文档内容
2026年中考数学常考考点专题之三角形
一．选择题（共13小题）
1．（2025•苍梧县一模）如图是 A，B两片木片放在地面上的情形，若∠3＝100°，则∠2﹣∠1等于
（ ）
A．55° B．80° C．90° D．100°
2．（2025•南关区校级三模）有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝ ，按如图两种方案用剪刀沿着箭
头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，不α一定全等打“×”，则下列判断正
确的是（ ）
A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：√、方案二：×
C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：×、方案二：×
3．（2025•滕州市一模）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别
在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为（ ）
A．18 B．9√2 C．9 D．6√2
4．（2025•安徽模拟）如图，在Rt△ABC中，AB=AC=2√2，点D，E在边BC上，且∠DAE＝45°，
DC＝1，则DE的长是（ ）
第1页（共44页）5 4 3
A． B． C． D．√2
3 3 2
5．（2025•黄冈校级模拟）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，
若BD＝3，CE＝4，则△ABC的面积为（ ）
A．36 B．38 C．40 D．42
6．（2025•连州市模拟）如图，三角形三条边的垂直平分线相交于一点，则以下正确的是（ ）
A．AB＝PB B．BC＝AC C．AC＝AP D．PA＝PB＝PC
7．（2025•潍坊）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地．
甲：A→C→B，路程为l甲 ．
乙：A→D→E→F→B，路程为l乙 ．
丙：A→G→H→B，路程为l丙 ．
下列关系正确的是（ ）
A．l甲 ＞l乙 ＞l丙 B．l乙 ＞l甲 ＞l丙
第2页（共44页）C．l甲 ＞l丙 ＞l乙 D．l甲 ＝l乙 ＞l丙
8．（2025•高要区一模）如图，已知正方体展开图中线段AB的长是10，则正方体的棱长在（ ）
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间
9．（2025•运城二模）每年的3月14日为国际数学日（简称IDM），是由国际数学联盟发起的一项全球
性的庆祝活动．2025年国际数学日主题：数学、艺术和创造力．某班级计划从以下 3个数学元素：①
（圆周率）；②黄金分割比；③勾股定理中随机选取2个设计一幅制作展板，则 （圆周率）和勾
π股定理被同时选中的概率为（ ） π
2 1 2 2
A． B． C． D．
3 3 5 9
10．（2025•舞阳县模拟）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心
O的光线相交于点P，点F为该凸透镜的焦点．若∠1＝150°，∠3＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
11．（2025•港北区一模）如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表100m，以点O为原点，过数轴上
的每一刻度点画同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点O处用雷达发现A，B
两处鱼群，那么A，B两处鱼群的距离是（ ）
第3页（共44页）A．5m B．400m C．500m D．300m
12．（2025•西宁）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形 ABCD和小正方形
EFGH，连接BD交CH于点P．若BP＝BC，则tan∠CBG的值是（ ）
√2 2√2
A．√2-1 B．2-√2 C． D．
2 3
13．（2025•光泽县模拟）如图，P是线段AB所在直线上的一动点，点C，D在AB的两侧，CA⊥AB，
DB⊥AB，AB＝4，AC＝3，DB＝2，连接PC，PD，分别取PC，PD的中点M，N，连接MN．随着点P
的运动，线段MN的长（ ）
A．随着点P的位置变化而变化
5
B．保持不变，长为
2
C．保持不变，长为2
√41
D．保持不变，长为
2
二．填空题（共7小题）
14．（2025•珠海校级一模）如图，一根橡皮筋放置在 x轴上，固定两端A和B，其中A点坐标（0，
第4页（共44页）0），B点坐标（8，0），然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 cm．
15．（2025•分宜县模拟）如图，△ABC是等腰直角三角形，BC＝6，E，F是斜边BC上的两动点，
∠EAF＝45°，CD⊥BC且CD＝BE．若△CDF中有一条边恰好等于另一条边的 2倍，且∠DFC≠30°，
则BE的长为 ．
16．（2025•济源一模）已知在△ABC中，AC＝6cm，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE
上有一点F，EF＝1cm，连接AF，CF，若AF⊥CF，则AB＝ ．
17．（2025•中卫校级二模）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的
一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的
另一边上，则∠1的度数为 ．
18．（2025•锡林郭勒盟三模）如图，已知在△ABC中，AB=2√2，AC＝3，∠BAC＝45°，点D是边BC
上的动点，过点D作DE∥AC，DF∥AB分别交AB于点E，AC于点F，连接EF，则EF的最小值为
第5页（共44页）．
19．（2025•永城市模拟）如图，四边形ABCD为正方形，AB＝4，P是直线CD上一动点，连接AP，作
DQ⊥AP，垂足为Q，则BQ的最小值为 ，最大值为 ．
20．（2025•江都区二模）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝
．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•琼中县一模）三亚南山海上观音是世界上最高的观音像．某数学实践小组利用所学的数学知
识测量观音像的高度AB，如图，该数学实践小组在点C处测得观音像顶端A的仰角为45°，然后沿斜
坡CD行走40m到点D处．已知∠ACD＝105°（点A，B，C，D在同一平面内）．
（1）过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，则∠DCE＝ ；DE＝ m；
（2）求CE的长度．
