文档内容
专题 03 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题
（含定值、最值、范围问题）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
二、典型题型.......................................................................................3
题型一：三角形面积（定值问题）...............................................3
题型二：四边形面积（定值问题）...............................................6
题型三：三角形面积（最值，范围问题）....................................8
题型四：四边形面积（最值，范围问题）..................................11
三、专项训练.....................................................................................13
一、必备秘籍
1、弦长公式
（最常用公式，使用频率最高）
学科网（北京）股份有限公司√ 1
= 1+ √ (y +y ) 2 −4 y y
k2 1 2 1 2
2、三角形面积问题
直线 方程：
3、焦点三角形的面积
直线 过焦点 的面积为 y
A
F 1 O F 2 x
B
学科网（北京）股份有限公司y
C
注意： 为联立消去 后关于 的一元二次方程的二次项系数 A
H
4、平行四边形的面积
O
x
直线 为 ，直线 为
D
B
注意： 为直线与椭圆联立后消去 后的一元二次方程的系数.
5、范围问题
首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式
变式：
作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；
当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值
注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”
圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：
（1） （注意分 三种情况讨论）
（2）
当且仅当 时，等号成立
（3）
当且仅当 时等号成立.
学科网（北京）股份有限公司（4）
当且仅当 时，等号成立
(5)
当且仅当 时等号成立.
二、典型题型
题型一：三角形面积（定值问题）
1．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知椭圆C： 的左、右焦点分别
为 、 ，上顶点为A， ，长轴的长为4．过右焦点 的直线l与椭圆交于
M、N两点（非长轴端点）．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l过椭圆的上顶点A，求 的面积．
学科网（北京）股份有限公司2．（2024高三下·全国·专题练习）已知椭圆 ，直线 （其中
）与椭圆 相交于 两点， 为 的中点， 为坐标原点， ．求 的面
积.
3．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知椭圆 ，直线 （其中
）与椭圆 相交于 两点， 为 的中点， 为坐标原点， ．
(1)求 的值；
(2)求 的面积．
学科网（北京）股份有限公司4．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线C： 的上、下焦点分别为
、 ，P为双曲线C上一点，且满足 ，求 的面积．
5．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知双曲线 的实轴比虚轴长
2，且焦点到渐近线的距离为2.
(1)求双曲线 的方程；
(2)若动直线 与双曲线 恰有1个公共点，且与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ， 两
点， 为坐标原点，证明： 的面积为定值.
6．（23-24高二下·安徽六安·期末）过抛物线 焦点 的直线 交 于
两点，特别地，当直线 的倾斜角为 时， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知点 ，若 ，求 的面积（ 为坐标原点）.
学科网（北京）股份有限公司题型二：四边形面积（定值问题）
1．（2024·天津武清·模拟预测）已知 为坐标原点，双曲线 的右焦点
为 ，以 为直径的圆与 的两条渐近线分别交于与原点不重合的两点 ， ，若
，则四边形 的面积为（ ）
A．6 B． C． D．4
2．（23-24高二上·内蒙古包头·期末） 、 是双曲线 上关于原点 对称的两
点， 、 是左、右焦点．若 ，则四边形 的面积是（ ）
A． B．3 C．4 D．6
3．（2024·湖北武汉·二模）已知抛物线 的焦点为 ，过 作直线交抛物
线 于 两点，过 分别作准线 的垂线，垂足分别为 ，若 和 的面
积分别为8和4，则 的面积为（ ）
A．32 B．16 C． D．8
4．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知抛物线 ： ， ： 的焦点分
别为 ， ，一条平行于x轴的直线与 ， 分别交于点A，B，若 ，则四边
形 的面积为 .
5．（2024·河北·模拟预测）已知 ，平面内动点 满足直线 的
学科网（北京）股份有限公司斜率之积为 .
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)过点 的直线交 的轨迹 于 两点，以 为邻边作平行四边形 （
为坐标原点），若 恰为轨迹 上一点，求四边形 的面积.
6．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，且点
在椭圆 上.
