高三数学一模试卷_2024届湖南省岳阳市高三第一次教学质量监测（岳阳一模）_湖南省岳阳市2024届高三第一次教学质量监测（岳阳一模）数学

岳 阳 市 二○二四届高三教学质量监测（一） 数学试卷 {#{QQABJQCEogCoQBAAAAhCAw3oCACQkAEACAoOxAAAMAIAiQFABAA=}#}{#{QQABJQCEogCoQBAAAAhCAw3oCACQkAEACAoOxAAAMAIAiQFABAA=}#}姓名_____________ 考号______________ 岳阳市 2024 届高三教学质量监测（一） 数学试卷 本试卷共4页，22道题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需 改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．已知集合A x| yln(x1) ，B  x|x2x60  ，则AB          A． x|1x2 B． x|1x3 C． x|2 x3 D． x|x1 2．已知复数z满足z(1i)2，则 z  A．1 B．2 C． 2 D． 3     3．已知数列 a 与 b 均为等差数列，且a b 2，a b 12，则a b  n n 2 5 6 9 4 7 A．5 B．6 C．7 D．8 4．定义在R 上的函数 f(x)满足：当x  0,1  时， f(x)2x 1，且对任意实数x，均有 3 f(x) f(x1)1，则 f( )为 2 3 A． B． 2 C．1 2 D．2 2 2 5．自2020年确定针对中国的“融入”政策(和平演变)失败，美国政府开始带领部分西方国家 推动“去中国化”的“硬脱钩”政策，技术封锁特别是芯片出口限制就是其中重要一项．为 突破围堵，以华为为代表的一批中国高新技术企业不仅着力发展硬件，而且加强了软件技 术特别是算法的研发.如我国超级计算机天河一号A每秒执行2.5×1015条指令，普通计算 机每秒执行108条指令．若天河一号A用“插入排序”法排n个数需要2n2条指令，普通 计算机用“并归排序”法排n个数需要50nlgn条指令．现排1010个数，则超级计算机与普 通计算机所花时间的比值为 A．8∶5 B．8∶50000 C．80000∶5 D．8∶5×108 6．据统计，我国结核病的感染率约为0.001．在针对结核病的检查中，健康者检测结果显示 为阳性的概率为0.05，结核病感染者检测结果显示为阴性的概率为0.01，那么A同学检测 结果为阳性的概率为 A．0.05094 B．0.05001 C．0.001 D．0.05084 高三数学一模试卷 第1页（共4页） {#{QQABJQCEogCoQBAAAAhCAw3oCACQkAEACAoOxAAAMAIAiQFABAA=}#}x2 y2 7．已知F ，F 分别为椭圆C：  1(a＞b＞0)的左、右焦点，A为椭圆上顶点，直线 1 2 a2 b2 AF 与椭圆C交于另外一点B，若∠AF F ＝2∠BF F ，则椭圆离心率e位于下列哪个区间 2 1 2 1 2 1 1 1 1 3 3 A．（0，） B．（ ，） C．（ ，） D．（ ，1） 4 4 2 2 4 4 1 8．已知四棱台的底面为矩形，上底面积为下底面积的 ，侧棱长为 3 ．当该四棱台的体积 4 最大时，其外接球的表面积为 33 57 A． B． 33 C． D．57 2 2 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．   9．若函数 f(x)sin(x )(N ,6)的图象关于直线x 对称，则 6  6 1 5  A． f(0) B． f(x)的图象关于点 ,0对称 2 12    C． f(x)在区间(0,)上有2个极值点 D． f(x)在区间0, 上单调递增  3 10．已知正方体ABCD－A B C D 的棱长为1，下列说法正确的是 1 1 1 1 A．异面直线A D与B D 所成角为45° 1 1 1 B．若该正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球体的体积为 3  2 C．A C与平面A BD所成角的正弦值为 3 1 1 3 D．若点Q为正方体ABCD－A B C D 对角线BD 上的动点，则∠AQC的最大值为2 1 1 1 1 1 3 x2 y2 11．已知双曲线C:  1（a0,b0）的实轴长为2，左焦点到右顶点的距离为3．O为 a2 b2 坐标原点．直线l交双曲线C的右支于P，Q两点(不同于右顶点)，且与双曲线C的两条 渐近线分别交于A，B两点(A，P位于第一象限)，则 y2 A．双曲线方程为x2 1 B．点P到两条渐近线的距离之和的最小值为2 3 3 C．PB AQ D．若PQ2QB，则OPQ的面积为2 3 3 12．1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：“7只猴子分一堆桃子，怎么 也不能分成7等份，只好先去睡觉，准备第二天再分．夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉 1个桃子，然后将其分成7等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，吃 掉1个桃子后，也将桃子分成7等份，藏起自己的一份睡觉去了；以后的5只猴子都先后 照此办理．