第6页（共44页）22．（2025•琼中县一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD为对角线，点E是边AB延长线上任意一
点，连接DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G，BD＝6．
（1）求证：△ABD≌△CBD；
（2）求证：∠DBG＝90°；
（3）求菱形ABCD的面积；
23．（2025•曲靖模拟）如图，AC与DE交于点O，且OE＝OC，点E，C在BF上，BE＝CF，∠A＝
∠D．求证：AB＝DF．
24．（2025•樊城区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是三角形ABC的高，用尺规作图的方法
作出射线CP交AB于点E，交BD于点O．
（1）判断用尺规作出的CP是 ；
（2）求证：BE＝CD．
25．（2025•洮南市模拟）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是CA延长线上的一点，EG∥AD，交
AB于点F．求证：AE＝AF．
第7页（共44页）第8页（共44页）2026年中考数学常考考点专题之三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B C A A D D B B A C
题号 12 13
答案 A D
一．选择题（共13小题）
1．（2025•苍梧县一模）如图是 A，B两片木片放在地面上的情形，若∠3＝100°，则∠2﹣∠1等于
（ ）
A．55° B．80° C．90° D．100°
【考点】三角形的外角性质．
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【专题】三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求解．
【解答】解：∵∠3＝100°，
∴∠4＝180°﹣∠3＝80°，
∵∠1+∠4＝∠2，
∴∠2﹣∠1＝∠4＝80°，
故选：B．
【点评】本题考查三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
2．（2025•南关区校级三模）有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝ ，按如图两种方案用剪刀沿着箭
α
第9页（共44页）头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，不一定全等打“×”，则下列判断正
确的是（ ）
A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：√、方案二：×
C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：×、方案二：×
【考点】全等三角形的判定．
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【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】B
【分析】方案一：由三角形的外角性质推出∠BDE＝∠CFD，判定△BDE≌△CFD（AAS）；
方案二：由三角形的外角性质推出∠BMK＝∠MLC，BK和MC不一定相等，因此△BMK和△CML不
一定全等．
【解答】解：方案一：
∵∠BDE+∠EDF＝∠C+∠CFD，∠C＝∠EDF＝ ，
∴∠BDE＝∠CFD， α
∵∠B＝∠C，BE＝CD，
∴△BDE≌△CFD（AAS）；
方案二：
∵∠BMK+∠KML＝∠C+∠MLC，∠C＝∠KML＝ ，
∴∠BMK＝∠MLC， α
∵BK＝3，MC不一定等于3，
∴△BMK和△CML不一定全等，
∴方案一：√，方案二：×．
故选：B．
第10页（共44页）【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、
HL．
3．（2025•滕州市一模）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别
在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为（ ）
A．18 B．9√2 C．9 D．6√2
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．
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【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】C
1
【分析】由等腰直角三角形的性质可得AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，S = ×6×6=18，
△ABC 2
由“SAS”可证△ADE≌△CDF，可得S ＝S ，即可求解．
△ADE △CDF
【解答】解：如图，连接AD，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，
1
∴AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，S = ×6×6=18，
△ABC 2
在△ADE和△CDF中，
第11页（共44页）{
AD=CD
∠BAD=∠C，
AE=CF
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴S ＝S ，
△ADE △CDF
1
∴四边形AEDF的面积=S = S =9，
△ADC 2 △ABC
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关
键．
4．（2025•安徽模拟）如图，在Rt△ABC中，AB=AC=2√2，点D，E在边BC上，且∠DAE＝45°，
DC＝1，则DE的长是（ ）
5 4 3
A． B． C． D．√2
3 3 2
【考点】等腰直角三角形．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】A
【分析】由题意得出∠B＝∠C＝45°，BC＝4，由旋转的性质，再证△ADE≌△ADF，得出，DE＝DF，
设DE＝x，则DF＝x，CF＝BE＝BC﹣CD﹣DE＝4﹣1﹣x＝3﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：由条件可知BC=√2AB=4，
∵∠DAE＝45°，
∴∠DAE＝∠B，
把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连接EF，
则∠B＝∠ACF，∠BAE＝∠CAF，AE＝AF，BE＝CF，
第12页（共44页）∴∠ECF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，
∴∠DAF＝∠CAF+∠CAD＝∠BAE+∠CAD
＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DAE＝∠DAF，
