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2026年中考数学常考考点专题之因式分解
一．选择题（共13小题）
1．（2025•曲靖模拟）已知a+b＝6，a﹣b＝2，则3a2﹣3b2＝（ ）
A．36 B．24 C．18 D．12
2．（2025•路北区二模）把多项式a2﹣4a分解因式，结果正确的是（ ）
A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2）
C．（a﹣2）2 D．a（a+2）（a﹣2）
3．（2025•仁寿县一模）已知三个实数a、b、c满足a﹣2b+c＝0，a2﹣c2＜0，则（ ）
A．b＜0，a＜c B．b＞0，a＞c C．b2＜ac D．b2＞ac
4．（2025•路北区二模）下列结果不正确的是（ ）
A．（﹣33）2＝35
B．32+32+32＝33
C．34÷3﹣2＝36
D．32025﹣32024能被2整除
5．（2025•工业园区校级模拟）下列因式分解正确的是（ ）
A．ax+ay﹣a＝a（x+y） B．a2+b＝a（a+b）
C．a2+a+1＝（a+1）2 D．﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a）
6．（2025•江宁区校级一模）若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘
数”（如4＝22﹣02，12＝42﹣22）．在1∼100这100个数中，“神秘数”的个数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
7．（2025•牧野区校级一模）若k为自然数，则（3k+2）2﹣9k2的值总能（ ）
A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被7整除
8．（2024•河北模拟）小林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，
3，x2+1，a，x+1分别对应六个字：国，爱，我，数，学，祖，现将 3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分
解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱数学 B．爱祖国 C．祖国数学 D．我爱祖国
9．（2024•丛台区校级三模）对4x2﹣16因式分解，嘉嘉的解答为：4（x+2）（x﹣2）；琪琪的解答为：
（2x+2）（2x﹣2），下列判断正确的是（ ）
A．只有嘉嘉的结果对 B．只有琪琪的结果对
C．两人的结果都对 D．两人的结果都不对
第1页（共22页）10．（2024•罗江区模拟）若m3+2m﹣1＝0，则2m4+m3+4m2﹣2024的值是（ ）
A．﹣2024 B．﹣2025 C．﹣2022 D．﹣2023
11．（2024•费县校级模拟）已知a+b＝3，ab＝2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值为（ ）
A．18 B．28 C．50 D．60
12．（2024•运城模拟）在学习对复杂多项式进行因式分解时，苏老师示范了如下例题：
因式分解：（x2+2x﹣3）（x2+2x+5）+16．
解：设x2+2x＝y，
原式＝（y﹣3）（y+5）+16
＝y2+2y﹣15+16
＝y2+2y+1
＝（y+1）2
＝（x2+2x+1）2
＝[（x+1）2]2
＝（x+1）4．
例题中体现的主要思想方法是（ ）
A．函数思想 B．整体思想
C．分类讨论思想 D．数形结合思想
13．（2023•阜城县校级模拟）如图，把图1中的①部分剪下来，恰好能拼在②的位置处，构成图2中的
图形，形成一个从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．根据图形的变化过程写出的
一个正确的等式是（ ）
A．（a﹣b）＝a2﹣2ab+b2 B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
二．填空题（共7小题）
14．（2025•越秀区校级二模）因式分解：3x2﹣6x+3＝ ．
15．（2025•鼓楼区校级模拟）分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝ ．
16．（2025•雷州市三模）把多项式4a2﹣16分解因式的结果是 ．
17．（2025•垦利区三模）因式分解：3ax2+6axy+3ay2＝ ．
第2页（共22页）18．（2025•广陵区一模）分解因式：a2b﹣4ab+4b＝ ．
19．（2025•蓬莱区二模）因式分解：4x3﹣12x2+9x＝ ．
20．（2025•江北区校级二模）对于一个四位正整数，各个数位上的数字互不相等，若满足千位上的数字
比百位上的数字多2，十位上的数字比个位上的数字多3，那么就称这个数为“二三数”．若一个“二
三数”m2nr能被5整除，则这个“二三数”最小是 ；若A=abcd是一个“二三数”，规
bd+2a-4c+4 a2-b2-3(b+d)+4c-14
定：F（A）= ，P(A)= ，且F（A），P（A）均为整数，
a-6 7
则满足条件的A的最大值是 ．
三．解答题（共5小题）
1
21．（2024•沿河县模拟）（1）计算：(3.14-π) 0+|√2-1|+( ) -1 ；
2
1 1 1
