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永州市 2023 年初中学业水平考试数学（试题卷）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请
将正确的选项填涂到答题卡上）
1. 我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮
库把运进30吨粮食记为“ ”，则“ ”表示（ ）
A. 运出30吨粮食 B. 亏损30吨粮食 C. 卖掉30吨粮食 D. 吃掉30吨粮食
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意即可求解．
【详解】解：粮库把运进30吨粮食记为“ ”，则“ ”表示运出30吨粮食．
故选：A
【点睛】本题考查了正负数的意义，理解“正”和“负”分别表示相反意义的量是解题关键．
2. 企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美，下列企业标志图为中心对称图形的
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的
图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
3. 下列多边形中，内角和等于 的是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据n边形内角和公式 分别求解后，即可得到答案
【详解】解：A．三角形内角和是 ，故选项不符合题意；
B．四边形内角和为 ，故选项符合题意；
C．五边形内角和 为 ，故选项不符合题意；
D．六边形内角和为 ，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了n边形内角和，熟记n边形内角和公式 是解题的关键．
4. 关于x的一元一次方程 的解为 ，则m的值为（ ）
A. 3 B. C. 7 D.
【答案】A
【解析】
【分析】把 代入 再进行求解即可．
【详解】解：把 代入 得： ，
解得： ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握使一元一次方程左
右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤．
5. 下列各式计算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
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【解析】
【分析】根据合并同类项的运算法则，二次根式的运算，积的乘方运算法则，以及负整数幂运算法则，逐
个进行计算即可．
【详解】解：A、 ，故A不正确，不符合题意；
B、 ，故B不正确，不符合题意；
C、 ，故C不正确，不符合题意；
D、 ，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了合并同类项的运算法则，二次根式的运算，积的乘方运算法则，以及负整数幂运
算法则，解题的关键是熟练掌握相关运算法则并熟练运用．
6. 下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为三角形的是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三视图的意义判断即可．
【详解】A. 主视图和左视图都为长方形，不符合题意；
B. 主视图和左视图都为长方形，不符合题意；
C. 主视图和左视图都为长方形，不符合题意；
D. 主视图和左视图都为三角形，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的意义是解题的关键．
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7. 某县 年人均可支配收入为 万元， 年达到 万元，若 年至 年间每年人均可
支配收入的增长率都为 ，则下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 年至 年间每年人均可支配收入的增长率都为 ，根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】解：设 年至 年间每年人均可支配收入的增长率都为 ，根据题意得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
8. 今年2月，某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排
练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的
概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据概率公式，即可解答．
【详解】解：从三首歌曲中选择两首进行排练，有《在希望的田野上》《我和我的祖国》、《在希望的田
野上》《十送红军》、《我和我的祖国》《十送红军》共三种选择方式，
故选到前两首的概率是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据概率公式计算概率，排列出总共可能的情况的数量是解题的关键．
9. 已知点 在反比例函数 的图象上，其中a，k为常数，且 ﹐则点M一定在（ ）
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A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数中的 ，可知反比例函数经过第一、三象限，再根据点M点的横坐标判断点
M所在的象限，即可解答
【详解】解： ，
反比例函数 的图象经过第一、三象限，
在
故点M可能 第一象限或者第三象限，
的横坐标大于0，
一定在第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了判断反比例函数所在的象限，判断点所在的象限，熟知反比例函数的图象所经过的象
限与k值的关系是解题的关键．
10. 如图，在 中， ，以 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ，
，再分别以 ， 为圆心，大于 的定长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 交 于点 ，
作 ，垂足为 ，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D. 一定经过 的
内心
【答案】C
【解析】
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【分析】根据作图可得 是 的角平分线，根据角平分线的性质得出 ，即可判断B，证
明 ，根据全等三角形的性质，即可判断A，根据三角形内心的定义，即可判断D选项，
假设 成立，得出 ，即可判断C选项．
【详解】解：根据作图可得 是 的角平分线，点 在 上， ，
∴ ，故B选项正确，
在 中，
，
∴ ，
∴ ，故A选项正确；
∵ 是 的角平分线，三角形的内心是三条角平分线的交点，
∴ 一定经过 的内心，故D选项正确；
若 ，则 ， ，
又 ，
则 ，
∴ ，而题目没有给出这个条件，故C选项不一定正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了作角平分线，三角形角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，三角形的内心的定
义，熟练掌握基本作图是解题的关键．
二﹑填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）
11. ，3， 三个数中最小的数为_______．
【答案】
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【解析】
【分析】根据有理数比较大小的法则即可求出答案．
【详解】解： ， ，3三个数中，只有3是正数，
3最大．
， ，
，
．
最小．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了有理数比较大小，解题 的关键在于熟练掌握有理数比较大小的方法：正数始终大于负
数；两个负数比较，绝对值大的反而小．
12. 与 的公因式为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据确定公因式的确定方法：系数取最大公约数；字母取公共字母；字母指数取最低次的，即可
解答．
【详解】解：根据确定公因式的方法，可得 与 的公因式为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了公因式的确定，掌握确定公因式的方法是解题的关键．
13. 已知x为正整数，写出一个使 在实数的范围内没有意义的x值是_______．
【答案】1（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得当 时， 没有意义，解不等式，即可解答．
【详解】解：当 时， 没有意义，
解得 ，
为正整数，
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可取1，2，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知根号下的式子小于零时，二次根式无意义，是解题的关
