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方法精讲-资料 4
（笔记）
主讲教师：焦点
授课时间：2024.05.02
粉笔公考·官方微信方法精讲-资料 4（笔记）
今日内容（P203～211）
第七节 倍数与比值
第八节 特殊增长率
【注意】
1.本节课有一个（知识点）没那么重要→第七节，但是还要学，蚂蚱也是肉
（哪怕只出一道题），不代表不考，可能只考1道（而且很简单）；第八节（特
殊增长率）很重要。
2.数资有（任何）问题都可以去粉笔圈子找老师答疑（@数资-焦点）。
第七节 倍数
题型
一、现期倍数
二、基期倍数
【注意】倍数题型：根据时间不同分为现期（倍数）和基期（倍数）两个题
型。
1.现期倍数。
2.基期倍数。
一、现期倍数
题型识别：问题时间与材料一致，A是B的多少倍
计算公式：A/B
速算技巧：截位直除
【注意】现期倍数：三步走。
1.题型识别：问题时间与材料一致（即问今年），A是B的多少倍；如今年
甲体重是乙体重的几倍，常识而已→不难。
2.计算公式：A/B→除法。
3.速算技巧：截位直除，结合选项差距灵活运算。
1●倍数问法
1.A是B的几倍：A/B
2.A比B高（增长/多）几倍：A/B-1
3.A超过B的n倍：A＞B*n
【注意】倍数问法：
1.A是B的几倍：A/B；如甲体重是乙的几倍→甲/乙。
2.A 比 B 高（增长/多）几倍：A/B-1；如甲体重（120 斤）比乙体重（100
斤）多几倍→有“多”，120/100=1.2倍，多1.2-1=0.2倍；又如今年甲体重比
去年增长（ ）倍→字面是倍数，但本质和“增长率+%”一个意思→增长率，倍
数和增长率的关系→差1，不要背，学着理解，是几倍→直接除，多几倍→除完
减1。
3.A超过B的n倍：A＞B*n；生活化，“超过”在数学上就是字面意思“＞”，
不要脑补，如甲体重超过乙体重的2倍，即甲体重＞2*乙体重。
【例1】（2023广东）2021年广东农林牧渔业总产值约为9年前的多少倍？
A.1.2 B.1.4
C.1.6 D.1.8
2【解析】1.“n年前”就“-n”，“9 年前”指的是 2021-9=2012 年，题目
问“2021年是2012年的几倍”，列式：2021年/2012年，结合图表列式：8305/4550，
不着急算，先看选项→选项差距大→截两位→8305/46，首位商1、次位商8，观
察选项，C项“商6”太小，对应D项。【选D】
【注意】翻番：不要过分脑补，翻番和倍数确实有关联，但是各论各的，如
甲今年工资为100元，翻一番→变为200元，翻n番→变为（原来的）2n倍。
2023年一季度，全国社会消费品零售总额114922亿元，同比增长5.8%，上
年四季度为下降 2.7%。按经营单位所在地分，城镇消费品零售额 99664 亿元，
增长5.7%；乡村消费品零售额15258亿元，增长6.2%。按消费类型分，……
【例 2】（2023 重庆事业单位）按经营单位所在地分，2023 年一季度，城
镇消费品零售额约比乡村消费品零售额多多少倍？
A.4.5 B.5.5
C.6.5 D.7.5
【解析】2.（本题）审题不留神就会错，不难；“城镇……比乡村……多多
少倍”，注意“多”字，列式：城镇/乡村-1，考试时只需要审一遍题即可，不
用审两遍题，奔着这个目标去努力，返回材料找数据，根据“城镇”定位材料，
列式：99664/15258-1，不着急算，先看选项，首位不相同→选项差距大，直接
截两位→99664/15→首位商6+，再“-1”→5+，对应B项。【选B】
二、基期倍数
题型识别：求去年，A是B的多少倍
1.给现期和增长量：直接作差得到基期
⒉给现期和增长率：A/B*[（1+b）/（1+a）]
A分子的现期量；B分母的现期量；a分子的增长率；b分母的增长率
速算：
1.选项差距大：截两位直除；
2.选项差距小：计算现期倍数，观察与1的大小，分析选项。
3注：推导原理与基期比重、基期平均数一样，速算方法也一样
【注意】基期倍数：顾名思义，即去年的倍数。
1.题型识别：求去年，A是B的多少倍。
（1）给现期和增长量：直接作差得到基期；如甲体重100斤，比去年胖了
5斤，乙体重 36斤，比去年胖了6斤，问去年的时候甲体重是乙的几倍→（100-5）
/（36-6），这种题型计算量很小，直接口算→根据选项差距截位直除即可。
（2）给现期和增长率：A/B*[（1+b）/（1+a）]，上节课的“一顶三”公式
→新名字→“基期比例”，比例即“A/B”的形式，对应三个题型的公式→基期
比重、基期平均数、基期倍数；其中 A为分子的现期量；B 为分母的现期量；a
为分子的增长率；b为分母的增长率；倍数中→“我是你的几倍”→“我”是A、
“你”是B。
2.速算：计算量大、重点。
（1）选项差距大：截两位直除，能约分就约分，不能约分可以尝试微调（继
续约分）。
（2）选项差距小：计算现期倍数（A/B），观察与1的大小，分析选项。
3.注：推导原理与基期比重、基期平均数一样，速算方法也一样。
2023年第14周，H市哨点医院共报告流感样病例总数为5187例，比上周增
加 4.49%，比去年同期减少 56.16%，其中国家级哨点医院 455 例，比上周减少
6.57%，比去年同期减少 55.04%。城区哨点医院 1899例，比上周减少 19.40%，
比去年同期减少55.46%；郊区、县（市）哨点医院3288例，比上周增加26.07%，
比去年同期减少56.55%。……
【例3】（2024浙江网友回忆版）2023年第 13 周，H市郊区、县（市）哨
点医院报告流感样病例约是城区的多少倍？
A.1.7 B.1.5
C.1.3 D.1.1
【解析】3.审时间→只有一个时间，不是两期（问题），时间为2023年第
13 周，材料时间为 2023 年第 14 周，基期时间，求环比基期；再读结尾的问法
→多少倍，基期倍数问题；再看主体（郊区、县（市）哨点医院报告流感样病例）
4来找数，出现同义省略，（后面）是城区的“哨点医院报告流感样病例”，结合
材料，“郊区、县（市）哨点医院3288例，比上周增加26.07%，比去年同期减
少56.55%”，给出A、a（环比增长率），“城区哨点医院1899例，比上周减少
19.40%”→又给出B、b，代入基期比例公式→A/B*[（1+b）/（1+a）]=（3288/1899）
*[（1-19.4%）/（1+26.07%）]，进入最关键的一步→速算，多步除法计算量大，
观察选项，选项比较友好→选项差距大，选项没有十倍、百倍的区别，直接机械
截两位（不用管小数点）→（33/19）*（81/13），进行约分→可以先微调，这
里介绍两种方式。
方法一：如果比较保守（数字敏感不强），把“19”微调成“18”来约“3”，
原式→（33/18）*（81/13）→（33/2）*（9/13）→（16*9）/13→144/13→（130+14）