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知 为椭圆上三个点， 为坐标原点，若四边形 为矩形，求四边形
的面积.
学科网（北京）股份有限公司7．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知离心率为 的双曲线 经
过点 .
(1)求 的方程；
(2)如图，点 为双曲线上的任意一点， 为原点，过点 作双曲线两渐近线的平行线，分
别与两渐近线交于 、 两点，求证：平行四边形 的面积为定值.
题型三：三角形面积（最值，范围问题）
1．（2024高三·全国·专题练习）已知A，B是椭圆C： 的左、右顶点，直线l交
椭圆C于M，N两点，记AM的斜率为 ，BN的斜率为 ，且 ．
(1)求证：直线l过定点；
(2)记 的面积为 ， 的面积为 ，求 的最大值．
学科网（北京）股份有限公司2．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆 的左､右焦点分别为
，短轴长为 ，点 在 上.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知点 ，点 为椭圆 上一点，求 周长的最大值；
(3)过 的左焦点 ，且斜率不为零的直线 交 于 两点，求 面积的最大值.
3．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）双曲线 ： ，已知 为坐标原
点， 为双曲线 上一动点，过 作 、 分别垂直于两条渐近线，垂足为 、 ，
设 ， ，
(1)求证：
(2)若双曲线实轴长为4，虚轴长为2，过 分别作 、 平行于渐近线且与渐近线交于
、 两点，设 的面积为 ， 的面积为 ，求 的范围．
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知双曲线 的离心率为e，点A的
坐标是 ，O为坐标原点.
(1)若双曲线E的离心率 ，求实数m的取值范围；
(2)当 时，设过点A的直线与双曲线的左支交于P，Q两个不同的点，线段 的中点
为M点，求 的面积 的取值范围.
5．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知抛物线 经过点 ，直线
与 的交点为 ，且直线 与 倾斜角互补．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 面积的最大值．
6．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知抛物线C： 的焦点为F，过F的直线 交C
于A，B两点，过F与 垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别
为 ， 的中点.
(1)若 ，求点M的横坐标；
(2)证明：直线 过定点；
(3)设G为直线 与直线 的交点，求 面积的最小值.
学科网（北京）股份有限公司题型四：四边形面积（最值，范围问题）
1．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知双曲线 ，过该曲线上的点 作不
平行于坐标轴的直线 交双曲线的右支于另一点 ，作直线 交双曲线的渐近线于两点
A，B（A在第一象限）,其渐近线方程为 ，且 ，
(1)求双曲线方程．
(2)证明：直线 过定点.
(3)当 的斜率为负数时，求四边形 的面积的取值范围．
2．（23-24高二上·山西大同·期末）已知椭圆 经过点 ，一个
焦点在直线 上．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设经过原点 的两条互相垂直的直线分别与椭圆 相交于 ， 两点和 ， 两点．求
四边形 的面积的最小值．
学科网（北京）股份有限公司3．（2024·山东济南·二模）已知点 是双曲线 上一点， 在点 处的
切线与 轴交于点 .
(1)求双曲线 的方程及点 的坐标；
(2)过 且斜率非负的直线与 的左､右支分别交于 .过 做 垂直于 轴交 于
（当 位于左顶点时认为 与 重合）. 为圆 上任意一点，求四边
形 的面积 的最小值.
