文档内容
数学试卷
考生注意：
1．考试时间120分钟；
2．全卷共三道大题，总分120分；
3．所有试题请在答题卡上作答，在试卷上答题无效．
一、单项选择题（本题10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题
关键．中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那
么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，
这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了单项式的乘除法，多项式除以单项式，负整数指数幂，根据运算法则进行逐项计算，
即可作答．
1【详解】解：A、 ，故该选项是错误的；
B、 ，故该选项是错误的；
C、 ，故该选项是错误的；
D、 ，故该选项是正确的；
故选：D．
3. 由5个形状、大小完全相同的小正方体组合而成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则搭建该几何
体的方式有（ ）
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图，解题的关键是理解三视图的定义．根据小正方体一共5个，以及主视图和左
视图，画出俯视图即可．
【详解】解：由主视图可知，左侧一列最高一层，右侧一列最高三层，由左视图可知，前一排最高三层，
后一排最高一层，可知右侧第一排一定为三层，可得该几何体俯视图如图所示，
故选：C．
4. 某校八年级3班承担下周学校升旗任务，老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中，选择两名担任升旗
手，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是（ ）
A. B. C. D.
2【答案】A
【解析】
【分析】本题考查画树状图或列表法求概率，列表适用于两个因素的问题，三个或三个以上因素的问题只
能用树状图．根据列表法或者树状图分析出所有可能的结果，然后根据概率公式求出结果即可．
【详解】解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
（甲，
甲 （甲，丙） （甲，丁）
乙）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
（丙，
丙 （丙，甲） （丙，丁）
乙）
（丁，
丁 （丁，甲） （丁，丙）
乙）
由列表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学同时被选中的情况有2种，则甲、乙两名同学
同时被选中的概率是 ．
故选：A．
5. 如图，四边形 是 的内接四边形， 是 的直径，若 ，则 的度数
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接 ，由 是 的直径得到 ，
3根据圆周角定理得到 ，得到 ，再由圆内接四边形对角
互补得到答案.
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
故选：B
6. 一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为 ，根据原价每盒48元，经过两次降
价后每盒27元，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设每次降价的百分率为 ，由题意，得：
，
4解得： （舍去）；
故选C．
7. 如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个
三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（ ）
A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是根据图形的排列，归纳出图形的变化规律．根据前几
个图形的变化发现规律，可用含n的代数式表示出第n个图形中三角形的个数，从而可求第674个图形中
三角形的个数．
【详解】解：第1个图案有4个三角形，即 ，
第2个图案有7个三角形，即 ，
第3个图案有10个三角形，即 ，
…，
按此规律摆下去，第n个图案有 个三角形，
则第674个图案中三角形的个数为： （个）．
故选：B．
8. 矩形 在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数 的图象与 边交于点D，与
边交于点F，与 交于点E， ，若四边形 的面积为2，则k的值是（ ）
5A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性
质；熟练掌握矩形的性质和反比例函数的性质是解决问题的关键．
过点E作 ，则 ，设 ，由 ，可得 ，
再由 ，列方程，即可得出k的值．
【详解】过点E作 ，则 ，
∴ ，
∴
设 ，
∵
6∴ ，
∴
∴
即 ，解得：
故选D
9. 小明同学手中有一张矩形纸片 ， ， ，他进行了如下操作：
第一步，如图①，将矩形纸片对折，使 与 重合，得到折痕 ，将纸片展平．
第二步，如图②，再一次折叠纸片，把 沿 折叠得到 ， 交折痕 于点E，则线
段 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键．
根据矩形的性质和折叠的性质推出 ，进而得出 ，设 ，则
，根据勾股定理可得： ，列出方程求解即可．
7【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
由折叠可得： ， ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，根据勾股定理可得： ，
即 ，
解得： ，
即 ，
故选：B．
10. 在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点， ，与y
轴交点C的纵坐标在 ～ 之间，根据图象判断以下结论：① ；② ；③若
且 ，则 ；④直线 与抛物线 的一
8个交点 ，则 ．其中正确的结论是（ ）
A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，掌握二次函数和一元二次方
程的关系是解题的关键，
根据题意得到抛物线的解析式为 ，即可得到 ， ，代入即可判断①；根
据 判断②；把 代入 ，然后利用因式分解法解方程即可判断③；
然后把 ， 代入解方程求出m的值判断④．
【详解】解：设抛物线的解析式为： ，
∴ ， ，
∴ ，故①正确；
∵点C的纵坐标在 ～ 之间，
∴ ，即 ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
9∴ ，即 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，故③错误；
∵令 相等，则
∴ ，解得 （舍）， ，
∴ ，故④正确；
故选A．
二、填空题（本题8个小题，每小题3分，共24分）
11. 函数 中，自变量x的取值范围是______________．
【答案】x≥-3且x≠0
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式组求解．
【详解】解：根据题意得：x+3≥0且x≠0，
解得x≥-3且x≠0．
故答案为：x≥-3且x≠0．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围．考查的知识点为：分式有意义，分母不为0，二次根式有意
义，被开方数是非负数．