问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”．下列说法正确的是 A．若第n只猴子分得b 个桃子(不含吃的)，则7b 6b （1 n1,2,3,4,5,6,7） n n n1 B．若第n只猴子连吃带分共得到a 个桃子，则{a }(n1,2,3,4,5,6,7)为等比数列 n n C．若最初有（77 6）个桃子，则第7只猴子偷偷办理后还剩得（67 7）个桃子 D．若最初有m个桃子，则m被7除的余数为1 高三数学一模试卷 第2页（共4页） {#{QQABJQCEogCoQBAAAAhCAw3oCACQkAEACAoOxAAAMAIAiQFABAA=}#}三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分． 13．已知O(0,0)，A(1,2)，B(3,－1)，若向量m//OA，且m与OB的夹角为钝角，写出一个满 足条件的m的坐标为______． 14．已知曲线y xlnx在点（1，1）处的切线与曲线y x2(2a3)x1a有两个不同的公共 点，则a的取值范围为______． 15．过圆O:x2  y2 5外一点P作圆O的切线，切点分别为 A、B，若 AB 2，则点P的 轨迹方程为_________． 16．正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、AD上的点(不包括端点)，且QC、PC 分别为DQP、BPQ的角平分线．则(1)APQ的周长为______；(2)PCQ面积的取值 范围为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分10分) n n1 已知正项数列{a }的前n项和为S ．a 1，a   1 (n≥2)． n n 1 n S S n n1 n (1) 求证：数列{S  n}为常数列； n S n 1 1 1 1 (2) 求数列{S }的通项公式，并证明    1． n S S S S S S S S 1 2 2 3 3 4 n1 n 18．(本题满分12分) 在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且atanB2ctan Aatan A0． (1) 求B； c (2) 若ABC的面积为 3，B的平分线BD交AC 于点D且BD 1，求 的值． a 19．(本题满分12分) 如图，三棱柱ABC ABC 中，侧棱AA 平面ABC ， 1 1 1 1 AC  BC 2．E，F 分别是AB，BC 的中点，且 1 1 EF  BC ． 1 1 (1) 证明：BC  AC ； (2) 若二面角F ECB的正切值为2 2，求直线EF 与 平面AEC所成角的余弦值． 1 高三数学一模试卷 第3页（共4页） {#{QQABJQCEogCoQBAAAAhCAw3oCACQkAEACAoOxAAAMAIAiQFABAA=}#}20．(本题满分12分) 为了进一步深入开展“书香校园”活动，让读书成为每位师生的习惯，让阅读成为学校、家 庭、社会的一种良好风气，某校规定每位师生需在学校图书馆借阅一本文学类或理工类书 籍．现对该校60名师生的借阅情况进行调查，其中教师与学生的人数之比为1∶2，教师中 1 3 借阅文学类书籍的占 ，学生中借阅文学类书籍的占 ，得到如下22列联表： 2 4 (1) 请将22列联表补充完整，并根据小概率值0.1的独立性检验，判断老师与学生 的借阅情况是否存在差异； (2) 若从学校随机抽取m人，用样本的频率估计总体的概率，若抽取的人中有5人借阅理 工类书籍的概率最大，求m所有可能的取值． 附：2  n(adbc)2 ， 教师 学生 合计 (ab)(cd)(ac)(bd) 文学类 其中nabcd．参考数据： 理工类 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 合计 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 α 21．(本题满分12分) 已知抛物线y2 4x的准线与x轴相交于点N ，过点N 作抛物线的两条切线，切点分别为 A、B，其中点A在第一象限． (1) 求直线AB的方程； (2) 过点N 作直线l交抛物线于C、D两点，交直线AB于点E ，过点E 作AD的平行直 线EH 分别交线段AC、AN 于点M、H．证明：存在实数，使得AH  AE AM ． 22．(本题满分12分) x 已知函数 f(x) ． ex 1 (1) 求函数 f(x)的单调区间； (2) 设g(x) f(x)cosx，x(0,2)，判断g(x)的零点个数，并说明理由． 高三数学一模试卷 第4页（共4页） {#{QQABJQCEogCoQBAAAAhCAw3oCACQkAEACAoOxAAAMAIAiQFABAA=}#}{#{QQABJQCEogCoQBAAAAhCAw3oCACQkAEACAoOxAAAMAIAiQFABAA=}#}{#{QQABJQCEogCoQBAAAAhCAw3oCACQkAEACAoOxAAAMAIAiQFABAA=}#}