/13≈10+1=11；对应D项。
方法二：比较冒险（大胆），约起来更快，（33/19）*（81/13），81和19
约分→剩余“4+”，“4+”和13进行约分→剩余“3”，原式→33/3→11，对应
D项。【选D】
【注意】
1.审题三要素：时间、倍数、主体。
52.小贴士：选项差距大，多步除法约分时可以±1微调；微调的时候永远是
性价比的抉择，19、81 微调一下都可以，但是如果都可以微调，优先微调“大
的”，这样误差会更小，这如果只微调“81”，不能实现顺利约分；部分同学的
思路：（33/19）*（81/13），81→80肯定最好，但是不能顺利约分，大家做题
要有目标（更快找到答案），后面不好约分（19 还要变成20→里外里微调两次
→误差更大）；如果13→12，此时 81就不能微调；可以放缩（方法二有放缩的
感觉），此时随意调，13变小、81变大，数字敏感不强的同学可以先不管“放
缩”，先搞定“方法一”→最主流、必须掌握的方法；大家要循序渐进，慢慢提
升速算能力，大家不要给自己增加无谓的负担。
3.“81/13”直接约成“2/3”，也是比较大胆，也可以的。
2020年全国人口共141178万人，比2010年增长了约5.38%。从地区分布上
看，2020年东部地区人口占39.93%，中部地区占25.83%，西部地区占27.12%，
东北地区占6.98%。与2010年相比，东部地区人口所占比重上升2.15个百分点，
中部地区下降0.79个百分点，西部地区上升0.22个百分点，东北地区下降1.20
个百分点。
【例4】（2022联考）2010年，东部地区人口是东北地区人口的：
A.约4.6倍 B.约5.7倍
C.约6.5倍 D.约7.3倍
【解析】4.基期时间（2010年），基期倍数问题；题干很短，识别没压力，
返回材料找数据，找“东部”→“2020年东部地区人口占39.93%”→给出比重，
总体*比重可以算人数，但是不一定有必要算，“与2010年相比，东部地区人口
所占比重上升2.15个百分点”→可以算出2010年的东部地区的比重→类似“高
减低加”→列式：39.93%-2.15%≈37.8%，同理，“东北地区占 6.98%”、“东
北地区下降 1.20个百分点”→6.98%+1.2%≈8.2%，所求=（37.8%*全国人口）/
（8.2%*全国人口）→37.8%/8.2%，直接口算，观察选项，首位各不相同、选项
差距大，37.8/8.2→4+，对应A项。【选A】
【注意】
61.小贴士：同一个总体中，部分量的倍数关系可以用比重代替计算，总体一
样，可以消掉。
2.公式：A/B*[（1+b）/（1+a）]，所有的基期比重、平均数、倍数不一定
都用这个公式，一定是材料给现期和增长率才能用，巧妇难为无米之炊，想用却
用不了，大家听课要听前提，很多同学存在的问题→只关心结论，不关心前提，
记100个结论，但是不知道何时用，或者张冠李戴；老师讲课都是用前提→推导
结论，再用例题加强理解，大家要学会学习的方法，老师领进门、修行看个人，
掌握正确、靠谱的学习方法，自己才能越来越深入、越来越精明，授人以鱼不如
授人以渔，通过课程去教会大家学习（钓鱼）。
【注意】倍数：比昨天内容简单很多，也会利用很多知识。
1.倍数问法：
（1）A是B的n倍→n=A/B。
（2）A比B增长（多）r倍→r=A/B-1。
2.基期倍数：公式“A/B*[（1+b）/（1+a）]”不唯一，给a、b才能用。
第八节 特殊增长率
题型
间隔增长率（中频，简单套路）
年均增长率（常考比较，计算几乎不考）
混合增长率（高频，技巧性强）
7【注意】重点内容——特殊增长率，四川考查多且高级（有时候可能会绕弯），
特殊增长率往往可以拉开差距，和倍数相比→考查多，和其他高频题型相比→考
查并不多；地位→次于一般增长率、比重、平均数，强于倍数、基期和现期；上
节课学过了“平均数的增长率”→公式为“（a-b）/（1+b）”，题型有：
1.间隔增长率（中频，简单套路）。
2.年均增长率（常考“比较”，计算几乎不考）。
3.混合增长率（高频→2024年就考到了、前几年也考查很多，技巧性强）。
4.以上无论如何变，都是增长率，会有特殊的特点，根据这些特点总结出独
有的公式，这样考场才能节约时间、更有针对性。
一、间隔增长率
识别：隔一年/—期＋求增长率
例：已知 2022 年的同比增长率为 r ，2021 年的同比增长率为 r ，问 2022
1 2
年比2020年的增长率。
公式：r+r+r*r，记忆：和+积
1 2 1 2
【注意】间隔增长率：
1.识别：（审时间）隔一年（时间不连续、跳着问）/一期＋求增长率。
2.例：已知2022年的同比增长率为r，2021年的同比增长率为r，问2022
1 2
年比2020年的增长率？
答：前提是“隔一年求增长率”；推导：r=现期/基期-1，假设2020年的基
期为A，2021年数据在A的基础上“*（1+r）”，2022年数据在2021年基础上
2
“*（1+r）”，列式：[A*（1+r）*（1+r）]/A-1=1+r+r+r *r-1=r+r+r*r。
1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2
3.公式：r+r+r*r，记忆：和+积，也叫笑脸公式，如下图，嘴对应“r ”。
1 2 1 2 间
给r、r 的形式？
1 2
8形式1：直接给
2020年A公司收入的同比增速为10%，2019年同比增速为3%。求：2020年
比2018年的增速
形式2：给百分点关系
2020年A公司收入的同比增速为10%，增速比上年上升3个百分点求：2020
年比2018年的增速
【注意】给r、r 的形式：
1 2
1.形式1：直接给。
例：2020年A公司收入的同比增速为10%，2019年同比增速为3%，求：2020
年比2018年的增速？
答：画出笑脸→2018年、2019年、2020年，求“嘴巴”→r =r+r+r*r，
间 1 2 1 2
r 和r 位置调换不影响结果，列式：10%+3%+10%*3%。
1 2
2.形式2：给百分点关系，更常见，多一步“高减低加”。
例：2020年A公司收入的同比增速为10%，增速比上年上升3个百分点，求：
2020年比2018年的增速？
答：没给2019年的增长率，中间隔了2019年，画笑脸→2018年、2019年、
2020年，第一个眉毛→2020年增长率为 10%、2019 年的增长率未知→需要自己
算，高减低加，10%-3%=7%，求“嘴巴”→r =10%+7%+10%*7%。
间
9速算：
第一步，先算加（分析选项是否是唯一值）
【例】15%+18%+15%*18%=
A.35.7% B.30.9%
C.28.9% D.21.6%
第二步，再算乘
（1）若r1、r2绝对值均小于10%，|r1*r2|＜1%，一般可以忽略
【例】5%+8%+5%*8%≈
（2）不能忽略时，一个不变，另一个百化分计算