在△ADE和△ADF中，
{
AE=AF
∠DAE=∠DAF，
AE=AE
∴△ADE≌△ADF（SAS），
∴DE＝EF，
设DE＝x，则DF＝x，
CF＝BE＝BC﹣CD﹣DE＝4﹣1﹣x＝3﹣x，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，12+（3﹣x）2＝x2，
5
得x= ，
3
5
即DE= ．
3
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造
出全等三角形是解题的关键．
5．（2025•黄冈校级模拟）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，
若BD＝3，CE＝4，则△ABC的面积为（ ）
A．36 B．38 C．40 D．42
【考点】勾股定理；等腰直角三角形；旋转的性质；全等三角形的判定与性质．
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【专题】三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】将△AEC顺时针方向旋转90°至△AFB，得出∠ABF＝∠ACD＝45°，∠BAF＝∠CAE，AE＝
AF，证明△DAE≌△DAF（SAS），由全等三角形的判定与性质得出DE＝DF，由勾股定理求出DE的长，
第13页（共44页）根据三角形的面积可求出答案．
【解答】解：如图，将△AEC顺时针方向旋转90°至△AFB，连接DF，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
根据旋转的性质可得△AEC≌△ABF，
∴∠ABF＝∠ACD＝45°，∠BAF＝∠CAE，AE＝AF，
∴∠FBE＝45°+45°＝90°，BF＝CE，
∴BD2+BF2＝DF2，
∴∠DAE＝45°，
∴∠BAD+∠CAE＝45°，
∴∠BAD+∠BAF＝45°，
∴∠DAE＝∠DAF，
又∵AD＝AD，
∴△DAE≌△DAF（SAS），
∴DE＝DF，
∴BD2+BF2＝DE2，
∵BD＝3，CE＝4，
∴DE=√32+42=5，
√2
∴BC＝BD+DE+CE＝3+5+4＝12，AB=AC=12× =6√2，
2
1
∴△ABC的面积为 ×6√2×6√2=36，
2
故选：A．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等知
识，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
6．（2025•连州市模拟）如图，三角形三条边的垂直平分线相交于一点，则以下正确的是（ ）
第14页（共44页）A．AB＝PB B．BC＝AC C．AC＝AP D．PA＝PB＝PC
【考点】线段垂直平分线的性质．
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【专题】三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据线段的垂直平分线的性质判断即可．
【解答】解：A、AB与PB的相等关系不能确定，故本选项说法错误，不符合题意；
B、BC与AC的关系不能确定，故本选项说法错误，不符合题意；
C、AC与AP的关系不能确定，故本选项说法错误，不符合题意；
D、∵三角形三条边的垂直平分线相较于一点，
∴PA＝PB＝PC，故本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离
相等．
7．（2025•潍坊）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地．
甲：A→C→B，路程为l甲 ．
乙：A→D→E→F→B，路程为l乙 ．
丙：A→G→H→B，路程为l丙 ．
下列关系正确的是（ ）
A．l甲 ＞l乙 ＞l丙 B．l乙 ＞l甲 ＞l丙
C．l甲 ＞l丙 ＞l乙 D．l甲 ＝l乙 ＞l丙
【考点】等边三角形的判定与性质；三角形三边关系．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
第15页（共44页）【答案】D
【分析】在图丙中，延长AG，BH交于点P，在图甲中，根据△ABC是等边三角形得AC＝BC＝AB＝
a，进而得l甲 ＝AC+BC＝2a，在图乙中，根据△DAE和△FEB都是等边三角形得AD＝DE＝AE，DF＝
FB＝EB，由此得l乙 ＝AD+DE+DF+FB＝2（AE+BE）＝2a；在图丙种，根据△PAB是等边三角形得AP
＝AB＝a，根据三角形三边之间的关系得GH＜PG+PH，由此得AG+GH+HB＜PA+PB＝2a，进而得l丙
＝AG+GH+HB＜2a，综上所述即可得出答案．
【解答】解：在图丙中，延长AG，BH交于点P，如图所示：
设AB＝a，
在图甲中，
∵∠A＝∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB＝a，
∴甲所行走的路程l甲 ＝AC+BC＝2a，
在图乙中，AE+BE＝AB＝a
∵∠A＝∠AED＝∠FEB＝∠B＝90°，
∴△DAE和△FEB都是等边三角形，
∴AD＝DE＝AE，DF＝FB＝EB，
∴乙所行走的路程l乙 ＝AD+DE+DF+FB＝2（AE+BE）＝2a；
在图丙种，
∴∠A＝∠B＝60°，
∴AP＝AB＝a，
根据三角形三边之间的关系得：GH＜PG+PH，
∴AG+GH+HB＜AG+GH+PG+PH＝PA+PB＝2a，
∴丙所行走的路程l丙 ＝AG+GH+HB＜2a，
∴l甲 ＝l乙 ＞l丙 ，
故选：D．
第16页（共44页）【点评】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握等边三角形的判定与
性质，三角形三边关系是解决问题的关键．
8．（2025•高要区一模）如图，已知正方体展开图中线段AB的长是10，则正方体的棱长在（ ）
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间
【考点】勾股定理；估算无理数的大小；几何体的展开图．
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【专题】展开与折叠；空间观念．
【答案】B
【分析】先根据勾股定理求出正方体的棱长，再估算大小即可．
【解答】解：如图，
设正方体的棱长为a，则AC＝2a，BC＝4a，
Rt△ABC中，由勾股定理可得AC2+BC2＝AB2，
∴（2a）2+（4a）2＝102，
整理得a2＝5，
∴a=√5（负值舍去），
∵22＜a2＜32，
∴2＜a＜3，
即正方体的棱长在2与3之间．
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理，无理数的估算，掌握以上知识点是解题的关键．
9．（2025•运城二模）每年的3月14日为国际数学日（简称IDM），是由国际数学联盟发起的一项全球
性的庆祝活动．2025年国际数学日主题：数学、艺术和创造力．某班级计划从以下 3个数学元素：①
