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江西省 2023 年初中学业水平考试数学试题卷
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只
有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得
分．
1. 下列各数中，正整数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数的分类即可求解．
【详解】解： 是正整数， 是小数，不是整数， 不是正数， 不是正数，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形
重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
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【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，
所以不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．
3. 若 有意义，则 的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解．
【详解】解：∵ 有意义，
∴ ，
解得： ，则 的值可以是
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
4. 计算 的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据积的乘方计算法则求解即可．
【详解】解： ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
5. 如图，平面镜 放置在水平地面 上，墙面 于点 ，一束光线 照射到镜面 上，
反射光线为 ，点 在 上，若 ，则 的度数为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得 ，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【详解】解：依题意， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键．
6. 如图，点 ， ， ， 均在直线 上，点 在直线 外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个
数为（ ）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
【答案】D
【解析】
【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点 可以画出一个圆，据此列举所有可
能即可求解．
【详解】解：依题意， ； ； ； ； ， 加上点 可以画出一个圆，
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∴共有6个，
故选：D．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 单项式 的系数为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数，得出结果即可．
【详解】解：单项式 的系数是 ．
故答案是： ．
【点睛】本题考查单项式的系数，解题的关键是掌握单项式系数的定义．
8. 我国海洋经济复苏态势强劲．在建和新开工海上风电项目建设规模约1800万千瓦，比上一年同期翻一
番，将18000000用科学记数法表示应为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示形式进行解答即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示形式为 （ ，a为整数）的形
式，n的绝对值与小数点移动的位数相同是解题的关键．
9. 计算：（a+1）2﹣a2=_____．
【答案】2a+1
【解析】
【详解】【分析】原式利用完全平方公式展开，然后合并同类项即可得到结果．
【详解】（a+1）2﹣a2
=a2+2a+1﹣a2
=2a+1，
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故答案为2a+1.
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及合并同类项的法则是解题的关
键.
10. 将含 角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已 ，点 ， 表示的刻度分别为
，则线段 的长为_______cm．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出 ，进而可得 是等边三角形，根据等边三角形的性质即
可求解．
【详解】解：∵直尺的两边平行，
∴ ，
又 ，
∴ 是等边三角形，
∵点 ， 表示的刻度分别为 ，
∴ ，
∴
∴线段 的长为 ,
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出 是解题的关键．
11. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的
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）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点 ， ， 在同一水平线上，
和 均为直角， 与 相交于点 ．测得 ，则
树高 ______m．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得 ，然后相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵ 和 均为直角
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ,
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
12. 如图，在 中， ，将 绕点 逆时针旋转角 （ ）得
到 ，连接 ， ．当 为直角三角形时，旋转角 的度数为_______．
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【答案】 或 或
【解析】
【分析】连接 ，根据已知条件可得 ，进而分类讨论即可求解．
【详解】解：连接 ，取 的中点 ，连接 ，如图所示，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴
∴ ，
∴
∴ ，
如图所示，当点 在 上时，此时 ，则旋转角 的度数为 ，
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当点 在 的延长线上时，如图所示，则
当 在 的延长线上时，则旋转角 的度数为 ，如图所示，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵
∴四边形 是矩形，
∴
即 是直角三角形，
的
综上所述，旋转角 度数为 或 或
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性
质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：
（2）如图， ， 平分 ．求证： ．
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【答案】（1）2；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先计算立方根，特殊角三角函数值和零指数幂，再计算加减法即可；
（2）先由角平分线的定义得到 ，再利用 证明 即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，特殊角三角函数值，全等三角形的判定，角平分线的定
义等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
14. 如图是 的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作锐角 ，使点C在格点上；
（2）在图2中的线段 上作点Q，使 最短．
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【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析