键．
14. 甲、乙两队学生参加学校仪仗队选拔，两队队员的平均身高均为 ，甲队队员身高的方差为 ，
乙队队员身高的方差为 ，若要求仪仗队身高比较整齐，应选择_______队较好．
【答案】甲
【解析】
【分析】根据方差的意义判断即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴估计这两支仪仗队身高比较整齐的是甲，
故答案为：甲．
【点睛】本题主要考查样本估计总体、方差，解题的关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．
方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越
好．
15. 如图， ，则 _______度．
【答案】
【解析】
【分析】根据 ，得出 ，根据 ，即可得出 ，即
可求解．
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【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．
16. 若关于x的分式方程 （m为常数）有增根，则增根是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可．
【详解】∵关于x的分式方程 （m为常数）有增根，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
17. 已知扇形的半径为6，面积为 ，则扇形圆心角的度数为_________度．
【答案】60
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式即可求出答案．
【详解】解：设扇形圆心角的度数为 ，
，
扇形的半径为6，
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．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，解题的关键在于熟练掌握扇形的面积公式： ．
18. 如图， 是一个盛有水的容器的横截面， 的半径为 ．水的最深处到水面 的距离为
，则水面 的宽度为_______ ．
【答案】
【解析】
【分析】过点 作 于点 ，交 于点 ，则 ，依题意，得出 ，进
而在 中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 于点 ，交 于点 ，则 ，
∵水的最深处到水面 的距离为 ， 的半径为 ．
∴ ，
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在 中，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共8分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
19. 解关于x的不等式组
【答案】
【解析】
【分析】分别解不等式组的两个不等式，再取两个不等式的解集的公共部分，即为不等式组的解集．
【详解】解： ，
解①得， ，
解②得， ，
原不等式组的解集为 ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的解集，取两个不等式的解集的公共部分的口诀为：“大大取大，
小小取小，大小小大取中间，大大小小则无解”，熟知上述口诀是解题的关键．
20. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】
【解析】
【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．
【详解】
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；
当 时，
原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．
21. 如图，已知四边形 是平行四边形，其对角线相交于点O， ．
（1） 是直角三角形吗？请说明理由；
（2）求证：四边形 是菱形．
【答案】（1） 是直角三角形，理由见解析．
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得 ，再根据勾股定理的逆定理，即可得
出结论；
（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求证．
【小问1详解】
解： 是直角三角形，理由如下：
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是直角三角形．
【小问2详解】
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证明：由（1）可得： 是直角三角形，
∴ ，
即 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，菱形的判定，解题的关键是掌握平行四
边形对角线互相平分，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
22. 今年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日．某市面向中小学生举行了一次关于心理健康、预防
欺凌、防漏水、应急疏散等安全专题知识竞赛，共有18360名学生参加本次竞赛．为了解本次竞赛成绩情
况，随机抽取了n名学生的成绩x（成绩均为整数，满分为100分）分成四个组：1组 、2组
、3组 、4组 ，并绘制如下图所示频数分布图
（1） ______；所抽取的n名学生成绩的中位数在第_____组；
（2）若成绩在第4组才为优秀，则所抽取的n名学生中成绩为优秀的频率为______；
（3）试估计18360名参赛学生中，成绩大于或等于70分的人数．
【答案】（1）600，3
（2）
（3）成绩大于或等于70分的人数约为15606人
【解析】
【分析】（1）将各组的频数相加，即可求出n的值，再根据中位数的定义，即可得出中位数所在组数；
（2）用第4组的频数除以抽取的学生总数，即可求解；
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（3）用总人数乘以成绩大于或等于70分的人数所占百分比，即可求解．
【小问1详解】
解： ，
∵ ，
∴抽取的n名学生成绩的中位数为第300名学生和第301名学生成绩的平均数，
∵ ， ，
∴抽取的n名学生成绩的中位数在第3组；
故答案为：600，3；
【小问2详解】
解：所抽取的n名学生中成绩为优秀的频率 ，
故答案为： ；
【
小问3详解】
解： （人），
答：成绩大于或等于70分的人数约为15606人．
【点睛】本题主要考查了频数和频率的定义，用样本估计总体，解题的关键是正确识别统计图，根据统计
图，获取需要数据进行求解．
23. 永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米（如图1所示），寓意陈树湘为中国革命“断肠
明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段 代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面 上D处为陈
树湘雕拍照，相机支架 高0.9米，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为 ，然后将相机架移到
处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为 ，求D、N两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数
据： ）
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【答案】1.5
【解析】
【分析】如图， ， ，四边形 ，四边形 是矩形，四边形 是矩形，
中， ， ， ， 中， ，
，所以 ，进一步求得 ，所以
．
【详解】如图， 米， 米
四边形 ，四边形 是矩形，四边形 是矩形
∴ 米，
∵ 中， ，
∴ 米，
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∴ 米
∵ 中， ，
∴
∴ 米
∴ 米
∴ 米
【点睛】本题考查解直角三角形，矩形的判定和性质，观察图形，确定组合图形中，通过直角三角形、矩
形之间的位置关系确定线段间的数量关系是解题的关键．
24. 小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻
度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量简中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒
中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据：
时间t（单位：分钟） 1 2 3 4 5 …
1 2
总水量y（单位：毫升） 7 17 22 …
2 7
（1）探究：根据上表中的数据，请判断 和 （k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与
时间t的函数关系?并求出y关于t的表达式；
（2）应用：
①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升?