（圆周率）；②黄金分割比；③勾股定理中随机选取2个设计一幅制作展板，则 （圆周率）和勾
π股定理被同时选中的概率为（ ） π
第17页（共44页）2 1 2 2
A． B． C． D．
3 3 5 9
【考点】勾股定理；列表法与树状图法．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及 （圆周率）和勾股定理被同时选中的结果数，再利用
概率公式可得出答案． π
【解答】解：将圆周率，黄金分割比，勾股定理分别记为A，B，C，从3个数学元素中随机选取2个
设计一幅制作展板，用表格列出所有可能的结果：
﹣ A B C
A ﹣ （A，B） （A，C）
B （B，A） ﹣ （B，C）
C （C，A） （C，B） ﹣
共有6种等可能的结果，其中2种符合题意，
2 1
∴P（两人抽到相同卡片） =
6
=
3
．
故选：B．
【点评】本题考查列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握列表法或树状图法以及概率公式是解答本
题的关键．
10．（2025•舞阳县模拟）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心
O的光线相交于点P，点F为该凸透镜的焦点．若∠1＝150°，∠3＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．
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【专题】三角形；推理能力．
第18页（共44页）【答案】A
【分析】由于平行，∠1+∠PFO＝180°，已知∠1＝150°，可得∠PFO的度数，可得∠POF的度数，对
顶角相等，可得∠2的度数．
【解答】解：由于平行，∠1+∠PFO＝180°，
∵∠1＝150°，
∴∠PFO＝30°，
∵∠3＝∠PFO+∠POF，∠3＝50°，
∴∠POF＝20°，
∴∠2＝20°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，两直线平行同旁内角互补是本题的关键．
11．（2025•港北区一模）如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表100m，以点O为原点，过数轴上
的每一刻度点画同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点O处用雷达发现A，B
两处鱼群，那么A，B两处鱼群的距离是（ ）
A．5m B．400m C．500m D．300m
【考点】勾股定理的应用．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据题意得出∠AOB＝90°及OA、OB后即可根据勾股定理求解．
【解答】解：如图，连接AB，数轴交点为O，
第19页（共44页）由题意得，同心圆平均分成十二等分，则每三等分即为360°÷12×3＝90°，
∴∠AOB＝90°，
又1个单位长度代表100m，
∴OA＝300m，OB＝400m，
∴根据勾股定理可得，
∴Rt△AOB中，AB=√OA2+OB2=500m．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理．
12．（2025•西宁）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形 ABCD和小正方形
EFGH，连接BD交CH于点P．若BP＝BC，则tan∠CBG的值是（ ）
√2 2√2
A．√2-1 B．2-√2 C． D．
2 3
【考点】勾股定理的应用；解直角三角形．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】A
【分析】依据题意，设△BGC的边长BC＝c，CG＝b，BG＝a，从而小正方形EFGH的边长FG＝a﹣
第20页（共44页）DH HP
b，又 BP＝BC，BG⊥PC，则 CG＝GP＝b，可得 HP＝a﹣2b，又 DE∥BG，则 = ，故
BG PG
b a-2b b CG b
= ，进而 =-1+√2（负根不合题意，舍去），最后可得tan∠CBG= = =-1+√2，即可
a b a BG a
得解．
【解答】解：由题意，设△BGC的边长BC＝c，CG＝b，BG＝a，
∴小正方形EFGH的边长FG＝a﹣b．
∵BP＝BC，BG⊥PC，
∴CG＝GP＝b．
∴HP＝a﹣2b．
∵DE∥BG，
DH HP
∴ = ．
BG PG
b a-2b
∴ = ．
a b
∴b2+2ab﹣a2＝0．
b b
∴（ ）2+2（ ）﹣1＝0．
a a
b
∴ =-1+√2（负根不合题意，舍去）．
a
CG b
∴tan∠CBG= = =-1+√2．
BG a
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系
式是关键．
13．（2025•光泽县模拟）如图，P是线段AB所在直线上的一动点，点C，D在AB的两侧，CA⊥AB，
DB⊥AB，AB＝4，AC＝3，DB＝2，连接PC，PD，分别取PC，PD的中点M，N，连接MN．随着点P
的运动，线段MN的长（ ）
A．随着点P的位置变化而变化
第21页（共44页）5
B．保持不变，长为
2
C．保持不变，长为2
√41
D．保持不变，长为
2
【考点】三角形中位线定理．
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【专题】三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】连接CD，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于E，根据矩形的性质分别求出DE、CE，根据
勾股定理求出CD，再根据三角形中位线定理计算解即可．
【解答】解：如图，连接CD，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于E，
则四边形ABEC为矩形，
∴∠E＝90°，BE＝AC＝3，CE＝AB＝4，
∴DE＝DB+BE＝2+3＝5，
由勾股定理得：CD=√DE2+CE2=√52+42=√41，
∵点M，N分别为PC，PD的中点，
∴MN为△PCD的中位线，
1 √41
∴MN= CD= ，且MN的长保持不变，
2 2
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
二．填空题（共7小题）
14．（2025•珠海校级一模）如图，一根橡皮筋放置在 x轴上，固定两端A和B，其中A点坐标（0，
0），B点坐标（8，0），然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 2 cm．
第22页（共44页）【考点】勾股定理的应用．
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【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
1
【解答】解：Rt△ACD中，AC= AB＝4cm，CD＝3cm；