【解析】
【分析】（1）如图，取格点 ，使 ，在 的左上方的格点 满足条件，再画三角形即可；
（2）利用小正方形的性质取格点 ，连接 交 于 ，从而可得答案．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求作的三角形；
【小问2详解】
如图， 即为所求作的点；
【点睛】本题考查的是复杂作图，同时考查了三角形的外角的性质，正方形的
性质，垂线段最短，熟记基本几何图形的性质再灵活应用是解本题的关键．
15. 化简 ．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
解：原式
……
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解：原式
……
（1）甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】（1）②，③ （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据所给的解题过程即可得到答案；
（2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求
解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；
乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可．
【小问1详解】
解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：②，③；
【小问2详解】
解：甲同学的解法：
原式
；
乙同学的解法：
原式
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．
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
16. 为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动，根据活动要求，每班需要
2名宣传员，某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．
（1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是_______事件：（填“必然”、“不可能”或“随机”）
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．
【答案】（1）随机 （2）
【解析】
【分析】（1）由确定事件与随机事件的概念可得答案；
（2）先画树状图得到所有可能的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件；
【小问2详解】
画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲，丁的结果数为2，
所以选中的两名同学恰好是甲，丁的概率 ．
【点睛】本题考查的是事件的含义，利用画树状图求解随机事件的概率，熟记事件的概念与分类以及画树
状图的方法是解本题的关键．
17. 如图，已知直线 与反比例函数 的图象交于点 ，与y轴交于点B，过点B
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作x轴的平行线交反比例函数 的图象于点C．
（1）求直线 和反比例函数图象的表达式；
（2）求 的面积．
【答案】（1）直线 的表达式为 ，反比例函数的表达式为
（2）6
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）由一次函数解析式求得点B的坐标，再根据 轴，可得点C的纵坐标为1，再利用反比例函数
表达式求得点C坐标，即可求得结果．
【小问1详解】
解：∵直线 与反比例函数 的图象交于点 ，
∴ ， ，即 ，
∴直线 的表达式为 ，反比例函数的表达式为 ．
【小问2详解】
解：∵直线 的图象与y轴交于点B，
∴当 时， ，
∴ ，
∵ 轴，直线 与反比例函数 的图象交于点C，
∴点C的纵坐标为1，
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∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点、一次函
数与y轴的交点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺
25棵．
（1）求该班的学生人数；
（2）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超
过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？
【答案】（1）该班的学生人数为45人
（2）至少购买了甲树苗80棵
【解析】
【分析】（1）设该班的学生人数为x人，根据两种方案下树苗的总数不变列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求求出树苗的总数为155棵，设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗 棵树苗，
再根据总费用不超过5400元列出不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设该班的学生人数为x人，
由题意得， ，
解得 ，
∴该班的学生人数为45人；
【小问2详解】
解：由（1）得一共购买了 棵树苗，
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设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗 棵树苗，
由题意得， ，
解得 ，
∴m得最小值为80，
∴至少购买了甲树苗80棵，
答：至少购买了甲树苗80棵．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量
关系列出方程，找到不等关系列出不等式是解题的关键．
19. 如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点 ， ， ，
均在同一直线上， ，测得 ．（结果保小数点后一位）
（1）连接 ，求证： ；
（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．
（参考数据： ）
【答案】（1）见解析 （2）雕塑的高约为 米
【解析】
【分析】（1）根据等边对等角得出 ，根据三角形内角和定理得出
，进而得出 ，即可得证；
（2）过点 作 ，交 的延长线于点 ，在 中，得出 ，则
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，在 中，根据 ，即可求解．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴
∵
即
∴
即
∴ ；
【小问2详解】
的
如图所示，过点 作 ，交 延长线于点 ，
在 中，
∴ ，
∴
∴
在 中， ，
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∴
（米）．
答：雕塑的高约为 米．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角
函数的定义是解题的关键．
20. 如图，在 中， ，以 为直径的 与 相交于点D，E为 上一
点，且 ．
（1）求 的长；
（2）若 ，求证： 为 的切线．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）如图所示，连接 ，先求出 ，再由圆周角定理得到
，进而求出 ，再根据弧长公式进行求解即可；
（2）如图所示，连接 ，先由三角形内角和定理得到 ，则由圆周角定理可得
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，再由 是 的直径，得到 ，进而求出 ，进一步
推出 ，由此即可证明 是 的切线．
【小问1详解】
解：如图所示，连接 ，
∵ 是 的直径，且 ，
∴ ，
∵E为 上一点，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长 ；
【小问2详解】
证明：如图所示，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ 是 的半径，
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∴ 是 的切线．