12. 如图， 中，D是 上一点， ，D、E、F三点共线，请添加一个条件______，使得
．（只添一种情况即可）
10【答案】 或 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．
根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一．
【详解】解：∵
∴ ， ，
∴添加条件 ，可以使得 ，
添加条件 ，也可以使得 ，
∴ ；
故答案为： 或 （答案不唯一）．
13. 将抛物线 向下平移5个单位长度后，经过点 ，则 ______．
【答案】2
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到 ，
再整体代入变形后代数式即可．
【
详解】解：抛物线 向下平移5个单位长度后得到 ，
把点 代入得到， ，
得到 ，
∴ ，
故答案为：2
1114. 如图，在 中，直径 于点E， ，则弦 的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
由垂径定理得 ，设 的半径为 ，则 ，在 中，由
勾股定理得出方程，求出 ，即可得出 ，在 中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：∵ ，
，
设 的半径为 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，即 ，
解得： ，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
故答案为： ．
15. 已知一组正整数a，1，b，b，3有唯一众数8，中位数是5，则这一组数据的平均数为______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了众数、平均数和中位数的知识．根据众数、平均数和中位数的概念求解．
12【详解】解：∵这组数据有唯一众数8，
为
∴b 8，
∵中位数是5，
∴a是5，
∴这一组数据的平均数为 ，
故答案为：5．
16. 若分式方程 的解为正整数，则整数m的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数 的值即可．
【详解】解： ，
化简得： ，
去分母得： ，
移项合并得： ，
解得： ，
由方程的解是正整数，得到 为正整数，即 或 ，
解得： 或 （舍去，会使得分式无意义）．
故答案为： ．
17. 矩形 的面积是90，对角线 交于点O，点E是 边的三等分点，连接 ，点P是
的中点， ，连接 ，则 的值为______．
13【答案】13或
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理．当 时，利用三角形中位线定
理求得 ，再求得矩形的边长，利用勾股定理求得 的长，再根据斜边中线的性质即可求解；当
时，同理求解即可．
【详解】解：当 时，如图，
∵矩形 ，
∴点O是 的中点，
∵点P是 的中点，
∴ ， ，
∵点E是 边的三等分点，
∴ ， ，
∵矩形 的面积是90，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，如图，
∵矩形 ，
14∴点O是 的中点，
∵点P是 的中点，
∴ ， ，
∵点E是 边的三等分点，
∴ ， ，
∵矩形 的面积是90，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：13或 ．
18. 如图，在正方形 中，E是 延长线上一点， 分别交 于点F、M，过点F作
，分别交 、 于点N、P，连接 ．下列四个结论：① ；②
；③若P是 中点， ，则 ；④ ；⑤若
，则 ．其中正确的结论是______．
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】如图1，作 于 ，则四边形 是矩形，证明 ，则
15，可判断①的正误；如图2，作 交 于 ，连接 ，证明
，则 ， ，由
， ，可得 ，
， ，证明 ，则 ，由勾股定理得，
，由 ，可得 ，可判断
②的正误；如图3，连接 ，由勾股定理得， ，
，可求 ，设 ，则 ， ，由
勾股定理得， ，由 ，可得
，整理得， ，可求满足要求的解为 ，则 ，
，由 ，可得 ，可求 ，可判断③的正误；由题意知，
， 不相似， ，可判断④的正误；由设 ，
， ，则 ， ， ，
16，证明 ，则 ，证明 ，则
，即 ，可求 ，同理， ，则 ，即 ，
同理， ，则 ，即 ，可得 ，将 代入
得， ，整理得， ，可得， ，则
，可判断⑤的正误．
【详解】解：∵正方形 ，
∴ ， ，
，
如图1，作 于 ，则四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，①正确，故符合要求；
17如图2，作 交 于 ，连接 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
∵ ，
∴ ，②正确，故符合要求；
∵P是 中点， ，
∴ ，
18如图3，连接 ，
由勾股定理得， ， ，
解得， ，
设 ，则 ， ，
由勾股定理得， ，
∵ ，
∴ ，整理得， ，
解得， 或 （舍去），
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，③正确，故符合要求；
由题意知， ，
∴ 不相似， ，④错误，故不符合要求；
19∵ ，
∴ ， ，
设 ， ， ，则 ， ， ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得， ，
同理， ，
∴ ，即 ，
同理， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
将 代入 得， ，整理得， ，
解得， ，
20∴ ，⑤正确，故符合要求；
故答案为：①②③⑤．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，正弦，余弦，相
似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，正
弦，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（共66分）
19. 先化简，再求值： ，并从 ，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值．
【答案】 ，取 ，原式
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
先计算括号内 的减法，再计算除法，然后根据分式有意义的条件选取合适的值代入计算即可得．
【详解】解：
．
且 ，
或 或 ．
当 时，原式 ．
21或当 时，原式 ．
或当 时，原式 ．
20. 如图，某数学活动小组用高度为 米的测角仪 ，对垂直于地面 的建筑物 的高度进行测量，
于点C．在B处测得A的仰角 ，然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至 处，
于点G，测得A的仰角 ， 的延长线交 于点E，求建筑物 的高度（结
果保留小数点后一位）．（参考数据： ）
【答案】17.5米
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，解直角三角形的实际应用，由题意可得四边形 是矩
形，则 ．解直角三角形得到 ，进而得到 ，据
此求出 即可得到答案．
【详解】解：根据题意可知四边形 是矩形，
．
如图， ．
22，
．
，
．
（米）
答：建筑物 的高度约为 米．
21. 某校为掌握学生对垃圾分类的了解情况，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信