2
根据勾股定理，得：AD=√AC2+CD2=√42+32=5（cm）；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用
所学知识解决问题．
15．（2025•分宜县模拟）如图，△ABC是等腰直角三角形，BC＝6，E，F是斜边BC上的两动点，
∠EAF＝45°，CD⊥BC且CD＝BE．若△CDF中有一条边恰好等于另一条边的 2倍，且∠DFC≠30°，
9-3√5
则BE的长为 或9-3√5或3√3-3 ．
2
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．
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【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
第23页（共44页）9-3√5
【答案】 或9-3√5或3√3-3．
2
【分析】先证明△ABE≌△ACD（SAS），再证明△AEF≌△ADF（SAS）则DF＝EF．设BE＝x，则CD＝
x．再分三种情况讨论，利用线段和差建立方程求解．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°．
∵CD⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝45°＝∠B，
在△ABE和△ACD中，
{
CD=BE
∠∠ACD=∠B，
AB=AC
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD．
∵∠BAC＝90°，
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF＝∠DAE﹣∠EAF＝45°＝∠EAF，
∵AF＝AF，
在△AEF和△ADF中，
{
AF=AF
∠DAF=∠EAF，
AE=AD
∴△AEF≌△ADF（SAS），
∴DF＝EF．
设BE＝x，则CD＝x．如图1，
当CF＝2CD＝2x时，则DF=√CF2+CD2=√5x，
∴BC=BE+EF+CF=x+√5x+2x=6，
9-3√5
解得x= ；
2
如图2，当CD＝2CF时，
第24页（共44页）1 √5
CF= x，则DF=√CF2+CD2= x，
2 2
√5 1
∴x+ x+ x=6，
2 2
解得x=9-3√5；
如图3，当DF＝2CF时，
∴由CF2+CD2＝DF2得CF2+x2＝（2CF）2，
√3 2√3
则CF= x，DF= x，
3 3
√3 2√3
∴ x+ x+x=6，
3 3
解得x=3√3-3；
9-3√5
综上所述，BE的长为 或9-3√5或3√3-3．
2
9-3√5
故答案为： 或9-3√5或3√3-3．
2
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，熟练掌握各知识点
并灵活运用是解题的关键．
第25页（共44页）16．（2025•济源一模）已知在△ABC中，AC＝6cm，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE
上有一点F，EF＝1cm，连接AF，CF，若AF⊥CF，则AB＝ 8 cm ．
【考点】三角形中位线定理．
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【专题】三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据直角三角形的性质求出DF，进而求出DE，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△AFC中，点D是AC的中点，AC＝6cm，
1 1
∴DF= AC= ×6＝3（cm），
2 2
∵EF＝1cm，
∴DE＝DF+EF＝3+1＝4（cm），
∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝2×4＝8（cm），
故答案为：8cm．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，
并且等于第三边的一半是解题的关键．
17．（2025•中卫校级二模）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的
一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的
另一边上，则∠1的度数为 15 ° ．
【考点】等腰直角三角形；平行线的性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】15°．
第26页（共44页）【分析】延长两三角板重合的边与直尺相交，根据两直线平行，内错角相等求出∠2，再利用三角形的
一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：如图，延长AC交平行线于点H，
∵AB∥EH，
∴∠2＝∠HAB＝30°，
∵∠3＝∠1+∠2，
∴∠1＝∠3﹣∠2＝45°﹣30°＝15°．
故答案为：15°．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，熟记平行线的性质，三角板的度数是解题的关键．
18．（2025•锡林郭勒盟三模）如图，已知在△ABC中，AB=2√2，AC＝3，∠BAC＝45°，点D是边BC
上的动点，过点D作DE∥AC，DF∥AB分别交AB于点E，AC于点F，连接EF，则EF的最小值为
6√29
．
29
【考点】勾股定理．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
6√29
【答案】 ．
29
【分析】以点A为原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，过点 C作CG⊥AB
于点G，利用特殊角的三角函数，确定点C的坐标，后应用待定系数法确定直线的解析式，交轨法确
定点D的坐标，继而确定F的坐标，构造二次函数求最值即可．
【解答】解：以点A为原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
过点C作CG⊥AB于点G，
第27页（共44页）∵AC＝3，∠BAC＝45°，利用特殊角的三角函数，确定点C的坐标可得：
3√2 3√2
∴CG=ACsin∠BAC= ，AG=ACcos∠BAC= ，
2 2
3√2 3√2
∴C( ， )，
2 2
∵AB=2√2，
∴B(2√2，0)，
设AC的解析式为y＝px，用待定系数法确定直线的解析式可得：
3√2 3√2
故 = p，
2 2
解得p＝1，
∴y＝x，
设BC的解析式为y＝kx+b，
{ 2√2k+b=0
故 3√2 3√2，
k+b=
2 2
{k=-3
解得 ，
b=6√2
∴y=-3x+6√2，
第28页（共44页）设E（m，0），
由题意可得：k ＝k ＝1，
DE AC
不妨设ED的解析式为y＝x+q，
故0＝m+q，
解得q＝﹣m，