【点睛】本题主要考查了切线 判定，求弧长，圆周角定理，三角形内角和
的
定理等等，正确作出辅助线是解题的关键
．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的
视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．
整理描述
初中学生视力情况统计表
视力 人数 百分比
0.6及以下 8
0.7 16
0.8 28
0.9 34
m
及以上 46 n
合计 200
高中学生视力情况统计图
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（1） _______， _______；
（2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为_______；
（3）分析处理：①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”请你对小胡的说法进行判断，并
选择一个能反映总体的统计量说明理由：
②约定：视力未达到 为视力不良．若该区有26000名初中学生，估计该区有多少名初中学生视力不良？
并对视力保护提出一条合理化建议．
【答案】（1） ； ；
（2） ；
（3）①小胡的说法合理，选择中位数，理由见解析；②11180人，合理化建议见解析，合理即可．
【解析】
【分析】（1）由总人数乘以视力为 的百分比可得 的值，再由视力1．1及以上的人数除以总人数可
得 的值；
（2）由条形统计图中各数据之和可得答案；
（3）①选择视力的中位数进行比较即可得到小胡说法合理；②由初中生总人数乘以样本中视力不良的百
分比即可，根据自身体会提出合理化建议即可．
【小问1详解】
解：由题意可得：初中样本总人数为： 人，
∴ （人）， ；
【小问2详解】
由题意可得： ，
∴被调查的高中学生视力情况的样本容量为 ；
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【小问3详解】
①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”
小胡的说法合理；
初中学生视力的中位数为第100个与第101个数据的平均数，落在视力为 这一组，
而高中学生视力的中位数为第160个与第161个数据的平均数，落在视力为 的这一组，
而 ，
∴小胡的说法合理．
②由题意可得： （人），
∴该区有26000名中学生，估计该区有 名中学生视力不良；
合理化建议为：学校可以多开展用眼知识的普及，规定时刻做眼保健操．
【点睛】本题考查的是从频数分布表与频数分布直方图中获取信息，中位数的含义，利用样本估计总体，
理解题意，确定合适的统计量解决问题是解本题的关键．
22. 课本再现
思考
我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形
吗？
可以发现并证明菱形的一个判定定理；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
（1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你
完成证明过程．
己知：在 中，对角线 ，垂足为 ．
求证： 是菱形．
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（2）知识应用：如图 ，在 中，对角线 和 相交于点 ， ．
①求证： 是菱形；
②延长 至点 ，连接 交 于点 ，若 ，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质证明 得出 ，同理可得 ，
则 ， ，进而根据四边相等的四边形是菱形，即可得证；
（2）①勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，且 ，得出 ，即可得证；
②根据菱形的性质结合已知条件得出 ，则 ，过点 作 交
于点 ，根据平行线分线段成比例求得 ，然后根据平行线分线段成比例即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵
∴ ，
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在
中，
∴
∴ ，
同理可得 ，则 ，
又∵
∴
∴四边形 是菱形；
【小问2详解】
①证明：∵四边形 是平行四边形， ．
∴
在 中， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
②∵四边形 是菱形；
∴
∵ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
如图所示，过点 作 交 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，平
行线分线段成比例，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键．
六、解答题（本大题共12分）
23. 综合与实践
问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在 中， ，D为 上一点， ，
动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿 匀速运动，到达点A时停止，以
为边作正方形 设点P的运动时间为 ，正方形 的而积为S，探究S与t的关系
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（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当 时， _______．
②S关于t的函数解析式为_______．
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据
图象信息，求S关于t的函数解析式及线段 的长．
（3）延伸探究：若存在3个时刻 （ ）对应的正方形 的面积均相等．
① _______；
②当 时，求正方形 的面积．
【答案】（1）①3；②
（2） ，
（3）①4；②
【解析】
【分析】（1）①先求出 ，再利用勾股定理求出 ，最后根据正方形面积公式求解即可；②
仿照（1）①先求出 ，进而求出 ，则 ；
（2）先由函数图象可得当点P运动到B点时， ，由此求出当 时， ，可设S关于t
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的函数解析式为 ，利用待定系数法求出 ，进而求出当
时，求得t的值即可得答案；
（3）①根据题意可得可知函数 可以看作是由函数 向右平移四个单位得到的，设
是函数 上的两点，则 ， 是函数
上的两点，由此可得 ，则 ，根据
题意可以看作 ，则 ；②由（3）①可得 ，再由
，得到 ，继而得答案．
【小问1详解】
解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿 匀速运动，
∴当 时，点P在 上，且 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3；
②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在 匀速运动，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
26【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ；
【小问2详解】
解：由图2可知当点P运动到B点时， ，
∴ ，
解得 ，
∴当 时， ，
由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为 ，
∴可设S关于t的函数解析式为 ，
把 代入 中得： ，
解得 ，
∴S关于t的函数解析式为 ，
在 中，当 时，解得 或 ，
∴ ；
【小问3详解】
解：①∵点P在 上运动时， ，点P在 上运动时 ，
∴可知函数 可以看作是由函数 向右平移四个单位得到的，
设 是函数 上的两点，则 ， 是函数
上的两点，
∴ ，
∴ ，
27【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵存在3个时刻 （ ）对应的正方形 的面积均相等．
∴可以看作 ，
∴ ，
故答案为：4；
②由（3）①可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
.
【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解
题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．
28
