犃犅＝ （－１，犽－３），    → →  于是 犃犅·犅犆＝２×（－１）＋３×（犽－３）＝０，      １１  解得 犽＝ ；  ３     → →  若 ∠犆＝９０°，则犃犆⊥犅犆，    → →  于是 犃犆·犅犆＝１×（－１）＋犽（犽－３）＝０，      ３±槡１３  解得 犽＝ ．   ２      ３３                        必修第二册 数学    ２ １１ ３±槡１３  综上，所求犽的值为－ 或 或 ．   ３ ３ ２      练 习 １．已知犪＝（１，２），犫＝（３，－２），犮＝（－２，１），求犪·犪，犪·犫，犪·犮．   ２．已知犪＋犫＝（２，－８），犪－犫＝（－８，１６），求犪·犫．     ３．求下面各组中两个向量犪与犫的夹角：     （１）犪＝（槡３，１），犫＝（－２槡３，２）；    （２）犪＝（１，１），犫＝（１－槡３，１＋槡３）．    ４．已知犪＝（４，－２），犫＝（６，－１），求：     （１）犪·犫；（２）（２犪－犫）·（犪＋２犫）；（３）｜２犪－３犫｜．  → →  ５．已知点犃（２，１），犅（４，２），犆（０，１），则犃犅·犃犆的值为 ．     ６已知点犃（－２，１），犅（６，－３），犆（０，５），求证：△犃犅犆是直角三角形．    ７．已知向量犪＝（－３，４），求与向量犪垂直的单位向量的坐标．    ８．设犪，犫，犮是三个非零向量，且相互不共线，有下列命题：    ①（犪·犫）犮－（犮·犪）犫＝０；    ②狘犪狘－狘犫狘＜狘犪－犫狘；     ③ （犫·犮）犪－（犪·犮）犫不与犮垂直；   ④ （３犪＋４犫）·（３犪－４犫）＝９狘犪狘２－１６狘犫狘２．     其 中 ， 是 真 命 题 的 有 （ ） ．    Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．②④        习题９．３（３）         感受·理解 １．已知犪＝（槡３，槡５），犫⊥犪，且狘犫狘＝２，求向量犫的坐标．     ２．已知点犃（０，１），犅（６，４），犆（４，８），犇（－２，５），求证：四边形犃犅犆犇是    矩形．    ３．已知犪＝（犪，犪），犫＝（犫，犫），犪＋犫与犪－犫垂直，求犪，犪，犫，犫满足   １ ２ １ ２ １ ２ １ ２   的关系式．   → → →  ４．已知犗为坐标原点，犗犃＝ （－１，８），犗犅＝ （－４，１），犗犆＝ （１，３）．    求证：△犃犅犆是等腰直角三角形．     ５．已知点犃（－３，５），犅（１，１０），犆（２，１），求：   → →  （１）犆犃·犆犅的值；    （２）∠犃犆犅的大小；     （３）点犃到直线犅犆的距离．    ６．已知点犃（１，０），犅（０，１），犆（２，５），求：   → →  （１）２犃犅＋犃犆的模；     （２）ｃｏｓ∠犅犃犆．    ７．设犪＝（狓，３），犫＝（２，－１），且犪与犫的夹角为锐角，求狓的取值范围．      思考·运用 ８．已知向量犪＝（１，２），犫＝（－３，２）．    （１）求狘犪＋犫狘和狘犪－犫狘；    （２）当犽为何值时，向量犽犪＋犫与犪－３犫垂直？      ３４                       ９  平面向量 第 章    ９．已知向量犪＝（６，２），犫＝（－３，犽），当犽为何值时，    （１）犪⊥犫？    （２）犪与犫的夹角是钝角？     １０．已知狘犪狘＝１，狘犫狘＝槡３，犪＋犫＝（槡３，１），求：     （１）狘犪－犫狘；    （２）犪＋犫与犪－犫的夹角．      探究·拓展 １１．对于任意的犪，犫，犮，犱∈犚，试用向量方法证明不等式     （犪犮＋犫犱）２≤（犪２＋犫２）（犮２＋犱２）．     １２．已知向量犪＝（ｃｏｓ７５°，ｓｉｎ７５°），犫＝（ｃｏｓ１５°，ｓｉｎ１５°），试分别计算犪·犫＝   狘犪狘狘犫狘ｃｏｓθ及犪·犫＝狓狓＋狔狔．比较两次计算结果，你能发现什么？   １ ２ １ ２         ９．３．３ 向量平行的坐标表示         向量及其运算的坐标表示，使我们能用代数方法研究几何问题．    前面已经学习了两个互相垂直的向量的坐标之间的关系，那么，      ● 两个平行向量的坐标之间有怎样的关系？     考察两个向量犪＝ （狓，狔），犫＝ （狓，狔）．   １ １ ２ ２                       图９ ３ １２     由图９ ３ １２可知，当狓，狓，狔，狔均不为０时，  １ ２ １ ２   狓 狔  犪∥犫 １ ＝ １，   狓 狔  ２ ２    即 狓狔－狓狔＝０．   １ ２ ２ １    一般地，        当犪＝０时，由于 设向量犪＝ （狓，狔），犫＝ （狓，狔）（犪≠０），则   １ １ ２ ２   ０与任意向量平行，故   犪∥犫狓狔－狓狔＝０．  狓狔－狓狔＝０恒成 １ ２ ２ １  １ ２ ２ １   立．    证明 犪＝ （狓，狔），犫＝ （狓，狔），   １ １ ２ ２  因为犪≠０，所以狓，狔不全为０．不妨假设狓≠０．   １ １ １   （１）如果犪∥犫，那么存在实数λ，使犫＝λ犪，      ３５                        必修第二册 数学    即 （狓，狔）＝λ（狓，狔）＝ （λ狓，λ狔），  ２ ２ １ １ １ １     烄狓＝λ狓，  所以 ２ １  烅  烆狔＝λ狔．   ２ １     故 狓狔－狓狔＝狓（λ狔）－（λ狓）狔＝０．  １ ２ ２ １ １ １ １ １     （２）反之，如果狓狔－狓狔＝０，   １ ２ ２ １   狓  那么，由狓≠０，可得狔＝ ２狔．   １ ２ 狓 １   （ １ ）   狓 狓  所以（狓，狔）＝ 狓， ２狔 ＝ ２（狓，狔）．  ２ ２ ２ 狓 １ 狓 １ １   １ １   狓   令λ＝ 狓 ２，则犫＝λ犪．   １   故 犪∥犫．      例１ 已知向量犪＝（１，０），犫＝（２，１），当实数犽为何值时，向    量犽犪－犫与犪＋３犫平行？并确定此时它们是同向的还是反向的．     解 犽犪－犫＝犽（１，０）－（２，１）＝ （犽－２，－１），     犪＋３犫＝ （１，０）＋３（２，１）＝ （７，３）．      由向量平行的条件可得３（犽－２）－（－１）×７＝０，      １   所以犽＝－ ．此时，  ３    （ ）   ７ １ １   犽犪－犫＝ － ，－１ ＝－ （７，３）＝－ （犪＋３犫）．  ３ ３ ３      因此，这两个向量是反向的．      例２ 已知点犗，犃，犅，犆的坐标分别为（０，０），（３，４），（－１，    ２），（１，１），是否存在常数狋，使得犗  犃 → ＋狋犗  犅 → ＝犗  犆 → 成立？    → → →  解 设存在常数狋，使得犗犃＋狋犗犅＝犗犆，     → → → →  即 狋犗犅＝犗犆－犗犃＝犃犆    → →   成立，这表明向量犃犆应与犗犅平行．   → →  因为犃犆＝ （－２，－３），犗犅＝ （－１，２），      且 （－２）×２－（－１）×（－３）≠０，    → →  所以犃犆与犗犅不平行．    → → →  因此，不存在常数狋，使得犗犃＋狋犗犅＝犗犆成立．        练 习 １．与向量犪＝（１２，５）平行的单位向量的坐标为 ．    ２．已知向量犪＝（－１，－２），犫＝（２，４），求证：犪∥犫．      ３６                       ９  平面向量 第 章    ３．设狔为实数，若向量犪＝（４，３），犫＝（６，狔），且犪∥犫，求狔的值．    ４．已知犃犅犆犇的三个顶点的坐标分别为犃（２，１），犅（－１，３），犆（３，４），求    第四个顶点犇的坐标．    ５．已知点犃（０，－２），犅（２，２），犆（３，４），求证：犃，犅，犆三点共线．    ６．已知点犃（－１，－２），犅（３，８）．   → →   （１）若犃犅＝２犃犆，求点犆的坐标；  → →  （２）若犃犅＝－２犃犇，求点犇的坐标．       习题９．３（４）         感受·理解 １．当实数狓为何值时，向量犪＝（２，３）与犫＝（狓，－６）平行？   （ ）   ２．设狓为实数，已知向量犪＝（２，１），犫＝（１，狓），且（２犪＋犫）∥ １ 犪＋犫，求   ２    狓的值．    ３．已知梯形犃犅犆犇的顶点坐标为犃（－１，２），犅（３，４），犇（２，１），且犃犅∥    犇犆，犃犅＝２犆犇，求点犆的坐标．    ４．设犪为实数，已知点犃（１，－３）和犅（８，－１），且点犆（２犪－１，犪＋２）在直线     犃犅上，求犪的值．   ５．已知向量犪＝（１，１），犫＝（２，３），当实数犽为何值时，向量犪－犽犫与２犪＋     犫平行？并确定此时它们是同向的还是反向的．    ６．已知四边形犃犅犆犇的顶点坐标分别为犃（１，０），犅（４，３），犆（２，４），犇（０，    ２），求证：四边形犃犅犆犇是梯形．    → → →  思考·运用 ７．设犽为实数，若向量犗犃＝（犽，１２），犗犅＝（４，５），犗犆＝（１０，犽），当犽为何     值时，犃，犅，犆三点共线？    ８．设犪，犫是两个不共线的向量，求证：向量犪＋犫与犪－犫不平行．    ９．已知直角梯形犃犅犆犇的三个顶点分别为犃（３，－２），犅（６，０），犆（７，５），求    顶点犇的坐标．     探究·拓展 １０．已知三角形的三条中线交于一点犌（也称为三角形的重心），且点犌将每条    中线分为２∶１的两段（如图，犃犌∶犌犕＝２∶１）．设△犃犅犆三个顶点分别为     犃（狓，狔），犅（狓，狔），犆（狓，狔），求证：  １ １ ２ （２ ３ ３ ）   狓＋狓＋狓 狔＋狔＋狔  （１）点犌的坐标为 １ ２ ３， １ ２ ３ ；  ３ ３   → → →  （２）犌犃＋犌犅＋犌犆＝０．                         （第１０题）            ３７                              ９．４      向量应用        向量是既有大小又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特    征．通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，所以向量是     数形结合的桥梁．同时，向量也是解决许多物理问题的有力工具．     ● 如何用向量的方法解决数学和物理中的有关问题？       例１ 如图９ ４ １（１），无弹性的细绳犗犃，犗犅的一端分别固     定在犃，犅处，同样的细绳犗犆下端系着一个称盘，且使得犗犅⊥犗犆，    试分析犗犃，犗犅，犗犆三根绳子受力的大小，并判断哪根绳受力最大．                             图９ ４ １      解 设犗犃，犗犅，犗犆三根绳子所受的力分别为犪，犫，犮，则     犪＋犫＋犮＝０．      因为犪，犫的合力为犮′＝犪＋犫，    所以 狘犮狘＝狘犮′狘．       如图９ ４ １（２），在犗犅′犆′犃′中，因为    → → → →  犗犅′⊥犗犆′，犅′犆′＝犗犃′，     → → → →  所以 狘犗犃′狘＞狘犗犅′狘，狘犗犃′狘＞狘犗犆′狘，      即 狘犪狘＞狘犫狘，狘犪狘＞狘犮狘．     故细绳犗犃受力最大．     → → → →  例２ 已知：犗犃⊥犅犆，犗犅⊥犃犆．    → →   求证：犗犆⊥犃犅．    → → → →  证明 因为 犗犃⊥犅犆，犗犅⊥犃犆，     → →   烄 犗犃·犅犆＝０，  所以  烅  → →  烆犗犅·犃犆＝０，      ３８                       ９  平面向量 第 章   → → →  烄犗犃·（犗犆－犗犅）＝０， ①   即  烅  → → →   烆犗犅·（犗犆－犗犃）＝０． ②    → → →  ②－①，得 犗犆·（犗犅－犗犃）＝０，    → →  即 犗犆·犃犅＝０，     → →  所以 犗犆⊥犃犅．      思 考 你能画一个几何图形来解释例２吗？     例３ 已知直线犾经过点犘（狓，狔）和犘（狓，狔），用向量的   １ １ １ ２ ２ ２   方法求直线犾上任意一点犘（狓，狔）的坐标狓，狔满足的条件．    → →  分析 由犘犘与犘犘共线的条件可推得点犘（狓，狔）的坐标满足的   １ １ ２   条件．     解 依题意，得     → →  犘犘 ＝ （狓－狓，狔－狔），犘犘＝ （狓－狓，狔－狔）．   １ ２ ２ １ ２ １ １ １ １    → →  因为犘，犘，犘三点都在直线犾上，所以犘犘与犘犘是共线向量，  把（）中的（狓，狔） １ ２ １ １ ２   从而   改为（狓，狔），我们就  ３ ３  可以得到证明三点共 （狓－狓）（狔－狔）＝ （狔－狔）（狓－狓）． （）   ２ １ １ ２ １ １   线的一种方法．   这就是点犘（狓，狔）的坐标狓，狔满足的条件．     练 习 １．如图，一个三角形角铁支架犃犅犆安装在墙壁上，犃犅∶犃犆∶犅犆＝３∶４∶５，     在犅处挂一个６ｋｇ的物体，求角铁犃犅与犅犆所受力的大小（取犵＝１０ｍ／ｓ２）．                        （第１题） （第２题）      ２．如图，在正方形犃犅犆犇中，犈，犉分别是边犃犅，犅犆的中点，用向量的方法证    明：犇犈⊥犃犉．    ３．用向量的方法证明：在△犃犅犆中，犅犆２＝犃犅２＋犃犆２－２犃犅·犃犆ｃｏｓ犃．    ４．用向量的方法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于一组邻边平方和    的两倍．     ５．若直线犾经过原点且与向量犪＝（２，３）垂直，求直线犾上任意一点犘（狓，狔）   的坐标狓，狔满足的条件．     ６．如图，一根细绳穿过两个定滑轮犘，犘′，且两端分别挂有质量为３ｋｇ，４ｋｇ    的重物．现在两个滑轮之间的绳上挂一个质量为５ｋｇ的重物，恰巧使得系    （第６题） 统处于平衡状态，问：此时绳子形成的角∠犘犗犘′多大？      ３９                        必修第二册 数学   → → → →  ７．在四边形犃犅犆犇中，犃犅＋犆犇＝０，犃犅·犅犆＝０，证明：四边形犃犅犆犇是矩形．        习题９．４        感受·理解 １如图，夹角为９０°的两根绳子提起一个重物，每根绳子用力４Ｎ，求物体     的重力．     ２某人在静水中游泳的速度为槡３ｍ／ｓ，河水自西向东的流速为１ｍ／ｓ，此人朝    正南方向游去，求他的实际前进方向和速度．    ３．已知犃（－２，１），犅（２，－２），犆（－３，－５），犇（３，３）．   → →   （１）求证：犃犅⊥犆犇；  → →  （第１题） （２）求犃犇在犃犅上的投影向量．     → → → →  ４．在四边形犃犅犆犇中，犃犅＋犆犇＝０，犃犆·犅犇＝０，求证：四边形犃犅犆犇是    菱形．     思考·运用 ５．如图，为了防止电线杆倾斜，在两侧对称地用钢丝绳把它拉紧．已知每条钢     丝绳的拉力都是５００Ｎ，每条钢丝绳与电线杆的夹角都是θ，两条钢丝绳拉    力的合力大小为犉．    （１）如果θ＝３０°，求犉的大小；    （２）试研究：当０°＜θ＜９０°时，随着θ的增大，犉的变化趋势．    ６．在△犃犅犆中，犅犆，犆犃，犃犅的长分别为犪，犫，犮，试用向量的方法证明：     犪＝犫ｃｏｓ犆＋犮ｃｏｓ犅．  （第５题）  ７．在平面直角坐标系中，已知犃（３，４），犅（５，１２），犗为坐标原点，∠犃犗犅的     平分线交线段犃犅于点犇，求点犇的坐标．   → → → → → → → →  ８．已知向量犗犃，犗犅，犗犆满足条件犗犃＋犗犅＋犗犆＝０，且狘犗犃狘＝狘犗犅狘＝   →  狘犗犆狘＝１，求证：△犃犅犆是正三角形．     探究·拓展 ９．长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度犱＝１ｋｍ．一艘游船从南岸码头犃     出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度狏 的大小为狘狏狘＝  １ １   １０ｋｍ／ｈ，水流的速度狏的大小为狘狏狘＝４ｋｍ／ｈ．设狏和狏的夹角为  ２ ２ １ ２   θ（０°＜θ＜１８０°），北岸的点犃′在犃的正北方向．    （１）当θ＝１２０°时，试判断游船航行到达北岸的位置是在犃′的左侧还是右    侧，并说明理由．     （第９题） （２）当ｃｏｓθ多大时，游船能到达犃′处？需要航行多长时间？（不必近似   计算）     （３）当θ＝１２０°时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？    １０．（阅读题）设犘（狓，狔），犘（狓，狔）为直线犾上的两个不同的点，则  １ １ １ ２ ２ ２   犘  犘 → ＝（狓－狓，狔－狔）．我们把向量犘  犘 → 及与它平行的非零向量都称为   １ ２ ２ １ ２ １ １ ２ （   １ →  直线犾的方向向量．当直线犾与狓轴不垂直时， 犘犘＝（１，犽）其中  狓－狓 １ ２   ） ２ １  狔－狔  犽＝ ２ １叫作直线犾的斜率 ，也是直线犾的一个方向向量．   狓－狓  ２ １   如果直线犾经过点犘（狓，狔），且它的一个方向向量是（１，犽），试用向  １ １ １   量共线的方法推导直线犾上任意一点犘（狓，狔）的坐标狓，狔满足的关系式．      ４０                       ９  平面向量 第 章    问题与探究 由平面向量到空间向量的推广     学习了平面向量及其运算之后，我们解决了平面内有关点、直线     的位置关系和度量问题．那么，能否进一步拓展视野，将向量由二维    推广到三维，建立相应的概念、运算及其性质，用空间向量研究空间     中有关点、直线、平面的位置关系和度量问题呢？    实际上，早在１９世纪，数学家就已经将平面向量扩展到了空间向     量，并给出了空间向量的表示方法、运算法则，也建立了相应的理论．    请同学们独立地完成下面的研究工作．     １．给出空间向量的概念及空间向量的线性运算和数量积的    法则．     ２．给出空间向量基本定理，并给出上述概念和运算的坐标表示．    ３．查阅有关资料完善你的研究成果．        阅 读 向量源自力学      １５８６年，荷兰数学家、物理学家斯蒂文（Ｓ．Ｓｔｅｖｉｎ，１５４８—１６２０）    在其著作《静力学原理》中，首先在两力互成直角的情形下，引进了力     的三角形法则（或平行四边形法则）．但是他未能推广到力取任意方     向的一般情况．牛顿（Ｉ．Ｎｅｗｔｏｎ，１６４２—１７２７）在《自然哲学的数学原    理》一书中作为三个运动定律的推论，才明确提出了力的合成与分解    定理．     １７８８年，法国数学家、物理学家拉格朗日（Ｊ．Ｌ．Ｌａｇｒａｎｇｅ，     １７３６—１８１３）在《分析力学》中把带有方向的物理量数学化，即用数学    方法来表示它们．例如，他不仅用具有确定长度和方向的有向线段来    表示一个力犳，而且把犳置于空间直角坐标系中，并沿坐标轴把犳分     解为三个分力犳，犳和犳．这些分力作为坐标轴上的有向线段，可以   狓 狔 狕  简单地用数来表示．这样，在力学中关于力、速度和加速度的所有方     程，都可以转化为联系它们分量的关于狓，狔，狕的三个方程．    拉格朗日没有使用“向量（ｖｅｃｔｏｒ）”一词．直到１８４４年，德国数学     家格拉斯曼（Ｈ．Ｇ．Ｇｒａｓｓｍａｎｎ，１８０９—１８７７）才引入有向线段的记    号，称之为向量，并引入向量的一般运算．他创立了具有狀个分量的    超复数和狀维向量等概念，并且有效地定义了狀维向量的各种运算．                                ４１                        必修第二册 数学            本章回顾          本章我们主要学习了向量的概念、表示及运算，平面向量基本定    理，向量共线、垂直的条件，向量在几何和物理问题中的简单应用．                                                       学习本章应注意类比，如向量的运算法则及运算律可与实数相     应的运算法则及运算律进行类比．而从一维情形下向量共线定理，到     二维情形下平面向量基本定理，进而今后推广到三维情形下空间向    量基本定理，又可进行类比．    向量是数形结合的载体．在本章学习中，一方面通过数形结合     来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，数形结     合地解决数学和物理的有关问题．同时，向量的坐标表示为我们用    代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和    手段．        复 习 题        感受·理解 １．已知向量犪＝（１，２），犫＝（３，１），求下列向量的坐标：     １  （１）２犪＋３犫； （２）犪－ 犫．  ２   → →   ２．在平面直角坐标系中，已知点犃（－２，２），犅（３，１），犆（５，４），求犃犅·犆犅    的值．    ３．已知向量犪＝（５，１０），犫＝（－３，－４），犮＝（５，０），试用犪，犫表示向量犮．      ４２                       ９  平面向量 第 章    ４．已知△犗犃犅的两个顶点分别为原点犗和犃（５，２），且∠犃＝９０°，犃犅＝犃犗．求：    （１）点犅的坐标；   →  （２）犃犅的坐标．     ５．设犪＝（２，－７），犫＝（狓，狔），犮＝（３，５），若犪＋犫＝犮，求实数狓，狔的值．   ６．已知狘犪狘＝５，犫＝（３，２），犪⊥犫，求犪的坐标．    → →  ７．设犃，犅，犆，犇为平面内的四点，已知犃（３，１），犅（－２，２），且犃犅＝犆犇．    （１）若犆点坐标为（－１，４），求犇点坐标；   → →  （２）原点为犗，犗犘＝犃犅，求犘点坐标．     ８．已知点犃（－１，１），犅（２，－１）．    （１）若犆是线段犃犅的中点，求犆点坐标；   → →  （２）若直线犃犅上的点犇满足犃犇＝－２犅犇，求犇点坐标．   → → →   ９．设犿为实数，若犗犃＝３犪＋犫，犗犅＝２犪－犫，犗犆＝犪＋犿犫，犪，犫是不共线   的两个向量，且犃，犅，犆三点共线，求犿的值．     １０．已知犃（６，１），犅（０，－７），犆（－２，－３），试确定△犃犅犆的形状．    １１．设犪，犫为实数，已知犃（犪，１），犅（３，５），犆（７，３），犇（犫，－１）是菱形的四个    顶点，求犪，犫的值．     １２．设犽为实数，已知犪＝（－３，１），犫＝（１，－２），若（－２犪＋犫）⊥（犪＋犽犫），求    犽的值．    １３．已知狘犪狘＝４，狘犫狘＝３，犪，犫的夹角为１２０°，求：    （１）（２犪＋犫）·（犪－２犫）的值；    （２）｜２犪＋犫｜的值．     思考·运用 １４．在△犃犅犆中，犃犅＝３，犅犆＝４，犆犃＝５，求犃  犅 → ·犅  犆 → ＋犅  犆 → ·犆  犃 → ＋犆  犃 → ·    →  犃犅的值．     １５．已知犪，犫是两个向量，若向量犿＝２犪－３犫，狀＝４犪－２犫，狆＝３犪＋犫，试用   犿，狀表示向量狆．     １６．已知犇，犈，犉分别是△犃犅犆的边犅犆，犆犃，犃犅的中点，犘是平面内任意一   → → → → → →  点．求证：犘犇＋犘犈＋犘犉＝犘犃＋犘犅＋犘犆．    １７．设犽为实数，已知犲，犲是两个不共线的向量，向量犪＝２犲－犲，犫＝犽犲＋   １ ２ １ ２ １   犲，且犪与犫是共线向量，求犽的值．  ２  → → →   １８．已知坐标平面内犗犃＝（１，５），犗犅＝（７，１），犗犕＝（１，２），犘是直线犗犕   上的一个动点．当犘  犃 → ·犘  犅 → 取最小值时，求犗  犘 → 的坐标，并求ｃｏｓ∠犃犘犅     的值．    １９．设犪，犫，犮都是单位向量，且犪·犫＝０，求（犮－犪）·（犮－犫）的最小值．     ２０．设λ为实数，已知狘犪狘＝２，狘犫狘＝槡２，犪与犫的夹角为４５°，且（λ犫－犪）⊥犪，    求λ的值．     ２１．已知向量犪＝（３，－１），犫＝（１，２），且犪·犮＝９，犫·犮＝－４，求向量犮的   坐标．     ２２．已知非零向量犪，犫满足（犪－２犫）⊥犪，（犫－２犪）⊥犫，求犪与犫的夹角．    （ ）   探究·拓展 １ 槡３  ２３．已知向量犪＝（槡３，－１），犫＝ ， ．  ２ ２    （１）求证：犪⊥犫．      ４３                        必修第二册 数学    （２）是否存在不等于０的实数犽和狋，使向量狓＝犪＋（狋２－３）犫，狔＝－犽犪＋   狋犫，且狓⊥狔？如果存在，试确定犽与狋的关系；如果不存在，请说明理由．     ２４．如图，一根绳穿过两个定滑轮，且两端分别挂有重力为３Ｎ，２Ｎ的重物．现    在两个滑轮之间的绳上挂一个重力为犿Ｎ的重物，恰好使得系统处于平衡    状态，求正数犿的取值范围．                      （第２４题）     ２５．（阅读题）我们把与直线犾垂直的向量称为直线犾的法向量．设犲＝ （犃，犅）    是直线犾的一个方向向量（参见习题９．４第１０题），那么狀＝（－犅，犃）就是     直线犾的一个法向量（图（１））．借助直线的法向量，我们可以方便地计算点   到直线的距离．                               （第２５题）     已知犘是直线犾外一点，狀是直线犾的一个法向量，在直线犾上任取一    → → 狀  点犙，那么犘犙在法向量狀上的投影向量为（狘犘犙狘ｃｏｓθ） （θ为向量狀与   狘狀狘   →  → 狘犘犙·狀狘  犘犙的夹角），其模就是点犘到直线犾的距离犱，即犱＝ （图（２））．  狘狀狘    据此，请解决下面的问题：已知点犃（－４，０），犅（２，－１），犆（－１，３），求     点犃到直线犅犆的距离．                                        ４４                                   本章测试           π   一、填空题 １．若向量犪，犫满足狘犪狘＝３，狘犫狘＝６，犪与犫的夹角为 ４ ，则犪·犫的值     为 ．   ２．设犽为实数，若向量犪＝ （犽，２），犫＝ （１，－１），且犪∥犫，则犽的值为     ．   → →  ３．已知点犃（３，０），犅（２，１），犆（１，４），犃犆·犅犆的值为 ．    ４．已知单位向量犲，犲的夹角为１２０°，若向量犪＝２犲＋犲，犫＝－犲，则犪·犫   １ ２ １ ２ ２   的值为 ．  → →  ５．设点犃（１，３），犅（－３，狀），犆（犿＋２，－１）．若犃犅＝－２犅犆，则犿狀的值为     ．    ６．设犽为实数，向量犪＝ （－２，犽），犫＝ （２，犽－３），且犪⊥犫，则犽的值    为 ．         二、选择题 ７．若向量犪＝（槡３，１），犫＝（１，槡３），则犪与犫的夹角为（ ）．   π π π π  Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．  ３ ４ ６ １２   → → →   ８．在犃犅犆犇中，犃犆为一条对角线．若犃犅＝（２，４），犃犆＝（１，３），则犅犇＝    （ ）．    Ａ．（－２，－４） Ｂ． （３，５） Ｃ．（－３，－５） Ｄ．（２，４）    ９．设犪，犫是单位向量，若犪⊥犫，则（犪＋犫）·犫的值为（ ）．     Ａ．１ Ｂ．０ Ｃ．－１ Ｄ ．－槡２    π  １０．已知向量犪，犫满足｜犪｜＝１，｜犫｜＝２，若犪与犫的夹角为 ，则｜犪＋犫｜＝  ３     （ ）．    Ａ．１ Ｂ．槡２ Ｃ．槡５ Ｄ．槡７        三、解答题 １１．已知向量犪＝（１，－２），犫＝（－３，４），求：   （１）｜犪－犫｜；     （２）向量犪＋犫与犪－犫的夹角的余弦值．   → →  １２．在△犃犅犆中，已知犃犅＝３，犃犆＝４，犅犆＝５，求犃犅·犅犆．    １３．已知向量犪，犫满足犪＋２犫＝（２，－４），３犪－犫＝（－８，１６），求犪·犫．    １４．设狓为实数，已知犃（１，２），犅（３，４），犆（２狓，狓＋５）三点在同一条直线上，求狓    的值．     １５．已知向量犪，犫的夹角为１３５°，且狘犪狘＝槡２，狘犫狘＝２，犮＝犪＋狓犫（其中     狓∈犚）．当｜犮｜取最小值时，求犮与犫的夹角的大小．            ４５                           第１０章 三角恒等变换                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             Ａｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎ，ｌｉｋｅａｐａｉｎｔｅｒｏｒｐｏｅｔ，ｉｓａｍａｋｅｒｏｆ     ｐａｔｔｅｒｎ．    —Ｇ．Ｈ．Ｈａｒｄｙ            在《数学（必修第一册）》第７章中，我们从点的数学表示开始初步     研究了圆周上一点的运动，并用正弦函数狔＝ｓｉｎ狓来刻画周期运动．    与周期运动相关的另一个基本问题是“周期运动的叠加”．    设点犙在半径为犫的圆犘上运动，同时，点犘在半径为犪的圆犗     上运动．犗为定点，犘，犙两点的初始位置如图１所示，其中 φ 为定   ０   角，且犘，犙两点以相同的角速度按逆时针方向运动，这时，点犙的运    动应该如何刻画？                             图１ 图２      我们用向量的方法分析如下：   →  如图２，设犗犘＝ （犪ｃｏｓ狓，犪ｓｉｎ狓），则     →  犘犙＝ （犫ｃｏｓ（狓＋φ ），犫ｓｉｎ（狓＋φ ））．   ０ ０   → → →   由犗犙＝犗犘＋犘犙，可知     →  犗犙＝ （犪ｃｏｓ狓＋犫ｃｏｓ（狓＋φ ），犪ｓｉｎ狓＋犫ｓｉｎ（狓＋φ ））．  ０ ０     π  先看一个简单的特例：令犪＝犫＝１， φ＝ ，则  ０ ２      →  犗犙＝ （ｃｏｓ狓－ｓｉｎ狓，ｓｉｎ狓＋ｃｏｓ狓）．       ● 对于函数狔＝ｓｉｎ狓＋ｃｏｓ狓，我们猜想它仍然表示一个简谐运     动，即ｓｉｎ狓＋ｃｏｓ狓能够恒等变形为犃ｓｉｎ（ω狓＋φ ）的形式．果真    如此吗？               ４８                       １０  三角恒等变换 第 章       １０．１      两角和与差的三角函数          由向量的数量积运算法则，可知     ｃｏｓ狓＋ｓｉｎ狓＝ （ｃｏｓ狓，ｓｉｎ狓）·（１，１）；    另一方面，     （ｃｏｓ狓，ｓｉｎ狓）·（１，１）＝槡ｃｏｓ２狓＋ｓｉｎ２狓·槡１２＋１２·ｃｏｓθ     ＝槡２ｃｏｓθ，      其中θ为向量（ｃｏｓ狓，ｓｉｎ狓）与向量（１，１）的夹角．于是有    （ ）   π  ｃｏｓ狓＋ｓｉｎ狓＝槡２ｃｏｓ狓－ ．  ４     这是一个有趣的等式，在回答了ｓｉｎ狓＋ｃｏｓ狓可以化为   （ ）   π   犃ｓｉｎ（ω狓＋φ ）的同时，还告诉我们ｃｏｓ狓－ 可以用狓的三角函数  ４    π  与 的三角函数来表示．这又启发我们联想到更一般的问题：   ４    ●ｃｏｓ（α－β ）能否用α的三角函数与 β 的三角函数来表示？        １０．１．１ 两角和与差的余弦          把ｃｏｓ（α－β ）看成两个向量夹角的余弦，考虑用向量的数量积来   研究．     如图１０ １ １，在平面直角坐标系狓犗狔中，以犗狓轴为始边分别作     角α， β ，其终边分别与单位圆交于犘（ｃｏｓα，ｓｉｎα），犘（ｃｏｓβ ，ｓｉｎβ ），  １ ２   则∠犘犗犘 ＝α－β．由于余弦函数是周期为２π的偶函数，所以，我们  １ ２   只需考虑０≤α－β≤π的情况．    →  设向量犪＝犗犘 ＝ （ｃｏｓα，ｓｉｎα），   １  图１０ １ １ →  犫＝犗犘 ＝ （ｃｏｓβ ，ｓｉｎβ ），   ２   因为０≤α－β≤ 则 犪·犫＝狘犪狘狘犫狘ｃｏｓ（α－β ）＝ｃｏｓ（α－β ）．     π，所以α－β就是向量 另一方面，由向量数量积的坐标表示，有    犪，犫的夹角．  犪·犫＝ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ ，     所以       ｃｏｓ（α－β ）＝ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ． （Ｃ ）   （α－β）     这就是两角差的余弦公式．      ４９                        必修第二册 数学    探 究 如图１０ １ ２，在平面直角坐标系狓犗狔中，单位圆犗与狓轴正半轴     交于点犘 ０ ．以犗狓轴为始边分别作出角α， β ，α－β ，其终边分别和单位圆   交于点犘，犘，犘．由｜犘  犘 → ｜＝｜犘  犘 → ｜，你能否导出两角差的余弦   １ ２ ３ ０ ３ ２ １   公式？     在两角差的余弦公式中，用－β 代替 β ，就可以得到       ｃｏｓ（α＋β ）＝ｃｏｓ［α－（－β ）］   ＝ｃｏｓαｃｏｓ（－β ）＋ｓｉｎαｓｉｎ（－β ），     即     图１０ １ ２   ｃｏｓ（α＋β ）＝ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ． （Ｃ ）  （α＋β）     这就是两角和的余弦公式．      思 考 “用－β代替β ”的换元方法体现在图形上具有什么几何意义？你    能直接利用向量的数量积推出两角和的余弦公式吗？      在《数学（必修第一册）》第７章中，我们曾经学习过许多诱导公    式，这些诱导公式都可以看成和（差）角公式的特例，因此也可以由和    （差）角公式推出．       例１ 利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式：  （ ） （ ）   π π  （１）ｃｏｓ －α＝ｓｉｎα； （２）ｓｉｎ －α＝ｃｏｓα．   ２ ２    证明 （１）由公式Ｃ 得   （ ） （α－β）    ｃｏｓ π －α＝ｃｏｓ π ｃｏｓα＋ｓｉｎ π ｓｉｎα＝ｓｉｎα，   ２ ２ ２   （ ）   π  所以 ｃｏｓ －α＝ｓｉｎα．  ２     π  （２）在上式中，用 －α代换α，可以得到  ２   ［ （ ）］ （ ）   π π π   ｃｏｓ ２ － ２ －α ＝ｓｉｎ ２ －α，    （ ）   π  即 ｓｉｎ －α＝ｃｏｓα．  ２      例２ 利用两角和（差）的余弦公式，求ｃｏｓ７５°，ｃｏｓ１５°，     ｓｉｎ１５°，ｔａｎ１５°．    解 ｃｏｓ７５°＝ｃｏｓ（４５°＋３０°）＝ｃｏｓ４５°ｃｏｓ３０°－ｓｉｎ４５°ｓｉｎ３０°  可用图１０ １ ３    验证计算结果． 槡２ 槡３ 槡２ １ 槡６－槡２  ＝ × － × ＝ ．   ２ ２ ２ ２ ４    ｃｏｓ１５°＝ｃｏｓ（４５°－３０°）＝ｃｏｓ４５°ｃｏｓ３０°＋ｓｉｎ４５°ｓｉｎ３０°     槡２ 槡３ 槡２ １ 槡６＋槡２  ＝ × ＋ × ＝ ．   图１０ １ ３ ２ ２ ２ ２ ４      ５０                       １０  三角恒等变换 第 章    槡６－槡２  ｓｉｎ１５°＝ｃｏｓ（９０°－１５°）＝ｃｏｓ７５°＝ ．   ４     ｓｉｎ１５° 槡６－槡２  ｔａｎ１５°＝ ＝ ＝２－槡３．  ｃｏｓ１５°  槡６＋槡２   （ ） （ ）   ２ π ３ ３π   例３ 已知ｓｉｎα＝ ，α∈ ，π ，ｃｏｓβ＝－ ， β∈ π， ，  ３ ２ ５ ２    求ｃｏｓ（α＋β ）的值．     分析 由公式Ｃ 可知，欲求ｃｏｓ（α＋β ）的值，应先计算ｃｏｓα和   （α＋β）   ｓｉｎβ 的值．  （ ）   π  解 由α∈ ，π ，得   ２   （ ）   槡 ２ ２ 槡５   ｃｏｓα＝－槡１－ｓｉｎ２α＝－ １－ ３ ＝－ ３ ．   （ ）   ３π   又由 β∈ π， ，得  ２    （ ）   槡 ３ ２ ４   ｓｉｎβ＝－槡１－ｃｏｓ２β＝－ １－ － ５ ＝－ ５ ．     由两角和的余弦公式得     ｃｏｓ（α＋β ）＝ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ   （ ） （ ）   （ 槡５ ） ３ ２ ４ ８＋３槡５   ＝ － × － － × － ＝ ．  ３ ５ ３ ５ １５      思 考 在上例中，你能求出ｓｉｎ（α＋β ）的值吗？        练 习 １利用两角和（差）的余弦公式证明：  （ ） （ ）   ３ π ３π  （１）ｃｏｓ －α＝－ｓｉｎα； （２）ｓｉｎ －α＝－ｃｏｓα．  ２ ２     ２利用两角和（差）的余弦公式化简：   （１）ｃｏｓ５８°ｃｏｓ３７°＋ｓｉｎ５８°ｓｉｎ３７°；     （２）ｃｏｓ（６０°＋θ）－ｃｏｓ（６０°－θ）；    （３）ｃｏｓ（６０°＋θ）＋ｃｏｓ（６０°－θ）；    （４）ｃｏｓ（α－β）ｃｏｓβ－ｓｉｎ（α－β）ｓｉｎβ．     ３．利用两角和（差）的余弦公式，求ｃｏｓ１０５°的值．    ４．化简：    （１）ｃｏｓ１００°ｃｏｓ４０°＋ｓｉｎ８０°ｓｉｎ４０°； （２）ｃｏｓ８０°ｃｏｓ５５°－ｃｏｓ１０°ｃｏｓ３５°；     槡２ 槡２ 槡２ 槡２  （３） ｓｉｎ１５°＋ ｃｏｓ１５°； （４） ｓｉｎ１５°－ ｃｏｓ１５°．   ２ ２ ２ ２  （ ） （ ）   ３ π π  ５已知ｃｏｓθ＝－ ，θ∈ ，π ，求ｃｏｓ －θ的值．  ５ ２ ３   （ ） （ ） （ ）   ６．已知ｓｉｎα＝ １ ，α∈ π ，π ，求ｃｏｓα＋ π 和ｃｏｓα－ π 的值．   ３ ２ ４ ４        ５１                        必修第二册 数学      习题１０．１（１）         感受·理解 １化简：    （１）ｃｏｓ２４°ｃｏｓ３６°－ｃｏｓ６６°ｃｏｓ５４°；    （２）ｃｏｓ５８°ｓｉｎ３７°＋ｓｉｎ１２２°ｓｉｎ５３°；     （３）ｃｏｓ（α－β）ｃｏｓ（α＋β）＋ｓｉｎ（α－β）ｓｉｎ（α＋β）；   （４）ｃｏｓ（α＋β）＋ｃｏｓ（α－β）；     （５）ｃｏｓ（α＋β）－ｃｏｓ（α－β）；  （ ） （ ）   π π  （６）ｃｏｓ ＋θ＋ｃｏｓ －θ．  ３ ３    （ ） （ ）  １５ π π  ２（１）已知ｓｉｎα＝ ，α∈ ，π ，求ｃｏｓ －α的值；  １７ ２ ３   （ ） （ ）  ５ ３ π   （２）已知ｃｏｓθ＝－ ，θ∈ π， π ，求ｓｉｎθ－ 的值．  １３ ２ ６    ３ ５   ３（１）已知α，β 都是锐角，ｓｉｎα＝ ５ ，ｃｏｓβ＝ １３ ，求ｃｏｓ（α＋β）的值；     （２）已知ｓｉｎα＝ ２ ，ｃｏｓβ＝－ ３ ，且α，β 都是第二象限角，求ｃｏｓ（α－β）的值．   ３ ４     思考·运用 ４．已知ｃｏｓ（α＋β）＝ ２ ，ｃｏｓ（α－β）＝ １ ，求ｃｏｓαｃｏｓβ 和ｓｉｎαｓｉｎβ 的值．   ３ ３    １ １  ５．已知ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＝ ，ｃｏｓα＋ｃｏｓβ＝－ ，求ｃｏｓ（α－β）的值．   ２ ４    １ １  ６已知ｃｏｓ（α＋β）＝ ，ｃｏｓ（α－β）＝ ，求ｔａｎαｔａｎβ 的值．  ３ ５    ７设犗为坐标原点，犘（狓，狔）和犘（狓，狔）为单位圆上的两点，且   １ １ １ ２ ２ ２   ∠犘犗犘 ＝θ，求证：狓狓＋狔狔＝ｃｏｓθ．  １ ２ １ ２ １ ２   ８求狔＝ｃｏｓ狓－ｓｉｎ狓的最大值和最小值．    探究·拓展 ９试用向量的方法推导两角和的余弦公式．           １０．１．２ 两角和与差的正弦         回顾１０．１．１节的例２中求ｓｉｎ１５°的过程，我们先将ｓｉｎ１５°转化    为ｃｏｓ７５°，再利用两角和的余弦公式来计算．而ｓｉｎ１５°＝ｓｉｎ（４５°－    ３０°），那么，有没有两角和（差）的正弦公式呢？     事实上，   通 过诱导公式 ［ ］ ［（ ） ］   （ ） π π   ｃｏｓ π －α＝ｓｉｎα， ｓｉｎ（α＋β ）＝ｃｏｓ ２ －（α＋β ）＝ｃｏｓ ２ －α－β   ２ （ ） （ ）  （ ）  π π   ｓｉｎ π －α＝ｃｏｓα， ＝ｃｏｓ －αｃｏｓβ＋ｓｉｎ －αｓｉｎβ  ２ ２ ２    可以实现正弦、余弦 ＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ ，     函数间的转化． 即      ５２                       １０  三角恒等变换 第 章      ｓｉｎ（α＋β ）＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ． （Ｓ ）   （α＋β）     这就是两角和的正弦公式．     在两角和的正弦公式中，用－β 代替 β ，就可以得到     ｓｉｎ（α－β ）＝ｓｉｎ［α＋（－β ）］＝ｓｉｎαｃｏｓ（－β ）＋ｃｏｓαｓｉｎ（－β ），     即       ｓｉｎ（α－β ）＝ｓｉｎαｃｏｓβ－ｃｏｓαｓｉｎβ． （Ｓ ）   （α－β）      这就是两角差的正弦公式．      思 考 能不能利用同角三角函数的关系，从Ｃ 推导出Ｓ ？这样做  （α±β） （α±β）   有什么困难？    （ ） （ ）   ２ π ３ ３π   例１ 已知ｓｉｎα＝ ３ ，α∈ ２ ，π ，ｃｏｓβ＝－ ５ ， β∈ π， ２ ，     求ｓｉｎ（α＋β ）的值．   （ ）   ２ π 槡５   解 由ｓｉｎα＝ ，α∈ ，π ，得ｃｏｓα＝－ ．  ３ ２ ３  （ ）   ３ ３π ４   又由ｃｏｓβ＝－ ， β∈ π， ，得ｓｉｎβ＝－ ．  ５ ２ ５      所以ｓｉｎ（α＋β ）＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ   （ ） （ ）  （ ）  ２ ３ 槡５ ４ －６＋４槡５  ＝ × － ＋ － × － ＝ ．  ３ ５ ３ ５ １５      ５ ４  例２ 已知ｃｏｓ（α＋β ）＝ ，ｃｏｓβ＝ ，α， β 均为锐角，求ｓｉｎα   １３ ５     的值．     分析 把角α看成角α＋β 与 β 的差，即α＝（α＋β ）－β ，再用两   角差的正弦公式求解．     解 由α， β 均为锐角，可知０°＜α＋β＜１８０°，从而      ｓｉｎβ＞０，ｓｉｎ（α＋β ）＞０．      ５  由ｃｏｓ（α＋β ）＝ ，得  １３    （ ）   槡 ５ ２ １２  ｓｉｎ（α＋β ）＝槡１－ｃｏｓ２ （α＋β ）＝ １－ ＝ ．   １３ １３     由ｃｏｓβ＝ ４ ，得   ５    （ ）    ｓｉｎβ＝槡１－ｃｏｓ２β＝ 槡 １－ ４ ２ ＝ ３ ．   ５ ５      ５３                        必修第二册 数学    由公式Ｓ ，可得  （α－β）    ｓｉｎα＝ｓｉｎ［（α＋β ）－β ］＝ｓｉｎ（α＋β ）ｃｏｓβ－ｃｏｓ（α＋β ）ｓｉｎβ    １２ ４ ５ ３ ３３  ＝ × － × ＝ ．   １３ ５ １３ ５ ６５      １ 槡３  例３ 求函数狔＝ ｓｉｎ狓＋ ｃｏｓ狓的最大值．  ２ ２   （ ）   π π π   本题还有其他解 解 狔＝ｓｉｎ狓ｃｏｓ ３ ＋ｃｏｓ狓ｓｉｎ ３ ＝ｓｉｎ狓＋ ３ ．    法吗？  π π π  当狓＋ ＝ ＋２犽π（犽∈犣），即狓＝ ＋２犽π（犽∈犣）时，函数   ３ ２ ６    狔取得最大值１．    →   探 究 在本章引言中，我们用向量的方法得到点犙的坐标，即犗犙＝     （犪ｃｏｓ狓＋犫ｃｏｓ（狓＋φ ），犪ｓｉｎ狓＋犫ｓｉｎ（狓＋φ ）），并对犪＝犫＝１， φ＝  ０ ０ ０  π   这一特例进行了研究．   ２    π  如果犪＝槡３，犫＝１， φ＝ ，那么   ０ ２     →  犗犙＝ （槡３ｃｏｓ狓－ｓｉｎ狓，槡３ｓｉｎ狓＋ｃｏｓ狓）．      试探索：     （１）函数狔＝槡３ｓｉｎ狓＋ｃｏｓ狓是否为周期函数；     （２）函数狔＝槡３ｃｏｓ狓－ｓｉｎ狓的单调区间和值域．     练 习 １下列等式中恒成立的是（ ）．     Ａ．ｃｏｓ（α－β）＝ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ   Ｂ．ｃｏｓ（α＋β）＝ｃｏｓαｓｉｎβ－ｓｉｎαｃｏｓβ     Ｃ．ｓｉｎ（α＋β）＝ｓｉｎαｓｉｎβ＋ｃｏｓαｃｏｓβ     Ｄ．ｓｉｎ（α－β）＝ｓｉｎαｃｏｓβ－ｃｏｓαｓｉｎβ   ２化简ｓｉｎ１３°ｃｏｓ１７°＋ｃｏｓ１３°ｓｉｎ１７°，得（ ）．     槡３ １   Ａ． ２ Ｂ． ２ Ｃ．ｓｉｎ４° Ｄ．ｃｏｓ４°     ３化简ｓｉｎ２００°ｃｏｓ１４０°－ｃｏｓ１６０°ｓｉｎ４０°，得（ ）．     槡３ １  Ａ． Ｂ．ｓｉｎ２０° Ｃ．ｃｏｓ２０° Ｄ．  ２ ２    ４化简：    （１）ｓｉｎ１１°ｃｏｓ２９°＋ｃｏｓ１１°ｓｉｎ２９°；（２）ｃｏｓ２４°ｃｏｓ６９°＋ｓｉｎ２４°ｓｉｎ１１１°；     （３）ｓｉｎ２２２．５°－ｃｏｓ２２２．５°； （４）２ｓｉｎ１５°ｃｏｓ１５°；    １ 槡３ 槡３ １  （５） ｓｉｎ１５°－ ｃｏｓ１５°； （６） ｓｉｎ１５°＋ ｃｏｓ１５°．   ２ ２ ２ ２    ５求值：（１）ｓｉｎ１０５°； （２）ｃｏｓ１６５°．  （ ） （ ）   ３ π π  ６已知ｃｏｓθ＝－ ，θ∈ ，π ，求ｓｉｎθ＋ 的值．  ５ ２ ３      ５４                       １０  三角恒等变换 第 章  （ ） （ ）   ７已知ｓｉｎθ＋ π ＝ １ ，θ∈ π ，π ，求ｓｉｎθ的值．   ４ ３ ２     槡３ １  ８（１）将 ｓｉｎ狓－ ｃｏｓ狓化为犃ｓｉｎ（狓＋θ）的形式；  ２ ２     （２）求函数狔＝槡３ｓｉｎ狓＋ｃｏｓ狓的最大值和最小值．       ｓｉｎ（２犃＋犅） ｓｉｎ犅   例４ 证明： －２ｃｏｓ（犃＋犅）＝ ．  ｓｉｎ犃 ｓｉｎ犃    分析 将等式中的角统一用犃＋犅及犃来表示．     证明 因为     ｓｉｎ［（犃＋犅）＋犃］－２ｃｏｓ（犃＋犅）ｓｉｎ犃   左边＝  ｓｉｎ犃    ｓｉｎ（犃＋犅）ｃｏｓ犃＋ｃｏｓ（犃＋犅）ｓｉｎ犃－２ｃｏｓ（犃＋犅）ｓｉｎ犃   ＝  ｓｉｎ犃    ｓｉｎ（犃＋犅）ｃｏｓ犃－ｃｏｓ（犃＋犅）ｓｉｎ犃   ＝  ｓｉｎ犃    ｓｉｎ［（犃＋犅）－犃］ ｓｉｎ犅   ＝ ＝ ＝ 右边，  ｓｉｎ犃 ｓｉｎ犃      所以等式成立．      ２ｃｏｓ１０°－ｓｉｎ２０°  例５ 求 的值．   ｃｏｓ２０°     将 １０°表 示 为 解 原式＝ ２ｃｏｓ（３０°－２０°）－ｓｉｎ２０°   ｃｏｓ２０°  ３０°－２０°，从而将待    求式中的角统一用 ２（ｃｏｓ３０°ｃｏｓ２０°＋ｓｉｎ３０°ｓｉｎ２０°）－ｓｉｎ２０°  ＝   ２０°来表示． ｃｏｓ２０°     （ ）  槡３ １  ２ ｃｏｓ２０°＋ ｓｉｎ２０° －ｓｉｎ２０°  ２ ２  ＝ ＝槡３．   ｃｏｓ２０°     ２ １ ｔａｎα  例６ 已知ｓｉｎ（α＋β ）＝ ，ｓｉｎ（α－β ）＝－ ，求 的值．   ３ ５ ｔａｎβ     解 将已知条件按两角和（差）的正弦公式展开，得     ２   烄ｓ ｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ＝ ３ ，    烅  １   ｓｉｎαｃｏｓβ－ｃｏｓαｓｉｎβ＝－ ，  烆 ５     ２ １  烄 －   ３ ５ ７   ｓ ｉｎαｃｏｓβ＝ ２ ＝ ３０ ，   所以  烅  ２ １   ＋  ３ ５ １３   烆 ｃ ｏｓαｓｉｎβ＝ ２ ＝ ３０ ．       ５５                        必修第二册 数学    从而得 ｔａｎα ＝ ｓｉｎαｃｏｓβ ＝ ７ × ３０ ＝ ７ ．   ｔａｎβ ｃｏｓαｓｉｎβ ３０ １３ １３     思 考 从例６的解题过程可以看出，只要知道ｓｉｎ（α＋β ），ｓｉｎ（α－β ）的     值，就可以求出ｓｉｎαｃｏｓβ ，ｃｏｓαｓｉｎβ的值．据此你能推出用α＋β ，α－     β的正弦与余弦表示ｓｉｎαｃｏｓβ ，ｃｏｓαｓｉｎβ ，ｓｉｎαｓｉｎβ和ｃｏｓαｃｏｓβ 的    式子吗？      １ ５槡３   练 习 １已知α，β 都为锐角，ｓｉｎα＝ ７ ，ｃｏｓ（α＋β）＝ １４ ．     （１）试用α与α＋β 表示 β；（２）求ｓｉｎβ 与ｃｏｓβ 的值．    ２．证明：    ｓｉｎ（犃＋犅） ｓｉｎ（α＋β）＋ｓｉｎ（α－β）  （１） ＝ｔａｎ犃＋ｔａｎ犅；（２） ＝ｔａｎα．   ｃｏｓ犃ｃｏｓ犅 ｃｏｓ（α＋β）＋ｃｏｓ（α－β）    １ １  ３已知ｓｉｎα＋ｃｏｓβ＝ ，ｃｏｓα＋ｓｉｎβ＝ ，求ｓｉｎ（α＋β）的值．  ２ ３   （ ） （ ）  π ３ π ４  ４．已知ｓｉｎα＋ ＝ ，ｓｉｎα－ ＝ ，求ｓｉｎα，ｃｏｓα和ｔａｎα的值．   ４ ５ ４ ５    ２ １  ５．已知ｓｉｎα－ｃｏｓβ＝－ ，ｃｏｓα＋ｓｉｎβ＝ ，求ｓｉｎ（α－β）的值．  ３ ３       习题１０．１（２）         感受·理解 １．化简：    （１）ｓｉｎ２狓ｃｏｓ狓－ｃｏｓ２狓ｓｉｎ狓；     （２）ｓｉｎ（α－β）ｃｏｓβ＋ｃｏｓ（α－β）ｓｉｎβ；   （３）ｓｉｎ（α＋β）ｃｏｓ（α－β）＋ｓｉｎ（α－β）ｃｏｓ（α＋β）；     ｓｉｎ（α＋β）＋ｓｉｎ（α－β）  （４） ．  ｃｏｓαｃｏｓβ    ２计算：    （１）ｓｉｎ１４°ｃｏｓ１６°＋ｓｉｎ１６°ｃｏｓ１４°；     （２）ｓｉｎ２１°ｃｏｓ８１°－ｓｉｎ６９°ｃｏｓ９°；    （３）ｃｏｓ（７０°＋α）ｓｉｎ（１７０°－α）－ｓｉｎ（７０°＋α）ｃｏｓ（１０°＋α）；    （４）（ｔａｎ７５°－ｔａｎ１５°）ｃｏｓ７５°ｃｏｓ１５°．   （ ） （ ）  １５ ３π π  ３已知ｓｉｎα＝－ ，α∈ π， ，求ｓｉｎ ＋α的值．   １７ ２ ３    ５  ４已知ｃｏｓθ＝ ，θ∈（π，２π），求下列各式的值：  １３  （ ） （ ） （ ）   π π π  （１）ｓｉｎθ－ ；（２）ｃｏｓθ－ ；（３）ｔａｎθ－ ．  ６ ６ ６    ３ ５  ５已知α，β 都是锐角，ｓｉｎα＝ ，ｃｏｓβ＝ ，求ｓｉｎ（α＋β）的值．   ５ １３    ６求下列函数的最大值和最小值：    １ 槡３   （１）狔＝ ｃｏｓ狓＋ ｓｉｎ狓； （２）狔＝ｓｉｎ狓－ｃｏｓ狓；  ２ ２    （３）狔＝ｓｉｎ狓＋槡３ｃｏｓ狓； （４）狔＝ｓｉｎ２狓－槡３ｃｏｓ２狓．      ５６                       １０  三角恒等变换 第 章    ７已知函数犳（狓）＝ｓｉｎ狓，求证：    犳（狓＋犺）－犳（狓） ｃｏｓ犺－１ ｓｉｎ犺  （１） ＝ ｓｉｎ狓＋ ｃｏｓ狓；  犺 犺 犺    犳（狓＋２犺）－犳（狓） ｓｉｎ犺   （２） ＝ ｃｏｓ（狓＋犺）．  ２犺 犺    ８证明：     （１）ｃｏｓ（α＋β）ｃｏｓ（α－β）＝ｃｏｓ２α－ｓｉｎ２β；    （２）ｓｉｎ（α＋β）ｓｉｎ（α－β）＝ｓｉｎ２α－ｓｉｎ２β．    ９已知ｓｉｎ（α＋β）＝犪，ｓｉｎ（α－β）＝犫，求证：     （１）ｓｉｎαｃｏｓβ＝ １ （犪＋犫）； （２）ｃｏｓαｓｉｎβ＝ １ （犪－犫）．   ２ ２    ５π π  １０用两种方法求ｓｉｎ ｃｏｓ 的值．   １２ １２     思考·运用 １１已知 π ＜α＜β＜ π ，且ｓｉｎ（α＋β）＝ ４ ，ｃｏｓ（α－β）＝ １２ ．   ４ ２ ５ １３     （１）用α＋β，α－β 表示２α；（２）求ｃｏｓ２α，ｓｉｎ２α，ｔａｎ２α的值．  （ ） （ ）   π π １ ７  １２已知α∈ ０， ，β∈ ，π ，ｃｏｓβ＝－ ，ｓｉｎ（α＋β）＝ ，求ｓｉｎα  ２ ２ ３ ９    的值．     １３在△犃犅犆中，    ４ １２  （１）已知ｃｏｓ犃＝ ，ｃｏｓ犅＝ ，求ｃｏｓ犆的值；   ５ １３    ３ ５  （２）已知ｓｉｎ犃＝ ，ｃｏｓ犅＝ ，求ｃｏｓ犆的值．  ５ １３    １４设α，β 都是锐角，     （１）判断ｓｉｎ（α＋β）与ｓｉｎα＋ｓｉｎβ 的大小，并说明理由；     （２）判断ｃｏｓ（α＋β）与ｃｏｓα＋ｃｏｓβ 的大小，并说明理由．     探究·拓展 １５求下列函数的最大值和最小值：    ３ ４  （１）狔＝ ｓｉｎ狓＋ ｃｏｓ狓；  ５ ５    （２）狔＝犪ｓｉｎ狓＋犫ｃｏｓ狓（犪，犫均为正数）．     １６如图，在△犃犅犆中，∠犅为直角，犇犈⊥犃犅于点犈，犃犆⊥犇犆，已知犅犆＝１．    （１）若∠犅犃犆＝３０°，∠犇犃犆＝４５°，试求△犃犇犈各边的长度，由此推出７５°    的三角函数值；     （２）设 ∠犅犃犆＝α，∠犇犃犆＝β（α，β，α＋β 均为锐角），试由图推出求     ｓｉｎ（α＋β）的公式．                         （第１６题）    ５７                        必修第二册 数学      １０．１．３ 两角和与差的正切         回顾１０．１．１节的例２中求ｔａｎ１５°的过程，我们先分别求出    ｓｉｎ１５°和ｃｏｓ１５°，再由同角三角函数关系求出ｔａｎ１５°．那么，      ● 能否由ｔａｎ４５°和ｔａｎ３０°直接求出ｔａｎ１５°呢？      利用公式Ｓ 和Ｃ ，我们不难推出两角和与差的正切公式．  （α±β） （α±β）     ｓｉｎ（α＋β ） ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ  ｔａｎ（α＋β ）＝ ＝  ｃｏｓ（α＋β ） ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ     ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ     ＝ ｃｏｓαｃｏｓβ ＝ ｔａｎα＋ｔａｎβ ，   ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ １－ｔａｎαｔａｎβ   ｃｏｓαｃｏｓβ       ｔａｎ（α－β ）＝ ｔａｎα＋ｔａｎ（－β ） ＝ ｔａｎα－ｔａｎβ ．   １－ｔａｎαｔａｎ（－β ） １＋ｔａｎαｔａｎβ     所以，对使等式两边都有意义的α和 β ，都有         ｔａｎα＋ｔａｎβ  ｔａｎ（α＋β ）＝ ， （Ｔ ）  １－ｔａｎαｔａｎβ （α＋β）   Ｓ ，Ｃ ，     Ｓ Ｔ （α＋β） ， 统 Ｃ （α 称 ＋β 为 ） 和 ，Ｔ 角公 （α＋β 式 ） 统 ， ｔａｎ（α－β ）＝ １ ｔａ ＋ ｎ ｔ α ａｎ － α ｔ ｔ ａ ａ ｎ ｎ β β ． （Ｔ （α－β） ）     （α－β） （α－β） （α－β）   称为差角公式．   这就是两角和（差）的正切公式．     两角和与差的正切公式在结构上有什么特点？   思 考     例１ 已知ｔａｎα，ｔａｎβ 是方程狓２＋５狓－６＝０的两根，求     ｔａｎ（α＋β ）的值．    分析 本题既可以根据方程解出ｔａｎα，ｔａｎβ 的值，再代入公式    计算，也可以不解方程，通过计算ｔａｎα＋ｔａｎβ ，ｔａｎαｔａｎβ 的值来求     ｔａｎ（α＋β ）的值．     解法１ 解方程得     ｔａｎα＝－６，ｔａｎβ＝１或ｔａｎα＝１，ｔａｎβ＝－６．      代入两角和的正切公式，得    一般地，若狓，狓   １ ２ ｔａｎα＋ｔａｎβ －６＋１ ５  是一元二次方程犪狓２＋ ｔａｎ（α＋β ）＝ ＝ ＝－ ．  １－ｔａｎαｔａｎβ １＋６ ７   犫狓＋犮＝０（犪≠０）的两     个根，则有狓＋狓＝ 解法２ 因为ｔａｎα，ｔａｎβ 是方程狓２＋５狓－６＝０的两根，所以  １ ２  犫 犮   － 犪 ，狓 １ 狓 ２ ＝ 犪 ． ｔａｎα＋ｔａｎβ＝－５，ｔａｎαｔａｎβ＝－６．      ５８                       １０  三角恒等变换 第 章    因此，ｔａｎ（α＋β ）＝ ｔａｎα＋ｔａｎβ ＝－ ５ ．   １－ｔａｎαｔａｎβ ７      １＋ｔａｎ１５°  例２ 证明： ＝槡３．  １－ｔａｎ１５°    分析 由１５°＝６０°－４５°（也可写成４５°－３０°），利用两角差的正     切公式，可以求出ｔａｎ１５°的值．     或者由１＝ｔａｎ４５°，等式左边的结构与ｔａｎ（α＋β ）相似，考虑运用    两角和的正切公式．     或者由槡３＝ｔａｎ６０°，６０°＝４５°＋１５°，考虑运用两角和的正切    公式．     ｔａｎ６０°－ｔａｎ４５°   证法１ 因为ｔａｎ１５°＝ｔａｎ（６０°－４５°）＝  １＋ｔａｎ６０°ｔａｎ４５°     槡３－１  ＝ ＝２－槡３，   １＋槡３×１     １＋ｔａｎ１５° １＋２－槡３  所以 ＝ ＝槡３．  １－ｔａｎ１５° １－２＋槡３       １＋ｔａｎ１５° ｔａｎ４５°＋ｔａｎ１５°  证法２ ＝   １－ｔａｎ１５° １－ｔａｎ４５°ｔａｎ１５°     ＝ｔａｎ（４５°＋１５°）＝ｔａｎ６０°＝槡３．      证法３ 因为槡３＝ｔａｎ６０°＝ｔａｎ（４５°＋１５°）     ｔａｎ４５°＋ｔａｎ１５° １＋ｔａｎ１５°  ＝ ＝ ，  １－ｔａｎ４５°ｔａｎ１５° １－ｔａｎ１５°      １＋ｔａｎ１５°  所以 ＝槡３．   １－ｔａｎ１５°     例３ 如图１０ １ ４，有三个相同的正方形相接，求证：     π   α＋β＝ ４ ．               图１０ １ ４     证明 由图１０ １ ４可知     １ １   ｔａｎα＝ ，ｔａｎβ＝ ，  ２ ３    从而得      １ １  ＋   ｔａｎ（α＋β ）＝ ｔａｎα＋ｔａｎβ ＝ ２ ３ ＝１．   １－ｔａｎαｔａｎβ １ １  １－ ×  ２ ３      ５９                        必修第二册 数学  （ ）    由ｔａｎ（α＋β）＝１ 因为α， β∈ ０， ２ π ，所以α＋β∈ （０，π）．     π  能直接得到α＋β＝ ４ 在区间（０，π）内，正切值为１的角只有１个，即ｔａｎ π ＝１．   ４   吗？为什么？   π  故 α＋β＝ ．  ４     （ ）  π  练 习 １（１）已知ｔａｎα＝３，求ｔａｎα－ ４ 的值；     （２）已知ｔａｎα＝－２，ｔａｎβ＝５，求ｔａｎ（α＋β）的值．     ２求下列各式的值：    （ １） ｔａ ｎ ７５ °； （ ２） ｔａ ｎ １５ °；    １－ｔａｎ７５°  （３）ｔａｎ１０５°； （４） ．  １＋ｔａｎ７５°     ３在△犃犅犆中，ｔａｎ犃＝２，ｔａｎ犅＝５，求ｔａｎ犆的值．    ４已知ｔａｎα，ｔａｎβ 是方程３狓２＋５狓－１＝０的两根，求ｔａｎ（α＋β）的值．    １   ５已知ｔａｎ（α＋β）＝ ３ ，ｔａｎα＝－２，求ｔａｎβ 的值．   （ ）   ６已知ｔａｎα＝３，ｔａｎβ＝２，α，β∈ ０， π ，求证：α＋β＝ ３π ．   ２ ４       例４ 在斜三角形犃犅犆中，求证：      ｔａｎ犃＋ｔａｎ犅＋ｔａｎ犆＝ｔａｎ犃ｔａｎ犅ｔａｎ犆．      分析 将要证的等式与两角和（差）的正切公式比较，它们都含    有正切的和与积，因此可考虑运用两角和的正切公式．    证明 在斜三角形犃犅犆中，有犃＋犅＋犆＝π，即犃＋犅＝π－     π  犆，且犃，犅，犃＋犅都不等于 ，所以  ２      ｔａｎ（犃＋犅）＝ｔａｎ（π－犆），     ｔａｎ犃＋ｔａｎ犅  即 ＝－ｔａｎ犆，   １－ｔａｎ犃ｔａｎ犅     即 ｔａｎ犃＋ｔａｎ犅＝－ｔａｎ犆＋ｔａｎ犃ｔａｎ犅ｔａｎ犆，      从而 ｔａｎ犃＋ｔａｎ犅＋ｔａｎ犆＝ｔａｎ犃ｔａｎ犅ｔａｎ犆．      思 考 一般地，当角α， β ，γ满足什么条件时，等式     ｔａｎα＋ｔａｎβ＋ｔａｎγ＝ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ     成立？      例５ 如图１０ １ ５，两座建筑物犃犅，犆犇的高度分别是９ｍ     和１５ｍ，从建筑物犃犅的顶部犃处看建筑物犆犇的张角 ∠犆犃犇＝    ４５°，求建筑物犃犅和犆犇的底部之间的距离犅犇．     分析 作犃犈⊥犆犇于点犈，有犅犇＝犃犈．设犃犈为狓，只需建立  图１０ １ ５     ６０                       １０  三角恒等变换 第 章    关于狓的方程即可．    解 如图１０ １ ５，作犃犈⊥犆犇于点犈．     因为犃犅∥犆犇，犃犅＝９ｍ，犆犇＝１５ｍ，     所以犇犈＝９ｍ，犈犆＝６ｍ．     设犃犈＝狓，∠犆犃犈＝α．     因为 ∠犆犃犇＝４５°，所以 ∠犇犃犈＝４５°－α．     在Ｒｔ△犃犈犆和Ｒｔ△犃犈犇中，有     ６ ９  ｔａｎα＝ ，ｔａｎ（４５°－α）＝ ．   狓 狓    １－ｔａｎα  因为 ｔａｎ（４５°－α）＝ ，   １＋ｔａｎα    ６  １－   ９ 狓  所以 ＝ ．  狓 ６   １＋  狓    化简，得 狓２－１５狓－５４＝０，      解得狓＝１８，狓＝－３（舍去）．    答 两座建筑物底部之间的距离犅犇等于１８ｍ．       练 习 １在△犃犅犆中，已知ｔａｎ犃，ｔａｎ犅是方程３狓２－７狓＋２＝０的两根，求ｔａｎ犆的值．   ２证明：ｔａｎ３α－ｔａｎ２α－ｔａｎα＝ｔａｎ３αｔａｎ２αｔａｎα．     ３证明：ｔａｎ９５°－ｔａｎ３５°－槡３＝槡３ｔａｎ９５°ｔａｎ３５°．    ｔａｎ３９°＋ｔａｎ８１°＋ｔａｎ２４０°  ４化简： ．  ｔａｎ３９°ｔａｎ８１°    ５如图，在某开发区内新建两栋高楼犃犅，犆犇（犃犆为水平地面），犘是犃犆的    中点，在点犘处测得两楼顶的张角∠犅犘犇＝４５°，犃犅＝犃犆＝５０ｍ．试求    楼犆犇的高度（测量仪器的高度不计）．                          （第５题）       习题１０．１（３）        感受·理解 １化简：    ｔ ａｎ ５ ８° ＋ ｔａｎ ９ ２° ｔ ａｎ ２θ － ｔ ａｎθ  （１） ； （２） ；  １＋ｔａｎ５８°ｔａｎ８８° １＋ｔａｎ２θｔａｎθ    ｃｏｓ１５°－ｓｉｎ１５°  （３）ｔａｎ８３°＋ｔａｎ３７°－槡３ｔａｎ８３°ｔａｎ３７°； （４） ．   ｃｏｓ１５°＋ｓｉｎ１５°     ６１                        必修第二册 数学    ２（１）已知ｔａｎ狓＝ １ ，ｔａｎ狔＝－３，求ｔａｎ（狓－狔）的值；   ７    １  （２）已知ｔａｎα＝ ，ｔａｎβ＝－２，且０°＜α＜９０°，２７０°＜β＜３６０°，求α＋β  ３    的值．    ３证明：     （１）ｔａｎ（狓＋狔）ｔａｎ（狓－狔）＝ ｔａｎ２狓－ｔａｎ２狔 ；   １－ｔａｎ２狓ｔａｎ２狔    ｔａｎ狓＋ｔａｎ狔 ｓｉｎ（狓＋狔）  （２） ＝ ．  ｔａｎ狓－ｔａｎ狔 ｓｉｎ（狓－狔）    ４如图，在△犃犅犆中，犃犇⊥犅犆，垂足为犇，犅犇∶犇犆∶犃犇＝２∶３∶６，求    ∠犅犃犆的大小．   （ ） （ ）  ２ π １ π  ５已知ｔａｎ（α＋β）＝ ，ｔａｎβ－ ＝ ，求ｔａｎα＋ 的值．   ５ ４ ４ ４   ３ １   ６在锐角三角形犃犅犆中，ｓｉｎ犃＝ ，ｔａｎ（犃－犅）＝－ ，求ｓｉｎ犅，  ５ ３    （第４题） ｃｏｓ犆的值．     思考·运用 ７已知ｔａｎα，ｔａｎβ 是方程３狓２＋５狓－７＝０的两根，求下列各式的值：     （１）ｔａｎ（α＋β）； （２） ｓｉｎ（α＋β） ； （３）ｃｏｓ２（α＋β）．   ｃｏｓ（α－β）   ８．证明：     ｔａｎ（犃－犅）＋ｔａｎ（犅－犆）＋ｔａｎ（犆－犃）   ＝ｔａｎ（犃－犅）ｔａｎ（犅－犆）ｔａｎ（犆－犃）．     ９（１）已知α＋β＝４５°，求证：（ｔａｎα＋１）（ｔａｎβ＋１）＝２；   （２）已知（ｔａｎα＋１）（ｔａｎβ＋１）＝２，求α＋β 的值．     １０已知０＜α＜ π ，０＜β＜ π ，且ｔａｎα＝ １ ，ｔａｎβ＝ ３ ，   ２ ２ ７ ４    π  求证：α＋β＝ ．  ４     探究·拓展 １１．如图，在正方形犃犅犆犇中，犘，犙分别在犅犆，犆犇上，且犘犅＋犙犇＝犘犙，利    π  用两角和（差）的正切公式证明：∠犘犃犙＝ ．  ４                      （第１１题）                             ６２                       １０  三角恒等变换 第 章       １０．２      二倍角的三角函数          上一节，我们讨论了α＋β 的三角函数用α， β 的三角函数来表示．    当α＝β 时，α＋β＝２α，此时，      ●ｓｉｎ２α能否用α的三角函数来表示？      事实上，只要在Ｓ ，Ｃ ，Ｔ 公式中，令 β＝α，就可以得   （α＋β） （α＋β） （α＋β）  到下面的结果：         ｓｉｎ２α＝２ｓｉｎαｃｏｓα， （Ｓ ）   ２α    ｃｏｓ２α＝ｃｏｓ２α－ｓｉｎ２α， （Ｃ ）  ２α    ２ｔａｎα  ｔａｎ２α＝ ． （Ｔ ）  １－ｔａｎ２α ２α         其中，公式Ｃ 还可以变形为   ２α       ｃｏｓ２α＝２ｃｏｓ２α－１， （Ｃ ）   ２α   ｃｏｓ２α＝１－２ｓｉｎ２α． （Ｃ ）   ２α      这里的“倍角”， 以上这些公式都叫作倍角公式．倍角公式是和角公式的特例．    实际上专指 “二倍  有了倍角公式，就可以用角α的三角函数表示二倍角２α的   角”，遇到“三倍角”等  三角函数．   名称时，“三”字等不  （ ）    能省去． 例１ 已知ｓｉｎα＝ １２ ，α∈ π ，π ，求ｓｉｎ２α，ｃｏｓ２α，   １３ ２     ｔａｎ２α的值．  （ ）   １２ π  解 因为 ｓｉｎα＝ ，α∈ ，π ，   １３ ２   （ ）    所以 ｃｏｓα＝－槡１－ｓｉｎ２α＝－ 槡 １－ １２２ ＝－ ５ ．   １３ １３   （ ）   １２ ５ １２０  于是 ｓｉｎ２α＝２ｓｉｎαｃｏｓα＝２× × － ＝－ ，   １３ １３ １６９   （ ）   １２２ １１９   ｃｏｓ２α＝１－２ｓｉｎ２α＝１－２× ＝－ ，  １３ １６９   （ ） （ ）   ｓｉｎ２α １２０ １６９ １２０  ｔａｎ２α＝ ＝ － × － ＝ ．   ｃｏｓ２α １６９ １１９ １１９      ６３                        必修第二册 数学    例２ 证明： １＋ｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θ ＝ｔａｎθ．   １＋ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ     分析 等式的左边较繁，需对它进行化简，并注意将２θ的三角函    数化成θ的三角函数．     证明 左边＝ １＋２ｓｉｎθｃｏｓθ－（１－２ｓｉｎ２θ）    １＋２ｓｉｎθｃｏｓθ＋（２ｃｏｓ２θ－１）     ２ｓｉｎθ（ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ） ｓｉｎθ  ＝ ＝ ＝ｔａｎθ＝ 右边．  ２ｃｏｓθ（ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ） ｃｏｓθ       因此，等式成立．     练 习 １利用倍角公式求下列各式的值：     π π π π   （１）ｓｉｎ ８ ｃｏｓ ８ ； （２）ｃｏｓ２ ８ －ｓｉｎ２ ８ ；     ２ｔａｎ１５°  （３）１－２ｓｉｎ２１５°； （４） ；  １－ｔａｎ２１５°     （５）（ｓｉｎ１５°－ｃｏｓ１５°）２； （６）２ｓｉｎ２０°ｃｏｓ２０°－２ｃｏｓ２２５°．  （ ）   π  ２已知ｓｉｎα＝０．８，α∈ ０， ，求ｓｉｎ２α，ｃｏｓ２α的值．  ２    １  ３已知ｔａｎα＝ ，求ｔａｎ２α的值．  ２     ４证明：     （１）２ｓｉｎ（π＋α）ｃｏｓ（π－α）＝ｓｉｎ２α； （２）（ｓｉｎ狓＋ｃｏｓ狓）２＝１＋ｓｉｎ２狓；   １－ｃｏｓ２α   （３）１＋２ｃｏｓ２θ－ｃｏｓ２θ＝２； （４） ＝２ｓｉｎα；  ｓｉｎα    １－ｃｏｓ２犃  （５） ＝ｔａｎ２犃； （６）槡１－ｓｉｎ８０°＝ｃｏｓ４０°－ｓｉｎ４０°．  １＋ｃｏｓ２犃     ５．化简：  （ ）   α α α  １＋２ｃｏｓ ｓｉｎ －ｃｏｓ   ２ ２ ２  （１）４ｓｉｎ２α（１－ｓｉｎ２α）＋ｃｏｓ２２α； （２） ．  ｓｉｎα－ｃｏｓα     （ ） （ ）   例３ 化简ｓｉｎ２α－ π ＋ｓｉｎ２α＋ π －ｓｉｎ２α．   ６ ６     解法１ 由倍角公式ｃｏｓ２α＝１－２ｓｉｎ２α，得      １－ｃｏｓ２α  公式 ｓｉｎ２α＝ ．   ２   １－ｃｏｓ２α   ｓｉｎ２α＝ ２ ， （ ） （ ）  π π  １－ｃｏｓ２α－ １－ｃｏｓ２α＋   ｃｏｓ２α＝ １＋ｃｏｓ２α ， 原式 ＝ ３ ＋ ３ － １－ｃｏｓ２α   ２ ２ ２ ２   １－ｃｏｓ２α ［ （ ） （ ） ］   ｔａｎ２α＝ １ １ π π  １＋ｃｏｓ２α ＝ － ｃｏｓ２α－ ＋ｃｏｓ２α＋ －ｃｏｓ２α  ２ ２ ３ ３   都可由倍角公式变形  （ ）    得到． ＝ １ － １ ２ｃｏｓ２αｃｏｓ π －ｃｏｓ２α＝ １ ．   ２ ２ ３ ２      ６４                       １０  三角恒等变换 第 章  （ ） （ ）   π π  解法２ ｓｉｎ２α－ ＋ｓｉｎ２α＋ －ｓｉｎ２α  ６ ６    （ ） （ ）  槡３ １ 槡３ １   ＝ ｓｉｎα－ ｃｏｓα２＋ ｓｉｎα＋ ｃｏｓα２－ｓｉｎ２α  ２ ２ ２ ２    ３ １ １   ＝ ｓｉｎ２α＋ ｃｏｓ２α－ｓｉｎ２α＝ ．  ２ ２ ２      例４ 证明：ｓｉｎ５０°（１＋槡３ｔａｎ１０°）＝１．    （ ）  槡３ｓｉｎ１０°   证明 左边＝ｓｉｎ５０°１＋  ｃｏｓ１０°     ｃｏｓ１０°＋槡３ｓｉｎ１０°  ＝ｓｉｎ５０°·  ｃｏｓ１０°      １ 槡３  ｃｏｓ１０°＋ ｓｉｎ１０°  ２ ２  ＝２ｓｉｎ５０°·  ｃｏｓ１０°     ｃｏｓ（６０°－１０°）  ＝２ｓｉｎ５０°·   ｃｏｓ１０°    ２ｓｉｎ５０°ｃｏｓ５０° ｓｉｎ１００°   ＝ ＝  ｃｏｓ１０° ｃｏｓ１０°    ｓｉｎ（９０°＋１０°） ｃｏｓ１０°   ＝ ＝ ＝１＝ 右边．  ｃｏｓ１０° ｃｏｓ１０°      因此，等式成立．     例５ 在半圆形钢板上截取一块矩形材料，使矩形的一边落在     半圆的直径上，怎样截取能使这个矩形的面积最大？                     图１０ ２ １     解 如图１０ ２ １，设∠犃犗犅＝θ，且θ为锐角，半圆的半径为犚．     面积最大的矩形犃犅犆犇必内接于半圆犗，且两边长分别为     犃犅＝犚ｓｉｎθ，     犇犃＝２犗犃＝２犚ｃｏｓθ．      这个矩形的面积为      犛 ＝犃犅·犇犃＝犚ｓｉｎθ·２犚ｃｏｓθ＝犚２ｓｉｎ２θ．   矩形犃犅犆犇    所以，当ｓｉｎ２θ＝１（θ为锐角），即θ＝４５°时，矩形犃犅犆犇的面积      取得最大值犚２ ，此时，犗犃＝ 槡２ 犚．   ２      ６５                        必修第二册 数学    答 当这个矩形在半圆直径上的两个顶点到圆心的距离都是半     槡２  圆半径的 倍时，所截取的矩形的面积最大．  ２      思 考 在一个圆的所有内接矩形中，怎样的矩形面积最大？        练 习 １化简：    θ θ  （１）（ｓｉｎ１５°＋ｃｏｓ１５°）２； （２）ｓｉｎ ｃｏｓ ；   ２ ２     （３）ｃｏｓ４α－ｓｉｎ４α； （４）槡２＋ｃｏｓ２０°－ｓｉｎ２１０°；   １ １   （５） － ；  １－ｔａｎθ １＋ｔａｎθ   （ ） （ ）  槡 π π   （６） １－２ｓｉｎ －αｃｏｓ －α （０＜α＜π）．  ４ ４    ２证明：     （１）ｃｏｓ２（犃＋犅）－ｓｉｎ２（犃－犅）＝ｃｏｓ２犃ｃｏｓ２犅；     （２）ｃｏｓ２θ（１－ｔａｎ２θ）＝ｃｏｓ２θ．   １ １   ３已知ｔａｎα＝ ７ ，ｔａｎβ＝ ３ ，且α，β 都是锐角，求α＋２β 的值．   （ ）   狓 狓 狓  ４．求函数狔＝ｓｉｎ ｓｉｎ －ｃｏｓ 的最大值和最小值．  ２ ２ ２       习题１０．２         感受·理解 １求下列各式的值：     （１）ｓｉｎ１１２°３０′ｃｏｓ６７°３０′； （２）ｓｉｎ２１５°－ｃｏｓ２１５°；   π １   （３）ｓｉｎ２ － ； （４）１－２ｃｏｓ２７５０°；  １２ ２    （５）ｓｉｎ１５°ｃｏｓ１５°．    ２化简：    π π ２ｔａｎ２２．５°   （１）ｓｉｎ２ １６ －ｃｏｓ２ １６ ； （２） １－ｔａｎ２２２．５° ；     ５π  ｔａｎ  ２４ ｓｉｎ１５°－ｃｏｓ１５°  （３） ； （４） ；  ５π ｓｉｎ１５°＋ｃｏｓ１５°   １－ｔａｎ２ ２４     ｃｏｓ２狓 ｃｏｓ２狓 ｃｏｓ２α－ｃｏｓ２β  （５） － ； （６） ．  ｓｉｎ狓＋ｃｏｓ狓 ｓｉｎ狓－ｃｏｓ狓 ｃｏｓα－ｃｏｓβ     槡３  ３已知ｃｏｓφ＝－ ，且１８０°＜φ＜２７０°，求ｓｉｎ２φ，ｃｏｓ２φ，ｔａｎ２φ 的值．  ３    α ３ α ４  ４已知ｓｉｎ ＝ ，ｃｏｓ ＝－ ，试确定角α所在的象限．   ２ ５ ２ ５    ４  ５（１）已知ｃｏｓα＝ ，求ｓｉｎ４α＋ｃｏｓ４α的值；  ５    １  （２）已知ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ ，求ｓｉｎ２α的值；  ２      ６６                       １０  三角恒等变换 第 章  （ ）   （３）已知α∈ ３π ，２π ，化简槡１－ｓｉｎα＋槡１＋ｓｉｎα；   ２  （ ） （ ）    （４）已知ｔａｎα－ β ＝ １ ，ｔａｎβ－ α ＝－ １ ，求ｔａｎ（α＋β）的值．  ２ ２ ２ ３    ６证明：   （ ）   （１）ｓｉｎ α －ｃｏｓ α２ ＝１－ｓｉｎα；   ２ ２    １ ２  （２）ｔａｎθ－ ＝－ ；   ｔａｎθ ｔａｎ２θ   （ ） （ ）  π ３π  （３）ｔａｎα＋ ＋ｔａｎα＋ ＝２ｔａｎ２α；   ４ ４   （４）ｓｉｎθ（１＋ｃｏｓ２θ）＝ｓｉｎ２θｃｏｓθ；   （ ）   １＋ｓｉｎ２狓 π  （５） ＝ｔａｎ ＋狓；  ｃｏｓ２狓 ４     １ １ １  （６） － ＝ ．  ｔａｎθ ｔａｎ２θ ｓｉｎ２θ     思考·运用 ７用ｓｉｎα表示ｓｉｎ３α．     ８求值：ｓｉｎ１０°ｃｏｓ２０°ｃｏｓ４０°．    π 犽π  ９已知ｓｉｎβ＝犿ｓｉｎ（２α＋β），且α＋β≠ ＋犽π（犽∈犣），α≠ （犽∈犣），  ２ ２    １＋犿   犿≠１．求证：ｔａｎ（α＋β）＝ ｔａｎα．  １－犿    １０如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，那么    折痕长度犾取决于角θ的大小．探求犾，θ之间的关系式，并导出用θ表示犾    的函数表达式．                             （第１０题） （第１２题）     探究·拓展 １１试说明狔＝ｓｉｎ２狓与狔＝ｓｉｎ２狓的图象之间有什么样的关系．     １２如图，屋顶的断面图是等腰三角形犃犅犆，其中犃犅＝犅犆，横梁犃犆的长为   定值２犾，∠犅犃犆＝α．试问：当α为多大时，雨水从屋顶（屋顶面为光滑斜     面）上流下所需的时间最短？                          ６７                        必修第二册 数学       １０．３      几个三角恒等式          观察下列学过的两组公式：      （１）ｓｉｎ（α＋β ）＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ ， ①     ｓｉｎ（α－β ）＝ｓｉｎαｃｏｓβ－ｃｏｓαｓｉｎβ ； ②     （２）ｃｏｓ（α＋β ）＝ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ ， ③     ｃｏｓ（α－β ）＝ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ． ④     ● 尝试一下，对①②③④做一些“运算”，例如①＋②，①－②，等    等，看看能得到些什么？      （１）由①＋②，得     ｓｉｎ（α＋β ）＋ｓｉｎ（α－β ）＝２ｓｉｎαｃｏｓβ ，    １  所以 ｓｉｎαｃｏｓβ＝ ［ｓｉｎ（α＋β ）＋ｓｉｎ（α－β ）］．   ２     （２）由①－②，得     ｓｉｎ（α＋β ）－ｓｉｎ（α－β ）＝２ｃｏｓαｓｉｎβ ，     １   所以 ｃｏｓαｓｉｎβ＝ ［ｓｉｎ（α＋β ）－ｓｉｎ（α－β ）］．  ２     （３）由③＋④，得      ｃｏｓ（α＋β ）＋ｃｏｓ（α－β ）＝２ｃｏｓαｃｏｓβ ，    １  所以 ｃｏｓαｃｏｓβ＝ ［ｃｏｓ（α＋β ）＋ｃｏｓ（α－β ）］．   ２     （４）由③－④，得     ｃｏｓ（α＋β ）－ｃｏｓ（α－β ）＝－２ｓｉｎαｓｉｎβ ，     １   所以 ｓｉｎαｓｉｎβ＝－ ２ ［ｃｏｓ（α＋β ）－ｃｏｓ（α－β ）］．     于是有      １  ｓｉｎαｃｏｓβ＝ ［ｓｉｎ（α＋β ）＋ｓｉｎ（α－β ）］，   ２   本节公式不要求   １   记忆． ｃｏｓαｓｉｎβ＝ ２ ［ｓｉｎ（α＋β ）－ｓｉｎ（α－β ）］，     １   ｃｏｓαｃｏｓβ＝ ［ｃｏｓ（α＋β ）＋ｃｏｓ（α－β ）］，  ２     １  ｓｉｎαｓｉｎβ＝－ ［ｃｏｓ（α＋β ）－ｃｏｓ（α－β ）］．   ２      ６８                       １０  三角恒等变换 第 章   这组公式中，每个等式左边为三角函数乘积的形式，而等式右边     为三角函数和与差的形式，通常称之为三角函数的积化和差公式．      ５π π  例１ 求ｓｉｎ ｃｏｓ 的值．  １２ １２   ［ （ ） （ ）］   １ ５π π ５π π  解 原式＝ ｓｉｎ ＋ ＋ｓｉｎ －  ２ １２ １２ １２ １２   （ ）   １ π π １ 槡３   ＝ ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ＝ ＋ ．  ２ ２ ３ ２ ４        在积化和差的公式中，如果令α＋β＝θ，α－β＝φ ，那么     θ＋φ θ－φ   α＝ ， β＝ ．  ２ ２      把α， β 的值代入积化和差公式     １   ｓｉｎαｃｏｓβ＝ ［ｓｉｎ（α＋β ）＋ｓｉｎ（α－β ）］，  ２     就有    ［ （ ） （ ）］   ｓｉｎ θ＋φ ｃｏｓ θ－φ ＝ １ ｓｉｎ θ＋φ ＋ θ－φ ＋ｓｉｎ θ＋φ － θ－φ   ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２    １  ＝ （ｓｉｎθ＋ｓｉｎφ ），   ２      所以 ｓｉｎθ＋ｓｉｎφ＝２ｓｉｎ θ＋φ ｃｏｓ θ－φ ．   ２ ２     同样可得      θ＋φ θ－φ   ｓｉｎθ－ｓｉｎφ＝２ｃｏｓ ２ ｓｉｎ ２ ，     θ＋φ θ－φ   ｃｏｓθ＋ｃｏｓφ＝２ｃｏｓ ２ ｃｏｓ ２ ，     θ＋φ θ－φ   ｃｏｓθ－ｃｏｓφ＝－２ｓｉｎ ２ ｓｉｎ ２ ．       把上面四个等式中的字母θ， φ 换成α， β ，就有       α＋β α－β  ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ，  ２ ２     α＋β α－β   ｓｉｎα－ｓｉｎβ＝２ｃｏｓ ｓｉｎ ，  ２ ２     α＋β α－β  ｃｏｓα＋ｃｏｓβ＝２ｃｏｓ ｃｏｓ ，   ２ ２     α＋β α－β  ｃｏｓα－ｃｏｓβ＝－２ｓｉｎ ｓｉｎ ．  ２ ２        ６９                        必修第二册 数学   这组公式中，每个等式左边为三角函数和与差的形式，而等式右     边为三角函数乘积的形式，通常称之为三角函数的和差化积公式．      例２ 把下列各式化为积的形式：     （１）ｓｉｎ１１４°＋ｓｉｎ２６°；  （ ） （ ）   π π  （２）ｃｏｓα＋ ＋ｃｏｓα－ ．   ４ ４    １１４°＋２６° １１４°－２６°  解 （１）原式＝２ｓｉｎ ｃｏｓ   ２ ２     ＝２ｓｉｎ７０°ｃｏｓ４４°．  （ ） （ ） （ ） （ ）   π π π π  α＋ ＋α－ α＋ －α－   ４ ４ ４ ４  （２）原式＝２ｃｏｓ ｃｏｓ  ２ ２     π  ＝２ｃｏｓαｃｏｓ ＝槡２ｃｏｓα．  ４       练 习 １把下列各式化为和或差的形式：   （１）２ｓｉｎ７０°ｃｏｓ２０°； （２）ｃｏｓ８０°ｓｉｎ２０°；     （３）ｃｏｓ６８°ｃｏｓ５２°； （４）ｓｉｎ１２１°ｓｉｎ５９°．   ２求下列各式的值：     （１）ｓｉｎ１０５°ｃｏｓ７５°； （２）ｃｏｓ３７．５°ｃｏｓ２２．５°；    ９π π ５π ３π  （３）２ｃｏｓ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ．   １３ １３ １３ １３   ３证明下列各恒等式：   （ ） （ ）   （１）２ｓｉｎ π ＋αｓｉｎ π －α＝ｃｏｓ２α；   ４ ４    １  （２）ｓｉｎ２０°ｃｏｓ７０°＋ｓｉｎ１０°ｓｉｎ５０°＝ ；  ４    １  （３）ｓｉｎ１５°ｓｉｎ３０°ｓｉｎ７５°＝ ．  ８    ４把下列各式化成积的形式：    （１）ｓｉｎ２４°＋ｓｉｎ３６°； （２）ｓｉｎ（１５°＋α）－ｓｉｎ（１５°－α）；     （３）ｃｏｓ狓＋ｃｏｓ３狓； （４）ｃｏｓ α＋β －ｃｏｓ α－β ．   ２ ２   ５求下列各式的值：     （１） ｓｉｎ２０°－ｓｉｎ４０° ； （２）ｓｉｎ２０°＋ｓｉｎ４０°－ｃｏｓ１０°．   ｃｏｓ２０°－ｃｏｓ４０°    α＋β  ｔａｎ   ６证明： ｓｉｎα＋ｓｉｎβ ＝ ２ ．   ｓｉｎα－ｓｉｎβ ｔａｎ α－β   ２       由ｃｏｓ２α＝１－２ｓｉｎ２α＝２ｃｏｓ２α－１，得    α α  ｃｏｓα＝１－２ｓｉｎ２ ＝２ｃｏｓ２ －１，   ２ ２    α α  即 ２ｓｉｎ２ ＝１－ｃｏｓα，２ｃｏｓ２ ＝１＋ｃｏｓα．   ２ ２      ７０                       １０  三角恒等变换 第 章   所以         α 槡１－ｃｏｓα  ｓｉｎ ＝± ，  ２ ２      ｃｏｓ α ＝± 槡１＋ｃｏｓα ，   ２ ２     α 槡１－ｃｏｓα   ｔａｎ ＝± ．  ２ １＋ｃｏｓα        α  当 所在的象限能够确定时，这三个公式中根号前的符号可以确  ２     定．一般情况，应保留“±”．这组公式通常称为三角函数的半角公式．     另一方面，      α α α  ｓｉｎ ２ｓｉｎ ｃｏｓ  α ２ ２ ２ ｓｉｎα  ｔａｎ ＝ ＝ ＝ ，   ２ α α １＋ｃｏｓα   ｃｏｓ ２ ２ｃｏｓ２ ２     α α   α ｓｉｎ ２ ２ｓｉｎ２ ２ １－ｃｏｓα   ｔａｎ ＝ ＝ ＝ ．  ２ α α α ｓｉｎα  ｃｏｓ ２ｓｉｎ ｃｏｓ   ２ ２ ２     即        α ｓｉｎα １－ｃｏｓα  ｔａｎ ＝ ＝ ．   ２ １＋ｃｏｓα ｓｉｎα       １ α α α   例３ 已知ｃｏｓα＝ ，求ｓｉｎ ，ｃｏｓ ，ｔａｎ 的值．  ３ ２ ２ ２     １  １－   α 槡１－ｃｏｓα 槡 ３ 槡３  解 ｓｉｎ ＝± ＝± ＝± ，  ２ ２ ２ ３      １  １＋   ｃｏｓ α ＝± 槡１＋ｃｏｓα ＝± 槡 ３ ＝± 槡６ ，   ２ ２ ２ ３     １   １－  α 槡１－ｃｏｓα ３ 槡２  ｔａｎ ＝± ＝± ＝± ．   ２ １＋ｃｏｓα 槡 １＋ １ ２   ３      α  例４ 设ｔａｎ ＝狋，求证：   ２     ｓｉｎα＝ ２狋 ，ｃｏｓα＝ １－狋２，ｔａｎα＝ ２狋 ． （１）   １＋狋２ １＋狋２ １－狋２      ７１                        必修第二册 数学    证明 由二倍角公式，得     α α α   ２ｓｉｎ ｃｏｓ ２ｔａｎ  α α ２ ２ ２ ２狋  ｓｉｎα＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ＝ ＝ ，   ２ ２ α α α １＋狋２  ｃｏｓ２ ＋ｓｉｎ２ １＋ｔａｎ２  ２ ２ ２      α  ２ｔａｎ   ２ ２狋  ｔａｎα＝ ＝ ．  α １－狋２   １－ｔａｎ２  ２     再由同角三角函数间的关系，得      ２狋     ｃｏｓα＝ ｓｉｎα ＝ １＋狋２ ＝ １－狋２ ．   ｔａｎα ２狋 １＋狋２   １－狋２   图１０ ３ １    图１０ ３ １中的直角三角形可以帮助我们更好地理解公式（１）．        ２ α α α   练 习 １已知ｃｏｓα＝ ，求ｓｉｎ ，ｃｏｓ ，ｔａｎ 的值．  ３ ２ ２ ２    ４ θ θ θ  ２已知ｓｉｎθ＝－ ，且θ为第三象限角，求ｓｉｎ ，ｃｏｓ ，ｔａｎ 的值．  ５ ２ ２ ２     ３已知ｔａｎα＝－２，求ｓｉｎ２α，ｃｏｓ２α，ｔａｎ２α的值．   犫   ４已知ｔａｎθ＝ ，求证：犪ｃｏｓ２θ＋犫ｓｉｎ２θ＝犪．  犪     链 接 一般地，由下列函数      １，ｃｏｓ犽狓，ｃｏｓ２犽狓，ｃｏｓ３犽狓，…     ｓｉｎ犽狓，ｓｉｎ２犽狓，ｓｉｎ３犽狓，…      中的若干个函数的和所得到的函数仍是周期函数．法国数学家傅里    叶（Ｊ．Ｂ．Ｊ．Ｆｏｕｒｉｅｒ，１７６８—１８３０）发现，几乎所有的周期函数都能用     这些函数的和（一般为无穷和）来表示．     在图形计算器中作出函数犳（狓）＝ｃｏｓ２π狓，犳（狓）＝－ｃｏｓ２π狓，  １ ２   犳（狓）＝ｃｏｓ２π狓ｃｏｓ１６π狓的图象（图１０ ３ ２）．   ３    在学习物理中的   相关内容（如简谐运     动、波的传播、交流电    等）时，注意利用三角    函数知识来分析和    理解．          图１０ ３ ２      ７２                       １０  三角恒等变换 第 章    从图中可以发现，函数犳（狓）的图象夹在两个函数犳（狓）和  ３ １   犳（狓）的图象之间．  ２   无线电波是将控制信号（带有信息的低频信号）叠加在载波上传     播的，主要有调幅ＡＭ（ａｍｐｌｉｔｕｄｅｍｏｄｕｌａｔｉｏｎ）和调频ＦＭ（ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ    ｍｏｄｕｌａｔｉｏｎ）两种形式．调幅广播，控制信号改变（调制）载波的振幅，     而载波的频率不变．调频广播，控制信号改变（调制）载波的频率，但    载波的振幅保持不变（图１０ ３ ３）．                                    图１０ ３ ３       习题１０．３        感受·理解 １求下列各式的值：     （１）ｓｉｎ１３５°ｃｏｓ１５°； （２）ｓｉｎ７５°ｓｉｎ１５°；    （３）ｃｏｓ２０°ｃｏｓ４０°ｃｏｓ８０°； （４）ｓｉｎ２０°ｓｉｎ４０°ｓｉｎ８０°．    ２把下列各式化为和或差的形式：    （１）ｓｉｎ２狓ｓｉｎ狓；    （２）ｃｏｓ（α＋β）ｃｏｓ（α－β）；    （３）ｓｉｎ（１３５°－３狓）ｃｏｓ（４５°＋狓）；   （ ） （ ）  π π   （４）２ｓｉｎ －狓ｓｉｎ ＋狓．  ４ ４    ３把下列各式化为积的形式：    （１）ｓｉｎ１８°＋ｃｏｓ２７°； （２）ｓｉｎ５０°－ｃｏｓ５０°；  （ ） （ ）   π π  （３）ｃｏｓ ＋α＋ｃｏｓ －α； （４）ｓｉｎ狓＋ｃｏｓ狓．  ３ ３    ４证明下列恒等式：    ｓｉｎ犃＋ｓｉｎ３犃＋ｓｉｎ５犃 ｓｉｎ３犃  （１） ＝ ；  ｓｉｎ３犃＋ｓｉｎ５犃＋ｓｉｎ７犃 ｓｉｎ５犃     （２） ｓｉｎα＋ｓｉｎ３α＋ｓｉｎ５α ＝ｔａｎ３α．   ｃｏｓα＋ｃｏｓ３α＋ｃｏｓ５α    ５求下列各式的值：    （１）ｃｏｓ４０°＋ｃｏｓ６０°＋ｃｏｓ１４０°；    （２）ｓｉｎ２０°ｓｉｎ４０°ｓｉｎ６０°ｓｉｎ８０°．    ３ θ θ   ６已知ｃｏｓθ＝－ ５ ，且１８０°＜θ＜２７０°，求ｓｉｎ ２ ，ｃｏｓ ２ 的值．      ７３                        必修第二册 数学    思考·运用 ７在△犃犅犆中，求证：    （１）ｓｉｎ２犃＋ｓｉｎ２犅＋ｓｉｎ２犆＝４ｓｉｎ犃ｓｉｎ犅ｓｉｎ犆；    （２）ｃｏｓ２犃＋ｃｏｓ２犅＋ｃｏｓ２犆＝－１－４ｃｏｓ犃ｃｏｓ犅ｃｏｓ犆．    ８证明：    （１）ｓｉｎ（α＋β）ｓｉｎ（α－β）＝ｓｉｎ２α－ｓｉｎ２β；   （ ） （ ）   （２）ｃｏｓ２狓＋ｃｏｓ２ ２π ＋狓＋ｃｏｓ２ ４π ＋狓＝ ３ ．   ３ ３ ２     ９设ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＝犪，ｃｏｓα＋ｃｏｓβ＝犫，求ｔａｎ α＋β的值．  ２    １０试用不同的方法求ｔａｎ１５°的值．     探究·拓展 １１证明：     ｓｉｎ（α＋β）ｓｉｎ（α－β）＋ｓｉｎ（β＋γ）ｓｉｎ（β－γ）＋ｓｉｎ（γ＋α）ｓｉｎ（γ－α）＝０．    １２把１＋ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ化成积的形式．    １３（操作题）在图形计算器中作出函数犳（狓）＝狓·ｓｉｎ狓，犳（狓）＝ｃｏｓπ狓·   １ ２  ｓｉｎ２π狓的图象，请写出作图步聚．                            （第１３题）                                                                    ７４                       １０  三角恒等变换 第 章    问题与探究 正弦函数与余弦函数的叠加     在《数学（必修第一册）》第７章里，通过对函数图象的考察，我们     已经知道，函数犵（狓）＝犃ｓｉｎ（狓＋θ）和犳（狓）＝犃ｓｉｎ狓（犃≠０）具有     相同的周期和振幅．在学习了和角公式以后，我们可以对它们的关系    作进一步的研究．    将犵（狓）＝犃ｓｉｎ（狓＋θ）依和角公式展开，有       犵（狓）＝犪ｓｉｎ狓＋犫ｃｏｓ狓，       其中犪＝犃ｃｏｓθ，犫＝犃ｓｉｎθ，且犪２＋犫２＝犃２≠０．   一般地，我们把犪ｓｉｎ狓＋犫ｃｏｓ狓（其中实数犪，犫不全为０）称为正     弦函数与余弦函数的叠加．     容易看出，形如犃ｓｉｎ（狓＋θ）或犃ｃｏｓ（狓＋θ）的函数都是正弦函数    与余弦函数的叠加．反过来，是不是所有的正弦函数与余弦函数的叠    加都可以化成犃ｓｉｎ（狓＋θ）或犃ｃｏｓ（狓＋θ）的形式呢？     在本章开始时，我们曾研究过一个简单的例子：     犳（狓）＝ｓｉｎ狓＋ｃｏｓ狓    （ ）  １ １  ＝槡２ ｓｉｎ狓＋ ｃｏｓ狓   槡２ 槡２   （ ）   π π  ＝槡２ｓｉｎ狓ｃｏｓ ＋ｃｏｓ狓ｓｉｎ   ４ ４   （ ）   π  ＝槡２ｓｉｎ狓＋ ．  ４      回到一般的情形，将函数      犳（狓）＝犪ｓｉｎ狓＋犫ｃｏｓ狓（犪２＋犫２≠０）    （ ） 犪 犫  改写为犳（狓）＝槡犪２＋犫２ ｓｉｎ狓＋ ｃｏｓ狓．   槡犪２＋犫２ 槡犪２＋犫２     犪 犫  因为 与 的平方和是１，所以如图１，存在角    槡犪２＋犫２ 槡犪２＋犫２    θ∈ ［０，２π），使得     犪 犫  图１ ｃｏｓθ＝ ，ｓｉｎθ＝ ，   槡犪２＋犫２ 槡犪２＋犫２     因此       犳（狓）＝槡犪２＋犫２ （ｃｏｓθｓｉｎ狓＋ｓｉｎθｃｏｓ狓）＝槡犪２＋犫２ｓｉｎ（狓＋θ）．     由此可见，任意的正弦函数与余弦函数的叠加函数犳（狓）都可以    化成犃ｓｉｎ（狓＋θ）或犃ｃｏｓ（狓＋θ）的形式，而且周期不变．    上面的结论在物理学中有广泛的应用．例如，两个同频率的正弦     交流电相加，得到的是一个同频率的正弦交流电．利用该结论，我们      ７５                        必修第二册 数学    也可以解释声波的共振现象．  （ ）   π  （１）你能求出函数犳（狓）＝槡２ｃｏｓ狓＋２ｓｉｎ狓＋ 的振幅和周期吗？   ４    （２）矩形犃犅犆犇所在平面与地面垂直，犃点在地面上，犃犅＝犪，    犅犆＝犫，犃犅与地面成θ角（图２）．                      图２     若记点犆到地面的距离为犺，试用θ的函数表示犺，并求出犺的最    大值．    →  （３）在本章引言中，我们用向量的方法得到点犙的坐标，即犗犙＝     （犪ｃｏｓ狓＋犫ｃｏｓ（狓＋φ ），犪ｓｉｎ狓＋犫ｓｉｎ（狓＋φ ）），并分别对犪＝犫＝１，  ０ ０   π π  φ＝ 以及犪＝槡３，犫＝１， φ＝ 进行了研究，试用两种方法将   ０ ２ ０ ２     狔＝犪ｓｉｎ狓＋犫ｓｉｎ（狓＋φ ）化为犃ｓｉｎ（狓＋θ）的形式，并求狔的最大值．  ０      阅 读 弦表与托勒密定理       托勒密（Ｃ．Ｐｔｏｌｅｍｙ，约９０—１６８）所著《天文集》第一卷中载有弦    表，并且讲述了制作弦表的原理．该原理包括几个公式，其中之一就    相当于     ｓｉｎ（α－β ）＝ｓｉｎαｃｏｓβ－ｃｏｓαｓｉｎβ．     托勒密推导此公式时主要依据下面定理：在圆的内接四边形中，     两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．    如图３，设四边形犃犅犆犇为圆犗的内接四边形，且犃犇为圆犗的    直径，犃犇＝１２０．又设∠犃犗犅＝β ，∠犃犗犆＝α＞β ，用ｃｒｄθ表示大小     为θ的圆心角所对的弦的长度．                           图３     依据上面的定理，得     犃犇·犅犆＝犃犆·犅犇－犃犅·犆犇，      ７６                       １０  三角恒等变换 第 章    １２０ｃｒｄ（α－β ）＝ｃｒｄα·ｃｒｄ（１８０°－β ）－ｃｒｄβ·ｃｒｄ（１８０°－α），     这就是托勒密推导出来的公式．我们运用公式     θ  ｃｒｄθ＝１２０ｓｉｎ ，  ２     得     １２０２ｓｉｎ α－β ＝１２０２ｓｉｎ α ｓｉｎ １８０°－β －１２０２ｓｉｎ β ｓｉｎ １８０°－α ，   ２ ２ ２ ２ ２     即   （ ）   α β α β α β  ｓｉｎ － ＝ｓｉｎ ｃｏｓ －ｃｏｓ ｓｉｎ ．  ２ ２ ２ ２ ２ ２     α β   将 ， 换成α， β ，即得  ２ ２     ｓｉｎ（α－β ）＝ｓｉｎαｃｏｓβ－ｃｏｓαｓｉｎβ．     由于上述几何定理在托勒密制作弦表时起了重要作用，故被后    人称为托勒密定理．     根据公式：     ｓｉｎ（α＋β ）＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ ，     ｃｏｓ（α＋β ）＝ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ．     当知道两个角的正弦值和余弦值，就可以计算出两角和的正弦     值和余弦值．例如，从ｓｉｎ１°和ｃｏｓ１°开始，令α＝１°， β＝１°，就可以推出     ｓｉｎ２°和ｃｏｓ２°．然后令α＝１°， β＝２°，就可以推出ｓｉｎ３°和ｃｏｓ３°，等等．    根据公式：      θ １－ｃｏｓθ  槡  ｓｉｎ ＝ ，  ２ ２      由ｃｏｓ９０°＝０，从θ＝９０°开始，反复取半角，可得任意小的角度的正弦    值和余弦值（托勒密计算到了０．２５°的正弦值和余弦值）．然后，计算     出上述小角度的所有整数倍角的正、余弦值．    总之，从若干特殊角的函数值出发，适当运用三角公式，就能够     计算出任意角的正弦值和余弦值．这是一项非凡的壮举，它让天文学    家们忙碌了一千多年．                                 ７７                        必修第二册 数学            本章回顾          本章我们重点学习了两组三角恒等式：和角公式、倍角公式，并    以它们为工具，研究了三角函数式的化简、计算、恒等式的证明等的     问题．                             在本章的学习中，化归的数学思想和方法被多次运用，其中，既     有从已知到未知的化归（如由余弦的差角公式，推出其余的和或差角    公式等），也有从一般到特殊的化归（如从和角公式推出倍角公式）．     有了化归思想，就可以理解三角恒等式推导和变形的思路．       复 习 题          感受·理解 １（１）已知ｃｏｓ２α＝ ３ ，求ｓｉｎ４α－ｃｏｓ４α的值；  ５     １－槡３  （２）已知ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝ ，求ｓｉｎ２θ的值．  ２   （ ）   π  ｓｉｎα＋  ５ ４  ２．已知α是第一象限角，且ｃｏｓα＝ ，求 的值．   １３ ｃｏｓ（２α＋４π）    ３．证明：    （１）ｃｏｓ（α＋β）ｃｏｓγ－ｃｏｓαｃｏｓ（β＋γ）＝ｓｉｎ（α＋β）ｓｉｎγ－ｓｉｎαｓｉｎ（β＋γ）；     １＋ｓｉｎ２θ １＋ｔａｎθ  （２） ＝ ．   １＋ｃｏｓ２θ＋ｓｉｎ２θ ２    ４如图，在等腰直角三角形犃犅犆中，∠犅＝９０°，点犈，犉将犅犆三等分，求    ∠犈犃犉，∠犉犃犆的正切值．    ５已知等腰三角形犃犅犆的腰长为底边长的２倍，求顶角犃的正弦、余弦和正     切的值．    ６化简：   （ ） （ ）   π π  （１）ｓｉｎ －狓ｓｉｎ ＋狓；  ４ ４  （第４题）   （２）ｃｏｓ犃＋ｃｏｓ（１２０°－犃）＋ｃｏｓ（１２０°＋犃）；      ７８                       １０  三角恒等变换 第 章    （３） ｓｉｎ２α · ｃｏｓα ．   １＋ｃｏｓ２α １＋ｃｏｓα     ７已知ｓｉｎα＝ ２槡５ ，α是第二象限角，且ｔａｎ（α＋β）＝１，求ｔａｎβ 的值．   ５    ｓｉｎ１５°ｃｏｓ５°－ｓｉｎ２０°  ８求值： ．   ｃｏｓ１５°ｃｏｓ５°－ｃｏｓ２０°    ９求下列各函数的周期和值域：    （ １） 狔 ＝ ｓｉ ｎ狓 ｃ ｏｓ 狓 ； （ ２） 狔 ＝ 槡 ３ｃ ｏｓ 狓 ＋ｓｉｎ狓．     １０．求函数狔＝ｃｏｓ２狓－２ｃｏｓ狓＋１的值域．   （ ）   １１已知电流犐＝犐ｓｉｎω狋，电压犞＝犞ｓｉｎω狋＋ π ，求证：电功率   ｍ ｍ ２     １  犘＝ 犞犐ｓｉｎ２ω狋．  ２ ｍ ｍ     思考·运用 １２．已知２ｃｏｓ（２α＋β）＋３ｃｏｓβ＝０，求ｔａｎ（α＋β）ｔａｎα的值．    １３在△犃犅犆中，已知ｔａｎ犃＋ｔａｎ犅＋ｔａｎ犃ｔａｎ犅＝１，求角犆的大小．    １４已知ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＝犪，ｃｏｓα＋ｃｏｓβ＝犫，求ｃｏｓ（α－β）的值．     １５设犿为实数，已知ｓｉｎα－槡３ｃｏｓα＝犿－１，求犿的取值范围．     １６已知函数狔＝ｓｉｎ２狓＋２ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓－３ｃｏｓ２狓，狓∈犚．   （１）求函数的最小正周期；     （２）求函数的最大值．   １７如图，在半径为犚、圆心角为６０°的扇形的弧犃犅上任取一点犘，作扇形的内     接矩形犘犖犕犙，使点犙在犗犃上，点犕，犖在犗犅上，求这个矩形面积的最   （第１７题） 大值及相应的∠犃犗犘的大小．      探究·拓展 １８（１）求（１＋ｔａｎ１°）（１＋ｔａｎ４４°）的值；    （２）求 （１＋ｔａｎ１°）（１＋ｔａｎ２°）（１＋ｔａｎ３°）…（１＋ｔａｎ４４°）（１＋ｔａｎ４５°）     的值．   １９（阅读题）由倍角公式ｃｏｓ２狓＝２ｃｏｓ２狓－１，可知ｃｏｓ２狓可以表示为ｃｏｓ狓的     二次多项式．对于ｃｏｓ３狓，我们有     ｃｏｓ３狓＝ｃｏｓ（２狓＋狓）＝ｃｏｓ２狓ｃｏｓ狓－ｓｉｎ２狓ｓｉｎ狓     ＝（２ｃｏｓ２狓－１）ｃｏｓ狓－２（ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓）ｓｉｎ狓     ＝２ｃｏｓ３狓－ｃｏｓ狓－２（１－ｃｏｓ２狓）ｃｏｓ狓      ＝４ｃｏｓ３狓－３ｃｏｓ狓．     可见ｃｏｓ３狓可以表示为ｃｏｓ狓的三次多项式．    一般地，存在一个狀次多项式犘（狋），使得ｃｏｓ狀狓＝犘（ｃｏｓ狓），这些多  狀 狀   项式犘（狋）称为切比雪夫（Ｐ．Ｌ．Ｔｓｃｈｅｂｙｓｃｈｅｆｆ）多项式．请尝试求出犘（狋），   狀 ４  即用一个ｃｏｓ狓的四次多项式来表示ｃｏｓ４狓．    利用结论    ｃｏｓ３狓＝４ｃｏｓ３狓－３ｃｏｓ狓，     求出ｓｉｎ１８°的值．    （提示：３×１８°＝９０°－２×１８°）         ７９                        必修第二册 数学            本章测试           一、填空题 １．ｓｉｎ２１°ｃｏｓ３９°＋ｃｏｓ２１°ｓｉｎ３９°＝ ．    １  ２．若ｔａｎα＝ ，则ｔａｎ２α＝ ．   ２   （ ） （ ）  ３π ４ π  ３．已知α∈ ，２π ，若ｃｏｓα＝ ，则ｃｏｓα＋ ＝ ．   ２ ５ ４     ４．化简： ｓｉｎ４α－ｃｏｓ４α ＝ ．   ｃｏｓ２α    ５．函数狔＝ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓ｃｏｓ２狓的周期是 ，值域是 ．  （ ）   π   ６．若ｓｉｎθ＋槡３ｃｏｓθ＝２，θ∈ ０， ，则θ＝ ．  ２    （ ） （ ）   π ３ π   二、选择题 ７．已知α∈ ０， ２ ，若ｃｏｓα＝ ５ ，则ｓｉｎα－ ３ ＝（ ）．     ４－３槡３ ３槡３－４   Ａ． Ｂ．  １０ １０    ４槡３－３ ４＋３槡３   Ｃ． Ｄ．  １０ １０    π   ８．若０≤狓≤ ，则槡１－ｓｉｎ２狓＋槡１＋ｓｉｎ２狓＝（ ）．  ４    Ａ．２ｓｉｎ狓 Ｂ．２ｃｏｓ狓    Ｃ．－２ｓｉｎ狓 Ｄ．－２ｃｏｓ狓   （ ） （ ）  π π ３ ５   ９．已知α∈ ０， ，β∈ ，π ，若ｓｉｎ（α＋β）＝－ ，ｃｏｓβ＝－ ，则ｓｉｎα  ２ ２ ５ １３    的值为（ ）．     １６ ３３  Ａ． Ｂ．  ６５ ６５    ５６ ６３   Ｃ． Ｄ．  ６５ ６５    １０．函数犳（狓）＝ｃｏｓ２狓－６ｃｏｓ狓＋１的值域是（ ）．   ［ ） ［ ］  ９ ９   Ａ． － ，＋∞ Ｂ． － ，－４  ２ ２  ［ ］   ９   Ｃ．［－４，８］ Ｄ． － ，８  ２    （ ） （ ）   １ π π   三、解答题 １１．已知ｓｉｎα＝ ３ ，α∈ ２ ，π ，求ｃｏｓα＋ ３ 的值．     １ ２   １２．已知α，β 均为锐角，ｔａｎα＝ ５ ，ｔａｎβ＝ ３ ，求α＋β 的值．     １－ｃｏｓ２狓  １３．证明： ＝ｔａｎ２狓．  １＋ｃｏｓ２狓      ８０                       １０  三角恒等变换 第 章    ３π ４  １４．已知π＜α＜ ，ｓｉｎα＝－ ，求下列各式的值：  ２ ５     ２ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２α  （１） ；  ｃｏｓ２α   （ ）   ５π  （２）ｔａｎα－ ．  ４     １５．求函数犳（狓）＝ｃｏｓ２狓＋２槡３ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓－ｓｉｎ２狓的周期、最大值和最小值．                                                                                                                        ８１                           第１１章 解 三 角 形                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取     的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求．     ———柯朗                                                      从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量，从大禹治水到都江     堰的修建，从天文观测到精密仪器的制造……人们都离不开对几何     图形的测量、设计和计算．                           例如，确定待建隧道的长度，测量河流两岸码头之间的距离，计     算卫星的高度……     许多实际问题都可以转化为求三角形的边或角的问题．    如果这个三角形是直角三角形，那么可以利用直角三角形中的    边角关系，例如利用勾股定理、锐角的三角函数等进行计算．但许多     情况下，所得到的三角形不一定是直角三角形．那么，     ● 任意三角形的边与角之间存在怎样的关系？     ● 如何利用这些关系解决实际问题？              ８４                       １１  解三角形 第 章       １１．１      余弦定理          许多实际问题都可以转化为三角形中边与角的计算问题，而边    和角分别涉及长度和方向两个要素，这让我们想到数形结合的有力     工具———向量．   → → →  在△犃犅犆中，有向量等式犅犆＝犅犃＋犃犆．从这个等式出发，我    们来探索三角形中的边角关系．     → → →  ● 如何将向量等式犅犆＝犅犃＋犃犆数量化？     → → →  因为犅犆＝犅犃＋犃犆（图１１ １ １），    → → → → → →  所以犅犆·犅犆＝ （犅犃＋犃犆）·（犅犃＋犃犆）    → → → →  ＝犅犃２＋２犅犃·犃犆＋犃犆２    → → → →  ＝狘犅犃狘２＋２狘犅犃狘狘犃犆狘ｃｏｓ（１８０°－犃）＋狘犃犆狘２     图１１ １ １ ＝犮２－２犮犫ｃｏｓ犃＋犫２ ，     即 犪２＝犫２＋犮２－２犫犮ｃｏｓ犃．   本章如无特别说   同理可得 犫２＝犮２＋犪２－２犮犪ｃｏｓ犅，  明，犪，犫，犮分别表示    △犃犅犆中角犃，犅，犆 犮２＝犪２＋犫２－２犪犫ｃｏｓ犆．    所对边的长． 上述等式表明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和     减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．这样，我们得到余弦定理    （ｃｏｓｉｎｅｔｈｅｏｒｅｍ）：       犪２＝犫２＋犮２－２犫犮ｃｏｓ犃，     犫２＝犮２＋犪２－２犮犪ｃｏｓ犅，      犮２＝犪２＋犫２－２犪犫ｃｏｓ犆．      余弦定理可以看作勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．       思 考 尝试用勾股定理证明余弦定理．     余弦定理也可以写成如下形式：       犫２＋犮２－犪２   ｃｏｓ犃＝ ，  ２犫犮     犮２＋犪２－犫２  ｃｏｓ犅＝ ，   ２犮犪     犪２＋犫２－犮２  ｃｏｓ犆＝ ．  ２犪犫        ８５                        必修第二册 数学    我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素．已知三角    形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形．      例１ 根据下列条件解三角形（边长精确到０．０１，角度精确到    ０．１°）：      用余弦定理来解 （１）已知犫＝３，犮＝１，犃＝６０°，求犪；   三角形，其结果唯一 （２）已知犪＝４，犫＝５，犮＝６，求犃．     确定吗？为什么？ 解 （１）由余弦定理，得       犪２＝犫２＋犮２－２犫犮ｃｏｓ犃＝３２＋１２－２×３×１×ｃｏｓ６０°＝７，     所以 犪＝槡７≈２．６５．       （２）由余弦定理，得     犫２＋犮２－犪２ ５２＋６２－４２   ｃｏｓ犃＝ ＝ ＝０．７５，  ２犫犮 ２×５×６      所以 犃≈４１．４°．     例２ 犃，犅两地之间隔着一个水塘（图１１ １ ２），现选择另一     点犆，测得犆犃＝１８２ｍ，犆犅＝１２６ｍ，∠犃犆犅＝６３°，求犃，犅两地之     间的距离（精确到１ｍ）．    解 由余弦定理，得      犃犅２＝犆犃２＋犆犅２－２犆犃·犆犅ｃｏｓ犆   图１１ １ ２   ＝１８２２＋１２６２－２×１８２×１２６ｃｏｓ６３°     ≈２８１７８．１８（ｍ２ ），     所以 犃犅≈１６８ｍ．      答 犃，犅两地之间的距离约为１６８ｍ．      例３ 用余弦定理证明：在△犃犅犆中，当犆为锐角时，犪２＋     犫２＞犮２ ；当犆为钝角时，犪２＋犫２＜犮２．    证明 当犆为锐角时，ｃｏｓ犆＞０．    由余弦定理，得       怎样用余弦定理 犮２＝犪２＋犫２－２犪犫ｃｏｓ犆＜犪２＋犫２ ，    判定一个三角形是锐  即 犪２＋犫２＞犮２．   角三角形、直角三角     形或钝角三角形？ 同理可证，当犆为钝角时，犪２＋犫２＜犮２．     利用余弦定理，可以解决以下两类解三角形的问题：     （１）已知三边，求三个角；     （２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．        ８６                       １１  解三角形 第 章    练 习 １．在△犃犅犆中，    （１）已知犪＝６，犫＝５，犮＝４，求ｃｏｓ犆；    （２）已知犃＝６０°，犫＝４，犮＝７，求犪；    （３）已知犪＝７，犫＝５，犮＝３，求犃；    １３   （４）已知犪＝７，犫＝８，ｃｏｓ犆＝ ，求犮．  １４    ２．若三条线段的长分别为５，６，７，则用这三条线段（ ）．     Ａ ． 能 组 成 直 角 三 角 形 Ｂ ． 能 组 成 锐 角 三 角形   Ｃ．能组成钝角三角形 Ｄ．不能组成三角形     ３．若△犃犅犆的三边犪，犫，犮满足犮２＜犪２＋犫２，此三角形是锐角三角形吗？     ４．在△犃犅犆中，已知犪２＋犫２＋槡２犪犫＝犮２，求犆．   ５．在△犃犅犆中，已知（犪＋犫＋犮）（犪－犫＋犮）＝犪犮，求犅．     ６．两游艇自某地同时出发，一艇以１０ｋｍ／ｈ的速度向正北方向行驶，另一艇以    ７ｋｍ／ｈ的速度向北偏东４５°的方向行驶．问：经过４０ｍｉｎ，两艇相距多远（精    确到０．０１ｋｍ）？     例４ 在长江某渡口处，江水以５ｋｍ／ｈ的速度向东流．一渡船     从长江南岸的犃码头出发，预定要在０．１ｈ后到达北岸的犅码头   →   （图１１ １ ３）．设犃犖为正北方向，已知犅码头在犃码头北偏东１５°    的方向上，并与犃码头相距１．２ｋｍ．该渡船应按什么方向航行？速    度是多少（角度精确到０．１°，速度精确到０．１ｋｍ／ｈ）？    → →  解 如图１１ １ ３，船按犃犇方向开出，犃犆方向为水流方向，以  图１１ １ ３    犃犆为一边、犃犅为对角线作犃犆犅犇，其中     犃犅＝１．２（ｋｍ），犃犆＝５×０．１＝０．５（ｋｍ）．     在△犃犅犆中，由余弦定理，得       犅犆２＝１．２２＋０．５２－２×１．２×０．５ｃｏｓ（９０°－１５°）≈１．３８（ｋｍ２ ），      所以 犃犇＝犅犆≈１．１７（ｋｍ）．      因此，船的航行速度为１．１７÷０．１＝１１．７（ｋｍ／ｈ）．       在△犃犅犆中，由余弦定理，得       ｃｏｓ∠犃犅犆＝ １．２２＋１．１７２－０．５２ ≈０．９１１３，   ２×１．２×１．１７      所以 ∠犃犅犆≈２４．３°．      因此，∠犇犃犖＝ ∠犇犃犅－∠犖犃犅＝ ∠犃犅犆－１５°≈９．３°．      答 渡船应按北偏西９．３°的方向，并以１１．７ｋｍ／ｈ的速度航行．      例５ 在△犃犅犆中，已知犪ｃｏｓ犅＝犫ｃｏｓ犃，求证：△犃犅犆为等     腰三角形．      ８７                        必修第二册 数学    证明 由余弦定理，得     犪２＋犮２－犫２ 犫２＋犮２－犪２  犪· ＝犫· ，  ２犪犮 ２犫犮       整理，得 犪２＝犫２．     因为犪＞０，犫＞０，所以犪＝犫．     因此，△犃犅犆为等腰三角形．     例６ 如图１１ １ ４，犃犕是△犃犅犆的边犅犆上的中线，求证：      １  犃犕＝ 槡２（犃犅２＋犃犆２ ）－犅犆２．   ２     证明 设 ∠犃犕犅＝α，则 ∠犃犕犆＝１８０°－α．    在△犃犅犕中，由余弦定理，得   图１１ １ ４    犃犅２＝犃犕２＋犅犕２－２犃犕·犅犕ｃｏｓα．     在△犃犆犕中，由余弦定理，得     犃犆２＝犃犕２＋犕犆２－２犃犕·犕犆ｃｏｓ（１８０°－α）．     １   因为ｃｏｓ（１８０°－α）＝－ｃｏｓα，犅犕＝犕犆＝ 犅犆，   ２     １   所以 犃犅２＋犃犆２＝２犃犕２＋ 犅犆２ ，  ２     １  从而 犃犕＝ 槡２（犃犅２＋犃犆２ ）－犅犆２．   ２       思 考 我们曾经用平面几何的方法证明过结论：“平行四边形各边的平    方和等于两条对角线的平方和．”想一想，这个结论与例６有何联系？      练 习 １ ．在 △ 犃 犅 犆 中 ，如 果 犪 ∶ 犫 ∶犮 ＝ ２ ∶ ３ ∶４ ， 求 ｃｏ ｓ犆 的值．    ２．在△犃犅犆中，已知犪＝犮ｃｏｓ犅，试判断△犃犅犆的形状．    ３．在△犃犅犆中，已知犪２－犫２＝（犪ｃｏｓ犅＋犫ｃｏｓ犃）２，试判断△犃犅犆的形状．     ４．在△犃犅犆中，已知犪＝２，犫＝３，犆＝６０°，求证：△犃犅犆为锐角三角形．   → →   ５．在△犃犅犆中，设犆犅＝犪，犃犆＝犫，且狘犪狘＝２，狘犫狘＝槡３，犪·犫＝－槡３，   求犃犅的长（精确到０．０１）．     ６．如图，长为７ｍ的梯子犅犆靠在斜壁上，梯脚犆与壁基犃相距１．５ｍ，梯顶    犅在沿着壁向上６ｍ的地方，求壁面和地面所成的角α（精确到０．１°）．                      （第６题）      ８８                       １１  解三角形 第 章      习题１１．１         感受·理解 １．在△犃犅犆中，    （１）已知犪＝２４，犫＝１３，犆＝１０８°，求犮，犅；    （２）已知犫＝２，犮＝１０，犃＝４２°，求犪，犆；     （３）已知犪＝７，犫＝４槡３，犮＝槡１３，求最小的内角．    ２．牵牛星和织女星分别距离地球约１７光年和２６光年，从地球上观测这两颗    星的张角为３４°，求牵牛星与织女星之间的距离（精确到０．０１光年）．     ３．在犃犅犆犇中，已知犃犅＝１２ｃｍ，犅犆＝１０ｃｍ，犃＝６０°，求平行四边形    两条对角线的长．    ４．自动卸货汽车的车箱采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆犅犆的长度    （如图）．已知车箱的最大仰角为６０°，油泵顶点犅与车箱支点犃之间的距离    为１．９５ｍ，犃犅与水平线之间的夹角为６°２０′，犃犆的长为１．４０ｍ，试计算     犅犆的长（精确到０．０１ｍ）．   ５．在△犃犅犆中，已知犮＝２犪ｃｏｓ犅，试判断△犃犅犆的形状．     （第４题） ６．在△犃犅犆中，已知（犪＋犫＋犮）（犫＋犮－犪）＝３犫犮，求犃的大小．    ７．用余弦定理证明：在△犃犅犆中，    这三个关系式也 （１）犪＝犫ｃｏｓ犆＋犮ｃｏｓ犅；     称为射影定理． （２）犫＝犮ｃｏｓ犃＋犪ｃｏｓ犆；   （３）犮＝犪ｃｏｓ犅＋犫ｃｏｓ犃．     思考·运用 ８．用余弦定理证明：平行四边形两条对角线平方的和等于四条边平方的和．     ９．试用向量的方法证明第７题中的结论．     １０．在△犃犅犆中，已知犅犆＝犪，犃犆＝犫，且犪，犫是方程狓２－１３狓＋４０＝０的   两个根，犆＝６０°，求犃犅的长．     探究·拓展 １１．在△犃犅犆中，已知∠犅犃犆＝α，犃犆＝犫，犃犅＝犮．建立如图所示的平面直     角坐标系，利用两点间的距离公式计算犅犆２，并由此证明余弦定理．                       （第１１题） （第１２题）     １２．（１）如图，在圆的内接四边形犃犅犆犇中，犃犅＝２，犅犆＝６，犆犇＝犇犃＝４，    求ｃｏｓ犃的值；    （２）在圆的内接四边形犃犅犆犇中，犃犅＝犪，犅犆＝犫，犆犇＝犮，犇犃＝犱，求     ｃｏｓ犃的值（用犪，犫，犮，犱表示）．                ８９                        必修第二册 数学       １１．２      正弦定理         → → →   在上节中，我们通过等式犅犆＝犅犃＋犃犆两边同时“平方”，将向    量等式转化为数量等式，进而推出了余弦定理．为了进一步探索三角    形的边角关系，     → → →   ● 还有其他途径将向量等式犅犆＝犅犃＋犃犆数量化吗？     在△犃犅犆中，不妨设犆为最大角，过点犃作犃犇⊥犅犆于点犇，    → →  犃犆与犃犇的夹角为α（图１１ ２ １）．    → → →  因为犅犆＝犅犃＋犃犆，     图１１ ２ １ 所以 犅  犆 → ·犃  犇 → ＝ （犅  犃 → ＋犃  犆 → ）·犃  犇 →     → → → →  ＝犅犃·犃犇＋犃犆·犃犇，     → → → →  即 ０＝狘犅犃狘狘犃犇狘ｃｏｓ（９０°＋犅）＋狘犃犆狘狘犃犇狘ｃｏｓα．      当犆为锐角或直角时，α＝９０°－犆；当犆为钝角时，α＝犆－９０°．    于是有      －犮ｓｉｎ犅＋犫ｓｉｎ犆＝０，     犫 犮  即 ＝ ．   ｓｉｎ犅 ｓｉｎ犆     犪 犮   同理可得 ＝ ，   ｓｉｎ犃 ｓｉｎ犆     犪 犫 犮   所以 ＝ ＝ ．  ｓｉｎ犃 ｓｉｎ犅 ｓｉｎ犆      上述等式表明，三角形的各边与它所对角的正弦的比相等．这    样，我们得到正弦定理（ｓｉｎｅｔｈｅｏｒｅｍ）：       犪 犫 犮  ＝ ＝ ．   ｓｉｎ犃 ｓｉｎ犅 ｓｉｎ犆       犃犇 犃犇   思 考 在图１１ ２ １中，若犆为锐角，则ｓｉｎ犅＝ 犮 ，ｓｉｎ犆＝ 犫 ，所     以犮ｓｉｎ犅＝犫ｓｉｎ犆．请利用这个思路，证明正弦定理．     例１ 如图１１ ２ ２，在△犃犅犆中，犃＝３０°，犆＝１００°，犪＝     １０，求犫，犮（精确到０．０１）．     解 因为犃＝３０°，犆＝１００°，所以犅＝５０°．      ９０                       １１  解三角形 第 章    犪 犫 犮  因为 ＝ ＝ ，所以  ｓｉｎ犃 ｓｉｎ犅 ｓｉｎ犆      犪ｓｉｎ犅 １０ｓｉｎ５０°  犫＝ ＝ ≈１５．３２，   ｓｉｎ犃 ｓｉｎ３０°     犪ｓｉｎ犆 １０ｓｉｎ１００°   犮＝ ＝ ≈１９．７０．   ｓｉｎ犃 ｓｉｎ３０°  图１１ ２ ２    因此，犫，犮的长分别为１５．３２和１９．７０．      例２ 根据下列条件解三角形（边长精确到０．０１，角度精确    到０．１°）：     （１）犪＝１６，犫＝２６，犃＝３０°；     （２）犪＝３０，犫＝２６，犃＝３０°．    解 （１）由正弦定理，得     犫ｓｉｎ犃 ２６ｓｉｎ３０° １３  ｓｉｎ犅＝ ＝ ＝ ，   犪 １６ １６     所以犅 ≈５４．３°或犅 ＝１８０°－５４．３°＝１２５．７°．   １ ２   因为犅＋犃＝１２５．７°＋３０°＝１５５．７°＜１８０°，所以犅 也符合要   ２ ２   求，从而犅有两解（图１１ ２ ３）：      犅 ＝５４．３°或犅 ＝１２５．７°．  １ ２    当犅 ＝５４．３°时，   １  图１１ ２ ３   犆 ＝１８０°－（犃＋犅）＝１８０°－（３０°＋５４．３°）＝９５．７°，  １ １    犪ｓｉｎ犆 １６ｓｉｎ９５．７°   犮＝ １ ＝ ≈３１．８４；   １ ｓｉｎ犃 ｓｉｎ３０°     当犅 ＝１２５．７°时，   ２   犆 ＝１８０°－（犃＋犅）＝１８０°－（３０°＋１２５．７°）＝２４．３°，   ２ ２    犪ｓｉｎ犆 １６ｓｉｎ２４．３°  犮＝ ２ ＝ ≈１３．１７．   ２ ｓｉｎ犃 ｓｉｎ３０°     （２）由正弦定理，得     犫ｓｉｎ犃 ２６ｓｉｎ３０° １３   ｓｉｎ犅＝ ＝ ＝ ，  犪 ３０ ３０      图１１ ２ ４ 所以犅 ＝２５．７°或犅 ＝１８０°－２５．７°＝１５４．３°．  １ ２   因为犅＋犃＝１５４．３°＋３０°＝１８４．３°＞１８０°，所以犅不符合要   我们还可以这样 ２ ２  求，从而犅只有一解（图１１ ２ ４），   来舍去犅：因为犫＜  ２  犪，所以犅＜犃，即犅＜ 犆＝１８０°－（犃＋犅）＝１８０°－（３０°＋２５．７°）＝１２４．３°，     ３０°，故犅＝１５４．３°不 犪ｓｉｎ犆 ３０ｓｉｎ１２４．３°   ２ 犮＝ ＝ ≈４９．５７．   符合要求． ｓｉｎ犃 ｓｉｎ３０°      ９１                        必修第二册 数学   利用正弦定理，可以解决以下两类解三角形的问题：     （１）已知两角和任一边，求其他两边和一角；    （２）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步     求出其他的边和角）．     练 习 １．一 个 三 角 形 的 两 个 内 角 分 别 为 ３０ °和 ４ ５° ， 如 果 ４５ °角 所 对边的长为８，那么     ３０°角所对边的长为（ ）．     Ａ．４ Ｂ．４槡２ Ｃ．４槡３ Ｄ．４槡６   ２．在△犃犅犆中，     （１）已知犃＝７５°，犅＝４５°，犮＝３槡２，求犪，犫；     （２）已知犃＝３０°，犅＝１２０°，犫＝１２，求犪，犮．   ３．根据下列条件解三角形：     （１）犫＝４０，犮＝２０，犆＝２５°；    （２）犫＝１３，犪＝２６，犅＝３０°；    （３）犃＝４５°，犆＝３０°，犮＝１０．    ４．判断下列结论是否正确，若不正确，试举例说明；若正确，请说明理由．    （１）若犃，犅∈（０，π），且犃＞犅，则ｓｉｎ犃＞ｓｉｎ犅；     （２）若犃，犅是三角形的两个内角，且犃＞犅，则ｓｉｎ犃＞ｓｉｎ犅．       例３ 如图１１ ２ ５，某登山队在山脚犃处测得山顶犅的仰角     为３５°，沿倾斜角为２０°的斜坡前进１０００ｍ后到达犇处，又测得山顶    的仰角为６５°，求山的高度犅犆（精确到１ｍ）．    分析 要求犅犆，要先求出犃犅，为此考虑解△犃犅犇．     解 过点犇作犇犈∥犃犆，交犅犆于犈．     图１１ ２ ５ 因为 ∠犇犃犆＝２０°，所以∠犃犇犈＝１６０°，于是     ∠犃犇犅＝３６０°－１６０°－６５°＝１３５°．     又因为 ∠犅犃犇＝３５°－２０°＝１５°，所以 ∠犃犅犇＝３０°．     在△犃犅犇中，由正弦定理，得     犃犇ｓｉｎ∠犃犇犅 １０００ｓｉｎ１３５°  犃犅＝ ＝ ＝１０００槡２（ｍ）．   ｓｉｎ∠犃犅犇 ｓｉｎ３０°     在Ｒｔ△犃犅犆中，      犅犆＝犃犅ｓｉｎ３５°＝１０００槡２ｓｉｎ３５°≈８１１（ｍ）．     答 山的高度约为８１１ｍ．      犪 犫 犮  例４ 在△犃犅犆中，已知 ＝ ＝ ，试判断   ｃｏｓ犃 ｃｏｓ犅 ｃｏｓ犆    △犃犅犆的形状．    犪   解 令 ＝犽，由正弦定理，得   ｓｉｎ犃     犪＝犽ｓｉｎ犃，犫＝犽ｓｉｎ犅，犮＝犽ｓｉｎ犆．      ９２                       １１  解三角形 第 章   代入已知条件，得      ｓｉｎ犃 ｓｉｎ犅 ｓｉｎ犆  通过正弦定理， ＝ ＝ ，   ｃｏｓ犃 ｃｏｓ犅 ｃｏｓ犆  可以实现边角互化．   即 ｔａｎ犃＝ｔａｎ犅＝ｔａｎ犆．     又因为犃，犅，犆∈ （０，π），所以犃＝犅＝犆．     故△犃犅犆为正三角形．      例５ 在△犃犅犆中，犃犇是∠犅犃犆的平分线（图１１ ２ ６），用    正弦定理证明：     犃犅 犅犇   ＝ ．  犃犆 犇犆      证明 设 ∠犅犃犇＝α，∠犅犇犃＝β ，则 ∠犆犃犇＝α，∠犆犇犃＝   图１１ ２ ６  １８０°－β．    在△犃犅犇和△犃犆犇中分别运用正弦定理，得     犃犅 ｓｉｎβ   ＝ ，   犅犇 ｓｉｎα     犃犆 ｓｉｎ（１８０°－β ）  ＝ ．   犇犆 ｓｉｎα    又因为ｓｉｎ（１８０°－β ）＝ｓｉｎβ ，所以      犃犅 犃犆  ＝ ，   犅犇 犇犆    你能用平面几何   犃犅 犅犇  的方法来证明例５的 即 ＝ ．   犃犆 犇犆  结论吗？    练 习 １．已知轮船犃和轮船犅同时离开犆岛，犃船沿北偏东３０°的方向航行，犅船沿     正北方向航行（如图）．若犃船的航行速度为４０ｎｍｉｌｅ／ｈ，１ｈ后，犅船测得    犃船位于犅 船的北偏东 ４５°的方向上，则此时 犃，犅两船相距    ｎｍｉｌｅ．                               （第１题） （第２题）     ２．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩犃，犅（如图）．    要测算出犃，犅两点间的距离，测量人员在岸边定出基线犅犆，测得犅犆＝    ７８．３５ｍ，犅＝６９°４３′，犆＝４１°１２′，试计算犃犅的长（精确到０．０１ｍ）．      ９３                        必修第二册 数学    ３．在一座１０ｍ高的观测台顶测得对面一水塔塔顶的仰角为６０°，塔底的俯角    为４５°，求水塔的高度．    犪＋犫＋犮  ４．在△犃犅犆中，若犃＝６０°，犪＝槡３，则 ＝（ ）．  ｓｉｎ犃＋ｓｉｎ犅＋ｓｉｎ犆     １ 槡３  Ａ．２ Ｂ． Ｃ．槡３ Ｄ．  ２ ２     ５．根据下列条件，判断△犃犅犆的形状：    （ １） ｓｉ ｎ２ 犃 ＋ ｓｉｎ ２犅 ＝ ｓ ｉｎ ２犆 ； （ ２） 犪 ｃｏｓ 犃 ＝ 犫 ｃｏ ｓ犅．      习题１１．２         感受·理解 １．在△犃犅犆中，     （１）已知犃＝１３５°，犅＝１５°，犮＝１，求这个三角形的最长边的长；   （２）已知犃＝２６°，犆＝４７°，犫＝１６，求犪，犮，犅；     （３）已知犪＝６，犫＝６槡３，犅＝１２０°，求犮；     （４）已知槡２犪＝２犫ｓｉｎ犃，求犅．    ２．根据下列条件解三角形：     （１）犃＝３０°，犅＝１０５°，犮＝槡２；    （２）犪＝１４，犫＝７槡６，犅＝６０°；     （３）犫＝４７，犮＝３８，犆＝１１０°；   （４）犫＝２５，犮＝１２，犆＝２３°．     ３．如图，从犃点和犅点测得上海东方明珠电视塔塔顶犆的仰角分别为３８．３°    和５０°（犃，犅两点与塔底犇点在同一条直线上），犃犅＝２００ｍ，求东方明珠    电视塔的高度（精确到１ｍ）．                           （第３题） （第４题）     ４．如图，一艘船以４２ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度向正北方向航行．从犃处看灯塔犛位于    船北偏东２５°的方向上，３０ｍｉｎ后船航行到犅处，从犅处看灯塔犛位于船北    偏东５８°的方向上．求灯塔犛与犅之间的距离（精确到０．１ｎｍｉｌｅ）．    ｓｉｎ犃 ｃｏｓ犅 ｃｏｓ犆  ５．在△犃犅犆中，已知 ＝ ＝ ，试判断△犃犅犆的形状．   犪 犫 犮     ６．在△犃犅犆中，已知犪２ｔａｎ犅＝犫２ｔａｎ犃，试判断△犃犅犆的形状．    思考·运用 ７．在任意三角形中，作一边上的高，就可以将边角关系问题转化为解直角三角    形问题．仿照这种方法，在△犃犅犆中，设犅犆＝犪，犃犆＝犫，犃犅＝犮，证明三     １  角形的面积公式犛 ＝ 犪犫ｓｉｎ犆，并运用这一结论解决下面的问题：  △犃犅犆 ２      ９４                       １１  解三角形 第 章    （１）在△犃犅犆中，已知犪＝２，犫＝３，犆＝１５０°，求犛 ；  △犃犅犆   （２）在△犃犅犆中，已知犮＝１０，犃＝４５°，犆＝３０°，求犫和犛 ；  △犃犅犆   （３）证明正弦定理．   → → →  ８．在△犃犅犆中，犅犆＝犪，犆犃＝犫，犃犅＝犮，犪·犫＝犫·犮＝犮·犪，求证：△犃犅犆    为正三角形．     ９．在△犃犅犆中，∠犅犃犆的外角平分线交犅犆的延长线于犇，用正弦定理证    犃犅 犅犇  明： ＝ ．  犃犆 犇犆      探究·拓展 １０．在Ｒｔ△犃犅犆中，斜边犮等于Ｒｔ△犃犅犆外接圆的直径２犚，故有 犪 ＝   ｓｉｎ犃    犫 犮  ＝ ＝２犚，这一关系对任意三角形也成立吗（如图）？探索并证明   ｓｉｎ犅 ｓｉｎ犆    你的结论．                            （第１０题）     １１．（阅读题）在已知三角形的两边犪，犫和一边的对角犃，求角犅时，如果犃为     锐角，那么可能出现以下情况（如图）：                      （第１１题）     如果犃为钝角，那么可能会出现哪几种情况？试画出草图加以说明．                                         ９５                        必修第二册 数学       １１．３  、     余弦定理 正弦定理的应用           余弦定理、正弦定理体现了三角形中边角之间的关系，在测量     学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用．     ● 怎样利用余弦定理、正弦定理解决与测量和几何计算有关的     实际问题？      应用余弦定理、正弦定理解决实际问题时，首先，要根据题意建    立数学模型———三角形；其次，利用余弦定理、正弦定理来解三角形；     最后，根据问题的实际意义，对解三角形所得的结论加以检验、取舍．     在运算过程中，应根据实际需要进行近似计算．      例１ 如图１１ ３ １，为了测量河对岸犃，犅两点之间的距离，    在河岸这边取点犆，犇，测得∠犃犇犆＝８５°，∠犅犇犆＝６０°，∠犃犆犇＝     ４７°，∠犅犆犇＝７２°，犆犇＝１００ｍ．设犃，犅，犆，犇在同一平面内，试     求犃，犅两点之间的距离（精确到１ｍ）．     解 在△犃犇犆中，∠犃犇犆＝８５°，∠犃犆犇＝４７°，则 ∠犇犃犆＝   图１１ ３ １  ４８°．    又犇犆＝１００ｍ，由正弦定理，得       犇犆ｓｉｎ∠犃犇犆 １００ｓｉｎ８５°  犃犆＝ ＝ ≈１３４．０５（ｍ）．   ｓｉｎ∠犇犃犆 ｓｉｎ４８°      在△犅犇犆中，∠犅犇犆＝６０°，∠犅犆犇＝７２°，则 ∠犇犅犆＝４８°．     又犇犆＝１００ｍ，由正弦定理，得      犇犆ｓｉｎ∠犅犇犆 １００ｓｉｎ６０°  犅犆＝ ＝ ≈１１６．５４（ｍ）．   ｓｉｎ∠犇犅犆 ｓｉｎ４８°      在△犃犅犆中，由余弦定理，得      犃犅２＝犃犆２＋犅犆２－２犃犆·犅犆ｃｏｓ∠犃犆犅       ＝１３４．０５２＋１１６．５４２－２×１３４．０５×１１６．５４ｃｏｓ（７２°－４７°）     ≈３２３３．９５（ｍ２ ），      所以犃犅≈５７（ｍ）．    答 犃，犅两点之间的距离约为５７ｍ．       例２ 如图１１ ３ ２，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信      ９６                       １１  解三角形 第 章    方位角是从指北 号．我海军舰艇在犃处获悉后，测出该渔轮在方位角为４５°、距离为    方向线顺时针转到目 １０ｎｍｉｌｅ的犆处，并测得该渔轮正沿方位角为１０５°的方向，以    标方向线的角． ９ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以２１ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度     前去营救．求舰艇的航向和靠拢渔轮所需的时间（角度精确到０．１°，    时间精确到１ｍｉｎ）．                        图１１ ３ ２     解 设舰艇收到信号后狓ｈ在犅处靠拢渔轮，则犃犅＝２１狓，     犅犆＝９狓．又犃犆＝１０，∠犃犆犅＝４５°＋（１８０°－１０５°）＝１２０°．    由余弦定理，得      犃犅２＝犃犆２＋犅犆２－２犃犆·犅犆ｃｏｓ∠犃犆犅，     即 （２１狓） ２＝１０２＋（９狓） ２－２×１０×９狓ｃｏｓ１２０°，   化简，得 ３６狓２－９狓－１０＝０，      ２ ２  解得狓＝ （负值舍去）， ｈ＝４０ｍｉｎ．   ３ ３     由正弦定理，得     犅犆ｓｉｎ∠犃犆犅 ９狓ｓｉｎ１２０° ３槡３  ｓｉｎ∠犅犃犆＝ ＝ ＝ ，   犃犅 ２１狓 １４     所以 ∠犅犃犆≈２１．８°，方位角为４５°＋２１．８°＝６６．８°．    答 舰艇应沿着方位角为６６．８°的方向航行，经过４０ｍｉｎ就可靠拢     渔轮．      例３ 作用于同一点的三个力犉，犉，犉 平衡．已知犉 ＝  １ ２ ３ １   ３０Ｎ，犉 ＝５０Ｎ，犉 与犉 之间的夹角是６０°，求犉 的大小与方向   ２ １ ２ ３   （精确到０．１°）．     解 犉 应和犉，犉 的合力犉平衡，所以犉 和犉在同一直线上，  ３ １ ２ ３   并且大小相等，方向相反．    如图１１ ３ ３，在△犗犉犉中，由余弦定理，得   １     犉＝槡３０２＋５０２－２×３０×５０ｃｏｓ１２０°＝７０（Ｎ）．     再由正弦定理，得     ５０ｓｉｎ１２０° ５槡３   ｓｉｎ∠犉犗犉＝ ＝ ，   １ ７０ １４     所以 ∠犉犗犉≈３８．２°，从而 ∠犉犗犉 ≈１４１．８°．  １ １ ３     ９７                        必修第二册 数学    答 犉 为７０Ｎ，犉 和犉 间的夹角为１４１．８°．  ３ ３ １                            图１１ ３ ３ 图１１ ３ ４      例４ 如图１１ ３ ４，半圆犗的直径为２，犃为直径延长线上的     一点，犗犃＝２，犅为半圆上任意一点，以犃犅为一边作等边三角形    犃犅犆．问：点犅在什么位置时，四边形犗犃犆犅的面积最大？     分析 四边形犗犃犆犅的面积由点犅的位置唯一确定，因此可设    ∠犃犗犅＝α，再用α的三角函数来表示四边形犗犃犆犅的面积．    解 设 ∠犃犗犅＝α．在△犃犗犅中，由余弦定理，得       犃犅２＝１２＋２２－２×１×２ｃｏｓα＝５－４ｃｏｓα．     于是，四边形犗犃犆犅的面积为      １ 槡３  犛＝犛 ＋犛 ＝ 犗犃·犗犅ｓｉｎα＋ 犃犅２   △犃犗犅 △犃犅犆 ２ ４     １ 槡３   ＝ ×２×１×ｓｉｎα＋ （５－４ｃｏｓα）  ２ ４    ５ （ π ） ５   ＝ｓｉｎα－槡３ｃｏｓα＋ 槡３＝２ｓｉｎα－ ＋ 槡３．   ４ ３ ４     π π ５π ５π   因为０＜α＜π，所以当α－ ＝ ，即α＝ ，即∠犃犗犅＝  ３ ２ ６ ６    时，四边形犗犃犆犅的面积最大．       练 习 １．曲柄连杆机构的示意图如图所示．当曲柄犗犃在水平位置犗犅时，连杆端点   犘在犙的位置．当犗犃自犗犅按顺时针方向旋转角α时，犘和犙之间的距离     是狓ｃｍ．已知犗犃＝２５ｃｍ，犃犘＝１２５ｃｍ，根据下列条件，求狓的值（精确    到０．