【例】28%+25%+28%*25%=
【注意】速算：选项为王。
1.第一步，先算加（分析选项是否是唯一值）。
例：15%+18%+15%*18%=？
A.35.7% B.30.9%
C.28.9% D.21.6%
答：口算“加法”→15%+18%=33%，观察选项，后面是正数，结果＞33%，观
察选项，满足的选项唯一，对应A项。
102.第二步，只算加法算不出答案，再算乘。
（1）人为标准→若r、r 绝对值均小于10%，|r*r|＜1%，一般可以忽略。
1 2 1 2
例：5%+8%+5%*8%≈？
答：5%+8%=13%，结果＞13%，大一丢丢（毛毛雨）。
（2）不能忽略时，一个不变，另一个百化分（好处是“不会点错小数点”）
计算；如15%*7%，此时尽量不要忽略，（误差）稍微大一点。
例：28%+25%+28%*25%=？
答：28%+25%=53%，重点看“28%*25%”，只保留一个百分号，25%→1/4，28%*
（1/4）=7%，原式→53%+7%=60%。
练习：
练习1：18%+16%+18%*16%≈
练习2：（-28%）+5.1%+（-28%）*5.1%≈
练习3：（-18%）+（-11%）+（-18%）*（-11%）≈
【注意】练习：
1.练习1：18%+16%+18%*16%≈？
答：18%+16%=34%，16%→1/6，18*（1/6）=3%，原式→34%+3%=37%。
2.练习2：（-28%）+5.1%+（-28%）*5.1%≈？
答：存在负数，先算加法→约为-23%，计算“（-28%）*5.1%”不要迷糊，
要做减法，5.1%→1/20，28*（1/20）=1.4%，原式≈-23%-1.4%=-24.4%。
3.练习3：（-18%）+（-11%）+（-18%）*（-11%）≈？
答：两个负数，加法→-29%；计算“（-18%）*（-11%）”→负负得正，11%
→1/9，原式→-29%+（18%*1/9）%=-27%。
11【例1】（2019山东）虽然 2014～2016年间全国医疗卫生机构床位数增长
速度持续下滑，但2016年床位数仍然比2014年增加了：
A.12.26% B.10.87%
C.13.21% D.9.69%
【解析】1.“虽然 2014～2016 年间全国医疗卫生机构床位数增长速度持续
下滑”→命题人有时候出题会故意“打招呼”、寒暄，题干拉长，（前半句）没
有任何意义；看关键→增长+%、中间隔一年→间隔增长率，主体：床位数；结合
图表，给出三个增长率：6.8%、6.3%、5.6%，如果搞不清楚，就画一个笑脸→2014
年、2015 年、2016年，后面的增长率和中间所隔年份的增长率→5.6%、6.3%，
两个都小于10%，忽略不计乘积，列式：5.6%+6.3%+（ ）*（ ）≈11.9%，观
察选项，对应A项。【选A】
2021年1～4月份，某省全社会用电量284.59亿千瓦时，同比增长7.9%。
从不同产业看，第一产业用电量 6.36 亿千瓦时，同比增长 29.0%，增速比
上年同期提高6.2个百分点；第二产业用电量163.62亿千瓦时，同比增长7.0%；
第三产业用电量 63.36 亿千瓦时，同比增长 13.5%，增速比上年同期提高 17.1
个百分点；城乡居民生活用电量 51.24 亿千瓦时，同比增长 2.6%，增速比上年
同期回落9.6个百分点。
12【例 2】（2022 陕西事业单位）与 2019 年同期相比，2021 年 1～4 月该省
第一产业用电量增长了约：
A.46% B.52%
C.58% D.61%
【解析】2.出现两个时间→中间隔了 2020 年，出现“增长+%”，间隔增长
率问题；返回材料找r、r，主体找准→“第一产业”，“第一产业用电量6.36
1 2
亿千瓦时，同比增长29.0%”、“增速比上年同期提高6.2个百分点”→高减低
加，2020 年的增长率=29%-6.2%≈23%，r =29%+23%+29%*23%=52%+29%*23%，化
间
“23%”→1/4，29%*（1/4）≈7%，原式→52%+7%=59%，C项最接近，对应C项。
【选C】
题型延伸：间隔基期量
特征：间隔一年，求基期
已知：2023 年工资额是 400 元，同比增长了 10%，2022 年同比增长了 20%
求：2021年的工资是多少元？
两步走：
①先求出间隔增长率
②间隔基期量=现期量/（1+间隔增长率）。
【注意】题型延伸：间隔基期量；任何和增长率相关的公式，即前面所学的
所有带“一般r”的公式，只要隔一年，都可以用“r ”替换“一般r”，从而
间
举一反三；这里以间隔基期为例进行讲解。
1.特征：间隔一年，求基期。
2.例：已知2023年工资额是400元，同比增长了10%，2022年同比增长了
20%求：2021年的工资是多少元？
答：2021年在2023年前面，为基期（时间），时间不是普通的一般的基期，
中间隔了2022年，间隔基期问题；基期=现期/（1+r），举一反三，如果问题的
时间隔了一年，求间隔基期，只需要把公式中的“r”换成“r ”，列式→400/
间
（1+r ），r =10%+20%+10%*20%=10%+20%+（1/10）*20%=32%；所求=400/（1+32%）。
间 间
3.两步走：
13（1）先求出间隔增长率。
（2）间隔基期量=现期量/（1+间隔增长率）。
2018年全年H市保费收入65.4亿元，增长0.7%。其中，寿险业务保费收入
39.5 亿元，下降 5.1%；健康和意外险业务保费收入 9.1 亿元，增长 21.6%，增
速同比增加5个百分点；财产险业务保费收入3.4亿元，增长25.2%；车险业务
保费收入13.3亿元，增长1.8%。全年支付各类赔款及给付21.2亿元，增长5.3%。
其中，寿险业务保费赔付11.0亿元，增长1.4%；健康和意外险业务保费赔付3.0
亿元，增长68.7%；财产险业务保费赔付0.9亿元，增长5.7%；车险业务保费赔
付6.4亿元，下降5.0%。
【例 3】（2021 新疆兵团）2016 年全年 H 市健康和意外险业务保费收入约
为多少亿元？
A.7.5 B.6.9
C.6.4 D.6.1
【解析】3.读问题，看时间，原材料是2018年，问2016年，中间隔了2017
年，预判→可能考查间隔；问“2016 年全年 H 市健康和意外险业务保费收入约
为多少亿元”→2016年的基期，结合材料，给出现期（2018年），中间隔了2017
年，求2016年的基期，间隔基期问题。
先计算间隔增长率，“健康和意外险业务保费收入9.1亿元，增长21.6%，
增速同比增加5个百分点；”→r=21.6%，同比和2017年相比，r=21.6%-5%=16.6%，
1 2
列式：r =21.6%+16.6%+21.6%*（1/6）≈38.2%+3.5%≈42%；再算基期→现期/
间
（1+r）→9.1/（1+42%）→9.1/1.42，选项差距小，如果前面算成“40%”，截