（2）给出三个多项式： x2+2x﹣1， x2+4x+1， x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运
2 2 2
算，并把结果因式分解．
1 -1
22．（2024•龙江县校级二模）（1）计算：(1-√3) 0+|-√2|-4cos45°⋅sin30°+( ) ．
4
（2）因式分解：4m5n2﹣m3．
23．（2024•邯山区校级模拟）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为
“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42．因此，4、12、20这三个数都是神秘数．
（1）验证28和44这两个数是否为神秘数；
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍
数吗？请说明理由．
24．（2024•裕华区校级模拟）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整
式．
（1）求整式M、P；
（2）将整式P因式分解；
（3）P的最小值为 ．
第3页（共22页）25．（2023•怀集县三模）装饰公司为小明家设计电视背景墙时需要A、B型板材若干块，A型板材规格是
a×b，B型板材规格是b×b．现只能购得规格是150×b的标准板材．（单位：cm）
（1）若设a＝60cm，b＝30cm．一张标准板材尽可能多的裁出A型、B型板材，共有如表三种裁法，
如图1是裁法一的裁剪示意图．
裁法一 裁法二 裁法三
A型板材块数 1 2 0
B型板材块数 3 m n
则表中，m＝ ，n＝ ；
（2）为了装修的需要，小明家又购买了若干C型板材，其规格是a×a，并做成如图2的背景墙．请写
出图中所表示的等式： ；
（3）若给定一个二次三项式2a2+5ab+3b2，试用拼图的方式将其因式分解．（请仿照（2）在几何图形
中标上有关数量）
第4页（共22页）2026年中考数学常考考点专题之因式分解
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A A D A D D B D A D A
题号 12 13
答案 B D
一．选择题（共13小题）
1．（2025•曲靖模拟）已知a+b＝6，a﹣b＝2，则3a2﹣3b2＝（ ）
A．36 B．24 C．18 D．12
【考点】因式分解的应用．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】先整理3a2﹣3b2＝3（a+b）（a﹣b），然后把a+b＝6，a﹣b＝2代入计算，即可作答．
【解答】解：∵a+b＝6，a﹣b＝2，
∴3a2﹣3b2
＝3（a2﹣b2）
＝3（a+b）（a﹣b）
＝36，
故选：A．
【点评】本题考查了平方差公式以及已知式子的值求代数式的值，掌握平方差公式是解题的关键．
2．（2025•路北区二模）把多项式a2﹣4a分解因式，结果正确的是（ ）
A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2）
C．（a﹣2）2 D．a（a+2）（a﹣2）
【考点】因式分解﹣提公因式法．
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【专题】因式分解；运算能力．
【答案】A
【分析】原式提取公因式即可．
【解答】解：原式＝a（a﹣4），
故选：A．
第5页（共22页）【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
3．（2025•仁寿县一模）已知三个实数a、b、c满足a﹣2b+c＝0，a2﹣c2＜0，则（ ）
A．b＜0，a＜c B．b＞0，a＞c C．b2＜ac D．b2＞ac
【考点】因式分解的应用．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】先推出a+c＝2b，进而得到a2+2ac+c2＝4b2，再由a2﹣c2＜0得到2b（a﹣c）＜0，由此即可判
断A，B，求出4b2﹣4ac＝（a﹣c）2＞0即可判断C，D．
【解答】解：由条件可知a+c＝2b，
∴a2+2ac+c2＝4b2，
∵a2﹣c2＜0，
∴（a+c）（a﹣c）＜0，
∴2b（a﹣c）＜0，
{ b＞0 { b＜0 {b＞0 {b＜0
∴ 或 ，即 或 ，
a-c＜0 a-c＞0 a＜c a＞c
故A，B结论错误，不符合题意；
∵4b2﹣4ac＝a2﹣2ac+c2＝（a﹣c）2＞0，
∴b2＞ac，故C结论错误，不符合题意，D结论正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，正确推出2b（a﹣c）＜0，4b2﹣4ac＝（a﹣c）2＞0是解题
的关键．
4．（2025•路北区二模）下列结果不正确的是（ ）
A．（﹣33）2＝35
B．32+32+32＝33
C．34÷3﹣2＝36
D．32025﹣32024能被2整除
【考点】因式分解的应用；负整数指数幂．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据这些知识逐项计算即可判断．
【解答】解：A、根据幂的乘方可知（﹣33）2＝36，计算结果不正确，故符合题意；
B、根据同底数幂的乘法可知32+32+32＝3×32＝33，计算结果正确，故不符合题意；
第6页（共22页）C、根据同底数幂的乘法可知34÷3﹣2＝34﹣（﹣2）＝36，计算结果正确，故不符合题意；