息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中A为“非常了解”，B为“了解较多”，C为“基本
了解”，D为“了解较少”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了______名学生；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“了解较少”所对应的圆心角度数；
（3）若全校共有1200名学生，请估计全校有多少名学生“非常了解”垃圾分类问题．
【答案】（1）50 （2） ，图形见详解
（3）480名
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的
信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的
百分比大小．
（1）用A、C、D的总人数除以所占比例即可求解；
（2）先用 “了解较少”的占比，用总人数减去A、C、D的人数即可得B的人数，据此即可补全条
23形统计图；
（3）用样本估算总体即可．
【小问1详解】
解：这次被调查的学生人数为： （名）；
【小问2详解】
“了解较少”所对应的圆心角度数为： ，
（人）
补全图形如下：
【小问3详解】
（名），
估计全校有多少名学生“非常了解”垃圾分类问题有480名．
22. 在 中， ， ， ，以 为边向 外作有一个内角为 的
菱形 ，对角线 交于点O，连接 ，请用尺规和三角板作出图形，并直接写出 的
面积．
【答案】图形见解析， 的面积为12或36．
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质以及勾股定理．分两种情况讨论，作 ，垂
足为 ，利用直角三角形的性质以及勾股定理分别求得 的长，再利用三角形面积公式即可求解．
【详解】解：当 时，所作图形如图，作 ，垂足为 ，
24∵菱形 ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ；
当 时，所作图形如图，作 ，垂足为 ，
∵菱形 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
25∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 的面积为 ；
综上， 的面积为12或36．
23. 如图，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为
，点C的坐标为 ，连接 ．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当 的面积最大时， 边上的高 的值为
______．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与图形的面积，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求函数解析式即可；
26（2）先求出直线 的解析式，然后过点 P 作 轴交 于点 D，设点 P 的坐标为
，则点D的坐标为 ，根据 求出面积的最大值，然后求
高 即可．
【小问1详解】
解：把 和 代入得：
，解得 ，
∴二次函数的解析式为 ；
【小问2详解】
解：令 ，则 ，解得： ， ，
∴点B的坐标为 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，代入得：
，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
过点P作 轴交 于点D，
27设点P的坐标为 ，则点D的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 最大为 ，
∴ ．
24. 一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路
驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早 小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程
与两车行驶时间 的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车行驶的速度是_____ ，并在图中括号内填上正确的数；
28（2）求图中线段 所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
【答案】（1）70，300
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用，求出A、B、C两两之间的距离是解题
的关键．
（1）利用时间、速度、路程之间的关系求解；
（2）利用待定系数法求解；
（3）先求出A、B、C两两之间的距离和乙车的速度，设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B
地路程的3倍，分甲乙相遇前、相遇后两种情况，列一元一次方程分别求解即可．
【小问1详解】
解：由图可知，甲车 小时行驶的路程为 ，
甲车行驶的速度是 ，
∴A、C两地的距离为： ，
故答案为：70；300；
【小问2详解】
解：由图可知E，F的坐标分别为 ， ，
29设线段 所在直线的函数解析式为 ，
则 ，
解得 ，
线段 所在直线的函数解析式为 ；
【小问3详解】
解：由题意知，A、C两地的距离为： ，
乙车行驶的速度为： ，
C、B两地的距离为： ，
A、B两地的距离为： ，
设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，
分两种情况，当甲乙相遇前时：
，
解得 ；
当甲乙相遇后时：
，
解得 ；
综上可知，两车出发 或 时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
3025. 数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在 中， ，
点D在直线 上，将线段 绕点A顺时针旋转 得到线段 ，过点E作 ，交直线
于点F．
（1）当点D在线段 上时，如图①，求证： ；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用 构造全等三角形，便尝试着在 上截取
，连接 ，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
探究问题：
（2）当点D在线段 的延长线上时，如图②：当点D在线段 的延长线上时，如图③，请判断并直
接写出线段 ， ， 之间的数量关系；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的条件下，若 ， ，则 ______．
【答案】（1）见解析；（2）图②： ，图③： ；（3）10或18
【解析】
【分析】（1）在 边上截取 ，连接 ，根据题意证明出 ，得到
，然后证明出 是等边三角形，得到 ，进而求解即可；
（2）图②：在 上取点H，使 ，连接 并延长到点G使 ，连接 ，首先证明
出 是等边三角形，得到 ，然后求出 ，然后证明出
，得到 ， ，然后证明出 是等边三角形，得到
31，进而求解即可；
图③：在 上取点H使 ，同理证明出 ，得到 ， ，
进而求解即可；
（3）根据勾股定理和含 角直角三角形的性质求出 ， ，然后结合 ，分别
（1）（2）的条件下求出 的长度，进而求解即可．
【详解】（1）证明：在 边上截取 ，连接 ．
在 中， ．
，
．
又 ，