两位→不适合选项差距小；可以分母截三位，考场速算→不考虑小数点的情况下，
因为1/7≈14.3%，这里不用管小数点（选项没有十倍、百位差别），原式→9.1*7
≈63.7，（有效数字）“63”左右，对应C项。【选C】
二、年均增长率
年均增长率之比较
识别：年均增长最快、年均增速排序
14公式：（1+r）n=现期量/基期量（n为现期和基期的年份差）
技巧：比较：n相同，直接比较现期/基期
【注意】年均增长率和平均增长率的区别：严格意义来讲没有名词“平均增
长率”，考试中可能会出现“2015～2018 年的平均增长率”→年均增长率，考
试考查增长率的算术平均数没有意义，无论看到平均增长率还是年均增长率，考
查的都是这个考点。年均增长率分为比较和计算，计算考查很少，了解考法即可，
四川很多年没有考过。年均增长率之比较：
1.识别：年均（平均）增长最快/最慢、年均增速排序。
2.公式：（1+r）n=现期量/基期量（n为现期和基期的年份差）。
（1）如2016 年、2017 年、2018年、2019年，年均增长率为 r，每一年的
增长率都是r，2016年为基期A，2019年为现期B，用A（基期）表示B（现期），
2017年相对2016年是现期，2017年为A*（1+r），2018年相对2017年是现期，
2018年为A*（1+r）*（1+r）=A*（1+r）²，B相对2018年是现期，B=A*（1+r）
*（1+r）*（1+r）=A*（1+r）³，则（1+r）³=B/A=现期/基期。“3”→有几个增
长过程，数字就是几，这里有3个增长过程。n为年份差，和年均增长量的n相
同，不是年份数，而是年份差值，要看有几个过程。
（2）每年增长率必须一样，否则不可能出现年均增长率。实际情况不可能
每年都一样，但为了体现出时间段的平均状态，会计算年均增长率，可能第一年
是10%，第二年是11%，第三年是12%，但要看年均的状态。
3.技巧。比较：n 相同，直接比较现期/基期。同一道题目往往是同一个时
间段，题目存在四个选项，n相同，r越大，则现期/基期越大，r越小，则现期
/基期越小，为一般增长率的比较。年均增长率的比较运用的是一般增长率的比
较方法。直接比较现期/基期，如果现期/基期倍数关系不明显，用增长量/基期。
15现期/基期比较的是总增长率，总增长率大，年均增长率大；总增长率小，年均
增长率小。
年均增长类问题基期的选择
➢一般情况（除江苏外）
2012年～2018年：年份差为6
基期：2012年；现期：2018年
➢五年规划（全国统一）
“十三五”期间：年份差为5（基期往前推一年）
基期：2015年；现期：2020年
➢江苏省考
2012年～2018年：年份差为7（基期往前推一年）
（刷题遇到、了解即可）基期：2011年；现期：2018年
【注意】年均增长类问题基期的选择：考试有两种题型，即年均增长量、年
均增长率，年均增长量=（现期- 基期）/年份差n，年均增长率=（1+r）n=现期/
基期，两个题型可以放在一起学习，进行归类总结，基期选择的规则相同。
1.一般情况（除江苏外）：2012年～2018年：年份差为6；基期：2012年；
现期：2018 年。时间段的“尾巴”是现期，时间段的开头是基期，现期- 基期
的时间是年份差。
2.五年规划（全国统一，我国的特有国情、专有名词）：“十三五”期间：
年份差为5（基期往前推一年）；基期：2015年；现期：2020年。
3.江苏省考：2012 年～2018 年：年份差为 7（基期往前推一年）；刷题遇
到、了解即可，基期：2011年；现期：2018年。
4.课后要归类总结，把年均增长量、年均增长率放在一起记忆。
16【例1】（2022联考）关于中国部分钓具进出口贸易状况，能从上述资料中
推出的是：
A.2017～2020年，进口额年均同比增速钓鱼竿快于钓线轮
B.略
C.略
D.略
【解析】1.只有A项和知识点相关，其他选项是无关选项，先不考虑。
A项：年均增长率比较，时间段（n）相同，比较现期/基期。先找钓鱼竿，
主体为进口额，而不是出口额，现期为2020年的数据，基期为2017年的数据，
不要跳入时间坑，列式为5081/2184。钓线轮进口：7623/1903，分数比较大小，
先看是否存在一大一小的情况，如果是就直接秒杀，同大同小可以横着看倍数、
竖着直接除，后面的分数（7623/1903）分子大、分母小，故应该是“慢于”，
而不是“快于”，该选项错误，不选。【不选】
【注意】A项考查分数比较大小的熟练程度。
17【拓展】（2022四川）将①同城快递、②异地快递、③国际/港澳台快递按
2016～2019年业务量年均增速（以2016年为基期）从高到低排列，以下正确的
是：
A.①②③ B.①③②
C.③①② D.③②①
【解析】拓展.“排列”即排序，为年均增长率比较，时间段 n相同，直接
比较现期/基期，利用一般增长率的比较方法。①为1+倍，②为2+倍，③为2+倍，
不需要直接考虑如何比较②③（是否同大同小，横着看倍数还是竖着直接除），
排序题要利用最大或最小排除错误选项。②③不知道谁大，但最小的是①，排除
A、B、C项，对应D项。不需要比较②③（速度慢），排序题、折线图、饼形图
用排除法。【选D】
18【例2】（2022北京）将①金属耐磨材料、②陶瓷耐磨材料和③树脂耐磨材
料按2014～2020年消费量年均增速（以2014年为基础）从高到低排列，以下正
确的是：
A.①②③ B.③②①
C.②③① D.①③②
【解析】2.找最大和最小值，现期为2020年，基期为2014年，①为金属耐
磨材料，416/359=1+；②为陶瓷耐磨材料，24/30=0.8；③为树脂耐磨材料，48/50
≈1。最大值是①，排除B、C项。最小值是②，排除A项，对应D项。【选D】
【注意】现期/基期＜1：比1小的越多，说明增长率负的越多，增长率越小。
道理类似，不需要考虑大于 1 还是小于 1，只要现期/基期大，增长率就大，不
要被负数迷惑。如果理解不了，可以理解为①增长率为正数，②增长率为负数，
③增长率几乎为0，以此判断最大、最小。不要给自己增加负担，不需要考虑正
负。
年均增长率之计算
年均增长率的计算：
➢题型识别：年均增长率为…
➢基本公式：（1+r）n=现期量/基期量（n为现期和基期的年份差）
➢计算技巧：代入验证，优先挑选项中间的、比较整的数进行居中代入
【注意】年均增长率的计算：
191.题型识别：某个时间段年均（平均）增长率为……，选项均为百分数。
2.基本公式：（1+r）n=现期量/基期量（n为现期和基期的年份差）。不需
要口算开根号，做题不要忘记“选项为王”，不会解方程或计算，代入选项即可。
代入的思维在行测的任何一个模块都会用到，数学运算的第一个方法就是代入排
除，要学会“借力打力”。
3.计算技巧：代入验证，优先挑选项中间的、比较整的数（尽量是整十）进
行居中代入。代入不是随便代，A项为15%，B项为20%，C项为25%，D项为30%。