D、∵32025﹣32024＝3×32024﹣32024＝32024×（3﹣1）＝2×32024，
而2×32024是2的倍数，
∴32025﹣32024能被2整除；
故计算结果正确，故不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了幂的乘方、同底数幂的除法、同底数幂的乘法的正用与逆用等知识，熟练掌握以
上知识点是关键．
5．（2025•工业园区校级模拟）下列因式分解正确的是（ ）
A．ax+ay﹣a＝a（x+y） B．a2+b＝a（a+b）
C．a2+a+1＝（a+1）2 D．﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据因式分解的方法，提公因式法及公式法依次进行计算判断即可．
【解答】解：根据因式分解的方法，逐项分析判断如下：
A、ax+ay﹣a＝a（x+y﹣1），选项错误，不符合题意；
B、a2+b不能进行因式分解，选项错误，不符合题意；
C、多项式不能进行因式分解，选项错误，不符合题意；
D、﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a），选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】题目主要考查因式分解的判断及应用提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解
的方法是解题关键．
6．（2025•江宁区校级一模）若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘
数”（如4＝22﹣02，12＝42﹣22）．在1∼100这100个数中，“神秘数”的个数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【考点】因式分解的应用．
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【答案】D
【分析】结合神秘数的定义，通过完全平方公式和平方差公式将其分解，找寻规律，即可得出答案．
【解答】解：设两个连续偶数为2k+2和2k，
则（2k+2）2﹣（2k）2＝4（2k+1），
第7页（共22页）又∵2k+1是奇数，从而，神秘数是4的倍数，但不是8的倍数，
∴1～100之间的神秘数有4×1，4×3，…，4×25，共计13个，
故选：D．
【点评】本题主要考查完全平方公式和平方差公式，能熟练利用完全平方公式和平方差公式进行计算．
7．（2025•牧野区校级一模）若k为自然数，则（3k+2）2﹣9k2的值总能（ ）
A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被7整除
【考点】因式分解的应用．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】将（3k+2）2﹣9k2利用平方差公式法进行因式分解，进而得出结论即可．
【解答】解：（3k+2）2﹣9k2＝（3k+2+3k）（3k+2﹣3k）＝2（6k+2）＝4（3k+1），
∴（3k+2）2﹣9k2的值总能被4整除．
故选：B．
【点评】本题考查因式分解的应用，正确进行计算是解题关键．
8．（2024•河北模拟）小林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，
3，x2+1，a，x+1分别对应六个字：国，爱，我，数，学，祖，现将 3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分
解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱数学 B．爱祖国 C．祖国数学 D．我爱祖国
【考点】因式分解的应用．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】将所给的多项式先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式分解到每一个因式都不能
再分解为止，从而结合密码手册即可得出答案．
【解答】解：∵3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）＝3（x2﹣1）（a﹣b）＝3（x+1）（x﹣1）（a﹣b），
而3对应的是我，x﹣1对应的是国，x+1对应的是祖，a﹣b对应的是爱，
∴结果呈现的密码信息可能是我爱祖国，
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解—综合运用提公因式与公式法，先提取公因式，再利用平方差公式进行
计算是解此题的关键．
9．（2024•丛台区校级三模）对4x2﹣16因式分解，嘉嘉的解答为：4（x+2）（x﹣2）；琪琪的解答为：
（2x+2）（2x﹣2），下列判断正确的是（ ）
第8页（共22页）A．只有嘉嘉的结果对 B．只有琪琪的结果对
C．两人的结果都对 D．两人的结果都不对
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：4x2﹣16
＝4（x2﹣4）
＝4（x+2）（x﹣2），
故选：A．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意分解因式必须分解到不能再分解为
