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2023 年兰州市初中学业水平考试
数 学
注意事项：
1．全卷共120分，考试时间120分钟．
2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上．
3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. －5的相反数是( )
A. B. C. 5 D. -5
2. 如图，直线 与 相交于点O，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 计算： （ ）
A. B. C. 5 D. a
4. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之
中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角 （ ）
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A. B. C. D.
5. 方程 的解是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧 ，圆弧的半径 ，圆心
角 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3
8. 关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 （ ）
.
A －2 B. 2 C. －4 D. 4
9. 2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球
第一．下面的统计图反映了2021年、2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况．（2022年同比
增长速度 ）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的
是（ ）
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A. 2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆
B. 2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个
C. 相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%
.
D 相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低
的
10. 我国古代天文学确定方向 方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：
先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参
望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线
a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，
N；（2）分别在 的延长线及 上取点A，B，使 ；（3）连接 ，取其中点C，过O，C
两点确定直线b，则直线 ．按以上作图顺序，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
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11. 一次函数 的函数值y随x的增大而减小，当 时，y的值可以是（ ）
A. 2 B. 1 C. －1 D. －2
12. 如图，在矩形 中，点E为 延长线上一点，F为 的中点，以B为圆心， 长为半径的
圆弧过 与 的交点G，连接 ．若 ， ，则 （ ）
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 因式分解： ______．
14. 如图，在 中， ， 于点E，若 ，则 ______ ．
15. 如图，将面积为7的正方形 和面积为9的正方形 分别绕原点O顺时针旋转，使 ，
落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则 ______．
16. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：
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累计抛掷
50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
次数
盖面朝上
28 54 106 158 264 527 1056 1587 2850
次数
盖面朝上
频率
下面有三个推断：
①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；
②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．
其中正确的是______．（填序号）
三、解答题（本大题共12小题，共72分）
17. 计算： ．
18. 计算： ．
19. 解不等式组： ．
20. 如图，反比例函数 与一次函数 的图象交于点 ， 轴于点
D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．
（1）求反比例函数 与一次函数 的表达式；
（2）当 时，求线段 的长．
21. 综合与实践
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问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知
角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在
和 上分别取点C和D，使得 ，连接 ，以 为边作等边三角形 ，则 就是
的平分线．
请写出 平分 的依据：____________；
类比迁移：
（2）小明根据以上信息研究发现： 不一定必须是等边三角形，只需 即可．他查阅资料：
我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在 的边 ， 上分别取 ，移
动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线 是 的平分线，请
说明此做法的理由；
拓展实践：
（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路 和 ，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校
要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A
的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在
对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
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22. 如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕
塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD
高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地
面的A处测得 、 ， ．求“龙”字雕塑 的高度．（B，C，D三
点共线， ．结果精确到0.1m）（参考数据： ， ， ，
， ， ）
23. 一名运动员在 高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离
水面 的高度 与离起跳点A的水平距离 之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平
距离为 时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为 时离水面的距离为 ．
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（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离 的长．
24. 如图，矩形 的对角线 与 相交于点O， ，直线 是线段 的垂直平分线，
分别交 于点F，G，连接 ．
（1）判断四边形 的形状，并说明理由；
（2）当 时，求 的长．
25. 某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取
40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．
信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x表示，分成六组：A． ；B． ；C．
；D． ；E． ；F． ）．
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信息二：排球垫球成绩在D． 这一组的是：
20，20，21，21，21，22，22，23，24，24
信息三：掷实心球成绩（成绩用y表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下：
分组
人数 2 m 10 9 6 2
信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下：
学生 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6
排球垫球 26 25 23 22 22 15
掷实心球 ▲ 7．8 7．8 ▲ 8．8 9．2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： ______；
（2）下列结论正确的是_____；（填序号）
①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；
②掷实心球成绩的中位数记为n，则 ；
③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有
4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀．
（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人
数．
26. 如图， 内接于 ， 是 的直径， ， 于点 ， 交 于点 ，
交 于点 ， ，连接 ．
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（1）求证： 是 的切线；
的
（2）判断 形状，并说明理由；
（3）当 时，求 的长．
27. 在平面直角坐标系中，给出如下定义： 为图形 上任意一点，如果点 到直线 的距离等于图形
上任意两点距离的最大值时，那么点 称为直线 的“伴随点”．
例如：如图1，已知点 ， ， 在线段 上，则点 是直线 ： 轴的“伴随点”．
（1）如图2，已知点 ， ， 是线段 上一点，直线 过 ， 两点，
当点 是直线 的“伴随点”时，求点 的坐标；
（2）如图3， 轴上方有一等边三角形 ， 轴，顶点 在 轴上且在 上方， ，
点 是 上一点，且点 是直线 ： 轴的 伴随点 ．当点 到 轴的距离最小时，求等边三角
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形 的边长；
（3）如图4，以 ， ， 为顶点的正方形 上始终存在点 ，使得点 是直线
： 的 伴随点 ．请直接写出 的取值范围．
28.
综合与实践
【思考尝试】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边 上一点， 于点
F， ， ， ．试猜想四边形 的形状，并说明理由；
【实践探究】
的
（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新 问题：如图2，在正方形 中，E是边 上一点，
于点F， 于点H， 交 于点G，可以用等式表示线段 ， ，
的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】
（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形 中，E是边
上一点， 于点H，点M在 上，且 ，连接 ， ，可以用等式表示线段
， 的数量关系，请你思考并解答这个问题．
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