１ｃｍ）：    （ １） α ＝ ５ ０° ； （ ２） α ＝ １ ３５° ．                       （第１题） （第２题）      ９８                       １１  解三角形 第 章    ２．如图，用两根绳子牵引重为犉＝１００Ｎ的物体，两根绳子的拉力分别为犉，  １ ２   犉，此时平衡．如果犉 ＝８０Ｎ，犉 与犉 的夹角α＝１３５°．  ３ ２ ２ ３   （１）求犉 的大小（精确到１Ｎ）；   ３   （２）求犉 与犉 的夹角 β 的值（精确到０．１°）．  ３ １  ３．如图，货轮在海上以４０ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度由犅向犆航行，航行的方位角     ∠犖犅犆＝１４０°，犃处有灯塔，其方位角∠犖犅犃＝１１０°．在犆处观察灯塔犃   的方位角∠犖′犆犃＝３５°．由犅到犆需航行０．５ｈ，求犆到灯塔犃的距离     （精确到０．０１ｎｍｉｌｅ）．                      （第３题） （第４题）     ４．如图，某人在高出海面６００ｍ的山上犘处，测得海面上的航标犃在正东方    向，俯角为３０°，航标犅在南偏东６０°的方向上，俯角为４５°，求这两个航标间     的距离．       习题１１．３         感受·理解 １．在△犃犅犆中，求证：犪２＋犫２＋犮２＝２（犫犮ｃｏｓ犃＋犮犪ｃｏｓ犅＋犪犫ｃｏｓ犆）．    ２．从２００ｍ高的电视塔塔顶犃测得地面上某两点犅，犆的俯角分别为３０°和    ４５°，∠犅犃犆＝４５°，求这两个点之间的距离（精确到０．１ｍ）．     ３．飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔２０２５０ｍ，   速度为６００ｋｍ／ｈ，飞行员看到山顶的俯角为１８°３０′，经过２８８ｓ后又看到山     顶的俯角为８１°，求山顶的海拔高度（精确到１ｍ）．    ４．如图，一船由西向东航行，测得某岛的方位角为６５°，前进５ｋｍ后测得此岛的    方位角为４２°．已知该岛周围３ｋｍ内有暗礁，如果继续东行，有无触礁危险？                    （第４题） （第５题）      ５．如图，在△犃犅犆中，已知犅＝４５°，犇是边犅犆上一点，犃犇＝１０，犃犆＝１４，   犇犆＝６，求犃犅的长．     ６．作用于同一点的三个力犉，犉，犉 平衡，且犉，犉 的夹角为θ，犉，犉  １ ２ ３ １ ２ ３ ２ ３   犉 犉 犉  的夹角为θ，犉，犉 的夹角为θ．求证： １ ＝ ２ ＝ ３ ．   １ ３ １ ２ ｓｉｎθ ｓｉｎθ ｓｉｎθ  １ ２ ３   ７．把一根长为３０ｃｍ的木条锯成两段，分别作钝角三角形犃犅犆的两边犃犅和    犅犆，且∠犃犅犆＝１２０°．如何锯断木条，才能使第三条边犃犆最短？      ９９                        必修第二册 数学    思考·运用 ８．如图，有两条相交成６０°角的直路犡犡′，犢犢′，交点是犗．甲、乙分别在犗犡，    犗犢上，起初甲离犗点３ｋｍ，乙离犗点１ｋｍ．后来甲沿犡犡′的方向，乙沿    犢′犢的方向，同时以４ｋｍ／ｈ的速度步行．    （１）起初两人间的距离是多少？    （２）狋ｈ后两人间的距离是多少？     （３）什么时候两人间的距离最短？                     （第８题） （第９题）     ９．如图，犃，犅，犆为山脚两侧共线的三点，在山顶犘处测得三点的俯角分别     为α，β，γ．计划沿直线犃犆开通穿山隧道，为求出隧道犇犈的长度，你认    为还需要直接测量出犃犇，犈犅，犅犆中的哪些线段的长度？根据条件，并    把你认为需要测量的线段长度作为已知量，写出计算隧道犇犈长度的运    算步骤．     探究·拓展 １０．解三角形在测量上有着广泛的应用，下面各图描述了测量中的一些基本问    题，你能根据图示说出求解犃犅的过程吗？        两点间不可达又不可视 两点间可视但不可达 两点都不可达     求     距     离          底部可达 底部不可达     求     高     度                                      １ ００                       １１  解三角形 第 章    问题与探究 海伦 秦九韶公式     海伦（Ｈｅｒｏｎ，约公元１世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，     以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了由     三角形的三边长犪，犫，犮计算面积的公式     （ １ ）   犛 ＝槡狆（狆－犪）（狆－犫）（狆－犮）狆＝ （犪＋犫＋犮）．  △犃犅犆 ２      我国南宋时期杰出的数学家秦九韶（约１２０２—１２６１），在其所著    《数书九章》里，独立地给出由三角形的三边求其面积的“三斜求积    术”．该书第五卷第二题是：     “问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜     一十五里，里法三百步，欲知为田几何．”    “答曰：田积三百一十五顷．”    “术曰：以少广求之．以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘     于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方     得积．”   秦九韶（约１２０２—  这里的大斜、中斜和小斜分别为三角形的三边的长．   １２６１），四川安岳人．  “三斜求积”用式子可表示为   １２４７年写成名著《数书   ［ ］   九章》，共１８章，内列 面积 ２＝ １ 小 ２·大 ２－ （大 ２＋小 ２－中 ２ ） ２ ．   ８１题，分为九大类． ４ ２      式中“大”“中”和“小”分别指“大斜”“中斜”和“小斜”．    如果三边的长用字母犪，犫和犮表示，那么三角形的面积为     ［ （ ）］   槡１ 犮２＋犪２－犫２ ２   犛 △犃犅犆 ＝ ４ 犮２犪２－ ２ ．      “三斜求积”公式的证明已经失传，吴文俊教授根据我国古代几     何证明的传统特点作了一个补证．    如图１，作大斜上的高分大斜成两部分，作为勾股形的弦和股，由     １  于三角形面积等于“ ×高×大”这一事实是我国古代数学家早就知  ２     道的，所以问题归结为怎样求高，而高又可以通过股与小求得，因此   图１   只要求出股就可以了．    根据刘徽得出的公式      （股弦和） ２－勾 ２  股 ＝ ，   ２×股弦和      知道由股弦和与勾 ２ 可以求股，所以问题又归结为求勾 ２ 与股弦和．这    很简单，因为      股弦和 ＝ 大，勾 ２＝ 弦 ２－股 ２＝ 中 ２－小 ２ ，      １ ０１                        必修第二册 数学   所以      股 ＝ （股弦和） ２－勾 ２ ＝ 大 ２－（中 ２－小 ２ ） ，   ２×股弦和 ２×大     （大 ２＋小 ２－中 ２ ）   高 ２＝ 小 ２－股 ２＝ 小 ２－ ２，   ２×大     从而得到“三斜求积”公式．     请你解答下列问题：    （１）将吴文俊教授的证法用代数语言表达出来；     （２）证明“海伦公式”与“三斜求积”公式是等价的；    （３）用余弦定理和正弦定理证明“三斜求积”公式或“海伦公式”．         阅 读 流星不是地球蒸发物     仰望星空，时有流星划过天际．“流星，飞走天空，可能有一秒时     的凝望，然而这一瞥的光明，已长久遗留在人的心怀里．”（引自冰心    《繁星·春水》）人们赞美流星，是因为它燃烧着走完自己的全部    路程．     流星是什么？自古以来人们做过无数种猜测．古希腊哲学家亚     里士多德说，那是地球的蒸发物．后来还有人认为，流星是地球上的    磷火升空后的燃烧现象．    １０世纪阿拉伯天文学家阿尔·库希（ａｌＫｕｈｉ）设计出一种方案，     通过两个观察者异地同时观测同一颗流星来测定流星的高度．１８世     纪与１９世纪之交，德国天文学家本森伯格（Ｊ．Ｂｅｎｚｅｎｂｅｒｇ，１７７７—    １８４６）和布兰第斯（Ｈ．Ｗ．Ｂｒａｎｄｅｓ，１７７７—１８３４）独立采用同样的方    法测定流星的高度．     如图２，设有两个观察者在地球上犃，犅两地同时观察到一颗流     星犛，仰角分别是α和β （犕犃，犕犅表示当地的地平线）．                                图２      由犃︵犅的长度犾和地球的半径犚，可求得犃︵犅所对的圆心角为２θ＝    犾   ×３６０°，则犃犅＝２犚ｓｉｎθ．在△犛犃犅中，∠犛犃犅＝θ＋α，  ２π犚      １ ０２                       １１  解三角形 第 章    ∠犛犅犃＝θ＋β ，故由犃犅的大小可以求得犛犃；在△犛犃犗中，    ∠犛犃犗＝∠犗犃犕＋∠犕犃犛＝９０°＋α，可求得犗犛，再减去地球半径    犚，就得到流星犛的高度．但是，阿尔·库希当时还不知道三角形的正     弦定理，而关于余弦定理，中世纪的数学家只知道《原本》中的几何形    式，因此他的方法非常繁琐．     阿拉伯学者阿布·瓦法（ＡｂūｌＷａｆ，９４０—９９８）首先提出并证明    了球面三角形的正弦定理，而平面三角形的正弦定理的证明最先是     纳绥尔丁·图西（ＮａｓｉｒＤｉｎＴｕｓｉ，１２０１—１２７４）给出的．《论四边形》被    称为是纳绥尔丁最重要的数学论著，是数学史上流传至今最早的三     犪 犫 犮  角学专著，书中他明确陈述了正弦定理 ＝ ＝ ．他的工作   ｓｉｎ犃 ｓｉｎ犅 ｓｉｎ犆    完成了球面三角和平面三角的系统化，使三角学脱离天文学而成为     数学的独立分支．    有了余弦定理和正弦定理，我们可以方便地解决流星高度问题．     在图２中，设α＝２３．２°， β＝４４．３°，犾＝５００（ｋｍ），犚＝    ６３７１（ｋｍ），则      １ ５００   θ＝ × ×３６０°≈２．２４８３°．  ２ ２π犚      从而得     犃犅＝２犚ｓｉｎθ≈４９９．８７０８（ｋｍ）．      在△犛犃犅中，∠犛犃犅＝θ＋α＝２５．４４８３°，∠犛犅犃＝θ＋β＝    ４６．５４８３°，所以 ∠犃犛犅＝１０８．００３４°．      犃犅 犃犛  由正弦定理 ＝ ，得犃犛≈３８１．５６５５（ｋｍ）．   ｓｉｎ∠犃犛犅 ｓｉｎ∠犛犅犃     在△犛犃犗中，∠犛犃犗＝９０°＋α＝１１３．２°．     由余弦定理得       犗犛＝槡犃犛２＋犚２－２犃犛·犚ｃｏｓ∠犛犃犗≈６５３０．７３８２（ｋｍ）．     再减去地球半径，最后求出流星的高度为犺≈１５９．７３８２ｋｍ．     我们知道，云层最高不超过１５ｋｍ，所以可以断定流星不是地球    蒸发物，它一定是天外来客！正是余弦定理和正弦定理帮助人们迈出    正确认识流星的第一步！                          １ ０３                        必修第二册 数学            本章回顾          本章我们借助平面向量研究了三角形中的边角关系，主要学习    了余弦定理、正弦定理，以及余弦定理、正弦定理在解决实际问题中     的简单应用．                                    余弦定理、正弦定理是反映三角形边、角关系的重要定理．利用    余弦定理、正弦定理，可以将三角形中边的关系与角的关系进行相互     转化，从而有助于问题的解决．另外，许多几何、物理以及实际问题也    可以转化为解三角形的问题来研究．        复 习 题         感受·理解 １．在△犃犅犆中，    槡３  （１）已知犪＝１，犃＝６０°，犮＝ ，求犆；   ３     （２）已知犪＝２，犫＝槡２，犮＝槡３＋１，求犃；    （３）已知犪＝３槡３，犮＝２，犅＝１５０°，求犫．    ２．在△犃犅犆中，已知犪－犫＝犮ｃｏｓ犅－犮ｃｏｓ犃，判断△犃犅犆的形状．    ３．海上犃，犅两个小岛相距１０ｎｍｉｌｅ，从犃岛望犆岛和犅岛所成的视角为６０°，    从犅岛望犆岛和犃岛所成的视角为７５°，求犅岛和犆岛之间的距离．     ４．在犗点的正上方有气球犘，从犗点的正西方向上的犃处，测得气球犘的仰   角为４５°，同时从犗点南偏东４５°方向上的犅处，测得气球犘的仰角为６０°，     犃，犅两点间的距离为２００ｍ．问：气球犘离地面约多少米（精确到１ｍ）？    ５．已知向量犪，犫，犮满足犪＋犫＋犮＝０，且犪与犫的夹角为１３５°，犫与犮的夹角    为１２０°，狘犮狘＝２，求狘犪狘，狘犫狘．     ６．在△犃犅犆中，已知２犪＝犫＋犮，ｓｉｎ２犃＝ｓｉｎ犅ｓｉｎ犆，试判断△犃犅犆的形状．    思考·运用 ７．如图，已知∠犃为定角，犘，犙分别在∠犃的两边上，犘犙为定长．当犘，犙处    于什么位置时，△犃犘犙的面积最大？      １ ０４                       １１  解三角形 第 章                  （第７题） （第８题）     ８．外轮除特许外，不得进入离我国海岸线犱ｎｍｉｌｅ以内的区域．如图，设犃，犅     是相距狊ｎｍｉｌｅ的两个观察站，一外轮在犘点，测得 ∠犅犃犘＝α，∠犃犅犘＝   β．问：α，β 满足什么关系时就该向外轮发出警告，令其退出我国海域？     探究·拓展 ９．试由余弦定理推导出正弦定理．     １０．（１）如图（１），在圆犗的内接四边形犃犅犆犇中，犃犅＝２，犅犆＝６，犆犇＝    犇犃＝４，求四边形犃犅犆犇的面积．    （２）如图（２），设圆犗的内接四边形的边长分别为犪，犫，犮，犱，试证明其面积为   （ ）   １  犛＝槡（狆－犪）（狆－犫）（狆－犮）（狆－犱） 狆＝ （犪＋犫＋犮＋犱）．  ２                        （第１０题）                                                                       １ ０５                        必修第二册 数学            本章测试           说明：本测试题中，犪，犫，犮分别表示△犃犅犆中角犃，犅，犆所对边的长，     犛 表示△犃犅犆的面积．  △犃犅犆   一、填空题 １．在△犃犅犆中，若犪＝８，犫＝７，犅＝３０°，则ｓｉｎ犃＝ ．     ２．在△犃犅犆中，若犫＝４槡３，犮＝２槡３，犃＝１２０°，则犪＝ ．    ３．在△犃犅犆中，若犃＝６０°，犫＝１，犛 ＝槡３，则犪＝ ．   △犃犅犆   ４．在△犃犅犆中，若犫２＋犮２－犪２＝槡３犫犮，则犃＝ ．     ５．在△犃犅犆中，若犪ｃｏｓ犅＋犫ｃｏｓ犃＝犪，则△犃犅犆的形状是 ．     ６．如图，海岸线上有相距５ｎｍｉｌｅ的两座灯塔犃，犅，灯塔犅位于灯塔犃的正    南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔犃的北偏西７５°方向，与犃相     距３槡２ｎｍｉｌｅ的犇处；乙船位于灯塔犅的北偏西６０°方向，与犅相距５ｎｍｉｌｅ    的犆处．两艘轮船之间的距离为 ｎｍｉｌｅ．                          （第６题）        ｓｉｎ２犅＋ｓｉｎ２犆   二、选择题 ７．在△犃犅犆中，若 ＝１，则犃＝（ ）．   ｓｉｎ２犃    Ａ ． １５ ０° Ｂ ． １２ ０° Ｃ ． ９０ ° Ｄ．６０°    犫＋犮   ８．在△犃犅犆中，若犪＝２槡３，犃＝３０°，则 的值为（ ）．  ｓｉｎ犅＋ｓｉｎ犆     Ａ．４槡３ Ｂ．２槡３ Ｃ．４ Ｄ．２    ９．已知犃，犅两地间的距离为１０ｋｍ，犅，犆两地间的距离为２０ｋｍ．若测得     ∠犃犅犆＝１２０°，则犃，犆两地间的距离为（ ）．     Ａ．１０ｋｍ Ｂ．槡３ｋｍ Ｃ．１０槡５ｋｍ Ｄ．１０槡７ｋｍ     １０．在△犃犅犆中，若ｓｉｎ犃∶ｓｉｎ犅∶ｓｉｎ犆＝３∶５∶７，则犆＝（ ）．    Ａ．３０° Ｂ．６０° Ｃ．１２０° Ｄ．１５０°        三、解答题 １１．在△犃犅犆中，已知犪＝４槡２，犫＝４槡３，犃＝４５°，求犅．     １２．在△犃犅犆中，已知犃＝３０°，犅＝１０５°，犪＝２０，求犮和犛 ．   △犃犅犆    １ ０６                       １１  解三角形 第 章    １ ３  １３．在△犃犅犆中，已知ｔａｎ犃＝ ，ｔａｎ犅＝ ．若△犃犅犆最长边的长为槡１７，  ４ ５     求最短边的长．     １４．如图，在△犃犅犆中，犃犅＝ ３槡６ ，犆犇＝５，∠犃犅犆＝４５°，∠犃犆犅＝６０°，   ２    求犃犇的长．                              （第１４题） （第１５题）     １５．如图，某海滨城市犃附近海面上有一台风，在城市犃测得该台风中心位于    方位角为１５０°、距离为４００ｋｍ的海面犘处，并以７０ｋｍ／ｈ的速度沿北偏西    ６０°的方向移动．如果台风侵袭的范围是半径为２５０ｋｍ的圆形区域．问：几     小时后该城市开始受到台风侵袭？（槡３≈１．７３２）                                                                                １ ０７                           第１２章 复 数                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             虚数是奇妙的人类精神寄托，它好像是存在与不存在     之间的一种两栖动物．     莱布尼茨                                           １６世纪，意大利数学家卡尔丹（Ｇ．Ｃａｒｄａｎｏ，１５０１—１５７６）在讨论     问题“将１０分成两部分，使两者的乘积等于４０”时，认为把答案写成     “５＋ 槡－１５和５－槡－１５”就可以满足要求：      （５＋槡－１５）＋（５－槡－１５）＝５＋５＝１０，      （５＋槡－１５）（５－槡－１５）＝５×５－槡－１５×槡－１５     ＝２５－（－１５）      ＝４０．      我们知道，在实数集内，一个正数有两个平方根，它们互为相反     数，０的平方根是０．然而，槡－１５表示什么意义呢？    你也许会觉得这个问题有点可笑，因为任何实数的平方是非负      数，所以负数没有平方根，因此，槡－１５没有意义．     尽管当时的数学家都认为“５＋槡－１５”和“５－槡－１５”这两个    式子没有意义，是虚构的、想像的，但在解决许多问题时，使用类似于     “槡－１５”这样的式子却带来极大的方便．    那么，       ●槡－１５真的是无意义的、虚幻的吗？     ●槡－１５能作为数吗？              １１０                              １２．１      复数的概念          从社会生活来看，为了满足生活和生产实践的需要，数的概念也    在不断地发展着：为了计数的需要产生了自然数，为了测量等需要产     生了分数，为了刻画具有相反意义的量产生了负数，为了解决度量正     方形对角线长的问题产生了无理数，等等．    从数学内部来看，数集是在按某种“规则”不断扩充的．    在自然数集中，加法和乘法总可以实施．但是，由于小数不能减     大数，方程狓＋４＝０无解．为此引入负数，数集扩充到整数集．     在整数集中，加法、减法和乘法总可以实施．但是，由于除法只能    解决整除的问题，方程３狓－２＝０无解．为此引入分数，数集扩充到有    理数集．     在有理数集中，加法、减法、乘法和除法（除数不为０）总可以实     施．但是，开方的结果可能不是有理数，方程狓２－２＝０无解．为此引    入无理数，数集扩充到实数集．    在实数集中，加法、减法、乘法和除法（除数不为０）总可以实施，     并解决了正数的开方问题．     从自然数集、整数集、有理数集到实数集，每一次数的概念的发    展，新的数集都是在原来数集的基础上“添加”了一种新的数得来的．    在新的数集中，原有的运算及其性质仍然适用，同时解决了某些运算     在原来数集中不是总可以实施的矛盾．     现在，在实数集中，我们又面临方程狓２＋１＝０无解、负数不能开平    方的问题．这表明，数的概念需要进一步发展，实数集需要进一步扩充．      ● 实数集应怎样扩充呢？     为了使方程狓２＋１＝０有解，使实数的开方运算总可以实施，实     数集的扩充就从引入平方等于－１的“新数”开始．     虚数（ｉｍａｇｉｎａｒｙ） 为此，我们引入一个新数ｉ，叫作虚数单位（ｉｍａｇｉｎａｒｙｕｎｉｔ），并    这个名称是法国哲学 规定：    家、数 学 家 笛 卡 儿  （１）ｉ２＝－１；   （Ｒ．Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ，１５９６—  （２）实数可以与ｉ进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、   １６５０）给出的，写在   乘法运算律仍然成立．   １６３７ 年 出 版 的 《几  在这种规定下，ｉ可以与实数犫相乘，再与实数犪相加．由于满足   何》中．   乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成犪＋犫ｉ．这样，数的范    围又扩充了，出现了形如犪＋犫ｉ（犪，犫∈犚）的数，我们把它们叫作复数     （ｃｏｍｐｌｅｘｎｕｍｂｅｒ）．全体复数所组成的集合叫作复数集（ｓｅｔｏｆ      １１１                        必修第二册 数学    ｃｏｍｐｌｅｘｎｕｍｂｅｒｓ），记作犆．    复数通常用字母狕表示，即狕＝犪＋犫ｉ（犪，犫∈犚），其中犪与犫分别叫    作复数狕的实部（ｒｅａｌｐａｒｔ）与虚部（ｉｍａｇｉｎａｒｙｐａｒｔ）．     当且 仅 当犫＝０ 时，狕是 实 数犪；当犫≠ ０ 时，狕叫 作 虚 数     （ｉｍａｇｉｎａｒｙｎｕｍｂｅｒ）．    特别地，当犪＝０且犫≠０时，狕＝犫ｉ叫作纯虚数（ｐｕｒｅｉｍａｇｉｎａｒｙ    ｎｕｍｂｅｒ）．具体说来，       烄 实数 （犫＝０），  本章如无特别说 复数狕＝犪＋犫ｉ烅  烆 虚数 （犫≠０）（当犪＝０时为纯虚数）．   明，犪，犫，犮，犱均 表     示实数． 例１ 写出复数４，２－３ｉ，０，－ １ ＋ ４ ｉ，５＋槡２ｉ，６ｉ的实部与   ２ ３    虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．      解 ４，２－３ｉ，０，－ １ ＋ ４ ｉ，５＋槡２ｉ，６ｉ的实部分别是４，２，０，   ２ ３     １ ４  － ，５，０，虚部分别是０，－３，０， ，槡２，６．  ２ ３     １ ４  ４，０是实数；２－３ｉ，－ ＋ ｉ，５＋槡２ｉ，６ｉ是虚数，其中６ｉ是纯  ２ ３     虚数．     例２ 实数犿取什么值时，复数狕＝犿（犿－１）＋（犿－１）ｉ是：     （１）实数？ （２）虚数？ （３）纯虚数？     分析 由犿∈犚可知 （犿－１），犿（犿－１）都是实数，根据复数     犪＋犫ｉ是实数、虚数或纯虚数的条件可以分别确定犿的值．    解 （１）当犿－１＝０，即犿＝１时，复数狕是实数．    （２）当犿－１≠０，即犿≠１时，复数狕是虚数．     （３）当犿（犿－１）＝０且犿－１≠０，即犿＝０时，复数狕是     纯虚数．     思 考 犪＝０是复数狕＝犪＋犫ｉ为纯虚数的充分条件吗？      如果两个复数的实部与虚部分别相等，那么我们就说这两个复    数相等，即       烄犪＝犮，   犪＋犫ｉ＝犮＋犱ｉ烅   烆犫＝犱．       这就是说，两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等．     例３ 已知 （狓＋狔）＋（狓－２狔）ｉ＝（２狓－５）＋（３狓＋狔）ｉ，求实     数狓，狔的值．     解 根据两个复数相等的充要条件，可得      １１２                       １２  复 数 第 章    烄狓＋狔＝２狓－５，   烅  烆狓－２狔＝３狓＋狔，     烄狓＝３，  解得  烅  烆狔＝－２．          练 习 １（口答）在复数１－２ｉ，２＋槡３， １ ２ ｉ，－５＋槡２ｉ，０，７＋（槡５－２）ｉ中，哪些是实     数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？其中虚数的实部与虚部分别是什么？    ２下列结论中，正确的是（ ）．     Ａ．犣犖犙犚犆 Ｂ．犖犣犙犆犚   Ｃ．犖犣犙犚犆 Ｄ．犚犖犣犙犆     ３实数犿取什么值时，复数狕＝（犿＋１）＋（犿－２）ｉ是：    （１）实数？ （２）虚数？ （３）纯虚数？    ４．复数（犿２－３犿－４）＋（犿２－５犿－６）ｉ是虚数，求实数犿的取值范围．     ５．求以－槡５＋２ｉ的虚部为实部、以２ｉ２＋槡５ｉ的实部为虚部的复数．    ６求满足下列条件的实数狓，狔的值：    （１）（狓－３狔）＋（２狓＋３狔）ｉ＝５＋ｉ；     （２）２狓２－５狓＋３＋（狔２＋狔－６）ｉ＝０．      习题１２．１         感受·理解 １．给出下列命题：    ① 自然数集是非负整数集；    ② 实数集与复数集的交集为实数集；    ③ 实数集与虚数集的交集是｛０｝；     ④ 纯虚数集与实数集的交集为空集．   其中，假命题是 ．（填序号）     ２．对于复数狕＝犪＋犫ｉ（犪，犫∈犚），下列结论中正确的是（ ）．    Ａ．若犪＝０，则犪＋犫ｉ为纯虚数    Ｂ．若犪－犫ｉ＝３＋２ｉ，则犪＝３，犫＝２     Ｃ．若犫＝０，则犪＋犫ｉ为实数   Ｄ．若犪＝犫＝０，则狕不是复数     ３实数犿取什么值时，复数狕＝犿（犿＋１）＋（犿２－１）ｉ是：    （１）实数？ （２）虚数？ （３）０？    ４设犿为实数，已知复数狕＝（犿２＋３犿－４）＋（犿２－２犿－２４）ｉ是纯虚数，求    犿的值．    ５求满足下列条件的实数狓，狔的值：   （ ） （ ）   １ ２  （１） 狓－狔＋ ４狓＋ 狔ｉ＝５＋１４ｉ；  ２ ３    （２）（狓＋狔）－狓狔ｉ＝－２＋１５ｉ；    （３）（狓２－狓－２）＋（２狔２＋５狔＋２）ｉ＝０．          １１３                        必修第二册 数学    思考·运用 ６．给出下列命题：    ① 任意两个复数都不能比较大小；    ② 若狕＝犪＋犫ｉ（犪，犫∈犚），则当且仅当犪＝０且犫＝０时，狕＝０；     ③ 若狕，狕∈犆，且狕２＋狕２＝０，则狕＝狕＝０；  １ ２ １ ２ １ ２  ④ 若狓＋狔ｉ＝１＋ｉ（狓，狔∈犆），则狓＝狔＝１．     其中， 是假命题．（填序号）   ７．设犿为实数，若集合犕＝ ｛１，２，（犿２－３犿－１）＋（犿２－５犿－６）ｉ｝，犖＝     ｛－１，３｝，且犕∩犖＝ ｛３｝，求犿的值．     探究·拓展 ８设犕是一个非空集合，犳是一种运算．如果对于集合犕中任意两个元素狆，    狇，实施运算犳的结果仍是集合中的元素，那么就说集合犕对于运算犳是“封     闭的”．已知集合犕＝｛狓狘狓＝犪＋犫槡２，犪，犫∈犙｝，试验证犕对于加法、减    法、乘法和除法（除数不为０）运算是封闭的．                                                                                                      １１４                              １２．２      复数的运算          我们知道，虚数单位ｉ与实数一起可以按照实数的运算法则进行    运算．那么，      ● 任意两个复数按照怎样的法则进行运算呢？      设狕＝犪＋犫ｉ，狕＝犮＋犱ｉ是任意两个复数，复数的加法按照以  １ ２   下的法则进行运算：       （犪＋犫ｉ）＋（犮＋犱ｉ）＝（犪＋犮）＋（犫＋犱）ｉ．        显然，两个复数的和仍是一个复数．    容易验证，复数的加法满足交换律、结合律，即对任何狕，狕，   １ ２  狕∈犆，有 狕＋狕＝狕＋狕，   ３ １ ２ ２ １    （狕＋狕）＋狕＝狕＋（狕＋狕）．   １ ２ ３ １ ２ ３    我们把满足     （犮＋犱ｉ）＋（狓＋狔ｉ）＝犪＋犫ｉ      的复数狓＋狔ｉ（狓，狔∈犚）叫作复数犪＋犫ｉ减去犮＋犱ｉ所得的差，记作      （犪＋犫ｉ）－（犮＋犱ｉ）．     根据复数的加法法则和复数相等的定义，有      犮＋狓＝犪，犱＋狔＝犫，     即 狓＝犪－犮，狔＝犫－犱，      所以 狓＋狔ｉ＝ （犪－犮）＋（犫－犱）ｉ．     于是，我们得到复数的减法法则：       （犪＋犫ｉ）－（犮＋犱ｉ）＝ （犪－犮）＋（犫－犱）ｉ．   复数的减法是复    数的加法的逆运算．  由此可见，两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分     别相加（减）．      例１ 计算 （１－３ｉ）－（２＋５ｉ）＋（－４＋９ｉ）．    解 原式＝ （１－２－４）＋（－３－５＋９）ｉ＝－５＋ｉ．      复数的乘法按照以下的法则进行运算：      （犪＋犫ｉ）（犮＋犱ｉ）＝犪犮＋犪犱ｉ＋犫犮ｉ＋犫犱ｉ２ ，      １１５                        必修第二册 数学   即        （犪＋犫ｉ）（犮＋犱ｉ）＝ （犪犮－犫犱）＋（犫犮＋犪犱）ｉ．       显然，两个复数的积仍是一个复数．    复数的乘法法则与多项式的乘法法则是类似的，只是在运算过      程中要把ｉ２ 换成－１，然后把实部与虚部分别合并．   容易验证，复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律，即对任     何狕，狕，狕∈犆，有   １ ２ ３   狕狕＝狕狕，  １ ２ ２ １    （狕狕）狕＝狕（狕狕），   １ ２ ３ １ ２ ３   狕（狕＋狕）＝狕狕＋狕狕．   １ ２ ３ １ ２ １ ３    例２ 计算 （－２－ｉ）（３－２ｉ）（－１＋３ｉ）．    解 原式＝ （－８＋ｉ）（－１＋３ｉ）＝５－２５ｉ．       例３ 计算 （犪＋犫ｉ）（犪－犫ｉ）．     解 原式 ＝犪２－犪犫ｉ＋犪犫ｉ－犫２ｉ２＝犪２－犫２ｉ２＝犪２＋犫２．     思 考 设狓，狔∈犚，在复数集内，你能将狓２＋狔２ 分解因式吗？      我们把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫作互为共轭复    数．复数狕＝犪＋犫ｉ的共轭复数记作狕，即      狕＝犪－犫ｉ．      当复数狕＝犪＋犫ｉ的虚部犫＝０时，狕＝狕．也就是说，实数的共轭    复数是它本身．      练 习 １计算：     （１）（５－３ｉ）＋（７－５ｉ）－４ｉ；    （２）（－２－４ｉ）－（－２＋ｉ）＋（１＋７ｉ）；    （３）ｉ＋ｉ２＋ｉ３＋ｉ４．    ２．若复数狕＝１＋３ｉ，狕＝－２＋犪ｉ，且狕＋狕＝犫＋８ｉ，狕－狕＝－３＋犮ｉ，   １ ２ １ ２ ２ １  则实数犪＝ ，犫＝ ，犮＝ ．     ３计算：    （１）（２－３ｉ）（－５＋ｉ）； （２）（１＋ｉ）（２＋ｉ）（３＋ｉ）；    （３）（１－２ｉ）（１＋２ｉ）； （４）（犪＋犫ｉ）（犪－犫ｉ）（－犪＋犫ｉ）（－犪－犫ｉ）．     ４分别写出复数３－５ｉ，－１＋２ｉ，－５ｉ，８的共轭复数．    ５证明：狕±狕＝狕±狕．  １ ２ １ ２   ６求满足下列条件的复数狕：    （１）狕＋ｉ－３＝３－ｉ； （２）狕＋（３－４ｉ）＝１；     （３）（３－ｉ）狕＝４＋２ｉ； （４）（槡２－ｉ）狕＝槡２＋ｉ．    ７．已知复数狕＝１＋ｉ，实数犪，犫满足犪狕＋２犫狕珔＝（犪＋２狕）２，求犪，犫的值．      １１６                       １２  复 数 第 章    复数的乘方是相同复数的积．根据复数乘法的运算律，实数范围    内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对任何狕，狕，   １  狕∈犆及犿，狀∈犖  ，有   ２     狕犿狕狀＝狕犿＋狀 ，     （狕犿 ） 狀＝狕犿狀 ，       （狕狕） 狀＝狕狀狕狀．  １ ２ １ ２    在计算复数的乘方时，要用到虚数单位ｉ的乘方，对于ｉ的正整数     指数幂，易知     ｉ１＝ｉ，ｉ２＝－１，ｉ３＝ｉ２·ｉ＝－ｉ，ｉ４＝ （ｉ２ ） ２＝１．       一般地，如果狀∈犖  ，那么我们有     ｉ４狀＝１，ｉ４狀＋１＝ｉ，ｉ４狀＋２＝－１，ｉ４狀＋３＝－ｉ．       １ 槡３  例４ 设ω＝－ ＋ ｉ，求证：  ２ ２     （１）１＋ω＋ω２＝０； （２）ω３＝１．    证明 （１）因为      （ １ 槡３ ） １ 槡３ ３ １ 槡３   ω２＝ － ＋ ｉ２＝ － ｉ－ ＝－ － ｉ，  ２ ２ ４ ２ ４ ２ ２      （ １ 槡３ ） （ １ 槡３ ）   所以 １＋ω＋ω２＝１＋ － ＋ ｉ ＋ － － ｉ ＝０．  ２ ２ ２ ２     （ ）（ ）  １ 槡３ １ 槡３   （２）ω３＝ωω２＝ － ＋ ｉ － － ｉ  ２ ２ ２ ２    （ ） （ ）  １ 槡３ １ ３  ＝ － ２－ ｉ２＝ ＋ ＝１．  ２ ２ ４ ４      思 考 如果把例４中的ω换成ω，那么欲证的两个等式还成立吗？在复     数范围内，你能写出方程狓３＝１的３个根吗？      我们把满足      （犮＋犱ｉ）（狓＋狔ｉ）＝犪＋犫ｉ（犮＋犱ｉ≠０）     的复数狓＋狔ｉ（狓，狔∈犚）叫作复数犪＋犫ｉ除以犮＋犱ｉ所得的商，记作     犪＋犫ｉ  或（犪＋犫ｉ）÷（犮＋犱ｉ）．  犮＋犱ｉ      ２－ｉ  例５ 计算 ．   ３－４ｉ    ２－ｉ  解法１ 设 ＝狓＋狔ｉ（狓，狔∈犚），则   ３－４ｉ      １１７                        必修第二册 数学    根据复数相等的 （３－４ｉ）（狓＋狔ｉ）＝２－ｉ，    充要条件，运用待定 即 （３狓＋４狔）＋（３狔－４狓）ｉ＝２－ｉ，    系数法求复数，是常 烄３狓＋４狔＝２，   所以  烅  用的方法之一． 烆３狔－４狓＝－１，    ２  狓＝ ，   烄 ５   解得 烅  １  烆 狔＝ ．   ５     因此 ２－ｉ ＝ ２ ＋ １ ｉ．   ３－４ｉ ５ ５     ２－ｉ （２－ｉ）（３＋４ｉ） （２－ｉ）（３＋４ｉ）   可以证明： 解法２ ＝ ＝  ３－４ｉ （３－４ｉ）（３＋４ｉ） ２５   狕 狕狕   １＝ １  狕 狕狕 １０＋５ｉ ２ １   ２ ２ ＝ ２５ ＝ ５ ＋ ５ ｉ．   （狕，狕，狕∈犆，且狕，  １ ２ ２  狕均不为０）．   一般地，我们有      犪＋犫ｉ （犪＋犫ｉ）（犮－犱ｉ） 犪犮＋犫犱 犫犮－犪犱  ＝ ＝ ＋ ｉ．   犮＋犱ｉ （犮＋犱ｉ）（犮－犱ｉ） 犮２＋犱２ 犮２＋犱２     因为犮＋犱ｉ≠０，所以犮２＋犱２≠０．     由此可见，两个复数的商仍是一个复数．      例６ 在复数集犆内解下列方程：     （１）狕２＋４＝０；    （２）狕２－１０狕＋４０＝０．     解 （１）设狕＝狓＋狔ｉ（狓，狔∈犚），则     （狓＋狔ｉ） ２＋４＝０，       即 （狓２－狔２＋４）＋２狓狔ｉ＝０，     烄狓２－狔２＋４＝０，  所以  烅   烆２狓狔＝０，     烄狓＝０， 烄狓＝０，  解得 或  烅 烅   烆狔＝２ 烆狔＝－２．     因此 狕＝２ｉ或狕＝－２ｉ．     当犪＞０时，方程 （２）配方，得    狕２＋犪＝０的根为 （狕－５） ２＝－１５．    狕＝槡犪ｉ，   １ 仿（１），得   狕＝－槡犪ｉ．   ２ 狕－５＝槡１５ｉ或狕－５＝－槡１５ｉ．     所以 狕＝５＋槡１５ｉ或狕＝５－槡１５ｉ．        １１８                       １２  复 数 第 章    练 习 １计算：  （ ）   槡２ 槡２ ２  （１） ＋ ｉ ； （２）（１－ｉ）４；   ２ ２     （３）（－１＋槡３ｉ）３； （４）ｉ＋ｉ２＋ｉ３＋…＋ｉ１００．   ２计算：     １ １＋ｉ  （１） ； （２） ；  ｉ １－ｉ    ２＋ｉ ２－５ｉ  （３） ； （４） ；   １＋ｉ ３＋４ｉ  （ ）   （５） １－ｉ１８； （６） （１＋ｉ）４（４＋３ｉ） ．   １＋ｉ ３－４ｉ    ３已知狕＝－２＋ｉ，狕狕＝－５＋５ｉ，求狕＋狕．   １ １ ２ １ ２  １  ４．已知复数狕＝ ，求狕的共轭复数狕．   １－ｉ    狕  ５．设犪为实数，若狕＝犪＋２ｉ，狕＝３－４ｉ，且 １ 为纯虚数，求犪的值．  １ ２ 狕  ２   ６．在复数集犆内解下列方程：     （１）４狕２＋１＝０； （２）狕２－狕＋１＝０．      习题１２．２        感受·理解 １计算：     （１）（５＋４ｉ）＋（－３－３ｉ）；     （２）（槡２－槡３ｉ）＋（槡２－槡２ｉ）＋（－槡２＋槡３ｉ）；    （３）（３＋２ｉ）－７ｉ－（２－３ｉ）；    （４）（０．５＋１．３ｉ）－（１．２＋０．７ｉ）＋（１－０．４ｉ）；     （５）［（犪－犫）＋（犪＋犫）ｉ］－［（犪＋犫）＋（犪－犫）ｉ］；    （６）（４－２ｉ）－（６＋ｉ３）＋ｉ２．    ２计算：    （１）（２－３ｉ）（２＋３ｉ）； （２）（１－ｉ）（－４＋３ｉ）；   （ ）（ ）   槡３ １ １ 槡３  （３） ＋ ｉ － ＋ ｉ； （４）（１＋２ｉ）（１－ｉ）２．  ２ ２ ２ ２    ３计算：     （１）（１＋ｉ）１０； （２）ｉ２狀－３＋ｉ２狀－１＋ｉ２狀＋１＋ｉ２狀＋３（狀∈犖 ）；     （３） ５＋ｉ ； （４） （１＋２ｉ）２ ＋ （２＋ｉ）２；  ２－ｉ ３＋４ｉ ４－３ｉ   （ ）    （５） 槡２－ｉ３； （６） －２槡３＋ｉ ＋ 槡２ ２０２０ ．   １－槡２ｉ １＋２槡３ｉ １－ｉ    １ 槡３  ４设狕＝ ＋ ｉ，求证：  ２ ２    （１）狕２＝－狕；     （２）狕３＝－１；     （３）狕２－狕＋１＝０．   ５．已知狕＝３＋２ｉ，复数狕满足狕狕＝３狕＋狕，求狕．   ０ ０ ０    １１９                        必修第二册 数学    ６．已知 １ ＋ １ ＝狓＋狔ｉ，求实数狓，狔的值．   １－ｉ ２＋３ｉ     思考·运用 ７证明：狕为实数的充要条件是狕＝狕．    ８在复数集犆内解下列方程：    （１）狕４＝１； （２）９狕２＋１６＝０；     （３）狕２－４狕＋５＝０； （４ ）２ 狕 ２－３狕＋５＝０．   ９在复数范围内分解因式：     （１）犪４－犫４； （２）狓２＋４；     （３）狓２＋２狓＋５； （４）犪２＋犫２＋犮２＋２犪犫．   １０已知狕２＝－７－２４ｉ，求复数狕．     １１已知狕，狕∈犆，狕狕＝０，求证：狕，狕中至少有１个是０．  １ ２ １ ２ １ ２   １２．设狕是复数，狕＝狕－ｉ·狕，已知狕的实部是－１，求狕的虚部．  １ （２ ）１ （１ ） ２ ２    １３．已知犳（狀）＝ １ １ － ＋ｉ ｉ ２狀 ＋ １ １ ＋ －ｉ ｉ ２狀（狀∈犖 ），求集合｛狓狘狓＝犳（狀），狀∈      犖 ｝中元素的个数．     探究·拓展 １４在复数范围内，证明狓４＋４＝（狓－１－ｉ）（狓－１＋ｉ）（狓＋１－ｉ）（狓＋１＋ｉ），    并由此写出－１的４个四次方根．    １   １５规定ｉ０＝１，ｉ－犿＝ ｉ犿 （犿∈犖 ），求证：ｉ４狀＝１，ｉ４狀＋１ ＝ｉ，ｉ４狀＋２ ＝－１，     ｉ４狀＋３＝－ｉ对一切狀∈犣都成立．                                                                              １２０                              １２．３      复数的几何意义          我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，实数可以用数轴上    的点来表示．那么，      ● 复数能否也可以用点来表示呢？      根据复数相等的定义可知，任何一个复数狕＝犪＋犫ｉ都可以由一     个有序实数对（犪，犫）唯一确定，而有序实数对（犪，犫）与平面直角坐标    系中的点是一一对应的．因此，可以用直角坐标系中的点犣（犪，犫）来    表示复数狕＝犪＋犫ｉ．     如图１２ ３ １，原点犗（０，０）表示实数０，狓轴上的点犃（－２，０）     表示实数－２，狔轴上的点犅（０，１）表示纯虚数ｉ，点犆（１，２）表示复数    １＋２ｉ等．                           图１２ ３ １ 图１２ ３ ２      复数的这种几何 我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面   表示也称为阿甘得图 （ｃｏｍｐｌｅｘｐｌａｎｅ），狓轴叫作实轴（ｒｅａｌａｘｉｓ），狔轴叫作虚轴（ｉｍａｇｉｎａｒｙ     （Ａｒｇａｎｄｄｉａｇｒａｍ）． ａｘｉｓ）．实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．      因为复平面内的点犣（犪，犫）与以原点为起点、以犣（犪，犫）为终点   →  的向量犗犣一一对应（原点犗（０，０）与零向量对应），所以复数狕＝犪＋    →  犫ｉ也可以用向量犗犣来表示（图１２ ３ ２）．   →   因此，复数狕＝犪＋犫ｉ、复平面内的点犣（犪，犫）和平面向量犗犣之间    的关系可用图１２ ３ ３来表示．                            图１２ ３ ３    １２１                        必修第二册 数学  →   为方便起见，常把复数狕＝犪＋犫ｉ说成点犣或向量犗犣，并且规定    相等的向量表示同一个复数．   →  在图１２ ３ ２中，向量犗犣的模叫作复数狕＝犪＋犫ｉ的模     （ｍｏｄｕｌｅ）（或绝对值），记作狘狕狘或狘犪＋犫ｉ狘．如果犫＝０，那么狕＝     犪＋犫ｉ就是实数犪，它的模等于｜犪｜（即实数犪的绝对值）．由模的定义    可知      狘狕狘＝狘犪＋犫ｉ狘＝槡犪２＋犫２．     思 考 狕，狕与｜狕｜之间有什么关系？     例１ 在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：      ４，２＋ｉ，－ｉ，－１＋３ｉ，３－２ｉ．     解 如图１２ ３ ４（１），点犃，犅，犆，犇，犈分别表示复数４，２＋    ｉ，－ｉ，－１＋３ｉ，３－２ｉ．如图１２ ３ ４（２），向量犗  犃 → ，犗  犅 → ，犗  犆 → ，犗  犇 → ，    →  犗犈分别表示复数４，２＋ｉ，－ｉ，－１＋３ｉ，３－２ｉ．                                图１２ ３ ４      例２ 已知复数狕＝３＋４ｉ，狕＝－１＋５ｉ，试比较它们模的  １ ２   大小．      解 因为 狘狕狘＝槡３２＋４２ ＝５，  １    狘狕狘＝槡（－１） ２＋５２ ＝槡２６，   ２    所以 狘狕狘＜狘狕狘．   １ ２    例３ 设狕∈犆，满足下列条件的点犣的集合是什么图形？     （１）狘狕狘＝２； （２）２＜狘狕狘＜３．   →  解 （１）因为狘狕狘＝２，即狘犗犣狘＝２，所以满足狘狕狘＝２的点犣    的集合是以原点为圆心、２为半径的圆（图１２ ３ ５（１））．     烄狘狕狘＞２，   （２）不等式２＜狘狕狘＜３可化为不等式组 烅 不等式   烆狘狕狘＜３．    狘狕狘＞２的 解集是圆狘狕狘＝２外部所有的点组成的集合，不等式    狘狕狘＜３的解集是圆狘狕狘＝３内部所有的点组成的集合，这两个集合     的交集就是上述不等式组的解集．因此，满足条件２＜狘狕狘＜３的点犣      １２２                       １２  复 数 第 章                            图１２ ３ ５     的集合是以原点为圆心、分别以２和３为半径的两个圆所夹的圆环，     但不包括圆环的边界（图１２ ３ ５（２））．     复数的加法具有怎样的几何意义呢？    → →  如图１２ ３ ６（１），设向量犗犣，犗犣分别与复数犪＋犫ｉ，犮＋犱ｉ对  １ ２   → → → →  应，且犗犣，犗犣 不共线，以犗犣，犗犣 为两条邻边画 犗犣犣犣，则  １ ２ １ ２ １ ２   →  对角线犗犣所表示的向量犗犣就是与复数（犪＋犮）＋（犫＋犱）ｉ对应的    向量．这就是复数加法的几何意义．                        图１２ ３ ６     根据复数减法的定义以及复数加法的几何意义，可以得到复数     减法的几何意义．   → →   如图１２ ３ ６（２），若向量犗犣，犗犣分别与复数狕，狕对应，则  １ ２ １ ２   → → →  它们的差狕－狕对应着向量犗犣－犗犣，即向量犣犣．   １ ２ １ ２ ２ １  → →  如果作犗犣＝犣犣，那么点犣对应的复数就是狕－狕．这就是复   ２ １ １ ２  数减法的几何意义．    设狕＝犪＋犫ｉ，狕＝犮＋犱ｉ，则狕－狕＝（犪－犮）＋（犫－犱）ｉ，故   １ ２ １ ２    → →  狘狕－狕狘＝狘犗犣狘＝狘犣犣狘＝槡（犪－犮） ２＋（犫－犱） ２．   １ ２ ２ １   这表明：     两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的     距离．     １在复平面内，分别用点表示复数２－３ｉ，５ｉ，－３，－５＋ｉ及其共轭复数．   练 习   ２．分别求出复数４－３ｉ，５＋ｉ，－１２－５ｉ，－３＋７ｉ，４ｉ，－６的模．    ３设狕＝犪＋犫ｉ（犪，犫∈犚）与复平面内的点犣（犪，犫）对应，当犪，犫满足什么条    件时，点犣位于：      １２３                        必修第二册 数学    （１）实轴上？ （２）虚轴上（原点除外）？   （３）实轴的上方？ （４）虚轴的左侧？     ４已知复数６＋５ｉ和－３＋４ｉ．   → →  （１）在复平面内作出与这两个复数对应的向量犗犃和犗犅；   → →  （２）写出向量犃犅和犅犃表示的复数．     ５．在犃犅犆犇中，点犃，犅，犆分别对应复数２＋ｉ，４＋３ｉ，３＋５ｉ，求点犇对应的   复数．    →  ６．已知向量犃犅对应的复数为１＋ｉ，若点犃对应的复数为１＋３ｉ，求点犅对应    的复数．    ７证明：狘狕狕狘＝狘狕狘狘狕狘．   １ ２ １ ２     习题１２．３         感受·理解 １已知复数４，５ｉ，－１－４ｉ，２－槡２ｉ，３ｉ＋２．     （１）在复平面内分别作出与这些复数对应的向量；   （２）分别写出这些复数的共轭复数，并求它们的模．     ２设犿为实数，已知复数狕＝（犿－２）＋（犿２－９）ｉ在复平面内对应的点位于    第四象限，求犿的取值范围．    ３．在复平面内，一个正方形的３个顶点对应的复数分别是１＋２ｉ，－２＋ｉ，０，求    第四个顶点对应的复数．    狕   ４．设复数狕＝４－３ｉ，狕＝１＋２ｉ，问：复数狕＝ １在复平面内所对应的点位  １ ２ 狕  ２   于第几象限？    ５根据复数加法的几何意义，证明：狘狕狘－狘狕狘 ≤狘狕＋狕狘≤狘狕狘＋   １ ２ １ ２ １  狘狕狘．   ２   ６已知狕＝（狘狕狘－１）＋５ｉ，求复数狕．   ７．已知狕，狕∈犆，若 狕 ＝５，狕＝３＋４ｉ，狕狕是纯虚数，求狕．   １ ２ １ ２ １ ２ １   ８．已知在复平面内，动点犣与复数狕＝狓＋狔ｉ对应，问：满足等式狕－２ ＝１    的点犣的集合是什么图形？     思考·运用 ９在复平面内，已知定点犕与复数犿＝１＋２ｉ对应，动点犣与复数狕＝狓＋狔ｉ    对应，问：满足不等式狘狕－犿狘≤２的点犣的集合是什么图形？     １０．在复平面内，若复数狕满足狘狕＋１狘＝狘狕－ｉ狘，则狕所对应的点的集合是什   么图形？     １１已知犣，犣是复平面内的两个定点，点犣在线段犣犣的垂直平分线上，根  １ ２ １ ２   据复数的几何意义，写出它们所对应的复数狕，狕，狕满足的关系式．   １ ２   探究·拓展 １２（１）已知复数狕＝１，狕＝ｉ，狕＝１＋２ｉ，复数２狕，２狕，２狕的几何意义   １ ２ ３ １ ２ ３  分别是什么？复数ｉ·狕，ｉ·狕，ｉ·狕的几何意义又分别是什么？   １ ２ ３   （２）已知复数狕以及常数犽（犽＞０），复数犽狕和ｉ·狕的几何意义分别是   什么？                １２４                       １２  复 数 第 章       １２．４       复数的三角形式          由复数的几何意义可以知道，复数狕＝犪＋犫ｉ（犪，犫∈犚）、复平面   →  内的点犣（犪，犫）和平面向量犗犣之间存在着一一对应的关系．    →  如图１２ ４ １，以狓轴的非负半轴为始边、向量犗犣所在的射线     （起点是原点犗）为终边的角θ叫作复数狕＝犪＋犫ｉ的辐角    π π  （ａｒｇｕｍｅｎｔ）．例如， 就是复数狕＝１＋ｉ的一个辐角，而 ＋２犽π（犽∈   ４ ４    犣）也都是复数狕＝１＋ｉ的辐角．    如果复数狕＝犪＋犫ｉ的模为狉，辐角为θ，那么，       图１２ ４ １ ● 复数狕＝犪＋犫ｉ能否用狉，θ表示呢？     很明显，任一非零的复数狕＝犪＋犫ｉ的辐角有无限个值，这些值相     差２π的整数倍．我们把其中适合于０≤θ＜２π的辐角θ的值叫作复     数狕＝犪＋犫ｉ的辐角主值，记作ａｒｇ狕，即０≤ａｒｇ狕＜２π．易知，每一个    非零的复数狕＝犪＋犫ｉ都有唯一确定的模与辐角主值；反过来，复数的    模与辐角主值可以唯一确定这个复数．     由此可以得到       两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别     相等．     →   复数狕＝０在复平面内与原点犗（０，０）对应，向量犗犣是零向量，    这时复数的模为０，辐角是任意的．    由任意角三角函数的定义知道：        设复数狕＝犪＋犫ｉ（狕≠０）的辐角为θ，则    犪 犫   ｃｏｓθ＝ ，ｓｉｎθ＝ ，  狉 狉      其中狉＝槡犪２＋犫２．       确定复数狕的辐角后，就可以进一步确定该复数的辐角主值ａｒｇ狕．     例１ 求复数１＋ｉ，－１－ｉ，槡２，－槡２ｉ的辐角主值．     解 设这４个复数的模分别为狉，狉，狉，狉，辐角主值分别为  １ ２ ３ ４   θ，θ，θ，θ．   １ ２ ３ ４        本节为选学内容．     １２５                        必修第二册 数学    因为 狉＝槡１２＋１２ ＝槡２，   １   烄ｃｏｓθ＝ １ ，   １ 槡２   所以  烅  １   ｓｉｎθ＝ ，   烆 １ 槡２    π  又０≤θ＜２π，故θ＝ ．   １ １ ４    同理，可以求得     狉＝槡２，狉＝槡２，狉＝槡２，   ２ ３ ４   ５π ３π  θ＝ ，θ＝０，θ＝ ．   ２ ４ ３ ４ ２     π ５π ３π  故４个复数的辐角主值分别为 ， ，０， ．   ４ ４ ２    从这个例子可以看出，对于给定的复数狕＝犪＋犫ｉ，根据狉＝     犪 犫   槡犪２＋犫２ 可以求出该复数的模，根据ｃｏｓθ＝ 狉 ，ｓｉｎθ＝ 狉 就可以确定     该复数的辐角主值．    由公式     犪  烄ｃｏｓθ＝ ，   狉   烅  犫  ｓｉｎθ＝   烆 狉     烄犪＝狉ｃｏｓθ，  得  烅  烆犫＝狉ｓｉｎθ．      故犪＋犫ｉ＝狉ｃｏｓθ＋ｉ狉ｓｉｎθ＝狉（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）．    因此，复数狕＝犪＋犫ｉ也就可以用复数的模狉和辐角θ来表示：        狕＝狉（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ），    犪 犫  其中狉＝槡犪２＋犫２ ，ｃｏｓθ＝ ，ｓｉｎθ＝ ．   狉 狉       狉（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）称为复数狕的三角形式，而犪＋犫ｉ称为复数狕的代    数形式．     从前面的讨论可以看到，知道了一个复数的代数形式，就可以求    出它的模和辐角（通常只要写出一个辐角），从而可以将这个复数表     示为三角形式．     例２ 把下面的复数表示成三角形式：      （１）槡３＋ｉ； （２）－２．     槡  解 （１）因为 狉＝ （槡３）２＋１２ ＝槡３＋１＝２，      １２６                       １２  复 数 第 章    烄 槡３  ｃｏｓθ＝ ，   ２  所以 烅   １  ｓｉｎθ＝ ，   烆 ２     π  故 ａｒｇ（槡３＋ｉ）＝ ．  ６    （ ）   π π  从而 槡３＋ｉ＝２ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ．  ６ ６       （２）因为 狉＝槡（－２） ２＋０２ ＝２，     所以 ａｒｇ（－２）＝π，     故 －２＝２（ｃｏｓπ＋ｉｓｉｎπ）．    （ ）   １３π １３π  思 考 对于复数狕＝槡３＋ｉ，２ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ 是它的三角形式吗？  ６ ６    ［ （ ） （ ）］  １１π １１π  ２ｃｏｓ－ ＋ｉｓｉｎ－ 是它的三角形式吗？由此，你能得出更  ６ ６    一般的结论吗？     （ ）   例３ 求复数２ｃｏｓ π －ｉｓｉｎ π 的模与辐角．   ３ ３   （ ）   解法１ 因 为 ２ｃｏｓ π －ｉｓｉｎ π ＝１－槡３ｉ，   ３ ３     所以 狉＝ 槡 １２＋（－槡３）２ ＝２．       烄 ｃｏｓθ＝ １ ，   ２   从而 烅   槡３  ｓｉｎθ＝－ ，  烆 ２      ５π  故 ａｒｇ（１－槡３ｉ）＝ ．   ３     ５π   因此，这个复数的模为２，辐角为 ＋２犽π（犽∈犣）．  ３  （ ） （ ）   π π π π   解法２ 因为 ｃｏｓ－ ＝ｃｏｓ ，ｓｉｎ－ ＝－ｓｉｎ ，  ３ ３ ３ ３    （ ） ［ （ ） （ ）］   所以 ２ｃｏｓ π －ｉｓｉｎ π ＝２ｃｏｓ－ π ＋ｉｓｉｎ－ π ．   这两个解法得到 ３ ３ ３ ３    的辐角表达式不一  由此可知，这个复数的模为２，辐角为－ π ＋２犽π（犽∈犣）．   样，你能给出解释吗？ ３      练 习 １．求下列复数的模与辐角主值：    （１）－１＋ｉ； （２）－槡２；     １ 槡３ 槡２ 槡２  （３） － ｉ； （４）－ ＋ ｉ．  ２ ２ ２ ２      １２７                        必修第二册 数学    ２．把下列复数表示成三角形式：    （１）－５＋５ｉ； （２）３槡３－３ｉ；    （３）－４ｉ； （４）１３．    ３．把下列复数表示成三角形式，并求出它们的模与辐角主值：   （ ） （ ）  π π π π   （１）２ｃｏｓ ６ ＋ｉｓｉｎ ６ ； （２）－３ｃｏｓ ４ ＋ｉｓｉｎ ４ ；     （３）２（ｃｏｓ１５°＋ｉｓｉｎ１６５°）； （４）－ｃｏｓ ５π ＋ｉｓｉｎ ５π ．   ３ ３    ４．利用ｃｏｓ（－θ）＝ｃｏｓθ，ｓｉｎ（－θ）＝－ｓｉｎθ，把复数ｃｏｓθ－ｉｓｉｎθ表示成三角形式．       如果把复数狕，狕分别写成三角形式：  １ ２    狕＝狉（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ），  １ １ １ １    狕＝狉（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ），   ２ ２ ２ ２    那么，根据复数的乘法法则，就有     狕狕＝ ［狉（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）］［狉（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）］   １ ２ １ １ １ ２ ２ ２   ＝狉狉［（ｃｏｓθｃｏｓθ－ｓｉｎθｓｉｎθ）＋ｉ（ｓｉｎθｃｏｓθ＋ｃｏｓθｓｉｎθ）］  １２ １ ２ １ ２ １ ２ １ ２   ＝狉狉［ｃｏｓ（θ＋θ）＋ｉｓｉｎ（θ＋θ）］，   １ ２ １ ２ １ ２   即       狉（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）·狉（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）  １ １ １ ２ ２ ２   ＝狉狉［ｃｏｓ（θ＋θ）＋ｉｓｉｎ（θ＋θ）］．   １ ２ １ ２ １ ２     这就是说，两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，     其积的辐角等于这两个复数的辐角的和．     如图１２ ４ ２，在复平面内分别画出与复数狕，狕对应的向量  １ ２  → →   犗犣，犗犣（假定θ，θ均取辐角主值，其他取值不影响讨论），然后把  １ ２ １ ２  → → →   向量犗犣按逆时针方向旋转一个角θ得犗犣′（模仍为狉），再把犗犣′的  １ ２ １ １ １  → →   模狉变为原来的狉倍，从而得到一个新的向量犗犣，犗犣所对应的复数  １ ２   狉狉［ｃｏｓ（θ＋θ）＋ｉｓｉｎ（θ＋θ）］即为狕狕，这就是复数乘法的几何意义．  １２ １ ２ １ ２ １２   当狕≠０时，   ２  图１２ ４ ２  狕 狉（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ） 狉 （ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）（ｃｏｓθ－ｉｓｉｎθ）   你还能用其他方 １ ＝ １ １ １ ＝ １· １ １ ２ ２  狕 狉（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ） 狉 （ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）（ｃｏｓθ－ｉｓｉｎθ）    法推导吗？ ２ 狉 ２ （ｃｏｓ ２ θｃｏｓθ ２ ＋ｓｉｎθ ２ ｓｉｎθ）＋ ２ ｉ（ｓｉｎθｃ ２ ｏｓθ－ ２ ｃｏｓθｓｉｎθ ２ ）   ＝ １· １ ２ １ ２ １ ２ １ ２   狉 ｃｏｓ２θ＋ｓｉｎ２θ  ２ ２ ２   狉  ＝ １［ｃｏｓ（θ－θ）＋ｉｓｉｎ（θ－θ）］，   狉 １ ２ １ ２  ２    即       狉（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ） 狉   试用此式解释复 狉 １ （ｃｏｓθ １ ＋ｉｓｉｎθ １ ） ＝ 狉 １［ｃｏｓ（θ １ －θ ２ ）＋ｉｓｉｎ（θ １ －θ ２ ）］．   ２ ２ ２ ２  数除法的几何意义．     １２８                       １２  复 数 第 章   这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模     所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．      例４ 计算下列各式，并把结果化成代数形式：   （ ） （ ）   π π π π  （１）２ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ×３ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ；  １２ １２ ６ ６   ［ （ ）］ ［ （ ）］   ２π ２π π π  （２） 槡６ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ÷ 槡２ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ．  ３ ３ ３ ３   ［ （ ） （ ）］   π π π π   解 （１）原式＝６ｃｏｓ ＋ ＋ｉｓｉｎ ＋  １２ ６ １２ ６    （ ） （ ）  π π 槡２ 槡２  ＝６ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ＝６ ＋ ｉ ＝３槡２＋３槡２ｉ．   ４ ４ ２ ２   ［ （ ） （ ）］   （２）原式＝槡３ｃｏｓ ２π － π ＋ｉｓｉｎ ２π － π   ３ ３ ３ ３     （ π π ） （ １ 槡３ ） 槡３ ３   ＝槡３ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ＝槡３ ＋ ｉ ＝ ＋ ｉ．  ３ ３ ２ ２ ２ ２      练 习 １．计算：   （ ） （ ）  π π π π  （１）槡２ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ×槡５ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ；   ６ ６ １２ １２  （ ） （ ）   １ π π ２ ３π ３π  （２） ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ × ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ；  ２ ４ ４ ３ ４ ４   （ ） （ ）  ［ ］ ［ ］  ７π ７π π π  （３）１２ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ÷ ６ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ；  ４ ４ ４ ４   （ ） （ ） ［ ］ ［ ］  ２π ２π π π   （４） 槡３ｃｏｓ ３ ＋ｉｓｉｎ ３ ÷ 槡２ｃｏｓ ６ ＋ｉｓｉｎ ６ ．     ２．计算：   （ ） （ ）   （ １） ３ ｃ ｏｓ π ＋ ｉｓ ｉｎ π ×２ ｃ ｏｓ π － ｉ ｓｉｎ π ；   ６ ６ ６ ６  （ ） （ ）  ［ ］ ［ ］  π π π π  （２） 槡６ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ÷ 槡３ｃｏｓ －ｉｓｉｎ ；  ３ ３ ６ ６   （ ） （ ）   １ 槡３ π π  （３） － ＋ ｉ× ｃｏｓ －ｉｓｉｎ ；  ２ ２ ６ ６   （ ）   π π  （４）（１－ｉ）÷ ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ．  ６ ６       习题１２．４          感受·理解 １．把下列复数表示成三角形式，并画出与它们对应的向量．     （１）－１＋槡３ｉ； （２）２－２ｉ；    槡３ １  （３）－ － ｉ； （４）３＋４ｉ；   ２ ２    （５）２； （６）－３；    （７）２ｉ； （８）－２ｉ．      １２９                        必修第二册 数学    ２．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．  （ ） （ ）   π π π π  （１）２ｃｏｓ －ｉｓｉｎ ； （２）－２ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ；  ４ ４ ３ ３   （ ） （ ）  π π １ ７π ７π   （３）２ｓｉｎ ３ ＋ｉｃｏｓ ３ ； （４） ２ ｃｏｓ ３ ＋ｉｓｉｎ ３ ．     ３．已知狕＝犪＋犫ｉ＝狉（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ），用复数的三角形式表示它的共轭复数狕－．    ４．计算：  （ ） （ ）   π π π π  （１）３ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ×２ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ；  ３ ３ ６ ６   （ ） （ ）   （２）槡６ｃｏｓ ５π ＋ｉｓｉｎ ５π ×槡３ｃｏｓ π ＋ｉｓｉｎ π ；   ４ ４ ４ ４  （ ） （ ）  ［ ］ ［ ］  ２π ２π π π  （３）１０ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ÷ ２ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ；  ３ ３ ３ ３   （ ） （ ） ［ ］ ［ ］  ７π ７π π π   （４）槡１０ｃｏｓ １０ ＋ｉｓｉｎ １０ ÷ 槡２ｃｏｓ ５ ＋ｉｓｉｎ ５ ．     ５．化简：    （ｃｏｓ５θ＋ｉｓｉｎ５θ）（ｃｏｓ３θ＋ｉｓｉｎ３θ）  （１） ；  （ｃｏｓ６θ＋ｉｓｉｎ６θ）（ｃｏｓ２θ＋ｉｓｉｎ２θ）    ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ  （２） ．  ｃｏｓθ－ｉｓｉｎθ     ６．利用复数的三角形式，求证：狘狕狕狘＝狘狕狘狘狕狘．  １ ２ １ ２    思考·运用 ７．求证：    （１）（ｃｏｓ７５°＋ｉｓｉｎ７５°）（ｃｏｓ１５°＋ｉｓｉｎ１５°）＝ｉ；    （２）（ｃｏｓ３θ－ｉｓｉｎ３θ）（ｃｏｓ２θ－ｉｓｉｎ２θ）＝ｃｏｓ５θ－ｉｓｉｎ５θ．     ８．向量犗  犣 → 对应的复数为－１＋ｉ，把犗  犣 → 按逆时针方向旋转 ２π ，得到犗  犣 → ，求与   １ １ ３   →  向量犗犣对应的复数（用代数形式表示）．    １ 槡３   ９．设ω＝－ ＋ ｉ．  ２ ２    （１）求证：ω３＝１；     （２）求证：（ω－）３＝１；   （３）在复数范围内，解方程狕３＝１．     １０．利用复数证明余弦定理．     探究·拓展 １１．（１）设狀∈犖 ，且    狕＝狉（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ），  １ １ １ １   狕＝狉（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ），   ２ ２ ２ ２  ……    狕＝狉（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ），   狀 狀 狀 狀   计算狕狕…狕；  １ ２ 狀  （２）若狕＝狉（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ），计算狕狀（狀∈犖 ）．     １２．在复数范围内，验证     ２犽π ２犽π  ω＝ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ，犽＝０，１，２，…，狀－１，  犽 狀 狀     为方程狕狀＝１的狀个根，并给出几何解释．        １３０                       １２  复 数 第 章   复 数 的 开 方  问题与探究     我们已经研究了复数的加、减、乘、除、乘方运算，并且给出了相     应的几何意义，那么复数的开方运算如何实施呢？     为了探究这一问题，我们先求复数狕＝１＋槡３ｉ的平方根．     解法１ 设狕＝１＋槡３ｉ的平方根为ω＝狓＋狔ｉ（狓，狔∈犚），       则 （狓＋狔ｉ） ２＝１＋槡３ｉ，      即 狓２－狔２＋２狓狔ｉ＝１＋槡３ｉ．      