止．
10．（2024•罗江区模拟）若m3+2m﹣1＝0，则2m4+m3+4m2﹣2024的值是（ ）
A．﹣2024 B．﹣2025 C．﹣2022 D．﹣2023
【考点】因式分解的应用．
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【专题】计算题；运算能力．
【答案】D
【分析】根据m3+2m﹣1＝0，可得m3+2m＝1，再将其整体代入原式计算即可．
【解答】解：∵m3+2m﹣1＝0，
∴m3+2m＝1，
∴原式＝2m4+m3+4m2﹣2024
＝2m（m3+2m）+m3﹣2024
＝m3+2m﹣2024
＝1﹣2024
＝﹣2023，
故选：D．
【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
11．（2024•费县校级模拟）已知a+b＝3，ab＝2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值为（ ）
A．18 B．28 C．50 D．60
【考点】因式分解的应用．
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【专题】整式；运算能力．
第9页（共22页）【答案】A
【分析】先把代数式分解因式，在整体代入求解．
【解答】解：∵a+b＝3，ab＝2，
∴a3b+2a2b2+ab3
＝ab（a2+2ab+b2）
＝ab（a+b）2
＝2×32
＝2×9
＝18，
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的应用，整体代入法是解题的关键．
12．（2024•运城模拟）在学习对复杂多项式进行因式分解时，苏老师示范了如下例题：
因式分解：（x2+2x﹣3）（x2+2x+5）+16．
解：设x2+2x＝y，
原式＝（y﹣3）（y+5）+16
＝y2+2y﹣15+16
＝y2+2y+1
＝（y+1）2
＝（x2+2x+1）2
＝[（x+1）2]2
＝（x+1）4．
例题中体现的主要思想方法是（ ）
A．函数思想 B．整体思想
C．分类讨论思想 D．数形结合思想
【考点】因式分解﹣运用公式法．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据例题的解题思路，即可解答．
【解答】解：例题中体现的主要思想方法是整体思想，
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，理解例题的解题思路是解题的关键．
第10页（共22页）13．（2023•阜城县校级模拟）如图，把图1中的①部分剪下来，恰好能拼在②的位置处，构成图2中的
图形，形成一个从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．根据图形的变化过程写出的
一个正确的等式是（ ）
A．（a﹣b）＝a2﹣2ab+b2 B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【考点】因式分解的应用；平方差公式的几何背景．
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【专题】因式分解；几何直观．
【答案】D
【分析】根据面积相等，列出关系式即可．
【解答】解：由题意这两个图形的面积相等，
则（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
故选：D．
【点评】本题主要考查对因式分解的应用、平方差公式的知识点的理解和掌握，能根据在边长为 a的
大正方形中剪剪一个边长为b的小正方形列出等式是解此题的关键．
二．填空题（共7小题）
14．（2025•越秀区校级二模）因式分解：3x2﹣6x+3＝ 3 （ x ﹣ 1 ） 2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】3（x﹣1）2．
【分析】先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可．
【解答】解：3x2﹣6x+3
＝3（x2﹣2x+1）
＝3（x﹣1）2，
故答案为：3（x﹣1）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必
须先提公因式．
15．（2025•鼓楼区校级模拟）分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝ （ y ﹣ z ）（ 2 a + 3 b ） ．
第11页（共22页）【考点】因式分解﹣提公因式法．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用提公因式法分解即可．
【解答】解：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）
＝2a（y﹣z）+3b（y﹣z）
＝（y﹣z）（2a+3b）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解﹣提公因式法是解题的关键．
16．（2025•雷州市三模）把多项式4a2﹣16分解因式的结果是 4 （ a + 2 ）（ a ﹣ 2 ）． ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