如果代入 A 项，1+15%=1.15，1.15²或 1.15³比较难算。代入选项要代比较整的
数字，可以选择代入B项或D项，代入B项，1+20%=1.2，1.2²、1.2³=1.2²*1.2
比较好算。要代入尽量中间的选项，如果发现20%偏大，可以直接选择A项；如
果20%偏小，再代入D项。居中代入：代入中间的、好算的。
4.四川很多年没有考查过年均增长率的计算，知道这种考法即可。
【例 3】（2022 广东）2016～2018 年，我国国际重要湿地面积的年均增长
率约为：
A.25% B.30%
C.35% D.40%
【解析】3.年均增长率计算（问年均增长率，选项出现%）。主体为国际重
要湿地面积，对应柱形图。现期值为时间段的“尾巴”2018 年，基期值为时间
20段的开头2016年，n=2018年-2016 年=2，列式为（1+r）²=104.24/61.68，选项
差距大，截两位计算，104.24/61.68转化成104.24/62，首位商1，次位几乎商
7，要学会点小数点，判断是 17 还是 1.7，104.24/61.68=1+，应为 1.7-。B、D
项比较整，代入中间的B项，11²～19²需要背诵。（1+30%）²=1.3²=1.69=1.7-，
对应B项。【选B】
三、混合增长率
超级重点：混合增长率
题型识别：部分与整体之间的增长率关系
房产、地产→房地产
进口、出口→进出口
邮政、电信→邮电
上半年、下半年→全年
A、非A→总体
本质：量之间是加和关系，那么，率之间就是混合关系
通俗的说：求增长率，但缺少直接数据，且材料存在部分与整体关系，则考
虑是否为混合。
【注意】超级重点：混合增长率。对四川、国考、联考、任何一个地方的考
试都非常重要，这个考点在资料分析、数学运算（应用题）中都会出现。要学会
题型识别、思维方式，混合增长率几乎不需要计算，体现出资料分析的优势，重
点是分析，要重点听题型识别（学会读题、认识考点）、记住口诀（利用口诀分
析答案、分析选项，得到唯一的正确答案，不需要计算）。
1.题型识别：题干字面意思很像一般增长率，问某一年（ ）的同比增速、
环比增速。
（1）注意看材料数据，没有一般增长率的数据（增长量、基期；现期、基
期；现期、增长量），r=增长量/基期=（现期- 基期）/基期=增长量/（现期-
增长量），缺少直接数据。如果材料数据出现部分与整体增长率的关系，问增长
率，为混合增长率。
（2）常见的主体、部分和整体的关系有房产、地产→房地产（房产的钱+
21地产的钱=房地产的钱）；进口、出口→进出口（进口+出口=进出口）；邮政、
电信→邮电（邮政+电信=邮电）；上半年、下半年→全年（上半年+下半年=全年）；
A、非A→总体（A+非A=总体，重点企业+非重点企业=所有企业）。
2.本质：量之间是加和关系（如钱是具体量），那么，率之间就是混合关系
（不可以直接相加）。
（1）如一个家庭中 A、B 赚钱，A的收入+B的收入=家庭收入，收入是量，
量之间是相加的关系。A的收入增长率为10%，B的收入增长率为20%，家庭收入
的增长率不是30%（不能直接相加），率之间是混合关系，应该是10%～20%之间
的某个数。
（2）如把 10%的糖水和 20%的糖水混合在一个杯子中，浓度为 10%～20%之
间的数，给出范围，具体数据未知。100g 浓度 10%的糖水和 100g 浓度 20%的糖
水混合后浓度为15%，等量混合才是正中间。10%浓度的糖水像大海一样多，20%
浓度的糖水像水滴一样少（只有一滴水），混合后的浓度无限接近10%。
（3）混合后应该是一个范围，谁大谁说了算。类似于 A 一年赚 100 元，B
一年赚 1毛钱，则 A 说了算（谁大谁说了算），A的增长率为 10%，家庭收入增
长率无限接近10%。
3.通俗的说：求增长率，但缺少一般增长率的直接数据（增长量、基期等），
且材料存在部分与整体关系，则考虑是否为混合。
题型识别：考查部分增速和整体增速之间的关系
判断口诀：
（1）居中但不中（整体增长率介于部分增长率之间）
（2）偏向基期量较大的（通常用现期代替基期估算）
（3）增速差与基期量成反比（线段法）
【注意】
1.题型识别：考查部分增速和整体增速之间的关系。
2.判断口诀：
（1）居中但不中（整体增长率介于部分增长率之间）。如两个增长率分别
为 10%、20%，混合后增长率在 10%～20%之间，但不是正中间 15%，只有等量混
22合时才是正中间。资料分析等量混合是不存在的，数据是真实的、统计学的官方
数据，实际中很少有两个主体是一模一样的，目前真题不存在等量混合。数量关
系中可能会有等量混合，如 100g 浓度 X%的盐水和 100g 浓度 X%的盐水混合
后……，混合后浓度在正中间。根据“居中但不中”排除不靠谱的选项，如果用
第一句口诀能排除三个选项，就不需要用后面的口诀。
（2）偏向基期量较大的（通常用现期代替基期估算）。如果根据第一句口
诀没有答案，再看第二句口诀——偏向。谁的量大谁说了算，r=增长量/基期，
严格来说偏向基期量大的，但材料几乎没有直接给出基期量的情况，通常给出现
期量，资料分析是“估算”，可以用现期代替基期估算、看偏向，使用排除法，
得到唯一答案就可以。第一句、第二句可以解决混合增长率90%的题目，混合增
长率只有极少数题目需要计算。
（3）拓展：增速差与基期量成反比（线段法），四川上一道需要计算的题
目在2012 年考查（利用线段法计算混合增长率），其他考查的都是排除就能做
对的题目。
判断口诀：
（1）居中但不中（最小r＜总体r＜最大r）
例1：2019年进口增长了10%，出口增长了20%，则进出口可能增长了多少？
A.8% B.9%
C.14% D.21%
例2：2019年进出口增长了10%，出口增长了20%，则进口可能增长了多少？
A.8% B.12%
C.14% D.21%
【注意】判断口诀：居中但不中（最小 r＜总体 r＜最大 r）。口诀使用是
层层递进的，先用第一句口诀，再用第二句口诀。
1.例1：2019 年进口增长了 10%，出口增长了 20%，则进出口可能增长了多
少？
A.8% B.9%
C.14% D.21%
23答：进出口为总体，增长率介于 10%～20%之间，不知道具体数据，但知道
范围，不在范围内的一定错误，排除不靠谱的A、B、D项，选择C项。
2.例2：2019 年进出口增长了 10%，出口增长了 20%，则进口可能增长了多
少？
A.8% B.12%
C.14% D.21%
答：总体居中，对进口、出口、进出口来说，进出口增长率10%在中间（一
个比它大，一个比它小），出口增长率20%＞10%，进口增长率＜10%，排除B、C、
D项，对应A项。
【例1】（2023山东）2021 年，中国跨境电商交易规模达14.2万亿元，占
我国货物进出口总额的比例为 36.3%。其中出口跨境电商交易规模 11 万亿元，
同比增速 13.4%；进口跨境电商交易规模 3.2万亿元，同比增速 14.3%。2017～