烄 狓２－狔２＝１，   由此可得 烅   烆２狓狔＝槡３．     解得     烄 槡６ 烄 槡６   狓＝ ， 狓＝－ ，  １ ２ ２ ２   烅 烅   槡２ 槡２  狔＝ ， 狔＝－ ．   烆１ ２ 烆２ ２      故狕＝１＋槡３ｉ的平方根为      槡６ 槡２ 槡６ 槡２  ω＝ ＋ ｉ，ω＝－ － ｉ．  １ ２ ２ ２ ２ ２       解法２ 将复数狕＝１＋槡３ｉ表示成三角形式：    （ ）   π π  狕＝１＋槡３ｉ＝２ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ．  ３ ３      设狕＝１＋槡３ｉ的平方根的三角形式为       ω＝狉（ｃｏｓφ＋ｉｓｉｎφ ），     则 ω２＝狕，   （ ）   π π   即 ［狉（ｃｏｓφ＋ｉｓｉｎφ ）］ ２＝２ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ，  ３ ３    （ ）   π π   即 狉２ （ｃｏｓ２φ＋ｉｓｉｎ２φ ）＝２ｃｏｓ ３ ＋ｉｓｉｎ ３ ．      因为两个复数相等时，它们的模相等，辐角相差２π的整数倍，    所以       烄 狉２＝２，    烅 π  ２φ＝ ＋２犽π（犽∈犣）．  烆 ３      由狉为复数的模，可知狉＞０，      １３１                        必修第二册 数学    烄狉＝槡２，     由此可得 烅 π  φ＝ ＋犽π（犽∈犣）．  烆 ６      故狕＝１＋槡３ｉ的平方根为    ［ （ ） （ ）］   π π  ω＝槡２ｃｏｓ ＋犽π＋ｉｓｉｎ ＋犽π （犽∈犣）．  ６ ６      当犽＝０时，    （ ）   π π 槡６ 槡２   ω＝槡２ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ＝ ＋ ｉ；  ０ ６ ６ ２ ２      当犽＝１时，    （ ）   ７π ７π 槡６ 槡２  ω＝槡２ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ＝－ － ｉ．   １ ６ ６ ２ ２     由三角函数的周期性可知，当犽为偶数时，所得结果都与ω 相   ０   同；当犽为奇数时，所得结果都与ω相同．由此可知，复数狕＝１＋槡３ｉ   １  的平方根有两个值，并且只有两个值，可以用式子    ［ （ ） （ ）］   π π   槡２ｃｏｓ ＋犽π＋ｉｓｉｎ ＋犽π （犽＝０，１）  ６ ６     来表示．     上述两种解法解决了求一个复数的平方根问题，能用同样的方    法求一个复数的立方根、四次方根……狀次方根吗？     例如，求复数狕＝１＋槡３ｉ的立方根．     解法１ 设ω＝狓＋狔ｉ（狓，狔∈犚）为狕＝１＋槡３ｉ的立方根，     则     （狓＋狔ｉ） ３＝１＋槡３ｉ．       化简，得 （狓３－３狓狔２ ）＋（３狓２狔－狔３ ）ｉ＝１＋槡３ｉ．     烄 狓３－３狓狔２＝１，   由此可得 烅   烆３狓２狔－狔３＝槡３．     由该方程组求出狓，狔比较困难，可见用解法１求一个复数的立     方根、四次方根……狀次方根比较困难．     解法２ 将狕＝１＋槡３ｉ表示成三角形式：    （ ）  π π  狕＝１＋槡３ｉ＝２ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ．   ３ ３      设ω＝狉（ｃｏｓφ＋ｉｓｉｎφ ）为狕＝１＋槡３ｉ的立方根，     则 ω３＝狕，      １３２                       １２  复 数 第 章   （ ）  π π  即 ［狉（ｃｏｓφ＋ｉｓｉｎφ ）］ ３＝２ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ，  ３ ３      （ ） π π  所以 狉３ （ｃｏｓ３φ＋ｉｓｉｎ３φ ）＝２ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ．   ３ ３      根据两个复数相等的条件，可得      烄 狉３＝２，    烅 π  ３φ＝ ＋２犽π（犽∈犣），   烆 ３      烄狉＝３槡２，    即 烅 π ２   φ＝ ＋ 犽π（犽∈犣）．   烆 ９ ３      故狕＝１＋槡３ｉ的立方根为      ［ （ π ２ ） （ π ２ ）］  ω＝３槡２ｃｏｓ ＋ 犽π ＋ｉｓｉｎ ＋ 犽π （犽∈犣）．   ９ ３ ９ ３     由三角函数的周期性可知，只要犽＝０，１，２即可．      因此，狕＝１＋槡３ｉ的立方根为    ［ ］  （ π ２ ） （ π ２ ）   ω＝３槡２ｃｏｓ ＋ 犽π ＋ｉｓｉｎ ＋ 犽π （犽＝０，１，２）．  ９ ３ ９ ３      同理，可用上面的解法２求出１＋槡３ｉ的四次方根、五次方根……     狀次方根．    请探究：复数狕＝狉（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）的狀次方根的一般形式．                                                           １３３                        必修第二册 数学    阅 读 复数系是怎样建立的？     复数系的建立，经历了一段曲折而漫长的过程．     １４８４年，法国数学家许凯（Ｎ．Ｃｈｕｑｕｅｔ，约１４４５—１５００）在《算术     ３ 槡９   三篇》中，解一元二次方程４＋狓２＝３狓得到的根是狓＝ ２ ± ４ －４．     他声明此根是不可能的．     １５４５年，意大利数学家卡尔丹在解一元二次方程狓（１０－狓）＝４０    和一元三次方程狓３＝１５狓＋４时，分别得到了类似的结果，引入负数    的平方根，并称它为“诡辩量”．     １６３７年，法国数学家笛卡儿（Ｒ．Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ，１５９６—１６５０）正式开    卡尔丹（Ｇ．Ｃａｒｄａｎｏ， 始使用“实数”“虚数”这两个名词．此后，德国数学家莱布尼茨、瑞士    １５０１—１５７６）， 数学家欧拉（Ｌ．Ｅｕｌｅｒ，１７０７—１７８３）和法国数学家棣莫弗（Ａ．Ｄｅ    意大利数学家．  Ｍｏｉｖｒｅ，１６６７—１７５４）等研究了虚数与对数函数、三角函数之间的关     系，除了解方程以外，还把它用于微积分等方面，得出许多很有价值    的结果．同时，复数在电工学、流体力学、空气动力学等方面也得到广    泛的应用．“虚数”被证明“不虚”了．     １７４７年，法国数学家达朗贝尔（Ｊ．Ｒ．Ｄ′Ａｌｅｍｂｅｒｔ，１７１７—１７８３）     的研究使得人们对虚数的认识又推进一步．他指出，形如犪＋犫槡－１    （犪，犫是实数）的数按多项式的四则运算规则进行运算，所得的结果      仍具有犪＋犫槡－１的形式．这在实质上提出了复数的概念．    １７４８年，欧拉对这类新数作了系统研究，并得出欧拉公式      狕＝狉ｅｉθ叫作复 ｅｉθ＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ．     数的指数形式． １７７７年，欧拉首次用ｉ表示－１的平方根．１８０１年，德国著名数学家     高斯（Ｃ．Ｆ．Ｇａｕｓｓ，１７７７—１８５５）系统地使用这个符号，使ｉ通行于世．     值得一提的是，欧拉的一个惊人的等式ｅｉπ＋１＝０包含了现代数   学中最重要的一些常数．     １７９７年，丹麦数学家韦塞尔（Ｃ．Ｗｅｓｓｅｌ，１７４５—１８１８）首次提出    实轴、虚轴，并以实轴与虚轴所确定的平面表示这类新数，这实际上     给出了复数的几何意义．    １７９９年、１８１５年和１８１６年，高斯证明了代数基本定理，即在复数     集中，一元狀次方程有且仅有狀个根（犽重根算作犽个根）．证明中，他    应用并论述了这类新数，并首次引进了“复数”这个名词，把复数与直    角坐标平面内的点一一对应起来，这就有效地使人们接受了复平面     的思想，从而建立了复数的几何基础．     １８３７年，爱尔兰数学家哈密顿（Ｗ．Ｒ．Ｈａｍｉｌｔｏｎ，１８０５—１８６５）    用有序实数对（犪，犫）定义了复数及其运算，并说明复数的加法、乘法    运算满足实数的运算律，而实数犪则看成特殊的复数（犪，０）．这样，历     经近３００年的努力，数系从实数系向复数系的扩充才得以大功告成．      １３４                       １２  复 数 第 章            本章回顾          本章我们学习了复数的概念、复数的表示以及复数的运算．       虚数的引入      ↓    复 数    ↓            复数的概念 复数的表示 复数的运算    ↓ ↓ ↓               复数定义 几何意义 代数形式 三角形式 运算法则 几何意义       数的概念的发展与数系扩充是数学发展的一条重要线索．数系     扩充的过程体现了实际需求与数学内部的矛盾在数学发展过程中的    作用．特别地，由实数系到复数系的扩充过程体现了数学体系的建构     过程、数形结合思想以及人类理性思维在数学发展中的作用．    复数与平面向量有着密切的联系，在复平面内，复数狕＝犪＋犫ｉ、点    →  犣（犪，犫）、向量犗犣之间有一一对应的关系．借助向量，我们得到了复数    加法、减法的几何意义．这种数形结合的思想丰富了我们研究问题和     解决问题的方法和手段．复数作为一种新的数学语言，也为我们今后    用代数方法解决几何问题提供了可能．        复 习 题        感受·理解 １计算：   （ ） （ ） （ ）   ２ ２ １ ３  （１） ＋ｉ＋ １－ ｉ－ ＋ ｉ；  ３ ３ ２ ４     （２）（１－３ｉ１１）＋（２＋４ｉ１７）－（３－５ｉ２３）；    （３）（－３＋ｉ）（２－４ｉ）；   （ ）   槡３＋ｉ６  （４） ；  ２    ２７－８ｉ  （５） ；   ３＋２ｉ  （ ）   （６） １－ｉ１３；   １＋ｉ     （１－槡３ｉ）６  （７） ；  （１＋ｉ）８      １３５                        必修第二册 数学    （８） １ － １ ．   （３－２ｉ）２ （３＋２ｉ）２    ２求满足下列条件的实数狓，狔的值：    （１）（狓＋狔ｉ）ｉ－２＋４ｉ＝（狓＋狔ｉ）（１＋ｉ）；     狓 狔 ５  （２） ＋ ＝ ．  １－ｉ １－２ｉ １－３ｉ    ３．设犫为实数，已知复数（１＋犫ｉ）（２＋ｉ）是纯虚数，求犫的值．    ４．已知复数狕＝１－ｉ，狕狕＝１＋ｉ，求复数狕．   １ １ ２ ２   ５已知狕＝１＋２ｉ，狕＝３－４ｉ， １ ＝ １ ＋ １ ，求狕．   １ ２ 狕 狕 狕   １ ２  ６已知复数狕满足（狕－２）ｉ＝１＋ｉ，求复数狕的模．    ７．已知复数狕＝１－ｉ，求狕３ 的值．     ８．在复平面内，复数ｉ，１，４＋２ｉ所对应的点分别是犃，犅，犆，求犃犅犆犇的对角   线犅犇的长．     ９已知狕，狕是两个虚数，并且狕＋狕与狕狕均为实数，求证：狕，狕是共  １ ２ １ ２ １ ２ １ ２   轭复数．     １  思考·运用 １０．已知复数ω满足１＋ω＋ω２＝０，求ω２＋ 的值．   ω２    １  １１已知狕是虚数，狑＝狕＋ ，求证：狑∈犚的充要条件是狘狕狘＝１．  狕    １２已知狕，狕∈犆，狘狕狘＝狘狕狘＝１，狘狕＋狕狘＝槡３，求狘狕－狕狘．   １ ２ １ ２ １ ２ １ ２   １３．在复数范围内分解因式：    （１）狓２＋２；    （２）犪２＋４犪犫＋４犫２＋１．     探究·拓展 １４设狕是虚数，狕，狕， １ 对应的向量分别为犗  犃 → ，犗 → 犅，犗  犆 → ，试指出：   狕   → →   （１）犗犃和犗犅的关系；   → →  （２）犗犅和犗犆的关系．                                                       １３６                                   本章测试           一、填空题 １．复数３－２ｉ的虚部为 ．     ２．若ｉ５＝犪＋犫ｉ（犪，犫∈犚），则犪＋犫的值为 ．   ３．复数１＋３ｉ的模为 ．     ４．设狕∈犆，满足条件｜狕｜＝３的点犣的集合表示的图形为 ．   （ ）   ５．计算： １－ｉ１０ ＝ ．   １＋ｉ    ６．设复数狕 ＝１＋ｉ，狕 ＝狓＋２ｉ（狓∈犚）．若狕狕 为实数，则狓的值为  １ ２ １ ２   ．         二、选择题 ７．在复平面内，复数狕＝－１＋２ｉ对应的点所在的象限是（ ）．   Ａ ． 第 一 象 限 Ｂ ． 第 二 象 限 Ｃ ． 第 三 象 限 Ｄ．第四象限     ８．如果狕－（２－３ｉ）＝－１＋ｉ，那么复数狕为（ ）．    Ａ．１－２ｉ Ｂ．１＋４ｉ Ｃ．－１－２ｉ Ｄ．－１＋４ｉ    ２   ９．计算 的结果是（ ）．  （１＋ｉ）２    Ａ．２ｉ Ｂ．－２ｉ Ｃ．ｉ Ｄ．－ｉ     １０．若复数狕＝（犿－１）－（犿＋２）ｉ（犿∈犚）为纯虚数，则复数狕的共轭复数为    （ ）．    Ａ．－３ｉ Ｂ．３ｉ Ｃ．４ｉ Ｄ．－４ｉ         三、解答题 １１．计算：    （１）（槡２－２ｉ）－（３槡２＋ｉ）；  （ ）（ ）    １ 槡３ １ 槡３  （２） ＋ ｉ － ＋ ｉ．  ２ ２ ２ ２    １２．求满足下列条件的复数狕：     （１）（－１＋２ｉ）＋狕珔＝５－６ｉ；    （２）（１＋ｉ）狕＝１－２ｉ．    狕   １３．设狕＝２＋３ｉ，狕＝犿－ｉ（犿∈犚），若 １ 为实数，求犿的值．  １ ２ 狕  ２   １４．已知狕，狕∈犆，求证：   １ ２   （１）狕狕＝狕狕；   （１ ２） １ ２  狕 狕  （２） １ ＝ １（狕≠０）．   狕 狕 ２  ２ ２    １５．已知复数狕满足狘狕狘＝槡２，狕２ 的虚部为２，狕所对应的点犃在第一象限，求    复数狕．         １３７                              第１３章 立体几何初步                                                                                                                                       １３８                                                                                                                                                                    １３９                                 几何学的简洁美正是几何学之所以完美的核心所在．     ———牛顿                                                立体图形与我们的生活息息相关，从土木建筑到家居装璜，从机    械设计到商品包装，从航行测绘到零件视图……其中蕴含了丰富的     立体图形．    为了研究立体图形，我们从最简单的例子开始．抬头看一下我们     所在的教室，可以抽象成一个长方体．                            初中的几何知识告诉我们，图中有许多平行的直线，例如犃犃∥   １   犅犅，犃犅∥犃犅等．图中也有许多垂直的直线，例如犃犃⊥犃犅，犃犅⊥   １ １ １ １   犃犇等．但仔细观察，图中似乎还有许多“其他的”关系，例如犃犃与地  １   面犃犅犆犇好像是垂直的，犃犅与地面犃犅犆犇好像是平行的．还有许   １ １  多过去不知道的关系，例如犃犃与犅犆，侧面犃犃犅犅与地面   １ １ １ １ １   犃犅犆犇之间是什么关系呢？实际上，我们需要进一步研究：     ● 立体图形中有哪些基本元素？     ● 立体图形中基本元素之间具有什么关系？              １４０                       １３  立体几何初步 第 章       １３．１      基本立体图形          在初中阶段，我们已经遇到长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等简    单的空间图形．许多复杂的空间图形都是由一些简单的空间图形组     合而成的．而简单的空间图形又是怎样构成的呢？考察一下长方体，    可以将长方体看作是由水平放置的矩形沿着竖直的方向平移而得到    的（图１３ １ １）．                       图１３ １ １     那么，      ● 简单的空间图形具有怎样的结构特征？    ● 如何在平面上表示空间图形？       １３．１．１ 棱柱、棱锥和棱台         在我们的周围存在各种物体（图１３ １ ２），如果我们只考虑这     些物体的形状和大小，那么抽象出来的就是空间图形．                           图１３ １ ２     ● 仔细观察下面的空间图形，你能发现它们可以怎样形成？                      图１３ １ ３     １４１                        必修第二册 数学    本章所说的多边 图１３ １ ３（１）和图１３ １ ３（３）中的空间图形分别由平行四边    形和五边形沿某一方向平移而得（图１３ １ ４）．  形包括它的内部．将    一个图形上所有的点    按某一确定的方向及    相 同 距 离 移 动 就    是平移．      图１３ １ ４    思 考 图１３ １ ３（２）和图１３ １ ３（４）中的空间图形分别由怎样的平     面图形按什么方向平移而得？     平移前后的两个 一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫     面互相平行． 作棱柱（ｐｒｉｓｍ）．平移起止位置的两个面叫作棱柱的底面，多边形的    边平移所形成的面叫作棱柱的侧面．     图１３ １ ５和图１３ １ ６给出了棱柱中一些常用名称的含义．                         图１３ １ ５ 图１３ １ ６      底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱     柱、五棱柱……例如，图１３ １ ５为三棱柱，图１３ １ ６为六棱柱，    并分别记作棱柱犃犅犆 犃′犅′犆′、棱柱犃犅犆犇犈犉 犃′犅′犆′犇′犈′犉′．      根据棱柱形成的过程，我们可以看出棱柱具有如下特点：    两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四    边形．      与图１３ １ ３对比，下面的空间图形是由图１３ １ ３中的空间    图形发生了怎样的变化得到的？                           图１３ １ ７     通过观察对比发现，当图１３ １ ３中各棱柱的一个底面收缩为     一个点时，就可得到图１３ １ ７．      １４２                       １３  立体几何初步 第 章   当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥     （ｐｙｒａｍｉｄ）．    与棱柱相仿，图１３ １ ８给出了棱锥中一些常用名称的含义．   仿照棱柱，说出    三棱锥、四棱锥、五棱    锥……的含义．               图１３ １ ８     图１３ １ ８中的四棱锥可记作棱锥犛犃犅犆犇．       根据棱锥形成的过程，我们可以看出棱锥具有如下特点：    底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．    如图１３ １ ９，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和     底面之间的部分称之为棱台（ｆｒｕｓｔｕｍｏｆｐｙｒａｍｉｄ）．                                图１３ １ ９     例１ 画一个四棱柱和一个三棱台．    解 如图１３ １ １０，画四棱柱可分三步完成：     第一步 画上底面———画一个四边形；     第二步 画侧棱———从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段；    第三步 画下底面———顺次连接这些线段的另一个端点．      被遮挡的线要画    成虚线．              图１３ １ １０     如图１３ １ １１，画三棱台的方法是：首先画一个三棱锥，在它的    一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面    对应边平行的线段，最后将多余的线段擦去．     棱柱、棱锥和棱台都是由一些平面多边形围成的空间图形．由若      １４３                        必修第二册 数学                   图１３ １ １１      多面体有几个面 干个平面多边形围成的空间图形叫作多面体（ｐｏｌｙｈｅｄｒｏｎ）．在现实世   就称为几面体，如三 界中，存在着形形色色的多面体，如食盐、明矾、石膏等晶体都呈多面     棱锥是四面体． 体形状（图１３ １ １２）．                                     图１３ １ １２     练 习 １．如图，四棱柱的六个面都是平行四边形，这个四棱柱可以由哪个平面图形按     怎样的方向平移得到？                      （第１题） （第２题）      ２．如图，三棱镜的模型是一个三棱柱，请指出该三棱柱的底面和侧棱．   ３．画一个三棱锥和一个四棱台．     ４．下面两个空间图形是棱台吗？简述理由．                    （第４题）     ５．多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的空间图形？    ６．画一个五面体．          １４４                       １３  立体几何初步 第 章      １３．１．２ 圆柱、圆锥、圆台和球         我们已经知道，图１３ １ ２中有些物体抽象出的空间图形为多    面体（即由若干个平面多边形围成的空间图形），但有些物体抽象出    的空间图形不是多面体．      ● 仔细观察下面的空间图形，它们可以怎样形成？                         图１３ １ １３     上述空间图形都可以看作是由一个平面图形绕某一直线旋转而    成的．     例如，图１３ １ １３（１）中的空间图形是由矩形绕其一边旋转一    周而成的空间图形（图１３ １ １４（１））．      思 考 图１３ １ １３（２）（３）（４）中的空间图形分别是由什么平面图形通    过旋转一周而成的？在生产和生活中，还有哪些几何体具有类似的    生成规律？      将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂    直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的空间图形分别叫作圆柱     （ｃｉｒｃｕｌａｒｃｙｌｉｎｄｅｒ）、圆锥（ｃｉｒｃｕｌａｒｃｏｎｅ）、圆台（ｃｉｒｃｕｌａｒｔｒｕｎｃａｔｅｄ    ｃｏｎｅ），这条直线叫作轴．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面．不     垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面，无论旋转到什么位置，这条    边都叫作母线（图１３ １ １４）．        仿照图１３ １    １４（３），在其余各图中    标出相应的轴、母线    和底面．              图１３ １ １４     半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球面    （ｓｐｈｅｒｅ），球面围成的空间图形叫作球体（ｓｐｈｅｒｏｉｄ），简称球（ｂａｌｌ）．     图１３ １ １４中的圆柱、圆锥、圆台和球可分别记作圆柱犗犗′、圆      １４５                        必修第二册 数学    锥犛犗、圆台犗犗′和球犗．    一般地，一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形    成的曲面叫作旋转面（ｓｕｒｆａｃｅｏｆｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎ）（图１３ １ １５），封闭的     旋转面围成的空间图形称为旋转体（ｓｏｌｉｄｏｆｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎ）．圆柱、圆锥、    圆台和球都是特殊的旋转体．                              图１３ １ １５     例２ 如图１３ １ １６，将直角梯形犃犅犆犇绕犃犅边所在的直    线旋转一周，由此形成的空间图形是由哪些简单空间图形构成的？               图１３ １ １６     解 这个空间图形是由圆柱和圆锥组合而成的，如图１３ １ １７．                 图１３ １ １７     从例２看出，一些复杂的空间图形是由简单空间图形组合而     成的．      例３ 指出图１３ １ １８、图１３ １ １９中的空间图形是由哪些     简单空间图形割补而成的．                  图１３ １ １８ 图１３ １ １９      解 图１３ １ １８中的空间图形是由一个六棱柱挖去一个圆柱    所成的．    图１３ １ １９中的空间图形可以看作是由一个长方体割去一个     四棱柱所成的，也可以看作是由一个长方体与两个四棱柱组合而成      １４６                       １３  立体几何初步 第 章    的（图１３ １ ２０）．实际上，图１３ １ １９也是一个柱体，它的底面为    一个凹多边形．                   图１３ １ ２０      思 考 选择一些平面曲线，绕其所在平面内的一条定直线旋转，想像其   生成的曲面．你能画出曲面的示意图吗？       练 习 １．指出下列空间图形分别由哪些简单空间图形构成．                     （第１题） （第２题）       ２如图，将犃犅犆犇绕犃犅边所在的直线旋转一周，由此形成的空间图形是由    哪些简单空间图形构成的？    ３．充满气的车轮内胎可以通过什么图形旋转生成？    ４．用厚纸按如下三个图样画好后剪下，再沿图中虚线折起来粘好，得到的分别    是什么空间图形？                       （第４题）     ５．已知一个圆台的上、下底面的半径分别为１ｃｍ，２ｃｍ，高为３ｃｍ，求该圆台的     母线长．    ６．如图，将平面图形犃犅犆犇犈犉犌绕犃犌边所在的直线旋转一周，作出由此形成    （第６题） 的空间图形，并指出该空间图形是由哪些简单空间图形构成的．          １３．１．３ 直观图的斜二测画法         图１３ １ ３至图１３ １ １３，实际上都是空间图形的直观图．要    画出空间图形的直观图，我们首先要学会水平放置的平面图形的直     观图画法．那么，      １４７                        必修第二册 数学    ● 对于水平放置的平面多边形及一般的空间图形，如何画出它    的直观图呢？      本章我们主要采用斜二测画法画空间图形的直观图．先通过一    个具体的例子，说明水平放置的平面图形的直观图画法．      例４ 画水平放置的正三角形的直观图．     画法 如图１３ １ ２１，按如下步骤完成：                         图１３ １ ２１     第一步 在已知的正三角形犃犅犆中，取犃犅所在的直线为狓轴，    取对称轴犆犗为狔轴．画对应的狓′轴、狔′轴，使 ∠狓′犗′狔′＝４５°．    第二步 在狓′轴上取犗′犃′＝犗犃，犗′犅′＝犗犅，在狔′轴上取     １   犗′犆′＝ 犗犆．  ２    第三步 连接犃′犅′，犅′犆′，犆′犃′，所得△犃′犅′犆′就是水平放置     的正三角形犃犅犆的直观图．     下面我们再看一个空间图形的直观图画法．      例５ 画棱长为２ｃｍ的正方体的直观图．     画法 如图１３ １ ２２，按如下步骤完成：            图画好后，擦去     辅助线．           图１３ １ ２２     第一步 画水平放置的正方形的直观图犃犅犆犇，使 ∠犅犃犇＝     ４５°，犃犅＝２ｃｍ，犃犇＝１ｃｍ．     第二步 过点犃作狕′轴，使∠犅犃狕′＝９０°．分别过点犅，犆，犇作狕′    轴的平行线，在狕′轴及这组平行线上分别截取犃犃′＝犅犅′＝犆犆′＝    犇犇′＝２ｃｍ．     第三步 连接犃′犅′，犅′犆′，犆′犇′，犇′犃′，得到的图形就是所求     作的正方体的直观图．      １４８                       １３  立体几何初步 第 章   上面画直观图的方法叫作斜二测画法，其规则是：     （１）在空间图形中取互相垂直的狓轴和狔轴，两轴交于犗点，再    取狕轴，使 ∠狓犗狕＝９０°，且 ∠狔犗狕＝９０°．     （２）画直观图时把它们画成对应的狓′轴、狔′轴和狕′轴，它们相交     于点犗′，并使∠狓′犗′狔′＝４５°（或１３５°），∠狓′犗′狕′＝９０°，狓′轴和狔′轴    所确定的平面表示水平面．    （３）已知图形中平行于狓轴、狔轴或狕轴的线段，在直观图中分     别画成平行于狓′轴、狔′轴或狕′轴的线段．    （４）已知图形中平行于狓轴或狕轴的线段，在直观图中保持原长    度不变；平行于狔轴的线段，长度为原来的一半．      圆柱、圆锥和圆台的底面都是圆面．水平放置的圆的直观图应该     画成椭圆（图１３ １ ２３）．  在立体几何中，常    用正等测画法画水平    放置的圆．有关正等测     画法可参看“链接”．                图１３ １ ２３      正 等 测 画 法  链 接     圆柱、圆锥和圆台的底面都是圆，在画直观图时一般不用斜二测    画法，而采用正等测画法．正等测画法的规则是：     （１）如图１３ １ ２４，取互相垂直的直线犗狓，犗狔作为已知图形     ⊙犗所在平面内的直角坐标系的狓轴和狔轴，画直观图时将它们画    成对应的狓′轴和狔′轴，并使∠狓′犗′狔′＝１２０°（或６０°），狓′轴和狔′轴所    确定的平面表示水平面；     （２）已知图形中平行于狓轴或狔轴的线段，在直观图中分别画成     平行于狓′轴或狔′轴的线段；    （３）平行于狓轴或狔轴的线段，在直观图中保持长度不变．                          图１３ １ ２４ 图１３ １ ２５     这样得到的圆的直观图是椭圆．这种画椭圆的方法比较麻烦，在实      １４９                        必修第二册 数学    际画水平放置的圆的直观图时，可用如图１３ １ ２５所示的椭圆模板．     练 习 １．用斜二测画法画出下列水平放置的图形的直观图．                     （第１题）     ２．已知长方体的长、宽、高分别为３ｃｍ，２ｃｍ，２ｃｍ，试画出该长方体的直观图．     ３．用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图．                    （第３题）      ４．利用斜二测画法得到的   ① 三角形的直观图是三角形；     ② 平行四边形的直观图是平行四边形；    ③ 正方形的直观图是正方形；    ④ 菱形的直观图是菱形．     上述结论中正确的是（ ）．    Ａ．①② Ｂ．① Ｃ．③④ Ｄ．①②③④    ５．画出底面半径为１ｃｍ、高为３ｃｍ的圆锥的直观图．    ６．画出底面边长为４ｃｍ、高为５ｃｍ的正四棱锥的直观图．        习题１３．１         感受·理解 １．三棱柱、六棱柱分别可以看成是由什么多边形平移形成的空间图形？    ２．如图，将△犃犅犆绕犅犆边所在的直线旋转一周，由此形成的空间图形是由    哪些简单的空间图形构成的？画出这个空间图形的直观图．若绕犃犆边所    在的直线旋转一周呢？                            （第２题）      １５０                       １３  立体几何初步 第 章    ３．已知圆柱的底面半径和高分别为２ｃｍ，３ｃｍ，画出该圆柱的直观图．    ４．用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图．                          （第４题）     ５．画出底面边长为３ｃｍ、高为４．５ｃｍ的正三棱柱的直观图．     思考·运用 ６．画出上、下底面边长分别为３ｃｍ和５ｃｍ，高为４ｃｍ的正四棱台的直观图．    ７．选择日常生活中的一个空间图形，画出它的直观图．      探究·拓展 ８．用一个平面截球，得到一个截面，此截面一定是圆吗？为什么？                                                                                              １５１                        必修第二册 数学       １３．２      基本图形位置关系          在上一节，我们已经对空间基本图形有了直观的认识．空间基本    图形是由空间的点、线、面所构成的．而且，其中的点、线、面之间还具     有一定的位置关系．例如，在如图１３ ２ １所示的长方体中，有些线    就具有平行关系，有些线就具有垂直关系．                       图１３ ２ １     一般地，      ● 如何研究空间的点、直线和平面的位置关系？         １３．２．１ 平面的基本性质         用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定，将一把直尺置于桌    面上，通过是否漏光就能检查桌面是否平整，为什么？椅子放不稳，     是地面不平还是椅子本身有问题？      ● 上面的问题都和平面的基本性质有关，那么平面有哪些基本    性质？      平面没有厚薄， 平静的湖面给我们以平面的形象．和点、直线一样，平面也是从    是无限延展的． 现实世界中抽象出来的几何概念．平面通常用平行四边形来表示，当     平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面    的直观图（图１３ ２ ２）．     平面通常用希腊字母α， β ，γ，…表示，也可以用平行四边形的两     个相对顶点的字母表示，如图１３ ２ ２中的平面α、平面犃犆等．                图１３ ２ ２ 图１３ ２ ３      在生产与生活中，人们经过长期的观察与实践，总结出关于平面      １５２                       １３  立体几何初步 第 章    的三个基本事实．我们将它们作为进一步推理的基础．       基本事实１ 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平  基本事实也称为    公理． 面（图１３ ２ ３）．       “用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定”“照相机支架只需     三条腿就够了”都是基于这个基本事实．基本事实１也可简单地说：    不共线的三点确定一个平面．确定一个平面的含义是有且只有一个    平面．     过不共线三点犃，犅，犆的平面（图１３ ２ ３）通常记作“平     面犃犅犆”．       基本事实２ 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么    这条直线在这个平面内（图１３ ２ ４）．       “将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光就能检查桌面是否平     整”，就是基于这个基本事实．  图１３ ２ ４   空间中点、直线和平面的位置关系，可以借用集合中的符号来表     示．例如，在长方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中（图１３ ２ ５）：  １ １ １ １      位 置 关 系 符 号 表 示     点犘在直线犃犅上 犘∈犃犅      点犆不在直线犃犅上 犆犃犅     点犕在平面犃犆内 犕∈平面犃犆      点犃 不在平面犃犆内 犃 平面犃犆  １ １    直线犃犅与直线犅犆交于点犅 犃犅∩犅犆＝犅     直线犃犅在平面犃犆内 犃犅平面犃犆     直线犃犃 不在平面犃犆内 犃犃 平面犃犆   １ １                       图１３ ２ ５ 图１３ ２ ６     这样，基本事实２就可以用符号表示为（图１３ ２ ４）：     犃∈α烌   烍犃犅α．   犅∈α烎      １５３                        必修第二册 数学     基本事实３ 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们    有且只有一条过该点的公共直线（图１３ ２ ６）．        若两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直    线叫作这两个平面的交线．教室里相邻的墙面在地面的墙角处有一     个公共点，那么它们就相交于过该点的一条直线．     基本事实３可用符号表示为（图１３ ２ ６）：     犘∈α烌   烍α∩β＝犾且犘∈犾．   犘∈β烎     根据前面的基本事实，可以得出下面的推论：       推论１ 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个     平面（图１３ ２ ７）．       已知：直线犾，点犃犾（图１３ ２ ７）．     求证：过直线犾和点犃有且只有一个平面．     分析 先在直线犾上任取两点犅，犆，这样犃，犅，犆三点就确定   图１３ ２ ７ 一个平面，再证明犾在这个平面内．     证明 在直线犾上任取两点犅，犆．因为点犃不在直线犾上，根据     基本事实１，经过不共线三点犃，犅，犆有一个平面α．    因为犅∈α，犆∈α，所以根据基本事实２，犾α，即平面α经过直线    犾和点犃．     因为点犅，犆在直线犾上，所以经过直线犾和点犃的平面一定经     过点犃，犅，犆．    于是再根据基本事实１，经过不共线的三点犃，犅，犆的平面只有    一个，所以经过直线犾和点犃的平面只有一个．      我们还可以得出下面两个推论：        推论２ 经过两条相交直线，有且只有一个平面（图１３ ２ ８）．                 图１３ ２ ８ 图１３ ２ ９       推论３ 经过两条平行直线，有且只有一个平面（图１３ ２ ９）．       已知：直线犪∥犫．     求证：过直线犪，犫有且只有一个平面．      １５４                       １３  立体几何初步 第 章    分析 先根据平行线的定义，说明直线犪，犫必在同一个平面内；    再根据推论１，证明经过犪和犫的平面只有一个．    证明 根据平行线的定义（同一平面内没有公共点的两条直线）     可知，直线犪和直线犫一定在同一个平面内．     在直线犪上任取一点犃．因为犪∥犫，所以点犃不在直线犫上，由    推论１可知，经过点犃和直线犫的平面只有一个．    因为经过直线犪和直线犫的平面一定经过点犃和直线犫，故经过     直线犪和直线犫的平面只有一个．     桌子放不稳，是地面不平还是桌子本身有问题？可按图１３ ２     １０来判断：用两根细绳沿桌子四条腿的对角拉直，如果这两根细绳     相交，说明桌子四条腿的底端在同一平面内，否则就不在同一平面    内，说明桌子有问题，依据的就是推论２．                      图１３ ２ １０ 图１３ ２ １１       例１ 已知：犃∈犾，犅∈犾，犆∈犾，犇犾（图１３ ２ １１）．     空间若干点或直 求证：直线犃犇，犅犇，犆犇共面．   线都在同一个平面 分析 因为直线犾与点犇可以确定平面α，所以只需证明犃犇，     内，就称它们共面． 犅犇，犆犇都在平面α内．     证明 因为犇犾，所以犾与犇可以确定平面α（推论１）．     因为犃∈犾，所以犃∈α．     又犇∈α，所以犃犇α（基本事实２）．   同理，犅犇α，犆犇α，所以犃犇，犅犇，犆犇在同一平面α内，即它     们共面．       例２ 如图１３ ２ １２（１），在长方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，犘为   １ １ １ １   棱犅犅的中点，画出由犃，犆，犘三点所确定的平面α与长方体表面  １ １ １   的交线．                          图１３ ２ １２      １５５                        必修第二册 数学    分析 因为点犘既在平面α内又在平面犃犅 内，所以点犘在平  １   面α与平面犃犅 的交线上．同理，点犃 在平面α与平面犃犅 的交线  １ １ １   上．因此，犘犃 就是平面α与平面犃犅 的交线．   １ １   作法 连接犃犘，犘犆，犃犆，它们就是平面α与长方体表面的   １ １ １ １  交线（图１３ ２ １２（２））．      练 习 １．为什么许多自行车后轮旁只安装一只撑脚？    ２．用符号表示下列语句：    （１）点犃在直线犾上，犾在平面α内；     （２）平面α和平面 β 的交线是直线犾，直线犿在平面α内；    （３）点犃在平面α内，直线犾经过点犃，且直线犾在平面α外；    （４）直线犾经过平面α外一点犕．    ３．用符号表示“点犃在直线犾上，犾在平面α外”，正确的是（ ）．    Ａ．犃∈犾，犾α Ｂ．犃∈犾，犾α     Ｃ．犃犾，犾α Ｄ．犃犾，犾α   ４．下列叙述中，正确的是（ ）．     Ａ．因为犘∈α，犙∈α，所以犘犙∈α     Ｂ．因为犘∈α，犙∈β，所以α∩β＝犘犙   Ｃ．因为犃犅α，犆∈犃犅，犇∈犃犅，所以犆犇∈α     Ｄ．因为犃犅α，犃犅β，所以α∩β＝犃犅      习题１３．２（１）         感受·理解 １．画图表示下列语句（其中犘，犕表示点，犾，犿表示直线，α，β 表示平面）：    （１）犘∈犾，犘∈／α，犾∩α＝犕； （２）α∩β＝犿，犘∈α，犘∈／犿；     （３）犾α，犾β； （４）犘∈α，犘∈β，α∩β＝犿．   ２．请指出下列说法是否正确，并说明理由：     （１）空间三点确定一个平面；    （２）如果平面α与平面 β 有公共点，那么公共点就不止一个；    （３）因为平的斜屋面不与地面相交，所以屋面所在的平面与地面不相交．    ３．证明“推论２”．      思考·运用 ４．如果犃∈α，犅α，犃∈犾，犅∈犾，直线犾与平面α有多少个公共点？   ５．如图，在长方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，若犘为棱犅犅 的中点，直线犃犘与   １ １ １ １ １ １   平面犃犅犆犇是否相交？为什么？直线犇犘呢？  １                        （第５题） （第６题）        １５６                       １３  立体几何初步 第 章    探究·拓展 ６．如图，在长方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，犘为棱犅犅 的中点．  １ １ １ １ １   （１）画出平面犘犃犆与平面犃犅犆犇的交线；    （２）画出平面犘犃犆与平面犃犅犆犇的交线．   １        １３．２．２ 空间两条直线的位置关系         在平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种．在空间，情况    就不同了．例如，教室中日光灯管所在直线与黑板左侧所在直线，图１３     ２ １３中的机械部件蜗杆和蜗轮的轴线犪和犫，它们既不相交也不平行．    那么，                         图１３ ２ １３ 图１３ ２ １４    本书中，如无特 ● 空间两条直线的位置关系有哪些呢？     别说明，“两条直线”   观察如图１３ ２ １４所示的长方体犃犅犆犇 犃犅犆犇，可以看  指不重合的两条直 １ １ １ １   出，空间两条直线除了相交、平行两种位置关系外，还有第三种位置  线，“两个平面”指不   重合的两个平面． 关系．例如，直线犃犅 与犅犆、直线犃犅 与犆犆 等既不相交又不平   １ １ １ １ １   行，即不同在任何一个平面内．我们把不同在任何一个平面内的两条     直线叫作异面直线（ｓｋｅｗｌｉｎｅｓ）．    因此，空间两条直线的位置关系有以下三种：        位 置 关 系 共 面 情 况 公共点个数     相 交 直 线 在同一平面内 有且只有一个     平 行 直 线 在同一平面内 没 有     异 面 直 线 不同在任何一个平面内 没 有       １．平行直线     在平面几何中，同一平面内的三条直线犪，犫，犮，如果犪∥犫，犫∥犮，     那么犪∥犮．这个性质在空间是否成立呢？      如图１３ ２ １５，在长方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，犃犃 ∥犅犅，   １ １ １ １ １ １  犆犆 ∥犅犅，通过观察可以看出犃犃 ∥犆犆．   １ １ １ １   又如图１３ ２ １６，在圆柱犗犗 中，犃犃∥犗犗，犅犅∥犗犗，通   １ １ １ １ １   过观察也可以看出犃犃∥犅犅．  １ １     １５７                        必修第二册 数学                      图１３ ２ １５ 图１３ ２ １６     这表明，空间的三条直线也具有这样的性质，我们把它作为基本    事实．        基本事实４ 平行于同一条直线的两条直线平行．       用符号表示为     犪∥犫烌  烍犪∥犮．   犫∥犮烎      思 考 经过直线外一点，有几条直线和这条直线平行？     例１ 如图１３ ２ １７，在长方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，已知   １ １ １ １   犈，犉分别是犃犅，犅犆的中点．    求证：犈犉∥犃犆．   １ １  证明 连接犃犆．     在△犃犅犆中，因为犈，犉分别是犃犅，犅犆的中点，      所以 犈犉∥犃犆．      又因为犃犃瓛犅犅，犅犅瓛犆犆，   １ １ １ １   图１３ ２ １７  所以 犃犃瓛犆犆，   １ １    从而四边形犃犃犆犆是平行四边形，   １ １    所以 犃犆∥犃犆．   １ １    从而 犈犉∥犃犆．  １ １    在平面中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且     方向相同，那么这两个角相等．这一结论在空间成立吗？     观察图１３ ２ １７中的 ∠犅犈犉和 ∠犅犃犆，这两个角的两边分   １ １ １  别平行，且有     ∠犅犈犉＝ ∠犅犃犆（因为 ∠犅犈犉＝ ∠犅犃犆＝ ∠犅犃犆）．  １ １ １ １ １ １   一般地，我们有       定理 如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平     行并且方向相同，那么这两个角相等．        １５８                       １３  立体几何初步 第 章    已知：∠犅犃犆和 ∠犅犃犆的边犃犅∥犃犅，犃犆∥犃犆，并且  １ １ １ １ １ １ １   方向相同（图１３ ２ １８）．    求证：∠犅犃犆＝ ∠犅犃犆．   １ １ １   分析 为证明 ∠犅犃犆＝ ∠犅犃犆，可构造两个全等三角形，使   １ １ １   ∠犅犃犆与 ∠犅犃犆 是它们中的对应角．  １ １ １   证明 分别在∠犅犃犆和∠犅犃犆 的两边上截取  图１３ ２ １８ １ １ １     犃犇＝犃犇，犃犈＝犃犈，  １ １ １ １    连接犃犃，犇犇，犈犈，犇犈，犇犈．   １ １ １ １ １     犃犅∥犃 １ 犅 １ 烍 烌  四边形犃犃犇犇是平行四边形   犃犇＝犃犇烎 １ １   １ １     犃犃瓛犇犇 烌   １ １ 烍犇犇瓛犈犈四边形犇犇犈犈是平行四边形  同理，犃犃瓛犈犈烎 １ １ １ １  １ １     犇犈＝犇犈 烌   １ １   犃犇＝犃犇烍△犃犇犈≌△犃犇犈∠犅犃犆＝∠犅犃犆．   １ １ １ １ １ １ １ １   犃犈＝犃犈烎   １ １   思 考 如果∠犅犃犆和∠犅犃犆的边犃犅∥犃犅，犃犆∥犃犆，且边犃犅   １ １ １ １ １ １ １   与犃犅 方向相同，而边犃犆与犃犆 方向相反，那么，∠犅犃犆和   １ １ １ １   ∠犅犃犆 之间有何关系？为什么？  １ １ １    例２ 如图１３ ２ １９，已知犈，犈 分别为正方体犃犅犆犇   １   犃犅犆犇 的棱犃犇，犃犇 的中点．   １ １ １ １ １ １   求证：∠犆犈犅 ＝ ∠犆犈犅．  １ １ １   分析 设法证明犈犆 ∥犈犆，犈犅 ∥犈犅．  １ １ １ １   证明 连接犈犈．   １   图１３ ２ １９ 因为犈，犈分别是犃犇，犃犇的中点，   １ １ １   所以 犃犈瓛犃犈，   １ １   故四边形犃犈犈犃是平行四边形，   １ １   从而 犃犃瓛犈犈．   １ １   又因为 犃犃瓛犅犅，   １ １   所以 犈犈瓛犅犅，   １ １   故四边形犈犈犅犅是平行四边形，   １ １    从而 犈犅 ∥犈犅．  １ １    同理 犈犆 ∥犈犆．   １ １    又因为∠犆犈犅 与∠犆犈犅两边的方向相同，  １ １ １    所以 ∠犆犈犅 ＝ ∠犆犈犅．  １ １ １     １５９                        必修第二册 数学    练 习 １．如果犗犃∥犗犃，犗犅∥犗犅，那么∠犃犗犅与∠犃犗犅 之间具有什么关系？  １ １ １ １ １ １ １   ２．如图，已知犃犃′，犅犅′，犆犆′不共面，且犃犃′瓛犅犅′，犅犅′瓛犆犆′．    求证：△犃犅犆≌△犃′犅′犆′．                       （第２题） （第３题）     ３．如图，已知正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇．   １ １ １ １   （１）直线犃犆与直线犃犆平行吗？为什么？  １ １  （２）∠犃犅犆 与∠犃犇犆是否相等？为什么？   １ １ １   ４．如图，在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，犘，犙分别为棱犃犃 和犆犆 的中点，  １ １ １ １ １ １   问：∠犇犘犅 与∠犅犙犇是否相等？为什么？  １ １                       （第４题） （第５题）     ５．如图，在三棱锥犛犃犅犆中，犕，犖，犈，犉分别为棱犛犃，犛犆，犃犅，犅犆的中    点，试判断直线犕犖与直线犈犉是否平行．        ２．异面直线     如图１３ ２ ２０，在长方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中可以直观地看   １ １ １ １   出，直线犃犅与犃犆既不相交又不平行（即异面）．那么，如何说明犃犅  １   与犃犆不同在任何一个平面内？   １                   图１３ ２ ２０     假设犃犅与犃犆共面，由于经过点犆和直线犃犅的平面只能有   １   一个，所以直线犃犆和犃犅都应在平面犃犅犆犇内，于是点犃 在平面   １ １  犃犅犆犇内，这与“点犃 在平面犃犅犆犇外”矛盾．因此，直线犃犅与犃犆   １ １   是异面直线．     一般地，我们有      １６０                       １３  立体几何初步 第 章     定理 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内    不经过该点的直线是异面直线．         用符号表示为（图１３ ２ ２１）：     若犾α，犃α，犅∈α，犅犾，则直线犃犅与犾是异面直线．     如图１３ ２ ２２，犪与犫是异面直线，经过空间任意一点犗，作直     线犪′∥犪，犫′∥犫，我们把直线犪′和犫′所成的锐角（或直角）叫作异面直  图１３ ２ ２１    线犪，犫所成的角或夹角．  为什么犪′，犫′所    成角的大小与点犗的     选择无关？             图１３ ２ ２２     若异面直线犪，犫所成的角是直角，则称异面直线犪，犫互相垂直，     记作犪⊥犫．在图１３ ２ １３中，蜗杆和蜗轮的轴线是互相垂直的异面    直线，它表明由蜗杆到蜗轮的传动方向变了９０°的角．      例３ 已知犃犅犆犇 犃犅犆犇 是棱长为犪的正方体（图１３   １ １ １ １   ２ ２３）．     （１）正方体的哪些棱所在的直线与直线犅犆 是异面直线？   １   （２）求证直线犃犃 与犅犆垂直．   １   （３）求直线犅犆 与犃犆的夹角．   １   图１３ ２ ２３ 解 （１）正方体共有１２条棱，与犅犆 相交的棱有６条，与犅犆  １ １    平行的棱不存在．因此余下的６条棱所在直线分别与直线犅犆 是异  １   面直线，它们是犃犃，犃犅，犃犇，犇犃，犇犆，犇犇．   １ １ １ １ １ １    （２）因为 犃犇∥犅犆，      所以犃犃 与犃犇的夹角就是犃犃 与犅犆的夹角．   １ １    因为 ∠犃犃犇＝９０°，   １     所以 犃犃 ⊥犅犆．  １    （３）连接犃犆，因为犃犃瓛犅犅瓛犆犆，   １ １ １ １ １   所以四边形犃犃犆犆是平行四边形，故犃犆∥犃犆，   １ １ １ １   从而犅犆 与犃犆的夹角就是犅犆 与犃犆 的夹角．   １ １ １ １   连接犃犅．   １   因为犃犅，犅犆 与犃犆 都是正方体的面对角线，  １ １ １ １     １６１                        必修第二册 数学    所以 犃犅＝犅犆 ＝犃犆，  １ １ １ １    故 △犃犅犆 是正三角形．   １ １   因此，犅犆 与犃犆的夹角为６０°，即犅犆 与犃犆的夹角为６０°．  １ １ １ １    从上例可以看出，探求异面直线所成的角，实际上是通过平移，     将异面直线转化为相交直线，即将空间图形问题转化为平面图形问     题，这是研究空间图形的一种基本思想———转化思想．     信息技术 在ＧＧＢ的３Ｄ绘图区中，选择“正六面体”命令，任意单击两点     犃，犅即可画出正方体犃犌（图１３ ２ ２４（１））．将顶点犈，犉，犌，犎重命     名为犃，犅，犆，犇．用“线段”命令连接犃犆，用“多边形”命令画出平   １ １ １ １   面犃犅犆（图１３ ２ ２４（２））．拖动图形或单击“启动／停止旋转视图”，  １ １   即可转动图形，从不同角度观察正方体中点、线、面之间的位置关系．                                       图１３ ２ ２４      练 习 １．指出下列命题是否正确，并说明理由：    （１）过直线外一点可以作无数条直线与已知直线成异面直线；    （２）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．    ２．如果两条直线犪和犫没有公共点，问：犪与犫具有怎样的位置关系？    ３．如果直线犪，犫分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，那么犪与     犫具有怎样的位置关系？    ４．在两个相交平面内各画一条直线，使它们成为：    （１）平行直线； （２）相交直线； （３）异面直线．     ５．如图，在长方体犃犅犆犇犃犅犆犇中，哪些棱所在的直线与直线犃犃 是异  １ １ １ １ １  面直线且互相垂直？                       （第５题） （第６题）      １６２                       １３  立体几何初步 第 章    ６．如图，在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中：  １ １ １ １   （１）求直线犃犅与犆犆的夹角；  １ １   （２）作出异面直线犃犆与犇犅所成的角；   １   （３）作出异面直线犃犆与犇犇所成的角，并求出该角的正切值．  １ １   ７．指出下列命题是否正确，并说明理由：    （１）若犪∥犫，犮⊥犪，则犮⊥犫；     （２）若犪⊥犮，犫⊥犮，则犪∥犫．       习题１３２（２）         感受·理解 １．用符号表示下列语句：    （１）点犃在平面α内，点犅在平面 β 内，直线犃犅在平面 β 内；    （２）平面α和 β 的交线为犾，直线犿在平面α内，且犿与犾交于点犘．    ２．画出满足下列条件的图形（其中犃，犅，犕表示点，犿，狀，犪，犫表示直线，α，    β 表示平面）：     （１）犿α，狀β，α∩β＝犾，犿∥狀∥犾；   （２）犃∈α，犅∈β，犃犅α，犃犅β，α∩β＝犾；     （３）犪α，犫β，α∩β＝犾，犪∩犫＝犕．    ３．如图，试根据下列要求，把被遮挡的部分画为虚线．    （１）犃犅被平面α遮挡；     （２）犃犅没有被平面α遮挡．   ４．如果三条直线两两相交，问：这三条直线是否共面？     ５．四条线段顺次首尾相接，所得的图形一定是平面图形吗？为什么？     （第３题） ６．画“三个平面两两相交”的直观图．   ７．如果犪，犫是异面直线，直线犮与犪，犫都相交，问：由这三条直线中的任意两    条所确定的平面共有多少个？    ８．在长方体犃犅犆犇犃犅犆犇中，经过犃犇与犅犅能否作长方体的截面？为什么？   １ １ １ １ １ １   ９．如果犃犅，犆犇是两条异面直线，问：直线犃犆，犅犇一定是异面直线吗？   为什么？     １０．如图，在长方体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′中，已知犃犅＝犃犇＝２槡３，犃犃′＝２．求：     （１）犅犆和犃′犆′所成的角；    （２）犅犅′和犃犇′所成的角．                        （第１０题） （第１１题）      思考·运用 １１．如图，在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，犃犃＝犪，犈，犉分别是犅犆，犇犆的  １ １ １ １ １   中点．求直线犃犇 与犈犉的夹角．   １    １６３                        必修第二册 数学    １２．如图，在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，犃犈 ＝犆犈，犃犉 ＝犆犉．求证：  １ １ １ １ １ １ １ １   犈犉瓛犈犉．  １ １                       （第１２题） （第１３题）     １３．如图，在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，犕是犅犅 的中点，试作出平面   １ １ １ １ １   犃犆犕与平面犃犅犆犇的交线．  １ １   １４．分别与异面直线犪，犫都相交的两条直线犮，犱一定异面吗？为什么？     探究·拓展 １５．如图，在三棱锥犃犅犆犇中，犈，犉，犌，犎分别是边犃犅，犅犆，犆犇，犇犃的    中点．    （１）求证：四边形犈犉犌犎是平行四边形；    （２）若犃犆＝犅犇，求证：四边形犈犉犌犎是菱形；     （３）当犃犆与犅犇满足什么条件时，四边形犈犉犌犎是正方形？                         （第１５题） （第１６题）     １６．如图，在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，若犘为棱犅犅 的中点，判断平面   １ １ １ １ １  犇犘犆与平面犃犅犆犇是否相交．如果相交，作出这两个平面的交线．   １        １３．２．３ 直线与平面的位置关系         观察教室两墙面的交线与地面的关系，墙面和天花板的交线与    地面的关系，再观察你手中的笔与作业本所在平面可能的位置关系．     那么，      ● 直线与平面可能有哪几种位置关系？     在如图１３ ２ ２５所示的长方体中，棱犃犅 所在的直线与平面   １ １   犃犆没有公共点，体对角线犃犆所在直线与平面犃犆有且只有一个公  １   共点，棱犃犇所在的直线与平面犃犆有无数个公共点．    如果一条直线犪和一个平面α没有公共点，那么称直线犪与平面     α平行；如果直线犪与平面α有且只有一个公共点，那么称直线犪与      １６４                       １３  立体几何初步 第 章                 图１３ ２ ２５      平面α相交；如果直线犪与平面α有无数个公共点，那么称直线犪在     平面α内．    一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：       位置关系 直线犪在平面α内 直线犪与平面α相交 直线犪与平面α平行      公 共 点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点     符号表示 犪α 犪∩α＝犃 犪∥α         图形表示           我们把直线犪与平面α相交或平行的情况统称为直线在平面外，     记作犪α．      １．直线与平面平行      打开笔记本电脑时，显示屏上侧所在的直线与键盘所在的平面    具有怎样的位置关系？    教室的门的两边是平行的，当门绕着一边旋转时，另一边与门框     所在的平面给人以平行的形象．     在如图１３ ２ ２５所示的长方体中，犃犅∥犃犅，当直线犃犅沿直   １ １  线犅犆平移时，就形成了平面犃犆，直线犃犅在平移过程中的每一个位     置都与犃犅 平行，因此直线犃犅 与平面犃犆没有公共点．也就是  １ １ １ １   说，直线犃犅 与平面犃犆是平行的．   １ １   一般地，我们可以证明   本章中出现的判    定定理的证明不作    要求． 直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平     面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．         用符号表示为（图１３ ２ ２６）：      犪α  图１３ ２ ２６ 烌   犫α烍犪∥α．     犪∥犫烎      １６５                        必修第二册 数学    例１ 如图１３ ２ ２７，已知犈，犉分别是三棱锥犃 犅犆犇的侧    棱犃犅，犃犇的中点，求证：犈犉∥平面犅犆犇．    分析 设法在平面犅犆犇内找一条直线与犈犉平行．     证明 犃犈＝犈犅｝   犈犉∥犅犇   犃犉＝犉犇 烌   犈犉 平面犅犆犇烍犈犉∥ 平面犅犆犇．   犅犇 平面犅犆犇烎     图１３ ２ ２７ 从上例可以看出，通过“线线平行”可推得“线面平行”．将空间直     线与平面的平行关系转化为直线与直线的平行关系，这是处理空间     位置关系的常用思路．     如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线是否与这个平面     内的任意一条直线都平行？    由直线犾与平面α平行可知，直线犾与平面α内的任意一条直线    都没有公共点，所以它们只能平行或异面．那么，在什么条件下平面α     内的直线与直线犾平行呢？       直线与平面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行，     如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行．       已知：犾∥α，犾β ，α∩β＝犿（图１３ ２ ２８）．     求证：犾∥犿．    证明 犾∥α犾和α没有公共点 烌  烍犾 和犿没有公共点 烌   犿α烎 烍犾∥犿．   图１３ ２ ２８ 犾，犿β烎      例２ 一个长方体木块如图１３ ２ ２９（１）所示，要经过平面    犃犆 内一点犘和棱犅犆将木块锯开，应该怎样画线？   １ １   分析 点犘与直线犅犆确定平面α，根据题意，应画出平面α与    长方体各面的交线．    因为点犘既在平面α内又在平面犃犆 内，由基本事实３，平面α   １ １   与平面犃犆 必相交于经过点犘的一条直线．设这条直线与犃犅，   １ １ １ １  犆犇 的交点分别为犈，犉．   １ １  由于犅犆∥犅犆，故犅犆∥平面犃犆，由直线与平面平行的性质定   １ １ １ １   理得犅犆∥犈犉．因此只要在平面犃犆内过点犘作犅犆的平行线即可．   １ １ １ １                       图１３ ２ ２９      １６６                       １３  立体几何初步 第 章    作法 在平面犃犆 内，过点犘作犈犉∥犅犆，分别交犃犅，  １ １ １ １ １ １   犆犇 于点犈，犉．  １ １   连接犅犈，犆犉，则犅犈，犆犉和犈犉就是所要画的线（图１３ ２２９（２））．      例３ 证明：如果三个平面两两相交，并且三条交线中两条直     线平行，那么第三条直线也和它们平行．    已知：平面α， β ，γ，α∩β＝犾，α∩γ＝犿， β∩γ＝狀，且犾∥犿．     求证：狀∥犾，狀∥犿（图１３ ２ ３０）．     证明 犾∥犿  烌   犾γ烍犾∥γ  烌   犿γ 烎 犾β 烍狀∥犾．     图１３ ２ ３０ β∩γ＝狀烎     同理，狀∥犿．     如果三个平面两两相交于三条直线，并且其中两条直线相交，那  思 考    么第三条直线和这两条直线有怎样的位置关系？     直线与平面平行的判定定理可简述为“若线线平行，则线面平行”；     直线与平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．这表    明，线线与线面位置关系可以相互转化．      １．指出下列命题是否正确，并说明理由：  练 习   （１）如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行；    （２）过直线外一点有无数个平面与这条直线平行；     （３）过平面外一点有无数条直线与这个平面平行．    ２．给出下列条件：①犾∥α；②犾与α至少有一个公共点；③犾与α至多有一个    公共点．能确定直线犾在平面α外的条件是 ．（填序号）    ３．已知直线犪，犫和平面α，下列命题中正确的是（ ）．    Ａ．若犪∥α，犫α，则犪∥犫     Ｂ．若犪∥α，犫∥α，则犪∥犫   Ｃ．若犪∥犫，犫α，则犪∥α     Ｄ．若犪∥犫，犪∥α，则犫∥α或犫α    ４．如图，在长方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 的侧面和底面所在的平面中：  １ １ １ １   （１）与直线犃犅平行的平面是 ；     （２）与直线犃犃 平行的平面是 ；  １  （３）与直线犃犇平行的平面是 ．                        （第４题） （第５题）       １６７                        必修第二册 数学    ５．如图，在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中：  １ １ １ １   （１）直线犃犃 与平面犅犅犇犇是否平行？为什么？  １ １ １   （２）直线犃犃 与平面犆犇犅是否平行？为什么？   １ １  （３）直线犅犇 与平面犃犅犆犇是否平行？为什么？   １ １  （４）直线犅犇 与平面犆犇犅是否平行？为什么？   １ １ １   ６．若两条直线犪，犫都平行于平面α，犪，犫的位置关系如何？分别画图说明．       ２．直线与平面垂直      学校操场上的旗杆与地面的位置关系，教室两墙面的交线与地    面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象．     观察圆锥犛犗（图１３ ２ ３１），可以直观地看出，轴犛犗垂直于圆     锥的底面．那么，轴犛犗与底面内的哪些直线垂直呢？                          图１３ ２ ３１ 图１３ ２ ３２      为什么轴犛犗垂 由于圆锥犛犗是由Ｒｔ△犛犗犆绕直角边犛犗旋转一周形成的，因     直于底面内的所有半 此犛犗与底面内的每一条半径都垂直，从而犛犗垂直于底面内的所有     径，就有犛犗垂直于底 直线．   面内的所有直线？  如图１３ ２ ３２，如果直线犪与平面α内的任意一条直线都垂直，    那么称直线犪与平面α垂直，记作犪⊥α．直线犪叫作平面α的垂线，平     面α叫作直线犪的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．      如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线   思 考  是否与这个平面垂直？       例４ 证明：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那     么另一条也垂直于这个平面．     已知：犪∥犫，犪⊥α（图１３ ２ ３３）．    求证：犫⊥α．    分析 只要证明犫与平面α内任意一条直线都垂直．     证明 设犿是α内的任意一条直线．     图１３ ２ ３３ 犪⊥α烌   烍犪⊥犿烌   犿α烎 烍犫⊥犿，则犫⊥α．   犪∥犫烎     上述例子利用定义证明了直线与平面垂直，那么除了定义外，还      １６８                       １３  立体几何初步 第 章   有判断直线与平面垂直的其他方法吗？     如图１３ ２ ３４（１），将一张矩形纸片对折后略为展开，竖立在桌面    上，我们可以观察到折痕与桌面垂直．如图１３ ２ ３４（２），从两个不同     的方向观察，若旗杆都与水平线垂直，则可判断旗杆与地面垂直．                        图１３ ２ ３４     一般地，我们有         直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内    的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．         用符号表示为（图１３ ２ ３５）：     若犪⊥犿，犪⊥狀，犿∩狀＝犃，犿α，狀α，则犪⊥α．     直线与平面垂直的判定定理体现了“线面垂直”向“线线垂直”转     图１３ ２ ３５ 化的思想．     两根旗杆垂直于地面，给我们以旗杆平行的形象．在如图１３ ２    ２５所示的长方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，棱犃犃，犅犅，犆犆，犇犇   １ １ １ １ １ １ １ １   所在直线都垂直于平面犃犆，它们彼此平行．    一般地，我们有        直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直    线平行．         已知：犪⊥α，犫⊥α．    求证：犪∥犫．    分析 直接证明犪∥犫比较困难，我们采用“反证法”来证明．     证明 如图１３ ２ ３６，假设犫不平行于犪，设犫∩α＝犗，犫′是经     过点犗且与直线犪平行的直线．     直线犫与犫′确定平面 β ，设α∩β＝犮．     因为 犪⊥α，犫⊥α，   图１３ ２ ３６    所以 犪⊥犮，犫⊥犮．      又因为 犫′∥犪，      １６９                        必修第二册 数学    所以 犫′⊥犮．     这样在平面 β 内，经过直线犮上同一点犗，就有两条直线犫，犫′与犮     垂直，显然不可能．     因此 犪∥犫．      直线与平面垂直的性质定理揭示了平行与垂直之间的内在联    系．根据此性质定理，不难得到        过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只    你能证明这个结 有一个平面与已知直线垂直．     论吗？    从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个    点到这个平面的距离．       例５ 已知：犾∥α．    求证：直线犾上各点到平面α的距离相等．    证明 过直线犾上任意两点犃，犅分别作平面α的垂线犃犃′，     犅犅′，垂足分别为犃′，犅′（图１３ ２ ３７）．     因为 犃犃′⊥α，犅犅′⊥α，     所以 犃犃′∥犅犅′．   图１３ ２ ３７     设经过直线犃犃′和犅犅′的平面为 β ，则 β 与α的交线为直线犃′犅′．     因为 犾∥α，     所以 犾∥犃′犅′，      从而四边形犃′犅′犅犃是平行四边形，所以犃犃′＝犅犅′．    故直线犾上各点到平面α的距离相等．      一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的    距离，叫作这条直线和这个平面的距离．       练 习 １．将一本书打开后竖立在桌面上（如图），则书脊所在直线犃犅是否与桌面垂   直？为什么？                       （第１题） （第２题）      ２．如图，在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中：  １ １ １ １   （１）直线犃犅与平面犅犆犆犅 是否垂直？为什么？   １ １    １７０                       １３  立体几何初步 第 章    （２）直线犃犆与平面犅犅犇犇是否垂直？为什么？  １ １   （３）直线犃犆与平面犃犅犆犇是否垂直？为什么？  １   （４）直线犃犅 与平面犃犅犆犇 是否垂直？为什么？   １ １ １   ３．对于直线犾，犿，狀，平面α，下列命题是否正确，试说明理由：   （１）若犾⊥α，则犾与α相交；     （２）若犿α，狀α，犾⊥犿，犾⊥狀，则犾⊥α；    （３）若犾∥犿，犿⊥α，狀⊥α，则犾∥狀．    ４．如图，在△犃犅犆中，犕为边犅犆的中点，沿犃犕将△犃犅犕折起，使点犅在平     面犃犆犕外．在什么条件下直线犃犕垂直于平面犅犕犆？                      （第４题） （第５题）      ５．如图，已知犘犃⊥α，犘犅⊥β，垂足分别为犃，犅，且α∩β＝犾，求证：犾⊥    平面犃犘犅．        观察如图１３ ２ ３８所示的长方体犃犅犆犇 犃犅犆犇，可以发  １ １ １ １   现犃犅，犃犆，犃犇虽然都和平面犃犅犆犇相交，但都不与这个平面   １ １ １   垂直．                        图１３ ２ ３８ 图１３ ２ ３９     一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作     这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫作斜足，斜线上一点与斜足间     的线段叫作这个点到平面的斜线段．    如图１３ ２ ３９，过平面外一点犘向平面α引斜线和垂线，那么    过斜足犙和垂足犘 的直线就是斜线在平面内的射影，线段犘犙就   １ １   是斜线段犘犙在平面α内的射影．     平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫作这条     可以证明：犘犙 直线与这个平面所成的角．    与平面α内经过点犙 在图１３ ２ ３９中，∠犘犙犘 就是直线犘犙与平面α所成的角．  １   的直线所成的所有角 如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是直角；如果一     中，∠犘犙犘 最小． 条直线与平面平行或在平面内，那么称它们所成的角是０°角．  １     １７１                        必修第二册 数学    例６ 如图１３ ２ ４０，已知犃犆，犃犅分别是平面α的垂线和斜     线，犆，犅分别是垂足和斜足，犪α，犪⊥犅犆．求证：犪⊥犃犅．    分析 因为犃犅平面犃犅犆，所以只要证明犪⊥平面犃犅犆．    证明 犃犆⊥α烌   烍犪⊥犃犆 烌   犪α烎   犪⊥犅犆烍犪⊥ 平面犃犅犆烌   烍犪⊥犃犅．   犃犆∩犅犆＝犆烎犃犅 平面犃犅犆烎                       图１３ ２ ４０ 图１３ ２ ４１      例７ 如图１３ ２ ４１，已知∠犅犃犆在平面α内，犘α，     ∠犘犃犅＝∠犘犃犆．    求证：点犘在平面α内的射影在∠犅犃犆的平分线上．     证明 作犘犗⊥α，犘犈⊥犃犅，犘犉⊥犃犆，垂足分别为犗，犈，犉，     连接犗犈，犗犉，犗犃．       犘犈⊥犃犅，犘犉⊥犃犆 烌     ∠犘犃犈＝ ∠犘犃犉 烍Ｒｔ△犘犃犈≌Ｒｔ△犘犃犉犃犈＝犃犉．     犘犃＝犘犃 烎       犘犗⊥α烌   烍犃犅⊥犘犗 烌   犃犅α烎   犃犅⊥犘犈 烍犃犅⊥ 平面犘犈犗 烌   烍犃犅⊥犗犈．  犘犗∩犘犈＝犘烎 犗犈 平面犘犈犗烎       同理犃犆⊥犗犉．     在Ｒｔ△犃犗犈和 Ｒｔ△犃犗犉中，犃犈＝犃犉，犗犃＝犗犃，所以     Ｒｔ△犃犗犈≌Ｒｔ△犃犗犉，从而 ∠犈犃犗＝ ∠犉犃犗．     故点犘在平面α内的射影犗在 ∠犅犃犆的平分线上．      你能设计一个四个面都是直角三角形的四面体吗？  思 考        练 习 １．如图，∠犅犆犃＝９０°，犘犆⊥平面犃犅犆，在△犃犅犆，△犘犃犆的边所在的    直线中：     （１）与犘犆垂直的直线有 ；    （２）与犃犘垂直的直线有 ．      １７２                       １３  立体几何初步 第 章                        （第１题） （第２题）     ２．如图，在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中：  １ １ １ １   （１）求直线犃犃 与平面犃犅犆犇所成的角；  １   （２）求直线犃犃 与平面犅犆犆犅 所成的角；   １ １ １  （３）直线犃犅在平面犃犅犆犇内的射影是哪条直线？   １  （４）直线犃犆在平面犃犇犇犃 内的射影是哪条直线？   １ １ １   ３．在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，直线犃犇 与平面犃犅犆犇所成的角的大小  １ １ １ １ １  是 ．     ４．如果直线犪与平面α不垂直，那么在平面α内与直线犪垂直的直线（ ）．    Ａ．只有一条 Ｂ．有无数条    Ｃ．是平面α内的所有直线 Ｄ．不存在    ５．从平面外一点向平面引斜线段，如果斜线段的长相等，它们在平面内的射影    相等吗？    ６．如图，在四棱锥犘犃犅犆犇中，底面犃犅犆犇是菱形，且犘犃＝犘犆，判断直线    犃犆与平面犘犅犇是否垂直，并说明理由．                         （第６题） （第７题）     ７．如图，在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，犗为上底面犃犅犆犇 的中心．作   １ １ １ １ １ １ １ １   出直线犗犆与平面犃犅犆犇所成的角，并求出该角的正切值．       习题１３２（３）         感受·理解 １．如图，犃犅∥α，犃犆∥犅犇，犆∈α，犇∈α，求证：犃犆＝犅犇．                   （第１题） （第２题）     ２．如图，α∩β＝犆犇，α∩γ＝犈犉，β∩γ＝犃犅，犃犅∥α．求证：犆犇∥犈犉．      １７３                        必修第二册 数学    ３．如图，犈，犉，犌，犎分别是空间四边形犃犅犆犇的边犃犅，犅犆，犆犇，犇犃的    四个顶点不共面 中点，求证：    的四边形叫作空间四 （１）四点犈，犉，犌，犎共面；    边形． （２）犃犆∥平面犈犉犌犎，犅犇∥平面犈犉犌犎．                       （第３题） （第４题）      ４．如图，在三棱柱犃犅犆犃犅犆中，犈∈犅犆，犉∈犅犆，犈犉∥犆犆，点犕∈侧   １ １ １ １ １ １  面犃犃犅犅，点犕，犈，犉确定平面γ．试作出平面γ与三棱柱犃犅犆   １ １  犃犅犆表面的交线．   １ １ １   ５．如图，在三棱锥犛犃犅犆中，犕，犖分别为△犛犃犅和△犛犅犆的重心．求证：   犕犖∥平面犃犅犆．                         （第５题） （第６题）      ６．将一本书打开后竖立在桌面α上（如图），犘，犙分别为犃犆，犅犈上的点，且    犃犘＝犅犙．求证：犘犙∥平面α．    ７．在正方体犃犅犆犇 犃′犅′犆′犇′中，求证：犃犆⊥犅犇′．    ８．如图，在四棱锥犘犃犅犆犇中，底面犃犅犆犇是矩形，犘犃⊥平面犃犅犆犇．    （１）指出图中有哪些三角形是直角三角形，并说明理由；    （２）若犘犃＝犃犇＝犃犅，试求犘犆与平面犃犅犆犇所成角的正切值．                        （第８题） （第９题）      ９．如图，犃犅是圆犗的直径，犘犃垂直于圆犗所在的平面，犆是圆犗上不同于    犃，犅的任一点．求证：犅犆⊥平面犘犃犆．    １０．已知直线犪∥平面α，直线犫⊥平面α．求证：犪⊥犫．    １１．在三棱锥犘 犃犅犆中，顶点犘在平面犃犅犆内的射影是△犃犅犆的外    心，求证：犘犃＝犘犅＝犘犆．      １７４                       １３  立体几何初步 第 章    思考·运用 １２．如图，一块正方体木料的上底面内有一点犈，要经过点犈在上底面内画一条   直线和犆犈垂直，应怎样画？                       （第１２题） （第１３题）       １３．如图，在四棱锥犘犃犅犆犇中，犕，犖分别是犃犅，犘犆的中点，且犃犅犆犇是    平行四边形，求证：犕犖∥平面犘犃犇．    １４．证明：如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线     就和这条斜线在这个平面内的射影垂直．   １５．在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，求证：犃犆⊥平面犃犅犇．   １ １ １ １ １ １ １   １６．在三棱锥犘犃犅犆中，点犘在平面犃犅犆内的射影犗是△犃犅犆的垂心（三    角形三条边上的高所在的直线交于一点，这个点叫作这个三角形的垂心），    求证：犘犃⊥犅犆．     探究·拓展 １７．（阅读题）看图阅读：                         （第１７题）     底面是平行四边形的四棱柱叫作平行六面体（ｐａｒａｌｌｅｌｏｐｉｐｅｄ），侧棱与底    面垂直的平行六面体叫作直平行六面体（ｒｉｇｈｔｐａｒａｌｌｅｌｏｐｉｐｅｄ），底面是矩形的    直平行六面体叫作长方体（ｃｕｂｏｉｄ），棱长相等的长方体叫作正方体（ｃｕｂｅ）．    根据上述定义，试说明四棱柱集合、平行六面体集合、直平行六面体集    合、长方体集合、正方体集合之间有怎样的包含关系，并用Ｖｅｎｎ图直观地    表示这种关系．          １３．２．４ 平面与平面的位置关系         将两本书作为平面，通过移动或翻转，观察它们之间的位置关    系，再观察教室前后墙面、左右墙面、天花板及地面这六个面中两两     之间的位置关系．一般地，      ● 平面与平面有哪几种位置关系？     观察长方体犃犅犆犇 犃犅犆犇（图１３ ２ ４２），它的上、下底面   图１３ ２ ４２ １ １ １ １    １７５                        必修第二册 数学    无论怎样延展都没有公共点，而它的下底面与平面犃犅犆犇 则有一  １ １   条交线犃犅．    如果两个平面没有公共点，那么称这两个平面互相平行．     如果两个平面有一个公共点，那么由基本事实３可知，它们相交     于经过这个点的一条直线，此时称这两个平面相交．    两个平面的位置关系有：       位置关系 两平面平行 两平面相交      公 共 点 没有公共点 有一条公共直线     符号表示 α∥β α∩β＝犪         图形表示           １．两平面平行     怎样使用水平仪来检测桌面是否水平？     当水平仪的气泡   居中时，水平仪所在     的直线就是水平线．          图１３ ２ ４３ 图１３ ２ ４４      工人师傅将水平仪（图１３ ２ ４３）在桌面上交叉放置两次，如果    水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的．     一般地，我们可以证明        两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交直     线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．        用符号表示为（图１３ ２ ４４）：    若犪α，犫α，犪∩犫＝犃，且犪∥β ，犫∥β ，则α∥β．       上述判定定理说明，由“线面平行”可推得“面面平行”．将平面与平    面的平行关系转化为直线与平面的平行关系，这是常见的转化思路．      例１ 如图１３ ２ ４５，在长方体犃犅犆犇 犃′犅′犆′犇′中，求证：     平面犆′犇犅∥平面犃犅′犇′．     分析 只要证明一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行．     证明 犃犅瓛犇犆瓛犇′犆′  图１３ ２ ４５     １７６                       １３  立体几何初步 第 章     四边形犃犅犆′犇′是平行四边形      犅犆′∥犃犇′  烌    犅犆′ 平面犃犅′犇′烍 犅犆′∥ 平面犃犅′犇′  烌   犃犇′ 平面犃犅′犇′烎 同理，犆′犇∥ 平面犃犅′犇′烍      犅犆′∩犆′犇＝犆′烎     平面犆′犇犅∥ 平面犃犅′犇′．     如果两个平面平行，那么，    （１）一个平面内的直线是否平行于另一个平面？     （２）分别在两个平行平面内的两条直线是否平行？      对于问题（１），根据两个平面平行及直线和平面平行的定义可    知，两个平面平行，其中一个平面内的直线必定平行于另一个平面．     对于问题（２），分别在两个平行平面内的两条直线必定没有公共     点，所以只能判定它们平行或异面．那么，在什么条件下，分别在两个    平行平面内的直线平行呢？        此定理说明，由 两个平面平行的性质定理 两个平面平行，如果另一个平    “面面平行”可得到 面与这两个平面相交，那么两条交线平行．    “线线平行”．     已知：α∥β ，α∩γ＝犪， β∩γ＝犫（图１３ ２ ４６）．    求证：犪∥犫．    证明 因为α∥β ，所以α与 β 没有公共点，因而交线犪，犫也没有     公共点．     又因为犪，犫都在平面γ内，所以犪∥犫．     例２ 证明：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平     图１３ ２ ４６ 面，那么它也垂直于另一个平面．     已知：α∥β ，犾⊥α（图１３ ２ ４７）．     求证：犾⊥β．     分析 要证犾⊥β ，只要证明犾与 β 内的任意一条直线都垂直或与   β 内两条相交直线垂直．     证明 设犾∩α＝犃，在平面 β 内任取一条直线犫．     图１３ ２ ４７ 因为点犃不在 β 内，所以点犃与直线犫可确定平面γ．    设γ∩α＝犪，      α∥β  烌   α∩γ＝犪烍犪∥犫  烌    β∩γ＝犫烎 烍犾⊥犫．    犾⊥α｝   犾⊥犪烎   犪α      １７７                        必修第二册 数学    因为直线犫是平面 β 内的任意一条直线，所以犾⊥β．     与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂     线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂     线段．     如图１３ ２ ４８，α∥β ，如果犃犃′，犅犅′都是α， β 的公垂线段，那么     犃犃′∥犅犅′．根据两个平面平行的性质定理，有犃′犅′∥犃犅，所以四边     形犃犅犅′犃′是平行四边形，故犃犃′＝犅犅′．    由此我们得到，两个平行平面的公垂线段都相等．我们把公垂线    图１３ ２ ４８  段的长度叫作两个平行平面间的距离．      练 习 １．已知平面α∥平面 β，直线犾α，求证：犾∥β．     ２．判断下列命题是否正确，并说明理由：    （１）若平面α内的两条直线分别与平面 β 平行，则α与 β 平行；    （２）若平面α内有无数条直线与平面 β 平行，则α与 β 平行；     （３）平行于同一条直线的两个平面平行；    （４）过已知平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行；     （５）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面．    ３．证明：夹在两个平行平面间的平行线段相等．     ４．如图，设犈，犉，犈，犉 分别是长方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 的棱犃犅，犆犇，  １ １ １ １ １ １    犃犅，犆犇 的中点．求证：平面犈犇∥平面犅犉．  １ １ １ １ １ １                        （第４题） （第５题）     ５．如图，在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，犕为棱犃犅的中点，试作出平面   １ １ １ １   犃犕犆 与平面犃犅犆犇的交线犾，并说明理由．  １ １       ２．两平面垂直    发射人造地球卫星时，要使卫星的轨道平面与地球的赤道平面     成一定的角度（图１３ ２ ４９）；使用笔记本电脑时，为便于操作，需将     显示屏打开一定的角度（图１３ ２ ５０）．那么，如何刻画两个平面所    形成的这种“角”呢？    平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都     叫作半平面，当其中一个半平面绕着这条直线旋转时，两个半平面就     形成了一定的“角度”．      １７８                       １３  立体几何初步 第 章                                图１３ ２ ４９ 图１３ ２ ５０     一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图     形叫作二面角（ｄｉｈｅｄｒａｌａｎｇｌｅ），这条直线叫作二面角的棱，每个半平    面叫作二面角的面．    如图１３ ２ ５０，棱为犃犅、面为α， β 的二面角，记作二面角α     犃犅β ，也可以记作犕 犃犅 犖．     笔记本电脑打开时，我们感到两个面板构成的二面角在逐渐变    大．如何来刻画这个二面角的大小呢？     我们看到，随着张口的增大，∠犕犃犖在逐渐增大（图１３ ２    ５０）．当二面角α 犃犅 β 确定时，∠犕犃犖也随之确定，故可用     ∠犕犃犖度量二面角α犃犅β．    一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂     直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角（ｐｌａｎｅ    ａｎｇｌｅ）．     图１３ ２ ５１中，犗犃⊥犾，犗犅⊥犾，故∠犃犗犅就是二面角α犾β     的平面角．     思 考 二面角α犾β的平面角∠犃犗犅的大小与点犗的位置有关吗     （图１３ ２ ５１）？                        图１３ ２ ５１ 图１３ ２ ５２      二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少    度，就说这个二面角是多少度．我们约定，二面角α的大小范围是０°≤    α≤１８０°．平面角是直角的二面角叫作直二面角．     木工用活动角尺测量工件的两个面所成的角时，实际上就是测     量这两个面所成二面角的平面角（图１３ ２ ５２）．１９７０年４月２４日，      １７９                        必修第二册 数学    我国用自制“长征１号”运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射了中    国第一颗人造地球卫星———“东方红１号”，这标志着我国在征服太空    的道路上迈出了巨大的一步，跻身世界航天先进国家之列．“东方红１     号”轨道平面的倾斜角是６８．５°，就是说卫星轨道平面与地球赤道平面    所成的二面角是６８．５°．      例３ 如图１３ ２ ５３，在正方体犃犅犆犇 犃′犅′犆′犇′中：     （１）求二面角犇′犃犅 犇的大小；    （２）求二面角犃′犃犅 犇的大小．     解 （１）在正方体犃犅犆犇 犃′犅′犆′犇′中，犃犅⊥平面犃犇′，所以    犃犅⊥犃犇′，犃犅⊥犃犇．     图１３ ２ ５３ 因此，∠犇′犃犇为二面角犇′犃犅 犇的平面角．     先找出或作出二 在Ｒｔ△犇′犃犇中，∠犇′犃犇＝４５°，所以二面角犇′犃犅 犇的大   面角的平面角，再求 小为４５°．     出平面角的大小． （２）同理，∠犃′犃犇为二面角犃′犃犅 犇的平面角．     因为∠犃′犃犇＝９０°，所以二面角犃′犃犅 犇的大小为９０°．     一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两     个平面互相垂直．除了根据定义外，还有其他方法判断两个平面互相    垂直吗？    为什么教室的门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直（图     １３２５４）？通过观察可以发现，门在转动的过程中，门轴始终与地面     垂直．    一般地，我们可以证明        平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面过另一个平面    的垂线，那么这两个平面垂直．                          图１３ ２ ５４      用符号表示为（图１３ ２ ５４）：      犾⊥α烌   烍α⊥β．   犾β烎     建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙是否     和水平面垂直（图１３ ２ ５５），就是依据这个面面垂直的判定定理．      １８０                       １３  立体几何初步 第 章                      图１３ ２ ５５ 图１３ ２ ５６     例４ 如图１３ ２ ５６，在正方体犃犅犆犇 犃′犅′犆′犇′中，求证：     平面犃′犆′犆犃⊥平面犅′犇′犇犅．     证明      犃犃′⊥平面犃犅犆犇烌 犃犃′⊥犅犇 烌   烍  犅犇平面犃犅犆犇烎 犃犆⊥犅犇 烍犅犇⊥平面犃′犆′犆犃烌    烍  犃犃′∩犃犆＝犃烎 犅犇平面犅′犇′犇犅烎     平面犃′犆′犆犃⊥平面犅′犇′犇犅．     上例说明，要证明“面面垂直”，只要证明“线面垂直”，即将平面     与平面垂直的问题转化为直线与平面垂直的问题．    如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线是否一定垂直于另    一个平面？      答案是否定的（图１３ ２ ５７）．事实上，我们有                    图１３ ２ ５７       平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，如果一个平     面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另    一个平面垂直．        已知：α⊥β ，α∩β＝犾，犃犅α，犃犅⊥犾，犅为垂足（图１３ ２ ５８）．    求证：犃犅⊥β．    分析 因为犃犅⊥犾，所以要证犃犅⊥β ，只需在 β 内找一条与犾相     交的直线垂直于犃犅．     证明 在平面 β 内作犅犆⊥犾，则∠犃犅犆是二面角α犾β 的平面角．   图１３ ２ ５８ 由α⊥β ，可知犃犅⊥犅犆．     又因为犃犅⊥犾，且犾∩犅犆＝犅，所以犃犅⊥β．     平面与平面垂直的性质定理说明，由“面面垂直”可以得到“线面     垂直”．      １８１                        必修第二册 数学   这种面面位置关系与线面位置关系的相互转化，是解决空间图     形问题的基本思想．      例５ 证明：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内    一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．     已知：α⊥β ，犘∈α，犘∈犪，犪⊥β （图１３ ２ ５９）．    求证：犪α．                     图１３ ２ ５９     证明 设α∩β＝犮．过点犘在平面α内作直线犫⊥犮．   能否用“反证法”   根据平面与平面垂直的性质定理，有犫⊥β．  来证明？   因为经过一点有且只有一条直线与平面 垂直，  β   所以直线犪与直线犫重合，即犪α．       练 习 １．房间里相邻的两面墙及地面可以构成几个二面角？分别指出这些二面角的   面、棱和平面角．     ２．为使门在打开的过程中门所在平面都与地面垂直，在安装门的时候，固定门    一边的两个合页所在的直线与地面是什么关系？为什么？    ３．如图，在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中：   １ １ １ １  （１）平面犃犃犅犅 与平面犃犅犆犇是否垂直？为什么？   １ １  （２）平面犃犅犆犇 与平面犅犆犆犅 是否垂直？为什么？   １ １ １ １   （３）平面犃犅犆犇 与平面犃犅犆犇是否垂直？为什么？  １ １ １ １   （４）平面犃犅犆犇 与平面犃犅犅犃 是否垂直？为什么？  １ １ １ １   ４．判断下列命题是否正确，并说明理由：     （第３题） （１）若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；   （２）若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；     （３）若α∥α，β∥β，α⊥β，则α⊥β．  １ １ １ １   ５．如图，α，β，γ为平面，α∩β＝犾，α∩γ＝犪，β∩γ＝犫，犾⊥γ，指出图中    哪个角是二面角α犾β 的平面角，并说明理由．                       （第５题） （第６题）       ６．如图，α⊥β，α∩β＝犾，犃犅α，犃犅⊥犾，犅犆β，犇犈β，犅犆⊥犇犈．   求证：犃犆⊥犇犈．      １８２                       １３  立体几何初步 第 章      习题１３２（４）         感受·理解 １．判断下列说法是否正确：    （１）若平面α内的两条相交直线分别平行于平面 β 内的两条相交直线，则    平面α平行于平面 β；    （２）若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面互相平行．    ２．已知平面α，β，直线犾，且α∥β，犾β，犾∥α，求证：犾∥β．    ３．如图，在多面体犃犅犆 犃′犅′犆′中，如果在平面犃犅犅′犃′内，∠１＋∠２＝    １８０°，在平面犅犆犆′犅′内，∠３＋∠４＝１８０°，那么平面犃犅犆和平面犃′犅′犆′    有什么关系？为什么？                     （第３题） （第４题）     ４．如图，犃犅∥α，犆犇α，犃犅与犆犇不平行，犕，犖，犘分别为线段犃犆，    犆犅，犅犇的中点．求证：平面犕犘犖∥平面α．     ５．已知平面α，β，γ，且α∥β，β∥γ．求证：α∥γ．   ６．如图，在三棱锥犛犃犅犆中，犕，犖，犘分别为棱犛犃，犛犅，犛犆的中点．    （１）求证：平面犕犖犘∥平面犃犅犆；    （２）求证：△犕犖犘∽△犃犅犆；    （３）若将本题中的三棱锥改为四棱锥，有怎样类似的结论？                      （第６题） （第７题）    ７．如图，已知犃犅是平面α的垂线，犃犆是平面α的斜线，犆犇α．    （１）若犆犇⊥犃犆，求证：平面犃犅犆⊥平面犃犆犇；    （２）若平面犃犅犆⊥平面犃犆犇，求证：犆犇⊥犃犆．    ８．在四棱锥犘犃犅犆犇中，若犘犃⊥平面犃犅犆犇，且四边形犃犅犆犇是菱形．    求证：平面犘犃犆⊥平面犘犅犇．    ９．如图，在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，求证：平面犅犃犆⊥平面犅犅犇犇．   １ １ １ １ １ １ １                     （第９题） （第１０题）    １８３                        必修第二册 数学    １０．如图，在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，求二面角犆 犅犇 犆的正切值．  １ １ １ １ １    思考·运用 １１．（１）已知平面外的一条直线上有两点到这个平面距离相等，试判断这条直    线与该平面的位置关系；    （２）已知一个平面内有三点到另一平面距离相等，试判断这两个平面的位    置关系．    １２．如图，在三棱柱犃犅犆 犃′犅′犆′中，点犇，犈分别是犅犆与犅′犆′的中点．     求证：平面犃′犈犅∥平面犃犇犆′．                       （第１２题） （第１３题）     １３．如图，有一块长方体的木料，经过木料表面犃犅犆犇 内的一点犘，在这个   １ １ １ １   面内画线段，使其与木料表面犃犅犆犇内的线段犈犉平行，应该怎样画线？     １４．已知平面α，β，γ，α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝犾．求证：犾⊥γ．    探究·拓展 １５．如图，在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，犗为犅犇的中点，问：在棱犃犃 上   １ １ １ １ １  是否存在一点犕，使平面犕犅犇⊥平面犗犆犇？如果存在，求出犃犕∶犕犃   １ １ １   的值；如果不存在，请说明理由．    １６．（１）证明：如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相    垂直；    （２）若将（１）中的条件改为“如果一个平面与另一个平面的垂面平行”，结论    是否仍然成立？     １７（探究题）用一个平面截正方体，截面的形状会是什么样的？  （第１５题）  请你给出截面图形的分类原则，找到截得这些形状截面的方法，画出这些     截面的示意图．例如，可以按照截面图形的边数进行分类：    （１）如果截面是三角形，可以截出几类不同的三角形？为什么？    （２）如果截面是四边形，可以截出几类不同的四边形？为什么？    （３）能否截出五边形？为什么？    （４）是否存在正六边形的截面？为什么？     （５）有没有可能截出边数超过６的多边形？为什么？                                    １８４                       １３  立体几何初步 第 章       １３．３      空间图形的表面积和体积          我们已经学习了简单空间图形（柱、锥、台、球）的有关概念和结    构特征．本节将学习简单空间图形的表面积和体积．表面积是指空间     图形表面的面积，体积是指空间图形所占空间的大小．那么，     ● 怎样计算简单空间图形的表面积和体积呢？       １３．３．１ 空间图形的表面积         棱柱、棱锥和棱台这些简单空间图形属于简单多面体，它们的表    面是由平面图形构成的．我们一般把多面体展开成平面图形得到这     个多面体的展开图，通过计算展开图的面积求多面体的表面积．    那么，     ● 如何得到棱柱、棱锥和棱台的平面展开图？      对于特殊的简单多面体，可以沿着多面体的某些棱将其剪开，得  对空间图形割补    或将其展开为平面图 到平面展开图．对于棱柱、棱锥、棱台，通常沿一条侧棱剪开将其侧面    形，是求空间图形面 展在平面上，这个展开图的面积就是该多面体的侧面积．     积或体积的一种重要  １．直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积   的方法．  侧棱和底面垂直的棱柱叫作直棱柱（ｒｉｇｈｔｐｒｉｓｍ）．特别地，底面     为正多边形的直棱柱叫作正棱柱（ｒｅｇｕｌａｒｐｒｉｓｍ）．直棱柱的侧棱长就    是直棱柱的高（两底面所在平面之间的距离）．    将直棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展在一个平面上，展开图的     面积就是直棱柱的侧面积．由图１３ ３ １可知，直棱柱的侧面展开图    是矩形，这个矩形的长等于直棱柱的底面周长犮，宽等于直棱柱的高     犺．因此，直棱柱的侧面积是        犛 ＝犮犺．   直棱柱侧                           图１３ ３ １ 图１３ ３ ２      １８５                        必修第二册 数学    如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底    面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥（ｒｅｇｕｌａｒｐｙｒａｍｉｄ）．正棱锥的侧    棱长都相等，侧面均为全等的等腰三角形．     将正棱锥的侧面沿一条侧棱剪开后展在一个平面内（图１３ ３    ２），展开图的面积就是正棱锥的侧面积．如果正棱锥的底面周长为犮，     斜高（即侧面等腰三角形底边上的高）为犺′，由图１３ ３ ２可知它的    侧面积是       １   设正狀棱锥的底 犛 正棱锥侧 ＝ ２ 犮犺′．     面边长为犪，则侧面展     开图的面积等于 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫作   １ １  狀· 犪犺′＝ 犮犺′． 正棱台（ｒｅｇｕｌａｒｆｒｕｓｔｕｍｏｆｐｙｒａｍｉｄ）．正棱台的侧棱长都相等，侧面  ２ ２   均为全等的等腰梯形．     若设正棱台的上、下底面的周长分别为犮′，犮，斜高为犺′，则其侧     面积是（图１３ ３ ３）       １  犛 ＝ （犮＋犮′）犺′．  正棱台侧 ２                             图１３ ３ ３     正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积公式之间的关系可用图     １３ ３ ４表示：              图１３ ３ ４    思 考 对于一般的棱柱、棱锥和棱台，如何计算它们的侧面积？      ２．圆柱、圆锥和圆台的侧面积    对于直棱柱、正棱锥和正棱台，可将其侧面沿一条侧棱剪开后展     在平面上，通过计算展开图的面积得到侧面积．圆柱、圆锥和圆台属    于旋转体，那么，圆柱、圆锥和圆台的侧面能否剪开后展在平面上呢？     圆柱、圆锥、圆台是由矩形、直角三角形、直角梯形分别绕它一边、    一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周形成的空间图形，它们      １８６                       １３  立体几何初步 第 章   的侧面可以沿其母线剪开后展在平面上，这时展开图的面积就是它们     的侧面积．这样，我们可以得到它们的侧面积公式（图１３ ３ ５），它们    之间的关系与图１３ ３ ４类似．                                     图１３ ３ ５     例１ 设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是１．０ｍ，底面的边长     是１．５ｍ，制造这种塔顶需要多少平方米铁板（精确到０．１ｍ２ ）？     分析 本题即计算正四棱锥的侧面积，根据公式，只需计算斜    高．为此，在正四棱锥中作出相应的直角三角形，再解三角形即可．    解 如图１３ ３ ６，犛表示塔的顶点，犗表示底面的中心，则犛犗     是高．设犛犈是斜高．                       图１３ ３ ６     Ｒｔ△犛犗犈包含了 在Ｒｔ△犛犗犈中，根据勾股定理，得     高、斜高和底面正多 （ ）    边形内切圆半径之间 犛犈＝ 槡１．５２ ＋１．０２ ＝１．２５（ｍ），   ２  的数 量 关 系，在 图     １３ ３ ６中还能作出 １ １  所以犛 ＝ 犮犺′＝ ×（１．５×４）×１．２５＝３．７５≈３．８（ｍ２ ）．  哪 些 类 似 的 直 角 正棱锥侧 ２ ２     三角形？   答 制造这种塔顶需要约３．８ｍ２ 铁板．      例２ 一个直角梯形上底、下底和高之比为２∶４∶槡５．将此直角    梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台（图１３ ３ ７），求     这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比．     解 由题意，可设直角梯形上底、下底和高分别为２狓，４狓，槡５狓，     它们分别是圆台的上、下底面半径和高．      １８７                        必修第二册 数学    在图１３ ３ ７中，过点犅作犅犆⊥犗犃于点犆．                   图１３ ３ ７     在Ｒｔ△犃犅犆中，      犃犆＝犗犃－犗犆＝犗犃－犗′犅＝４狓－２狓＝２狓，      犅犆＝犗′犗＝槡５狓，        槡  所以 犃犅＝槡犃犆２＋犅犆２ ＝ （２狓） ２＋（槡５狓） ２ ＝３狓．       因此，犛 上 ∶犛 下 ∶犛 侧 ＝［π（２狓） ２ ］∶［π（４狓） ２ ］∶［π（２狓＋４狓）×３狓］   ＝２∶８∶９．     即这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比为２∶８∶９．      由上述两例可以看出，空间图形的有关计算问题实际上可以转     化为平面图形的计算问题，这是解决空间图形计算问题最常用也是    最基本的方法．       练 习 １．已知圆柱的高和底面半径分别为犪，犫，求其侧面积．    ２．已知正四棱柱的底面边长是３ｃｍ，侧面的对角线长是３槡５ｃｍ，求这个正四    棱柱的侧面积．     ３．求底面边长为２ｍ，高为１ｍ的正三棱锥的全面积．    ４．如图，犈，犉分别为正方形犃犅犆犇的边犅犆，犆犇的中点，沿图中虚线折起，使    犅，犆，犇三点重合，此时４个面围成怎样的空间图形？     ５．如果用半径为狉的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，这个圆锥筒的高是多少？    ６．已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为８ｃｍ和１８ｃｍ，侧棱长为    （第４题） １３ｃｍ，求它的侧面积．     圆锥、圆台侧面积公式的推导   链 接     先考察半径为犚、弧长为犱的扇形的面积（图１３ ３ ８）．     因为弧长为２π犚的扇形（圆）的面积为π犚２ ，所以弧长为犱的扇    形的面积为     犱 １  犛 ＝ ·π犚２＝ 犚犱．   扇形 ２π犚 ２     圆锥侧面展开图是扇形（图１３ ３ ９），这个扇形的半径为圆锥     的母线长犾，扇形的弧长等于圆锥底面的周长犮＝２π狉，故圆锥的侧面     积为      １８８                       １３  立体几何初步 第 章    １  犛 ＝ 犮犾＝π狉犾．  圆锥侧 ２                               图１３ ３ ８ 图１３ ３ ９ 图１３ ３ １０     圆台侧面展开图是扇环（图１３ ３ １０），其面积为两个扇形的面     积之差，即     １ １ １ １   犛 ＝ 犮（犾＋狓）－ 犮 ′ 狓＝ 犮犾＋ （犮－犮 ′ ）狓，  圆台侧 ２ ２ ２ ２      其中，狓为图１３ ３ １０中小圆锥的母线长．    狉 狓＋犾 犮 狓＋犾  由相似三角形的性质可知， ＝ ，即 ＝ ，   狉 ′ 狓 犮 ′ 狓     犮－犮 ′ 犾   所以 ＝ ，即（犮－犮 ′ ）狓＝犮 ′ 犾．于是  犮 狓  ′     １ １ １   犛 ＝ 犮犾＋ 犮 ′ 犾＝ （犮＋犮 ′ ）犾，  圆台侧 ２ ２ ２    或     犛 ＝π（狉＋狉 ′ ）犾．   圆台侧         １３．３．２ 空间图形的体积         在小学和初中，我们已经知道长方体的体积为犞 ＝犪犫犮＝   长方体   犛犺，这里犪，犫，犮表示长方体的长、宽和高，犛，犺分别表示长方体的    底面积和高．    长方体体积公式是计算其他空间图形体积的基础，我们将上述     结论作为已知事实来运用，那么，     ● 如何推出其他简单空间图形的体积公式呢？       这一点可用祖暅 １．柱、锥、台和球的体积    原理来说明．有关祖 棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面    暅原理的介绍见本节 积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积（图１３３ １１）．     “阅读”． 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积犛和高犺的积，即      １８９                        必修第二册 数学                       图１３ ３ １１       犞 ＝犛犺．  柱体      类似地，底面积相等、高也相等的两个锥体，它们的体积也相等     （图１３３ １２）．                      图１３ ３ １２     １   由于底面积为犛，高为犺的三棱锥的体积为犞 ＝ 犛犺，所以  三棱锥 ３       １  犞 ＝ 犛犺．  锥体 ３      思 考 试将三棱柱分割为３个三棱锥，你能说明这３个三棱锥的体积相     １   等吗？由此说明三棱锥的体积是等底同高的三棱柱的体积的 ．  ３     台体（棱台、圆台）的体积可以转化为锥体的体积来计算（图１３     ３ １３）．                      图１３ ３ １３      如果台体的上、下底面面积分别为犛′，犛，高是犺，可以推得它的     体积是       １  犞 ＝ 犺（犛＋槡犛犛′＋犛′）．   台体 ３        １９０                       １３  立体几何初步 第 章    柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系可用图１３ ３ １４表示：               图１３ ３ １４     做一个倒沙实验 我们能够证实这样一个结论：一个底面半径和高都等于犚的圆     检验这一结果，并尝 柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几   试用祖暅原理证明这 何体的体积与一个半径为犚的半球的体积相等（图１３ ３ １５）．     个结论．                 图１３ ３ １５     由此得到       １ １ ２  犞 ＝π犚２·犚－ π犚２·犚＝ π犚３ ，  ２ 球 ３ ３     所以        ４  犞 ＝ π犚３．   球 ３       ２．球的表面积     设想一个球由许多顶点在球心，底面都在球面上的“准锥体”组    成，这些“准锥体”的底面并不是真正的多边形，但只要这些“准锥体”     的底面足够地小，就可以把它们近似地看成棱锥（图１３ ３ １６）．                      图１３ ３ １６      这时，这些“准锥体”的高趋近于球半径犚，底面积犛，犛，犛，…   １ ２ ３  的和趋近于球面积，所有这些“准锥体”的体积的和趋近于球的体积，     因此     ４ １ １ １ １   π犚３＝犞 ＝ 犚犛＋ 犚犛＋ 犚犛＋… ＝ 犚犛 ，  ３ 球 ３ １ ３ ２ ３ ３ ３ 球面      所以      １９１                        必修第二册 数学      犛 球面 ＝４π犚２．       球面被经过球心 它表明球的表面积是球的大圆面积的４倍．     的平面截得的圆叫作 例３ 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯（图１３ ３ １７）共重    球的大圆，大圆的半  ６ｋｇ．已知毛坯底面正六边形边长是１２ｍｍ，高是１０ｍｍ，内孔直径是   径等于球半径．   １０ｍｍ．那么这堆毛坯约有多少个（铁的密度是７．８ｇ／ｃｍ３ ）？    分析 六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱    的体积的差，再由密度算出一个六角螺帽毛坯的质量即可．       解 因为犞 ＝ 槡３ ×１２２×６×１０≈３．７４１×１０３ （ｍｍ３ ），   正六棱柱 ４   （ ）   １０２   犞 ≈３．１４× ×１０＝０．７８５×１０３ （ｍｍ３ ），  圆柱 ２     所以一个毛坯的体积为      犞＝３．７４１×１０３－０．７８５×１０３     ＝２．９５６×１０３ （ｍｍ３ ）＝２．９５６（ｃｍ３ ）．     从而这堆毛坯约有６×１０３÷（７．８×２．９５６）≈２６０（个）．     答 这堆毛坯约有２６０个．                      图１３ ３ １７ 图１３ ３ １８      例４ 图１３ ３ １８是一个奖杯的直观图，它由球、长方体和正     四棱台构成．已知球的半径为３ｃｍ，长方体的长、宽和高分别为８ｃｍ，    ６ｃｍ，１８ｃｍ，正四棱台的上、下底面边长和高分别为１１ｃｍ，１５ｃｍ，    ５ｃｍ，试计算这个奖杯的体积（精确到０．０１ｃｍ３ ）．     １   解 因为犞 ＝ ×５×（１５２＋１５×１１＋１１２ ）  正四棱台 ３    ≈８５１．６６７（ｃｍ３ ），     犞 ＝６×８×１８＝８６４（ｃｍ３ ），   长方体   ４   犞 球 ＝ ３ π×３３≈１１３．０９７（ｃｍ３ ），     所以这个奖杯的体积为       犞＝犞 ＋犞 ＋犞 ≈１８２８．７６（ｃｍ３ ）．  正四棱台 长方体 球    答 这个奖杯的体积约为１８２８．７６ｃｍ３．      １９２                       １３  立体几何初步 第 章   计算组合体的体积时，应考虑将其转化为计算柱、锥、台、球等简     单空间图形的体积．      练 习 １．用一张长１２ｃｍ、宽８ｃｍ的矩形铁皮围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积．     ２．已知一个铜质的五棱柱的底面积为１６ｃｍ２，高为４ｃｍ，现将它熔化后铸成一    个正方体的铜块，求铸成的铜块的棱长．（不计损耗）    ３．已知一个六棱锥的高为１０ｃｍ，底面是边长为６ｃｍ的正六边形，求这个六棱    锥的体积．    ４．《算数书》竹简于２０世纪８０年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存     最早的成系统的数学典籍，其中记载有求“囷（狇ū狀）盖”的术：置如其周，令相    乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长犔与    １   高犺，计算其体积犞的近似公式犞≈ ３６ 犔２犺．它实际上是将圆锥体积公式中     的圆周率π近似取为多少？   ５．一个正四棱台形油槽可以装煤油１９０Ｌ，假如它的上、下底面边长分别为     ６０ｃｍ和４０ｃｍ，求它的深度．    ６．如果钢球由于热膨胀而使半径增加千分之一，它的体积增加约几分之几？    ７．计算地球的表面积（地球的半径约为６３７１ｋｍ）．       阅 读 祖 暅 原 理     取一摞书或一摞纸张堆放在桌面上，将它按如图１３ ３ １９所示     的方式改变一下形状，这时高度没有改变，每页纸的面积也没有改    变，因而这摞书或纸张的体积与变形前相等．                     图１３ ３ １９      我国齐梁时代的数学家、祖冲之的儿子祖暅（暅，ɡè狀ɡ）提出一条    原理：“幂势既同，则积不容异．”这里“幂”指水平截面的面积，“势”指    高．因此，这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水     平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等（图１３ ３ ２０）．                        图１３ ３ ２０      祖暅不仅首次明确地提出了这一原理，还成功地将其应用于球      １９３                        必修第二册 数学    体积的推算．我们把这条原理称为祖暅原理．    祖暅原理在西方文献中称“卡瓦列利原理”，它在１６３５年由意大    利数学家卡瓦列利（Ｂ．Ｃａｖａｌｉｅｒｉ，１５９８—１６４７）独立提出，对微积分的     建立有重要影响．    以长方体体积公式和祖暅原理为基础，我们就可以求出柱、锥、     台、球等空间图形的体积．       习题１３３         感受·理解 １．正六棱柱形的除锈滚筒（两端是封闭的），筒长１．６ｍ，底面外接圆半径是    ０．４６ｍ，制造这个滚筒需要多少平方米铁板（精确到０．１ｍ２）？    ２．一个正六棱锥的底面边长为６ｃｍ，高为１５ｃｍ，画出它的直观图（比例尺为    １∶３），并计算该棱锥的体积．    ３一个正三棱锥的高和底面边长都为犪，求它的侧棱和底面所成角的余弦值．    ４．要电镀螺杆（尺寸如图，单位：ｍｍ），如果每平方米用锌０．１１ｋｇ，电镀１００     个这样的螺杆需要锌多少克（精确到０．１ｇ）？                         （第４题） （第５题）     ５．如图，某展览馆外墙为正四棱锥的侧面，四个侧面均为底边长为３５．４ｍ，高    为２７．９ｍ的等腰三角形．试求：    （１）展览馆的高度；    （２）外墙的面积；    （３）该四棱锥的体积．     ６．（１）火星的半径约是地球的一半，地球表面积约是火星表面积的多少倍？   （２）木星的表面积约是地球的１２０倍，它的体积约是地球的多少倍？     ７．有一种空心钢球，质量为１４２ｇ，测得外径为５．０ｃｍ，求它的内径（钢的密度     为７．９ｇ／ｃｍ３，结果精确到０．１ｃｍ）．   ８．用油漆涂１００个圆台形水桶（桶内外侧都要涂），桶口直径为３０ｃｍ，桶底直    径为２５ｃｍ，母线长是２７．５ｃｍ．已知每平方米需用油漆１５０ｇ，共需用油漆    多少千克（精确到０．１ｋｇ）？     思考·运用 ９．已知三棱柱犃犅犆 犃′犅′犆′的侧面均为矩形，求证：该三棱柱的任意两个侧     面的面积之和大于第三个侧面的面积．    １０．如图，某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏粗盐（供融化高速公路上的积雪之    用）．现有的仓库的底面直径为１２ｍ，高４ｍ．养路处拟建一个更大的圆锥形    仓库，以存放更多的粗盐．现有两个方案：一是新建仓库的底面直径比原来    的大４ｍ（高不变），二是高度增加４ｍ（底面直径不变）．      １９４                       １３  立体几何初步 第 章    （１）分别计算按这两个方案所建仓库的体积；    （２）分别计算按这两个方案所建仓库的表面积；    （３）哪一个方案更经济些？                       （第１０题）     探究·拓展 １１．过年了，小张准备去探望奶奶，到商店买了一盒点心．售货员为他做了捆扎     （如图（１）所示），并在角上配了一个花结．售货员说，这样的捆扎不仅漂    亮，而且比一般的十字捆扎（如图（２）所示）包装更节省彩绳．你同意这种    说法吗？请给出你的理由．（注：点心盒的高小于长、宽）                   （第１１题）     １２．（阅读题）假设半径为狉的圆的面积为犃＝π狉２，我们用下面的方法推出圆     的周长公式犮＝２π狉．                     （第１２题）     如图，设犺是一个正数，考察半径分别为狉和狉＋犺的两个同心圆所围     成的圆环（图中阴影区域）．这个圆环的面积为     犅＝π（狉＋犺）２－π狉２＝２π狉犺＋π犺２．     可以看出，犛＜犅＜犛，其中犛是以小圆周长为长、犺为宽的矩形的面   １ ２ １  积，犛是以大圆周长为长、犺为宽的矩形的面积．   ２  所以有犮犺＜２π狉犺＋π犺２＜犆犺，即犮＜２π狉＋π犺＜犆．     如果犺越来越小（趋于０），那么大圆的周长犆趋近于小圆的周长犮，且    π犺趋于０，因此我们得到    犮≤２π狉≤犮，     从而犮＝２π狉．    ４  用类似的方法证明：假设半径为犚的球的体积为犞＝ π犚３，那么球  ３    的表面积为犛＝４π犚２．      １９５                        必修第二册 数学    应用与建模 拟柱体体积公式     在日常生活中，我们会遇到沙石堆、建筑垃圾堆等体积的计算问     题．虽然它们有两个面平行，但一般不是棱台．    例如，某地区堆着一堆建筑垃圾，影响市容．这堆垃圾长为８０ｍ，     宽为２０ｍ，堆高估计１ｍ，上底长、宽比下底长、宽各少２ｍ（图１）．现    在要彻底清除这堆垃圾，用４ｔ卡车装运，约需要装几车？（１ｍ３ 建筑     垃圾约１．５ｔ）    再如，建材买卖中，售沙人常将沙堆成形如图１所示的上、下底面    均为矩形的拟柱体，买沙人测量时，测量此拟柱体的中截面的面积为     犛（其长、宽分别为犪，犫）以及它的高犺，那么用犛犺作为此拟柱体的体     积合理吗？对谁有利？     拟柱体的侧面是    三角形、梯形或平行    四边形．               图１ 图２     如图２，所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体    （ｐｒｉｓｍａｔｏｉｄ）．在这两个平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫    作拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高．像图１所     示的两底面是矩形并且对应边平行的拟柱体也称为长方台．     利用棱锥体积公式，我们可以得到上、下底面及中截面的面积为    犛′，犛，犛，高为犺的拟柱体的体积是   ０    １  犞 ＝ 犺（犛＋４犛＋犛′）． （１）  拟柱体 ６ ０      由公式的结构特征容易想到拟柱体体积可表示为三个体积    １ １ ４   犛犺，犛′犺，犛犺之和．其中前面两个不难由中截面上一点与上、下  ６ ６ ６ ０    １ 犺１ 犺   底构成的棱锥而得到（即 犛· ，犛′· ）．于是只需证明此点与各  ３ ２ ３ ２    ４   侧面构成的棱锥体积之和为 犛犺即可．  ６ ０    不妨考虑图３中棱锥犘 犅′犆′犇犆，这时以侧面为底来计算体积     是不妥的，应考虑换底，这个底应在中截面上．于是先将该四棱锥适    当分割，再用“换底求积法”转化．    连接犅′犇，则犛 ＝４犛 ，故   １ 犅′犆′犇犆 △犅′犆犇  １ １   １ 犺 ４  犞 ＝４犞 ＝４× × 犛 ＝ 犛 ·犺．   图３ 犘犅′犆′犇犆 犘犅′犆犇 ３ ２ △犘犆犇 ６ △犘犆犇  １ １ １ １ １ １     １９６                       １３  立体几何初步 第 章    为 什 么 梯 形 将这类棱锥相加即得以犘为顶点、各侧面为底面的棱锥体积之    犅′犆′犇犆的 面 积 是 ４  和为 犛犺．   △犅′犆犇 的面积的 ６ ０   １ １  ４倍？ 试解释棱柱、棱锥和棱台的体积公式也都可以写成（１）式，并用     （１）式解决开头提出的问题．        阅 读 几何学的发展      ◆ 几何学的起源      几何学起源于四大文明古国之一的古埃及．古埃及尼罗河两岸     土地肥沃，但每年河水泛滥，导致两岸田地被淹，于是需要对田地重    新进行测量，这就是几何学的起源．    英文Ｇｅｏｍｅｔｒｙ从希腊语演变而来，其原意是土地测量，我国明     朝徐光启将其译为“几何”．     四季的变化与农业有着密切的关系，天文学也随之产生．这就    需要人们必须识别东南西北这四个方向，古埃及人很早就知道了用     北极星来测定南北两个方向，据此可找到东西方向（只需作南北方    《周髀算经》为算 向的垂线）．古埃及人作垂线的方法是用三根绳子做一个三角形，这     经十书之一．中国最 个三角形的三边长度分别为３呎、４呎和５呎，那么３呎和４呎的边     古老的天文学和数学 就是相互垂直的．当时我国也已经用这种方法找到相互垂直的两条   著作，约成书于公元  线，这就是“勾股定理”．此定理载于我国最早的一部数学著作《周髀   前１世纪．  算经》，这与古埃及人的想法不谋而合，但那时没有人给出定理的详     细证明．      ◆ 欧几里得的《原本》      公元前３世纪，古希腊数学家欧几里得成为欧氏几何的创始人．    尽管在欧几里得以前，古希腊人已经掌握了一些几何知识，并开始用     各种方法证明这些几何命题．但是这方面的知识仅限于一些具体的    问题，并且是很粗糙、零碎的．欧几里得在前人积累的优秀成果的基     础上，按照逻辑系统把几何命题整理到一起，构成了历史上第一个数     学公理体系———《原本》．这是一部具有里程碑意义的著作，它标志着    欧氏几何的建立．    然而，欧氏几何并非无懈可击．首先，欧几里得给出的一些定义   欧几里得（Ｅｕｃｌｉｄ，   只是对几何形象的简单描述，并非是逻辑意义下的定义（如“线是有  约公元前３３０—公元    前２７５），古希腊数学 长度而没有宽度的”等）．其次，根据欧几里得创立的公理进行研究没     家，以其所著的《原 有出现任何矛盾，但可以发现其中有些公理是可以去掉的（如“所有    本》闻名于世． 的直角是相等的”这条公理）．虽然欧几里得的《原本》存在以上缺点，    但在两千多年前能够建立起如此完整的几何基础，不能不说是一件     了不起的工作．      １９７                        必修第二册 数学    ◆ 非欧几何的产生     非欧几何（“非欧几里得几何”的简称）可以追溯到对欧几里得第     五公设（平行公设）的怀疑．１９世纪德国数学家高斯（Ｋ．Ｆ．Ｇａｕｓｓ，    １７７７—１８５５）、俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（Ｎ．Ｉ．Ｌｏｂａｃｈｅｖｓｋｅｙ，    １７９２—１８５６）和匈牙利数学家波尔约（Ｊ．Ｂｏｌｙａｉ，１８０２—１８６０）各自独     立地发现了平行公理独立于其他公理，并可以使用不同的“平行公     理”来代替欧几里得的平行公理，这就意味着非欧几何的产生．    罗巴切夫斯基在１８２９年、波尔约在１８３２年独立地用平行公理的     逆命题，即用“通过直线外一点，可以引不止一条而至少是两条直线    平行于已知直线”来代替欧几里得平行公理．由此出发进行推导得出     了一连串新几何学的定理，这些定理整体形成了一个逻辑上无矛盾    的理论，一种新的几何学———非欧几里得几何学．在此几何学中，三     角形的内角和小于两个直角．罗巴切夫斯基称这种几何为虚拟几何，    后来被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何，也被称为双曲几何．     德国数学家黎曼（Ｇ．Ｆ．Ｂ．Ｒｉｅｍａｎｎ，１８２６—１８６６）是发现非欧几    何的另一个数学家．他于１８５４年发表的《关于几何基础的假设》的演     讲中，区分了无界和无限这两个概念，得到了另一种几何学———相容    几何学，也称为黎曼的非欧几何（椭圆几何）．这样的几何可以在球面     上实现．    在罗巴切夫斯基和黎曼创建了非欧几何之后，非欧几何对２０世     纪初物理学所发生的关于空间和时间的物理观念的改革等方面也发    挥了重大的作用．      ◆ 射影几何学的繁荣      １７世纪笛卡儿和费马的解析几何出现的时候，还有一门几何学    成为一门重要的学科，成为几何学中一个重要分支．这种几何与画图     关系密切．欧洲文艺复兴时期，透视学的兴起，为射影几何学的产生    和发展准备了充分的条件，人们把这种几何学称为射影几何．为其建     立和发展作出了重要贡献的是两个法国数学家———德沙格（Ｇ．     Ｄｅｓａｒｇｕｅｓ，１５９１—１６６１）和帕斯卡（Ｂ．Ｐａｓｃａｌ，１６２３—１６６２）．１９世纪    射影几何最终确立了．    平面射影几何的公理体系包括四条结合公理、七条顺序公理和     连续公理，主要研究的是图形的射影性质，即它们通过射影变换后，    仍然保持原来的图形性质的几何学分支学科．      ◆ 几何学的统一      在数学史上，罗巴切夫斯基被称为“几何学上的哥白尼”．这是因    为非欧几何的创立不只解决了两千年来一直悬而未决的平行公设问     题，更重要的是它引起了关于几何观念和空间观念的最深刻的革命．      １９８                       １３  立体几何初步 第 章    首先，非欧几何对于人们的空间观念产生了极其深远的影响．其次，    非欧几何的出现打破了长期以来只有一种几何学即欧氏几何学的    局面．     德国数学家克莱因（Ｃ．Ｆ．Ｋｌｅｉｎ，１８４９—１９２５）在一次名为“爱尔    朗根纲领”演讲中充分阐述了几何学统一的思想：所谓几何学，就是     研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问．