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【专题】因式分解；整式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：原式＝4（a2﹣4）
＝4（a+2）（a﹣2），
故答案为：4（a+2）（a﹣2）．
【点评】本题考查提取公因式和平方差公式进行因式分解，掌握提取公因式的技巧以及平方差公式
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的结构是解题关键．
17．（2025•垦利区三模）因式分解：3ax2+6axy+3ay2＝ 3 a （ x + y ） 2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】3a（x+y）2．
【分析】根据提取公因式法和完全平方公式进行因式分解解答即可．
【解答】解：3ax2+6axy+3ay2
＝3a（x2+2xy+y2）
＝3a（x+y）2．
故答案为：3a（x+y）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提取公因式法和公式法进行因式分解
是解题的关键．
18．（2025•广陵区一模）分解因式：a2b﹣4ab+4b＝ b （ a ﹣ 2 ） 2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
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【答案】见试题解答内容
第12页（共22页）【分析】考查了对一个多项式因式分解的能力．本题属于基础题，当一个多项式有公因式，将其分解
因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．此题应先提公因式，再用完全平方公式．
【解答】解：a2b﹣4ab+4b＝b（a2﹣4a+4）＝b（a﹣2）2
故答案为：b（a﹣2）2
【点评】本题考查因式分解的概念，注意必须将式子分解到不能分解为止．
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．
19．（2025•蓬莱区二模）因式分解：4x3﹣12x2+9x＝ x （ 2 x ﹣ 3 ） 2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
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【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】x（2x﹣3）2．
【分析】先提取公因式，再套用完全平方公式．
【解答】解：原式＝x（4x2﹣12x+9）
＝x（2x﹣3）2．
故答案为：x（2x﹣3）2．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和完全平方公式是解决本题的关键．
20．（2025•江北区校级二模）对于一个四位正整数，各个数位上的数字互不相等，若满足千位上的数字
比百位上的数字多2，十位上的数字比个位上的数字多3，那么就称这个数为“二三数”．若一个“二
三数”m2nr能被5整除，则这个“二三数”最小是 4230 ；若A=abcd是一个“二三数”，规定：
bd+2a-4c+4 a2-b2-3(b+d)+4c-14
F（A）= ，P(A)= ，且F（A），P（A）均为整数，则
a-6 7
满足条件的A的最大值是 869 6 ．
【考点】因式分解的应用．
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【专题】探究型；运算能力；推理能力．
【答案】4230，8696．
【分析】因为千位上的数字比百位上的数字多2，百位上是2，所以千位是4，因为能被5整除，末尾
是0或5，当是0时，十位是3，这个“二三数”最小，故这个“二三数”最小是4230；
由 题 意 得 出 b ＝ a﹣2 ， d ＝ c﹣3 ， 从 而 得 出 P （ A ）
a2-(a-2) 2-3(a-2+c-3)+4c-14 a+c+11
= = -2，当a＝9时，c＝8时，P（A）为整数，把a
7 7
7×5+2×9-4×8+4 25
＝9，b＝7，c＝8，d＝5代入F（A）= = ，不符合题意，当a＝8，b＝6，c
9-6 3
第13页（共22页）8+9+11 6×4+2×8-4×9+4
＝9，d＝4，P（A） -2=2是整数，F（A）= =4是整数，从而得出A
7 8-2
的最大值是8696．
【解答】解：因为千位上的数字比百位上的数字多2，百位上是2，所以千位是4，
因为能被5整除，末尾是0或5，当是0时，十位是3，这个“二三数”最小，
故这个“二三数”最小是4230；
由题意得出b＝a﹣2，d＝c﹣3，
a2-(a-2) 2-3(a-2+c-3)+4c-14 a+c+11
∴P（A）= = -2，
7 7
当a＝9时，c＝8时，P（A）为整数，
7×5+2×9-4×8+4 25
把a＝9，b＝7，c＝8，d＝5代入F（A）= = ，不符合题意，
9-6 3
8+9+11
当a＝8，b＝6，c＝9，d＝4，P（A） -2=2是整数，
7
6×4+2×8-4×9+4
F（A）= =4是整数，
8-2
∴A的最大值是8696，
故答案为：4230，8696．
【点评】本题在新定义的基础上，考查了列举法等知识，解决问题的关键是枚举．
三．解答题（共5小题）
1