2022年第一季度，中国跨境电商领域共发生262次投资，投资总金额654.91亿
元。
2021年，我国跨境电商交易规模同比增长：
A.12.8% B.13.4%
C.13.6% D.14.3%
【解析】1.重点在题型识别，第一步：题型识别，存在一定迷惑性。第二步：
90%的题目利用口诀排除错误选项。问题时间和材料时间一致（2021年），同比
增长+%→增长率，无法确定是混合增长率。定位材料找数据，找“跨境”，给出
现期值，想要算增长率，要么给出增长量，要么给出基期，但材料没有增长量和
基期，一般增长率缺少直接数据，文字材料中给出“其中”，“其中”前面是总
体，后面是部分，跨境和进出口相关，给出出口、进口，进口的钱+出口的钱=
跨境的钱，量之间是加和关系，率之间是混合关系，为混合增长率。考试中要很
快反应过来，缺数据+存在部分→混合增长率。总体增长率（跨境电商增长率）
居中，出口增长率13.4%，进口增长率14.3%，总体增长率介于13.4%～14.3%之
间，先利用居中排除错误选项，排除A、B、D项，对应C项。【选C】
24【注意】混合后总体居中（最小 r＜总体 r＜最大 r）。这种题目的难度取
决于命题人的出题方式，可能用居中排除所有错误选项，可能排除不了，只能用
线段法做。
2022年1月末，我国人民币存款余额236.07万亿元，同比增长9.2%，增速
分别比上月末和上年同期低0.1个和1.2个百分点，1月份人民币存款增加3.83
万亿元，同比多增2627亿元，其中，住户存款增加5.41万亿元，非金融企业存
款减少1.4万亿元，财政性存款增加5849亿元。1月末，外币存款余额1.02万
亿美元，同比增长9%。1月份外币存款增加272亿美元，同比少增228亿美元。
【例 2】（2022 联考）2022 年 1 月末，我国本外币存款余额同比增速在以
下哪个范围内？
A.低于5% B.5%～10%之间
C.10%～19%之间 D.高于19%
【解析】2.例1存在现期值，但本题没有“本外币”的概念，要利用常识做。
类比进口+出口=进出口，本币+外币=本外币，学知识要灵活，学会举一反三，遇
到陌生概念不要慌，用已知概念的逻辑推断未知概念即可。时间为 2022年1 月
末，我国的本币是人民币，人民币存款余额增长率为 9.2%，外币存款余额增长
率为9%，为混合增长率问题，本外币增长率一定居中，介于9%～9.2%之间，在
B项的范围内，对应B项。【选B】
【注意】
1.混合后总体居中（最小r＜总体r＜最大r）。
2.本题考查识别、举一反三的能力。不可能学会量相加等于总体的所有名词，
要学会方法。
【例 3】（2023 广东）2022 年，全国居民人均可支配收入 36883 元，比上
年增长（以下如无特别说明，均为同比名义增长）5.0%。分城乡看，城镇居民人
均可支配收入 49283 元，增长 3.9%；农村居民人均可支配收入 20133 元，增长
6.3%。
252022年，全国居民人均消费支出 24538元，比上年增长 1.8%。分城乡看，
城镇居民人均消费支出30391元，增长0.3%；农村居民人均消费支出16632元，
增长4.5%。
2022 年，全国居民人均收支盈余比上一年：（注：收支盈余=收入-消费支
出）
A.增加了约5% B.减少了约5%
C.增加了约12% D.减少了约12%
【解析】3.题型识别比较困难，读问题看时间，本题为现期时间。材料中很
少提到“盈余”的概念，命题人在题目给出盈余的概念，如果没有给出注释也要
学会根据常识分析，盈余就是剩下的，用挣的减去花的，即收入-支出。收支盈
余=收入-消费支出为减法，加减、乘除可以移项，求盈余的增长率，材料没有直
接数据，转化得到收入=收支盈余+消费支出（类似于进口+出口=进出口的形式），
量之间存在加和关系，率之间为混合关系，为混合增长率问题，总体居中，人均
可支配收入为总体，增长率为 5%。人均消费支出的增长率为 1.8%，1.8%＜5%，
故收支盈余的增长率＞5%，一个数比 5%小，一个数比 5%大，5%才能介于中间，
一定是正数，但不可能约等于5%，排除A、B、D项，对应C项。【选C】
【注意】
1.混合后总体居中（最小r＜总体r＜最大r）。
2.“一听就会、一做就废”是初学者常见的状态，要不断复习、重复。学习
方法：捷径为重复+刻意练习。
3.混合增长率的题型特点为量之间要有相加关系，相减关系不是混合增长率，
要把减法转化为加法，量之间存在相加关系，率之间存在混合关系。考试中遇到
陌生的题型，要把陌生的题型转化成熟悉的题型求解。学过相加的关系，考场上
遇到相减的关系就要转化成相加的关系。
判断口诀：
（2）偏向基期较大的（哪个部分的基期量大，总体的增速就离谁近）
补例：2019年进口额1000亿元，增长了25%，出口额1500亿，增长了20%。
26则进出口增长了约多少？
A.19% B.22%
C.24% D.26%
【注意】判断口诀：偏向基期较大的（哪个部分的基期量大，总体的增速就
离谁近）。如果没有直接给出基期，就用现期看偏向，四川、国考是没问题的。
补例：2019年进口额1000亿元，增长了25%，出口额1500亿，增长了20%。
则进出口增长了约多少？
A.19% B.22%
C.24% D.26%
答：进口+出口=进出口，量之间是相加关系，率之间是混合关系。进出口的
增长率应该居中，介于 20%～25%之间，排除 A、D项，剩下 B、C 项，需要进一
步分析。生活化考虑，谁量大谁说了算，出口量大，距离20%更近。用理论来说
就是偏向，要偏向基期量大的，出口基期为1500/（1+20%），进口基期为1000/
（1+25%），比较麻烦，计算量大，要进行估算、提升速度，根据经验直接看现
期量比较大的，现期量大的数据基期量往往也较大，可以提高解题速度，所有针
对性的方法都会有反例，但是反例极少，四川、国考没有出现过反例（北京、江
苏出现过反例），不需要担心，用现期看偏向即可，B项偏向20%，C项偏向25%，
排除C项，对应B项。
【例 4】（2021 新疆兵团）2018 年 H 市完成邮电业务总量 108.2 亿元。其
中，邮政业务总量 40.8亿元，同比增长26.5%；电信业务总量67.4亿元，同比
增长56.7%。年末移动电话用户达到341万户，其中，3G移动电话用户达到25.7
万户，4G 移动电话用户达到241.4万户。全市互联网接入用户89.9万户，其中，
新增互联网用户23.8万户。
2018年H市邮电业务总量同比增速在下列哪一个范围内？
A.23%～41% B.41%～57%
C.57%～71% D.高于71%
【解析】4.问增长率，找邮电业务。给出邮电业务的现期，但直接给出“其
中”，没有增长量、基期，不能用一般增长率。出现“其中”，邮政+电信=邮电
27（类似于进口、出口、进出口），“邮政业务总量40.8亿元，同比增长26.5%；