4．（23-24高二上·湖南长沙·期中）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，
，点 在双曲线 上．
(1)求 的方程；
(2)过 作两条相互垂直的直线 和 ，与 的右支分别交 ， 两点和 ， 两点，求四
边形 面积的最小值．
学科网（北京）股份有限公司5．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知A，B是抛物线E： 上不同的两点，点P在x
轴下方，PA，PB与抛物线E分别交于C，D两点，C，D恰好为PA，PB的中点．设AB，
CD的中点分别为点M，N．
(1)证明： 轴；
(2)若点P为半椭圆 上的动点，求四边形ABDC面积的最大值．
三、专项训练
1．（2024·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，直线 与双曲线
相交且只有一个交点，与椭圆 交于M，N两点，则 面积的最大值
为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
2．（23-24高三下·河北保定·开学考试）已知 是左、右焦点分别为 的椭圆
上异于左、右顶点的一点， 是线段 的中点， 是坐标原点，过 作
的平行线交直线 于 点，则四边形 的面积的最大值为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．2 B． C． D．
3．（23-24高二下·安徽滁州·期末）双曲线 的左､右焦点分别为 ，
离心率为 ，右支上一点 满足 ，直线 平分 ，过点 作直线 的垂
线，垂足分别为 .设 为坐标原点，则 的面积为（ ）
A． B． C．10 D．
4．（2024·江西宜春·一模）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，过右焦点
的直线 与双曲线的右支交于 两点，若 的内心分别为 ，则 与
面积之和的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二下·河南驻马店·阶段练习）已知抛物线 的焦点为F，过
点 作C的两条切线，切点为A，B，且Q为C上一动点，若 的最小值为
5，则△PAB的面积为（ ）
A．75 B． C． D．
6．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知拋物线 ，过动点 作两条相互垂直的直
线，分别与抛物线 相切于点 ，则 面积的最小值是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
7．（23-24高三下·山西大同·阶段练习）过抛物线 的焦点 且倾斜角为 的直线
交抛物线于 两点，以 为直径的圆分别与 轴相切于点 ，则 的面积
为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知椭圆 ，经过坐标原点的两条直线分别
与椭圆 相交于 、 、 、 四个点，若该两条直线的斜率分别为 、 ，且
，则 的面积为 ．
9．（2024·湖南·模拟预测）过椭圆C： （ ）上的动点P向圆O：
学科网（北京）股份有限公司引两条切线 ．设切点分别是A，B，若直线 与x轴、y轴分别交于M，
N两点，则 面积的最小值是 .
10．（2024高三·全国·专题练习）已知点 在双曲线 上，直线l交C于
P，Q两点，直线 的斜率之和为0，若 ，则 的面积为
．
11．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知 ， 分别为双曲线C： 的
左、右焦点，O为坐标原点，过 作渐近线 的垂线，垂足为P，且
，过双曲线C上一点Q作两渐近线的平行线分别交渐近线于M，N两点，
则四边形OMQN的面积为 .
12．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知椭圆 的长轴长为4，离心率
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的左、右顶点分别为 ，过椭圆的左焦点 的直线交椭圆于 两点，求
与 的面积之比的取值范围．
13．（23-24高二下·湖南永州·阶段练习）已知椭圆 过点 ，
离心率为 .不过原点的直线 交椭圆 于 两点，记直线 的斜率为 ，
学科网（北京）股份有限公司直线 的斜率为 ，且 .
(1)证明：直线 的斜率 为定值；
(2)求 面积的最大值.
14．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知双曲线 的实轴比虚轴长
2，且焦点到渐近线的距离为2.
(1)求双曲线 的方程；
(2)若动直线 与双曲线 恰有1个公共点，且与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ， 两
点， 为坐标原点，证明： 的面积为定值.
15．（2024·陕西西安·二模）已知双曲线 的一条渐近线方程为
，且虚轴长为2．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若动直线 与双曲线 恰有1个公共点，且与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两
点， 为坐标原点，证明： 的面积为定值．
学科网（北京）股份有限公司16．（23-24高二下·甘肃天水·开学考试）已知双曲线 的两条渐近线互相垂直，且经过点
．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若过点 的直线交双曲线同一支于两点 ，设 中点为 ，求 面积
的取值范围．
17．（23-24高二下·广东·期末）已知抛物线 的焦点 到点 的距
离为 ， ， 为抛物线 上两个动点，且线段 的中点 在直线 上．
(1)求抛物线 的方程；
(2)求 面积的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司18．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）抛物线 的准线方程为 ，抛物线 上的三个点
构成一个以 为直角顶点的直角三角形．
(1)求拋物线 的标准方程；
(2)若点 坐标为 ，证明：直线 过定点；
(3)若 ，求 面积的最小值．
学科网（北京）股份有限公司