这样一来，不    仅仅１９世纪出现的几种重要的、表面上互不相关的几何学被联系了     起来，而且变换群的任何一种分类也对应着几何学的一种分类．    另一位德国数学家希尔伯特（Ｄ．Ｈｉｌｂｅｒｔ，１８６２—１９４３）对几何    学的统一也产生了深远的影响，他所提出的统一几何学的方法是公     理化的方法．希尔伯特在其所著《几何基础》一书中提出的公理系统     包括２０条公理，且第一次提出了选择和组织公理系统的原则，利用    他这一研究方法，就可以得到相应的某种几何．这样一来，不仅可以    对原有的几门非欧几何进行统一处理，而且还可以从中引出新的几     何学．      ◆ 中西方几何学发展的差异     中国几何学以测量和计算面积、体积为中心任务，如《九章算术》     中“商功”（各种体积的求积公式及工程土方问题的算法）和“勾股”    （勾股问题及一次测望问题的法则）；而古希腊的传统则是重视形的     性质与各种性质间的相互关系，如欧几里得《原本》建立了用定义、公    理、定理和证明构成的演绎体系，成为近代数学公理化的楷模，对西     方思想文化发展产生了重要的影响．    中国古代数学著作通常以应用问题集的形式出现，可视为各类     数学模型的集成，其构造性观念和算法传统在科技日新月异的今天    日益显示出重要性．而《原本》的出现，使人们看到了数学的理性和思    维的力量，增强了人们利用思维推理获得成功的信念．         写 作 收集几何学发展的历史资料，撰写论文，论述几何学发展的过    程、重要结果，几何学发展中的重要人物、事件及其对人类文明的    贡献．     请参考下列主题，到图书馆或上互联网收集、阅读、整理资料并    撰写综述或制作演示课件．同时可以提出自己的发现或不能解决的     问题，以便课内交流和讨论．    （１）中国的几何学发展情况，中国历代数学家在几何学方面所做     的贡献；    （２）《九章算术》与《原本》的比较；     （３）与几何学有关的应用科学．           １９９                        必修第二册 数学            本章回顾          我们首先从直观上认识了柱、锥、台、球及其简单组合体的结构    特征．借助长方体模型，抽象出空间点、线、面的位置关系．学习了可     作为推理依据的４个基本事实，以及线线、线面、面面平行或垂直的判    定与性质定理，并运用这些知识解决有关空间位置关系的简单推理     论证及应用问题．                                                                              学习本章应注意体会“转化”的思想方法，如面面垂直与线面垂     直的转化、线面平行与线线平行的转化，并善于将空间问题转化为平    面问题来处理．       复 习 题         感受·理解 １．两个平面可以将空间分成 个部分．    ２．三条直线两两平行，过其中任意两条直线最多可确定 个平面．      ２００                       １３  立体几何初步 第 章    ３．若两个平行平面间的距离为１０，夹在这两个平面间的线段犃犅长为２０，则    犃犅与这两个平面所成的角为 ．    ４．在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 各个表面的对角线中，与犃犇 所成角为６０°   １ １ １ １ １  的有（ ）．    Ａ ． ４ 条 Ｂ ． ６ 条 Ｃ ． ８ 条 Ｄ．１０条     ５．若长方体三个面的面积分别是槡２，槡３，槡６，则长方体的体积为（ ）．     Ａ．槡６ Ｂ．６ Ｃ．６槡６ Ｄ．３６    ６．在棱长均为犪的正三棱锥犛 犃犅犆中，    （１）求证：犛犃⊥犅犆；    （２）求三棱锥犛犃犅犆的表面积．    ７．铁路路基是用碎石铺设的，其横断面为等腰梯形（如图）．已知南京到上海的     铁路长约３００ｋｍ，试估计所用碎石的方数（精确到１ｍ３）．                       （第７题）       ８．用长、宽分别是３πｃｍ与πｃｍ的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，试求圆柱底面   的半径．     ９．如图，某人打算用Ａ型材料制作一个近似于球形的热气球，半径为１０ｍ．    （１）制作这样一个热气球，大约需要多少材料？    （２）如果Ａ型材料的价格为２８０元／ｍ２，试估计用料的总费用．如果直径增     加４ｍ，那么需增加多少费用？                           （第９题） （第１０题）       １０．如图，在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇中，犕，犖分别为犃犅和犆犆的中点．  １ １ １ １ １ １   求证：犕犖∥平面犃犅犆犇．    １１．三个球的半径的比是１∶２∶３．求证：其中最大的一个球的体积是另两个球     的体积之和的３倍．     思考·运用 １２．如图，在三棱锥犃犅犆犇中，犈，犌分别是犅犆，犃犅的中点，点犉在犆犇上，    点犎在犃犇上，且有犇犉∶犉犆＝犇犎∶犎犃＝２∶３．试判定直线犈犉，犌犎，    犅犇的位置关系．      ２０１                        必修第二册 数学    １３．如图，在几何体犃犅犆犇犈犉中，四边形犃犅犆犇是边长为３的正方形，犈犉∥    ３  犃犅，平面犉犅犆⊥平面犃犅犆犇，△犉犅犆中犅犆边上的高犉犎＝２，犈犉＝ ．   ２   求该几何体的体积．                         （第１２题） （第１３题）       １４．如图，已知犪∥α，犪∥β，α∩β＝犾，求证：犪∥犾．                       （第１４题） （第１５题）      １５如图，在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇中，犈为棱犇犇的中点．求证：  １ １ １ １ １   （１）犅犇∥平面犈犃犆；  １   （２）平面犈犃犆⊥平面犃犅犆．   １  １６如图，在正三棱柱犃犅犆犃犅犆中，点犇在边犅犆上，犃犇⊥犆犇．   １ １ １ １   （１）求证：犃犇⊥平面犅犆犆犅；  １ １  （２）如果点犈是犅犆的中点，求证：犃犈∥平面犃犇犆．   １ １ １ １                       （第１６题） （第１７题）       １７．如图，在四棱锥犛犃犅犆犇中，犛犗⊥平面犃犅犆犇，犗为垂足，点犕在犛犗   上，且犛犕∶犕犗＝２∶１，经过点犕作与底面犃犅犆犇平行的平面α，分别交     棱犛犃，犛犅，犛犆，犛犇于点犃，犅，犆，犇．  １ １ １ １   （１）求证：四边形犃犅犆犇∽四边形犃犅犆犇；  １ １ １ １   （２）求棱锥犛犃犅犆犇 的体积与棱台犃犅犆犇 犃犅犆犇的体积之比．   １ １ １ １ １ １ １ １  １８．设犘，犃，犅，犆是球犗表面上的四个点，犘犃，犘犅，犘犆两两垂直，且犘犃＝    犘犅＝犘犆＝１ｍ，求球的体积与表面积．          ２０２                       １３  立体几何初步 第 章    探究·拓展 １９．《数书九章》天池测雨：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得    雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数．    假令盆口径二尺八寸，底径一尺二寸、深一尺八寸，接雨水深九寸，欲求平    地雨降几何？    （注：① 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；② 一尺等于十寸）     ２０．（操作题）用硬纸剪一个三边均不等的锐角三角形犃犗犅，然后以犃犅边上的   高犗犗′为折痕，折得两个直角三角形，使之直立于桌面上（如图），那么，     ∠犃犗′犅就是∠犃犗犅在桌面上的射影．转动其中一个直角三角形，观察    ∠犃犗犅与∠犃犗′犅的大小关系，是否存在某个位置，使∠犃犗犅＝∠犃犗′犅？                       （第２０题）     ２１．（探究题）类比是根据两个对象在某些方面的相同或相似，推出它们在其他    方面的相同或相似的一种推理方法．     由于类比推理所得结论的真实性并不可靠，因此它不能作为严格的数学    推理方法，但它是提出新问题和获得新发现的源泉．    平面几何和立体几何在研究对象和方法、构成图形的基本元素等方面    是相同或相似的，因此，在二者之间进行类比是研究它们性质的一种非常    有效的方法．     为了对二者进行类比，可以在它们的基本元素之间建立如下的类比   关系：      平面 空间    点→点或直线    直线→直线或平面    平面图形→平面图形或立体图形     请你探究：     （１）对勾股定理进行类比，在空间能得到什么结论？    （２）在平面内，不共线的三点确定一个圆．那么在空间有什么类似的命题？                                     ２０３                        必修第二册 数学            本章测试           一、填空题 １．四面体共有 条棱．    ２．与同一条直线都相交的两条直线的位置关系是 ．    ３．若用半径为２ｃｍ的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为     ｃｍ．    ４．若线段犃犅的端点犃，犅到平面α的距离分别为犪，犫，且点犃，犅在α的同    侧，则线段犃犅中点犕到平面α的距离是 ．     ５．把一个半径为犚的实心铁球铸成三个小球（不计损耗），三个小球的体积之    比为１∶３∶４，其中最小球的半径为 ．    ６．一个封闭的正三棱柱容器的高为２犪，内装水若干（如图（１），底面处于水平    状态）．将容器放倒（如图（２），一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱    的交点犈，犉，犉，犈 分别为所在棱的中点，则图（１）中水面的高度   １ １   为 ．                           （第６题）         二、选择题 ７．在空间，到一圆周上各点距离相等的点的集合表示的图形是（ ）．   Ａ．一个点 Ｂ．一条直线     Ｃ．一个平面 Ｄ．一个球面    ８．若犪，犫为两条异面直线，α，β 为两个平面，犪α，犫β，α∩β＝犾，则下列    结论中正确的是（ ）．    Ａ．犾至少与犪，犫中一条相交    Ｂ．犾至多与犪，犫中一条相交     Ｃ．犾至少与犪，犫中一条平行    Ｄ．犾必与犪，犫中一条相交，与另一条平行    ９．下列图形中，能确定直线犪，犫是异面直线的是（ ）．                      ２０４                       １３  立体几何初步 第 章    １０．如图，在正方形犃犅犆犇中，犈，犉分别为犅犆，犆犇的中点，犎为犈犉的中    点．沿犃犈，犈犉，犉犃将正方形折起，使犅，犆，犇重合于点犗，构成四面体，    则在四面体犃犗犈犉中，下列说法正确的是（ ）．    Ａ．犃犎⊥平面犗犈犉 Ｂ．犃犗⊥平面犗犈犉    Ｃ．犃犈⊥平面犗犈犉 Ｄ．犃犉⊥平面犗犈犉                           （第１０题） （第１１题）       三、解答题 １１．用斜二测画法画出图中平面四边形犗犃犅犆水平放置的直观图．     １２．如图，在三棱锥犛犃犅犆中，犃犅＝犃犆，犛犅＝犛犆．    求证：犛犃⊥犅犆．                        （第１２题） （第１３题）     １３．如图，在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，犘，犙，犚分别为棱犇犆，犅犆，   １ １ １ １ １ １  犅犆上异于顶点的点，犕，犖，犓分别为线段犃犘，犘犙，犙犚的中点．   １ １  求证：平面犕犖犓∥平面犃犅犆犇．     １４．一副三角板按如图所示的方式拼接，将△犅犆犇折起，使得二面角犃犅犆 犇    为直二面角．求证：平面犃犅犇⊥平面犃犆犇．                          （第１４题） （第１５题）     １５．如图，在四棱锥犘犃犅犆犇的底面犃犅犆犇中，犃犅∥犇犆．回答下面的问题：   （１）在侧面犘犃犅内能否作一条线段，使其与犇犆平行？如果能，请写出作     图过程并给出证明；如果不能，请说明理由．    （２）在侧面犘犅犆中能否作出一条线段，使其与犃犇平行？如果能，请写出    作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由．      ２０５                           第１４章 统 计                                                                                                                                                     书书书                                                                                                                                                                                         统计分析的形式随着时代的推移而变化着，但是“从数     据中提取一切信息”或者“归纳和揭示”作为统计分析的目     的却一直没有改变．      ———Ｃ．Ｒ．劳                统计数据显示，１９９０年以来，我国人口出生率持续下降，２０１０年     达到了１１．９‰的较低水平，２０１１年至今保持在１２‰左右，人口总量     增速放缓．                                        １９９０～２０１４年出生率走势图      １９９８年以来，每年新出生人口降至２０００万以下，年末总人口增    速降至１０‰以下并呈现持续下降趋势，至２０１４年增速降至５‰左右．    单独二孩政策的实施使２０１４年出生人口较２０１３年增加４８万人，但     年均新出生人口规模仍处于较低水平．     然而，根据２０１４年国家统计局数据显示，总抚养比（指人口当中    非劳动年龄人口与劳动年龄人口之比）却持续走高，尤其是老年抚养    比提升较快，２０１４年６５岁以上老年抚养比达到１３．７％的较高水平．     数据表明，劳动人口总量增速放缓，老龄化加速，抚养比持续走    高，人口红利渐趋弱化．     通过人口数据的收集与分析，对我国人口现状作出判断，可以为    国家人口政策的调整提供依据．      ● 怎样合理获取数据？    ● 如何处理、分析所获得的数据？          ２０８                              １４．１      获取数据的基本途径及相关概念          应用统计方法分析问题时，最好能够获得关于研究对象的所有    数据，但在实际问题中，由于人力、物力耗费巨大等诸多原因，具体操     作时往往抽取部分数据进行研究．     ● 获取数据有哪些基本的途径？       《管子·问》为春 案例１ 人口普查和人口抽查   秋时期政治家管仲所 《全国人口普查条例》规定，我国在尾数逢０的年份开展人口普     作，文中提出了六十 查，在两次人口普查的中间年份进行全国１％人口抽样调查．下面是   五个问，这里的“问”   ２０１５年全国１％人口抽样调查的主要内容：   是“调查”的意思．请  （１）调查目的   查阅相关资料．  了解２０１０年以来我国人口在数量、素质、结构、分布以及居住等     方面的变化情况，为制定国民经济和社会发展规划提供科学准确的    统计信息支持．    （２）对象和范围     在我国境内抽取约６万个调查小区，调查对象为小区内的全部人    口（不包括港澳台居民和外国人），共约１４００万人．    （３）内容和时间     调查内容为人口和住户的基本情况，主要包括姓名、性别、年龄、    民族、受教育程度、行业、职业、迁移流动、社会保障、婚姻、生育、死    亡、住房情况等．调查时点为２０１５年１１月１日零时．     通过人口抽查，国家统计局获得数据后，进行了处理分析，得     到了相关结论．请进入中华人民共和国国家统计局网站查询．     查阅《中国统计年鉴》，了解１９７８年后我国各年度的人口性别比，  探 究    ０～１４岁、１５～６４岁和６５岁及以上人口占比．     案例２ 抽样检测     某养鱼场今年初在一池塘放养了１００００尾鲤鱼苗．为了解这批    鱼苗生长的情况，决定从池塘中捞４０尾鱼进行调查．调查人员分别从    鱼塘的东、西、南、北、中五个方位各随机捞起８尾鲤鱼，分别测量其质     量，并记录下健康状况．称量和观测后将４０尾鱼放回鱼塘．下面是４０     尾鱼的质量（单位：ｇ）：     ３５３ ４３２ ４４５ ４２２ ３８６ ４０５ ４２１ ３９８ ３７７ ３８９    ４０８ ３８９ ４３１ ３９４ ４０８ ３６６ ３７８ ３９９ ４１１ ３８７    ４３２ ４１７ ４００ ３８８ ４０２ ３９６ ３６９ ４１９ ４２３ ４０６     ３９８ ４０４ ４１２ ３９２ ３８８ ４０３ ４１３ ４１７ ３７６ ４０７      ２０９                        必修第二册 数学    根据上述数据，调查人员分别算得４０尾鱼的质量的平均数约为    ４０１．５，标准差约为１９．３．这说明这批鱼苗生长较快，且个体之间差异    不大．结合健康状况的观测结果，作出调查结论：这批鱼的生长情况     良好．     案例３ 民意调查     在１９３６年美国总统选举中，著名杂志《文学文摘》（ＴｈｅＬｉｔｅｒａｒｙ     Ｄｉｇｅｓｔ）进行了一次民意调查，他们从电话簿、杂志订户、机动车注册     这种发放调查表 表及俱乐部会员表上共选取了１０００多万人，再发给他们调查表，并   的方法恰当吗？ 得到了２３８万人的回复．统计结果如表１４ １ １所示．      表１４ １ １     候选人 预测结果      罗斯福 ４３％     兰 登 ５７％      《文学文摘》作出推断：本次选举兰登获胜．      从上述案例可以看到，在统计分析时获取数据非常重要，而获取    数据的途径有很多种，如统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查    和抽样调查、互联网等．     一般地，在获取数据时，我们把所考察对象（某一项指标的数据）     的全体叫作总体（ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ），把组成总体的每一个考察对象叫作个    体（ｓｕｂｊｅｃｔ），从总体中所抽取的一部分个体叫作总体的一个样本    （ｓａｍｐｌｅ），样本中个体的数目叫作样本容量（ｓｉｚｅｏｆａｓａｍｐｌｅ）．     普查的样本就是总体，由总体推出结论的可靠性最大，但是，当    总体量很大时，调查的工作量也大，特别是检查具有破坏性（如测试     某种产品的使用寿命）时，就不能使用普查的方法了．    当然，样本容量太小也会影响统计分析的可靠性，比如案例２中，     如果只在池塘的东、西、南、北、中五个方位各取１尾鱼进行测量、分    析，那么由其作出的推断就可能不够准确．    是不是样本容量越大，统计分析的结果就越可靠呢？     案例３中样本量已经足够大，但最终结果是罗斯福获得了６２％     的选票，而兰登只得到了３８％的选票．而另一项调查（盖普特调查）只    取了５万个样本，却得到了较为接近实际结果的推断．    《文学文摘》出现严重偏差的原因：一是选择性偏差．１９３６年     是美国经济大萧条时期，能装电话、订杂志、有小汽车和加入俱乐    部的都是有钱人，刚参加工作的年轻人及广大的产业工人中能够     拿到调查表的很少．二是无应答偏差．１０００多万张调查表只收回    了２３８万张，不回复的大多是经济困难的家庭，他们更关心如何     养活家人．      ２１０                       １４  统 计 第 章   这个案例说明，样本的选取具有随机性，相对于总体而言，一个     好样本必须具有好的代表性．    那么，如何选择合理的样本容量呢？这在统计学上有具体的计     样本容量公式情 算公式．根据样本容量计算公式可以知道，样本容量的大小不取决于     况比较复杂，感兴趣的 总体中个体数的多少，而取决于研究对象的变化程度（总体中个体之    同学可查阅相关资料． 间的差异度）、所允许的误差大小（即样本的精度要求）和要求推断的    置信程度（即把握大小、可信程度）．       例１ 为了解决下列问题，哪些需要应用样本？并就怎样选取    样本说出自己的想法．    （１）某长途公共汽车使用１０Ｌ汽油能行驶多少千米？     （２）政府准备新办一所中学，假定其学区为４个确定的小区，设    计规划时应确定多少个自行车车位？     （３）电视台要了解某综艺节目的收视率．    解 （１）长途公共汽车使用１０Ｌ汽油行驶的里程数，需要应用     样本．对不同路况、不同气候条件、不同载重等情况进行实验，获取     样本，从而作出估计．比如，通过若干次实验，获得相应的里程数和    消耗的汽油升数，从而算得对应的使用１０Ｌ汽油所行驶的里程数    （单位：ｋｍ）：      ９８，８５，８８，７５，８６，７９，８１，１００，８８，８１．      算得平均数为８６．１，由此估计该汽车使用１０Ｌ汽油大约能行驶    ８６ｋｍ．     （２）学生上学的交通方式，有步行、骑自行车、坐公交车、家长接    送等．为确定自行车车位数，需要应用样本．可以从４个小区中随机选     择若干个有孩子到该校上学的家庭进行调查．    （３）要了解某综艺节目的收视率，需要应用样本了解收看该综艺     节目的人数，可通过向各种类型的人群发放调查表的方式收集相关    数据，也可以进行电话调查或网上调查等．      思 考 从６只节能灯中抽取３只进行使用寿命的测试，有多少种可能的    样本？      从以上内容可以看出，统计分析的基本步骤为       获取数据    ↓     分析数据     ↓    作出估计      统计分析的基本思想是：抽取具有较好代表性的样本，由样本数      ２１１                        必修第二册 数学    据的特征、规律估计总体的状况．     练 习 １．接受就业技能训练是否能够提高受训者的收入水平？下面是两种获得数据     的方案，你认为哪种更有效？并说明理由．    方案１：分别在受过技能训练和未受过技能训练的人群中抽取样本，统计他    们的收入水平；     方案２：从未受过技能训练的人员中抽取两组，两个组的组成成员的年龄、性    别、文化程度及社会经历大体相当，其中一组进行专门的职业技能训练，另一    组只作为考察对象，不进行任何培训．５年后，分别统计两个组的收入水平．    ２．为了解决下列问题，要收集什么数据？哪些问题需要应用样本？并就怎样选    取样本说出自己的想法．     （１）要了解鱼塘中放养的鳞鱼的生长状况；    （２）某校想了解学生的视力状况．    ３．上网搜索，了解网上调查的一些项目，由此判断网上调查的结论的可靠性如    何，为什么？如果感兴趣，请自己做一次网上调查，了解初中生每星期看电视    的时间．       习题１４．１        感受·理解  １．找几则应用数据描述下列情况的新闻或广告：    （１）体育运动；    （２）天气情况；     （３）农作物收成；    （４）商业行情．    ２．向你的家长了解他们所在单位有哪些问题需要收集数据后才能作出决定．    ３．查阅相关统计资料，了解我国最近几年用电量、消耗的石油的数量及汽车销    售量的年增长率．     ４．为了解决下列问题，应收集什么数据？哪些问题必须应用样本？   （１）新办一所学校，应为学生餐厅订购多少张餐桌？     （２）为什么有些学生上课迟到？    （３）质检部门中秋节前调查月饼的质量．     思考·运用 ５．到交通部门（或网上）查阅资料，获取相关数据，分析你所在地区去年发生的    交通事故中，车辆直行、左转、右转的情况各占多少？     ６．甲市每年发生的车祸量比乙市少，是否说明甲市驾驶汽车比乙市安全？    ７．一只装有红豆的袋子中混入了绿豆，怎样获取数据可以估计出袋子中绿豆所    占的比率？怎样做可以提高估计结论的准确程度？（假定两种豆子的大小、    质量相同）      探究·拓展 ８．（阅读题）１９４３年，美国战时经济部门着手分析缴获的德国装备序列号，   比如炸弹、火箭和坦克．他们根据缴获的德国武器的序列号进行统计分     析，从而较为准确地估计出了德国武器生产的速度和拥有量．下表是战    后统计的第二次世界大战期间德国坦克月产量（单位：辆）的预估值和    实际值的数据．      ２１２                       １４  统 计 第 章     时 间 统计估值 情报估值 实际值     １９４０年６月 １６９ １０００ １２２     １９４１年６月 ２４４ １５５０ ２７１     １９４２年８月 ３２７ １５５０ ３４２      为什么统计估值比情报估值更准确呢？     ９．在下列项目中选择适当的问题，对你所收集的数据确定一个标题，明确需要    解决的问题，并说明数据的收集方法与数据处理、分析的方法和过程．    （１）某项体育比赛的成绩记录；    （２）天气报告———温度、雨量、湿度、暴风雨；    （３）交通运输记录———事故、运输量、车辆数、停车场的数量；     （４）商业状况———销售额、价格、银行存款、利率；   （５）校服的款式、颜色；     （６）看电视、看电影，借阅图书杂志．                                                                                              ２１３                              １４．２      抽样         抽样调查是获取数据的重要途径，而样本具有随机性，其好坏直     接影响着统计分析结论的可靠性．那么，     ● 如何合理地抽取样本？        １４．２．１ 简单随机抽样        某校要了解高一（２）班学生的视力情况，决定从班级里４５名学生     中抽取１０名学生进行检查．     ● 怎样抽取样本？      １．抽签法    为了使锅里任意取出的一勺汤都能代表整个锅里汤的味道，就     要充分搅拌，使之均匀．怎样将高一（２）班的４５名学生“搅拌”均     匀呢？    一个可行的办法是：将这４５名学生进行编号；再做４５个编号分    别为１～４５的“签”（也称“阄”），放入密封的容器或袋中（从外面看不     见内部），并充分搅拌；最后从容器或袋中随机抽取１０个签，记下１０     个签的编号，与签的编号相同的学生的视力即组成需要的样本．这种   彩票抽奖时常用的  抽样方法称为抽签法．   “抽奖机”  一般地，用抽签法从个体个数为犖的总体中抽取一个容量为犽     的样本的步骤是：       （１）将总体中的犖个个体编号；     （２）将这犖个号码写在形状、大小相同的号签上；     用抽签法能使每 （３）将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；    个个体被抽中的概率 （４）从箱中每次抽出１个号签，连续抽取犽次；    相等． （５）将总体中与抽到的号签的编号一致的犽个个体取出．         这样就得到一个容量为犽的样本．对个体编号时，也可以利用已    有的编号．如从全班学生中抽取样本时，利用学生的学号作为编号；    对某场电影的观众进行抽样调查时，利用观众的座位号作为编号等．     抽签法简单易行，适用于总体中个体数不多的情形．     ２．随机数表法     用抽签法抽取样本时，编号的过程有时可以省略（如用已有的编      ２１４                       １４  统 计 第 章    号等），但制签的过程就难以省去了，而且制签也比较麻烦．如何简化    制签的过程呢？    一个有效的办法是：制作一个表，这个表由０，１，２，３，４，５，６，     ７，８，９这１０个数字组成，表中任一位置出现任一数字的概率相同，    且不同位置的数字之间是独立的．这样的表称为随机数表，其中的每     个数都称为“随机数”．于是，我们只要按一定的规则从随机数表中选    取号码就可以了．这种抽样方法叫作随机数表法．     下面我们用随机数表法求解本节开头的问题．     随机数表见附录． （１）对４５名学生按０１，０２，０３，…，４５编号；   （２）在随机数表中随机地确定一个数字，如第８行第２９列的数     字７作为开始．为便于说明，我们将附录中的６～１０行摘录如下：      第２９列    １６２２７７９４３９ ４９５４４３５４８２ １７３７９３２３７８ ８７３５２０９６４３ ８４２６３４９１６４      ８４４２１７５３３１ ５７２４５５０６８８ ７７０４７４４７６７ ２１７６３３５０２５ ８３９２１２０６７６     第８行 ６３０１６３７８５９ １６９５５５６７１９ ９８１０５０７１７５ １２８６７３５８０７ ４４３９５２３８７９     ３３２１１２３４２９ ７８６４５６０７８２ ５２４２０７４４３８ １５５１００１３４２ ９９６６０２７９５４     ５７６０８６３２４４ ０９４７２７９６５４ ４９１７４６０９６２ ９０５２８４７７２７ ０８０２７３４３２８      （３）从数字７开始向右读下去，每次读两位，凡不在０１～４５中的    数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去，便可依次得到       １２，０７，４４，３９，３８，３３，２１，３４，２９，４２      这１０个号码，编号为这１０个号码的学生的视力即组成一个容量为     １０的样本．    当随机地选定开始的数后，读数的方向可以向右，也可以向左、    向上、向下等．     用随机数表法抽取样本的步骤是：         （１）对总体中的个体编号（每个号码位数一致）．     例如，抛掷一根大 （２）在随机数表中任选一个数．    头针，使大头针落在随 （３）从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的号码在编号    机数表上，可以从针尖 中，则取出；若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳     所指的数开始． 过．如此继续下去，直到取满为止．    （４）根据选定的号码抽取样本．          一般地，从个体数为犖的总体中逐步不放回地取出狀个个体作    为样本（狀＜犖），如果每个个体都有相同的机会被取到，那么这样的抽    样方法称为简单随机抽样（ｓｉｍｐｌｅｒａｎｄｏｍｓａｍｐｌｉｎｇ）．     抽签法和随机数表法都是简单随机抽样．      ２１５                        必修第二册 数学    练 习 １．一个学生在一次知识竞赛中要回答的８道题是这样产生的：从１５道历史题    中随机抽出３道，从２０道地理题中随机抽出３道，从１２道生物题中随机抽    出２道．试用抽签法确定这个学生所要回答的８道题的序号（历史题编号分     别为１，２，…，１５，地理题编号分别为１６，１７，…，３５，生物题编号分别为    ３６，３７，…，４７）．    ２．从１００件电子产品中抽取一个容量为２５的样本进行检测，试用随机数表法    抽取样本．    ３．假设一个总体有５个个体，分别记为犪，犫，犮，犱，犲，采用逐个不放回抽取样     本的方法，从中抽取一个容量为２的样本，这样的样本共有多少种可能？写    出全部可能的样本．    ４．谚语云：你不必吃完整牛，才知道肉是老的．这条谚语的意思是什么？     ５．对于随机数表，下列说法中哪些是正确的？哪些是不正确的？请说明理由．    （１）每４０个数字里，正好有４个０；    （２）每一对数字都有１％的机会是００；     （３）表里面不可能出现像００００这样４个连续的０，因为这个模式太不随机了．       链 接 随机数表的制作      随机数表是人们根据需要编制出来的，由０，１，２，３，４，５，６，    ７，８，９这１０个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的．随     机数的产生方法主要有抽签法、抛掷骰子法和计算机生成法．     （１）抽签法：用０，１，２，３，４，５，６，７，８，９这１０个数字做    １０个签，放入一个箱中并搅拌均匀，再从箱中每次抽取一个签并  同桌的两位同学   相互协作，编制一张随 记下签的数码后放回箱中，如此重复进行下去即可得到一张随机     机数表． 数表．     如果需要两位数表，那么将所得的各个数码按顺序两两连在一    起．类似地，如果需要三位数表，那么就三三连在一起，如０１２，３２１，    ２４９，４６０，６３４，１０５，…．     （２）抛掷骰子法：如图１４ ２ １，在一个正二十面体的各面写上     ０～９这１０个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产    生０～９的随机数的骰子．不断抛掷这个骰子，并逐一记下朝上一面    （与地面或桌面平行）上的数字，就能按顺序排成一个随机数表．     （３）计算机生成法：利用随机函数或随机数发生器让计算机自     图１４ ２ １ 动生成随机数表．     信息技术 ＥＸＣＥＬ  ●    在单元格Ａ１内输入随机函数“＝ＲＡＮＤ（）”，就能得到一个０与１    之间的随机数，拖曳Ａ１的填充柄，便可产生不同的随机数（图１４ ２ ２     中第Ａ列）．    如果要生成从０到９９的随机数，且随机数为整数，那么可在单元     格内输入“＝ＩＮＴ（１００ＲＡＮＤ（））”（图１４ ２ ２中第Ｂ列）．      ２１６                       １４  统 计 第 章                         图１４ ２ ２ 图１４ ２ ３     ＧｅｏＧｅｂｒａ  ●   在输入框中输入“ｒａｎｄｏｍ（）”，就能得到一个０与１之间的随机数．     通过“序列［ｒａｎｄｏｍ（），ｉ，１，１０］”可以生成１０个随机数（图１４ ２ ３）．       １４．２．２ 分层抽样         某校高一、高二和高三年级分别有学生１０００名、８００名和７００    名，为了解全校学生的视力情况，从中抽取容量为１００的样本．      ● 怎样抽样较为合理？     由于不同年级的学生视力状况有一定的差异，不能在２５００名学     生中随机抽取１００名学生，也不宜在３个年级中平均抽取．为准确反     映客观实际，不仅要使每个个体被抽到的机会相等，而且要注意总体    中个体的层次性．    一个有效的办法是：使抽取的样本中各年级学生所占的比与各     年级的实际人数占总体人数的比基本相同．     １０００  据此，应抽取高一学生１００× ＝４０名，高二学生１００×  ２５００     ８００ ７００  ＝３２名，高三学生１００× ＝２８名．  ２５００ ２５００     一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客    观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层     次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽    样，这种抽样方法叫作分层抽样（ｓｔｒａｔｉｆｉｅｄｓａｍｐｌｉｎｇ），所分成的各个     部分称为“层”．    分层抽样的步骤是：        （１）将总体按一定标准分层；     若按比例计算所 （２）计算各层的个体数与总体的个体数的比；     得的个体数不是整数， （３）按各层的个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样   可作适当的近似处理． 本容量；     （４）在每一层进行抽样（可用简单随机抽样）．        ２１７                        必修第二册 数学    例１ 某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行    调查，参加调查的总人数为１２０００人，其中持各种态度的人数如     表１４ ２ １所示．电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算    从中抽取６０人进行更为详细的调查，应怎样进行抽样？       表１４ ２ １     很喜爱 喜 爱 一 般 不喜爱     ２４３５ ４５６７ ３９２６ １０７２       分析 因为总体中个体数较多，所以不宜采用简单随机抽样．由    于四类人群观点各不相同，所以运用分层抽样．    解 可用分层抽样，其总体容量为１２０００．      ２４３５ ２４３５  “很喜爱”占 ，应取６０× ≈１２人；   １２０００ １２０００     ４５６７ ４５６７  “喜爱”占 ，应取６０× ≈２３人；  １２０００ １２０００     ３９２６ ３９２６   “一般”占 ，应取６０× ≈２０人；  １２０００ １２０００     １０７２ １０７２  “不喜爱”占 ，应取６０× ≈５人．   １２０００ １２０００     因此，采用分层抽样的方法在“很喜爱”的２４３５人、“喜爱”的     ４５６７人、“一般”的３９２６人和“不喜爱”的１０７２人中分别抽取１２人、    ２３人、２０人和５人．      探 究 某厂家要了解某种新饮品是否受消费者欢迎，需要设计社会调    查方案，你能帮厂家做个方案吗？      练 习 １．某公司生产３种型号的轿车，产量分别为１２００辆、６０００辆和２０００辆．为检    验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取４６辆进行检验，这３种型号    的轿车应分别抽取 辆、 辆和 辆．     ２．某工厂生产犃，犅，犆３种不同型号的产品，产量之比为２∶３∶５．现用分层   抽样的方法抽取１个容量为狀的样本，若样本中犃种型号的产品有１６件，     则样本容量狀＝ ．    ３．某所学校有小学部、初中部和高中部，在校小学生、初中生和高中生的人数之    比为５∶２∶３，且已知初中生有８００人．现要从这所学校中抽取１个容量为    ８０的样本以了解他们对某一问题的看法，应采用什么抽样方法？从小学部、    初中部及高中部各抽取多少名学生？总体上看，平均多少名学生中抽取到１     名学生？    ４．将你所在班级的同学按性别分成两组，分别编号，制成号签，分别放在两    个箱子里搅拌均匀，然后按男女生之比各抽出若干个号签，组成两个样    本，就他们对某一问题的看法进行调查，以比较男女同学对该问题看法    的差异．      ２１８                       １４  统 计 第 章   从上面的实例可以看到，为了使样本相对总体具有很好的代表     性，就必须使得总体中每个个体被抽取的概率相等．如果一个样本是    按这种规则抽取的，那么称这个样本为随机样本．     以上我们学习的２种抽样方法所获取的样本都为随机样本，它们    的特点和适用范围可归纳如表１４ ２ ２所示．        表１４ ２ ２     类别 特 点 相互联系 适用范围 共同点      简单随 从总体中逐个抽 总体中的个体    机抽样 取 数相对较少  抽样过程中每    个个体被抽到  将总体分成几 各层抽样时， 总体由差异明   分层  层，按各层的个 可以采用简单 显的几部分组 的可能性相同   抽样   体数之比抽取 随机抽样 成        例２ 下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？     （１）从１０台冰箱中抽取３台进行质量检查．    （２）某学校有１６０名教职工，其中教师１２０名，行政人员１６名，     后勤人员２４名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽     取一个容量为２０的样本．    （３）某公司１个季度共有２２９８４份运货单，这些运货单上的运费    相差很大．现要对这个季度的运货单进行审计，从中抽取一定量的运     货单加以审核．     分析 （１）总体容量比较小，用抽签法或随机数表法都很方便．    （２）由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，故应采    用分层抽样．     （３）由于运费相差很大，故应采用分层抽样．     解 （１）用抽签法或随机数表法．    （２）用分层抽样．总体容量为１６０，故样本中教师人数应为２０×     １２０ １６  ＝１５（名），行政人员人数应为２０× ＝２（名），后勤人员人  １６０ １６０     ２４  数应为２０× ＝３（名）．  １６０     （３）用分层抽样．根据运费的多少进行分层，然后按照各层运货    单的数量比进行抽样．       练 习 １．某科研机构由科技人员、行政人员和后勤职工３种不同类型的人员组成，现     要抽取１个容量为４５的样本进行调查．已知科技人员共有６０人，抽入样本    的有２０人，且行政人员与后勤职工的人数之比为２∶３，那么此机构的总人    数、行政人员、后勤职工人数分别为多少？      ２１９                        必修第二册 数学    ２．一个单位有职工１６０人，其中业务人员９６人，管理人员４０人，后勤人员    ２４人．为了了解职工的某种情况，要从中抽取１个容量为２０的样本，按下    述２种方法抽取：    ① 将１６０人按１～１６０编号，用白纸做成有１～１６０号的签放入箱内搅匀，    然后从中抽取２０个签，与签号相同的２０个人被选出；     ② 按２０∶１６０＝１∶８的比例，从业务人员中抽取１２人，从管理人员中抽取   ５人，从后勤人员中抽取３人，都用随机数表法从各类人员中抽取所需     的人数，他们合在一起恰好抽取２０人．    上述２种抽样中，① 采用的抽样方法是 ，② 采用的抽样方法是    ．       习题１４．２         感受·理解 １．为了解某市８００家企业的管理情况，拟抽取４０家企业作为样本．这８００家    企业中有中外合资企业１６０家，私营企业３２０家，国有企业２４０家，其他性    质的企业８０家．如何抽样较合理？    ２．用分层抽样的方法从某校学生中抽取１个容量为４５的样本，其中高一年级    抽２０人，高三年级抽１０人．已知该校高二年级共有学生３００人，求该校学     生总数．    ３．某市的４个区共有２００００名学生，且４个区的学生人数之比为３∶２．８∶    ２．２∶２．如果要用分层抽样的方法从所有学生中抽取１个容量为２００的样    本，那么在这４个区中分别应抽取多少名学生？    ４．用适当的方法对你校高一学生的体重和身高进行抽样调查，并将数据收集     整理，以备进一步分析．   ５．试设计一份问卷，了解班上同学是否知道父母的生日．     ６．某总体的容量为１００，其中带有标记的有６０个．现用简单随机抽样的方法    从中抽出１个容量为２０的样本，试估计抽取到带有标记的个体个数．     思考·运用 ７．用适当的方法，对你所在学校的学生进行抽样调查，将其父亲、母亲的年龄    收集整理，并用表格表示出来．     ８．某校高一年级５００名学生中，血型为Ｏ型的有２００人，Ａ型的有１２５人，Ｂ    型的有１２５人，ＡＢ型的有５０人．为了研究血型与色弱之间的关系，要从中    抽取１个容量为４０的样本，应如何抽样？写出ＡＢ血型样本的抽样过程．    ９．举例说明各种抽样方法在实际生活中的应用．     探究·拓展 １０．请你就中学生普遍关心的某一问题，通过网上调查和对本校学生进行抽样    调查（有条件的话可以扩大调查范围），了解学生对此问题的看法，并对两种     调查方法所得结果进行分析比较．                        ２２０                              １４．３      统计图表          要得到合理、科学的统计推断，需要对获得的数据进行统计分析．    为此，就要将这些数据进行数学表示，并运用数学知识、方法加以研究．      ● 怎样用图表表示和分析数据呢？       １４．３．１ 扇形统计图、折线统计图、频数直方图         我们已经知道，可以用统计图表表示数据，比如扇形统计图（饼    图）、折线统计图、频数直方图等．      ● 初中阶段学习的这些统计图表各有什么特点？      例１ 据《中国统计年鉴（２０１５）》可知，１９９０年、２０００年和２０１４    年我国人口年龄分布情况（百分比）如表１４ ３ １所示．      表１４ ３ １     年 份   年 龄   １９９０ ２０００ ２０１４     ０～１４岁 ２７．７％ ２２．９％ １６．５％     １５～６４岁 ６６．７％ ７０．１％ ７３．４％     ６５岁及以上 ５．６％ ７．０％ １０．１％      （１）试用扇形统计图表示２０１４年三个年龄段人口所占比；    （２）试用折线统计图表示１９９０年、２０００年和２０１４年６５岁及以     上人口占比．     解 （１）２０１４年０～１４岁、１５～６４岁和６５岁及以上人口占比分别    为１６．５％、７３．４％和１０．１％，用扇形统计图表示如图１４ ３ １所示．          图表的最大作用    在于它能使我们发现    一些我们预料之外的     内容．   ———约翰·图基     （ＪｏｈｎＴｕｋｅｙ）         图１４ ３ １ 图１４ ３ ２      ２２１                        必修第二册 数学    （２）１９９０年、２０００年和２０１４年６５岁及以上人口占比的折线统    计图表示如图１４ ３ ２所示．    扇形统计图能够直观地反映各个类别在总体中所占的比例，折线统     计图可以看出变化趋势．      例２ 某公司下属４０个企业的年度销售收入数据（单位：万    元）如下：       １５２ １２４ １２９ １１６ １００ １０３ ９２ ９５ １２７ １０４    １０５ １１９ １１４ １１５ ８７ １０３ １１８ １４２ １３５ １２５    １１７ １０８ １０５ １１０ １０７ １３７ １２０ １３６ １１７ １０８     ９７ ８８ １２３ １１５ １１９ １３８ １１２ １４６ １１３ １２６     某企业的年度销售收入为１２７万元，该企业的业绩是好还是差？     还可以通过与销 解 这就要看１２７在全部４０个数据中所处的位置．为此，可以将     售收入的平均水平进 这４０个数据按每１０（万）为一档（称为组距），用频率分布表表示   行比 较 来 判 断，见 （表１４ ３ ２）．     １４．４．１节．   表１４ ３ ２     分 组 频 数 频 率     ［８０，９０） ２ ０．０５    ［９０，１００） ３ ０．０７５    ［１００，１１０） ９ ０．２２５     ［１１０，１２０） １２ ０．３    ［１２０，１３０） ７ ０．１７５    ［１３０，１４０） ４ ０．１     ［１４０，１５０） ２ ０．０５    ［１５０，１６０］ １ ０．０２５    合 计 ４０ １       从频率分布表可以看出，１２７位于［１２０，１３０）一档，此档及比它    高的档中的数据共１４个，而低于这一档的数据有２６个，故年销售收    入为１２７万元的企业业绩还是比较好的．     我们还可以将此表“直观化”，作出频数直方图（图１４ ３ ３）．     直方图（ｈｉｓｔｏｇｒａｍ）     一词由英国统计学家    ＫａｒｌＰｅａｒｓｏｎ于１８９５    年首次使用．               图１４ ３ ３      ２２２                       １４  统 计 第 章    频数直方图既能够反映分布状况，又可以表示变化趋势．     练 习 １．下面是从某镇抽取的５０户家庭一年中１２个月的用电量的统计图表，试根据     图表说明：    （１）一年中这５０户家庭月用电高峰是哪几个月？用电低谷是哪几个月？并    解释可能的原因．    （２）有几个月用电总量为７０００度？                                    图１ 图２   （第１题）       ２．２０１０年我国进行了第六次人口普查，２０１１年４月国家统计局发布了此次普    查的主要数据．国家统计局的公告中有下面两张图．    （１）图１是我们学习的图表中的哪一种？此图反映怎样的信息？    （２）根据这两张图，给出你的分析结论．                              图１ 图２     （第２题）     ３．有人指责国外某高校招生有歧视女生的倾向，指责者用了近几年该校电机工     程和英文两个专业的录取数据．       性 别  录取情况   男生 女生     录取 ３５ ２０     未录取 ４５ ４０     申报人数 ８０ ６０       ２２３                        必修第二册 数学    而该高校认为这种指责没有依据，他们用了下表表示这组数据．      电机工程 英 文  录取情况   男生 女生 男生 女生     录取 ３０ １０ ５ １０     未录取 ３０ １０ １５ ３０     申报人数 ６０ ２０ ２０ ４０      指责者与学校都是用频率阐述理由的．你能分别站在指责者和学校的角度阐    述理由吗？       １４．３．２ 频率直方图         在前面的频数直方图（图１４ ３ ３）中，之所以取相等的组    距，是为了使频数与相应的长方形面积成比例．比如，其他各组不    变，将最后三组合成一组，则该组上的频数为７，这时得到图     １４ ３ ４．                               图１４ ３ ４       这个图形容易给人造成错觉：在［１３０，１６０］这个区间上的矩形    占有的区域面积较大，其中频数最多．      ● 怎样避免这种误解？     为了避免出现这一情况，使得尽管分组的组距不一致，也能保证     面积占比与频率占比相一致，通常用下面的方法作直方图：     把横轴均分成若干段，每一段对应的长度称为组距，然后以此段为    频率  底作矩形，它的高等于该组的 ，这样得出一系列的矩形，每个矩形   组距     的面积恰好是该组的频率，这些矩形就构成了直方图（图１４ ３ ５）．    我们将这种直方图称为频率直方图（ｆｒｅｑｕｅｎｃｙｈｉｓｔｏｇｒａｍ）．    如图１４ ３ ６，将频率直方图中各个矩形的上底边的中点顺次     连接起来，并将两边端点向外延伸半个组距，就得到频率折线图     （ｆｒｅｑｕｅｎｃｙｌｉｎｅｃｈａｒｔ），简称折线图．      ２２４                       １４  统 计 第 章                             图１４ ３ ５                               图１４ ３ ６      例３ 为了解一大片经济林的生长情况，随机测量其中１００株    树木的底部周长，得到如表１４ ３ ３所示的数据（单位：ｃｍ）．      表１４ ３ ３     １３５ ９８ １０２ １１０ ９９ １２１ １１０ ９６ １００ １０３    １２５ ９７ １１７ １１３ １１０ ９２ １０２ １０９ １０４ １１２     １０９ １２４ ８７ １３１ ９７ １０２ １２３ １０４ １０４ １２８    １０５ １２３ １１１ １０３ １０５ ９２ １１４ １０８ １０４ １０２     １２９ １２６ ９７ １００ １１５ １１１ １０６ １１７ １０４ １０９     １１１ ８９ １１０ １２１ ８０ １２０ １２１ １０４ １０８ １１８    １２９ ９９ ９０ ９９ １２１ １２３ １０７ １１１ ９１ １００     ９９ １０１ １１６ ９７ １０２ １０８ １０１ ９５ １０７ １０１    １０２ １０８ １１７ ９９ １１８ １０６ １１９ ９７ １２６ １０８     １２３ １１９ ９８ １２１ １０１ １１３ １０２ １０３ １０４ １０８       （１）编制频率分布表；   （２）绘制频率直方图；     （３）估计该片经济林中底部周长小于１００ｃｍ的树木约占多少，     底部周长不小于１２０ｃｍ的树木约占多少．    解 （１）从表中可以看出，这组数据的最大值为１３５，最小值为    ８０，故全距为５５，可将其分为１１组，组距为５．     频率  从第１组［８０，８５）开始，将各组的频数、频率和 填入表  组距      ２２５                        必修第二册 数学    １４ ３ ４中．     表１４ ３ ４     频率   分 组 频 数 频 率 组距     ［８０，８５） １ ０．０１ ０．００２     ［８５，９０） ２ ０．０２ ０．００４     ［９０，９５） ４ ０．０４ ０．００８     ［９５，１００） １４ ０．１４ ０．０２８     ［１００，１０５） ２４ ０．２４ ０．０４８     ［１０５，１１０） １５ ０．１５ ０．０３０     ［１１０，１１５） １２ ０．１２ ０．０２４     ［１１５，１２０） ９ ０．０９ ０．０１８     ［１２０，１２５） １１ ０．１１ ０．０２２     ［１２５，１３０） ６ ０．０６ ０．０１２     ［１３０，１３５］ ２ ０．０２ ０．００４     合 计 １００ １ ０．２      （２）这组数据的频率直方图如图１４ ３ ７所示．                                    图１４ ３ ７     （３）从频率分布表可以看出，该样本中小于１００的频率为０．０１＋     ０．０２＋０．０４＋０．１４＝０．２１，不小于１２０的频率为０．１１＋０．０６＋     ０．０２＝０．１９，故可估计该片经济林中底部周长小于１００ｃｍ的树木约    占２１％，底部周长不小于１２０ｃｍ的树木约占１９％．      例４ 对于下列问题，应该收集哪些数据？选择怎样的统计图    表示更为合适？     （１）分析去年全年某商品价格的变化情况；    （２）分析某举重选手的整体水平（包括成绩的高低与发挥的稳     定性）．      ２２６                       １４  统 计 第 章    解 （１）进行市场调查，获取这种商品去年每个月各天的价格，   并算出月平均价格，再将１２个月的月平均价格用折线统计图表示，从     中可看出变化趋势．     （２）获取该选手最近各次比赛的成绩，作出频率直方图，从中可    以看出整体水平、稳定程度．      练 习 １．分别作出习题１４．２第４题中两组数据的频率直方图．   ２．一组数据的频率直方图中，所有小长方形的面积总和为 ．     ３．为了了解一批灯泡（共１００００只）的使用寿命，从中抽取了１００只进行测试，    其使用寿命（单位：ｈ）如下表：      使用寿命 ［５００，６００） ［６００，７００） ［７００，８００） ［８００，９００） ［９００，１０００）     只 数 １ ４ ８ １５ ２０     使用寿命 ［１０００，１１００）［１１００，１２００）［１２００，１３００）［１３００，１４００）［１４００，１５００］     只 数 ２４ １８ ７ ２ １     （１）制作频率分布表；     （２）绘制频率直方图和折线图；    （３）根据样本的频率分布，估计使用寿命不低于１０００ｈ的灯泡约有多少只．    ４．查阅相关资料，用适当方式表示我国人均寿命的变化情况．       习题１４．３        感受·理解  １．某射手在同一条件下射击３０次，结果为：６环及６环以下２次，７环６次，８     环７次，９环１０次，１０环５次．   （１）列出频率分布表；     （２）估计射手击中７～９环的可能性．    ２．从大量棉花中抽取５０根棉花纤维，纤维长度（单位：ｍｍ）的数据分组及各组    的频数如下：［２２．５，２５．５），３；［２５．５，２８．５），８；［２８．５，３１．５），９；     ［３１．５，３４．５），１１；［３４．５，３７．５），１０；［３７．５，４０．５），５；［４０．５，４３．５］，４．    （１）列出样本的频率分布表；    （２）画出频率直方图和折线图；     （３）估计纤维长度小于３６的百分比．   ３．为了检测某种产品的质量，抽取了１个容量为１００的样本，数据的分组及各     组频数如下表：      分 组 频 数 频 率     ［１０．７５，１０．８５） ３     ［１０．８５，１０．９５） ９    ［１０．９５，１１．０５） １３     ［１１．０５，１１．１５） １６     ［１１．１５，１１．２５） ２６      ２２７                        必修第二册 数学    （续表）     分 组 频 数 频 率     ［１１．２５，１１．３５） ２０    ［１１．３５，１１．４５） ７     ［１１．４５，１１．５５） ４    ［１１．５５，１１．６５］ ２     合 计 １００       （１）完成上面的频率分布表；    （２）画出频率直方图；    （３）估计数据落在［１０．９５，１１．３５）范围内的可能性．     ４．为了检测某种产品的质量，抽取了１个容量为４０的样本，检测结果为一等品   ８件，二等品１８件，三等品１２件，次品２件．     （１）列出样本的频率分布表；    （２）画出扇形统计图；    （３）估计这种产品为二等品或三等品的百分率．     思考·运用 ５．从规定尺寸为２５．４０ｍｍ的一堆产品中任取１００件，测得它们的实际尺寸     （单位：ｍｍ）如下，试以０．０３０为组距，列出样本频率分布表，作出频率直方    图、折线统计图．     ２５．３９ ２５．３６ ２５．３４ ２５．４２ ２５．４５ ２５．３８ ２５．３９ ２５．４２ ２５．４７ ２５．３５    ２５．４１ ２５．４３ ２５．４４ ２５．４８ ２５．４５ ２５．４３ ２５．４６ ２５．４０ ２５．５１ ２５．４５    ２５．４０ ２５．３９ ２５．４１ ２５．３６ ２５．３８ ２５．３１ ２５．５６ ２５．４３ ２５．４０ ２５．３８    ２５．３７ ２５．４４ ２５．３３ ２５．４６ ２５．４０ ２５．４９ ２５．３４ ２５．４２ ２５．５０ ２５．３７   ２５．３５ ２５．３２ ２５．４５ ２５．４０ ２５．２７ ２５．４３ ２５．５４ ２５．３９ ２５．４５ ２５．４３     ２５．４０ ２５．４３ ２５．４４ ２５．４１ ２５．５３ ２５．３７ ２５．３８ ２５．２４ ２５．４４ ２５．４０   ２５．３６ ２５．４２ ２５．３９ ２５．４６ ２５．３８ ２５．３５ ２５．３１ ２５．３４ ２５．４０ ２５．３６     ２５．４１ ２５．３２ ２５．３８ ２５．４２ ２５．４０ ２５．３３ ２５．３７ ２５．４１ ２５．４９ ２５．３５   ２５．４７ ２５．３４ ２５．３０ ２５．３９ ２５．３６ ２５．４６ ２５．２９ ２５．４０ ２５．３７ ２５．３３     ２５．４０ ２５．３５ ２５．４１ ２５．３７ ２５．４７ ２５．３９ ２５．４２ ２５．４７ ２５．３８ ２５．３９    ６．选一篇英语短文，从它的第一个单词起直到最后一个单词结束，数出各个    单词所含字母的个数，并就字母个数列出频率分布表，画出频率直方图；也    可从电脑的文档里或网上找一篇短文，用计算机查找的方法进行统计．     探究·拓展 ７．（操作题）操作１：将１０００粒黑芝麻与１０００粒白芝麻放入一个容器中，并搅    拌均匀，再用小杯从容器中取出一杯芝麻，计算黑芝麻的频率．     操作２：将１５００粒黑芝麻与５００粒白芝麻放入一个容器中，并搅拌均匀，再    用小杯从容器中取出一杯芝麻，计算黑芝麻的频率．    通过两次操作，你是否有所发现？若有一袋芝麻，由黑、白两种芝麻混合    而成，你用什么方法估计其中黑芝麻所占的百分比？                 ２２８                              １４．４      用样本估计总体          我们知道，统计学的基本思想是：抽取样本，运用样本数据估计    总体的状况．那么，      ● 如何运用样本估计总体？       １４．４．１ 用样本估计总体的集中趋势参数         初中阶段我们已经学习了用样本平均数作为“代表值”估计总体    水平．      ● 如何合理选择样本数据的“代表值”？      １平均数    在１４．３节的例２中，为了评价“１２７万元”的销售业绩的高低，还    可以将其与销售收入的平均水平进行比较．该公司各企业的平均销     售收入为１１６．１７５万元，１２７万元大于平均值，所以，可以认为该企业     的销售业绩较好．    一般地，我们把总体中所有数据的算术平均数称为总体的均值    （ｍｅａｎ），它通常可以代表总体的水平．在进行统计分析时，我们经常     用样本平均数估计总体均值．    平均数为什么能够代表整个样本？我们以由实验数据估计其理     想近似值为例加以说明．    处理实验数据的原则是使近似值与实验数据越接近越好．设这   狀个实数犪，犪，   １ ２ 个近似值为狓，它与狀个实验数据犪（犻＝１，２，…，狀）的离差分别为   犪，…，犪 的和简记 犻   ３ 狀 狓－犪，狓－犪，狓－犪，…，狓－犪．由于上述离差有正有负，故不宜   ∑狀 ∑ １ ２ ３ 狀  为 犪，“ ”读作 直接相加．可以考虑离差的平方和，即  犻   犻＝１   ｓｉｇｍａ［狊犻犿］． （狓－犪） ２＋（狓－犪） ２＋…＋（狓－犪） ２．  １ ２ 狀    因为     （狓－犪） ２＋（狓－犪） ２＋…＋（狓－犪） ２   １ ２ 狀   ＝狀狓２－２（犪＋犪＋…＋犪）狓＋犪２＋犪２＋…＋犪２ ，   １ ２ 狀 １ ２ 狀     所以当狓＝ 犪 １ ＋犪 ２ ＋…＋犪 狀 时，离差的平方和最小，故可用   狀     犪＋犪＋…＋犪  １ ２ 狀作为表示这个量的理想近似值，称为这狀个数据  狀     犪，犪，…，犪的平均数（ａｖｅｒａｇｅ），一般记为  １ ２ 狀     ２２９                        必修第二册 数学    犪＋犪＋…＋犪  犪＝ １ ２ 狀．  狀       例１ 某校高一年级的甲、乙两个班级（均为５０人）的语文测试    成绩（总分：１５０分）如下，试确定这次考试中，哪个班的语文成绩更     好一些．    甲班     １１２ ８６ １０６ ８４ １００ １０５ ９８ １０２ ９４ １０７    ８７ １１２ ９４ ９４ ９９ ９０ １２０ ９８ ９５ １１９    １０８ １００ ９６ １１５ １１１ １０４ ９５ １０８ １１１ １０５    １０４ １０７ １１９ １０７ ９３ １０２ ９８ １１２ １１２ ９９    ９２ １０２ ９３ ８４ ９４ ９４ １００ ９０ ８４ １１４     乙班     １１６ ９５ １０９ ９６ １０６ ９８ １０８ ９９ １１０ １０３    ９４ ９８ １０５ １０１ １１５ １０４ １１２ １０１ １１３ ９６    １０８ １００ １１０ ９８ １０７ ８７ １０８ １０６ １０３ ９７   １０７ １０６ １１１ １２１ ９７ １０７ １１４ １２２ １０１ １０７    １０７ １１１ １１４ １０６ １０４ １０４ ９５ １１１ １１１ １１０      分析 我们可用一组数据的平均数衡量这组数据的集中趋势，     因此，分别求出甲、乙两个班级的平均分即可．     解 用计算器分别求出甲班的平均分为１０１．１分，乙班的平均分    约为１０５．４分，故这次考试乙班成绩要好于甲班．      例２ 表１４ ４ １是某校学生日睡眠时间（单位：ｈ）的抽样频     率分布表，试估计该校学生的平均日睡眠时间．      表１４ ４ １      睡 眠 时 间 人 数 频 率     ［６，６．５） ５ ０．０５    ［６．５，７） １７ ０．１７     ［７，７．５） ３３ ０．３３     ［７．５，８） ３７ ０．３７     ［８，８．５） ６ ０．０６     ［８．５，９］ ２ ０．０２     合 计 １００ １       分析 要确定这１００名学生的平均日睡眠时间，就必须计算其总    是否还有其他的 睡眠时间．由于每组中的个体日睡眠时间只是一个范围，所以可用各     估算方法？ 组区间中点的数值（称为“组中值”）近似地表示．     解法１ 总睡眠时间约为      ２３０           １４ 统 计 第 章 ６．２５×５＋６．７５×１７＋７．２５×３３＋７．７５×３７＋ ８．２５×６＋８．７５×２ ＝７３９（ｈ）． 故平均日睡眠时间约为７．３９ｈ． 解法２ 求组中值与对应频率之积的和． ６．２５×０．０５＋６．７５×０．１７＋７．２５×０．３３＋７．７５× ０．３７＋８．２５×０．０６＋８．７５×０．０２ ＝７．３９（ｈ）． 答 估计该校学生的平均日睡眠时间约为７．３９ｈ． 一般地，若取值为狓，狓，…，狓的频率分别为狆，狆，…，狆， １ ２ 狀 １ ２ 狀 则其平均数为狓狆＋狓狆＋…＋狓狆． １ １ ２ ２ 狀狀 例３ 某地统计部门为了解企业员工的收入状况，决定进行 抽样调查．估计该地共有产业工人大约５００００人，企业管理人员 约１０００人，工人与管理人员的月工资收入差异比较大．该地统计 部门用分层抽样的方法抽取产业工人５００人，企业管理人员１０ 人．被抽取的５００名产业工人的人均月工资为５３２８元，１０名企 业管理人员的人均月工资为８４２６元，试估计这个地区企业员工 的人均月工资． 解 被抽取的５００名产业工人的人均月工资为５３２８元，故这 ５００名产业工人的月工资总额为（５３２８×５００）元．同理，被抽取的１０ 名企业管理人员的月工资总额为（８４２６×１０）元，所以被抽取的这５１０ 名企业员工的月工资总额为（５３２８×５００＋８４２６×１０）元． 因此，被抽取的这５１０名企业员工的人均月工资（即样本的平均 数）为 ５３２８×５００＋８４２６×１０ ≈５３８９（元）． ５１０ 答 估计该地区企业员工的人均月工资约为５３８９元． 如果将总体分为犽层，第犼层抽取的样本为狓 ，狓，…，狓 ，第 犼１ 犼２ 犼狀 犼 ∑犽 犼层的样本量为狀，样本平均数为狓，犼＝１，２，…，犽．记 狀＝狀， 犼 犼 犼 犼＝１ 则所有数据的样本平均数为 狓＝ １∑犽 ∑ 狀 犼 狓 ＝ １∑犽 （狀狓）． 狀 犼狋 狀 犼 犼 犼＝１狋＝１ 犼＝１ 信息技术 在Ｅｘｃｅｌ中，函数“ＡＶＥＲＡＧＥ（）”可以直接用于计算给定数据的 平均数．在例１中，如将乙班的成绩输入工作表中Ａ１：Ｊ５区域后，在 ２３１ 书书书             必修第二册 数学    某空白单元格中输入“＝ＡＶＥＲＡＧＥ（Ａ１：Ｊ５）”，即得乙班的平均分    为１０５．３８（如图１４ ４ １）．                          图１４ ４ １     在ＧＧＢ中，可以对表格区域中的数据像Ｅｘｃｅｌ那样计算平均数，还    可以在输入框中直接输入“平均数［Ａ１：Ｊ５］”得到平均数（图１４ ４ ２）．                         图１４ ４ ２      练 习 １．从某校全体高考考生中任意抽取２０名考生，其数学成绩（总分：１５０分）分   别为１０２，１０５，１３１，９５，８３，１２１，１４０，１００，９７，９６，９５，１２１，１２４，    １３５，１０６，１０９，１１０，１０１，９８，９７，试估计该校全体考生数学的平均成绩．    ２．下表是一个容量为２０的样本数据分组后的频数分布表．若利用组中值近似     计算本组数据的平均数犪，则犪＝ ．     数 据 ［１２．５，１５．５） ［１５．５，１８．５） ［１８．５，２１．５） ［２１．５，２４．５］     频 数 ３ ３ ６ ８      ３．有一份共３道题的测试卷，每道题１分．全班得３分、２分、１分和０分的学生    所占比例分别为３０％，５０％，１０％和１０％．     （１）若全班共１０人，则平均分是多少？   （２）若全班共２０人，则平均分是多少？     （３）如果该班人数未知，那么能求出该班的平均分吗？    ４．某车间四个生产小组生产同种产品，其日产量相关资料如下：      组 别 工人数／人 日产量／件     １ ２０ ３００     ２ ２５ ２８０    ３ ３０ ３１０    ４ ２５ ３２０      （１）计算平均每个小组的日产量；    （２）计算平均每个工人的日产量．      ２３２                       １４  统 计 第 章    ２众数与中位数    某超市上个月出售的牙膏（品牌、销售量）的相关数据如表１４ ４ ２    所示．      表１４ ４ ２      能按５种品牌销 牙膏品牌编号 销售量    量的平均值作为下次  １ ６５   各种品牌牙膏的进货  ２ ７０   量吗？   ３ ２８０     ４ ５４７    ５ １０２       对于这组数据，超市更关心怎样的信息？    如果分别列出每支卖出的牙膏的品牌编号，则出现次数最多的     是“４”（图１４ ４ ３），也就是说４号牙膏最受消费者欢迎．所以下次    进货时就要多进４号牙膏．在这里，５种品牌的牙膏的平均销售量对     经营决策已经没有实际意义了．                               图１４ ４ ３     一般地，我们将一组数据中出现次数最多的那个数据叫作该组     数据的众数（ｍｏｄｅ）．众数是一种刻画数据集中趋势的度量值．    下面是某篮球队１１名队员一个赛季的得分数据：      １０８ ９２ ４２ ４７ ３４３ ３２ ５０ ７１ ５１ ８３ １１２     用怎样的一个数来代表该篮球队的得分“水平”呢？因为有３４３     这个“极端”值，用平均数不恰当．根据众数的定义及特点知，也不适     宜采用众数，因为这里１１个数据互不相同，并没有哪个数据可以作为    众数．如果将这１１个数据按从小到大的顺序重新排列，得      ３２ ４２ ４７ ５０ ５１ ７１ ８３ ９２ １０８ １１２ ３４３      其中正中间的一个数值为７１，其两边各有５个数．我们将７１称为这    组数据的中位数（ｍｅｄｉａｎ）．中位数也是一种刻画数据集中趋势的度     量值．      ２３３                        必修第二册 数学   一般地，将一组数据按照从小到大的顺序排成一列，如果数据的     个数为奇数，那么排在正中间的数据就是这组数据的中位数；如果数    据的个数为偶数，那么，排在正中间的两个数据的平均数即为这组数     据的中位数．      例４ 某校高一（２）班的６名学生的体重分别为      ４７，４９，５２，５７，６０，７１．     （１）用哪种统计量代表这６名学生的体重比较合适？     （２）这６个数据的中位数是多少？    解 （１）因为有“７１”这一个“极端值”，所以不宜使用平均数．又各     个数据均不相同，因而这组数据没有众数．由于极端值的大小对中位数    的位置并没有影响，故用中位数作为这组数据的代表较为合适．     ５２＋５７  （２）这６个数据的中位数是 ＝５４．５．  ２      例５ 下面的说法是否恰当？为什么？     （１）５人中有４名学生，１名教师，其中３名学生１６岁，１名学生    １８岁，１名教师５９岁，用他们的平均年龄２５岁作为他们年龄的代     表值．     （２）某服装店生产一种男式运动衫，店里决定用顾客购买的这种    运动衫尺码的平均数作为生产的标准尺码（即生产的这种运动衫中    大多数为该尺码）．     （３）在一次满分为３０分的小测试中，某小组的成绩是５个２０    分，３个２６分，１个２９分．采用中位数２０作为这组数据的代表值．     解 （１）不恰当．因为教师的年龄与学生的年龄差异太大，明显    地拉高了平均数．此时平均数没有代表性．     （２）不恰当．销售商品的型号应该以众数为最多进货或生产的标    准，平均数无太大的参考价值．     （３）由于测试的分数分布很特殊，中位数即为最小数，用中位数    来代表小组的水平不恰当．       练 习 １．某轮胎厂为检验轮胎的使用寿命，抽取一个容量为２４的样本，测得结果如   下表：       使用寿命／ｋｍ 轮胎数     ９５０００ １     ８８０００ １     ５６０００ ６     ４８０００ ８    ４００００ ８       ２３４                       １４  统 计 第 章    为了说明该厂生产的轮胎的平均寿命，选用哪个代表值最合适？为什么？    ２．某高校新生入学时进行了英语分班考试，以便确定哪些人编入Ａ班，哪些人    编入Ｂ班．    （１）如果得到的分数是６６，６７，６７，６９，７０，７０，７２，７３，７４，７６，８５，８６，    ８８，９０，９２，９４，９７，９８，９９，那么选择哪个代表值作为编班的标准    最好？    （２）如果得到的分数是６２，６３，６６，６６，６６，６６，６７，６８，６８，６９，７０，８７，     ８９，９０，９２，９５，９８，９８，９９，１００，那么选择哪个代表值作为编班的标准    最好？    ３．张老师今年４０岁，想报一个武术健身俱乐部．他看到一个俱乐部的信息，其    会员的平均年龄为３８岁，他觉得比较适合自己．可报名后发现，该俱乐部成    员大多是２０多岁的小伙子，另有几个６０岁左右的武术“祖师爷”．你认为张     老师的选择是否适当？为什么？    ４．甲、乙两个公司各有２０名职工，下面是两个公司的职工工资状况：       有１５名职工， 有５名职工，  公司甲   每人的工资都是６万元 每人的工资都是３万元     有５名职工， 有１５名职工，   公司乙   每人的工资都是７万元 每人的工资都是４万元       试比较这两个公司职工的平均工资．    ５．一个射击选手连续射击２０次，成绩如下：       成绩／环数 １０ ９ ８ ７      次 数 ３ ８ ７ ２       求其射击成绩的中位数和众数．         １４．４．２ 用样本估计总体的离散程度参数        有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本（如表１４ ４ ３）检查    它们的抗拉强度（单位：ｋｇ／ｍｍ２ ），通过计算发现，两个样本的平均数     均为１２５ｋｇ／ｍｍ２．      表１４ ４ ３      甲 １１０ １２０ １３０ １２５ １２０ １２５ １３５ １２５ １３５ １２５     乙 １１５ １００ １２５ １３０ １１５ １２５ １２５ １４５ １２５ １４５        ● 哪种钢筋的质量较好？      将甲、乙两个样本数据分别标在数轴上，如图１４ ４ ４所示．      ２３５                        必修第二册 数学         这样的图，也称    为点线图（ｌｉｎｅｐｌｏｔ）．                  图１４ ４ ４      从图１４ ４ ４中可以看出，乙样本的最小值１００低于甲样本的    最小值１１０，乙样本的最大值１４５高于甲样本的最大值１３５，这说明乙    种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定．     我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差（ｒａｎｇｅ）．从图     １４ ４ ４中可看出，乙的极差较大，数据点较分散；甲的极差小，数据点    较集中．这说明甲比乙稳定．运用极差对两组数据进行比较，操作简单     方便，但当两组数据的离散程度差异不大时，就不容易得出结论．    我们还可以考虑每一抗拉强度与平均抗拉强度的离差．结合上     节有关离差的讨论，每一抗拉强度与平均抗拉强度的离差的平方和    越小，稳定性就越高．由于两组数据的容量可能不同，因此应将上述     平方和除以数据的个数，我们把由此所得的值称为这组数据的方差    （ｖａｒｉａｎｃｅ）．     标准差是样本数 因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的    据到平均数的一种平 程度，所以我们将方差的算术平方根称为这组数据的标准差    均距离．  （ｓｔａｎｄａｒｄｄｅｖｉａｔｉｏｎ）．    一般地，         设一组样本数据狓，狓，…，狓，其平均数为狓，则称   １ ２ 狀   １∑狀   狊２＝ （狓－狓） ２  狀 犻   犻＝１     为这个样本的方差，其算术平方根狊＝ 槡 狀 １∑狀 （狓 犻 －狓） ２ 为样本    犻＝１   的标准差，分别简称样本方差、样本标准差．         根据上述方差的计算公式可以算得甲、乙两个样本的方差分别     为５０和１６５，故可以认为甲种钢筋的质量好于乙种钢筋．    极差、方差、标准差都是刻画数据离散程度的度量值．      例６ 甲、乙两种水稻试验品种连续５年的平均单位面积产量     （单位：ｔ／ｈｍ２ ）如表１４ ４ ４所示，试根据这组数据估计哪一种水稻品      ２３６                       １４  统 计 第 章    种的产量比较稳定．     表１４ ４ ４      品 种 第１年 第２年 第３年 第４年 第５年     甲 ９．８ ９．９ １０．１ １０ １０．２     乙 ９．４ １０．３ １０．８ ９．７ ９．８       解 甲品种的样本平均数为１０，样本方差为      ［（９．８－１０） ２＋（９．９－１０） ２＋（１０．１－１０） ２＋     （１０－１０） ２＋（１０．２－１０） ２ ］÷５   ＝０．０２．      乙品种的样本平均数也为１０，样本方差为      ［（９．４－１０） ２＋（１０．３－１０） ２＋（１０．８－１０） ２＋     （９．７－１０） ２＋（９．８－１０） ２ ］÷５   ＝０．２４４．      因为０．２４４＞０．０２，所以由这组数据可以认为甲种水稻的产量    比较稳定．      例７ 为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后     必须更换．已知某校使用的１００只日光灯在必须换掉前的使用天数如    表１４ ４ ５所示，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差．      表１４ ４ ５     ４５１～ ４８１～ ５１１～ ５４１～ ５７１～ ６０１～ ６３１～ ６６１～  使用天数   ４８０ ５１０ ５４０ ５７０ ６００ ６３０ ６６０ ６９０     日光灯数 １ １１ １８ ２０ ２５ １６ ７ ２       分析 用每一区间的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求    平均使用寿命．    解 各区间的组中值分别为４６５．５，４９５．５，５２５．５，５５５．５，５８５．５，     ６１５．５，６４５．５，６７５．５，由此算得平均数约为     ４６５．５×１％＋４９５．５×１１％＋５２５．５×１８％＋５５５．５×２０％＋     ５８５．５×２５％＋６１５．５×１６％＋６４５．５×７％＋６７５．５×２％     ＝５６８．４≈５６８（天）．     这些组中值的方差为     １   ×［１×（４６５．５－５６８．４） ２＋１１×（４９５．５－５６８．４） ２＋１８×  １００    （５２５．５－５６８．４） ２＋２０×（５５５．５－５６８．４） ２＋２５×（５８５．５－５６８．４） ２＋     １６×（６１５．５－５６８．４） ２＋７×（６４５．５－５６８．４） ２＋２×（６７５．５－５６８．４） ２ ］      ２３７           必修第二册 数学 ＝２１２８．５９（天 ２ ）． 故所求的标准差为槡２１２８．５９≈４６（天）． 答 估计这种日光灯的平均使用寿命约为５６８天，标准差约为 ４６天． 一般地，若取值为狓，狓，…，狓的频率分别为狆，狆，…，狆， １ ２ 狀 １ ２ 狀 则其方差为狆（狓－狓） ２＋狆（狓－狓） ２＋…＋狆（狓－狓） ２． １ １ ２ ２ 狀 狀 从例７可以看出，样本数据中在［５６８－４６×２，５６８＋４６×２］外 的只有３个，也就是说，区间［狓－２狊，狓＋２狊］几乎包含了所有数据． 例８ 某校从在校学生中，用分层抽样的方法抽取男生３２人， 女生１８人．测得他们的身高后，计算得到男生身高的样本平均数为 １７３．５ｃｍ，方差为１７ｃｍ２ ；女生身高的样本平均数为１６３．８３ｃｍ，方差 为３０．０３ｃｍ２．求所有５０个身高数据的样本方差． 解 记男生样本为狔，狔，…，狔 ，平均数为狔 ，方差为狊２ ；记 １ ２ ３２ 男 男 女生样本为狕，狕，…，狕，平均数为狕，方差为狊２ ；所有数据样本的 １ ２ １８ 女 女 平均数为狓 ，方差为狊２ ．样本总量为５０． 总 总 所有５０个数据的平均数为 ３２ １８ ３２ １８ 狓 ＝ 狔 ＋ 狕 ＝ ×１７３．５＋ ×１６３．８３≈１７０．０２（ｃｍ）． 总 ５０ 男 ５０ 女 ５０ ５０ 下面计算所有数据的样本方差．根据方差的定义， １［∑３２ ∑１８ ］ 狊２ ＝ （狔－狓 ） ２＋ （狕－狓 ） ２ ． 总 ５０ 犻 总 犼 总 犻＝１ 犼＝１ 因为其中的数据是未知的，需要把上面的式子转化为各层样本 方差、样本平均数和样本量的函数． 请参阅下面的 经过计算可得狊２ ≈４３．２４（ｃｍ２ ）． 总 “链接”． 一般地，如果总体分为犽层，第犼层抽取的样本为狓 ，狓，…， 犼１ 犼２ 狓 ，第犼层的样本量为狀，样本平均数为狓，样本方差为狊２ ，犼＝１， 犼狀 犼 犼 犼 犼 ∑犽 ２，…，犽．记 狀＝狀，那么，所有数据的样本方差为 犼 犼＝１ 狊２ ＝ １∑犽 ∑ 狀 犼 （狓－狓） ２＝ １∑犽 狀［狊２＋（狓－狓） ２ ］． 总 狀 犼狋 狀 犼 犼 犼 犼＝１狋＝１ 犼＝１ 链 接 分层抽样数据的方差计算 根据方差的定义，在例８中， １［∑３２ ∑１８ ］ 狊２ ＝ （狔－狓 ） ２＋ （狕－狓 ） ２ 总 ５０ 犻 总 犼 总 犻＝１ 犼＝１ ２３８            １４  统 计 第 章   ｛  １ ∑３２   ＝ ［（狔－狔）＋（狔 －狓 ）］ ２＋  ５０ 犻 男 男 总  犻＝１   ｝  ∑１８  ［（狕－狕）＋（狕 －狓 ）］ ２   犼 女 女 总  犼＝１  ｛   ＝ １ ∑３２ ［（狔－狔） ２＋２（狔－狔）（狔 －狓 ）＋   ５０ 犻 男 犻 男 男 总   犻＝１   ∑１８   （狔 －狓 ） ２ ］＋ ［（狕－狕） ２＋  男 总 犼 女  犼＝１ ｝    ２（狕－狕）（狕 －狓 ）＋（狕 －狓 ） ２ ］  犼 女 女 总 女 总    ｛［  １ ∑３２ ∑３２  ＝ （狔－狔） ２＋ ２（狔－狔）（狔 －狓 ）＋  ５０ 犻 男 犻 男 男 总   犻＝１ 犻＝１   ∑３２ ］ ［ ∑１８   （狔 －狓 ） ２ ＋ （狕－狕） ２＋  男 总 犼 女   犻＝１ 犼＝１  ］｝  ∑１８ ∑１８  ２（狕－狕）（狕 －狓 ）＋ （狕 －狓 ） ２ ，   犼 女 女 总 女 总   犼＝１ 犼＝１   其中       ∑３２ （狔－狔）（狔 －狓 ）＝ （狔 －狓 ） （∑３２ 狔－ ∑３２ 狔 ）   犻 男 男 总 男 总 犻 男   犻＝１ 犻＝１ 犻＝１   （∑３２ ）   ＝ （狔 －狓 ） 狔－３２狔 ＝０．  男 总 犻 男   犻＝１    同理      ∑１８  （狕－狕）（狕 －狓 ）＝０．   犼 女 女 总   犼＝１   于是     ｛   狊２ ＝ １ ［∑３２ （狔－狔） ２＋ ∑３２ （狔 －狓 ） ２ ］ ＋   总 ５０ 犻 男 男 总   犻＝１ 犻＝１   ［∑１８ ∑１８ ］ ｝   （狕－狕） ２＋ （狕 －狓 ） ２  犼 女 女 总   犼＝１ 犼＝１   １  ＝ ｛［３２狊２ ＋３２（狔 －狓 ） ２ ］＋［１８狊２ ＋１８（狕 －狓 ） ２ ］｝   ５０ 男 男 总 女 女 总    ≈４３．２４（ｃｍ２ ）．      信息技术 在Ｅｘｃｅｌ中，可分别用函数“ＶＡＲＰ（）”和“ＳＴＤＥＶＰ（）”计算方差    和标准差．    在ＧＧＢ的输入框中分别输入“方差［ ］”和“标准差［ ］”计算     方差和标准差．       练 习 １．已知一组数据１，３，２，５，４，则这组数据的标准差为 ．   ２．从两个班级各抽５名学生测量身高（单位：ｃｍ），甲班的数据为１６０，１６２，      ２３９                        必修第二册 数学    １５９，１６０，１５９，乙班的数据为１８０，１６０，１５０，１５０，１６０．试估计哪个班级学    生身高的波动小．    ３．若犽，犽，…，犽的方差为３，则２（犽－３），２（犽－３），…，２（犽－３）的方差   １ ２ ８ １ ２ ８   为 ．   ４．利用计算器计算下列两组数据的平均数和标准差．       甲 ９．９ １０．３ ９．８ １０．１ １０．４ １０．０ ９．８ ９．７     乙 １０．２ １０．０ ９．５ １０．３ １０．５ ９．６ ９．８ １０．１         １４．４．３ 用频率直方图估计总体分布         我们已经学习了运用频率直方图分析个体在总体中的分布位    置，由此可知，频率直方图是研究数据分布状况的数学模型．      ● 怎样通过样本数据的频率直方图对总体分布进行估计？     例９ 某市交通部门需要了解新修建的公路某一路段的车流状况，     随机抽查了一个月中７天的车流量，得到如表１４ ４ ６所示的数据样本．      表１４ ４ ６      日期 ２日 ７日 １２日 １８日 ２１日 ２５日 ２９日   时间段     ０：００～１：００ ２３ ７６ ４５ ３７ ５８ １６ ２８    １：００～２：００ １５ ５３ ２４ ４２ ３６ ３８ ４９     ２：００～３：００ ５ ２１ １８ ３２ ２７ ２２ ７    ３：００～４：００ １３ ９ １６ ７ ２２ １９ ６     ４：００～５：００ ５８ ４７ ３３ ５ ２９ ４９ ３３     ５：００～６：００ １２９ １７７ ２０３ １１１ １５５ １６５ ２２３    ６：００～７：００ ２３４ ３２７ ２９７ １８９ ３３２ ４７８ ３７６     ７：００～８：００ ８４７ ９０５ ７８６ ５４６ ８５３ ７６９ ６９５     ８：００～９：００ ６３２ ６０２ ５７２ ４１２ ５１７ ５８８ ６６６    ９：００～１０：００ ４５６ ５２４ ３８９ ３５６ ４３８ ５３７ ４９５     １０：００～１１：００ ４４３ ５３２ ４７８ ４４４ ５１０ ４７３ ５３３     １１：００～１２：００ ５５６ ６２１ ４９８ ５６８ ６４５ ５３９ ６７８    １２：００～１３：００ ４３９ ３２２ ４０３ ５４５ ５５２ ４５３ ４８９     １３：００～１４：００ ６３２ ６８９ ５９９ ６３７ ７４２ ５９９ ６５５    １４：００～１５：００ ２３７ ３０５ ２７７ ２０３ ３１１ ２７６ ３４７     １５：００～１６：００ ３７８ ４０３ ３２１ ２９９ ４１５ １７８ ３２１     １６：００～１７：００ ４７８ ５５５ ３９３ ３８８ ４５１ ２７９ ４３９     １７：００～１８：００ ７３２ ８１０ ７３３ ６８４ ７６７ ７６９ ８２２      ２４０                       １４  统 计 第 章    （续表）     日期  ２日 ７日 １２日 １８日 ２１日 ２５日 ２９日  时间段     １８：００～１９：００ ６５６ ６９８ ７３６ ５９６ ６９３ ７１１ ６７３     １９：００～２０：００ ５７９ ６２１ ６０２ ５５７ ５６２ ４９３ ５９２     ２０：００～２１：００ ４８３ ５６３ ５２１ ５１１ ４６６ ４６１ ３９９     ２１：００～２２：００ ２２１ １９８ ２９５ ２５４ １７９ ３１０ ２６５    ２２：００～２３：００ １１５ ８９ ６７ ３２ １２３ １５４ １７９     ２３：００～２４：００ ７６ ８７ ４８ １９ ８８ １２１ ３３      试估计该公路一天中车流量的分布情况．     解 先用每一时段的车流量数据的平均数估计每个时间段的车   也可直接使用这  流量，得到表１４ ４ ７．  一时段的数据和．     表１４ ４ ７     ０：００～ １：００～ ２：００～ ３：００～ ４：００～ ５：００～ ６：００～ ７：００～  时段  １：００ ２：００ ３：００ ４：００ ５：００ ６：００ ７：００ ８：００     频数 ４０ ３７ １９ １３ ３６ １６６ ３１９ ７７２     频率 ０．００４７０．００４３０．００２２０．００１５０．００４２０．０１９４０．０３７２０．０９０１    ８：００～ ９：００～ １０：００～１１：００～１２：００～１３：００～１４：００～１５：００～  时段   ９：００ １０：００ １１：００ １２：００ １３：００ １４：００ １５：００ １６：００     频数 ５７０ ４５６ ４８８ ５８６ ４５８ ６５０ ２７９ ３３１    频率 ０．０６６５０．０５３２０．０５７００．０６８４０．０５３５０．０７５９０．０３２６０．０３８６     １６：００～１７：００～１８：００～１９：００～２０：００～２１：００～２２：００～２３：００～  时段   １７：００ １８：００ １９：００ ２０：００ ２１：００ ２２：００ ２３：００ ２４：００    频数 ４２６ ７６０ ６８０ ５７２ ４８６ ２４６ １０８ ６７     频率 ０．０４９７０．０８８７０．０７９４０．０６６８０．０５６７０．０２８７０．０１２６０．００７８     （频数合计８５６５，由于取近似出现误差，频率合计０．９９９７）．      由此作出频率直方图（图１４ ４ ５）：                                      图１４ ４ ５     ２４１                        必修第二册 数学    从频率直方图中看出，该路段车流高峰分别为７：００～８：００和    １７：００～２０：００，夜间车流量很小，从５：００起逐步增加．      探 究 交通部门在确定十字路口红绿灯各个方向的时间安排时，要了    解各个方向的车流量的分布情况．请选择某些交通路口，收集数据进    行统计分析，作出推断：各个方向的绿灯时间的分配是否合理？并向     有关部门提出建议．      练 习 １．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：血液酒精浓度在８０ｍｇ／１００ｍｌ    （含８０）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和三个月以上六个月以下    暂扣驾驶证，并处５００元以上２０００元以下罚款．据《法制晚报》报道，２００９    年８月１５日至８月２８日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共５００人．如图，     这是对这５００人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率直方   图，则属于醉酒驾车的人数约为（ ）．                            （第１题）     Ａ．２５ Ｂ．５０ Ｃ．７５ Ｄ．１００    ２．下面是某市９月２６日和９月２９日市区出现堵车的时刻，试列出这两天的    堵车时刻的频率分布表和频率直方图，并分析该市每天大约在什么时间段    是行车高峰期．     ８：０１ ８：０２ ９：３０ ９：３１ ９：５１ １０：２４ １０：５１   ９月２６日   １１：２１ １５：５２ １６：３０ １７：２９ １７：３０ １８：０４ １８：２２   ８：２９ ８：３２ ８：３３ ９：２９ ９：５８ １０：１４ １０：３３ １１：４３   ９月２９日   １４：００ １６：０８ １６：２９ １６：５４ １６：５５ １７：０５ １８：０８ １８：０９     ３．通过抽样，我们获得了１００位居民某年的月平均用水量（单位：ｔ），如下表：      ３．１ ２．５ ２．０ ２．０ １．５ １．０ １．６ １．８ １．９ １．６    ３．４ ２．６ ２．２ ２．２ １．５ １．２ ０．２ ０．４ ０．３ ０．４    ３．２ ２．７ ２．３ ２．１ １．６ １．２ ３．７ １．５ ０．５ ３．８    ３．３ ２．８ ２．３ ２．２ １．７ １．３ ３．６ １．７ ０．６ ４．１    ３．２ ２．９ ２．４ ２．３ １．８ １．４ ３．５ １．９ ０．８ ４．３    ３．０ ２．９ ２．４ ２．４ １．９ １．３ １．４ １．８ ０．７ ２．０    ２．５ ２．８ ２．３ ２．３ １．８ １．３ １．３ １．６ ０．９ ２．３    ２．６ ２．７ ２．４ ２．１ １．７ １．４ １．２ １．５ ０．５ ２．４    ２．５ ２．６ ２．３ ２．１ １．６ １．０ １．０ １．７ ０．８ ２．４    ２．８ ２．５ ２．２ ２．０ １．５ １．０ １．２ １．８ ０．６ ２．２     试用频率直方图分析该地居民月平均用水量的分布情况．      ２４２                       １４  统 计 第 章      １４．４．４ 百分位数         从１４．３．１节的例２可以看出，通过考察一个具体数据在所有数据    中所处的位置可以判断这个数据相对总体的水平．对于下面的问题：     ２０１６年某省对四年级学生进行了学业水平测试．甲、乙两市参加    测试的学生数分别为３６００人和２８００人．从以往测试的情况看，甲、     乙两市四年级英语学科的成绩总体状况基本相当．那么，     ● 甲市第１２００名与乙市第１１６０名相比，哪个更好一些？     比较成绩的高低主要看其在总体中的位置．为了统一评价标准，     可以用低于这个数据的数据个数占总数据个数的比来刻画其在总体    中的位置水平．    在甲市参加测试的３６００名学生中，成绩低于第１２００名的共有     ２４００人，即共有６７％的学生的成绩低于这个学生的成绩；而在乙市     参加测试的２８００名学生中，成绩低于第１１６０名的共有１６４０人，即    共有５９％的学生的成绩低于这个学生的成绩．因为两市四年级英语学科    的成绩总体状况基本相当，所以甲市第１２００名学生的成绩要好于乙市     第１１６０名学生的成绩．     一般地，一组数据的犽百分位数（ｐｅｒｃｅｎｔｉｌｅ）是这样一个值狆，  犽   它使得这组数据中至少有犽％的数据小于或等于狆，且至少有   犽  （１００－犽）％的数据大于或等于狆．   犽   如果将样本数据从小到大排列成一行，那么犽百分位数狆所处   犽  位置如图１４ ４ ６所示．                图１４ ４ ６     通常，我们按如下方法计算有狀个数据的大样本的犽百分位数：     第１步 将所有数值按从小到大的顺序排列；    犽  第２步 计算狀· ；   １００    犽  第３步 如果结果为整数，那么犽百分位数位于第狀· 位和   １００    下一位数之间，通常取这两个位置上数值的平均数为犽百分位数；     犽  第４步 如果狀· 不是整数，那么将其向上取整（即其整数部  １００     分加上１），在该位置上的数值即为犽百分位数．  ２５百分位数和７５   百分位数分别称为下四 显然，中位数即为５０百分位数，我们也把中位数、２５百分位数和     分位数和上四分位数． ７５百分位数称为四分位数．      ２４３                        必修第二册 数学    例１０ 计算１４．３节的例２中这组数据的上四分位数．     解 排序：    ８７ ８８ ９２ ９５ ９７ １００ １０３ １０３ １０４ １０５    １０５ １０７ １０８ １０８ １１０ １１２ １１３ １１４ １１５ １１５     １１６ １１７ １１７ １１８ １１９ １１９ １２０ １２３ １２４ １２５    １２６ １２７ １２９ １３５ １３６ １３７ １３８ １４２ １４６ １５２      ７５  计算： ４０× ＝３０，  １００      而这组数据中第３０和３１位数分别为１２５和１２６，     １２５＋１２６  所以，这组数据的上四分位数为 ＝１２５．５．  ２      练 习 １．全班２０名学生在一次历史测验中的得分（单位：分）如下：    ２，５，６，７，８，９，１０，１０，１１，１１，１１，１２，１２，１２，１３，１３，１４，１６，１７，１８．    （１）百分位数为２５，４０的得分分别是多少？     （２）１４分的百分位数是多少？    ２．某班共有２４人，小明在一次测验中的成绩为第５名，问：小明成绩的百分    位数是多少？          习题１４．４        感受·理解  １．已知某地连续１０天的最低气温（单位：℃）依次是狓，狓，狓，狓，狓 和   １ ２ ３ ４ ５  狓＋１，狓＋２，狓＋３，狓＋４，狓＋５，若前５天的平均最低气温为７℃，   １ ２ ３ ４ ５   求后５天的平均最低气温．    ２．某工厂一个月（３０天）中的日产值如下：有２天的产值是５．１万元，有３天的    产值是５．２万元，有６天的产值是５．３万元，有８天的产值是５．４万元，有７     天的产值是５．５万元，有３天的产值是５．６万元，有１天的产值是５．７万元．    试计算该厂这个月的平均日产值．    ３．为了考察某种大麦穗长的分布情况，在一块试验田里抽取了１００穗，量得它     们的长度（单位：ｃｍ）如下，请列出频率分布表，并估计该试验田里麦穗的平   均长度．      ６．５ ６．４ ６．７ ５．８ ５．９ ５．９ ５．２ ４．０ ５．４ ５．６    ５．８ ５．５ ６．０ ６．５ ５．１ ６．５ ５．３ ５．９ ５．５ ５．８    ６．２ ５．４ ５．０ ５．０ ６．８ ６．０ ５．０ ５．７ ６．０ ５．５    ６．８ ６．０ ６．３ ５．５ ５．０ ６．８ ６．６ ６．０ ７．０ ６．４   ６．４ ５．８ ５．９ ５．７ ６．８ ６．６ ６．０ ６．４ ５．７ ７．４    ６．０ ５．４ ６．５ ６．０ ６．８ ５．８ ６．３ ６．０ ６．３ ５．６    ５．３ ６．４ ５．７ ６．７ ６．２ ５．６ ６．０ ６．７ ６．７ ６．０    ５．５ ６．２ ６．１ ５．３ ６．２ ６．８ ６．６ ４．７ ５．７ ５．７    ５．８ ５．３ ７．０ ６．０ ６．０ ５．９ ５．４ ６．０ ５．２ ６．０   ６．３ ５．７ ６．８ ６．１ ４．５ ５．６ ６．３ ６．０ ５．８ ６．３      ２４４                       １４  统 计 第 章    ４．两台机床同时生产一种零件，日产量相同，在１０天中，两台机床每天的次品    数如下：      甲 １ ０ ２ ０ ２ ３ ０ ４ １ ２     乙 １ ３ ２ １ ０ ２ １ １ ０ １      （１）哪台机床生产次品数的平均数较小？    （２）哪台机床生产状况比较稳定？     ５．甲、乙两台半自动车床加工同一型号的产品，各生产１０００只产品中次品    数分别用狓和狔表示．经过一段时间的观察，发现狓和狔的频率分布如下    表，问：哪一台车床的产品质量较好？       狓 ０ １ ２ ３     犘 ０．７ ０．１ ０．１ ０．１     狔 ０ １ ２ ３     犘 ０．５ ０．３ ０．２ ０      ６．在一次长跑测试中，小明是班上跑得最快的，小彬是班上跑得最慢的，全班    共４０人，分别求小明、小彬长跑成绩的百分位数．     思考·运用 ７．某机构调查了１７种食品的卡路里含量，结果如下：     １７３，１９１，１８２，１９０，１７２，１４７，１４６，１３９，１７５，１３６，１７９，１５３，１０７，１９５，    １３５，１４０，１３８．    （１）求这组数据的平均数、中位数；    （２）用哪种集中趋势参数来代表这组数据更加合适？    ８．某制造商生产长度为６ｃｍ的金属棒，抽样检查４０根，测得每根长度（单位：     ｃｍ，保留两位小数）如下：     ６．０２ ６．０１ ６．０４ ５．９４ ５．９７ ５．９６ ５．９８ ６．０１ ５．９８ ６．０２    ６．００ ６．０３ ６．０７ ５．９７ ６．０１ ６．００ ６．０３ ５．９５ ６．００ ６．００    ６．０５ ５．９３ ６．０２ ５．９９ ６．００ ５．９５ ６．００ ５．９７ ５．９６ ５．９７     ６．０３ ６．０１ ６．００ ５．９９ ６．０４ ６．００ ６．０２ ５．９９ ６．０３ ５．９８     （１）计算上述样本中金属棒的平均长度；    （２）画出频率直方图；    （３）如果允许制造商生产这种金属棒与６ｃｍ的标准有０．２％的离差，那么    抽样检查中合格的金属棒有多少根？合格率是多少？    ９．下面是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据．       每场比赛得分 ３ ６ ７ １０ １１ １３ ３０     频数 ２ １ ２ ３ １ １ １      分别求出该队员得分的中位数、四分位数、４０百分位数．     探究·拓展 １０．一位研究化肥的科学家将一片土地划分为１００个５０ｍ２ 的小块，并在５０个    小块上施用新化肥，留下５０个条件大体相当的小块不施新化肥．施用新化      ２４５                        必修第二册 数学    肥的５０小块土地的小麦产量（单位：ｋｇ）如下：     １５ ２９ ２２ １５ ３ ３０ ２２ １６ ５ ２    ２２ １３ ２０ ２５ ４２ ２５ ２０ ３８ １２ ２９   １４ ２１ ２６ １３ ２１ ２７ １３ ２１ １１ １８    １０ １８ ２４ ２４ ３６ ３４ ２３ １８ １０ ９    １７ ２３ ３３ ８ １６ ２３ ３１ １６ ２３ ４０    没有施用新化肥的５０小块土地的小麦产量（单位：ｋｇ）如下：      ２３ １６ １６ １７ ２２ ３ １０ １０ ８ １４    １６ ５ ２４ １６ ３２ ２３ １５ １８ ９ ２１   ４ ２４ ５ ２４ １５ ２ １５ ２５ １７ ２９    ３３ ３９ １６ １７ ２ １５ １７ １７ ２６ １３    ２６ １１ １８ １９ １２ ２０ ２７ １２ ２８ ２２     你认为新化肥的研制已经取得成功了吗？    １１近年来，我国高速铁路发展迅速，到２０１６年底为止，已经运营的高铁轨道的    总长度已达２．２×１０４ｋｍ，位居世界第一．为了提高营运的效率，铁路部门    在安排停靠站台时通过分班次、间隔站点的方式进行，如京沪高铁Ｇ１２５班    次１１：１０从北京始发，开往上海虹桥（据２０１７年１０月时刻表），停靠站分别     为天津南、德州东、济南西、滕州东、蚌埠南、南京南、镇江南、常州北、昆山    南，而０８：３５从北京始发的Ｇ１１１班次，停靠站分别为德州东、济南西、泰    安、滁州、南京南、丹阳北、无锡东，最后停靠终点站上海虹桥．    试运用统计研究的方法完成下述任务：    （１）如何确定每天的总班次及具体班次的安排？     （２）在确定各个班次停靠站的数量时应考虑哪些因素？如何实施？   （３）在确定各个班次停靠站时应考虑哪些因素？如何实施？                                                                  ２４６                       １４  统 计 第 章    应用与建模 阶梯电价的设计     为了实现绿色发展，避免浪费能源，某市政府计划对居民用电采     用阶梯收费的方法．为此，相关部门在某区随机调查了２００户居民六    月份的用电量（单位：ｋｗ·ｈ），以了解这个城市家庭用电量的情况．数     据如下：    １０７ １０１ ７８ ９９ ２０８ １２７ ７４ ２２３ ３１ １３１     ２１４ １３５ ８９ ６６ ６０ １１５ １８９ １３５ １４６ １２７    ２０３ ９７ ９６ ６２ ６５ １１１ ５６ １５１ １０６ ８     １６２ ９１ ６７ ９３ ２１２ １５９ ６１ ６３ １７８ １９４    １９４ ２１６ １０１ ９８ １３９ ７８ １１０ １９２ １０５ ９６     ２２ ５０ １３８ ２５１ １２０ １１２ １００ ２０１ ９８ ８４    １３７ ２０３ ２６０ １３４ １５６ ６１ ７０ １００ ７２ １６４     １７４ １３１ ９３ １００ １６３ ８０ ７６ ９５ １５２ １８２    ８８ ２４７ １９１ ７０ １３０ ４９ １１４ １１０ １６３ ２０２     ２６５ １８ ９４ １４６ １４９ １４７ １７７ ３３９ ５７ １０９    １０７ １８２ １０１ １４８ ２７４ ２８９ ８２ ２１３ １６５ ２２４    １４２ ６１ １０８ １３７ ９０ ２５４ ２０１ ８３ ２５３ １１３     １３０ ８２ １７０ １１０ １０８ ６３ ２５０ ２３７ １２０ ８４     １５４ ２８８ １７０ １２３ １７２ ３１９ ６２ １３３ １３０ １２７    １０７ ７１ ９６ １４０ ７７ １０６ １３２ １０６ １３５ １３２    １６７ ８２ ２５８ ５４２ ５１ １０７ ６９ ９８ ７２ ４８     １０９ １３４ ２５０ ４２ ３２０ １１３ １８０ １４４ １１６ ５３０     ２００ １７４ １３５ １６０ ４６２ １３９ １３３ ３０４ １９１ ２８３    １２１ １３２ １１８ １３４ １２４ １７８ ２０６ ６２６ １２０ ２７４    １４１ ８０ １８７ ８８ ３２４ １３６ ４９８ １６９ ７７ ５７     根据上述数据，应当如何确定阶梯电价中的电量临界值，才能使    得电价更为合理？        阅 读 恩 格 尔 系 数      德国统计学家恩格尔（Ｃ．Ｌ．Ｅ．Ｅｎｇｅｌ，１８２１—１８９６）从１８５３年     起着手研究工人家庭收支问题．    １８５７年以前，他收集了萨克逊工人家庭的开支记录，发现不同收     入的家庭，花费在各类物品和劳务上的支出比例并不一样．后来，他    又对比比利时工人家庭收支进行研究，相互印证，写出了《比利时工    人家庭的生活费》（１８９５年）一文．                  ２４７                        必修第二册 数学    １８５３～１８８０年比利时工人家庭支出调查统计表     家庭类别 低收入家庭 中等收入家庭 高收入家庭     饮食费 ６２％ ５５％ ５０％     服装费 １６％ １８％ １８％      住房费 １２％ １２％ １２％     燃料费 ５％ ５％ ５％     文教费 ５％ １０％ １５％        他采用归纳法，概括出四项法则，统称“恩格尔法则”：    （１）家庭收入越多，饮食费支出在家庭收入中所占百分比越小；    （２）无论家庭收入多寡，服装费支出在家庭收入中所占百分比差     异不大；    （３）无论家庭收入多寡，房屋租金、照明、煤炭等费用支出在家庭     收入中所占百分比不变；    （４）家庭收入越多，杂费（包括文教费）支出在家庭收入中所占百     分比越大．    １８５７年，恩格尔还根据“家庭收入越多，饮食费支出在家庭收入     中所占百分比越小；家庭收入越少，饮食费支出在家庭收入中所占百    分比越大”这一法则，引申出“恩格尔系数”，作为度量生活水平升降     的标准．    １８８３年，恩格尔又提出“食物消费加权法”，即按年龄、性别的不    同分别给以不同的权数，其目的是使计算工人家庭饮食费支出更为     合理，通称“恩格尔制”．     １８６８年，德国学者施瓦布（Ｈ．Ｓｃｈｗａｂｅ）通过对柏林市家庭支出    的调查研究，对恩格尔１８５７年提出的“住房支出占家庭收入的百分比    不变”这一结论加以修正，改为“家庭越富裕，支付住房费的金额越     大，但占总支出额的比例，平均百分比越小”．这一修正结论被称为     “施瓦布法则”．    试用适当方法获得数据，检测在当今社会，“恩格尔法则”是否仍    然适用．                                  ２４８                                   本章回顾          本章介绍了获取数据的常用方法，并通过实例，研究了如何利用样    本对总体的分布规律、集中趋势、离散程度等特性进行估计和预测．       总 体     ↓    获取数据 → 分 析 → 估 计                       统  试  计 样 样 总 总  普 抽  报 验 本 本 体 体    表 、 设 分 特 征 分 特 征   查 样 布 布  年 数 数  计  鉴     当总体容量很大或检测具有一定的破坏性时，可以从总体中抽     取适当的样本，通过对样本的分析、研究，得到对总体的估计，这就是    统计分析的基本过程．而用样本估计总体就是统计思想的本质．     要准确估计总体，必须合理地选择样本，我们学习的是最常用的     两种抽样方法．获取样本数据后，将其用频率分布表、频率直方图表    示后，蕴含于数据之中的规律就会得到直观的揭示．用样本平均数、    众数、中位数可以估计总体的集中趋势，用样本极差、方差（标准差）     可以估计总体的离散程度．    总之，统计的基本思想是从样本数据中发现统计规律，实现对总     体的估计．       复 习 题        感受·理解  １．若将容量为１００的样本数据分为如下８组，则第３组的频率为（ ）．    Ａ．０．１４ Ｂ．０．０３ Ｃ．０．０７ Ｄ．０．２１       组 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８     频 数 １０ １３ １４ １５ １３ １２ ９     １  ２．调查某班学生的平均身高，从５０名学生中抽取 ，应如何抽样？如果知道  １０     男女生（男生３０人，女生２０人）的身高显著不同，又应如何抽样？    ３．“任何人服用某种药后，７天内感冒都能痊愈，所以这种药是治疗感冒的特    效药．”这个说法正确吗？为什么？      ２４９                        必修第二册 数学    ４．有１４０位选手参加高尔夫球赛，他们的成绩统计如下：      杆 数 ６５ ６６ ６７ ６８ ６９ ７０ ７１ ７２ ７３ ７４ ７５     选手数 １ ２ ５ ３ ８ １７ ２０ ３１ ２２ ２１ １０      （１）列出频率分布表； （２）画出条形统计图．     ５．对你班同学进行抽样调查，了解零花钱的使用情况．   ６．２００名学生参与研究性学习，每人仅参加１个课题组．其中参加文学类的有     ３３人，参加理化类的有３０人，参加数学类的有６２人，参加社会科学类的有    ４７人，参加信息类的有２８人．    （１）列出学生参加各类课题组的频率分布表并作出相应的扇形统计图；    （２）画出条形统计图．    ７．对某种电子元件进行寿命追踪调查，情况如下表：      １０００～ ２０００～ ３０００～ ４０００～ ５０００～  寿命／ｈ  ２０００ ３０００ ４０００ ５０００ ６０００     个 数 ２０ ３０ ８０ ４０ ３０      （１）列出频率分布表；    （２）画出频率直方图和折线图；    （３）估计该电子元件的寿命在１０００～４０００ｈ内的百分比；     （４）估计该电子元件的寿命在４０００ｈ以上的百分比．   ８．从参加环保知识竞赛的学生中抽出６０名学生，将其成绩（均为整数）整理后     画出的频率直方图如图所示．观察图形，回答下列问题：   （１）［７９．５，８９．５）这一组的频数和频率分别为多少？     （２）估计该次环保知识竞赛的及格率（６０分及以上为及格）；    （３）求８９．５的百分位数．                           （第８题）     ９．甲、乙两名学生某门课程的５次测试成绩依次分别为６０，８０，７０，９０，７０和    ８０，６５，７０，８０，７５，因为 ，所以学生 成绩更稳定．    １０．下面是从某校高一学生中抽取的２０名学生的学习用书的质量（单位：ｋｇ）：    ８．４ １０．１ ６．３ ７．１ ６．２ ６．５ ７．６ ８．０ ８．５ ６．４     １０．３ ８．８ ５．２ ４．６ ７．８ ３．９ ４．８ ７．２ ８．０ ６．８    （１）作出频率直方图；    （２）利用频率直方图的组中值对总体均值及方差进行估计．    １１．下面是某篮球运动员投篮得分的频数分布表，其得分的众数是多少？中位    数是多少？下四分位数是多少？９分的百分位数是多少？      ２５０                       １４  统 计 第 章    得 分 频 数    １０ １    ９ ３    ８ ５    ７ ４    ６ ２      思考·运用 １２．下面是一次考试结果的频数直方图，请据此估计这次考试的平均分．                           （第１２题）     １３．请你收集有关数据，估算我国２０１６年年龄为１８岁的人口数．    １４．学过本章内容后，当看到含有数据的新闻报道、广告或某种新发现时，为检    验其理论是否可靠，你要思考哪些问题？     探究·拓展 １５．某大学美术系平面设计专业的报考人数连创新高，报名刚结束，某考生想知    道这次报考该大学美术系平面设计专业的人数．这所大学美术系平面设计    专业考生的考号是按０００１，０００２，…这样的从小到大顺序依次排列的．该考     生随机地了解了５０个考生的考号，具体如下：     ０４０００９０４０７４７００９００６３６０７１４００１７０４３２０４０３０２７６    ０９８６０８０４０６９７０４１９０７３５０２７８０３５８０４３６０９４６０１２３    ０６４７０３４９０１０５０１８６００７９０４３４０９６００５４３０４９５０９７４    ０２１９０３８００３９７０２８３０５０４０１４００５１８０９６６０５５９０９１０    ０６５８０４４２０６９４００６５０７５７０７０２０４９８０１５６０２２５０３２７     请你给出一种方法，帮助该考生，根据这５０个随机抽取的考号，估计这     一年报考该大学美术系平面设计专业的考生总数．   １６．（阅读题）阅读下面关于拿破仑进军和撤出莫斯科的统计图：                                     同俄国的战役中拿破仑军队的士兵伤亡人数图（１８１２～１８１３年）      ２５１                        必修第二册 数学    这是法国工程师ＣｈａｒｌｅｓＪｏｓｅｐｈＭｉｎｎａｒａｌ（１７８１—１８７０）的经典图（作于    １８６１年），图中标注了法国军队从进入俄国到撤出俄国的时间、过程及军队    人数变化等信息．    试叙述这次战争的过程、法国军队的变化情况．感兴趣的同学可以查阅    相关资料，了解有关历史史实．                                                                                                                              ２５２                                   本章测试           一、填空题 １．某地要调查７月份该地超市的饮料的月销售量，拟抽取部分超市进行调查．     该地超市的面积规模分布如下表：       规模面积 小（１００ｍ２以下） 中（１００～３３０ｍ２） 大（３３０ｍ２以上）     超市个数 ６０００ ４０００ １００       应该采用的抽样方法是 ．   ２．若２００辆汽车通过某段公路时的速度频率直方图如图所示，则速度在区间     ［４０，５０）内的汽车大约有 辆．                         （第２题）     ３．某次青年歌手大奖赛上９位评委给某位选手打分为７９，８４，８４，８４，８６，８７，     ９１，９３，９６，这组数据的众数是 ．    ４．在某年的足球联赛中，甲球队每场比赛的平均失球数是１．８，全年比赛失球    个数的标准差为１．１；乙球队每场比赛的平均失球数是１．５，全年比赛失球个    数的标准差是０．６．有下列说法：① 平均说来甲球队的成绩比乙球队的成绩    好；② 乙球队比甲球队防守状况更稳定．其中正确的有 ．（填序号）    ５．已知某班级２０名男生俯卧撑的测试成绩统计如下表所示，那么这２０名男    生俯卧撑的平均成绩为 ．       成 绩 ２０ １８ １５ １２ １０ ６ ３     人 数 １ ２ ４ ３ ６ ３ １       ６．在共有１００名学生参加的某项测试中，小张的成绩排名是第７５名，小李成     绩的百分位数为７５，则他们两人中成绩较好的是 ．       二、选择题 ７ ．对 于 数 据 ２ ， ６， ８ ，３ ， ３， ４ ，６ ， ８， 下 列 说 法 中 正 确 的 个 数为（ ）．    （１）平均数为５；    （２）没有众数；    （３）没有中位数．    Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３      ２５３                        必修第二册 数学    ８．某企业２０１６年年度营业费用情况如图所示，则下面说法中正确的是（ ）．    Ａ．基本工资占比最高 Ｂ．奖金高于基本工资    Ｃ．加班费与包装费相同 Ｄ．以上都不对                             （第８题）     ９．在某频率直方图中，从左到右共有１１个小矩形，若居中的那个小矩形的面     积等于其他１０个小矩形的面积和的 １ ，且样本容量为１６０，则居中的那组   ４    数据的频数为（ ）．    Ａ．３２ Ｂ．０．２    Ｃ．４０ Ｄ．０．２５    １０．已知数据狓，狓，…，狓的平均数为２，方差为３，那么数据２狓＋３，２狓＋   １ ２ １０ １ ２   ３，…，２狓 ＋３的平均数和方差分别为（ ）．  １０   Ａ．２，３ Ｂ．７，６    Ｃ．７，１２ Ｄ．４，１２       三、解答题 １１．要从１０部手机中抽取４部进行质量检验，请写出用抽签法抽样的过程．     １２．某网站调查网民对当前网页的满意程度，在登录的所有网民中，收回有效帖    子共５００００份，其中持各种态度的份数如下表所示．      很满意 满 意 一 般 不满意     １０８００ １２４００ １５６００ １１２００      为了了解网民的具体想法和意见，以便决定如何完善网页设计与维护，打算    从中抽选５００份进行统计分析．问：为使样本更具有代表性，每类中各应抽     取多少份？    １３．有一个容量为１００的样本，数据分组及各组的频数如下：［１２．５，１５．５），６；    ［１５．５，１８．５），１６；［１８．５，２１．５），１８；［２１．５，２４．５），２２；［２４．５，２７．５），    ２０；［２７．５，３０．５），１０；［３０．５，３３．５］，８．    （１）列出样本的频率分布表；     （２）估计总体中在［２１．５，３０．５）的数据所占的百分比．    １４．对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了６次测试，测得他们的最大    速度的数据如下表所示．试根据这些数据，比较他们的运动水平．      甲 ２７ ３８ ３０ ３７ ３５ ３１     乙 ３３ ２９ ３８ ３４ ２８ ３６       ２５４                       １４  统 计 第 章    １５．栽植２００棵幼松，１０年后测出部分树的高度如下：      高度／ｃｍ 棵 数 高度／ｃｍ 棵 数     未满１００ ３ １８０～２００ ２６    １００～１２０ ６ ２００～２２０ １３     １２０～１４０ １０ ２２０～２４０ ６     １４０～１６０ ２２ ２４０以上 ４     １６０～１８０ ３５ 合计 １２５      （１）试估计上表中的１２５棵树的高度的平均数；    （２）已知其余７５棵树的高度的平均数为１７２．４ｃｍ，试估计这２００棵树的高     度的平均数．                                                                                                      ２５５                           第１５章 概 率                                                                                                                                                     书书书                                                                                                                                                                                         概率论的诞生，虽然渊源于靠碰运气取胜的游戏，但在     今天，却已成为人类知识的最重要的一部分．     ———拉普拉斯                                                                 抛掷两颗骰子，向上的点数之和是多少？这是事先不能断定的，     具有“随机性”．因此，我们称“抛掷两颗骰子，结果向上的点数之和为     ６”是一个随机事件，它可能发生，也可能不发生．                        表面上看，随机事件的发生与否毫无规律，但实践经验告诉我们，    大量反复抛掷两颗骰子，“结果向上的点数之和为２”与“结果向上的点     数之和为６”这两个随机事件发生的可能性有着本质的区别．     ● 如何用数学语言来刻画随机事件？     ● 用怎样的数学模型来量化随机事件发生的可能性？              ２５８                       １５  概 率 第 章       １５．１      随机事件和样本空间         观察下列现象：     （１）在标准大气压下把水加热到１００℃，结果水沸腾；    （２）向空中抛掷一块石头，结果石头落回地面；    （３）同性电荷，互相吸引；     （４）把实心铁块丢入水中，结果铁块浮起；     （５）买一张福利彩票，结果中奖；    （６）抛掷一枚硬币，结果正面向上．      ● 这些现象各有什么特点？     （１）（２）两种现象必然发生，（３）（４）两种现象不可能发生，（５）（６）    两种现象可能发生，也可能不发生．    在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象     就是确定性现象．在一定条件下，某种结果可能发生，也可能不发生，     事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象．在自然界和人    类社会的生产与生活中，存在着大量的确定性现象和随机现象．    对某随机 现 象 进 行 的 实 验、观 察 称 为 随 机 试 验（ｒａｎｄｏｍ     ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ），简称试验．在相同条件下，试验可以重复进行，试验的结    果有多个，全部可能结果在试验前是明确的，但不能确定会出现哪一    个结果．     例如，抛掷一枚硬币，观察正、反面出现的情况．    我们把随机试验的每一个可能结果称为样本点（ｓａｍｐｌｅｐｏｉｎｔ），    用ω表示，所有样本点组成的集合称为样本空间（ｓａｍｐｌｅｓｐａｃｅ），用Ω     表示．如果样本空间Ω是一个有限集合，则称样本空间Ω为有限样本    空间．样本空间的子集称为随机事件（ｒａｎｄｏｍｅｖｅｎｔ），简称事件．事件  当一个试验的结   一般用犃，犅，犆等大写英文字母表示．当一个事件仅包含单一样本   果是犃的一个元素   时，称事件犃发生了． 点时，称该事件为基本事件（ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙｅｖｅｎｔ）．     显然，Ω（全集）是必然事件，（空集）是不可能事件．    引入样本空间的概念后，我们可以方便地运用集合的语言来刻    画事件．      例１ “抛掷一颗骰子，结果向上的点数是偶数”记为事件犃，分    别写出样本空间Ω及事件犃所包含的样本点．     解 记“抛掷一颗骰子，结果向上的点数是犽”为ω（犽＝１，２，３，  犽   ４，５，６），则    Ω＝ ｛ω，ω，ω，ω，ω，ω｝，   １ ２ ３ ４ ５ ６   犃＝ ｛ω，ω，ω｝．  ２ ４ ６     ２５９                        必修第二册 数学   一个事件的完整表述分为两部分，前一部分为试验的条件，后一     部分为试验的结果．例如，事件犃“抛掷一枚硬币，结果正面向上”，有    时可省略表述为“抛掷一枚硬币，正面向上”．      例２ “抛掷一颗骰子，结果向上的点数是偶数”记为事件犃，    “抛掷一颗骰子，结果向上的点数是２”记为事件犅，分别写出犃，犅所     包含的样本点，并用集合的语言分析犃，犅两者之间的关系．     解 记“抛掷一颗骰子，结果向上的点数为犽”为ω（犽＝１，２，３，   犽   ４，５，６），则     犃＝ ｛ω，ω，ω｝，   ２ ４ ６   犅＝ ｛ω｝．  ２    不难发现犃，犅两者之间的关系为犅犃，因此“事件犅发生必导     致事件犃发生”．这时，我们称事件犃包含事件犅（或事件犅包含于事    件犃）．      例３ “抛掷一颗骰子，结果向上的点数是偶数”记为事件犃，     “抛掷一颗骰子，结果向上的点数大于４”记为事件犅，“抛掷一颗骰    子，结果向上的点数或为偶数或大于４”记为事件犆，分别写出犃，犅，犆    所包含的样本点，并用集合的语言分析犃，犅，犆三者之间的关系．     解 记“抛掷一颗骰子，结果向上的点数为犽”为ω（犽＝１，２，３，   犽   ４，５，６），则     犃＝ ｛ω，ω，ω｝，  ２ ４ ６   犅＝ ｛ω，ω｝，   ５ ６  犆＝ ｛ω，ω，ω，ω｝．   ２ ４ ５ ６    不难发现犃，犅，犆三者之间的关系为犆＝犃∪犅，因此“事件犃与    犅至少有一个发生即为事件犆发生”．这时，我们称犆是犃与犅的并，     也称犆是犃与犅的和，并记作犆＝犃＋犅．      例４ “抛掷一颗骰子，结果向上的点数是偶数”记为事件犃，    “抛掷一颗骰子，结果向上的点数不小于４”记为事件犅，“抛掷一颗骰     子，结果向上的点数是不小于４的偶数”记为事件犆，分别写出犃，犅，    犆所包含的样本点，并用集合的语言分析犃，犅，犆三者之间的关系．      这里犃，犅，犆也 解 记“抛掷一颗骰子，结果向上的点数为犽”为ω（犽＝１，２，３，  犽    可以写成犃＝｛２，４， ４，５，６），则   ６｝，犅＝ ｛４，５，６｝， 犃＝ ｛ω，ω，ω｝，    ２ ４ ６  犆＝｛４，６｝． 犅＝ ｛ω，ω，ω｝，   ４ ５ ６   犆＝ ｛ω，ω｝．   ４ ６   不难发现犃，犅，犆三者之间的关系为犆＝犃∩犅，因此“事件犃与     犅同时发生即为事件犆发生”．这时，我们称犆是犃与犅的交，也称犆      ２６０                       １５  概 率 第 章    是犃与犅的积，并记作犆＝犃犅．     练 习 １“同时抛掷两枚硬币，结果一枚正面向上，一枚反面向上”记为事件犃，分别写     出Ω及犃所包含的样本点．   ２“抛掷一颗骰子，结果向上的点数是偶数”记为事件犃，“抛掷一颗骰子，结果     向上的点数是奇数”记为事件犅．分别写出Ω，犃，犅所包含的样本点，并用集    合的语言分析犃，犅两者之间的关系．      习题１５．１         感受·理解 １．指出下列事件中，哪些是随机事件、必然事件或不可能事件：    （１）任取３条线段，这３条线段恰好能组成直角三角形；    （２）任取１个正方体的３个顶点，这３个顶点不共面；     （３）从１个三角形的３个顶点处各任画１条射线，这３条射线交于一点；    （４）把９写成两个实数的和，其中一定有１个数小于５；    （５）实数犪，犫不都为０，但犪２＋犫２＝０；    （６）汽车排放尾气会污染环境；    （７）明天早晨有雾；    （８）明年７月２８日的最高气温高于今年８月１０日的最高气温．    ２．现有１０个同类产品，其中７个是正品，３个是次品．有以下事件：从这１０个产     品中任意抽取４个产品，①４个产品都是正品；② 至少有１个次品；③４个产   品都是次品；④ 至少有１个正品．其中随机事件为 ，不可能事件为     ，必然事件为 ．（填序号）    ３“抛掷一颗骰子，结果向上的点数大于３”记为事件犃，“抛掷一颗骰子，结果    向上的点数小于５”记为事件犅．分别写出犃＋犅与犃犅所包含的样本点．     思考·运用 ４一只不透明的口袋内装有大小相同的３个球，且分别标有１，２，３三个号码．记    “从袋中有放回地抽取２个球，第二个球的号码大于第一个球的号码”为事件    犃，“从袋中有放回地抽取２个球，第二个球的号码是２”为事件犅．分别写出Ω，     犃，犅及犃＋犅所包含的样本点．    ５一只不透明的口袋内装有大小相同的３个球，且分别标有１，２，３三个号码．    记“从袋中不放回地抽取２个球，第一个球的号码是１”为事件犃，“从袋中不    放回地抽取２个球，第二个球的号码是２”为事件犅．分别写出Ω，犃，犅及犃犅    所包含的样本点．     探究·拓展 ６（阅读题）树形图（ＴｒｅｅＤｉａｇｒａｍ）是一种有层次地枚举各种可能情况的可视     化方法．树形图有助于我们直观地探求某些样本空间．例如，考察有两个孩子   的家庭，记“从中任意抽取一个家庭，两个孩子是一男一女”为事件犃．我们画     出如图所示的树形图，可知样本空间Ω＝｛（男，男），（男，女），（女，男），（女，    女）｝，事件犃＝｛（男，女），（女，男）｝．    用树形图的方法分析上述习题５．   （第６题）                ２６１                        必修第二册 数学       １５．２      随机事件的概率          我们已经学习过用概率来量化一个事件在一次试验中发生的可    能性的大小，将事件记为犃，用犘（犃）表示事件犃发生的概率，则     犘（犃）满足如下基本性质：       ０≤犘（犃）≤１．      对于必然事件Ω和不可能事件，显然      犘（Ω）＝１，犘（）＝０．       这是概率满足的第二个基本性质．     ● 怎样确定一个随机事件发生的概率呢？      记｛ω｝为“抛掷一颗骰子，结果向上的点数是犽”（犽＝１，２，３，４，  犽   ５，６），这里，样本空间由６个样本点组成，即Ω＝ ｛ω，ω，ω，ω，   １ ２ ３ ４   ω，ω｝．并且，在一次试验中，每个基本事件｛ω｝（犽＝１，２，…，６）   ５ ６ 犽   发生的可能性都相同，这时也称这些基本事件为等可能基本事件．    上面的问题具有以下两个特点：    （１）样本空间Ω只含有有限个样本点；     （２）每个基本事件的发生都是等可能的．    我们将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型     （ｃｌａｓｓｉｃａｌｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｍｏｄｅｌ）．    在古典概型中，如果样本空间Ω＝ ｛ω，ω，…，ω｝（其中，狀为   １ ２ 狀   样本点的个数），那么每一个基本事件｛ω｝（犽＝１，２，…，狀）发生的   犽   概率都是 １ ．如果事件犃由其中犿个等可能基本事件组合而成，即犃   狀     中包含犿个样本点，那么事件犃发生的概率为    犿  犘（犃）＝ ．  犿  犘（犃）＝ ＝ 狀  狀    犃包含的样本点数 回到上述抛掷一颗骰子的试验中，可知  ．  样本点总数   Ω＝ ｛ω，ω，ω，ω，ω，ω｝，犃＝ ｛ω，ω，ω｝．   法国数学家拉普拉斯 １ ２ ３ ４ ５ ６ ２ ４ ６   ３ １  （Ｌａｐｌａｃｅ）在１８１２年将 根据古典概型计算概率的方法得犘（犃）＝ ＝ ．  ６ ２   其作为概率的一般定   义．现通常称它为概率 例１ 一只不透明的口袋内装有大小相同的５个球，其中３个     的古典定义． 白球、２个黑球，“从中一次摸出２个球，结果都是白球”记为事件犃，     求犘（犃）．      ２６２                       １５  概 率 第 章    分析 可用枚举法找出所有的样本点．     一次摸出２个 解 分别记白球为１，２，３号，黑球为４，５号，样本点（１，２）表   球，没有先后之分，因 示“摸到１，２号球”（余类推），则样本空间Ω为     此，样本点（２，１）即为 Ω＝ ｛（１，２），（１，３），（１，４），（１，５），（２，３），    样本点（１，２）．  （２，４），（２，５），（３，４），（３，５），（４，５）｝，     犃＝ ｛（１，２），（１，３），（２，３）｝．     ３  因此， 犘（犃）＝ ．  １０     图１５ ２ １直观地给出了Ω与犃的关系．                              图１５ ２ １ 图１５ ２ ２      例２ 豌豆的黄绿色性状的遗传由其一对基因决定，其中决定     黄色的基因记为Ｄ，决定绿色的基因记为ｄ，则杂交所得第一子代的    一对基因为Ｄｄ．若第二子代的Ｄ，ｄ基因的遗传是等可能的，求第二    子代为黄色的概率（只要有基因Ｄ就是黄色，只有两个基因全是ｄ     时，才显现绿色）．     解 由于第二子代的Ｄ，ｄ基因的遗传是等可能的，故来自父方的配    子Ｄ，ｄ与来自母方的配子Ｄ，ｄ随机组合，共有４种可能（图１５ ２ ２），即    Ω＝ ｛ＤＤ，Ｄｄ，ｄＤ，ｄｄ｝．     记“第二子代为黄色”为事件犃，则      犃＝ ｛ＤＤ，Ｄｄ，ｄＤ｝，    ３   因此，犘（犃）＝ ＝０．７５．  ４    答 第二子代为黄色的概率为０．７５．       思 考 你能求出上例中第二子代的种子经自花传粉得到的第三子代为   黄色的概率吗？       例３ 同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数．     （１）写出样本空间Ω所包含的样本点．   （２）点数之和是２的概率是多少？     （３）点数之和是６的概率是多少？     （４）点数之和是３的倍数的概率是多少？      ２６３                        必修第二册 数学    解 （１）第一颗骰子向上的点数有６种可能的结果，对每一种结    果，第二颗又都有６种可能的结果，于是一共有     ６×６＝３６    种不同的可能结果．样本点（２，３）表示“第一颗骰子向上的点数为２，     第二颗骰子向上的点数为３”（余类推），则样本空间     Ω＝ ｛（１，１），（１，２），（１，３），（１，４），（１，５），（１，６），     （２，１），（２，２），（２，３），（２，４），（２，５），（２，６），    （３，１），（３，２），（３，３），（３，４），（３，５），（３，６），     （４，１），（４，２），（４，３），（４，４），（４，５），（４，６），    （５，１），（５，２），（５，３），（５，４），（５，５），（５，６），     （６，１），（６，２），（６，３），（６，４），（６，５），（６，６）｝．     （２）记“同时抛掷两颗骰子，结果向上的点数之和是２”为事件犃，    则犃＝｛（１，１）｝，由古典概型可知     １  犘（犃）＝ ．   ３６     （３）记“同时抛掷两颗骰子，结果向上的点数之和是６”为事件犅，    则犅＝｛（１，５），（２，４），（３，３），（４，２），（５，１）｝．    由古典概型可知     ５   犘（犅）＝ ．  ３６    （４）记“同时抛掷两颗骰子，结果向上的点数之和是３的倍数”为     事件犆，则犆＝｛（１，２），（２，１），（１，５），（２，４），（３，３），（４，２），     （５，１），（３，６），（４，５），（５，４），（６，３），（６，６）｝，由古典概型可知     １２ １  犘（犆）＝ ＝ ．  ３６ ３     本题说明，抛掷两颗骰子，“结果向上的点数之和为２”与“结果向     上的点数之和为６”这两个随机事件发生的可能性有着本质的区别．     思 考 １．在例３中，能否将（１，２）与（２，１）视为同一样本点？为什么？     ２．图１５ ２ ３直观地给出了例３第（４）问中的１２种可能结果，    你能用此图求出向上的点数之和是４的倍数的可能结果有多少种吗？                               图１５ ２ ３     ２６４                       １５  概 率 第 章    例４ 用３种不同颜色给图１５ ２ ４中２个矩形随机涂色，每    个矩形只涂１种颜色，求：     （１）２个矩形颜色相同的概率；    （２）２个矩形颜色不同的概率．     图１５ ２ ４ 解 （１）３种不同颜色分别记为１，２，３，样本点（１，３）表示“第一    个矩形涂１号色，第二个矩形涂３号色”（余类推），则样本空间为     Ω＝｛（１，１），（１，２），（１，３），（２，１），（２，２），（２，３），（３，１），（３，    ２），（３，３）｝．     记“２个矩形颜色相同”为事件犃，则犃＝｛（１，１），（２，２），（３，３）｝．    根据古典概型可知     ３ １  犘（犃）＝ ＝ ．  ９ ３     （２）记“２个矩形颜色不同”为事件犅，则犅＝｛（１，２），（１，３），     （２，１），（２，３），（３，１），（３，２）｝．    根据古典概型可知     ６ ２  犘（犅）＝ ＝ ．  ９ ３     思 考 在例４中，事件犃，犅之间有怎样的关系？犘（犃），犘（犅）之间又有     怎样的关系？      从上述问题的解决过程可以看出：在古典概型问题中，求事件犃    的概率的关键是弄清样本空间中样本点的总数（狀），以及事件犃所包     含的样本点的个数（犿）．     练 习 １．某班准备到郊外野营，为此向商店订购了帐篷．如果下雨与不下雨是等可能     的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，    那么下列说法中正确的是（ ）．    ３ １ １   Ａ．一定不会淋雨 Ｂ．淋雨机会为 ４ Ｃ．淋雨机会为 ２ Ｄ．淋雨机会为 ４     ２．已知密码箱的密码由５个数字组成，５个数字都可以任意设定为０～９中的    任何一个数字，假设某人已经设定了５位密码．    （１）若此人忘了密码的所有数字，则他１次就能把锁打开的概率为     ；   （２）若此人只记得密码的前４位数字，则他１次就能把锁打开的概率为     ．    ３．已知１００００件产品中有９０００件是正品，若从中随机选取１件产品，则该产    品是正品的概率为 ．     ４．一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的１个白球和１个黑球，先摸出   １个球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出１个球．     （１）一共可能出现多少种不同的结果？    （２）出现“１个白球、１个黑球”的结果有多少种？    （３）出现“１个白球、１个黑球”的概率是多少？      ２６５                        必修第二册 数学    ５．某拍卖行拍卖的２０幅名画中，有２幅是赝品．某人在这次拍卖中随机买入    了１幅画，求买入的这幅画是赝品的概率．    ６．若从甲、乙、丙、丁４名同学中选出３名代表参加学校会议，则甲被选中的概     率是 ．       获得随机事件发生的概率最直接的方法就是试验或观察．    例如，奥地利遗传学家孟德尔（Ｇ．Ｍｅｎｄｅｌ，１８２２—１８８４）在研究    生物遗传规律时，做了大量的豌豆杂交试验．表１５ ２ １为试验结     果（其中犉 为第一子代，犉 为第二子代）：   １ ２    表１５ ２ １ 豌豆杂交试验结果      性 状 犉 的表现 犉 的表现  １ ２    种子的形状 全部圆粒 圆粒 ５４７４ 皱粒 １８５０ 圆粒∶皱粒≈２．９６∶１    子叶的颜色 全部黄色 黄色 ６０２２ 绿色 ２００１ 黄色∶绿色≈３．０１∶１      孟德尔发现，第一子代出现一种性状（圆粒、黄色）的频率为１，出     现另一性状的频率为０．而第二子代出现前一性状的频率接近０．７５，    出现后一性状的频率接近０．２５．根据试验结果，孟德尔验证了他关于    生物遗传方面的猜想，建立了遗传学的相关理论．     再如，历史上曾经有人做过大量重复抛掷硬币的试验，结果如     表１５ ２ ２所示．     表１５ ２ ２ 历史上做过的抛掷硬币试验结果     犿  实 验 者 抛掷次数狀 正面朝上的次数犿 频率  狀    德·摩根 ２０４８ １０６１ ０．５１８１     布 丰 ４０４０ ２０４８ ０．５０６９    费 勒 １００００ ４９７９ ０．４９７９     皮尔逊 ２４０００ １２０１２ ０．５００５    罗曼诺夫斯基 ８０６４０ ４０１７３ ０．４９８２      有位同学利用Ｅｘｃｅｌ编制了一个小程序，进行抛掷硬币的模拟试    验．图１５ ２ ５是这位同学连续８次模拟试验的结果：            请阅读习题１５．２     第１９题，自己做一下    模拟试验．              图１５ ２ ５      ２６６                       １５  概 率 第 章    从表１５ ２ ２和图１５ ２ ５可以看到，当试验次数很多时，硬    币正面朝上的频率接近于０．５，并在其附近摆动．而硬币正面向上的    概率是０．５．     一般地，对于给定的随机事件犃，在相同条件下，随着试验次数    的增加，事件犃发生的频率会在随机事件犃发生的概率犘（犃）的附     近摆动并趋于稳定．我们将频率的这个性质称为频率的稳定性．因此，    若随机事件犃在狀次试验中发生了犿次，则当试验次数狀很大时，可     犿 犿   以用事件犃发生的频率 狀 来估计事件犃的概率，即犘（犃）≈ 狀 ．       例５ 某市１９９９～２００２年新生儿出生数及其中男婴数（单位：    人）的数据如表１５ ２ ３所示．      表１５ ２ ３     时 间／年 １９９９ ２０００ ２００１ ２００２    出生婴儿数 ２１８４０ ２３０７０ ２００９４ １９９８２     出生男婴数 １１４５３ １２０３１ １０２９７ １０２４２      （１）试计算男婴各年出生的频率（精确到０．００１）；     （２）该市男婴出生的概率约是多少？    １１４５３  解 （１）１９９９年男婴出生的频率为 ≈０．５２４．   ２１８４０    同理可求得２０００年、２００１年和２００２年男婴出生的频率分别为    ０．５２１，０．５１２，０．５１３．     （２）该市各年男婴出生的频率在０．５１至０．５３之间，故该市男婴     出生的概率约为０．５２．     例６ 对某地近５０年的８月１日和９月１日的天气资料进行     分析，其中降雨的结果如表１５ ２ ４所示．      表１５ ２ ４     时 间 近１０年 近２０年 近３０年 近４０年 近５０年    ８月１日降雨／天 ８ １７ ２５ ３３ ４１     ９月１日降雨／天 ３ ７ ９ １３ １６     问：该地８月１日与９月１日哪一天降雨的可能性大？     解 该地８月１日与９月１日的降雨频率如表１５ ２ ５所示     （精确到０．０１）．      表１５ ２ ５     时 间 近１０年 近２０年 近３０年 近４０年 近５０年    ８月１日降雨频率 ０．８ ０．８５ ０．８３ ０．８３ ０．８２     ９月１日降雨频率 ０．３ ０．３５ ０．３ ０．３３ ０．３２      ２６７                        必修第二册 数学    从表１５ ２ ５可以看到，８月１日该地降雨的频率在０．８至    ０．８５之间，其降雨的概率大约在０．８至０．８５之间．而９月１日该地降    雨频率在０．３至０．３５之间，其降雨的概率大约在０．３至０．３５之间．     因此，可以估计该地８月１日的降雨可能性更大一些．     对于随机现象，虽然事先无法确定某个随机事件是否发生，但是     在相同条件下进行大量重复试验时，可以发现随机事件的发生与否    呈现出某种规律性．概率论正是研究随机现象的数量规律的一个数     学分支．       １  练 习 １．某种彩票的中奖概率为 ，这是指（ ）．  １００００    Ａ．买１００００张彩票就一定能中奖    Ｂ．买１００００张彩票中１次奖    Ｃ．若买９９９９张彩票未中奖，则买第１００００张必中奖     Ｄ．买１张彩票中奖的可能性是 １   １００００    ２某城市的天气预报中包含降水概率预报，例如预报“明天降水概率为    ９０％”，这是指（ ）．    Ａ．明天该地区约９０％的地方会降水，其余地方不降水    Ｂ．明天该地区约９０％的时间会降水，其余时间不降水     Ｃ．气象台有９０％的专家认为明天会降水，其余专家认为不降水   Ｄ．明天该地区降水的可能性为９０％     ３．某医院治疗一种疾病的治愈率为１０％，如果前９个病人都没有治愈，那么    第１０个病人就一定能治愈吗？    ４．某工厂为了解某种产品使用１年后损坏的概率，进行了跟踪调查．若从去年    的１月１日到今年的１月１日，发现在１００００件使用的产品中共有４００件    产品损坏，则估计每件产品在１年内损坏的概率约为 ．       习题１５．２       感受·理解 １．从含有５００个个体的总体中，一次性地抽出２５个个体，假定其中每个个体     被抽到的概率相等，那么，总体中某个个体被抽到的概率为 ．    ２．某种产品共１００件，其中有一等品２８件、二等品６５件，一等品与二等品都    是合格品，其余为不合格品．某人买了这些产品中的１件，问：他买到一等    品的概率是多少？买到合格品的概率是多少？    ３．如图，把一个体积为６４ｃｍ３、表面涂有蓝漆的正方体木块锯成６４个体积为     １ｃｍ３ 的小正方体，从中任取１块，求这１块至少有１面涂有蓝漆的概率．   ４．连续抛掷同一颗骰子３次，求向上的点数之和为１６的概率．     ５．１００张卡片上分别写有１，２，３，…，１００，问：    （１）从中任取１张，这张卡片上写的数是６的倍数的结果有多少种？    （２）从中任取１张，这张卡片上写的数是６的倍数的概率是多少？  （第３题）   ６．某数学兴趣小组有男生３名，记为犪，犪，犪；有女生２名，记为犫，犫．现   １ ２ ３ １ ２  从中任选２名学生去参加学校数学竞赛．      ２６８                       １５  概 率 第 章    （１）写出样本空间Ω所包含的样本点；    （２）求参赛学生中恰好有１名男生的概率；    （３）求参赛学生中至少有１名男生的概率．    ７．已知甲、乙、丙三人在３天节日中值班，每人值班１天，那么甲排在乙前面值    班的概率是多少？     ８某电台一档谈话节目的听众来自某市的甲、乙、丙３个县，主持人从这３个   县接听到的电话数与这３个县的人口数成正比．已知甲、乙、丙３个县的人     口数分别为１８５万、８１万和３６万，试求：    （１）随机接听１个电话来自甲县的概率；    （２）这天的第一个电话来自乙县的概率；    （３）这天的第一个电话不是来自丙县的概率．    ９．从一副５２张的扑克牌（不含大、小王）中抽出１张，分别求抽出１张是７的     概率，抽出１张是方块的概率，以及抽出１张是方块７的概率．    １０．在１，２，４，６路公共汽车都要停靠的一个站台（假定没有２辆汽车同时到    站），有个乘客等候１路或４路公共汽车．假定各路公共汽车首先到站的可    能性相等，求首先到站的车就是这位乘客所要乘的公共汽车的概率．    １１．某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩记录如下：      射击次数 １００ １２０ １５０ １００ １５０ １６０ １５０    击中飞碟次数 ８１ ９５ １２３ ８２ １１９ １２７ １２１     击中飞碟的频率     （１）将各次训练记录击中飞碟的频率填入表中；     （２）这个运动员击中飞碟的概率约为多少？    １２对本书附录中的“随机数表”的前２０行统计数字０出现的频率，并对随机数    表中各个数字出现的概率作出估计．     思考·运用 １３．某厂生产的１０件产品中，有８件合格品、２件不合格品，合格品与不合格品     在外观上没有区别．从这１０件产品中任意抽检２件，计算：    （１）２件都是合格品的概率；    （２）１件是合格品、１件是不合格品的概率；    （３）如果抽检的２件产品都是不合格品，那么这批产品将被退货，求这批产    品被退货的概率．     １４．一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的６个小球，其中有２个白球、２   个红球和２个黄球．从中１次随机摸出２个球，试求：     （１）２个球都是红球的概率；    （２）２个球同色的概率；    （３）“恰有１个球是白球”的概率是“２个球都是白球”的概率的多少倍？     １５．一年按３６５天计算，２名同学在同一天过生日的概率为多少？   １６（操作题）全班学生每人抛掷２０枚图钉，先分别统计钉尖朝上的频数和频     率，再分组统计钉尖朝上的频数和频率，最后对全班统计钉尖朝上的频数和    频率，由此对钉尖朝上的概率作出估计．     探究·拓展 １７．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田    忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王      ２６９                        必修第二册 数学    的下等马．现双方各出上、中、下等马各１匹分组分别进行１场比赛，胜２场    及以上者获胜．若双方均不知对方马的出场顺序，试求田忌获胜的概率．    １８在柯南道尔的侦探小说《跳舞的小人》中，福尔摩斯根据英语中字母ｅ的使    用频率最高，破译了用跳舞人形所写的密码．在美国作家爱伦·坡的小说    《金甲虫》中也有类似的情节．从网上找若干篇英文文章，用计算机统计字母     ａ，ｂ，ｃ，…，ｚ出现的频率，由此估计这２６个字母在英文文章中各自出现   的概率．     １９ＶＢＡ（ＶｉｓｕａｌＢａｓｉｃｆｏｒＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ）是Ｅｘｃｅｌ自带的一种程序设计语言，它具    有一般程序设计语言所具有的功能，可由手工写入或宏记录器两种方式生成．    使用ＶＢＡ宏记录器无须亲自写ＶＢＡ的代码，在计算机内会自动生成ＶＢＡ    的代码．你只要打开宏记录器，做１次你所需要的操作．例如，画１个经常要用    的表格，宏记录器会用代码记录下你的每一步操作，操作完成后，保存为一个     叫宏的文件．下次再做同样的事，你只要执行该文件，就可以自动画出已设计    好的表格．当然，如果没有相关记录，就要靠人工编写ＶＢＡ程序来弥补．    如图，在Ｅｘｃｅｌ工作表中，选择“开发工具／ＶｉｓｕａｌＢａｓｉｃ编辑器”．在ＶＢ    编辑器窗口中选择“工具／宏”，在弹出的对话框中，在“宏名称”栏内输入宏    的名称，如“抛掷硬币”，单击“创建”，出现宏主体语句Ｓｕｂ和ＥｎｄＳｕｂ，输入     你的程序后按Ｆ５即可运行．如不满意，可随时修改．                         （第１９题）      当抛掷次数为１００００时，可得出现正面的频率为０．４９４４（你的模拟结    果可能与此不同），并填写下表：       模拟次数 正面向上的频率     １０    １００    １０００    ５０００    １００００     ５００００    １０００００    ５０００００                    ２７０                       １５  概 率 第 章       １５．３      互斥事件和独立事件          研究数学对象之间的关系是数学研究的基本任务，因此，研究事    件之间的关系也就成了概率论的基本任务．      ● 事件之间有哪些重要的关系呢？      １．互斥事件    让我们仍然回到“抛掷骰子”的试验．    “抛掷一颗骰子，结果向上的点数是偶数”记为事件犃，“抛掷一颗     骰子，结果向上的点数是３”记为事件犅，则犃＝｛ω，ω，ω｝，犅＝   ２ ４ ６   ｛ω｝．不难发现犃犅＝，即事件犃与犅不可能同时发生．这时，我们  ３   称犃，犅为互斥事件（ｅｘｃｌｕｓｉｖｅｅｖｅｎｔｓ）．    进一步，若记“抛掷一颗骰子，结果向上的点数是奇数”为事件犆，     则犆＝｛ω，ω，ω｝．不难发现犃犆＝，并且犃＋犆＝Ω，即互斥事件   １ ３ ５   犃，犆中必有一个发生．这时，我们称犃，犆为对立事件（ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ    ｅｖｅｎｔｓ），记作犆＝犃－或犃＝犆－．    显然，对立事件必为互斥事件，但反之不然．对立事件是必有一     个发生的互斥事件．    对于互斥事件，有下列结论：        如果事件犃，犅互斥，那么事件犃＋犅发生的概率，等于事    件犃，犅分别发生的概率的和，即      犘（犃＋犅）＝犘（犃）＋犘（犅）．       这是概率满足的第三个基本性质（亦称概率的加法公式）．   思 考    利用古典概型验证上述加法公式．      互斥事件可以推广到狀个事件的情形（狀∈犖，狀＞２）：如果事件    犃，犃，…，犃 中任何两个事件都是互斥事件，那么称事件犃，   １ ２ 狀 １  犃，…，犃两两互斥．如果事件犃，犃，…，犃两两互斥，那么   ２ 狀 １ ２ 狀    犘（犃＋犃＋…＋犃）＝犘（犃）＋犘（犃）＋…＋犘（犃）．   １ ２ 狀 １ ２ 狀    随机事件的概率还具有以下常用性质：     （１）犘（犃－）＝１－犘（犃）；    （２）当犃犅时，犘（犃）≤犘（犅）；    （３）当犃，犅不互斥时，犘（犃＋犅）＝犘（犃）＋犘（犅）－犘（犃犅）．     证明 （１）事件犃与犃－ 必有一个发生，故犃＋犃－ 是必然事件，由      ２７１                        必修第二册 数学    犘（犃＋犃－）＝犘（犃）＋犘（犃－），    及 犘（犃＋犃－）＝１，    可得 犘（犃－）＝１－犘（犃）．      性质（２）（３）可以利用古典概型进行验证，留作作业（习题１５．３    （１）第９题）．      例１ 一只不透明的口袋内装有大小一样的２个白球和２个黑     球，从中先后各摸出１个球，记“摸出２个白球”为事件犃，“摸出１个    白球和１个黑球”为事件犅，“摸出２个球中至少有１个白球”为事件     犆．问：事件犃与犅是否为互斥事件？是否为对立事件？并求犘（犆）．     解 ２个白球与２个黑球分别记为犠，犠，犅，犅，样本点  １ ２ １ ２   （犠，犅）表示“从口袋内先后摸出的球依次为犠，犅”，余类推，则  １ １ １ １   样本空间     Ω＝｛（犠，犠），（犠，犅），（犠，犅），（犠，犠），（犠，犅），   １ ２ １ １ １ ２ ２ １ ２ １   （犠，犅），（犅，犠 ），（犅，犠 ），（犅，犅），（犅，犠 ），  ２ ２ １ １ １ ２ １ ２ ２ １   （犅，犠），（犅，犅）｝，   ２ ２ ２ １   犃＝｛（犠，犠），（犠，犠）｝，   １ ２ ２ １   犅＝｛（犠，犅），（犠，犅），（犠，犅），（犠，犅），（犅，犠），   １ １ １ ２ ２ １ ２ ２ １ １   （犅，犠），（犅，犠），（犅，犠）｝．  １ ２ ２ １ ２ ２   因为犃犅＝，所以犃，犅是互斥事件．     试利用犘（犆）＝ 又因为犃＋犅≠Ω，所以犃，犅不是对立事件．又犃＋犅＝犆，故     １－犘（犆－）来计算犘（犆）． ２ ８ ５  犘（犆）＝犘（犃＋犅）＝犘（犃）＋犘（犅）＝ ＋ ＝ ．  １２ １２ ６      例２ 某人射击１次，命中７～１０环的概率如表１５ ３ １所示．      表１５ ３ １     命中环数 １０ 环 ９ 环 ８ 环 ７ 环     概 率 ０．１２ ０．１８ ０．２８ ０．３２       （１）射击１次，求至少命中７环的概率；    （２）射击１次，求命中不足７环的概率．    解 记“射击１次，命中犽环”为事件犃（犽∈犖，且犽≤１０），则事   犽   件犃 两两互斥．  犽   （１）记“射击１次，至少命中７环”为事件犃，则当犃 ，犃，犃 或   １０ ９ ８  犃 之一发生时，事件犃发生．由互斥事件的概率公式，得   ７    犘（犃）＝犘（犃 ＋犃＋犃＋犃）  １０ ９ ８ ７   ＝犘（犃 ）＋犘（犃）＋犘（犃）＋犘（犃）   １０ ９ ８ ７   ＝０．１２＋０．１８＋０．２８＋０．３２＝０．９．     （２）事件“射击１次，命中不足７环”是事件“射击１次，命中至少      ２７２                       １５  概 率 第 章    ７环”的对立事件，即犃－表示事件“射击１次，命中不足７环”．根据对立    事件的概率公式，得     犘（犃－）＝１－犘（犃）＝１－０．９＝０．１．      答 此人射击１次，至少命中７环的概率为０．９，命中不足７环    的概率为０．１．      例３ 黄种人群中各种血型的人所占的比如表１５ ３ ２所示．     表１５ ３ ２     血 型 Ａ Ｂ ＡＢ Ｏ     该血型的人所占比／％ ２８ ２９ ８ ３５       已知同种血型的人可以输血，Ｏ型血可以输给任何一种血型的    人，任何人的血都可以输给ＡＢ型血的人，其他不同血型的人不能互     相输血．小明是Ｂ型血，若小明因病需要输血，问：    （１）任找１个人，其血可以输给小明的概率是多少？     （２）任找１个人，其血不能输给小明的概率是多少？    解 （１）对于任何１个人，其血型为Ａ，Ｂ，ＡＢ，Ｏ型血的事件    分别记为犃′，犅′，犆′，犇′，它们是互斥的．由已知，有      犘（犃′）＝０．２８，犘（犅′）＝０．２９，      犘（犆′）＝０．０８，犘（犇′）＝０．３５．     因为Ｂ，Ｏ型血可以输给Ｂ型血的人，所以“可以输给Ｂ型血的     人”为事件犅′＋犇′．根据互斥事件的概率加法公式，有     犘（犅′＋犇′）＝犘（犅′）＋犘（犇′）＝０．２９＋０．３５＝０．６４．      （２）因为Ａ，ＡＢ型血不能输给Ｂ型血的人，所以“不能输给Ｂ型    血的人”为事件犃′＋犆′，且      犘（犃′＋犆′）＝犘（犃′）＋犘（犆′）＝０．２８＋０．０８＝０．３６．      答 任找１个人，其血可以输给小明的概率为０．６４，其血不能输    给小明的概率为０．３６．      第（２）问也可以这样解：因为事件“其血可以输给Ｂ型血的人”与    事件“其血不能输给Ｂ型血的人”是对立事件，所以由对立事件的概    率公式，有      犘（犅′＋犇′）＝１－犘（犅′＋犇′）＝１－０．６４＝０．３６．      由上述例１、例２、例３可见，通过事件的运算，将较复杂的事件用    简单的事件来表示，然后根据概率的性质，将较复杂事件的概率转化    为简单事件的概率，这既是求解概率的基本方法，也是数学研究的基     本方法．      ２７３                        必修第二册 数学    练 习 １．记“抛掷一颗骰子，向上的点数是４，５，６”为事件犃，记“抛掷一颗骰子，向    上的点数是１，２”为事件犅，记“抛掷一颗骰子，向上的点数是１，２，３”为事    件犆，记“抛掷一颗骰子，向上的点数是１，２，３，４”为事件犇．判断下列每对    事件是否为互斥事件，如果是，再判断它们是否为对立事件．    （１）犃与犅；     （２）犃与犆；   （３）犃与犇．     ２．有一批小包装食品，其中质量在９０～９５ｇ的有４０袋，质量在９５～１００ｇ的    有３０袋，质量在１００～１０５ｇ的有１０袋．从中任意抽取１袋，此袋食品的质    量在９５～１００ｇ的概率为 ，此袋食品的质量不足１００ｇ的概率为     ，此袋食品的质量不低于９５ｇ的概率为 ．（质量在犪～犫ｇ指的   是质量的数值在区间［犪，犫）内）     ３．甲、乙两个同学下棋，若甲获胜的概率为０．２，甲、乙下成和棋的概率为０．５，    则甲不输的概率为 ．    ４．某地区年降水量犱（单位：ｍｍ）在下列范围内的概率狆如下表：       犱 ［６００，８００） ［８００，１０００） ［１０００，１２００）［１２００，１４００）［１４００，１６００）     狆 ０．１２ ０．２６ ０．３８ ０．１６ ０．０８      （１）求年降水量在［８００，１２００）（单位：ｍｍ）内的概率；    （２）若年降水量犱≥１２００（ｍｍ）就可能发生涝灾，求该地区发生涝灾的概率．    ５．某人外出参加活动，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为０．３，０．２，    ０．４，０．１，求：     （１）他乘火车或乘飞机去的概率；    （２）他不乘轮船去的概率．      习题１５．３（１）         感受·理解 １．一只不透明的口袋中装有若干个大小一样的红球、黄球与蓝球，若从中随机     摸出一个球，则摸出红球的概率为０．４５，摸出黄球的概率为０．３３．求：   （１）摸出红球或黄球的概率；     （２）摸出蓝球的概率．    ２．一只水果篮子里有３个橘子、２个香梨、４个苹果，若从中任意选择１个水    果，则选中橘子或苹果的概率为 ．    ３．一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为０．２，目标未受损的概率为０．４，求    使目标受损但未击毁的概率．     ４．经统计，在某储蓄所１个营业窗口排队等候的人数及相应概率如下：      排队人数 ０ １ ２ ３ ４ ≥５      概 率 ０．１ ０．１６ ０．３ ０．３ ０．１ ０．０４      （１）至多２人排队等候的概率是多少？    （２）至少３人排队等候的概率是多少？      ２７４                       １５  概 率 第 章    ５．某品牌电视机的一等品率为９５％，二等品率为４．８％，次品率为０．２％．某    人买了１台该品牌电视机，求：    （１）这台电视机是正品（一等品或二等品）的概率；    （２）这台电视机不是一等品的概率．    ６．记“同时抛掷两颗骰子，向上的点数和为６”为事件犃，记“同时抛掷两颗骰     子，向上点数和为８”为事件犅，求犘（犃），犘（犅）及犘（犃＋犅）．   ７．经临床验证，一种新药对某种疾病的治愈率为５４％，显效率为２２％，有效率     为１２％，其余为无效．求某人患该病使用此药后无效的概率．     思考·运用 ８．将扑克牌４种花色的Ａ，Ｋ，Ｑ共１２张洗匀．    （１）甲从中任意抽取２张，求抽出的２张都为Ａ的概率；    （２）若甲已抽到了２张Ｋ后未放回，求乙抽到２张Ａ的概率．     ９．利用古典概型验证以下概率性质：   （１）当犃犅时，犘（犃）≤犘（犅）；     （２）当犃，犅不互斥时，犘（犃＋犅）＝犘（犃）＋犘（犅）－犘（犃犅）．     探究·拓展 １０．某种彩票的投注号码由７位数字组成，每位数字均为０～９这１０个数码中    的任意１个．由摇号得出１个７位数（首位可为０）为中奖号，若某张彩票的    ７位数与中奖号相同即得一等奖，若有６位相连数字与中奖号的相应数位     上的数字相同即得二等奖，若有５位相连数字与中奖号的相应数位上的数    字相同即得三等奖，各奖不可兼得．某人买了１张彩票．求：    （１）获得一等奖的概率；    （２）获得三等奖及以上奖的概率．        ２．独立事件    我们知道，当随机事件犃，犅互斥时，犘（犃＋犅）＝犘（犃）＋犘（犅），    那么，对于两个随机事件犃，犅，犘（犃犅）与犘（犃），犘（犅）有怎样的关     系呢？     考察下面的随机事件犃和随机事件犅．    犃：先后抛掷两颗骰子，第一颗向上的点数是１；    犅：先后抛掷两颗骰子，第二颗向上的点数是２．      随机事件犃和随机事件犅有着怎样的关系？      从表面上看，事件犃发生与否对事件犅发生的概率没有影响．果    真如此吗？为了回答这个问题，需要计算相关概率．为此，分别写出    Ω，犃，犅所包含的样本点如下：      Ω＝ ｛（１，１），（１，２），（１，３），（１，４），（１，５），（１，６），     （２，１），（２，２），（２，３），（２，４），（２，５），（２，６），    （３，１），（３，２），（３，３），（３，４），（３，５），（３，６），     （４，１），（４，２），（４，３），（４，４），（４，５），（４，６），    （５，１），（５，２），（５，３），（５，４），（５，５），（５，６），    （６，１），（６，２），（６，３），（６，４），（６，５），（６，６）｝．        ２７５                        必修第二册 数学     （１，１）（１，２）（１，３） （１，４） （１，５） （１，６）            （２，１）（２，２）（２，３） （２，４） （２，５） （２，６）       （３，１）（３，２）（３，３） （３，４） （３，５） （３，６）       （４，１）（４，２）（４，３） （４，４） （４，５） （４，６）       （５，１）（５，２）（５，３） （５，４） （５，５） （５，６）      （６，１）（６，２）（６，３） （６，４） （６，５） （６，６）         图１５ ３ １     犃＝ ｛（１，１），（１，２），（１，３），（１，４），（１，５），（１，６）｝，     犅＝ ｛（１，２），（２，２），（３，２），（４，２），（５，２），（６，２）｝，      犃犅＝ ｛（１，２）｝．     ６ １ ６ １ １  因此，犘（犃）＝ ＝ ，犘（犅）＝ ＝ ，犘（犃犅）＝ ．  ３６ ６ ３６ ６ ３６    从而犘（犃犅）＝犘（犃）犘（犅）．     １   事实上，若犃发生，则犅发生的概率为 ；  ６    ５ １   若犃不发生，则犅发生的概率为 ＝ （图１５ ３ １）．  ３０ ６      这表明：事件犃发生与否不影响事件犅发生的概率．    一般地，对于两个随机事件犃，犅，如果犘（犃犅）＝犘（犃）犘（犅），那    么称犃，犅为相互独立事件（ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｅｖｅｎｔｓ）．       思 考 尝试证明：若犃，犅相互独立，则犃－，犅相互独立．       例１ 一只不透明的口袋内装有大小相同，颜色分别为红、黄、    蓝的３个球．    （１）“从口袋内有放回地抽取２个球，第一次抽到红球”记为事     件犃，“从口袋内有放回地抽取２个球，第二次抽到黄球”记为事     件犅．    （２）“从口袋内无放回地抽取２个球，第一次抽到红球”记为事件    犃，“从口袋内无放回地抽取２个球，第二次抽到黄球”记为事件犅．     试分别判断（１）（２）中的犃，犅是否为相互独立事件．     解法１ （１）记红、黄、蓝色球的号码分别为１，２，３，则Ω，犃，犅可    分别表示为      Ω＝｛（１，１），（１，２），（１，３），（２，１），（２，２），（２，３），（３，１），（３，２），（３，３）｝，    犃＝｛（１，１），（１，２），（１，３）｝，    犅＝｛（１，２），（２，２），（３，２）｝．      １  若犃发生，则犅发生的概率为 ；   ３      ２７６                       １５  概 率 第 章    若犃不发生，则犅发生的概率为 ２ ＝ １ ．   ６ ３     可见，事件犃发生与否不影响事件犅发生的概率，因此，犃，犅相    互独立．    注意比较（１）（２） （２）记红、黄、蓝色球的号码分别为１，２，３，则Ω，犃，犅可分别表     中的Ω，犃，犅的区别． 示为     Ω＝ ｛（１，２），（１，３），（２，１），（２，３），（３，１），（３，２）｝，     犃＝ ｛（１，２），（１，３）｝，     犅＝ ｛（１，２），（３，２）｝．     １   若犃发生，则犅发生的概率为 ；  ２    １   若犃不发生，则犅发生的概率为 ．  ４    可见，事件犃发生与否影响事件犅发生的概率，因此，犃，犅不相     互独立．     ３ １ ３ １  解法２ （１）犘（犃）＝ ＝ ，犘（犅）＝ ＝ ．  ９ ３ ９ ３     １  又因为犃犅＝｛（１，２）｝，所以犘（犃犅）＝ ，从而  ９      犘（犃犅）＝犘（犃）犘（犅）．      因此，犃，犅为相互独立事件．    ２ １ ２ １ １  （２）因为犘（犃）＝ ＝ ，犘（犅）＝ ＝ ，犘（犃犅）＝ ，   ６ ３ ６ ３ ６     所以 犘（犃犅）≠犘（犃）犘（犅）．      因此，犃，犅不是相互独立事件．      例２ 甲坛子里装有１个白球、１个黑球，共２个球；乙坛子里     装有２个白球、１个黑球，共３个球．从甲、乙两个坛子里分别摸出１    个球，结果都是白球的概率是多少？     解 记甲坛子里的１个白球、１个黑球分别为犠，犅；乙坛子里   １ １  的２个白球、１个黑球分别为犠，犠，犅．“从甲、乙两个坛子里分别   ２ ３ ２   摸出１个球，甲坛子里摸出的是白球”记为事件犃，“从甲、乙两个坛子     里分别摸出１个球，乙坛子里摸出的是白球”记为事件犅，则     Ω＝ ｛（犠，犠），（犠，犠），（犠，犅），（犅，犠），   １ ２ １ ３ １ ２ １ ２   （犅，犠），（犅，犅）｝，   １ ３ １ ２   犃＝ ｛（犠，犠），（犠，犠），（犠，犅）｝，  １ ２ １ ３ １ ２   犅＝ ｛（犠，犠），（犠，犠），（犅，犠），（犅，犠）｝，  １ ２ １ ３ １ ２ １ ３     从而犃犅＝｛（犠，犠），（犠，犠）｝．  １ ２ １ ３     ２７７                        必修第二册 数学    所以 犘（犃犅）＝ ２ ＝ １ ．   ６ ３     答 从甲、乙两个坛子里分别摸出１个球，结果都是白球的概率     １  是 ．   ３      例３ 一只不透明的口袋内装有９张卡片，上面分别标有１～９    这９个数（１张卡片上标１个数），“从中任抽取１张卡片，结果卡片号    或为１或为４或为７”记为事件犃，“从中任抽取１张卡片，结果卡片     号小于７”记为事件犅．试判断犃，犅是否为相互独立事件．     解法１ Ω＝ ｛１，２，３，４，５，６，７，８，９｝，    犃＝ ｛１，４，７｝，犅＝ ｛１，２，３，４，５，６｝．     ２  若犃发生，则犅发生的概率为 ；  ３     ４ ２  若犃不发生，则犅发生的概率为 ＝ ．  ６ ３    可见，事件犃发生与否不影响事件犅发生的概率，因此，犃，犅相     互独立．     解法２ Ω＝ ｛１，２，３，４，５，６，７，８，９｝，    犃＝ ｛１，４，７｝，犅＝ ｛１，２，３，４，５，６｝，    犃犅＝ ｛１，４｝，     ３ １ ６ ２ ２  所以犘（犃）＝ ＝ ，犘（犅）＝ ＝ ，犘（犃犅）＝ ，即   ９ ３ ９ ３ ９     犘（犃犅）＝犘（犃）犘（犅）．      因此，犃，犅为相互独立事件．      由上例可以看出，犃，犅独立与否有时很难从直观上作出判断，唯     有经过概率之间的关系才可以作出理性而准确的判断．    独立事件可以推广到狀个事件的情形 （狀∈犖，狀＞２）．一般地，     如果事件犃，犃，…，犃 相互独立，那么  １ ２ 狀    犘（犃犃…犃）＝犘（犃）犘（犃）…犘（犃）．   １ ２ 狀 １ ２ 狀   练 习 １下面的说法正确吗？     （１）甲、乙、丙三人轮流抛掷一枚硬币，甲抛掷的结果是正面，乙抛掷的结果    也是正面，则丙抛掷的结果是正面的可能性很小．    （２）若犃，犅为互斥事件，则犃，犅必为相互独立事件．    ２“抛掷一枚硬币，结果正面向上”记为事件犃，“抛掷一枚硬币两次，结果第一    次正面向上”记为事件犃．   １   （１）犘（犃）与犘（犃）有什么关系？  １  （２）抛掷一枚硬币４次，结果４次均正面向上的概率是多少？            ２７８                       １５  概 率 第 章      习题１５．３（２）         感受·理解 １“抛掷一颗骰子，结果向上的点数小于３”记为事件犃，“抛掷一颗骰子，结果    向上的点数大于１且小于５”记为事件犅．试判断犃，犅是否相互独立．    ２如图，用犡，犢两种不同的元件串联连接成系统犛，每个元件是否正常工作不     受其他元件的影响．当元件犡，犢都正常工作时，系统犛正常工作．已知元件   犡，犢正常工作的概率分别为０．８，０．９，求系统犛正常工作的概率．       ——— 犡 ——— 犢 ———      系统犛    （第２题）     ３甲、乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为０．３５，乙译出密码的    概率为０．２５，求密码被破译的概率．     思考·运用 ４甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是０．６，计算：    （１）其中恰有一人击中目标的概率；     （２）至少有一人击中目标的概率．    ５加工某零件共需两道工序，第１、第２道工序生产产品的不合格率分别为    ０．０３，０．０５，且各道工序互不影响，求最终产品为不合格品的概率．     探究·拓展 ６在一段线路中，并联着２个自动控制的开关，只要其中有一个开关闭合，线路    就能正常工作．假定在某时段内，每个开关能够闭合的概率均为０．９，计算这    段时间内，线路正常工作的概率．                 （第６题）                                                    ２７９                        必修第二册 数学    问题与探究 确定公平的规则     一般认为，抛掷质地均匀的硬币，根据向上的一面是正面还是反     面作出决断是公平的．不过，真正质地均匀的硬币是很少的．尽管如    此，这一方法在日常生活中仍经常使用，比如足球比赛就是用抛掷硬     币的方法确定先开球一方．    现需要决定，在你和另一位同学中选１人参加学校的一项活动，     具体是谁参加由你们自己决定．为公平起见，你们２人决定用抛掷硬    币的方法确定，可恰好大家都没有硬币，只有一只啤酒瓶盖．很显然，     抛掷一次啤酒瓶盖，由出现正面还是反面决定谁参加学校的活动是    不公平的，因为啤酒瓶盖的质地不够均匀．     抛掷１次不行，那么抛掷２次呢？    确定怎样的规则，才能确保结果公平？     请说明理由．        阅 读 制作杨辉三角形     制作一个如图１所示的通道及下方相互隔离的储槽．若把１粒球     形小珠放入最上方的通道入口，则小珠落入下方每个储槽的概率有     何规律？                               图１       在上方的入口箭头所指处投入２狀 粒球形小珠，当每粒小珠落下    １  时，每到一层的分岔处，都以 的概率向左边或右边的下一层通道下   ２    落．显然，任何一层的最左、最右的两个通道都只有１个可能情况，而     每一层的其他通道通过小珠的可能情况，应等于其两肩上两个通道    的可能情况的和．这样就得到了如图２所示的数表：     由此，当通道共９层时，投入２９ 粒小珠后在从左至右的１０个储     槽中落入小珠的数目，按可能情况计算，应是１，９，３６，８４，１２６，    １２６，８４，３６，９，１．故所求概率依次为     １ ９ ３６ ８４ １２６ １２６ ８４ ３６ ９ １  ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．   ２９ ２９ ２９ ２９ ２９ ２９ ２９ ２９ ２９ ２９      ２８０                       １５  概 率 第 章    １   １ １    １ ２ １    １ ３ ３ １   １ ４ ６ ４ １    １ ５ １０ １０ ５ １    １ ６ １５ ２０ １５ ６ １   １ ７ ２１ ３５ ３５ ２１ ７ １    １ ８ ２８ ５６ ７０ ５６ ２８ ８ １    １ ９ ３６ ８４１２６１２６８４ ３６ ９ １     图２     图２所示的数表最早由我国宋朝时期的数学家杨辉于１２６１年画     在他所著的《详解九章算法》中，并说明出于《释锁算书》，贾宪曾用过    此图．西方称此图为帕斯卡三角形，是帕斯卡于１６５４年发表的．                                                                                                   ２８１                        必修第二册 数学            本章回顾          本章引入样本点和样本空间的概念，把随机事件定义为样本空    间的子集，研究了随机事件的关系和运算．通过古典概型、频率的稳     定性，研究随机事件发生的概率，在此基础上研究概率的基本性质、    互斥事件、独立事件，并利用其简化某些概率计算．         随机现象 → 概 率 → 事件运算与概率运算                        随 样 古 频 事 互 对 独   件  机 本 典 斥 立 立  的   事 空 概 和 事 事 事   与   件 间 型 率 积 件 件 件        运用集合语言刻画随机现象，研究随机事件的关系，使我们能够    将现实问题转化为数学问题，进而解决现实问题．        复 习 题        感受·理解 １．某班要选１名学生做代表，每个学生当选都是等可能的，若“选出代表是男     ４  生”的概率是“选出代表是女生”的概率的 ，求这个班的男生人数占全班人  ５     数的百分比．   ２．如图，边长为１的蓝色小正方体与白色小正方体相间堆成１个３×３×３的     大正方体（同色正方体都没有相邻的面）．若从中任选１个小正方体，则选中    蓝色小正方体的概率是多少？    ３．已知某运动员在一次射击中，射中１０环、９环、８环、７环、７环以下的概率分     别为０．２４，０．２８，０．１９，０．１６，０．１３，分别计算下列事件发生的概率：   （１）１次射击中，射中１０环或９环的概率；  （第２题）    （２）１次射击中，射中环数不足８环的概率．    ４．在４件产品中，有一等品２件，二等品１件（一等品与二等品都是正品），次    品１件，现从中任取２件．     （１）２件都是一等品的概率是多少？   （２）２件中有１件是次品的概率是多少？     （３）２件都是正品的概率是多少？    ５．某单位要在４名工人中安排２名分别到两处出差（每人被安排都是等可    能的）．      ２８２                       １５  概 率 第 章    （１）共有多少种安排方法？   （２）其中甲、乙两人都被安排的方法有多少种？     （３）其中甲、乙两人都被安排的概率是多少？    ６．从３台甲型电视机和２台乙型电视机中任取２台，其中两种类型的电视机    被同时取到的概率是多少？     ７．抛掷一枚硬币３次，分别求掷得０次、１次、２次、３次正面向上的概率．   ８．连续抛掷一颗骰子２次，分别求掷出的点数和为２，３，…，１２的概率．     ９．有５条线段，其长度分别为１ｃｍ，３ｃｍ，５ｃｍ，７ｃｍ，９ｃｍ．现从中任取３    条，求能构成三角形的概率．    １０．在一个盒子中有除颜色之外其他都相同的２０个球，其中有１０个红球、１０    个白球．现从盒中有放回地依次摸出１个球，求第１次摸出红球且第２次摸    出白球的概率．     思考·运用 １１．一次口试中，每位考生要在８道口试题中随机抽出２道题回答，答对其中１     题为及格．    （１）某位考生会答８道题中的５道题，这位考生及格的概率有多大？    （２）若一位考生及格的概率小于５０％，则他最多只会答几道题？    １２．同时抛掷两颗骰子，向上的点数之和可能是多少？向上的点数之和为多少    时概率最大？     １３．如图，用犡，犢，犣三种不同元件连接成系统犛，每个元件是否正常工作不受    其他元件的影响．当元件犡正常工作且犢，犣中至少有一个正常工作时，系    统犛正常工作．已知元件犡，犢，犣正常工作的概率分别为０．８５，０．９，０．９５，    求系统犛正常工作的概率．        犢          犡          犣      系统犛     （第１３题）     探究·拓展 １４．从１～２０这２０个整数中随机选择一个数，设“选到的数能被２整除”为事件    犃，“选到的数能被３整除”为事件犅．求下列事件的概率：    （１）这个数既能被２整除，也能被３整除；     （２）这个数能被２整除或能被３整除；    （３）这个数既不能被２整除，也不能被３整除．    １５．在某项比赛中，两个水平相当的选手在决赛中相遇，决赛采用五局三胜制，    胜者获得全部奖金，前３局打成２∶１时比赛因故终止．有人提出按２∶１分    配奖金，你认为这样分配合理吗？为什么？                          ２８３                        必修第二册 数学            本章测试           一、填空题 １．抛掷一颗质地均匀的骰子，若事件犃为“向上的点数至少为５”，则事件犃珡    是指 ．    ２．某人的密码箱上的密码是五位数字号码，每位上的数字可在０～９这１０个     数字中选取．若他记得密码前４位上的数字，忘记了末位上的数字，但他知   道末位上的数字是奇数，则他１次就能打开密码箱的概率是 ．     ３．若从２名男生与２名女生中选出２人担任正、副班长，则其中女生甲当选副    班长的概率是 ．    ４．水产试验厂对某种鱼进行人工孵化，经统计研究，每１００００个鱼卵大约能    孵出８０００尾鱼苗．根据概率的统计定义，要孵化５０００尾鱼苗，大概要准备    鱼卵 个．     ５．有分别写着数字１～２０的２０张卡片，若从中随机取出１张，则这张卡片上    的数字是２或３的倍数的概率是 ．    ６．制造一种零件，甲机床的正品率为０．９８，乙机床的正品率为０．９６，从它们制    造的产品中各任抽１件，则两件都是正品的概率是 ．        二、选择题 ７．采用简单随机抽样的方法，从含有６个个体的总体中抽取１个容量为３的   样本，某个个体被抽到的概率是（ ）．     １ １  Ａ． Ｂ．  ２ ３    １ １  Ｃ． Ｄ．   ６ ５   ８．从一批羽毛球中任取１个羽毛球，如果其质量小于４．８ｇ的概率是０．３，其     质量不小于４．８５ｇ的概率是０．３２，那么其质量在［４．８，４．８５）（单位：ｇ）范    围内的概率是（ ）．    Ａ．０．６２ Ｂ．０．３８    Ｃ．０．７ Ｄ．０．６８    ９．一只不透明的口袋内装有５个小球，其中３个白球、２个黑球．现有放回地     从袋中依次摸出１个球，则前三次摸出的球均为白球的概率是（ ）．    １ ３  Ａ． Ｂ．  ９ １２５    ２７ １   Ｃ． Ｄ．  １２５ ２７    １０．抛掷两枚硬币，若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为    犘，犘，犘，则下列判断中错误的是（ ）．  １ ２ ３   Ａ．犘 ＝犘 ＝犘 Ｂ．犘＋犘 ＝犘   １ ２ ３ １ ２ ３  Ｃ．犘＋犘＋犘 ＝１ Ｄ．犘 ＝２犘 ＝２犘   １ ２ ３ ３ １ ２           ２８４                       １５  概 率 第 章    三、解答题 １１．甲、乙、丙３人独立地破译某个密码，每人译出密码的概率均为０．２５，求密    码被破译的概率．    １２．对２００个电子元件的寿命（单位：ｈ）进行追踪调查，情况如下：      寿命／ｈ ［１００，２００）［２００，３００）［３００，４００）［４００，５００）［５００，６００］     个 数 ２０ ３０ ８０ ４０ ３０       （１）估计元件的寿命在［１００，４００）（单位：ｈ）内的概率；    （２）估计元件的寿命在４００ｈ以上的概率．    １３．在一次满分为１００分的数学考试中，某同学的考试成绩及其概率如下表所    示，请计算他在该次数学考试中取得８０分以上成绩的概率和考试不及格     （低于６０分）的概率．      成绩／分 ［６０，７０） ［７０，８０） ［８０，９０） ［９０，１００］     概 率 ０．０８ ０．１５ ０．５５ ０．１２      １４．从数字１，２，３，４，５中任取２个数字，组成没有重复数字的两位数，试求：     （１）这个两位数是５的倍数的概率；    （２）这个两位数是偶数的概率．    １５．甲、乙两个同学分别抛掷一颗质地均匀的骰子．    （１）求他们抛掷的骰子向上的点数相同的概率；    （２）求甲抛掷的骰子向上的点数大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率．                                                                          ２８５                        必修第二册 数学            专题 数学建模与数学探究          数学建模侧重于数学知识在数学外部的联系和应用，数学探究    则更多地关注数学知识在数学内部的联系和应用．数学建模是运用     数学知识解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力．数学    探究使我们能够感受和经历类似数学家的探究过程，它是运用数学     知识解决数学问题的有效途径．      案例分析 圆锥截线     用一个平面（不经过圆锥面的顶点）截一个圆锥面，当平面与圆   圆锥面可看成一   锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆．改变平面的位置，观察截得  条直线绕着与它相交   的图形的变化情况．  的另一条直线犾（两条     直线不互相垂直）旋转 ◆ 提出问题   一周所形成的曲面，犾   用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何   称为圆锥面的轴．   特征？      ◆ 研究思路      先考察相对简单的圆柱截线．联想生活中的经验，如一段竹杆，    可视为圆柱面，它的正截面是一个圆，但是其斜截面不是圆，而是“椭    圆”．圆的几何特征是圆上各点到圆心的距离相等，那么由斜截圆柱     面所得的“椭圆”是否也具有类似的几何特征呢？      ◆ 历史寻迹     古希腊几何学家在上述问题的探讨中获得令人鼓舞的简洁答     案：一个椭圆具有两个焦点犉，犉，使得椭圆上任意一点到这两个焦   １ ２  点的距离之和等于常数．     我们可以用图１来说明“椭圆”的这个几何特征．                                 图１      ２８６                        数学建模与数学探究 专题   在斜截面的两侧分别放置一个球，使它们都与截面相切（切点分     别为犉，犉），且与圆柱面相切，两球与圆柱面的公共点分别构成圆  １ ２   犗和圆犗（图１）．   １ ２   设点犕是斜截面与圆柱面的截线上任一点，过犕作圆柱面的    一条母线分别交圆犗、圆犗于犘，犙两点，则犕犘和犕犉，犕犙和   １ ２ １   犕犉分别是球犗 和球犗 的切线．因为过球外一点作球的切线的长  ２ １ ２   都相等，所以      犕犉 ＝犕犘，犕犉 ＝犕犙，  １ ２     故 犕犉＋犕犉 ＝犕犘＋犕犙＝犘犙．  １ ２    因为犘犙为圆柱犗犗的母线的长，所以犘犙是一个常数．也就是   １ ２   说，截线上任意一点到两个定点犉，犉的距离的和等于常数．  １ ２    ◆ 推广     将上述结论和简洁的证明稍加推广，即把圆柱面更换为圆锥面后     依然成立，并且平面和圆锥面的截线还可以产生另外两种曲线（图２）．                                         图２     一般地，设圆锥面的母线与轴所成的角为θ，截面与轴所成的角   （ ）   π   为α０＜α＜ ．  ２  （ ）   π   可仿照圆柱截线 第一种情形θ＜α＜ ，平面与圆锥面的截线是一条曲线，截  ２   的情形进行证明．  线上任意一点到平面内两个定点犉，犉的距离的和等于常数．这种截   １ ２   线称为椭圆．     第二种情形 （θ＞α），平面与圆锥面的截线由两支曲线构成，截    线上任意一点到平面内两个定点犉，犉的距离的差的绝对值等于常   １ ２   数．这种截线称为双曲线．    第三种情形（θ＝α），平面与圆锥面的截线是一条曲线，截线上的     任意一点到平面内一个定点的距离与到一条定直线的距离相等．这      ２８７                        必修第二册 数学    种截线称为抛物线．      ◆ 证明      第二种情形的证明，如图３．                                  图３     在上下两个圆锥面内分别放置一个球，使它们都与截面相切（切     点分别为犉，犉），且与圆锥面相切，两球与圆锥面的公共点分别构成  １ ２   圆犗和圆犗（图３）．   １ ２   设点犕是平面与下方圆锥面的截线上任一点，过犕作圆锥面的    一条母线分别交圆犗、圆犗于犘，犙两点，则犕犘和犕犉，犕犙和   １ ２ １   犕犉分别是两球的切线．因为过球外一点作球的切线的长都相等，  ２     所以 犕犉 ＝犕犘，犕犉 ＝犕犙，   １ ２     故 犕犉－犕犉 ＝犕犙－犕犘＝犘犙．  ２ １    因为犘犙为圆锥犞犗和圆锥犞犗的母线的长的和，所以犘犙是一   １ ２   个常数．也就是说，下方截线上任意一点到两个定点犉，犉的距离的   ２ １   差（犕犉－犕犉）等于常数．  ２ １   同理可证，上方截线上任意一点到两个定点犉，犉的距离的差   １ ２  （犕犉－犕犉）也等于同一个常数．   １ ２   因此，截线上的任意一点到平面内两个定点犉，犉的距离的差的   １ ２   绝对值等于常数．    第三种情形的证明，如图４．                            图４      ２８８                        数学建模与数学探究 专题    在圆锥面内放置一个球，使它与截面相切（切点为犉），且与圆锥    面相切，该球与圆锥面的公共点构成圆犗，圆犗所在平面γ与截面 β    交于直线犾（图４）．     设点犕是平面 β 与圆锥面的截线上任一点，过犕作圆锥面的母    线交圆犗于点犘，则犕犘和犕犉是球的切线．因为过球外一点作球的     切线的长都相等，所以      犕犉＝犕犘． ①     作犕犎⊥γ于犎，犕犖⊥犾于犖，连接犎犖，犎犘．     因为犞犗⊥γ，犕犎⊥γ，所以犞犗∥犕犎，故犕犎与母线犞犕所成    的角就是犞犗与母线犞犕所成的角，即 ∠犎犕犘＝θ．    由犕犎⊥γ，犾γ可知犕犎⊥犾．又犕犖⊥犾，所以犾⊥ 平面     犕犖犎．因为犾β ，所以平面犕犖犎⊥平面 β ，于是∠犎犕犖是犕犎与     平面 β 所成的角，故 ∠犎犕犖＝α．    根据题意可知θ＝α，从而∠犎犕犘＝∠犎犕犖，因此Ｒｔ△犎犕犘≌    Ｒｔ△犎犕犖，所以      犕犘＝犕犖． ②      由①②知犕犉＝犕犖，即截线上的任意一点犕到定点犉的距离     犕犉等于到定直线犾的距离犕犖．       思 考 在第一、二种情形中，平面内是否存在一个定点和一条定直线，    使得截线上任意一点到定点的距离与到定直线的距离也存在着类似    的关系？       椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线．上述案例从几何的视角    探讨了圆锥曲线的特征，在选择性必修中，我们还将用坐标法进一步     研究圆锥曲线的性质及应用．      课题研究 数学建模活动和数学探究活动可以用课题研究的形式展开．课     题研究的过程，一般包括选题、开题、做题和结题四个环节．下面以    “测量学校内、外建筑物的高度”为例说明课题研究的过程．      ◆ 选题     （１）选择测量对象．测量本校的一座教学楼的高度，或测量本校     的旗杆的高度，或测量学校墙外一座不可及但在学校操场上可以看     得见的高大写字楼（或其他可见的高大建筑）的高度．    （２）建立小组．成立２～３人测量小组，准备相应的测量工具（可    以自制一些简单的测量工具，如测角的工具），以小组为单位完成实     际测量、获取数据，测量结束后填写测量课题报告表（含测量方法、测    量所得的数据计算过程和结果，见表１）．       ２８９                        必修第二册 数学    表１ 测量课题报告表     年级、班级 姓名 完成时间     １．本课题组的成员与分工     成员姓名 分工 主要工作与贡献                 ２．本课题组选择的测量对象（旗杆、教学楼、校外××大厦）         ３．本课题组的测量方法（说明测量的原理、创新之处等）          ４．本课题组的测量数据、计算过程和结果（如有照片或图片可以附后或另加纸）     ５．结果归纳    本课题组的测量计算的结果（×××的高度）如下：      ６．用简洁的语言描述本项工作中的感受           ◆ 开题     组织课堂上的开题交流，分组议一议拟采用的测量方法，教师和     其他同学可以提出质疑．    讨论交流有助于弄清楚测量使用的数学模型，事先的认真思考     可以减少实践过程中的盲目、低效和失误，有助于形成良好的思维习    惯和科研习惯．同时，在讨论交流中可以意识到看似简单的问题中也     有不少需要认真思考的东西．      ◆ 做题     （１）选择测量地点．实施测量的地点可以选择学校内或学校外的     开阔地带，如学校的操场、较大的停车场等．可以安排各个小组在同    一时间进行测量，有利于教师的现场观察和管理．    （２）实际测量．在测量的过程中，教师认真巡视，记录态度认真、     合作默契、测量方法好或创意新的测量小组和个人，以供讲评或评价     时使用．注意观察和发现测量中的问题，不合理的测量方法可能造成    测量结果严重失实，误差很大．当出现这类问题时，要对出现这样问    题的原因进行分析和反思，并寻求解决问题的办法．      ◆ 结题      在完成“测量报告”后，安排一次交流讲评活动，安排的报告最好      ２９０                        数学建模与数学探究 专题   有特点，如测量结果准确，或测量过程完整清晰，或测量方法有创意，     或误差处理有手段，或报告书写认真到位，或测量过程有值得讨论的    地方，等等．      ◆ 拓展      测量后师生共同提出的新问题，成为新的生成性资源．    （１）本市的最高建筑物———电视塔的高度是多少米？    （２）有一座高度为犺ｍ的电视塔，它的信号传播半径是多少千     米？信号覆盖面积有多大？     （３）找一张本市地图，看一看本市的地域面积有多少平方千米？    电视塔的位置在地图上的什么地方？按照计算得到的数据，这座电    视塔发出的电视信号能否覆盖本市？     （４）本市（外地）到北京的距离有多少千米？要用一座电视塔把    信号从北京直接发送到本市，这座电视台的高度至少要多少米？     （５）如果采用多个中继站的方式，用１００ｍ高的塔接力传输电视    信号，那么从北京到本地至少要建多少座１００ｍ高的中继传送塔？     （６）考虑地球大气层和电离层对电磁波的反射作用，问题（２）（４）    （５）会有怎样的变化？     （７）如果一座电视塔（如高为３００ｍ）的信号不能覆盖本市，请你    设计一个多塔信号覆盖的方案．     （８）发射几颗地球定点的通讯卫星，可以使其信号覆盖地球？    （９）如果我国要发射一颗气象监测卫星，监测我国的气象情况，    请你设计一个合理的定点位置或轨道．     （１０）在网上收集资料，了解有关“铱星计划”的内容，在班里做一     个相关内容的综述，并发表对这件事的看法．     选题指导 在数学学习和生产生活实际中，只要我们细心观察、深入调查研     究，就能发现许多问题是可以利用数学知识加以解决的．    （１）中小学生的身高与课桌椅的高度有何关系？    （２）本校自行车的存放问题．     （３）超市中的数学问题．     （４）易拉罐中的数学问题．    （５）用一个平面去截正方体，截面的形状是什么？    （６）（点光源照球的阴影与圆锥曲线）如图５，设犛为放置在平面     α上犉点处的一个球，在球外有一个点光源犙，从犙出发的光线照到     球面上，在平面α上形成一个阴影区域．记区域的边界线为Γ，借助手    电筒（点光源）照球观察，Γ可能是什么曲线？    依照前述案例，以小组为单位进行观察、调查，并利用数学知识     图５ 展开数学建模或数学探究活动．          ２９１                               （ ）     附录 随机数表 部分          ０３４７４３７３８６ ３６９６４７３６６１ ４６９８６３７１６２ ３３２６１６８０４５ ６０１１１４１０９５    ９７７４２４６７６２ ４２８１１４５７２０ ４２５３３２３７３２ ２７０７３６０７５１ ２４５１７９８９７３    １６７６６２２７６６ ５６５０２６７１０７ ３２９０７９７８５３ １３５５３８５８５９ ８８９７５４１４１０    １２５６８５９９２６ ９６９６６８２７３１ ０５０３７２９３１５ ５７１２１０１４２１ ８８２６４９８１７６    ５５５９５６３５６４ ３８５４８２４６２２ ３１６２４３０９９０ ０６１８４４３２５３ ２３８３０１３０３０    １６２２７７９４３９ ４９５４４３５４８２ １７３７９３２３７８ ８７３５２０９６４３ ８４２６３４９１６４    ８４４２１７５３３１ ５７２４５５０６８８ ７７０４７４４７６７ ２１７６３３５０２５ ８３９２１２０６７６    ６３０１６３７８５９ １６９５５５６７１９ ９８１０５０７１７５ １２８６７３５８０７ ４４３９５２３８７９    ３３２１１２３４２９ ７８６４５６０７８２ ５２４２０７４４３８ １５５１００１３４２ ９９６６０２７９５４    ５７６０８６３２４４ ０９４７２７９６５４ ４９１７４６０９６２ ９０５２８４７７２７ ０８０２７３４３２８   １８１８０７９２４５ ４４１７１６５８０９ ７９８３８６１９６２ ０６７６５００３１０ ５５２３６４０５０５     ２６６２３８９７７５ ８４１６０７４４９９ ８３１１４６３２２４ ２０１４８５８８４５ １０９３７２８８７１   ２３４２４０６４７４ ８２９７７７７７８１ ０７４５３２１４０８ ３２９８９４０７７２ ９３８５７９１０７５     ５２３６２８１９９５ ５０９２２６１１９７ ００５６７６３１３８ ８０２２０２５３５３ ８６６０４２０４５３   ３７８５９４３５１２ ８３３９５００８３０ ４２３４０７９６８８ ５４４２０６８７９８ ３５８５２９４８３９    ７０２９１７１２１３ ４０３３２０３８２６ １３８９５１０３７４ １７７６３７１３０４ ０７７４２１１９３０    ５６６２１８３７３５ ９６８３５０８７７５ ９７１２２５９３４７ ７０３３２４０３５４ ９７７７４６４４８０    ９９４９５７２２７７ ８８４２９５４５７２ １６６４３６１６００ ０４４３１８６６７９ ９４７７２４２１９０    １６０８１５０４７２ ３３２７１４３４０９ ４５５９３４６８４９ １２７２０７３４４５ ９９２７７２９５１４    ３１１６９３３２４３ ５０２７８９８７１９ ２０１５３７００４９ ５２８５６６６０４４ ３８６８８８１１８０    ６８３４３０１３７０ ５５７４３０７７４０ ４４２２７８８４２６ ０４３３４６０９５２ ６８０７９７０６５７    ７４５７２５６５７６ ５９２９９７６８６０ ７１９１３８６７５４ １３５８１８２４７６ １５５４５５９５５２    ２７４２３７８６５３ ４８５５９０６５７２ 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９４４４６７１６９４    １４６５５２６８７５ ８７５９３６２２４１ ２６７８６３０６５５ １３０８２７０１５０ １５２９３９３９４３     ２９２                                 说 明              江苏凤凰教育出版社出版的《普通高中教科书·数学》是根据教    育部制定的《普通高中数学课程标准（２０１７年版）》编写的．     该套教科书充分体现数学课程标准的基本理念，使学生通过高    中阶段的学习，能获得适应现代生活和未来发展所必需的数学素养，     满足他们个人发展与社会进步的需求．    教科书力图使学生在丰富的、现实的、与他们经验紧密联系的背     景中感受数学、建立数学、运用数学，做到“入口浅，寓意深”．通过创    设合适的问题情境，引导学生进行操作、观察、探究和运用等活动，感    悟并获得数学知识与思想方法．在知识的发生、发展与运用过程中，     培养学生的思维能力、创新意识和应用意识，提升他们的数学学科核     心素养．    教科书按知识发展、背景问题、思想方法、核心素养四条主线，通    过问题将全书贯通．每个主题围绕中心教育目标展开，每章围绕核心     概念或原理展开．教科书充分关注数学与自然、生活、科技、文化、各    门学科的联系，让学生感受到数学与外部世界是息息相通、紧密相     连的．    教科书充分考虑学生的不同需求，为所有学生的发展提供帮助，为     学生的不同发展提供较大的选择空间．整个教科书设计为：一个核心    （基本教学要求），多个层次，多种选择．学好核心内容后，根据需要，学     生有多种选择，每一个人都能获得必备的数学素养与最优发展．    衷心感谢２００４年版《普通高中课程标准实验教科书·数学》（苏     教版）的主编单墫教授，副主编李善良、陈永高、王巧林，以及所有编    写的专家，审读、试教教师．     众多的数学家、心理学家、数学教育专家、特级教师参加了本套    教科书的编写与讨论工作．史宁中、鲍建生、谭顶良等教授对教科书     编写提出许多建议，于明、张乃达、仇炳生、祁建新等老师参与本书的    讨论与设计，在此向他们表示衷心感谢！    感谢您使用本书，您在使用本书时有建议或疑问，请及时与我们     联系，电话：０２５８３６５８７３７，电子邮箱：ｓｊｇｚｓｘ＠１２６．ｃｏｍ，ｌｉｓｈａｎｌｉａｎｇ     ２０１９＠１２６．ｃｏｍ，４６６６０６３５１＠ｑｑ．ｃｏｍ．       本书编写组     ２０１９年５月                                                                                                                                                                                     