②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多
少天．
【答案】（1） 能正确反映总水量y与时间t的函数关系；
（2）①102毫升；②144天
【解析】
【分析】（1）观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少 5毫升的水，故可得 能正确反映总水量
y与时间t的函数关系，再选取两组数据代入函数解析式，根据待定系数法，即可得到y关于t的表达式；
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（2）①将 代入函数，即可解答；
②由解析式可知，每分钟滴水量为 毫升，故可算出1个月的总滴水量，再除以一个人每天的饮水量，即
可解答．
【小问1详解】
解：观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少5毫升的水，故可得 能正确反映总水量y与时间t
的函数关系，
把 ， 代入 ，
可得 ，
解得 ，
y关于t的表达式 ；
【小问2详解】
①当 时， ，
故小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升，
答：小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升．
②由解析式可知，每分钟的滴水量为 毫升，
30天 分钟 分钟，
可供一人饮水天数 天，
答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用144天．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数的应用，正确读懂题意，求得正确的一次函数解析
式是解题的关键．
25. 如图，以 为直径的 是 的外接圆，延长 到点D．使得 ，点E在
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的延长线上，点 在线段 上， 交 于N， 交 于G．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的长；
（3）若 ，求证： ．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由 是 的直径得到 ，则 ，由 得
到 ，则 ，结论得证；
（2）证明 ，则 ，可得 ，解得 或3，由
即可得到 的长；
（3）先证明 ，则 ，得到 ，由 得到
，则 ，由同角的余角相等得到 ，则 ，
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得 ，进一步得到 ，则 ，即可得到结论．
【小问1详解】
证明：∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或3，
当 时， ，
当 时， ，
∵ ，即 ，
∴ ；
【小问3详解】
证明：∵ 是 的直径，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定定理等知识，熟练掌握相似三角
形的判定和性质是解题的关键．
26. 如图 1，抛物线 （ ， ， 为常数）经过点 ，顶点坐标为 ，点
为抛物线上的动点， 轴于H，且 ．
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（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，直线 交 于点 ，求 的最大值；
（3）如图2，四边形 为正方形， 交 轴于点 ， 交 的延长线于 ，且
，求点 的横坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据顶点式坐标公式和待定系数法分别求出 ， ， 值，即可求出抛物线解析式．
（2）利用抛物线的解析式可知道 点坐标，从而求出直线 的解析式，从而设 ，根据直
线 的解析式 可推出 ，从而可以用 表达 长度，在观察图形可知
，将其 和 长度代入，即可将面积比转化成二次函数的形式，根据 横坐标取值
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范围以及此二次函数的图像性质即可求出 的最大值．
（3）根据正方形的性质和 可求出 ，再利用 相似和 可推出
，设 ，即可求出直线 的解析式，用 表达 点的横纵坐标，最后代入抛物线解析式，
求出 的值即可求出 点横坐标．
【小问1详解】
解： 抛物线 （ ， ， 为常数）经过点 ，顶点坐标为 ，
， ， ，
，
，
抛物线的解析式为： ．
故答案为： ．
【小问2详解】
解：过点 作 轴于点 ，如图所示，
抛物线的解析式为： ，且与 轴交于 ， 两点，
，
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，
设直线 的解析式为： ，则 ，
，
直线 的解析式为： ．
在直线 上， ，
在直线 上， 的解析式为： ，
，
．
，
．
，
23【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
．
， ，
当 时， 有最大值，且最大值为： ．
故答案为： ．
【小问3详解】
解:∵＋ ，
，
，
，
，
，
，
设 ， ，
，
抛物线的解析式为： ，且与 轴交于 ， 两点，
．
设直线 的解析式为： ，则 ，
24【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
直线 的解析式为： ．
， 在直线 上，
，
，
，
，
（十字相乘法），
由 ，得： ，
，
，
，即 ，
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解得： ， ，
，
，
点横坐标为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查 的是二次函数的综合应用题，属于压轴题，解题的关键在于能否将面积问题和二次函数
有效结合．
26