电信业务总量 67.4 亿元，同比增长 56.7%”→量之间是相加关系，且存在增长
率，为混合增长率。邮电增长率介于26.5%～56.7%之间，不可能超过56.7%，排
除 C、D 项。如果为 30%，则 A 项正确，不能直接选 B 项。看偏向，没有基期，
用现期近似代替，电信业务的现期量大（67.4＞40.8），偏向 56.7%，中点为
（26.5%+56.7%）/2≈41%，正好卡在 A、B项中间，取41%～57%，对应B项。【选
B】
【拓展】（2024四川网友回忆）2021年1～2月，限额以下单位餐饮收入同
比月增长了：
A.67% B.71%
C.76% D.83%
【解析】拓展.第一步为审题，第二步为使用口诀，要多听回放、多重复、
多体会。问题时间和材料时间一致（2021年1～2月），材料中没有出现“以下”，
类似于本外币=本币+外币，主体为餐饮收入，餐饮收入存在部分为“限额以上单
位餐饮收入”，“限额”为一条线，不是在上面就是在下面，没有正好在线上的，
要举一反三，想到上+下=总体，如果不理解，可以用A+非A=总体理解，总体分
28为限额以上、除了限额以上（限额以下），不需要担心“限额以中”，分成上、
中、下也没有办法做。以上+以下=总体，已知总体增长率为68.9%，限额以上增
长率为 61.8%，总体增长率居中，61.8%＜68.9%，则限额以下增长率＞68.9%，
排除 A 项。此时无法确定具体答案，要看偏向。总体量为 7085，限额以上（大
买卖）为 1459，限额以下（小买卖）的量（7085-1459=5000+）更大，故 68.9%
和所求增长率更近，用已知推导未知，已知距离为68.9%-61.8%=7.1%，68.9%和
所求增长率的距离＜7.1%（不需要考虑具体值），所求=68.9%+7.1-%=76-%，排除
C、D项，对应B项。【选B】
【注意】偏向：谁大谁说了算，即谁大离谁近，要活学活用。
混合比例线段法，解题速度顶呱呱
适用范围：混合比例（%、平均数）
常见：混合浓度、利润率、折扣、增长率、比重、平均数
操作技巧
第一步，判断：混合居中
第二步，计算：混合之前写两边、混合之后写中间
距离和量成反比、看好份数认真算
注意事项
%/平均数=A/B，分母B，量之比为B之比
【注意】混合比例线段法，解题速度顶呱呱。混合增长率90%的题目用口诀，
29第一句口诀为居中，第二句口诀为看偏向，偏向基期量大的（距离谁近），还有
一些“漏网之鱼”需要估算，第三步为线段法，四川上一次考查混合增长率线段
法的题目在 2012年，很久没有考查，简单了解，现在不太重要。山东、浙江、
江苏考查线段法比较多，是进阶版的方法。
1.适用范围：混合比例（%、平均数）。常见：混合浓度、利润率、折扣、
增长率、比重、平均数。
（1）除了混合增长率外，理论上所有混合比例的题目都可以用线段法，本
质是初中化学的混合溶液问题（10%浓度的溶液和 20%浓度的溶液混合……）。
利润率是一个比重，可能会出现线段法，但真题很少见。折扣为经济利润问题，
本身也是比例，为折后价/折前价，如八折、七折、五折，理论上可以用线段法，
但是真题很少出现。
（2）混合的比重、平均数都会出现，混合平均数比较重要，数量的题目很
有可能用线段法求。如班级中男生行测平均分为 80 分，女生行测平均分为 79
分，班级平均分在 79～80之间。线段法可以解决混合增长率的题目，也可以解
决混合比例的题目。
2.操作技巧：线段法的重点是估算。
（1）第一步，判断：混合居中。
（2）第二步，计算：混合之前写两边、混合之后写中间（居中）。距离和
量成反比、看好份数认真算。
3.注意事项：%/平均数=A/B，分母B，量之比为B之比。“量”严格意义来
说是分母的量，增长率的分母是基期，材料基本不会直接给出基期，所以用现期
代替基期看比值。
【引例 1】浓度为 13%的溶液 200 克与浓度为 23%的溶液 B 克，混合后的浓
度为15%，求B
混合之前写两边、混合之后写中间。距离和量成反比、看好份数认真算。
【注意】根源是溶液问题，如果对推导有兴趣可以在粉笔圈子找老师。
1.引例 1：浓度为 13%的溶液 200 克与浓度为 23%的溶液 B 克，混合后的浓
度为15%，求B。
30答：混合之前写两边→13%、23%写在两边，混合之后写中间→15%写在中间，
距离和量成反比→距离（长度）之比为（15%-13%）：（23%-15%）=2%：8%=1：4，
量之比为4：1，13%的溶液为4份对应200克，1份对应50克，则B=50克。
2.混合之前写两边、混合之后写中间。距离和量成反比、看好份数认真算。
【引例 2】浓度为 13%的溶液 200 克与浓度为 X的溶液300克，混合后的浓
度为19%，求X
混合之前写两边、混合之后写中间。距离和量成反比、看好份数认真算。
【注意】
1.引例 2：浓度为 13%的溶液 200 克与浓度为 X的溶液300克，混合后的浓
度为19%，求X。
答：13%与X%的溶液混合得到19%的溶液，用已知找未知，已知量之比是200g：
300g=2：3，距离之比为反比，即 3：2，3 份的距离为19%-13%=6%，2 份的距离
为4%（右边的距离），13%＜19%＜X%，故X%=19%+4%=23%。
2.混合之前写两边、混合之后写中间。距离和量成反比、看好份数认真算。
3.本质是初中化学的十字交叉，线段法是在十字交叉的基础上进行优化（线
31段更为直观），比十字交叉写得更少、更好消化。
2020年上半年，我国农产品进出口总额达1159.0亿美元。农产品进口额为
807.5亿美元，同比增长 13.2%。受新冠肺炎疫情影响，我国农产品出口额同比
下降3.8%，为351.5亿美元。
【拓展】（2021广东）2020年上半年，我国农产品进出口额同比增长约：
A.2.5% B.5.0%
C.7.5% D.10.0%
【解析】拓展.同比增长+%→增长率，农产品只有现期值，没有基期、增长
量，不能用一般增长率计算。给出进口、出口，进口+出口=进出口，量之间是相
加关系，率之间是混合关系。不是直接用线段法，要先用居中、再用偏向，可以
解决 90%的题目。进口增长率为 13.2%，出口增长率为-3.8%，进出口增长率在
-3.8%～13.2%之间，无法排除。看偏向，要偏向量大的，进口额更大（807.5＞
351.5），偏向13.2%，13.2%、-3.8%的中点差不多是5%，范围应该是5%～13.2%，
排除A、B项，C、D项无法选择，要用线段法。并不是所有题目都用线段法，先
尝试用口诀排除，排除不了再用线段法。10 个混合增长率的题目只有 1 个用线
段法，9个都要排除。
线段法：混合之前写两边，出口-3.8%写在左边，进口 13.2%写在右边，总
体增长率为 x。已知量的关系，出口量为 807.5，进口量为 351.5，一般把量换
成（ ）：1或1：（ ）的形式，比较好算，少的用“1”代替。807.5/351.5