21．（2024•沿河县模拟）（1）计算：(3.14-π) 0+|√2-1|+( ) -1 ；
2
1 1 1
（2）给出三个多项式： x2+2x﹣1， x2+4x+1， x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运
2 2 2
算，并把结果因式分解．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用；零指数幂；实数的运算；整式的加减．
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【专题】数与式；运算能力．
【答案】（1）2+√2；（2）（x+1）（x﹣1）．
【分析】（1）按照实数的运算法则进行计算即可；
（2）先选择两个多项式再进行计算，最后进行因式分解即可得出答案．
【解答】解：（1）原式＝1+√2-1+2
＝2+√2；
1 1
（2） x2+2x﹣1+ x2﹣2x
2 2
第14页（共22页）＝x2﹣1
＝（x+1）（x﹣1）．
【点评】本题主要考查提取公因式与公式法的综合运用、实数的运算、整式的加减及零指数幂，熟练
掌握以上知识点是解题的关键．
1 -1
22．（2024•龙江县校级二模）（1）计算：(1-√3) 0+|-√2|-4cos45°⋅sin30°+( ) ．
4
（2）因式分解：4m5n2﹣m3．
【考点】因式分解﹣提公因式法；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值；实数的运算．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）5（2）m3（2mn+1）（2mn﹣1）．
【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值和特殊角三角函数值的计算法则求解即可；
（2）先提公因式m3，再利用平方差公式分解即可．
√2 1
【解答】解：（1）原式=1+√2-4× × +4
2 2
=1+√2-√2+4
＝5；
（2）原式＝m3（4m2n2﹣1）
＝m3（2mn+1）（2mn﹣1）．
【点评】本题考查实数的混合运算和因式分解，熟练掌握零指数幂和负整数指数幂的运算法则、绝对
值的性质、特殊角的三角函数值及因式分解的方法是解题的关键．
23．（2024•邯山区校级模拟）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为
“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42．因此，4、12、20这三个数都是神秘数．
（1）验证28和44这两个数是否为神秘数；
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍
数吗？请说明理由．
【考点】因式分解的应用．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据新定义，进行判断即可求解；
（2）根据定义，利用平方差公式因式分解即可求解．
【解答】解：（1）∵28＝14×2＝82﹣62，44＝22×2＝122﹣102，
∴28和44这两个数都是神秘数；
第15页（共22页）（2）是，理由如下：
∵这两个连续偶数构造的神秘数为：
（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）＝4（2k+1），
∵k取非负整数，
∴由2k+2和2k造的神秘数是4的倍数．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
24．（2024•裕华区校级模拟）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整
式．
（1）求整式M、P；
（2）将整式P因式分解；
（3）P的最小值为 ﹣ 1 6 ．
【考点】因式分解﹣运用公式法；整式的加减．
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【专题】因式分解；整式；运算能力．
【答案】（1）5x﹣20；
（2）P＝4（x+2）（x﹣2）；
（3）﹣16．
【分析】（1）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果；
（2）把P提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（3）利用非负数的性质求出P的最小值即可．
【解答】解：（1）根据题意得：M＝（3x2﹣4x﹣20）﹣3x（x﹣3）
＝3x2﹣4x﹣20﹣3x2+9x
＝5x﹣20；
P＝3x2﹣4x﹣20+（x+2）2
＝3x2﹣4x﹣20+x2+4x+4
＝4x2﹣16；
第16页（共22页）（2）P＝4x2﹣16
＝4（x2﹣4）
＝4（x+2）（x﹣2）；
（3）∵P＝4x2﹣16，x2≥0，
∴当x＝0时，P的最小值为﹣16．
故答案为：﹣16．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，以及整式的加减，熟练掌握运算法则及因式分解的方法
是解本题的关键．
25．（2023•怀集县三模）装饰公司为小明家设计电视背景墙时需要A、B型板材若干块，A型板材规格是
a×b，B型板材规格是b×b．现只能购得规格是150×b的标准板材．（单位：cm）