∴DE的解析式为y＝x﹣m，
{ y=x-m
∴ ，
y=-3x+6√2
{ x=
m+6√2
4
∴ ，
-3m+6√2
y=
4
6√2+m 6√2-3m
∴D( ， )，
4 4
∵DF∥AB，
6√2-3m 6√2-3m
∴F( ， )，
4 4
∵E（m，0），
6√2-3m 2 6√2-3m 2
∴EF2=( -m) +( -0)
4 4
2
29 30√2 36
= (m- ) + ，
8 29 29
30√2 36
故当m= 时，EF2 = ，
29 min 29
30√2 √36 6√29
∴当m= 时，EF = = ，
29 min 29 29
6√29
故答案为： ．
29
【点评】本题考查了特殊角的三角函数的应用，待定系数法求解析式，交轨法求坐标，构造二次函数
求最值，平行线的性质，熟练掌握待定系数法，二次函数的最值是解题的关键．
19．（2025•永城市模拟）如图，四边形ABCD为正方形，AB＝4，P是直线CD上一动点，连接AP，作
DQ⊥AP，垂足为Q，则BQ的最小值为 2√5- 2 ，最大值为 2√5+ 2 ．
第29页（共44页）【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；正方形的性质；圆周角定理；三角形
三边关系．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】2√5-2，2√5+2．
【分析】取AD的中点E，连接BE、QE，由正方形的性质得∠BAE＝90°，AD＝AB＝4，则AE＝DE＝
1
2，求得BE=√AE2+AB2=2√5，由DQ⊥AP于点Q，得∠AQD＝90°，则QE= AD＝2，因为BE﹣
2
QE≤BQ≤BE+QE，所以2√5-2≤BQ≤2√5+2，则BQ的最小值为2√5-2，最大值为2√5+2，于是得到
问题的答案．
【解答】解：取AD的中点E，连接BE、QE，
∵四边形ABCD为正方形，AB＝4，
∴∠BAE＝90°，AD＝AB＝4，
1
∴AE＝DE= AD＝2，
2
∴BE=√AE2+AB2=√22+42=2√5，
∵DQ⊥AP，垂足为Q，
∴∠AQD＝90°，
1
∴QE= AD＝2，
2
∵BE﹣QE≤BQ≤BE+QE，
∴2√5-2≤BQ≤2√5+2，
∴BQ的最小值为2√5-2，最大值为2√5+2，
故答案为：2√5-2，2√5+2．
第30页（共44页）【点评】此题重点考查正方形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、两点之
间线段最短等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
20．（2025•江都区二模）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝
135° ．
【考点】全等图形．
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【专题】三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用网格得出对应角∠1＝∠3，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
由题意可得：∠1＝∠3，
则∠1+∠2＝∠2+∠3＝135°．
故答案为：135°．
【点评】此题主要考查了全等图形，正确借助网格分析是解题关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•琼中县一模）三亚南山海上观音是世界上最高的观音像．某数学实践小组利用所学的数学知
识测量观音像的高度AB，如图，该数学实践小组在点C处测得观音像顶端A的仰角为45°，然后沿斜
坡CD行走40m到点D处．已知∠ACD＝105°（点A，B，C，D在同一平面内）．
（1）过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，则∠DCE＝ 30 ° ；DE＝ 2 0 m；
第31页（共44页）（2）求CE的长度．
【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）30°，20；
（2）20√3 m．
【分析】（1）首先由∠DCE＝180°﹣∠ACB﹣∠ACD解得∠DCE的值，然后根据“直角三角形中30度
角所对的直角边等于斜边的一半”，即可获得答案；
（2）在Rt△DCE中，由勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝45°，∠ACD＝105°，
∴∠DCE＝180°﹣∠ACB﹣∠ACD＝180°﹣45°﹣105°＝30°，
在Rt△DCE中，CD＝40m，
1
∴DE= CD=20(m)．
2
故答案为：30°，20；
（2）∵在Rt△DCE中，CD＝40m，DE＝20m，
∴CE=√CD2-DE2=√402-202=20√3(m)，
∴CE的长度为20√3 m．
【点评】本题主要考查了含30度角的直角三角形、勾股定理等知识，正确理解题意是解题关键．
22．（2025•琼中县一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD为对角线，点E是边AB延长线上任意一
点，连接DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G，BD＝6．
（1）求证：△ABD≌△CBD；
（2）求证：∠DBG＝90°；
（3）求菱形ABCD的面积；
第32页（共44页）【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；菱形的性质．
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【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝AD＝BC，
在△ABD和△CBD中，
{AB=BC，
AD=CD，
BD=BD，
∴△ABD≌△CBD（SSS）；
（2）连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DKC＝90°，∠BCD＝2∠ACB，CD∥AB，
∴∠BCD＝∠CBE，
∵BG平分∠CBE，
∴∠CBE＝2∠CBG，
∴∠ACB＝∠CBG，
∴AC∥BG，
∴∠DKC＝∠DBG＝90°；
（3）24．
【分析】（1）根据菱形的性质，利用边边边的定理证明即可；
（2）如图2，连接AC交BD于点O，根据菱形的性质，平行线的性质，证明AC∥BG即可证明∠DBG
＝90°；
（3）利用勾股定理，菱形的性质计算即可．
第33页（共44页）【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝AD＝BC，
在△ABD和△CBD中，
{AB=BC，
AD=CD，
BD=BD，
∴△ABD≌△CBD（SSS）；
（2）证明：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DKC＝90°，∠BCD＝2∠ACB，CD∥AB，