．
又 ， ，
．
又 ，
．
．
．
．
，
．
是等边三角形．
，
，
；
的
（2）图②：当点D在线段 延长线上时， ，证明如下：
如图所示，在 上取点H，使 ，连接 并延长到点G使 ，连接 ，
32∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵线段 绕点A顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ；
图③：当点D在线段 的延长线上时， ，证明如下∶
如图所示，在 上取点H使 ，
33∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵将线段 绕点A顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图所示，
34∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
由（1）可知， ，
∴ ；
如图所示，当点D在线段 的延长线上时，
∵ ，与 矛盾，
∴不符合题意；
如图所示，当点D在线段 的延长线上时，
35∵ ， ，
∴ ，
由（2）可知， ，
∵ ，
∴ ．
综上所述， 或18．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含 角直角三角
形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
26. 牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的 以上，黑龙江省发布的
“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜
品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问
题：
（1）特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？
（2）某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，
特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，
该商店有哪几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，
最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案．
【答案】（1）特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元
（2）有3种方案，详见解析
（3）特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的
36关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一
次不等式组；（3）正确计算求解．
（1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，根据“购进鲜品猴头菇3箱、干
品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元”，列出方程组求解即可；
（2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇 箱，根据“获利不少于1560
元，其中干品猴头菇不多于40箱，”列出不等式组求解即可；
（3）根据（2）中三种方案分别求解即可；
【小问1详解】
解：设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，
则 ，
解得： ，
故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元；
【小问2详解】
解：设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇 箱，
则 ，
解得： ，
∵ 为正整数，
∴ ，
故该商店有三种进货方案，
分别为：①购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱；
②购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱；
③购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱；
【小问3详解】
解：当购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱时：
37根据题意得 ，
解得： ；
当购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱时：
根据题意得 ，
解得： （是小数，不符合要求）；
当购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱时：
根据题意得 ，
解得： （不符合要求）；
故商店的进货方案是特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱．
27. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B
在x轴的正半轴上，四边形 是平行四边形，线段 的长是一元二次方程 的一个根．
请解答下列问题：
（1）求点D的坐标；
（2）若线段 的垂直平分线交直线 于点E，交x轴于点F，交 于点G，点E在第一象限，
，连接 ，求 的值；
（3）在（2）的条件下，点M在直线 上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是
38直角边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出 的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，12个，
【解析】
【分析】（1）先解方程求出 ，然后求出直线解析式即可求得点D的坐标；
（2）过点E作 于点H，求出 ，然后证明 ，即可得到
，然后求出 得正切值即可；
（3）利用分类讨论画出图形，利用勾股定理解题即可．
【小问1详解】
解：解方程 得 ， ，
∴ ，即点A的坐标为 ，
把 代入 得 ，
∴ ，点D的坐标为 ；
【小问2详解】
解：过点E作 于点H，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
39又∵ 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
如图，当 时，有 个，
40解：∵ ，
∴ ，
由（2）得 ， ，
∴ ，
∴点N得坐标为 ；
当 时，有 个，如图，
当 时，有 个，如图，
41∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 与O重合，
故点 得坐标为 ，
综上所述，点 的个数为 个，和点N的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查解一元二次方程，直线的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和
性质，解直角三角形等知识，掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
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