转化为807/350，807=700+107，700/350=2，107/350≈0.3，量之比（出口：进
口）为1：2.3，要精确到2位，1：2的误差太大。距离之比为2.3：1（反比），
总距离为3.3份，距离为13.2%-（-3.8%）=13.2%+3.8%=17%，1份的距离为17%/3.3
≈5.1%，右边距离为 5.1%，故13.2%-x=5.1%→x=13.2%-5.1%≈8%，选择最接近
的C项。【选C】
32【注意】
1.排除A、B项后，代入C、D项，哪个接近就选择哪个。
2.偏向需要找中点（口算，大致估计）：（x+x）/2。-3.8%、13.2%中点为
1 2
（13.2%-3.8%）/2。1、-1的中点不是1，不能用（1+1）/2=1，中点是[1+（-1）]/2=
（1-1）/2=0。
【注意】特殊增长率：四川比较重要。间隔增长率、混合增长率考查很多，
年均增长率也有考查，且是进阶考点，这三个考点的理解更重要，计算量不太大，
要学会举一反三。
33【注意】知识梳理：重点内容是特殊增长率，为间隔、年均、混合。
1.间隔增长率：
（1）题型识别：特殊点在于时间，时间隔了一年或隔一段时间（一般是隔
一年），问增长/下降+%。间隔增长率计算公式：和+积，r =r+r+r*r。
间隔 1 2 1 2
（2）速算技巧：r+r 需要口算，如果选项可以直接得到答案就直接选择，
1 2
得不到答案要看乘积，当r 和r 的绝对值均≤10%时，r*r 可忽略；若不能忽略
1 2 1 2
（一个比10%大，一个比10%小；两个均大于10%），则一个不变，一个百化分，
防止点错小数点。
34（3）所有的延伸题型中时间是间隔的，把公式中的增长率换成r 。
间
2.年均增长量比较题型识别：问年均增长率最快、最慢或排序，本质是比较；
年均增长率计算公式：（1+r）n=现期/基期。比较方法：当时间段n相同时，比
较现期/基期，本质是分数比较大小，看一大一小还是同大同小，使用对应方法。
3.混合增长率（最重要）：
（1）题型识别：求部分和总体增长率之间的关系。
（2）口诀（排除错误选项）：混合后居中但不是正中，只有等量混合才是
正中间，资料分析几乎不存在等量混合；居中排除不了所有错误选项再看偏向，
要偏向量大的，理论上是偏向基期量，一般用现期量代替基期量，即偏向现期量
大的，90%的题目可以解决；少部分题目排除不了，用线段法。
4.线段法：
（1）适用的题型：解决混合比例的题目，资料分析常考混合增长率，江苏
的特色考法（混合平均数），混合浓度问题、混合溶液问题（数学运算）。
（2）具体的操作步骤：混合之前写两边、混合之后写中间。距离和量成反
比、看好份数认真算。
5.A是B的几倍，列式为A/B；A比B高（增长/多）几倍，列式为A/B-1；A
超过B的n倍，列式为A＞n*B。基期比例（基期比重、基期倍数等）为A/B*[（1+b）
/（1+a）]。
2022 年，全国软件和信息技术服务业规模以上企业超 3.5 万家，累计完成
软件业务收入 108126 亿元，同比增长 11.2%，增速较上年同期回落 6.5 个百分
点。
【课后练习 1】（2024 四川网友回忆版）2022 年，全国软件和信息技术服
务业规模以上企业累计完成软件业务收入约比2020年增长了：
A.16% B.23%
C.29% D.31%
【解析】拓展 1.增长+%→增长率，2022年比 2020年间隔 2021年，为间隔
增长率。返回材料找主体，主体很长，要找关键词“软件”，找到“软件”要核
对一下主体是否相同，“2022年，全国软件和信息技术服务业规模以上企业……
35同比增长 11.2%，增速较上年同期回落 6.5 个百分点”→r=11.2%，高减低加，
1
r=11.2%+6.5%=17.7% ， r 、 r 均 大 于 10% ， 结 合 选 项 ， r
2 1 2 间
=r+r+r*r=11.2%+17.7%+11.2%*17.7%，11.2%+17.7%≈29%，C 项是“坑”，
1 2 1 2
11.2%*17.7%＞0，答案比29%大，对应D项。如果不敢就计算一下，11.2%*17.7%
≈1/9*18%=2%，所求≈29%+2%=31%，对应D项。【选D】
【注意】
1.做错的同学考虑一下做错的原因、没有做出来的原因、卡在哪里，要把卡
点给自己讲清楚，学会复盘。
2.不会识别题型：讲解以后可以识别题型就重复识别过程。
【课后练习2】（2022四川）2019年1～2月，我国包裹寄递量比去年同期：
A.下降了不到10% B.下降了10%以上
C.上升了不到10% D.上升了10%以上
【解析】拓展2.问题时间很特殊（2019年1～2月），材料给出一季度、3
月，没有 1～2月，用已知推未知，1～2 月+3月=一季度，如果用减法，要转化
成加法，量之间是相加关系，率之间是混合关系，一季度的增长率为-12.3%（居
中），3 月的增长率为-10.8%，负的越少数字越大，-10.8%＞-12.3%，则 1～2
月的增长率比-12.3%小，负的更多，可能是-13%、-14%、-15%、-16%……，负号
36代表下降，下降更多代表下降10%以上，对应B项。【选B】
资料分析复习建议
1、课程至少再看一遍，重点看不懂的地方，查缺补漏，不留死角。
2、把每天上课的知识点、思维导图，手写整理成笔记。
建议格式：①题型特征②公式/方法③速算技巧④易错点
3、整理笔记后，每天做2～3篇资料分析。
注意：前一个月练习可以不管速度，以做对为主；
一个月后计时训练：6～7min一篇。
4、请你坚持到考前，资料分析一定会提高
【注意】资料分析复习建议：理论课结束，但复习刚刚开始，课下要花费大
量时间学习。
1.课程至少再看一遍（基础特别好的同学可能只需要听一遍），课听三遍，
其义自见，不需要全部听，可以跳着听，重点看不懂的地方，查缺补漏，不留死
角。自己回忆讲义的例题，如果回忆不起来某个知识点，或者整理笔记有不会整
理的地方，就是不明白的地方，可以再听一下。
2.把每天上课的知识点、思维导图，手写整理成笔记。建议格式：题型特征、
公式/方法、速算技巧、易错点。
3.整理笔记后，每天做 2～3篇资料分析，要多做题。注意：前一个月练习
可以不管速度，以做对为主（达到80%正确率）；一个月后计时训练（强化）：
6～7min一篇。
4.请你坚持到考前，资料分析一定会提高，“无他，唯手熟尔”。
37【注意】资料分析的公式总结。这里只有公式，没有口诀（两期比重、两期
平均数升降判断、混合增长率），要进行默写，而不是背诵，好记性不如烂笔头，
要手写笔记，不要直接复制、粘贴，书写的过程可以加深印象。
【注意】关于数量关系、资料分析的问题可以在粉笔圈子@数资-焦点中提问。
【答案汇总】
38倍数1-4：DBDA；
间隔增长率1-3：ACC；
年均增长率1-3：不选DB；
混合增长率1-4：CBCB
39遇见不一样的自己
Be your better self
40