（1）若设a＝60cm，b＝30cm．一张标准板材尽可能多的裁出A型、B型板材，共有如表三种裁法，
如图1是裁法一的裁剪示意图．
裁法一 裁法二 裁法三
A型板材块数 1 2 0
B型板材块数 3 m n
则表中，m＝ 1 ，n＝ 5 ；
（2）为了装修的需要，小明家又购买了若干C型板材，其规格是a×a，并做成如图2的背景墙．请写
出图中所表示的等式： （ a + 2 b ） 2 ＝ a 2 + 4 a b + 4 b 2 ；
（3）若给定一个二次三项式2a2+5ab+3b2，试用拼图的方式将其因式分解．（请仿照（2）在几何图形
中标上有关数量）
【考点】因式分解的应用．
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【专题】因式分解；整式；模型思想．
【答案】见试题解答内容
第17页（共22页）【分析】（1）根据矩形的面积列出m或n的方程，再解答便可；
（2）用正方形的面积公式表示出图形的面积，用各部分面积和表示出图形的面积，进而用等式表示出
相等关系便可；
（3）仿样例画出长方形，其长为2a+3b，宽为a+b，结合图形便可得出结果．
【解答】解：（1）根据题意得，2×60×30+302m＝150×30，302n＝150×30
解得，m＝1，n＝5，
故答案为：1；5；
（2）∵正方形的边长为（a+2b），
∴正方形的面积为（a+2b）2；
∵正方形的面积等于各部分面积和＝a2+4ab+4b2；
∴（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，
故答案为：（a+2b）2＝a2+4ab+4b2；
（3）画出矩形，其长为2a+3b，宽为a+b，如图，
由图形可知，2a2+5ab+3b2＝（2a+3b）（a+b）．
【点评】本题考查了因式分解的应用：利用图形验证乘法公式，关键是读懂题意，正确画出图形和列
出方程．
第18页（共22页）考点卡片
1．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，
又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算
加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊
三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运
算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
2．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，
去括号后括号内的各项都要改变符号．
3．平方差公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．
第19页（共22页）（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出
几何解释．
4．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因
式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，
而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的
商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
5．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
第20页（共22页）①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的
形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
6．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
7．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具
体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
8．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
9．负整数指数幂
1
负整数指数幂：a﹣p= （a≠0，p为正整数）
ap
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）
的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
10．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
1 √3 √3
sin30°= ； cos30°= ；tan30°= ；
2 2 3
√2 √2
sin45°= ；cos45°= ；tan45°＝1；
2 2
第21页（共22页）√3 1
sin60°= ；cos60°= ； tan60°=√3；
2 2
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正
切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角
三角形中应用较多．
第22页（共22页）