∴∠BCD＝∠CBE，
∵BG平分∠CBE，
∴∠CBE＝2∠CBG，
∴∠ACB＝∠CBG，
∴AC∥BG，
∴∠DKC＝∠DBG＝90°．
（3）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB＝90°，
∴BO＝DO＝3，AO＝CO，
∴AO=√AB2-BO2=√52-32=4，
∴AC＝2AO＝2×4＝8，
1 1
∴S = AC⋅BD= ×8×6=24．
菱形ABCD 2 2
【点评】本题考查了菱形的性质，角的平分线定义，平行线的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质
是解题的关键．
23．（2025•曲靖模拟）如图，AC与DE交于点O，且OE＝OC，点E，C在BF上，BE＝CF，∠A＝
∠D．求证：AB＝DF．
第34页（共44页）【考点】全等三角形的判定与性质．
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【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】∵OE＝OC，
∴△OEC是等腰三角形，
∴∠OEC＝∠OCE，
即∠ACB＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝FE，
在△ABC和△DFE中，
{ ∠A=∠D
，
∠ACB=∠≝¿BC=FE
∴△ABC≌△DFE（AAS），
∴AB＝DF．
【分析】根据题意证明△ABC≌△DFE（AAS）即可求解．
【解答】证明：∵OE＝OC，
∴△OEC是等腰三角形，
∴∠OEC＝∠OCE，
即∠ACB＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝FE，
在△ABC和△DFE中，
{ ∠A=∠D
，
∠ACB=∠≝¿BC=FE
∴△ABC≌△DFE（AAS），
∴AB＝DF．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的关键．
第35页（共44页）24．（2025•樊城区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是三角形ABC的高，用尺规作图的方法
作出射线CP交AB于点E，交BD于点O．
（1）判断用尺规作出的CP是 AB 的垂线 ；
（2）求证：BE＝CD．
【考点】等腰三角形的性质．
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【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）AB的垂线；
（2）证明见解析．
【分析】（1）由基本作图：过直线外一点作已知直线的垂线的方法，即可判断；
（2）判定△EBC≌△DCB（AAS），推出BE＝CD．
【解答】（1）解：用尺规作出的CP是AB的垂线，
故答案为：AB的垂线；
（2）证明：∵CE、BD是△ABC的高，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠EBC＝∠DCB，
∵BC＝CB，
∴△EBC≌△DCB（AAS），
∴BE＝CD．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质，作图﹣基本作图，关键是判定
△EBC≌△DCB（AAS），掌握基本作图：过直线外一点作已知直线的垂线的方法．
25．（2025•洮南市模拟）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是CA延长线上的一点，EG∥AD，交
AB于点F．求证：AE＝AF．
第36页（共44页）【考点】等腰三角形的判定；平行线的性质．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据角平分线的性质得到∠BAD＝∠CAD，由平行线的性质得到∠AFE＝∠BAD，∠E＝
∠CAD，等量代换得到∠AFE＝∠E，即可得到结果．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵GE∥AD，
∴∠AFE＝∠BAD，∠E＝∠CAD，
∴∠AFE＝∠E，
∴AE＝AF
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行
线的性质定理是解题的关键．
第37页（共44页）考点卡片
1．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
2．几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图
形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体
图形的展开图是平面图形．
（2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三
棱柱的侧面展开图是长方形．
（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问
题解决．
从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间
观念，是解决此类问题的关键．
3．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
4．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短
的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，
容易忽略．
5．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大
第38页（共44页）于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助
平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方
法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
6．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
7．全等图形
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
8．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
第39页（共44页）方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对
应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角
的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
9．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，
关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角
形．
10．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂
线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点
的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点
的距离相等．
11．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两
个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
12．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中
线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
13．等边三角形的判定与性质
第40页（共44页）（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性
质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的
性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有 30°角的
直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一
般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个
60°的角判定．
14．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常
用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角
三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
15．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直
角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
16．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=√c2-b2，b=√c2-a2及c=√a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角
边．
17．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
第41页（共44页）说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方
的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件
来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方
和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
18．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中
抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边
形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角
三角形的斜边．
19．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的
所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜
边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂
直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=√2+1，所以r：R＝1：√2+1．
20．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
第42页（共44页）1
∴DE∥BC，DE= BC．
2
21．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
1
②菱形面积= ab．（a、b是两条对角线的长度）
2
22．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对
称轴．
23．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌
握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角
的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是
第43页（共44页）“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当
成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
24．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角
度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
25．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
∠A的对边 a ∠A的邻边 b ∠A的对边 a
sinA= = ，cosA= = ，tanA= = ．
斜边 c 斜边 c ∠A的邻边 b
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
26．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结
果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目
m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及
三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的
枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
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